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Mathmatiquespar

Stphane Perret

Version 3.250

ILogique et

raisonnement

IICalcul

algbrique

IIITrigonomtrie

IVFonctions

VIContinuit,

comportementasymptotiqueet drive

VIICalculintgral

VGomtrie

VIIICombinatoire

etprobabilits

Table des matires

I Logique et raisonnement 1

1 Les principes de base de la logique 31.1 Le principe de non-contradiction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Le principe du tiers exclu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Les implications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 La rciproque dune implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Les quivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 Le contraire dune expression bien forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.7 La contrapose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.8 Trois mthodes pour dmontrer des implications . . . . . . . . . . . . . . 81.9 Contre-exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.10 La dcouverte des nombres irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

i

Lyce cantonal de PorrentruyMathmatiques : table des matires

Cours de Mathmatiques

II Calcul algbrique 11

2 Ensembles, nombres et calcul algbrique 132.1 Ensembles et sous-ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Oprations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Les ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4 La droite relle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.1 Les intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.2 criture dcimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.3 Notation scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5 Oprations sur les nombres rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5.1 Addition, neutre additif, oppos et soustraction . . . . . . . . . . 192.5.2 Multiplication, neutre multiplicatif, inverse et division . . . . . . . 202.5.3 Rgles concernant les fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5.4 Puissances, bases et exposants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5.5 Les identits remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5.6 Les racines n-imes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5.7 Extension de la notion dexposants . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5.8 Les logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5.9 Analogies entre les diverses oprations . . . . . . . . . . . . . . . 292.5.10 La rgle des signes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.5.11 Valeur absolue et distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.5.12 Un peu de vocabulaire : simplifier, dvelopper, factoriser . . . . . 30

3 Sommes, sries arithmtiques et gomtriques 313.1 Le symbole somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Sries arithmtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3 Sries gomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4 Application : calculs dintrts et capitalisation . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4.1 Capitalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4.2 Actualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4.3 quivalence de capitaux et chance moyenne . . . . . . . . . . . 38

4 quations polynomiales 394.1 Rsolution des quations du premier degr . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2 La proprit du produit dans les nombres rels . . . . . . . . . . . . . . . 404.3 Rsolution des quations du deuxime degr . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3.1 Deux mthodes de rsolution et la formule de Vite . . . . . . . . 414.3.2 Les quations du deuxime degr camoufles . . . . . . . . . . . . 44

4.4 Rsolution des quations de degr suprieur 2 . . . . . . . . . . . . . . 444.5 Systmes dquations polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5 Factorisation de polynmes 475.1 Polynmes de degr n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2 Factorisation de polynmes du deuxime degr . . . . . . . . . . . . . . . 475.3 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.3.1 Schma de Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.4 Le lemme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.4.1 Bonus : une preuve que la racine de 2 est irrationnelle . . . . . . . 53

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Lyce cantonal de Porrentruy

5.5 Factorisation de polynmes de degr suprieur deux . . . . . . . . . . . 535.6 Polynmes irrductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

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III Trigonomtrie 55

6 Trigonomtrie 576.1 Le cercle trigonomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.1.1 Les angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.1.2 Le cercle trigonomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.1.3 Formules de symtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.1.4 Les fonctions tangente et cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.2 Valeurs des fonctions trigonomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.3 Les triangles rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.4 Les triangles quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.5 Les fonctions trigonomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.6 Formules dadditions des angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.7 quations trigonomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7 Un astrolabe 75

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IV Fonctions 77

8 Fonctions 798.1 Les fonctions et leur reprsentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798.2 Images, domaine image et pr-images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828.3 Les zros dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.4 Graphes savoir dessiner rapidement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

8.4.1 Graphes des fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.4.2 Graphes des fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . 848.4.3 Graphes des fonctions logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858.4.4 Graphes des fonctions quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 868.4.5 Graphes des homographies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.5 Oprations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888.5.1 Addition de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888.5.2 Multiplication dune fonction par un nombre . . . . . . . . . . . . 898.5.3 Multiplication de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908.5.4 Division dune fonction par une autre . . . . . . . . . . . . . . . . 918.5.5 Composition de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

8.6 Tableau de signes dune fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.6.1 Comparaison des tableaux des diffrentes mthodes . . . . . . . . 99

8.7 Les fonctions paires et impaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.8 Linjectivit, la surjectivit et la bijectivit . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

8.8.1 Utilit de linjectivit pour les quations . . . . . . . . . . . . . . 1048.9 Les fonctions rciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048.10 Fonctions transcendantes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

8.10.1 Les fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088.10.2 Les fonctions logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098.10.3 Les fonctions trigonomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

9 Rsolution dinquations 1139.1 Rsolution dinquations du premier degr . . . . . . . . . . . . . . . . . 1139.2 Rsolution dinquations : mthode gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . 113

10 Herbier de fonctions relles 115

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V Gomtrie 123

11 Les gomtries plane et spatiale 12511.1 Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12611.2 Espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12711.3 Vecteurs dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12811.4 Vecteurs dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12911.5 Oprations sur les vecteurs dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . 13011.6 Oprations sur les vecteurs dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . 13111.7 Vecteurs et points dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13211.8 Vecteurs et points dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13311.9 Reprsentations paramtriques dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . 13411.10 Reprsentations paramtriques dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . 13511.11 quations cartsiennes dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14011.12 quations cartsiennes dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14111.13 Notion de pente pour les droites dans le plan . . . . . . . . . . . . . . 14211.14 Traces de droite et de plan dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . 14311.15 Droites remarquables dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14411.16 Droites et plans remarquables dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . 14511.17 Norme et produit scalaire dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14811.18 Norme et produit scalaire dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . 14911.19 Droite dans le plan et produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15211.20 Plan dans lespace et produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15311.21 Aire dun paralllogramme dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . 15411.22 Aire dun paralllogramme dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . 15511.24 Volume dun paralllpipde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15711.25 Aire dun triangle dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15811.26 Aire dun triangle dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15911.28 Volume dun ttradre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15911.29 Proprits du dterminant dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16011.30 Proprits du produit vectoriel dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . 16111.31 Distances dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16211.32 Distances dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16311.33 Cercle dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17011.34 Sphre dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17111.35 Rappel : dterminant en dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17211.36 Complment : dterminant en dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17311.37 Sur le cercle inscrit un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17411.38 Sur le cercle inscrit un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17511.40 Sur la sphre inscrite un ttradre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

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VI Continuit, comportement asymptotique et drive 178

12 Notions de limite 17912.1 Le nombre dEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17912.2 Les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

12.2.1 Dfinition intuitive des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18012.2.2 La droite relle vue par Alexandrov . . . . . . . . . . . . . . . . . 18112.2.3 Lien entre les limites et les limites gauche et droite . . . . . . 18112.2.4 Calculs de limites et types de limites . . . . . . . . . . . . . . . . 182

12.3 Proprits des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18412.4 Continuit dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18512.5 Comportement asymptotique des fonctions continues (par morceaux) . . 186

12.5.1 Comportement local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18612.5.2 Comportement linfini des fonctions rationnelles . . . . . . . . . 18712.5.3 Comportement linfini des fonctions non rationnelles . . . . . . 19212.5.4 Complments sur le comportement asymptotique linfini . . . . 193

13 Drivation 19513.1 La drive en un point dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19513.2 La drive dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

13.2.1 Premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19813.3 quation de la tangente au graphe dune fonction . . . . . . . . . . . . . 19813.4 Rgles de drivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

13.4.1 Rgle de la somme et de la soustraction . . . . . . . . . . . . . . . 19913.4.2 Rgle de la multiplication par un nombre . . . . . . . . . . . . . . 19913.4.3 Rgle du produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20013.4.4 Rgle de la composition ou de la drivation en cascade . . . . . . 20013.4.5 Rgle du quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20213.4.6 Rgle de la puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

13.5 Drives des fonctions transcendantes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . 20313.5.1 Drive de la fonction sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20313.5.2 La drive des logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20613.5.3 Le logarithme nprien et sa drive . . . . . . . . . . . . . . . . 20713.5.4 La drive des fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . 207

13.6 Table de drives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

14 Quelques applications des drives 20914.1 Problmes doptimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20914.2 La courbure (lacclration en physique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21214.3 Extrema locaux et points dinflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21314.4 tude de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21414.5 Thorme de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21814.6 Le thorme des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21914.7 Rgle de lHospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22014.8 Problmes de taux daccroissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

14.8.1 Notation de Leibniz et drivation en cascade . . . . . . . . . . . . 22214.8.2 Les drives implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

15 Dmonstration de la rgle de lHospital 227

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VII Calcul intgral 233

16 Intgrales et primitives 23516.1 Dfinition intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23516.2 Dfinition formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23516.3 Pourquoi lintgrale est une aire signe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

16.3.1 Pour tre sr davoir laire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23916.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24016.5 Proprits de lintgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24216.6 La valeur moyenne dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24316.7 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

16.7.1 Le thorme fondamental du calcul intgral . . . . . . . . . . . . 24416.8 Trois faons de rsoudre une intgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

16.8.1 Intgration par devinette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24616.8.2 Intgration par parties : intgrale dfinie . . . . . . . . . . . . . . 24716.8.3 Intgration par parties : intgrale indfinie . . . . . . . . . . . . . 24816.8.4 Intgration par substitution : partir de la dfinition . . . . . . . 24916.8.5 Intgration par substitution : intgrale dfinie . . . . . . . . . . . 25016.8.6 Intgration par substitution : intgrale indfinie . . . . . . . . . . 251

17 Quelques applications des intgrales 25317.1 Volumes de rvolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

17.1.1 Autour du premier axe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25317.1.2 Autour du deuxime axe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

17.2 Longueur dune courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25517.3 Laire entre deux courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25617.4 Un calcul dintgrale sophistiqu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

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VIII Combinatoire et probabilits 259

18 Dnombrement : permutations, arrangements et combinaisons 26118.1 Les permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

18.1.1 Permutations dobjets distincts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26118.1.2 Permutations dobjets identiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

18.2 Les arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26318.2.1 Arrangements sans rptitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26318.2.2 Arrangements avec rptitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

18.3 Les combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26518.3.1 Combinaisons sans rptitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26518.3.2 Combinaisons avec rptitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

18.4 Tableau rcapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26718.5 Triangle de Pascal des coefficients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . 267

19 Probabilits 26919.1 Univers, vnements et probabilits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

19.1.1 Univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26919.1.2 vnements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27019.1.3 Probabilits : la fonction probabilit . . . . . . . . . . . . . . . . 27119.1.4 vnements quiprobables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

19.2 Probabilits conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27319.2.1 Probabilits conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27319.2.2 vnements indpendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27419.2.3 Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

19.3 Mthodes de calcul de probabilits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27619.3.1 Par dnombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27619.3.2 Par rgles de probabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27619.3.3 Par arbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27819.3.4 La technique des anagrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

19.4 La loi binomiale et la loi multinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28019.5 Lesprance de gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

Version 3.250 page ix S. Perret

Premire

partie

Logique etraisonnement

ImplicationsP Q

rciproqueP Q

quivalenceP Q

contraposeQ P

Principede non-

contradiction

Principe dutiers exclus

ImplicationsP Q

rciproqueP Q

quivalenceP Q

contraposeQ P

Preuves

on nedmontrepas un

rsultat laide dunexemple

on infirmeun rsultat laide

dun contre-exemple

sens directn est pair

n2 est pair.

parcontrapose

n2 est pair

n est pair.

parlabsurde

2 est

irrationnel

1

Lyce cantonal de PorrentruyMathmatiques : logique et raisonnement


S. Perret page 2 Version 3.250

Chapitre 1

Les principes de base de la logique

En mathmatique, une expression bien forme ou proposition est une expression qui a dusens et qui peut tre vraie ou fausse.

1.1 Le principe de non-contradiction

La logique (et donc les mathmatiques) est base sur le principe de non-contradiction.Ce principe dit quune expression bien forme ne peut pas tre vraie et fausse la fois.

1.2 Le principe du tiers exclu

Le principe du tiers exclu stipule que si une expression bien forme nest pas vraie, alorselle est fausse (ou que si elle nest pas fausse, alors elle est vraie).

Ce principe est vrai pour la plupart des expressions bien formes, bien quil y ait desexpressions qui ne vrifient pas le principe du tiers exclu (voir lnigme du cyclope ci-dessous). Ces expressions trs particulires se prononcent, en gnral, sur leur proprevaleur de vrit. Dans la suite du cours, on admettra que nos propositions vont satisfairece principe.

Lnigme du cyclope

Vous voil enferm dans une caverne en compagnie dun cyclope qui veut votre mort.Il vous donne nanmoins un choix : soit vous dites une proposition vraie et vous serezbouilli ; soit vous dites une proposition fausse et vous serez roti.

Que dire ?

1.Onpeutdire:Vousallezmerotir!(ouVousnallezpasmebouillir!)

Sicettepropositiontaitvraie,alorsvousfiniriezbouillietainsicettepropositionseraitfausse;ilsagit

dunecontradiction,donccettepropositionnepeutpastrevraie.

Sicettepropositiontaitfausse,alorsvousfiniriezrotietainsicettepropositionseraitvraie;ilsagitdune

contradiction,donccettepropositionnepeutpastrefausse.

Cettepropositionnestdoncnivraie,nifausse.

2.Onpeutaussidire:Jesuisentraindementir!

Sicettepropositiontaitvraie,alorsvousseriezentraindedirelavritetainsicettepropositionserait

fausse;ilsagitdunecontradiction,donccettepropositionnepeutpastrevraie.

Sicettepropositiontaitfausse,alorsvousseriezentraindementiretainsicettepropositionseraitvraie;

ilsagitdunecontradiction,donccettepropositionnepeutpastrefausse.

Cettepropositionnestdoncnivraie,nifausse.

3.Onpeutaussidire:Cettephraseestfausse!

Rponse:ilyaplusieurspropositionspossibles.Voicideuxexemples.

3



1.3 Les implications

Lorsquon a deux expressions bien formes P et Q, on crit

P Qpour dire que lexpression P implique lexpression Q. Dans ce cas, P est lhypothse etQ est la conclusion.

Il y a diffrentes faons de lire P Q. On peut dire :Si P , alors Q Si la proposition P est vraie, alors la proposition Q est vraie

Q si P La proposition Q est vraie si la proposition P est vraie

P seulement si Q La proposition P est vraie seulement si la proposition Q est vraie

Lorsque lexpression P nimplique pas lexpression Q, on note P 6 Q. Cest le cas lorsqueQ est fausse quand P est vraie.

Remarques importantes

1. En mathmatiques, on ncrit jamais dexpressions bien formes fausses (sauf si onsest tromp en toute bonne foi).

2. En mathmatiques, lorsquon dit quune proposition (ou implication) est vraie, celasignifie quelle est toujours vraie (lexpression lexception qui confirme la rglena pas sa place en mathmatiques). Ainsi une proposition (ou implication) estfausse lorsquelle nest pas toujours vraie.

Exemples dimplications

1. Jean a gagn au loto Jean a jou au loto.On lit : a) Le fait que Jean a gagn au loto implique le fait quil a jou au loto.

b) Si Jean a gagn au loto, alors il a jou au loto.

c) Jean a jou au loto, sil a gagn.

d) Jean a gagn au loto seulement sil a jou.

Cette implication est vraie, car on ne peut pas gagner sans jouer.

2. 2x = 6:2= x = 3.

Cette implication est vraie, car si le double dun nombre x vaut 6, alors le nombrex est gal 3 (on divise chaque ct de lgalit par 2).

3. Si un enseignant vous dit : Les cancres sasseyent au fond de la classe, il penseque :

Un lve est un cancre = Il sassied au fond de la classeNon seulement cela ne signifie pas quil y a des cancres dans la classe, mais surtoutcela ne signifie en aucun cas que tous les lves du fond de la classe sont des cancres.Ainsi, lenseignant na pas affirm que : Ceux qui sasseyent au fond de la classesont des cancres. Dailleurs, mme cet enseignant sera daccord de penser que :

Un lve sassied au fond de la classe =6= Cest un cancre


Cours de MathmatiquesMathmatiques : logique et raisonnement


1.4 La rciproque dune implication

La rciproque dune implication P Q est limplication P Q.Lorsque la rciproque nest pas vraie, on trace limplication : P 6 Q.

Exemples Regardons les rciproques des deux premiers exemples prcdents.

1. Jean a gagn au loto 6== Jean a jou au loto.En effet, il y a au moins une personne qui joue au loto et qui ne gagne pas.

2. 2x = 62= x = 3.

En effet, si un nombre x vaut 3, alors son double vaut 6 (on multiplie chaque ctde lgalit par 2).

Moralit

La valeur de vrit de la rciproque dune implication est indpendante de celle de lim-plication.

En effet, la premire implication de lexemple est vraie, alors que sa rciproque est fausse.Tandis que la deuxime implication de lexemple est vraie et que sa rciproque est vraie.

1.5 Les quivalences

Lorsquon a deux expressions bien formes P et Q telles que P Q et P Q, on crit :

P Q

et on dit que la proposition P est quivalente la proposition Q.

Lorsque la proposition P nest pas quivalente la propostion Q, on note P 6 Q. Cestle cas lorsque P 6 Q ou P 6 Q.Au lieu de dire que P est quivalent Q, on peut aussi dire que

P si et seulement si Q

Exemples dquivalence

1. Georges est le frre de Sophie si et seulement si Sophie est la sur de Georges.

Il est vident que Georges est le frre de Sophie et Sophie est la sur de Georgessont des propositions synonymes.

2. Jean a gagn au loto 6= Jean a jou au loto.En effet, limplication est fausse, donc lquivalence est fausse (malgr le faitque est vraie).

3. 2x = 6 x = 3.En effet, les deux implications et sont vraies.

Version 3.250 page 5 S. Perret



1.6 Le contraire dune expression bien forme

Si P est une proposition, alors sa proposition contraire est note non P , P ou P .

Par exemple

Si P est la proposition Il pleut, alors non P est la proposition Il ne pleut pas (etnon pas Il fait beau, car il peut aussi neiger, grler, etc.).

Remarques

1. Le principe de non-contradiction affirme que P et non P ne peuvent pas tre vraiesen mme temps. De mme, elles ne peuvent pas tre fausses en mme temps.

2. Le principe du tiers exclu permet daffirmer que :{P est vraie non P est fausseP est fausse non P est vraie

On voit limportance du principe du tiers exclu, car les contraires des phrases delnigme du cyclope, qui ne sont ni vraies, ni fausses, sont des phrases vraies.

1.7 La contrapose

La contrapose dune implication P Q est limplication non Q non P .

Thorme

La contrapose dune implication I est une implication qui a la mme valeur de vritque limplication I.

P Q implication I

non Q non P contrapose de limplication I

()

Interprtations

1. Le sens = de () signifie queSi limplication P Q est vraie, alors sa contrapose non Q non P est vraie.

2. Le sens = de () signifie queSi la contrapose non Q non P est vraie, alors limplication P Q est vraie.

3. La contrapose du sens = de () signifie queSi la contrapose non Q non P est fausse, alors limplication P Q est fausse.

4. La contrapose du sens = de () signifie queSi limplication P Q est fausse, alors sa contrapose non Q non P est fausse.

Moralit

Quelque soit la valeur de vrit dune implication, sa contrapose a exactement la mmevaleur de vrit et inversement.




Exemples

1. La contrapose de limplication

Jean a gagn au loto = Jean a jou au lotoest

Jean na pas jou au loto = Jean na pas gagn au lotoComme la premire implication est vraie, le thorme affirme que la deuximeimplication est aussi vraie.

2. La contrapose de la proposition

Jean a jou au loto =6= Jean a gagn au lotoest

Jean na pas gagn au loto =6= Jean na pas jou au lotoComme la premire proposition est vraie (limplication Jean a jou au loto Jeana gagn au loto est fausse), le thorme affirme que la deuxime proposition estaussi vraie (limplication Jean na pas gagn au loto Jean na pas jou au lotoest fausse).

3. La contrapose de lquivalence 2x = 6 x = 3 est x 6= 3 2x 6= 6.Cest la raison principale pour laquelle on rsout rarement des quations o lesymbole = est remplac par le symbole 6=.

Remarque

Si on contrapose la contrapose dune implication, on retrouve cette implication.

Preuve du thorme

= On suppose que P Q est vraie. On doit montrer que non Q non P est vraie,donc encore supposer que non Q est vraie, afin de montrer que non P est vraie.

On remarque que si P tait vraie, alors limplication P Q nous permettraitdaffirmer que Q serait vraie, ce qui est impossible (principe de non contradiction)car Q est fausse (puisque non Q est suppos vraie (principe du tiers exclu)).

Par consquent, P nest pas vraie, donc non P est vraie (principe du tiers exclu).

On vient donc de montrer, grce aux principes de non-contradiction et du tiersexclu, que : (

P Q)=

(non Q non P

)= En refaisant le raisonnement = en remplaant P par non Q et Q par non P ,

on a :(non Q non P

)=

(non (non P ) non (non Q)

)

(P Q

)




1.8 Trois mthodes pour dmontrer des implications

Pour montrer que limplication ci-dessous est vraie

P Q

on peut utiliser lune des trois mthodes ci-dessous.

1. La premire est la mthode directe : on suppose que P est vraie et on essaie dedmontrer que Q est aussi vraie.

2. La deuxime faon utilise la contrapose, cest la preuve par contrapose : on montrelimplication quivalente non Q non P de manire directe. Cest--dire que lonsuppose que non Q est vraie et on cherche dmontrer que non P est vraie.

3. La troisime faon de faire, cest de procder par labsurde. Cela consiste fairecomme si la conclusion Q tait fausse et essayer den dgager une contradiction(cest--dire une proposition vraie et fausse en mme temps). Par le principe de non-contradiction, cela signifie donc quil y a une erreur quelque part et, si la preuveest bien ficele, que cette erreur ne peut tre que le fait que Q est fausse. Ainsi, Qdoit donc tre vraie (si Q satisfait le principe du tiers exclu).

Voici un exemple dune preuve par labsurde :

Montrons quil nexiste pas de nombre rel x tel que x2 = 1.Par labsurde, on suppose que la conclusion est fausse, cest--dire quilexiste un nombre rel x tel que x2 = 1. Or, grce la rgle des signes,on sait que x2 > 0. Ainsi, on a 1 = x2 > 0.On a une contradiction : 1 > 0.Donc, il nexiste pas de nombre rel x tel que x2 = 1.

1.9 Contre-exemples

Pour montrer que limplication P Q est fausse, il faut un contre-exemple, cest--direun cas particulier pour lequel P est vraie et Q est fausse.

Exemple

On a :x est un nombre pair =6= x

2est un nombre pair

En effet, x = 2 fournit un contre-exemple, car 2 est un nombre pair et que 22= 1 nest

pas un nombre pair. Ici, le nombre 2 est un contre-exemple.

Attention

On ne dmontre pas une implication laide dun exemple.

En effet, x est un nombre pair 6 x2est un nombre pair. Pourtant, si on essaye avec

x = 4, alors x2= 4

2= 2 est bien un nombre pair.




1.10 La dcouverte des nombres irrationnels

la fin du VIe sicle, les mathmaticiens grecs, membres de lcole pythagoricienne,pensaient que deux grandeurs a et b taient toujours commensurables, cest--dire quilexistait un nombre rel u (u comme unit) et deux nombres entiers m et n tels quea = mu et b = nu, donc que a

best une fraction (car a

b= mu

nu= m

n).

Ils furent troubls de dcouvrir quils avaient tort en tudiant un objet pourtant trssimple, la diagonale du carr de ct 1, qui se trouve aussi tre lhypotnuse du trianglerectangle isocle dont les cathtes sont de longueur 1.

1

1

2 car

2 =

12 + 12

(par le thorme de Pythagore)

En effet, il se trouve que 1 et2 sont incommensurables, car

21

=2 nest pas une

fraction. Puisque, pour les grecs, lexistence de tels nombres dpassait la raison, cesnombres furent appels irrationnels.

Thorme

Le nombre2 est un nombre irrationnel, cest--dire

2 6 Q.

Preuve

On note M2 lensemble des nombres qui sont des multiples de 2.

1. Ingrdient : Soit n Z. Si n2 M2, alors n M2.Il est quivalent de montrer la contrapose : si n 6M2, alors n2 6M2.Si n nest pas un multiple de 2, alors n scrit n = 2k + 1 avec k Z. On a

n2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(

Z 2k2 + 2k) + 1

Ainsi, n2 nest pas un multiple de 2.

2. La preuve par labsurde.

Par labsurde, on suppose que2 Q. Donc 2 = a

bavec a, b Z et b 6= 0.

On peut encore supposer que abest irrductible.

On a ainsi : 2 = ab

= 2 = a2

b2= a2 = 2b2 ()

Ainsi, on constate que a2 M2. Par lingrdient, on sait que a M2.Par consquent a = 2k avec k Z. En substituant ce rsultat dans lquation (),on obtient

(2k)2 = 2b2 = 4k2 = 2b2 = b2 = 2k2Ainsi, on constate que b2 M2. Par lingrdient, on sait que b M2.Par consquent, la fraction est rductible par 2. contradiction avec

lirrductibilit de ab.

Donc2 est un nombre irrationnel.


proprit du produit

Deuxime

partie

Calculalgbrique

Ensembleset oprations

dans R

Oprationsdans R

fractions

identitsremar-quables

exposants,racineset loga-rithmes

rgle dessignes etvaleurabsolue

Ensembles

symboles, , =,, , \

ensemblesde

nombres

la droiterelleet les

intervalles

quationspolynomiales

degr 1

systmesdquations

degr 2

Vite

Factorisationde polynmes

divisioneuclidienne

degr > 3

Gauss &Horner 2 est

irrationnel

11

Lyce cantonal de PorrentruyMathmatiques : calcul algbrique



Chapitre 2

Ensembles, nombres et calculalgbrique

2.1 Ensembles et sous-ensembles

Dfinition

Un ensemble est une collection dlments. Nimporte quel objet (mathmatique ou non)peut tre considr comme un lment dun ensemble (y compris un ensemble !). Lorsquonnumre les lments dun ensemble, on note ses lments entre accolades. Par exemple,lensemble E des nombres de 0 10, y compris, se note de la manire suivante.

E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}Les mathmaticiens utilisent le symbole pour dire quun lment appartient un en-semble. Lorsquun lment nappartient pas un ensemble, on utilise le symbole 6. Parexemple,

0 E, 5 E, mais 15 6 ENanmoins, lorsque les objets ne sont pas dcrits de faon explicite, mais dpendent dunecondition, on utilise une notation lgrement plus sophistique. Par exemple, on traduitla phrase

F est F=

lensemble {...}

des lments de E n E

on donne un nom gnralaux lments de lensemble

tels que :

leur carr est plus grand ou gal 35 n2 > 35

on crit la condition laide dune formulegrce au fait quon a donn un nom aux lments

par

F = {n E : n2 > 35}

On constate, en calculant les carrs des lments de E, que F = {6, 7, 8, 9, 10}.

Dfinition

Si A et B sont des ensembles, on dit que A est un sous-ensemble de B lorsque chaquelment de A appartient lensemble B.

En reprenant lexemple ci-dessus, on voit que lensemble F est un sous-ensemble delensemble E.

F = {n E : n2 > 35} = {6, 7, 8, 9, 10} est un sous-ensemble de E

13



Dfinitions et notations

Soit A et B deux sous-ensembles dun ensemble E quelconque. On dit que

1. A est inclus dans B lorsque tout lment de A appartient B. On note A B.Dans ce cas, A est un sous-ensemble de B.

2. A contient B lorsque tout lment de B appartient A. On note A B. Dans cecas, B est un sous-ensemble de A.

3. A est gal B, lorsque tout lment de A appartient B et que tout lment deB appartient A. On note A = B.

Exemples

Si E est lensemble de la page prcdente (E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}), alors :1. F = {n E : n2 > 35} = {6, 7, 8, 9, 10} E ;2. E F = {n E : n2 > 35} = {6, 7, 8, 9, 10}.

Attention aux notations

Dire que {1} A signifie que {1} est un lment de A et ainsi lensemble A est de laforme suivante.

A ={{1}, . . .

}Remarques

Il est vident que :A B B A(

A B et B A) A = BLorsquon veut dmontrer que deux ensembles A et B sont gaux, on peut faire unepreuve par double inclusion, cest--dire quon dmontre que A B et que B A (envertu de la deuxime quivalence ci-dessus).

Syntaxe

Les symboles ainsi dfinis sont des oprateurs binaires, cest--dire qu deux objets lesoprateurs font correspondre un seul objet.

Nom Terme de gauche Symbole Terme de droite Rsultat

Appartenir Elment Ensemble PropositionEtre inclus dans Ensemble Ensemble Proposition

Etre gal Ensemble = Ensemble PropositionEtre gal Elment = Elment Proposition

contenir Ensemble Ensemble Propositioncontenir Ensemble Elment Proposition

On a lquivalence suivante lorsque A est un ensemble.

x A {x} A


Cours de MathmatiquesMathmatiques : calcul algbrique


2.2 Oprations sur les ensembles

Dfinition

Soit A et B deux sous-ensembles dun ensemble E.

On dfinit les sous-ensembles runion A B et intersection A B comme suit.A B = {e E : e A ou e B}A B = {e E : e A et e B}

A B A BA B

E

A B

E

Dfinition


On dfinit les sous-ensembles diffrence A \B, complmentaire de A dans E, not EA,et diffrence symtrique AB comme suit.

A \B = {e E : e A et e 6 B}EA = {e E : e 6 A}AB = {e E : e A ou (exclusif) e B}

A \B EA ABA B

E

A

E

A B

E

Dfinition


1. Si lensemble A ne contient aucun lment, on dit que A est vide et on utilise lanotation A = o est lensemble vide.

2. On dit que A et B sont disjoints si A B = .

Convention

Lensemble vide est contenu dans tous les ensembles.

Cela signifie que la proposition A est considre comme vraie quelque soit len-semble A.




2.3 Les ensembles de nombres

Les mathmaticiens ont class les nombres dans des ensembles, appels ensembles denombres.

Tout dabord, on a les nombres naturels. Cest eux que lon utilise la plupart du tempspour compter (des objets, de largent, etc.).

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}Historiquement, le zro nest pas venu tout de suite. Il a t invent en Orient et importpar Fibonacci au dbut du XIIIe sicle.

Ensuite, les nombres ngatifs sont apparus et, mis ensemble avec les nombres naturels,ont form lensemble des nombres entiers. Moins utiliss que les nombres naturels dansla vie de tous les jours, on les trouve notamment dans lexpression de la temprature (endegr Celsius). Leur prsence permet la soustraction dexister quelque soit les nombresque lon soustrait : sans eux, 2 3 nexisterait pas.

Z = {. . . ,3,2,1, 0, 1, 2, 3, . . .}Construits partir des nombres entiers, les nombres rationnels ou fractions, sont trsimportants. On les utilise tous les jours lorsquon parle de centimtres, de dcilitres, decentimes de seconde, de moiti, de tiers, etc. Grce eux on peut diviser nimporte quelnombre par un nombre non nul.

Q ={ab: a, b Z, b 6= 0

}En termes mathmatiques a est le numrateur (vient du mot numro ou nombre, car ilcompte) et b est le dnominateur (vient du mot dnommer, car il correspond un nomcomme demi, tiers, dixime, etc.).

Enfin, il y a des nombres qui ne sont pas des fractions. Ce sont les nombres irrationnels.Dcouverts par les Grecs (qui ont eu de la peine en accepter lexistence), ils apparaissentpar exemple lorsquon tudie la longueur des cts dun triangle, le primtre dun cercleou encore en calculant des intrts bancaires. Runis avec les nombres rationnels, ilsforment lensemble des nombres rels.

R = Q {

2,3,5, , e,

1 +5

2, . . .

}

Contrairement aux ensembles N, Z et Q, lensemble des nombres rels nest pasdnombrable, cest--dire que lon ne peut pas numrer les nombres rels.

On a les inclusions densembles suivantes :

N Z Q R

Les lves qui sont dans une option scientifique auront le privilge de dcouvrir lensembledes nombres complexes, not C. Il sagit de lensemble des nombres construits laidedes nombres rels et dun nombre imaginaire, not i, dont le carr vaut 1 (ce nombrenest videmment pas un nombre rel). Ce qui permet de prolonger la suite dinclusionprcdente.

N Z Q R C




2.4 La droite relle

On reprsente les nombres rels par une droite, appele la droite relle.

R4 3 2 1 0 1 2 3 4

2.4.1 Les intervalles

Les intervalles sont des notations simples et efficaces pour dcrire certains sous-ensemblesde R. Ils sont notamment utiliss lors de rsolution dinquations (voir page 113).

Dans le tableau ci-dessous, o a et b sont deux nombres rels tels que a < b, chacune deslignes dcrit le mme sous-ensemble de trois faons quivalentes.

Les huit types dintervallesSous-ensemble Intervalle Reprsentation graphique

{x R : a 6 x 6 b} [a, b]a b

R

{x R : a 6 x < b} [a, b[ ou [a, b)a b

R

{x R : a < x 6 b} ]a, b] ou (a, b]a b

R

{x R : a < x < b} ]a, b[ ou (a, b)a b

R

{x R : x > b} ]b,+[ ou (b,+)b

R

{x R : x > b} [b,+[ ou [b,+)b

R

{x R : x < a} ], a[ ou (, a)a

R

{x R : x 6 a} ], a] ou (, a]a

R

Il est aussi possible dutiliser lintervalle ],+[ pour dcrire lensemble des nombresrel R, mais dans ce cas cela perd le ct pratique et simple.




2.4.2 criture dcimale

Lcriture dcimale permet de reprsenter tous les nombres rels dune faon agrable,mais qui nest en gnral pas exacte, ni unique (car 0.9 = 1). Cette criture permet deplacer avec une prcision relative nimporte quel nombre rel sur la droite relle. Voiciquelques nombres crits sous forme dcimale :

2 = 2.02

5= 0.4

1

8= 0.125

2

3= 0.6

5

13= 0.384615

2 = 1.414213 . . .

Les nombres rationnels peuvent scrire sous forme de nombres dcimaux limits (comme25et 1

8) ou priodiques (comme 2

3et 5

13), contrairement aux nombres irrationnels dont le

dveloppement dcimal est toujours infini et non-priodique (comme2,3 ou aussi

= 3.14159265 . . .).

2.4.3 Notation scientifique

La notation scientifique demande que lon note les nombres non nuls comme ceci : x10navec 1 6 x < 10 (x R) et n Z. En dautres termes, on crit le premier chiffre non nuldu nombre suivi dune virgule et des chiffres suivants, ensuite on calibre le nombre n afindavoir le nombre dsir (placement de la virgule). Le nombre de chiffres crits est appelle nombre de chiffres significatifs. Il est en gnral fix lavance soit par lenseignant,soit par le contexte. Afin de raccourcir lcriture la plupart des calculatrices crivent :

x E n au lieu de x 10n

Exemples :

nombre exactnombre dcimal

arrondinotation

scientifiquenb de chiffressignificatifs

2 2 2 100 112

0.50 5.0 101 22

30.66667 6.6667 101 5

403

13.33 1.333 101 413 3.6056 3.6056 100 5

220 1048576 1.048576 106 7(2)49 5629499534 ? 5.629499534 1014 103100 5153775207 ? 5.1537752 1047 8(13

)1000.0000000 ? 1.940325 1048 7

Comme on le voit la notation scientifique permet de se donner un ordre de grandeur dunombre en question. Plutt superflue dans les premiers exemples, elle est essentielledans les derniers exemples !




2.5 Oprations sur les nombres rels

Le calcul arithmtique consiste prendre des nombres et excuter sur ces derniers desoprations.

Le calcul algbrique consiste manipuler des expressions littrales (cest--dire des expres-sions avec des nombres et des lettres qui reprsentent des nombres). Le calcul algbriqueest pratique et conome : il permet dviter le ttonnement lors de la rsolution de pro-blmes divers et dappliquer des dductions logiques inspires du calcul arithmtique afinde rsoudre ces problmes. De plus, si des donnes sont variables, le calcul algbriquepermet dexprimer les ventuelles solutions en fonction de ces donnes.

La rgle dor est la suivante.

La prsence de lettres dans un calcul ne change rien la faon decalculer. Une lettre ne fait que reprsenter un nombre quelconque !

On peut dcrire les diffrentes rgles de calcul par des expressions algbriques. Parexemple, laddition satisfait la rgle de calcul suivante.

x+ y = y + x

Cela signifie que si x et y sont deux nombres rels quelconques (qui pourraient mme tregaux), alors le calcul de x+ y donne la mme rponse que le calcul de y + x. On parlede la commutativit de laddition.

2.5.1 Addition, neutre additif, oppos et soustraction

Quand on fait des calculs, il faut dfinir des priorits, pour cela on met des parenthsesqui indiquent comment les oprations sont groupes ! Afin dallger les notations les ma-thmaticiens ont nonc des rgles qui permettent dcrire moins de parenthses.

avec toutes les avec le minimum simplification exemple avec

parenthses de parenthses ventuelle x = 2, y = 3 et z = 4

(x+ (y + z)) x+ y + z 2 + 3 + 4 = 9

((x+ y) + z) x+ y + z 2 + 3 + 4 = 9

Le fait que x+ (y + z) = (x+ y) + z est appel associativit de laddition

Si un nombre x, on ajoute le nombre 0, on retrouve x (cest une opration neutre pourladdition). Cest pour cette raison que le nombre 0 sappelle neutre additif.

x+ 0 = x

Si un nombre y satisfait la relation suivante, on dit que y est loppos de x, not x.x+ y = 0 y = x

On peut dmontrer que loppos dun nombre x est unique.

Lorsqu un nombre x on ajoute loppos du nombre y, on obtient une notation un peulourde, qui est x + (y). Cest pour allger cette notation que les mathmaticiens ontdfini une nouvelle opration, appele soustraction, de la manire suivante.

x y dfinition= x+ (y)Sur la calculatrice, les deux symboles (pour loppos ou pour la soustraction) necorrespondent pas la mme touche ; cela illustre la diffrence entre ces deux symboles.




Loppos de (x+ y) est not (x+ y), mais comme on a(x+ y) x y = 0

on peut en dduire que (x+ y) = x y, grce lunicit de loppos.Voici comment on dfinit les priorits avec la soustraction.



(x (y z)) x (y z) x y + z 2 (3 4) = 3((x y) z) x y z 2 3 4 = 5

La soustraction nest donc pas associative

Attention, la soustraction nest pas commutative. Par exemple 2 1 6= 1 2.Voici comment on dfinit les priorits avec laddition et la soustraction.



(x+ (y z)) x+ y z 2 + 3 4 = 1((x+ y) z) x+ y z 2 + 3 4 = 1(x (y + z)) x (y + z) x y z 2 (3 + 4) = 5((x y) + z) x y + z 2 3 + 4 = 3

2.5.2 Multiplication, neutre multiplicatif, inverse et division

La multiplication est dfinie laide de laddition de la faon suivante.

x y = y + y + + y on voit x fois le nombre y

Illustrons cette dfinition sur un exemple : 7 5 = 5+ 5+5+5+5+5+5. Le mot foisest celui de la langue franaise, puisque dans laddition, on voit 7 fois le nombre 5.

On peut ainsi dduire les rgles de distributivit de la multiplication sur laddition.

x (y + z) = x y + x z et (x+ y) z = x z + y zIllustrons ces rgles ainsi :

7 (2 + 3) = 7 2 + 7 3 et (3 + 4) 5 = 3 5 + 4 5

Voici comment on dfinit les priorits avec la multiplication.



(x (y z)) x y z 2 3 4 = 24((x y) z) x y z 2 3 4 = 24

Le fait que x (y z) = (x y) z est appel associativit de la multiplicationDe plus, comme laddition, la multiplication est commutative. Cela signifie que xy = y x.




Voici comment on dfinit les priorits avec laddition et la multiplication.



(x+ (y z)) x+ y z 2 + 3 5 = 17((x+ y) z)) (x+ y) z x z + y z (2 + 3) 5 = 25pour ne pas confondre, on doit laisser les parenthses la deuxime ligne

(x (y + z)) x (y + z) x y + x z 2 (3 + 5) = 16((x y) + z)) x y + z 2 3 + 5 = 11pour ne pas confondre, on doit laisser les parenthses la premire ligne

Si on a une soustraction qui se combine une multiplication, on peut simplement regarderle tableau de priorit de laddition et de la multiplication, et remplacer laddition par lasoustraction.

De la dfinition, on a une vidence : 1 fois x vaut x (cest une opration neutre pour lamultiplication). Cest pour cette raison que le nombre 1 sappelle neutre multiplicatif.

1 x = xSi un nombre y satisfait la relation suivante, on dit que y est linverse de x, not x1

(certaines calculatrices utilisent plutt la notation 1xpour linverse de x (cela dpend du

fabriquant)). On remarque lutilisation du symbole de loppos dans cette notation(car linverse est la multiplication ce que loppos est laddition).

x y = 1 y = x1On peut dmontrer que linverse dun nombre x est unique.

Lorsquun nombre x est multipli par linverse du nombre y, on obtient une notation unpeu lourde, qui est x y1. Cest pour allger cette notation que les mathmaticiens ontdfini une nouvelle opration, appele division, de la manire suivante.

x y dfinition= x y1Avec lautre notation,cette dfinition est compatibleavec la dfinition du produit

x

y= x 1

y

Sur la calculatrice, on a deux symboles diffrents qui ne correspondent pas la mmetouche : x1 ou 1

x pour linverse de x ; pour la division de deux nombres.

Linverse de (x y) est not (x y)1, mais comme on a(x y) x y = 1

on peut en dduire que (x y)1 = x1 y1, grce lunicit de linverse.Avec lautre notation, cela scrit 1

xy =1x 1y.

Voici comment on dfinit les priorits avec la division.



(x (y z)) x (y z) x y z 12 (3 4) = 16((x y) z) x y z 12 3 4 = 1

La division nest donc pas associative

Attention, la division nest pas commutative. Par exemple 3 2 6= 2 3.




Voici comment on dfinit les priorits avec la multiplication et la division.



(x (y z)) x y z 12 3 4 = 9((x y) z) x y z 12 3 4 = 9(x (y z)) x (y z) x y z 12 (3 4) = 1((x y) z) x y z 12 3 4 = 16

Si on a une addition (ou une soustraction) qui se combine une division, on peut sim-plement regarder le tableau de priorit de laddition et de la multiplication et remplacerla multiplication par la division (et laddition par la soustraction).

2.5.3 Rgles concernant les fractions

Lamplification, la simplification et lirrductibilit dune fraction

On a la rgle suivante.a

m=

a nm n

En lisant de gauche droite, on amplifie la fraction. En lisant de droite gauche, onsimplifie la fraction. On dit quune fraction est irrductible si on ne peut pas la simplifier.

Voici 3 fractions qui reprsentent le nombre 0.5. Seule celle de gauche est irrductible.

1

2=

2

4=

3

6

= =

Remarque fondamentale. Un mme nombre peut tre reprsent par plusieurs frac-tions, mais par une seule fraction irrductible.

Utilit du pgcd (plus grand commun diviseur)

On a35

28=

5

4et

65

52=

5

4Pour simplifier une fraction, il est utile de savoir calculer le plus grand commun diviseur(aussi appel le plus grand diviseur commun) du numrateur a et du dnominateur b,que lon note pgcd(a, b).

Ici, on a pgcd(35, 28) = pgcd(5 7, 4 7) = 7 et pgcd(65, 52) = pgcd(5 13, 4 13) = 13.On simplifie les deux fractions par leur pgcd respectif pour arriver 5

4.




Laddition et la soustraction de fractions

Lorsquon dsire additionner ou soustraire deux fractions, il faut respecter le principe

Avant dadditionner ou de soustraire deux fractions, on doitsassurer quelles soient au mme dnominateur ! Si ce nest pasle cas, alors on les met au mme dnominateur en les amplifiant.

On a ensuite les rgles suivantes : ac+b

c=a+ b

c

a

c bc=a bc

Ces rgles sillustrent parfaitement sur lexemple suivant.

1

2+

1

3

amplification=

3

6+

2

6addition=

5

6

+ =

1

2 1

3

amplification=

3

6 2

6

soustraction=

1

6

=

Le point du vue du calcul algbrique

Mme si les calculs peuvent paratre plus abstraits, le principe reste exactement le mme,comme on le voit sur les deux exemples suivants :

a)3

x+ 1 2x 2

ampl.=

3(x 2)(x+ 1)(x 2)

2(x+ 1)

(x 2)(x+ 1)soustr.=

3(x 2) 2(x+ 1)(x+ 1)(x 2)

simpl.=

3x 6 (2x+ 2)(x+ 1)(x 2) =

x 8(x+ 1)(x 2)

b)3

2(x+ 1)+

2

(x+ 1)2ampl.=

3(x+ 1)

2(x+ 1)2+

4

2(x+ 1)2add.=

3(x+ 1) + 4

2(x+ 1)2=

3x+ 7

2(x+ 1)2

Utilit du ppcm (plus petit commun multiple)

Pour mettre des fractions au mme dnominateur, on utilise le plus petit commun multiple(aussi appel le plus petit multiple commun), not ppcm.Exemple de calcul : ppcm(12, 15) = ppcm(3 4, 3 5) = 3 4 5 = 60.




La multiplication de fractions

On va tablir deux rgles qui nous permettrons de dduire la rgle de la multiplicationde deux fractions.

Rgle 1 Cas particulier Moralit du cas particulier

a cb=a cb

a 1b=a

bmultiplier a par 1

brevient diviser a par b

Pour mieux comprendre la rgle 1, on peut contempler la situation ci-dessous.

7 215

=7 215

=14

15

7 =

De la moralit ci-dessus, on en dduit la rgle 2 :1

b cd=

c

b dcar multiplier c

dpar 1

b

revient diviser cdpar b

Pour mieux comprendre la rgle 2, on peut contempler la situation ci-dessous.

1

5 23=

2

5 3 =2

15

1

5 = =

On peut maintenant en dduire la rgle de la multiplication :

a

b cd=a cb d

En effet, on utilise les rgles 1 et 2 pour y arriver :

a

b cd

R1=

(a 1

b

) cd

= a (1

b cd

)R2= a c

b dR1=

a cb d

Remarque. Les rgles 1 et 2 se retrouvent comme cas particuliers de la rgle de lamultiplication. Ainsi, parmi les trois rgles ci-dessus, seule la rgle de la multiplicationmrite dtre apprise.




La division par une fraction

Commenons par montrer que linverse dune fraction est encore une fraction. On appel-lera cette formule, la rgle dinversion :

1dc

=c

d

En effet, grce la rgle de la multiplication, on a :

c

d dc=c dd c = 1

Or, en divisant le membre de gauche et le membre de droite de lgalit ci-dessus par dc,

on trouve lgalit suivante.c

d=

1dc

On peut maintenant dmontrer la rgle de la division :

adc

= a cd

En effet, on utilise la rgle 1 de la page prcdente et la rgle dinversion (RI) :

adc

R1= a 1

dc

RI= a c

d

Exemple de calculs

a)2511

= 2 115

=22

5b)

37511

=3

7 115

=33

35

c)

x+ 1

x+ 3x 2x+ 5

=x+ 1

x+ 3 x+ 5x 2 =

(x+ 1)(x+ 5)

(x+ 3)(x 2)

d)

On ne peut appliquer la rgle de la division que si on a une fraction au dnominateur, ilfaut donc crire la soustraction du dnominateur comme une fraction. Par consquent,on commence par faire cette soustraction en amplifiant les fractions.

x+ 1

x+ 3

1 x 2x+ 5

=

x+ 1

x+ 3x+ 5

x+ 5 x 2x+ 5

=

x+ 1

x+ 3x+ 5 (x 2)

x+ 5

=

x+ 1

x+ 37

x+ 5

=x+ 1

x+ 3 x+ 5

7=

(x+ 1)(x+ 5)

7(x+ 3)




2.5.4 Puissances, bases et exposants

Afin de se rendre la vie plus agrable, les mathmaticiens ont invent une notation quipermet de simplifier lcriture.

a a . . . a a apparat n fois

= an

Quand on lit an, on dit a lev la puissance n ou plus rapidement a puissance n.Le symbole n est appel la puissance (ou lexposant) et le symbole a est appel la base.On en dduit immdiatement les rgles suivantes :

am an = a a . . . a a apparat m fois

a a . . . a a apparat n fois

a apparat m+ n fois

= am+n

(am)n = am am . . . am am apparat n fois

= a a . . . a a apparat m fois

a a . . . a a apparat m fois

. . . a a . . . a a apparat m fois

a apparat m n fois

= amn

On a donc tabli les formules suivantes :

am an = am+n (am)n = amn pour tout m, n > 1 et a R

2.5.5 Les identits remarquables

Les identits remarquables sont des formules quil est bon de reconnatre en toute cir-constance. Les voici :

a2 + 2ab+ b2 = (a+ b)2 a2 b2 = (a + b)(a b)

Ces identits se lisent dans les deux sens (comme toute galit). Il est facile de lesretrouver en dveloppant le terme de droite. Par contre, il est important de bien lesconnatre afin de pouvoir les reconnatre lorsque seul le terme de gauche est prsent.

Lidentit (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 montre que lon doit faire extrmement attentionlorsquon lve une somme au carr. Do le slogan :

Lorsquon lve une somme au carr, des doubles produits apparaissent

Vision gomtrique

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2 (a+ b)(a b) = a2 b2

a b

ab

a2

b2ab

ab

a+ b

ab

bb

(a+ b)(a b)

b2

b2

a b

ab

a2

b2

b2




2.5.6 Les racines n-imes

Il peut arriver quon ait besoin de trouver un nombre x qui lev la puissance n donneun nombre a. Autrement dit, on cherche le ou les nombres rels x (sils existent) quisatisfont la condition

xn = a

Ce ou ces nombres, lorsquils existent, sont appels racines n-imes de a.

On est ainsi face deux soucis mathmatiques : lexistence et lunicit de ces nombres x.On distingue ainsi plusieurs cas :

1. Si a est nul.

Alors 1 seul 0 satisfait la condition xn = 0. Ainsi 0 est la seule racine n-ime de 0.On note x = n

0 = 0.

2. Si n est impair (et si a est non nul).

Alors1 il existe un seul nombre x rel qui satisfait la condition xn = a. Comme ilest unique, on parle de la racine n-ime de a que lon note x = n

a.

3. Si n est pair et que a est positif.

Alors1 il existe deux nombres qui satisfont la condition xn = a : un de ces nombresest positif, lautre est ngatif. On dfinit la racine n-ime de a comme tant lasolution positive que lon note n

a, lautre solution est ainsi note na.

4. Si n est pair et que a est ngatif.

Alors1 aucun nombre ne satisfait la condition xn = a. Dans ce cas na nexiste pas.

Exemples

1.0 = 0 (car 02 = 0).

2. 38 = 2 (car 2 est solution de x3 = 8 puisque 23 = 8).

38 = 2 (car 2 est solution de x3 = 8 puisque (2)3 = 8).

3.4 = 2 (car 2 et 2 sont les deux solutions de x2 = 4 et 2 est la solution positive).

4.1 na pas de sens parce quil nexiste pas de nombre rel x qui satisfait x2 = 1.

2.5.7 Extension de la notion dexposants

Pour linstant, on ne sait calculer an que lorsque n N \ {0}. On va tendre ce calculpour toutes les puissances relles (n R), en conservant les deux formules suivantes.

am an = am+n (am)n = amn pour tout m, n > 1 et a R

On va donc dfinir aq

pour q Q laide desrgles ci-contre.

a0 = 1 an =1

ananm =

an

amamn = n

am= nam

si mn

est rduite et si

chacun de ces termes existe

1. Ces affirmations sont videntes pour le lecteur qui sait rsoudre graphiquement une quation etesquisser les graphes des fonctions xn (il en sera dautant plus laise sil utilise des arguments sur laparit des fonction xn).




Extension la puissance nulle

On veut dfinir a0 en conservant la formule am an = am+n. En posant m = 0 dans cetteformule, elle devient a0 an = an. Limplication ci-dessous nous montre que a0 = 1.

a0 an = an :an= a0 = 1

Extension aux puissances ngatives

Maintenant que a0 est dfini, on peut dfinir an (pour n N) en conservant la formuleam an = am+n. En posant m = n dans cette formule, elle devient an an = a0 = 1.Limplication ci-dessous nous montre que an = 1

an.

an an = 1 :an= an = 1an

Extension aux puissances rationnelles (premire partie)

Commenons par dfinir a1n en conservant la formule (am)n = amn. En posant m = 1

n

dans cette formule, elle devient (a1n )n = a. Ainsi, x = a

1n satisfait la condition xn = a,

tout comme cest le cas pour x = na (voir page 27). On va donc dfinir a

1n comme tant

la racine n-ime de a, cest--dire a1n = n

a. Rappelons que cette racine n-ime nexiste

pas lorsque a < 0 et que n est pair.

Extension aux puissances rationnelles (deuxime partie)

Si mnest une fraction irrductible, on dfinit a

mn en conservant la formule (am)n = amn.

En utilisant cette formule de droite gauche, on obtient :

amn = a

1nm formule= (a

1n )m

1re partie= n

am

Remarquons que lon a nam= nam lorsque chacune de ces expressions existe. En effet

amn = am

1n

formule= (am)

1n

1re partie= n

am

Dans le cas dune fraction irrductible, les deux critures nam ou n

am existent (ou

nexistent pas) simultanment.

Remarquons que si1 2 nexiste pas,(1)2 vaut 1, et nest donc pas gal (1) 22 qui

devrait valoir (1)1 = 1. Ainsi, si une puissance est sous forme de fraction rductible,il faut dabord la rduire avant dappliquer les formules.

*Extension aux puissances irrationnelles

Ce passage est extrmement dlicat car on na pas dfini les nombres rels de manireformelle 2. On va donc se contenter dexpliquer comment trouver une bonne approxima-tion de ax avec x R \Q. Pour cela, on prend une fraction q qui est proche du nombrex et on calcule aq. Ce nest pas facile, mais on peut montrer que plus la fraction q estproche de x, plus aq est proche de ax.

Par exemple, pour calculer 32, on peut estimer

2 par la fraction 22

61953715994428 (cette ap-

proximation permet de tromper les calculatrices les plus avances) et on calcule 32261953715994428 .

Cela revient calculer la racine 15994428-ime de 322619537. On trouve ainsi lapproxima-tion quatre chiffres significatifs 3

2 = 4.729.

2. On peut dfinir les nombres rels comme espace quotient o la relation dquivalence utilise lessuites de Cauchy.




2.5.8 Les logarithmes

Dvelopps par lcossais John Napier au XVIIe sicle, les logarithmes permettent de trou-ver une puissance x laquelle on lve une base a pour trouver un nombre b. Autrementdit, on cherche le ou les nombres rels x (sils existent) qui satisfont la condition

ax = b

Le mot logarithme est driv des mots grecs logos (parole, discours) et arithmos (nombre).

On peut montrer que si on vite les cas particuliers inintressants a = 0 ou a = 1,alors, sil existe, le nombre x qui satisfait la condition ax = b est unique. On peut ainsilui donner un nom : il sagit du logarithme en base a de b que lon note x = loga(b).

On a ainsi lquivalence : ax = b x = loga(b) (pour autant que loga(b) existe)Do le slogan du logarithme (cest le discours sur les nombres quil faut tenir) :

loga(b) est la puissance laquelle on lve la base a pour obtenir le nombre b

Sur la calculatrice, on trouve la touche LOG , qui correspond au logarithme en base 10.La formule de changement de base suivante est utile pour calculer des logarithmes.

loga(x) =log10(x)

log10(a)

Exemples

a) log2(8) = 3 (car 23 = 8). b) log3(1) = 0 (car 3

0 = 1).

c) log4(14) = 1 (car 41 = 1

4). d) log5(

125) = 2 (car 52 = 1

25).

e) On peut estimer que log2(20) se situe entre 4 et 5 (car 24 = 16 et 25 = 32),

mais si on veut une valeur plus prcise, on peut utiliser le changementde base ci-dessus et la calculatrice. On trouve ( 5 chiffres significatifs) :

log2(20) =log10(20)

log10(2)= 4.3219

f) log2(8) = 3 (car (2)3 = 8), pourtant log2(8) et log2(8) nexistent pas.

2.5.9 Analogies entre les diverses oprations

Voici un rsum des formules importantes. Mme si ces formules paraissent analogues,elles sont nanmoins diffrentes. Il est important de ne pas confondre ces formules !Les formules concernant les logarithmes seront tablies la fin de la premire anne.

Multiplication Puissance Logarithme

a+ a+ . . .+ a a apparat n fois

= a n a a . . . a a apparat n fois

= an ax = b x = loga(b)

a m+ a n = a (m+ n) am an = am+n loga(m) + loga(n) = loga(m n)a m a n = a (m n) am/an = amn loga(m) loga(n) = loga(m/n)(a m) n = a (m n) (am)n = amn loga(mn) = n loga(m)




2.5.10 La rgle des signes

Lorsquon a une multiplication ou une division entre deux nombres, la rgle des signessapplique.

nombremultiplicationou division

nombre nombre phrase mnmotechnique

+ + + les amis de mes amis sont mes amis+ les amis de mes ennemis sont mes ennemis + les ennemis de mes amis sont mes ennemis + les ennemis de mes ennemis sont mes amis

En Allemand, les ngations suivent une rgle semblable.

2.5.11 Valeur absolue et distance

La valeur absolue, note |a|, est dfinie comme suit.

|a| =a2 ou |a| =

{a si a > 0

a si a < 0Rappel : si a est ngatif, alors a est positif.

La valeur absolue dun nombre permet de mesurer la distance sur la droite relle de cenombre par rapport lorigine, qui est le nombre 0.

R4 3 2 1 0 1 2 3 4

Par exemple, les valeurs absolues de 3 et de 3 sont les mmes, car ces nombres sont distance 3 de 0. Autrement dit : |3| = |3| = 3.Elle permet aussi de calculer la distance entre deux nombres x et y, qui est |x y|.Par exemple, la distance sur laxe rel entre 2 et 3 vaut

|(2) 3| = 5

2.5.12 Un peu de vocabulaire : simplifier, dvelopper, factoriser

Dfinitions

Il y a tout de mme quelques termes techniques quil faut connatre comme :

Simplifier Sarranger pour que lexpression littrale soit la plus simple possible.Par exemple, on simplifie lexpression x+ x+ x pour obtenir 3x.

Dvelopper Sarranger pour remplacer un produit par une somme.Par exemple, on crit le produit x(y + 1) en la somme xy + x.

Factoriser Cest lopration inverse de dvelopper. On sarrange pour avoir unproduit la place dune somme.Par exemple, on crit la somme xy + x en le produit x(y + 1).


Chapitre 3

Sommes, sries arithmtiques etgomtriques

3.1 Le symbole somme

Ce symbole permet dcrire de grandes sommes sans utiliser les points de suspension. Parexemple, on crit

1 + 2 + + n =n

k=1

k

Cela permet davoir des expressions plus prcises (il pourrait y avoir nimporte quoi laplace des points de suspension) et plus condenses.

Soit n1, n2 deux nombres entiers et des nombres rels ak (n1 6 k 6 n2), on noten2

k=n1

ak = an1 + an1+1 + + an21 + an2

Dans cette expression mathmatique, lindice k de la somme permet de dcrire commenton additionne les lments. Le nombre n1 est la valeur de dpart de lindice et le nombre n2celle darrive. Lindice k prend toutes les valeurs entires entre n1 et n2 y compris.

Lorsquon dveloppe une somme, son indice disparat !

Proprits du symbole somme

Soit n1, n2, n3 trois nombres entiers tels que n1 6 n2 < n3, des nombres rels ak, bk(n1 6 k 6 n3) et R. Il y a trois proprits fondamentales :

Proprits Justification rapide

(P1)n2

k=n1

ak +

n3k=n2+1

ak =

n3k=n1

akLaddition de deux sommes estencore une somme.

(P2)n2

k=n1

ak +

n2k=n1

bk =

n2k=n1

(ak + bk

)On peut permuter les lmentsdune somme : a + b = b+ a

(P3) n2

k=n1

ak =

n2k=n1

(ak

) On peut distribuer la multipli-cation sur laddition :

a(b+ c) = ab+ ac

31



3.2 Sries arithmtiques

Une histoire sur Gauss (clbre mathmaticien allemand, 1777-1855)

On raconte que lorsque Gauss tait lve, un de ses professeurs de mathmatiques lui ainflig comme punition le calcul de la somme 1+2+3+4+5+ +1000. Gauss trouvla rponse en quelques minutes grce lastuce dcrite ci-dessous.

S = 1 + 2 + 3 + + 998 + 999 + 1000+ S = 1000 + 999 + 998 + + 3 + 2 + 1

2S = 1001 + 1001 + 1001 + + 1001 + 1001 + 1001

Puisque le terme 1001 apparat 1000 fois dans la somme 2S, on obtient :

2S = 1000 1001 S = 1000 10012

= 500500

Dfinition

Une srie arithmtique est une somme finie de termes

a1

+ry

+ a2

+ry

+ a3

+ry

+ +ry

+ an

pour laquelle il existe un nombre r, r 6= 0, appel raison, qui satisfait ak+1 = ak + r .

Exemples

a) 1+1y

+ 2+1y

+ 3+1y

+ 4+1y

+ 5+1y

+ 6+1y

+ 7+1y

+ 8+1y

+ 9+1y

+ 10

b) 1+2y

+ 3+2y

+ 5+2y

+ 7+2y

+ 9+2y

+ 11+2y

+ 13+2y

+ 15+2y

+ 17+2y

+ 19

c) 2+2y

+ 4+2y

+ 6+2y

+ 8+2y

+ 10+2y

+ 12+2y

+ 14+2y

+ 16+2y

+ 18+2y

+ 20+2y

+ 22+2y

+ 24+2y

+ 26+2y

+ 28+2y

+ 30

d) 1205y

+ 1155y

+ 1105y

+ 1055y

+ 1005y

+ 955y

+ 905y

+ 855y

+ 805y

+ 755y

+ 705y

+ 65

criture avec le symbole somme

Dans le cas dune srie arithmtique, on a :

a1

+ry

+ a2

+ry

+ a3

+ry

+ +ry

+ an =n1k=0

(a1 + k r)

Thorme

Si a1 + a2 + + an1 + an est une srie arithmtique de raison r. Alors, on a :

a1 + a2 + + an1 + an = n a1 + an2

Autrement dit, la valeur de la srie est gale au nombre de termes de la somme multiplipar la moyenne du premier terme et du dernier terme.




Preuve

On note S = a1 + a2 + a3 + + an1 + an. On peut utiliser lastuce invente par Gaussdont on a parl au dbut de cette section. Cette astuce consiste crire la somme S unefois normalement et une fois inverse, puis examiner la somme verticale (voir tableauci-dessous) :

S = a1 + a2 + a3 + + an1 + an+ S = an + an1 + an2 + + a2 + a1

2S = a1 + an + a2 + an1 + a3 + an2 + + an1 + a2 + an + a1

Or, comme S est une srie arithmtique, on trouve grce la proprit ak+1 = ak + rque :

a1 + an = a2 + an1 = a3 + an2 = = an1 + a2 = an + a1

En effet, comme a2 = a1 + r et que an1 = an r (car an = an1 + r), on a bien :a2 + an1 = a1 + r + an r = a1 + an

De mme, puisque a3 = a2 + r et que an2 = an1 r (car an1 = an2 + r), on a aussi :a3 + an2 = a2 + r + an1 r = a2 + an1 = a1 + an

et ainsi de suite. . .

Donc :

2S = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + + (a1 + an) + (a1 + an) n fois

= n (a1 + an)

Ainsi :S = n a1 + an

2

Application du thorme aux exemples prcdents

a) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 10 termes

= 10 1 + 102

= 55

b) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 10 termes

= 10 1 + 192

= 100

c) 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 22 + 24 + 26 + 28 + 30 15 termes

= 15 2 + 302

= 240

d) 120 + 115 + 110 + 105 + 100 + 95 + 90 + 85 + 80 + 75 + 70 + 65 12 termes

= 12 120 + 652

= 1110




3.3 Sries gomtriques

Les rentes

Un gnreux donateur a dcid de verser 100 CHF sur votre compte en banque tous lespremiers janvier de 2001 2050. En supposant que le taux dintrts de 1% est constantjusquen 2050 et que personne na retir dargent sur ce compte, on peut dterminer lecapital en date du premier janvier 2050 en capitalisant chacun des versements laide dela formule de capitalisation des intrts composs Cn = C0(1 + i)n (voir page 36).

C2050 = 100versementdat du01.2050

+ 100(1.01) versementdat du01.2049

+100(1.01)2 versementdat du01.2048


+ + 100(1.01)48 versementdat du01.2002


50 termes (1 par an)

= 100(1 + 1.01 + 1.012 + 1.013 + + 1.0148 + 1.0149)

srie gomtrique

Mme si la rponse peut tre calcule la main (en additionnant les 50 termes, on trouveC2050 = 6446.30 CHF (arrondi 5 centimes prs)), il serait bien davoir une formulepermettant de calculer cette srie gomtrique sans devoir additionner ces 50 termes.

Dfinition

Une srie gomtrique est une somme finie de termes

a1

ry

+ a2

ry

+ a3

ry

+ ry

+ an

pour laquelle il existe un nombre r, r 6= 1, appel raison, qui satisfait ak+1 = ak r .Quitte effectuer une mise en vidence de a1 comme dans lexemple ci-dessus, on peuttoujours crire :

a1

ry

+ a2

ry

+ a3

ry

+ ry

+ an = a1 (1ry

+ rry

+ r2ry

+ r3ry

+ ry

+ rn2ry

+ rn1)

Exemples

a) 12y

+ 22y

+ 42y

+ 82y

+ 162y

+ 322y

+ 642y

+ 1282y

+ 2562y

+ 512

b) 1 12y

+ 12

12y

+ 14

12y

+ 18

12y

+ 116

12y

+ 132

12y

+ 164

12y

+ 1128

12y

+ 1256

12y

+ 1512

12y

+ 11024

12y

+ 12048

c) 11.1y

+ 1.11.1y

+ 1.121.1y

+ 1.131.1y

+ 1.141.1y

+ 1.151.1y

+ 1.161.1y

+ 1.171.1y

+ 1.181.1y

+ 1.191.1y

+ 1.1101.1y

+ 1.111

d) 123y

+ 363y

+ 1083y

+ 3243y

+ 9723y

+ 29163y

+ 87483y

+ 262443y

+ 787323y

+ 236196

criture avec le symbole somme

Dans le cas dune srie gomtrique, on a :

a1

ry

+ a2

ry

+ a3

ry

+ ry

+ an =

n1k=0

(a1 rk) = a1 n1k=0

rk




Thorme

La formule permettant de calculer une srie gomtrique de raison r et dont le premierterme vaut 1 est :

n1k=0

rk = 1 + r + r2 + r3 + + rn2 + rn1 = rn 1r 1

(=

1 rn1 r

)

Remarquons que n est le nombre de termes de cette srie.

Preuve

On a en distribuant :(1 + r + r2 + r3 + + rn2 + rn1)(r 1)= r + r2 + r3 + r4 + + rn1 + rn

1 r r2 r3 r4 rn1

= rn 1

On a ainsi montr que :(1 + r + r2 + r3 + + rn2 + rn1)(r 1) = rn 1

Par consquent en divisant de chaque ct par (r1) on obtient la formule nonce dansle thorme.

Application du thorme aux exemples prcdents

a) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 10 termes

=210 12 1 = 1023

b) 1 +1

2+

1

4+

1

8+

1

16+

1

32+

1

64+

1

128+

1

256+

1

512+

1

1024+

1

2048 12 termes

=

(12

)12 112 1

=4095

2048= 1.9995

c) 1 + 1.1 + 1.12 + 1.13 + 1.14 + 1.15 + 1.16 + 1.17 + 1.18 + 1.19 + 1.110 + 1.111 12 termes

=1.112 11.1 1

= 21.3843

d) 12 + 36 + 108 + 324 + 972 + 2916 + 8748 + 26244 + 78732 + 236196 10 termes

= 12 (1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2187 + 6561 + 19683) = 12 310 13 1

= 354288




3.4 Application : calculs dintrts et capitalisation

Toute la difficult de cette section consiste bien comprendre comment on peut dpla-cer un capital dans le temps. Lorsquon dplace un capital en direction du futur, onle capitalise. Si on dplace un capital en direction du pass, on lactualise. Lorsquau-cune contrainte spcifique nest prcise, on simaginera toujours disposer dun capital enlanne zro. Dans ce cas, on peut visualiser lactualisation et la capitalisation.

temps [anne]

capitalisationactualisation

4 3 2 1 0 1 2 3 4

3.4.1 Capitalisation

Notons Cn le capital lanne n et t le taux dintrt (effectif) annuel (suppos constant).

Intrts simples

Lorsquon capitalise un capital initial C0 selon la mthode des intrts simples, on ajoute C0 la proportion dintrt correspondante.

Cn = C0 + C0 t n donc Cn = C0(1 + t n)Cette formule est valable pour tout n > 0 (on peut parler de demi-anne,...).

Intrts composs

On calcule les intrts anne par anne, en les ajoutant au capital. Ainsi, chaque anne,le montant sur lequel les intrts sont calculs change !

C1 = C0 + C0 t = C0(1 + t)C2 = C1 + C1 t = C1(1 + t) = C0(1 + t)2C3 = C2 + C2 t = C2(1 + t) = C0(1 + t)3C4 = C3 + C3 t = C3(1 + t) = C0(1 + t)4...

Cn = C0(1 + t)n

On a donc dmontr que cette formule est valable lorsque n N. Mais, elle est valablepour tout nombre n rel (mme si on ne dmontrera pas) !

Exemple

On place 1000 CHF 5% pendant 40 ans.

1. Le capital final aprs les 40 ans si on applique la mthode des intrts simples estdonn par

C40 = C0(1 + t 40) = 1000(1 + 0.05 40) = 1000 3 = 3000 CHF




2. Le capital final aprs les 40 ans si on applique la mthode des intrts composs estdonn par

C40 = C0(1 + t)40 = 1000(1 + 0.05)40 = 1000 7.03999 = 7040.00 CHF

Cela fait environ 4040 CHF de plus quavec la mthode des intrts simples !

3. Si on dessine les capitaux obtenus tous les deux ans pour des intrts simples etcomposs (la priode de placement reste lanne). On obtient le graphe suivant.

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40ans

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

On voit que pour les intrts simples, la courbe est une droite, tandis que pour lesintrts composs, il sagit dune courbe exponentielle !

Taux priodique (ou proportionnel ou relatif)

On peut dsirer composer des intrts m fois dans lanne selon des priodes gales(de longueur 1

m). Pour cela, on introduit la notion dun taux dintrt priodique (ou

proportionnel ou relatif), not tm.

Par exemple t2 correspond un taux semestriel, t4 un un taux trimestriel, t12 un tauxmensuel et t360 un taux journalier, car en conomie, il y a 360 jours par an.

On fixe ce taux de manire ce que la capitalisation revienne au mme que si celaavait t sur des priodes dune anne avec le taux dintrt (effectif) annuel. En termesmathmatiques, en regardant comment on calcule le capital aprs une anne, on trouvela condition suivante qui relie le taux (effectif) annuel avec le taux priodique.

C1 = C0(1 + t) = C0 (1 + tm)m donc (1 + t) = (1 + tm)

m

(1 + t) 1m = (1 + tm)

Exemple Si le taux dintrt annuel est de 3% pour un placement mensuel, alors letaux priodique est de t12 = (1 + 0.03)

112 1 = 0.247%. On remarque que ce taux nest

pas gal 3% divis par 12, qui ferait 0.25% !




3.4.2 Actualisation

Il sagit cette fois daller dans le pass, en se demandant, par exemple, quel investisse-ment C0 on doit placer, un taux dintrt annuel t, pour obtenir aprs n anne uncapital Cn. Les formules sont les mmes que pour la capitalisation, si ce nest que main-tenant ce nest pas C0 qui est donn, mais Cn !

Exemple Si on souhaite avoir 50000 CHF dans 20 ans sur un compte en banque untaux de 2%, on doit placer

C0 = C20 1(1 + t)20

= 50000 (1 + 0.02)20 = 50000 0.67297 = 33648.60 CHF

3.4.3 quivalence de capitaux et chance moyenne

Dfinition

Deux capitaux sont dit quivalents sils sont gaux au mme instant.

Exemples

1. Si on suppose que le taux dintrt est constant 5%, alors 1000 CHF le premierjanvier 2007 sont quivalents 1050 CHF le premier janvier 2008.

En effet, une anne aprs, les 1000 CHF sont devenus 1000 (1.05)1 = 1050 CHF.2. Verser 5000 CHF aujourdhui sur un compte bancaire dintrts constants 2% est

quivalent avoir vers 4528.65 CHF il y a 5 ans.

En effet, on a 5000 (1.02)5 = 4528.65 CHF ou 4528.65 (1.02)5 = 5000 CHF.

Dfinition

Lchance moyenne est lunique date laquelle plusieurs capitaux chants diffrentesdates sont rgls par un seul paiement quivalent la somme de tous ces capitaux.

Exemple

Imaginons que lon ait achet 2 produits. Le premier a t achet le premier juin 2006,il cotait alors 1500 CHF. Quant au deuxime, il a t command et il cotera 2500CHF le jour de sa livraison le premier juin 2007. Pour ces deux achats, on considre quele taux dintrts est de 1%.

Lchance moyenne correspond la date o la somme des achats, qui vaut 4000 CHF,sera quivalente aux deux paiements. Cette chance correspond au 16 janvier 2007 (au-trement dit 7 mois et 15 jours aprs le premier juin 2006).

En effet, on commence par dplacer les deux valeurs au premier juin 2006 (on pourraitles dplacer nimporte quelle date), la valeur totale vaut ainsi :

1500 + 2500 (1.01)1 = 3975.25On cherche dans combien dannes n ces 3975.25 CHF valent 1500+2500 = 4000 CHF.

3975.25 (1.01)n = 4000 (1.01)n = 40003975.25

n = log1.01( 40003975.25) = 0.6238 ansAinsi n = 0.6238 360 = 224.6 jours, ce qui fait environ 7 mois et 15 jours.


Chapitre 4

quations polynomiales

Dfinitions

1. Une quation est une galit entre deux expressions mathmatiques qui contiennentdes variables, des lettres (reprsentant des valeurs fixes) et des nombres.

2. Une variable est une grandeur a priori inconnue. Par dfaut, elle vit dans R.

3. Une quation est rsolue lorsquon a trouv toutes les valeurs, qui mises la placedes variables correspondantes rendent la proposition (donne par lquation) vraie.

4. Lensemble de ces valeurs est appel lensemble de solutions, gnralement not S.

5. Une premire quation implique une deuxime quation, lorsque les solutions de lapremire sont aussi solutions de la deuxime. Mais, il est possible quil y ait plusde solutions dans la deuxime que dans la premire.Par exemple

x = 2 x2 = 4 , mais x2 = 4 6 x = 26. Deux quations sont dites quivalentes si lensemble des solutions de chaque qua-

tion est le mme.Par exemple

|x| = 2 x2 = 4

Au dbut, on ne va travailler quavec des quations une variable, note x.

Quelques types dquations

1. Les quations du premier degr sont de la forme

ax+ b = 0 avec a, b R et a 6= 0

2. Les quations du deuxime degr sont de la forme

ax2 + bx+ c = 0 avec a, b, c R et a 6= 0

3. Les quations de degr n avec n N, n > 3 sont de la formeanx

n + an1xn1 + + a1x+ a0 = 0 avec ak R et an 6= 0

4. Les quations du deuxime degr camoufles sont de la forme

a y(x)2 + b y(x) + c = 0 avec a, b, c R, a 6= 0, y(x) dpend de x

39



4.1 Rsolution des quations du premier degr

Dans ce cas, la mthode la plus utilise pour rsoudre une telle quation consiste trouverune quation quivalente pour laquelle la variable est isole dun ct de lgalit. Dans cebut, on effectue une succession doprations rversibles de chaque ct de lgalitde lquation.

Par exemple

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