LA LOI DE POISSON

Dernière modification le jeudi 30 octobre, 2003

C'est la loi des petites probabiités ou loi des événements rares( c'est-à-dire des événements avec une probabilité faible) et sans mémoire, dans un intervalle de temps donné par exemple :

Le nombre d'atomes désintégrés par unité de temps Le nombre de chèques émis sans provision

Le nombre de fautes d'impression dans les pages d'un livre

Le nombre de personnes atteintes d'une maladie

Le nombre d'accidents sur une portion de route

Le nombre d'accidents annuels provoqués par un automobiliste assuré

Le nombre de décès par suicide

Le nombre de déchets dans une fabrication

...

Le nombre moyen de ces apparitions s'appelle le paramètre de cette loi qui est une approximation de la loi binomiale B(n, p) lorsque : n est grand (n > = 50 ) et p petit (p <= 0,1 ) et = np <= 15

a) DéfinitionUne variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre l > 0 lorsque les valeurs de X sont les entiers naturels k et que P([X=k]) = e- k /k!

b) Propriétés

P1 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre> 0 alors E(X) =

P2 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0 alors var(X) =

P3 - Si X1 suit une loi de Poisson de paramètre 1 > 0       Si X2 suit une loi de Poisson de paramètre 2 > 0      Si X1 et X2 sont indépendantes      alorsX1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre 1 + 2

CORRIGES DES EXERCICES SUR LA LOI DE POISSON

Dernière modification le jeudi 6 février, 2003

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a) DéfinitionUne variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre l > 0 lorsque les valeurs de X sont les entiers naturels k et que P([X=k]) = e- k /k!

b) Propriétés

P1 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre> 0 alors E(X) =

P2 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0 alors var(X) =

P3 - Si X1 suit une loi de Poisson de paramètre 1 > 0       Si X2 suit une loi de Poisson de paramètre 2 > 0      Si X1 et X2 sont indépendantes      alorsX1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre 1 + 2

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a) DéfinitionUne variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre l > 0 lorsque les valeurs de X sont les entiers naturels k et que P([X=k]) = e- k /k!

b) Propriétés

P1 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre> 0 alors E(X) =

P2 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0 alors var(X) =

P3 - Si X1 suit une loi de Poisson de paramètre 1 > 0       Si X2 suit une loi de Poisson de paramètre 2 > 0      Si X1 et X2 sont indépendantes      alorsX1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre 1 + 2

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a) DéfinitionUne variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre l > 0 lorsque les valeurs de X sont les entiers naturels k et que P([X=k]) = e- k /k!

b) Propriétés

P1 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre> 0 alors E(X) =

P2 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0 alors var(X) =

P3 - Si X1 suit une loi de Poisson de paramètre 1 > 0       Si X2 suit une loi de Poisson de paramètre 2 > 0      Si X1 et X2 sont indépendantes      alorsX1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre 1 + 2

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a) DéfinitionUne variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre l > 0 lorsque les valeurs de X sont les entiers naturels k et que P([X=k]) = e- k /k!

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a) DéfinitionUne variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre l > 0 lorsque les valeurs de X sont les entiers naturels k et que P([X=k]) = e- k /k!

b) Propriétés

P1 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre> 0 alors E(X) =

P2 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0 alors var(X) =

P3 - Si X1 suit une loi de Poisson de paramètre 1 > 0       Si X2 suit une loi de Poisson de paramètre 2 > 0      Si X1 et X2 sont indépendantes      alorsX1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre 1 + 2

b) Propriétés

P1 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre> 0 alors E(X) =

P2 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0 alors var(X) =

P3 - Si X1 suit une loi de Poisson de paramètre 1 > 0       Si X2 suit une loi de Poisson de paramètre 2 > 0

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a) DéfinitionUne variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre l > 0 lorsque les valeurs de X sont les entiers naturels k et que P([X=k]) = e- k /k!

b) Propriétés

P1 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre> 0 alors E(X) =

P2 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0 alors var(X) =

P3 - Si X1 suit une loi de Poisson de paramètre 1 > 0       Si X2 suit une loi de Poisson de paramètre 2 > 0      Si X1 et X2 sont indépendantes      alorsX1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre 1 + 2

      Si X1 et X2 sont indépendantes      alorsX1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre 1 + 2

P4 - P([X=k]) / P([X=k + 1 ] = k + 1 /       donc l'application k ----- > P([X = k]) croît quand k + 1 < puis décroît dès que k >       donc si non entier , P((X = k]) est maximale pour k = la partie entière de       si est entier, P([X = k ]) est maximale pour 2 valeurs de k : k = - 1 et k

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a) DéfinitionUne variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre l > 0 lorsque les valeurs de X sont les entiers naturels k et que P([X=k]) = e- k /k!

b) Propriétés

P1 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre> 0 alors E(X) =

P2 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0 alors var(X) =

P3 - Si X1 suit une loi de Poisson de paramètre 1 > 0       Si X2 suit une loi de Poisson de paramètre 2 > 0      Si X1 et X2 sont indépendantes      alorsX1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre 1 + 2

=

c) Usage d'une table d'une loi de Poisson

Pour traiter des exercices portant sur la loi de Poisson, il faut disposer :

soit utiliser une calculatrice pour déterminer P([X=k]) soit disposer de tables de la loi de Poisson qui proposent pour

certaines valeurs de soit les valeurs de P([X=k]), soit les valeurs des probabilités cumulées

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a) DéfinitionUne variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre l > 0 lorsque les valeurs de X sont les entiers naturels k et que P([X=k]) = e- k /k!

b) Propriétés

P1 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre> 0 alors E(X) =

P2 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0 alors var(X) =

P3 - Si X1 suit une loi de Poisson de paramètre 1 > 0       Si X2 suit une loi de Poisson de paramètre 2 > 0      Si X1 et X2 sont indépendantes      alorsX1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre 1 + 2

Fx(k) = P((X <= k)]En cliquant sur la souris ci-dessous,

vous pouvez avoir accès à un site proposant les différentes valeurs de cette table.

Les tables ne dépassent pas= 15 car si > 15 les probabilités P([X=k]) deviennent vite très faibles alors on approxime la loi de Poisson par la loi

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a) DéfinitionUne variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre l > 0 lorsque les valeurs de X sont les entiers naturels k et que P([X=k]) = e- k /k!

b) Propriétés

P1 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre> 0 alors E(X) =

P2 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0 alors var(X) =

P3 - Si X1 suit une loi de Poisson de paramètre 1 > 0       Si X2 suit une loi de Poisson de paramètre 2 > 0      Si X1 et X2 sont indépendantes      alorsX1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre 1 + 2

normale N(,racine carrée())

d) Exercices

Exercice 1Un magasin reçoit 3 réclamations en moyenne par jour. Supposant poissonnienne la loi de survenance de ces réclamations, calculer la probabilité pour que le premier lundi du mois prochain soient enregistrées :a) 0 réclamationb) 2 réclamations

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a) DéfinitionUne variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre l > 0 lorsque les valeurs de X sont les entiers naturels k et que P([X=k]) = e- k /k!

b) Propriétés

P1 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre> 0 alors E(X) =

P2 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0 alors var(X) =

P3 - Si X1 suit une loi de Poisson de paramètre 1 > 0       Si X2 suit une loi de Poisson de paramètre 2 > 0      Si X1 et X2 sont indépendantes      alorsX1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre 1 + 2

c) plus de 4 réclamations

Exercice 2La probabilité pour une ampoule électrique de claquer à son premier allumage est de 0,01. On supposant poissonnienne cette loi à cet âge. Sur un groupe de 100 ampoules, quelle est la probabilité d'observer :a) 0 claquageb) 1 claquagec) plus de 2 claquages

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a) DéfinitionUne variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre l > 0 lorsque les valeurs de X sont les entiers naturels k et que P([X=k]) = e- k /k!

b) Propriétés

P1 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre> 0 alors E(X) =

P2 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0 alors var(X) =

P3 - Si X1 suit une loi de Poisson de paramètre 1 > 0       Si X2 suit une loi de Poisson de paramètre 2 > 0      Si X1 et X2 sont indépendantes      alorsX1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre 1 + 2

Exercice 3Un standard téléphonique reçoit en moyenne 0,7 appel à la minute. Quelle est la probabilité pour que, entre 09 h 59 et 10 h, il recoive : a) 0 appelb) 1 appelc) plus d'un appel

Exercice 4Sur une autoroute, il y a en moyenne un accident par semaine. Une semaine, il y en a 4.

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a) DéfinitionUne variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre l > 0 lorsque les valeurs de X sont les entiers naturels k et que P([X=k]) = e- k /k!

b) Propriétés

P1 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre> 0 alors E(X) =

P2 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0 alors var(X) =

P3 - Si X1 suit une loi de Poisson de paramètre 1 > 0       Si X2 suit une loi de Poisson de paramètre 2 > 0      Si X1 et X2 sont indépendantes      alorsX1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre 1 + 2

Quelle est la probabilité de cet événement ?

Exercice 5Le statisticien anglais Clarke a divisé Londres en 576 rectangles et compté les chutes de bombes dans ces rectangles durant la 2ème guerre mondiale 1939-1945.Il a trouvé :

Nombre de bombes 0 1 2 3 4 5

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a) DéfinitionUne variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre l > 0 lorsque les valeurs de X sont les entiers naturels k et que P([X=k]) = e- k /k!

b) Propriétés

P1 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre> 0 alors E(X) =

P2 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0 alors var(X) =

P3 - Si X1 suit une loi de Poisson de paramètre 1 > 0       Si X2 suit une loi de Poisson de paramètre 2 > 0      Si X1 et X2 sont indépendantes      alorsX1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre 1 + 2

Nombre de rectangles 229 211 93 35 7 1

Calculer la moyenne du nombre de bombes par rectangle. Comparer la distribution réelle à la distribution résultant de l'application de la loi de Poisson de paramètre .

Exercice 6 - Le célèbre exemple de Von BortkiewiczVon Bortkiewicz a étudié le nombre de morts par ruade de cheval dans l'armée prussienne de 1875 à 1894 dans 200 corps de cavalerie : pendant 20 ans, il a

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a) DéfinitionUne variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre l > 0 lorsque les valeurs de X sont les entiers naturels k et que P([X=k]) = e- k /k!

b) Propriétés

P1 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre> 0 alors E(X) =

P2 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0 alors var(X) =

P3 - Si X1 suit une loi de Poisson de paramètre 1 > 0       Si X2 suit une loi de Poisson de paramètre 2 > 0      Si X1 et X2 sont indépendantes      alorsX1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre 1 + 2

étudié 10 corps de cavalerie par an

Nombre de morts par an 0 1 2 3 4

Nombre de corps de cavalerie 109 65 22 3 1

Calculer la moyenne du nombre de morts par an. Comparer la distribution réelle à la distribution résultant de l'application de la loi de Poisson de paramètre

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a) DéfinitionUne variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre l > 0 lorsque les valeurs de X sont les entiers naturels k et que P([X=k]) = e- k /k!

b) Propriétés

P1 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre> 0 alors E(X) =

P2 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0 alors var(X) =

P3 - Si X1 suit une loi de Poisson de paramètre 1 > 0       Si X2 suit une loi de Poisson de paramètre 2 > 0      Si X1 et X2 sont indépendantes      alorsX1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre 1 + 2

Exercice 1Un magasin reçoit 3 réclamations en moyenne par jour. Supposant poissonnienne la loi de survenance de ces réclamations, calculer la probabilité pour que le premier lundi du mois prochain soient enregistrées :

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a) DéfinitionUne variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre l > 0 lorsque les valeurs de X sont les entiers naturels k et que P([X=k]) = e- k /k!

b) Propriétés

P1 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre> 0 alors E(X) =

P2 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0 alors var(X) =

P3 - Si X1 suit une loi de Poisson de paramètre 1 > 0       Si X2 suit une loi de Poisson de paramètre 2 > 0      Si X1 et X2 sont indépendantes      alorsX1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre 1 + 2

a) 0 réclamationb) 2 réclamationsc) plus de 4 réclamationsCorrigé :

X la loi de survenance des réclamations suit la loi de Poisson P(3). On utilise alors une table de la loi de Poisson.

a) P("0 réclamation") = P(X=0) = e-3 30 /0! = 0,0498

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Le nombre d'atomes désintégrés par unité de temps Le nombre de chèques émis sans provision

Le nombre de fautes d'impression dans les pages d'un livre

Le nombre de personnes atteintes d'une maladie

Le nombre d'accidents sur une portion de route

Le nombre d'accidents annuels provoqués par un automobiliste assuré

Le nombre de décès par suicide

Le nombre de déchets dans une fabrication

...

Le nombre moyen de ces apparitions s'appelle le paramètre de cette loi qui est une approximation de la loi binomiale B(n, p) lorsque : n est grand (n > = 50 ) et p petit (p <= 0,1 ) et = np <= 15

a) DéfinitionUne variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre l > 0 lorsque les valeurs de X sont les entiers naturels k et que P([X=k]) = e- k /k!

b) Propriétés

P1 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre> 0 alors E(X) =

P2 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0 alors var(X) =

P3 - Si X1 suit une loi de Poisson de paramètre 1 > 0       Si X2 suit une loi de Poisson de paramètre 2 > 0      Si X1 et X2 sont indépendantes      alorsX1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre 1 + 2

b) P("2 réclamation") = P(X=2) = e-3 32 /2! = 0,2240

c) P("plus de 4 réclamations") = 1 - P(X <= 4) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)+P(X=4))=0,185

Exercice 2La probabilité pour une ampoule électrique de claquer à son premier allumage est de 0,01. On supposant poissonnienne cette loi à cet âge. Sur un groupe de 100 ampoules, quelle est la probabilité d'observer :a) 0 claquage

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Dernière modification le jeudi 30 octobre, 2003

C'est la loi des petites probabiités ou loi des événements rares( c'est-à-dire des événements avec une probabilité faible) et sans mémoire, dans un intervalle de temps donné par exemple :

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a) DéfinitionUne variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre l > 0 lorsque les valeurs de X sont les entiers naturels k et que P([X=k]) = e- k /k!

b) Propriétés

P1 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre> 0 alors E(X) =

P2 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0 alors var(X) =

P3 - Si X1 suit une loi de Poisson de paramètre 1 > 0       Si X2 suit une loi de Poisson de paramètre 2 > 0      Si X1 et X2 sont indépendantes      alorsX1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre 1 + 2

b) 1 claquagec) plus de 2 claquagesCorrigé :

n = 100 p = 0,01 donc sur 100 ampoules, la moyenne est np = 1

X la loi de survenance des claquages suit la loi de Poisson P(1).On utilise alors une table de la loi de Poisson.

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a) DéfinitionUne variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre l > 0 lorsque les valeurs de X sont les entiers naturels k et que P([X=k]) = e- k /k!

b) Propriétés

P1 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre> 0 alors E(X) =

P2 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0 alors var(X) =

P3 - Si X1 suit une loi de Poisson de paramètre 1 > 0       Si X2 suit une loi de Poisson de paramètre 2 > 0      Si X1 et X2 sont indépendantes      alorsX1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre 1 + 2

a) P("0 claquage") = P(X=0) = e-1 10 /0! =0,3679

b) P("1 claquage") = P(X=1) = e-1 11 /1! = 0,3679

c) P("plus de 2 claquages") = 1 - P(X <= 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) =0,0803

Exercice 3Un standard téléphonique reçoit en moyenne 0,7 appel à la minute. Quelle est la probabilité pour que, entre 09 h 59 et 10 h, il recoive :

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a) DéfinitionUne variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre l > 0 lorsque les valeurs de X sont les entiers naturels k et que P([X=k]) = e- k /k!

b) Propriétés

P1 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre> 0 alors E(X) =

P2 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0 alors var(X) =

P3 - Si X1 suit une loi de Poisson de paramètre 1 > 0       Si X2 suit une loi de Poisson de paramètre 2 > 0      Si X1 et X2 sont indépendantes      alorsX1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre 1 + 2

a) 0 appelb) 1 appelc) plus d'un appelCorrigé :

X la loi de survenance des appels suit la loi de Poisson P(0,7).On utilise alors une table de la loi de Poisson.

a) P("0 appel") = P(X=0) = e-0,7 0,70 /0! =0,4966

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Le nombre d'atomes désintégrés par unité de temps Le nombre de chèques émis sans provision

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a) DéfinitionUne variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre l > 0 lorsque les valeurs de X sont les entiers naturels k et que P([X=k]) = e- k /k!

b) Propriétés

P1 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre> 0 alors E(X) =

P2 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0 alors var(X) =

P3 - Si X1 suit une loi de Poisson de paramètre 1 > 0       Si X2 suit une loi de Poisson de paramètre 2 > 0      Si X1 et X2 sont indépendantes      alorsX1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre 1 + 2

b) P("1 appel") = P(X=1) = e-0,7 0,71 /1! = 0,3476

c) P("plus d'un appel ") = 1 - P(X <= 1) = 1 - (P(X=0) + P(X=1)) = 0,1558

Exercice 4Sur une autoroute, il y a en moyenne un accident par semaine. Une semaine, il y en a 4. Quelle est la probabilité de cet événement ?Corrigé :

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a) DéfinitionUne variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre l > 0 lorsque les valeurs de X sont les entiers naturels k et que P([X=k]) = e- k /k!

b) Propriétés

P1 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre> 0 alors E(X) =

P2 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0 alors var(X) =

P3 - Si X1 suit une loi de Poisson de paramètre 1 > 0       Si X2 suit une loi de Poisson de paramètre 2 > 0      Si X1 et X2 sont indépendantes      alorsX1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre 1 + 2

X la loi de survenance des accidents suit la loi de Poisson P(1).On utilise alors une table de la loi de Poisson.

P("avoir 4 accidents"= P(X=4) = e-1 14 /4! =0,0153

 

Exercice 5Le statisticien anglais Clarke a divisé Londres en 576 rectangles et compté les

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a) DéfinitionUne variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre l > 0 lorsque les valeurs de X sont les entiers naturels k et que P([X=k]) = e- k /k!

b) Propriétés

P1 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre> 0 alors E(X) =

P2 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0 alors var(X) =

P3 - Si X1 suit une loi de Poisson de paramètre 1 > 0       Si X2 suit une loi de Poisson de paramètre 2 > 0      Si X1 et X2 sont indépendantes      alorsX1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre 1 + 2

chutes de bombes dans ces rectangles durant la 2ème guerre mondiale 1939-1945.Il a trouvé :

Nombre de bombes 0 1 2 3 4 5

Nombre de rectangles 229 211 93 35 7 1

Calculer la moyenne du nombre de bombes par rectangle. Comparer la distribution réelle à la distribution résultant de l'application de la loi de Poisson

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a) DéfinitionUne variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre l > 0 lorsque les valeurs de X sont les entiers naturels k et que P([X=k]) = e- k /k!

b) Propriétés

P1 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre> 0 alors E(X) =

P2 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0 alors var(X) =

P3 - Si X1 suit une loi de Poisson de paramètre 1 > 0       Si X2 suit une loi de Poisson de paramètre 2 > 0      Si X1 et X2 sont indépendantes      alorsX1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre 1 + 2

de paramètre .

Corrigé :

La moyenne du nombre de bombes par rectangle est (229*0 + 211 * 1 + 93 * 2 + 35 *3 + 7 * 4 + 1 *5)/576

c'est-à-dire 0,9288 .

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a) DéfinitionUne variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre l > 0 lorsque les valeurs de X sont les entiers naturels k et que P([X=k]) = e- k /k!

b) Propriétés

P1 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre> 0 alors E(X) =

P2 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0 alors var(X) =

P3 - Si X1 suit une loi de Poisson de paramètre 1 > 0       Si X2 suit une loi de Poisson de paramètre 2 > 0      Si X1 et X2 sont indépendantes      alorsX1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre 1 + 2

Soit X la loi de Poisson(0,9288)

P(X=0) = e-0,9288 0,92880 /0! =0,3950 donc 0,3950 * 576 = 227,52

P(X=1) = e-0,9288 0,92881 /1! =0,3669 donc 0,3669 * 576 = 211,33

P(X=2) = e-0,9288 0,92882 /2! =0,1703 donc 0,1703 * 576 = 98,09

P(X=3) = e-0,9288 0,92883 /3! =0,0527 donc 0,0527 * 576 =30,35

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a) DéfinitionUne variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre l > 0 lorsque les valeurs de X sont les entiers naturels k et que P([X=k]) = e- k /k!

b) Propriétés

P1 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre> 0 alors E(X) =

P2 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0 alors var(X) =

P3 - Si X1 suit une loi de Poisson de paramètre 1 > 0       Si X2 suit une loi de Poisson de paramètre 2 > 0      Si X1 et X2 sont indépendantes      alorsX1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre 1 + 2

P(X=4) = e-0,9288 0,92884 /4! =0,0122 donc 0,0122 * 576 = 7,02

P(X=5) = e-0,9288 0,92885 /5! =0,0022 donc 0,0022 * 576 = 1,26

La distribution réelle et la distribution théorique sont proches l'une de l'autre.

Exercice 6 - Le célèbre exemple de Von BortkiewiczVon Bortkiewicz a étudié le nombre de morts par ruade de cheval dans l'armée prussienne de 1875 à 1894 dans 200 corps de cavalerie : pendant 20 ans, il a étudié

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Le nombre d'atomes désintégrés par unité de temps Le nombre de chèques émis sans provision

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Le nombre d'accidents sur une portion de route

Le nombre d'accidents annuels provoqués par un automobiliste assuré

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...

Le nombre moyen de ces apparitions s'appelle le paramètre de cette loi qui est une approximation de la loi binomiale B(n, p) lorsque : n est grand (n > = 50 ) et p petit (p <= 0,1 ) et = np <= 15

a) DéfinitionUne variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre l > 0 lorsque les valeurs de X sont les entiers naturels k et que P([X=k]) = e- k /k!

b) Propriétés

P1 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre> 0 alors E(X) =

P2 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0 alors var(X) =

P3 - Si X1 suit une loi de Poisson de paramètre 1 > 0       Si X2 suit une loi de Poisson de paramètre 2 > 0      Si X1 et X2 sont indépendantes      alorsX1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre 1 + 2

10 corps de cavalerie par an

Nombre de morts par an 0 1 2 3 4

Nombre de corps de cavalerie 109 65 22 3 1

Calculer la moyenne du nombre de morts par an. Comparer la distribution réelle à la distribution résultant de l'application de la loi de Poisson de paramètre .

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Le nombre d'atomes désintégrés par unité de temps Le nombre de chèques émis sans provision

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Le nombre de personnes atteintes d'une maladie

Le nombre d'accidents sur une portion de route

Le nombre d'accidents annuels provoqués par un automobiliste assuré

Le nombre de décès par suicide

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a) DéfinitionUne variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre l > 0 lorsque les valeurs de X sont les entiers naturels k et que P([X=k]) = e- k /k!

b) Propriétés

P1 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre> 0 alors E(X) =

P2 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0 alors var(X) =

P3 - Si X1 suit une loi de Poisson de paramètre 1 > 0       Si X2 suit une loi de Poisson de paramètre 2 > 0      Si X1 et X2 sont indépendantes      alorsX1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre 1 + 2

Corrigé :

La moyenne du nombre demorts par an est (109 * 0 + 65 * 1 + 22 * 2 + 3 *3 + 1 * 4 )/200

c'est-à-dire 0,61 .

Soit X la loi de Poisson(0,61)

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a) DéfinitionUne variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre l > 0 lorsque les valeurs de X sont les entiers naturels k et que P([X=k]) = e- k /k!

b) Propriétés

P1 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre> 0 alors E(X) =

P2 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0 alors var(X) =

P3 - Si X1 suit une loi de Poisson de paramètre 1 > 0       Si X2 suit une loi de Poisson de paramètre 2 > 0      Si X1 et X2 sont indépendantes      alorsX1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre 1 + 2

P(X=0) = e-0,61 0,610 /0! =0,5433 donc 0,5433 * 200 = 108,66

P(X=1) = e-0,61 0,611 /1! =0,3314 donc 0,3314 * 200 = 66,28

P(X=2) = e-0,61 0,612 /2! =0,1010 donc 0,1010 * 200 = 20,2

P(X=3) = e-0,61 0,613 /3! =0,0205 donc 0,0205 * 200 =4,1

P(X=4) = e-0,61 0,614 /4! =0,0031 donc 0,0031 * 200 =0,62

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a) DéfinitionUne variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre l > 0 lorsque les valeurs de X sont les entiers naturels k et que P([X=k]) = e- k /k!

b) Propriétés

P1 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre> 0 alors E(X) =

P2 - Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0 alors var(X) =

P3 - Si X1 suit une loi de Poisson de paramètre 1 > 0       Si X2 suit une loi de Poisson de paramètre 2 > 0      Si X1 et X2 sont indépendantes      alorsX1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre 1 + 2

La distribution réelle et la distribution théorique sont proches l'une de l'autre.