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Corrigé des exercices machines synchrones

Exercice 1

1. Les indications suivantes ont été relevées sur le montage schématisé cidessous :

Multimètres en position DC : 160 V et 1 A

Multimètres en position AC : 410 V et 3,2 A

a. Indiquer pour chaque multimètre sa position(AC ou DC) et préciser la valeur qu'il indique.

A1 et V1 en position DC car le courant et la tensiond'excitation sont continus.

A1 A2 V1 V2

1 A 3,2 A 160 V 410 V

2. Combien vaut l'intensité efficace du courant statorique ?

C'est la valeur indiquée par A2 soit 3,2 A.

3. Calculer la vitesse de synchronisme d'une machine synchrone comportant 4 paires de pôles et dont lafréquence des courants statoriques est égale à 50 Hz.

D'après le théorème de Ferrarris ω=Ωs

p avec p = 2 le nombre de paires de pôles, ω=2π f et f = 50

Hz et Ωs la vitesse de synchronisme en rad/s. Comme Ωs=2πns

60 ( ns vitesse de synchronisme

exprimée en tr/min) alors ns=60 . fp

=60×50

2=1500 tr/min

4. Quelle est la fréquence des fém statoriques d'une machine synchrone comportant 2 paires de pôles etdont l'arbre tourne à 2000 tr/min ?

La relation ns=60 . fp

établie précédemment permet d'écrire f =p .ns

60=

2×200060

=66,7 Hz

5. Calculer le nombre de pôles d'un alternateur dont l'arbre tourne à 12000 tr/min et dont les tensions desortie ont une fréquence égale à 400 Hz.

La relation ns=60 . fp

établie précédemment permet d'écrire p=60 . fns

=60×40012000

=2 ce qui donne

quatre pôles.

Corrigé des exercices machines synchrones 1 TS2ET 20142015

6. Les courbes cidessous ont été relevées entre deux bornes du stator couplé en étoile d'un alternateur àvide (Échelle verticale : une division pour 100 V, échelle horizontale : trois divisions pour 5 ms).

a. Pour chaque courbe indiquer la vitesse de rotation de l'arbre de l'alternateur s'il comporte quatre pôles.

Période T = 20 ms donc f = 50 Hz

ns=60 . fp

=60×50

2=1500 tr/min


ns=60 . fp

=60×100

2=3000 tr/min


ns=60 . fp

=60×100

2=3000 tr/min


ns=60 . fp

=60×50

2=1500 tr/min

b. Quelle courbes ont été relevées à la même vitesse, comment justifier la différence de valeursmaximales pour des vitesses identiques ?

Les courbes en haut à gauche et en bas à droite ont été relevées à la même vitesse. Les courbes en haut àdroite et en bas à gauche ont été relevées à la même vitesse (voir cidessus).

c. Pour les courbes relevées à la même vitesse, indiquer celle qui correspond au courant d'excitation leplus élevé.

Le courant d'excitation le plus élevé correspond à la valeur maximale la plus élevée à vitesse de rotationconstante :

Le courant d'excitation en haut à gauche est plus élevé que celui en bas à droite.

Le courant d'excitation en haut à droite est plus élevé que celui en bas à gauche.


Exercice 2

Le tableau cidessous correspond à la caractéristique à vide d'un alternateur relevée à 1500 tr/min :

E (V) 142 234 290 317 330 343 350

Ie (A) 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75

1. Tracer cette caractéristique (Échelles : 1 cm pour 0,25 A et 1 cm pour 50 V)

2. Tracer la caractéristique pour une vitesse de rotation égale à 750 tr/min.Les fém du tableau précédent doivent être divisées par deux (la valeur efficace de la fém est proportionnelleà la vitesse de rotation), ce qui donne :

E (V) 71 117 145 158 165 171 175

Ie (A) 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75

3. Déterminer la valeur efficace de la fém dans les conditions suivantes :

a. Intensité d'excitation égale à 0,87 A et vitesse de rotation égale à 1500 tr/minLecture sur la courbe tracée à la question 1.

b. Intensité d'excitation égale à 1,25 A et vitesse de rotation égale à 1000 tr/minSur la courbe tracée à la question 1, on lit 330 V pour 1,25 A à 1500 tr/min. Comme la valeur efficace de la

fém est proportionnelle à la vitesse de rotation alors on obtient E=10001500

×330=220 V

Exercice 3

On considère un alternateur isolé entraîné à vitesse constante.

L'intensité rotorique Ie permettant d'obtenir 400 V entre deux bornes du stator est égale à 1,2 A.

1. Lorsqu'une charge triphasée équilibrée résistive est placée aux bornes du stator alors que Ie = 1,2A, onobserve :

• Une diminution de la valeur efficace des tensions statoriques• Une augmentation de la valeur efficace des tensions statoriques• Une valeur efficace des tensions statoriques inchangée• On ne peut pas savoir ce qui va se passer pour la valeur efficace des tensions statoriques.

2. Lorsqu'une charge triphasée équilibrée résistive est placée aux bornes du stator et que l'on souhaitemaintenir constante la valeur efficace des tensions statoriques, il faut :

• Augmenter le courant d'excitation• Diminuer le courant d'excitation• Ne pas toucher au courant d'excitation• L'action sur le courant d'excitation ne peut être prévue.

3. Après avoir placé la charge résistive triphasée et fait le nécessaire pour que la valeur efficace destensions statoriques soit égale à 400 V, une charge inductive triphasée équilibrée est ajoutée aux bornesdu stator. On observe :

• Une diminution de la valeur efficace des tensions statoriques• Une augmentation de la valeur efficace des tensions statoriques• Une valeur efficace des tensions statoriques inchangée• On ne peut pas savoir ce qui va se passer pour la valeur efficace des tensions statoriques.


4. Après avoir placé la charge résistive triphasée et fait le nécessaire pour que la valeur efficace destensions statoriques soit égale à 400 V, une charge capacitive triphasée équilibrée est placée aux bornesdu stator. Pour compenser son influence, il faut :

• Augmenter le courant d'excitation• Diminuer le courant d'excitation• Ne pas toucher au courant d'excitation• L'action sur le courant d'excitation ne peut être prévue.

Exercice 4

On considère un alternateur isolé entraîné à vitesse constante.

1. Sur quelle grandeur fautil agir pour faire varier la valeur efficace des tensions statoriques à vide ? Pourla suite, on note Ie0 l'intensité du courant d'excitation qui permet d'avoir la valeur efficace nominale destensions statoriques à vide.

Il faut agir sur l'intensité du courant d'excitation.

2. Une charge triphasée équilibrée résistive est placée aux bornes du stator de la machine

a. Comment évolue la valeur efficace des tensions statoriques si le courant d'excitation est maintenu àIe0 ?

La valeur efficace des tensions statoriques diminue (effet démagnétisant).

b. Comment doit évoluer le courant d'excitation pour obtenir une valeur efficace des tensions statoriqueségale à celle à vide ? Cette valeur est notée Ie1 par la suite.

Il faut augmenter l'intensité du courant d'excitation.

3. Une charge triphasée équilibrée capacitive est placée en parallèle de la charge résistive précédente.


La valeur efficace des tensions statoriques augmente (effet magnétisant de la charge capacitive).

b. Comment doit évoluer le courant d'excitation pour retrouver la valeur efficace initiale des tensionsstatoriques ?

Il faut diminuer l'intensité du courant d'excitation.

4. La charge triphasée équilibrée capacitive est remplacée par une charge triphasée inductive.


La valeur efficace des tensions statoriques diminue (effet démagnétisant de la charge inductive).

b. Comment doit évoluer le courant d'excitation pour retrouver la valeur efficace initiale des tensionsstatoriques ?

Il faut augmenter l'intensité du courant d'excitation.

Exercice 5

Le schéma cidessous représente une machine synchrone entraînée par un dispositif mécanique extérieurdont la vitesse est réglable. On souhaite coupler cette machine au réseau dont les caractéristiques sontindiquées à droite et les valeurs instantanées des tensions simples sont représentées sur le graphe de la pagesuivante.


Pour la suite, les nombres complexes associés aux tensions simples côté réseau sont notés VR1, VR2 et VR3 etles nombres complexes associés aux tensions simples côté alternateur sont notés VM1, VM2 et VM3

Les graduations verticales et horizontales des graphes sont toutes identiques.

Valeurs instantanées des tensions simples du réseau :

1. Les tensions simples au stator de la machine synchrone sont représentées cidessous pour cinqsituations, indiquer pour chacune d'elles si le couplage est possible et sinon expliquer pourquoi.

a. Situation n°1

Couplage impossible car la fréquence des tensions statoriques n'est pas égale àcelle des tensions du réseau.


b. Situation n°2 :

Couplage impossible car les amplitudes des tensions statoriques ne sont paségales à celles du réseau.

c. Situation n°3 :

Couplage impossible car les phases instantanées des tensions statoriques et duréseau ne sont pas égales.

d. Situation n°4

Couplage impossible car l'ordre des phases des tensions statoriques est différentde celui des tensions du réseau.


e. Situation n°5 :

Les conditions de couplage sont remplies.

2. La vitesse de rotation de l'arbre de la machine est égale à la vitesse de synchronisme et les vecteursassociés aux tensions simples au stator de la machine synchrone sont représentés cidessous pour quatresituations, indiquer pour chacune si le couplage est possible et sinon expliquer pourquoi.

Situation n°1

Couplage impossible car les ordres des phases sontdifférents.

Situation n°2

Couplage impossible car les ordres des phases sontdifférents.

Situation n°3

Couplage impossible car les valeurs efficaces destensions statoriques et réseau sont différentes.

Situation n°4

Les conditions de couplage sont remplies.


Exercice 6

Les indications suivantes ont été relevées dans la documentation constructeur d'un alternateur synchrone :valeur efficace des tensions statoriques et puissances à 50 Hz et 1500 tr/min : 400 V, 23 kVA et 18,4 kW,courant et tension d'excitation en charge 2 A et 24 V, pertes à vide 730 W et dissipation de chaleur 2510 W.

Le courant rotorique est obtenu à partir d'une excitatrice en bout d'arbre. Sur le schéma cidessous, cetteexcitatrice est représentée à gauche et le stator principal est à droite. Les indications du constructeurconcernant l'excitation font référence au circuit reliant les bornes 5 et 6.

Le graphe cidessous représente l'évolution du rendement en fonction de la puissance apparente pour desfacteurs de puissance égaux à 0,8 (trait plein) et 1 (traits pointillés).

Les graphiques sont extraits de la brochure 4455b_fr.pdf de LeroySomer

1. Fonctionnement nominal

a. Déterminer l'intensité efficace des courants statoriques et le facteur de puissance.

L'expression de la puissance apparente S=√3U I permet d'écrire I=S

√3U=

23.103

√3×400=33,2 A

Facteur de puissance k=PS=

18,423

=0,8

b. Évaluer la valeur de la résistance des enroulements statoriques.La documentation constructeur indique une dissipation de chaleur égale à 2510 W ce qui correspond auxpertes par effet Joule.

• On peut supposer qu'il s'agit uniquement des pertes joule statoriques P js ce qui donne P js=3 R s I2


avec Rs la résistance d'un enroulement du stator : Rs=P js

3 I2 =2510

3×33,22 =0,759 Ω

• Si l'on veut tenir compte des pertes joule rotoriques le constructeur indique 2 A et 24 V dans l'inducteurde l'excitatrice, il faudrait donc retrancher 48 W des 2510 W de « dissipation de chaleur » ce qui

donnerait Rs=P js

3 I2 =2510−483×33,22 =0,744 Ω

Remarque : il y a aussi des pertes par effet Joule dans l'induit de l'excitatrice, les valeurs de résistancesstatoriques trouvées cidessus sont probablement plus élevée que dans la réalité.

c. Indiquer l'origine des pertes à vide.Elles recouvrent les pertes mécaniques et les pertes dans le fer (hystérésis et courants de Foucault).

2. Fonctionnement avec un facteur de puissance égal à un et une puissance active de 14 kW.

a. Déterminer l'intensité efficace des courants statoriques.

Les puissances active et apparente sont égales : I=S

√3U=

14.103

√3×400=20,2 A

b. Évaluer les pertes par effet Joule au stator.

Dans ce cas, on a P js=3 R s I2=3×0,744×20,22

=911 W

c. À partir de la valeur du rendement, évaluer les autres pertes pour ce point de fonctionnement.Sur le graphique, on lit un rendement de 91,7 %. On calcule la puissance absorbée par la relation

Pa=Pη=

14.103

0,917=15,27 kW . Les pertes totales sont donc Ppertes=P a−P=15,27−14=1270 W

soit 1270 – 911 = 359 W de pertes autre que celles par effet Joule.

Exercice 7

On considère un alternateur triphasé dont la plaque signalétique donne les indications suivantes :50 kVA ; 220 V / 380 V ; 50 Hz ; 6 pôlesCaractéristique à vide à la vitesse de synchronisme (tensions simples) :

Ie (A) 0 17 37 38 48

E (V) 0 139 260 265 310

1. Calculer la vitesse de synchronisme et la valeur efficace du courant nominal.

Vitesse de synchronisme ns=60 . fp

=60×50

3=1000 tr/min

Intensité efficace nominale I=S

√3 .U=I=

50.103

√3 . 380=76 A

2. On obtient le courant nominal sous tension nominale dans une charge résistive lorsque le courantd’excitation Ie est de 37 A. On néglige les résistances statoriques. Calculer la réactance synchrone dechaque phase et le courant inducteur pour obtenir en courtcircuit le courant nominal.

Il est conseillé de tracer un diagramme de Fresnel sans se soucier des échelles.

La charge étant résistive, l'intensité statorique est en phase avec la tension statorique et la chute de tensionaux bornes de la réactance synchrone est en avance de 90° sur l'intensité, on obtient donc un trianglerectangle dont la fém est l’hypoténuse.

Le courant d'excitation de 37 A donne une fém de 260 V à la vitesse de synchronisme (voir tableau).


D'après le théorème de Pythagore E2=V 2

+(Lω I )2 avec Lω la réactance synchrone, ce qui donne :

Lω=√E2

−V 2

I=

260−380

√376

=1,82 Ω

Remarque : sur le diagramme, Ls correspond à L

3. L’alternateur alimente sous 400 V (tension composée)• 5 moteurs asynchrones triphasés de puissance 5 kW, de rendement 0,85 et de facteur de puissance 0,8.• 180 lampes de 100 W – 230 V réparties régulièrement sur les trois phases.Calculer le courant Ie correspondant.

Calcul de la puissance active totale des moteurs : Pmoteurs=5×50,85

=29,4 kW (la puissance indiquée est

la puissance utile disponible sur l'arbre).Puisque le facteur de puissance est égal à 0,8 alors on a ϕ=arccos0,8=36,9 ° et tan ϕ=0,75 soitune puissance réactive pour les moteurs Q=P tanϕ=29,4×0,75=22 kvarLes lampes ont un facteur de puissance égal à un donc Plampes=180×100=18 kWLa charge triphasée branchée aux bornes du stator de l'alternateur présente les caractéristiques suivantes (onutilise le théorème de Boucherot) :P=Pmoteurs+P lampes=29,4+18=47,4 kWQ=Qmoteurs=22 kvar

D'où la puissance apparente S=√(P2+Q2

)=√47,42+222

=52,3 kVA , l'intensité des courants

statoriques I=S

√3U=

52,3 .103

√3 .400=75,5 A et le déphasage entre tension et intensité statoriques

ϕ=arctan(QP

)=arctan (22

47,4)=24,9 °

Il reste à tracer le diagramme de Fresnel avec :

V=400

√3=230 V ; Lω I=1,82×75,5=137 V et le courant en retard de 24,9° sur la tension

statorique.Voir le diagramme sur la page suivante.On obtient une fém de 315 V ce qui donne un courant d'excitation d'environ 48 A.Remarque : sur le diagramme, Ls correspond à L


Exercice 8

L’étude porte sur l’alternateur d’un système de production d’énergie électrique à partir de l’énergieéolienne.

1. La plaque signalétique de la machine synchrone triphasée utilisée comme alternateur dans le dispositifétudié, comporte les indications suivantes : 16 kVA ; 230 V / 400 V ; 50 Hz,

a. Cette machine devant pouvoir être couplée à un réseau triphasé (400 V 50Hz), préciser en justifiantvotre réponse, le seul couplage possible pour les enroulements du stator.

La plaque indique que la valeur efficace de la tension simple aux bornes d'un enroulement est égale à 230 V,le seul couplage possible ici est donc le couplage étoile.

b. L'alternateur est relié aux pales de l’hélice par l'intermédiaire d'un réducteur de rapport de

transformation k=ns

nH

=2,5 (où ns est la vitesse de rotation de l'alternateur et nH la vitesse de

rotation de l’hélice). Sachant que l’hélice tourne à une vitesse constante de 400 tr.min1, calculer lavitesse nominale ns, de l'alternateur, ainsi que son nombre de paires de pôles p.

Vitesse de synchronisme : ns=k . nH=2,5×400=1000 tr/min

Nombre de paires de pôles : ns=60 . fp

soit p=60 . fns

=60×501000

=3

c. Calculer l'intensité efficace nominale IN du courant dans un enroulement du stator.

La puissance apparente étant donnée IN=SN

√3.U=

16.103

√3 .400=23,1 A

2. La machine est utilisée en alternateur autonome. Le stator est couplé en étoile. La résistance mesurée àchaud entre deux bornes du stator est : R = 0,60 W. Le rotor est entraîné à la vitesse de rotationnominale de l'alternateur n = 1000 tr.min1.

a. Proposer une méthode pratique pour effectuer la mesure à chaud des résistances précédentes.On place une source de tension continue entre les deux bornes du stator. On insère un ampèremètre dans cecircuit et on branche un voltmètre entre les deux bornes du stator. La résistance mesurée est égale au rapportdes indications du voltmètre et de l'ampèremètre.

b. Calculer la résistance Rs d'un enroulement du stator, en justifiant votre réponse.La mesure précédente donne la valeur de la résistance de deux enroulements statoriques connectés en série,

la résistance d'un enroulement du stator est donc Rs=R2=0,3 Ω


Résultats de l’essai à vide : U0 (enV) est la tension mesurée entre deuxbornes du stator et IE (en A)l’intensité du courant d’excitation.

U0

(V)0 120 240 360 480 600 750 780 800

IE

(A)0 1 2 3 4 5 7 9 10

Résultats de l’essai en courtcircuit : Icc estl’intensité des courants statoriques.

Icc (A) 0 10 20 30

IE (A) 0 1 2 3

c. Indiquer les typesd'appareils (AC ou DC)utilisés pour les deuxessais (tableau cicontre) :

Essai : Mesure de IE Mesure de U0 Mesure de ICC

à vide DC AC

en court circuit DC AC

d. Indiquer le montage permettant de faire l'essai à vide.Voir http://www.etasc.fr/index.php/page/cours/alterVideCV/machineSynchrone

e. Indiquer le montage permettant de faire l'essai en courtcircuit.Voir http://www.etasc.fr/index.php/page/cours/essaiCC/machineSynchrone

f. Tracer les courbes correspondant aux essais à vide et en courtcircuit. Préciser le coefficient deproportionnalité entre U0 et IE pour la partie linéaire de la caractéristique à vide. Donner ensuite larelation entre ICC et IE.

Après avoir tracé la courbe correspondant à l'essai à vide( caractéristique à vide), on détermine la pente pour

la partie linéaire soit ΔU0

Δ IE

=600−0

5−0=12 V/A

En observant le tableau donnant les résultats de l'essai en courtcircuit, on trouve I cc=10 I E

Calculer l'impédance synchrone Zs du modèle équivalent d'une phase du stator, puis la réactance synchroneXs correspondante.On utilise l'essai en court circuit pour lequel Ecc=Z s I cc avec Ecc la fém. Pour I E=1 A , on lit

une fém de 120 V et un courant de court circuit égal à 10 A ce qui donne Zs=E cc

I cc

=12010

=12 Ω

L'impédance Zs est constituée de la réactance X s en série avec la résistance Rs . On peut doncécrire Zs

2=R s

2+X s

2 soit X s=√Z s2−Rs

2=√122−0,32≈12 Ω

g. Donner le modèle équivalent d'une phase du stator.Ce modèle équivalent est constitué d'une fém ( U0 ) en série avec la résistance Rs et la réactancesynchrone X s .

3. L'alternateur alimente maintenant un réseau (400 V / 690 V ; 50 Hz) interne à une petite entreprise.L'installation électrique de cette usine est équivalente à une charge triphasée équilibrée pourl’alternateur. La puissance active consommée par cette entreprise P est égale à 12,0 kW, le facteur depuissance, cosj, est égal à 0,75 (inductif).

a. Donner la puissance réactive Q consommée par cette usine.Puisque cosϕ=0,75 alors ϕ=arccos0,75=41,4 ° . Les puissances active et réactive sont reliées

par tan ϕ=QP

soit Q=P tan ϕ=12.103 . tan 41,4=10,6 kvar

b. En déduire la puissance apparente de cette usine.

La puissance apparente est donnée par S=√P2+Q2 soit S=√122+10,62=16 kVA


c. Donner l'intensité du courant en ligne.

On peut utiliser S=3V I qui donne I=S

3V=

16.103

3×400=13,3 A ou S=√3U I qui donne

I=S

√3U=

16.103

√33×690=13,3 A

Exercice 9

On dispose d’un moteur synchrone à 8 pôles alimenté par un réseau de caractéristiques constantes : 3800 Vet 50 Hz.La puissance nominale du moteur est Pn = 165 kW, et il peut supporter une intensité maximale Imax = 50 A.Sauf dans la question 5, la résistance de l’induit et les pertes magnétiques et mécaniques sont supposéesnégligeables.La caractéristique à vide, relevée entre bornes, passe par les points suivants :

Ie (A) 0 0,5 0,9 1,15 1,5 2 3 4

Ev (V) 0 2000 3200 4000 4800 6000 8000 10000L’induit, monté en étoile, a une réactance synchrone par phase Xph = 65,8 W, supposée constante.

1. Le moteur travaille dans ses conditions d’excitation optimale (cos j = 1). Il est traversé par un courantqui est égal à la moitié du courant maximal.

Déterminer la force électromotrice entre bornes Ev, l’excitation Ie, la puissance P, le couple C et le décalagepolaire q correspondant à ce fonctionnement.Il est conseillé de tracer le diagramme de Fresnel à l'échelle (voir cidessous)

Remarque : sur le diagramme, Lsw correspond à Xph.

La tension et l'intensité statoriques sont en phase, la chute de tension aux bornes de la réactance synchroneest en avance de 90° sur le courant statorique. Il est possible d'utiliser le théorème de Pythagore pour écrire

Esv2=V 2

+(X ph I )2 qui donne Esv=√(

3800

√3)

2

+(65,8×25)2=2740 V (le « s » indique qu'il s'agit

d'une fém « simple »). Une tension simple de valeur efficace 2740 V correspond à une tension composée de√3.2740=4750 V .

D'après la caractéristique à vide, le courant d'excitation est très proche de 1,5 A.

La puissance P=√3U I=√3×3800×50=165 kW

Le couple C est donné par C=PΩs

et Ωs=2π fp

soit C=p . P2 π f

=4×165.103

2π×50=2100 N.m


Décalage polaire : lien

Le décalage polaire correspond à l'angle entre V et Evs ; on lit θ=−37 ° sur le diagramme de

Fresnel ou par calcul θ=arctan(

X ph . I

V)=arctan (

65,8×253800√3

)=36,9° (le signe « » traduit l'avance de

pôles fictifs sur les pôles réels).

2. Compléter le tableau suivant et tracer I = f(Ie) et cos j = f(Ie) pour une puissance constante égale à lapuissance nominale.

cos j 0,6 AR 0,8 AR 1 0,8 AV 0,6 AV 0,5 AV

I (A) 41,8 31,3 25,1 31,3 41,8 50

Ev (V) 2860 3310 4760 6600 8140 9210

Ie (A) 0,8 0,93 1,47 2,30 3,05 3,60Les puissances utile et absorbée sont égales (toutes les pertes sont négligées) et égales à la puissancenominale soit 165 kW.

Pour les fonctionnements à puissance absorbée constante, l'extrémité du vecteur associé à la fém à videEvs se déplace sur une droite parallèle au vecteur associé à la tension statorique lorsque le facteur de

puissance varie : lien.

Tracé du diagramme :

O'B=Xph I1 cosϕ1 et P=3V I1 cosϕ1 soit cosϕ1=P

3V I1 ce qui donne

O'B=Xph I1P

3V I 1

=X ph

3VP

Application numérique : O'B=

X ph

3VP=

65,8

3(3800√3

)

165≈1650 V

Points particuliers :

Point A1 : il correspond à Evs en retard de 90° sur V (limite de stabilité)


http://www.etasc.fr/index.php/page/cours/angleInterneDecPoles/machineSynchrone

http://www.etasc.fr/index.php/page/cours/reglPuissDroitesEquiPui/machineSynchrone

Remarque : sur le diagramme, Lsw correspond à Xph.

D'après Pythagore : X ph I=√(O'B)2+V 2 soit I=√16502

+(3800

√3)

2

65,8=41,8 A

et cosϕ1=O'BO'A1

=16502750

=0,6 (courant en retard).

Point A6 : il correspond à la valeur maximale du courant en fonctionnement capacitif

O'A6=X ph Imax=65,8×50=3290 V et cosϕ6=O'BXph . Imax

=16503290

=0,5 (courant en avance).

3. Pour l’intensité maximale, quelles sont les capacités des condensateurs montés en triangle sur le réseaupermettant de remplacer le moteur fonctionnant en compensateur synchrone ?

Dans ce fonctionnement, le courant statorique est en avance de 90° sur la tension statorique doncϕ=−90 ° .

La puissance réactive pour le moteur : Q=√3U I sin(−90)=√3 .3800×50×(−1)=−329 kvar .

Puissance réactive pour les condensateurs montés en triangle Qc=3 .U.J sin(−90)=−3 .U.J avec Jl'intensité du courant à travers un condensateur. Comme J=C ωU (d'après la loi d'Ohm en sinusoïdal)

alors Qc=−3 .C.ω .U 2 et C=−Qc

3 .ω .U 2=329.103

3 . 2π .38002=24 µF

4. On associe le moteur synchrone à une installation absorbant une puissance P1 = 600 kW avec un facteurde puissance cos j1 = 0,6 AR, que l’on désire améliorer.

Quel sera le nouveau facteur de puissance cos j2 de l’ensemble de l’installation plus moteur synchrone, cedernier travaillant à sa puissance nominale et avec son intensité maximale ? Quelle doit être alorsl’excitation du moteur synchrone ?

Le courant de l'installation initiale est en retard de ϕ1=arccos(0,6)=53,1°

Le moteur synchrone travaille à puissance maximale 165 kW et avec son intensité statorique efficacemaximale soit 50A.

Facteur de puissance du moteur cosϕ=165.103

√3 .3800×50=0,5 ce qui donne sinϕ=−0,866 et une

puissance réactive Q=√3 .U. I.sin ϕ=√3.3800×50×(−0,866)=−285 kvar

Puissance active totale de l'installation : P2=P1+P=600+165=765 kW


Puissance réactive totale de l'installation : Q2=Q1+Q=P1 tan ϕ1+Q=600 tan 53,1−285=514 kvar

D'où le nouveau facteur de puissance : cosϕ2=P2

√P22+Q2

2=

765

√7652+5142

=0,83

Le tracé du diagramme vectoriel donne une fém Evs=4750 V (8230 pour une tension composée) soitun courant d'excitation I e≈3,5 A

5. On ne néglige plus les pertes et la résistance d’induit.On donne Pméc = 1 kW ; Pfer = 2 kW et Ra = 0,8 W entre bornes.

L’excitation est fournie par une excitatrice en bout d’arbre de rendement h = 80 % sous une tension Ue = 600 V.

Calculer le rendement du moteur synchrone dans les conditions de la question 4.

La puissance absorbée est égale à la puissance utile additionnée des pertes.Bilan des pertes :mécaniques : 1 kW d'après l'énoncédans le fer : 2 kW d'après l'énoncé

• par effet Joule au stator : P js=3Ra

2I 2

=30,82

502=3 kW

• pertes d'excitation : l'excitation est fournie par l'excitatrice en bout d'arbre qui délivre un courant de 3,5 A

sous une tension de 600 V avec un rendement de 80 % soit Pexc=600×3,5

0,8=2,62 kW

D'où le rendement η=Pu

Pu+Pméc+P fer+P js+Pexc

=165

165+1+2+3+2,62=95 %

Exercice 10

I. Étude des pertes en ligne

Dans une entreprise, les bureaux sont situés dans un bâtiment qui se trouve à 850 m du local techniquecontenant le transformateur d’alimentation générale. La liaison s’effectue en 230 V / 400 V triphasé parl’intermédiaire de 3 câbles de 35 mm² de section pour les phases et de 10 mm² pour le neutre. L’éclairageest réalisé par des lampes fluorescentes qui correspondent en régime permanent à une charge triphaséeéquilibrée de 50 kW avec un facteur de puissance k = 0,76 inductif. Les courants seront considérés commesinusoïdaux.

1. IntensitésOn suppose que la chute de tension dans les câbles a été prise en compte et que la tension composée pour lebâtiment de bureaux est bien de 400 V.


• Déterminer l’intensité efficace I dans chaque conducteur de phase.

I=P

√3U k=

50.103

√3.400.0 ,76=95 A

• Quelle est l’intensité efficace du courant IN dans le conducteur de neutre ?

La charge étant triphasée équilibrée, le courant dans le neutre est nul.

2. Résistance des câblesLes câbles sont des conducteurs cylindriques en aluminium, de résistivité en conditions normales defonctionnement : r = 2,7 x 108 W.m. Calculer la résistance totale de chacun des câbles.

Par la suite on prendra les valeurs suivantes, qui prennent en compte les résistances des connexions :

Phase : 1,0 W, neutre : 2,5 W.

Résistance des câbles de phase : Rp=ρ lS

=2,7 .10−8

×85035.10−6 =0,65 Ω

Résistance du câble de neutre: Rn=ρlS

=2,7 .10−8

×85010.10−6 =2,3 Ω

3. Pertes par effet JouleDéterminer les pertes totales pour l’ensemble des câbles qui alimentent le bâtiment pour cette valeur dufacteur de puissance.On ne tient pas compte de la résistance du neutre car le courant y est nul,P j=3Rp I

2=3×1×952

=27 kW

II. Correction des perturbationsPour améliorer le facteur de puissance du bâtiment on décide d’utiliser un moteur synchrone placé dans lebâtiment. Ce moteur fonctionnera en compensateur synchrone automatique, de manière à ce qu’à chaqueinstant, le facteur de puissance du bâtiment soit égal à 1.Les caractéristiques électriques du moteur sont les suivantes :

Quatre pôles, couplage étoile pour un fonctionnement sur le réseautriphasé 230 V / 400 V, Pnominale = 50 kW. Pour l’étude il seramodélisé suivant la méthode de la réactance synchrone (modèlelinéaire dit de « BehnEschenburg »), conformément à la figure

cicontre correspondant à une phase de la machine dont les enroulements sont supposés couplés en étoile ;dans cette hypothèse on peut écrire Ev = l.Ie avec l = 0,83 x 103 V.A1.

1. Paramètres du modèlePour déterminer les paramètres du modèle de la machine synchrone, on a réalisé les essais suivants enfonctionnement alternateur.

a. Caractéristique à videRelevé de la valeur efficace de la tension à vide Ev entre phase et neutre en fonction du courant d’excitation Ie.

Ie (A) 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25

Ev (V) 0 41,5 83 124 166 207À partir de ce tableau de mesures justifier la valeur du coefficient l = 0,83 x 103 V.A1.

Pour les faibles valeurs de l'intensité d'excitation, la courbe est une portion de droite passant par l'origine (lafém est deux fois plus importante pour 0,1 A que pour 0,05 A). On a I e=0,10 A pour Ev=83 V


soit λ=Ev

I e

=830,1

=0,83.103 V/A qui correspond à la valeur donnée dans l'énoncé.

b. On effectue un courtcircuit symétrique sur les trois phases, on obtient les deux essais suivants :Ie = 0 A, Icc = 0 A Ie = 0,38 A, Icc = 70 A.

Par ailleurs, une mesure de la résistance entre phase et neutre a donné R = 0,1 W.

À partir de ces résultats, justifier la valeur de Xs = 4,5 W.

Pour l'essai en courtcircuit, le schéma équivalent se simplifie en une fém branchée à l'association série de larésistance et de la réactance synchrone ce qui donne Ev=√R2+X s

2 . I cc=λ I ecc .

D'après cette équation X s=√(λ I ecc

I cc

)

2

−R2=√(

0,83 .103×0,38

70)

2

−0,12=4,5 Ω

Pour la suite, on négligera la résistance R devant la réactance synchrone Xs, ainsi que les pertesmécaniques et les pertes dans le fer.

2. Compensateur synchroneLa machine fonctionne en compensateur synchrone : elle ne fournit aucune puissance mécanique mais ellefonctionne à vide en absorbant un courant en avance de 90° sur la tension simple correspondante. Ellefournit donc une puissance réactive qui compense celle consommée par les lampes.

a. Déterminer à l’aide des hypothèses du 1 la puissance réactive totale consommée par les lampes. Endéduire la valeur efficace de l’intensité du courant qui doit circuler dans la machine pour fournir cettemême puissance réactive.

Le facteur de puissance est égal à 0,76 ce qui donne un déphasage ϕ=arccos(0,76)=40,5° ; les

puissances active et réactive sont reliées par tan ϕ=QP

ce qui donne

Q=P tan ϕ=50 tan 40,5=42,7 kvar .

La puissance réactive pour la machine s'écrit Q=√3U I sin(−90) soit

I=−Q

√3U=

42,7

√3.400=61,6 A

b. Donner la relation entre V, Ev et I puis représenter ces grandeurs sur un diagramme de Fresnel.En appliquant la loi des mailles au schéma équivalent, on obtient V=E v+ j X s I

Le vecteur associé à l'intensité est en avance de 90° sur celui associé à la tension, on place le vecteur associéà la chute de tension aux bornes de la réactance synchrone en suivant l'équation précédente.


c. Déterminer la valeur du courant d’excitation correspondant à ce fonctionnement.Sur le diagramme vectoriel précédent, on mesure Ev ou on calcule Ev à partir de la relation

Ev=V +X s I=400

√3+4,5×61,6=508 V d'où le courant d'excitation I e=

Ev

λ=

5080,83.103=0,61 A

3. Amélioration du facteur de puissance à l'aide de la machine synchrone

a. La tension composée d’alimentation à 400 V est maintenue constante. La machine fonctionnant encompensateur synchrone, en parallèle avec la charge (l’ensemble du bâtiment) elle fournit, commeprécédemment, une puissance réactive égale à celle qui est consommée par les lampes. Déterminer lanouvelle valeur du courant dans les câbles de phase.

Le facteur de puissance est maintenant égal à un soit I=P

√3U=

50.103

√3.400=72,2 A

b. Déterminer la nouvelle valeur des pertes en ligne.

On a toujours P j=3Rp I2=3×1×72,22

=15,6 kW

c. Proposer une ou plusieurs solutions pour diminuer encore ces pertes en ligne.Il faudrait augmenter la section des câbles de phase.

Exercice 11

Un moteur synchrone, à quatre pôles, dont les enroulements du stator sont couplés en étoile, est alimentédirectement par un réseau triphasé, de tension simple efficace V et de fréquence f. Les résistances du statorsont négligées ainsi que les pertes ferromagnétiques et mécaniques. L’inductance cyclique d’un enroulementdu stator est L = 20 mH. La machine n’est pas saturée, de sorte que la valeur efficace de la fém d’unenroulement du stator est proportionnelle à l’intensité du courant d’excitation i.

1. La tension et la fréquence sont constantes : V = 220 V et f = 50 Hz

a. Calculer en tr/min la fréquence de rotation du moteur. En moteur, à vide, pour un courant absorbé

d’intensité I négligeable, avec i = 5 A, calculer la valeur du rapport .

Ek

i f= .

Vitesse de rotation du moteur n=60. fp

=60×50

2=1500 tr/min

En moteur à vide et avec les hypothèses de l'énoncé, on a E=V=220 V donc

k=Ei.f

=220

5×50=0,88 SI

b. En moteur la machine absorbe une puissance P = 8 kW et un courant d’intensité I = 15 A.• Calculer les déphasages possibles j1 et j2 entre courant et tension relatifs à un enroulement

La puissance est donnée par P=3V I cos ϕ soit cosϕ=P

3V I=

80003×220×15

=0,808 ce qui

correspond aux angles ϕ1=36 ° et ϕ2=−36 °

• Calculer LwIcosj.

D'après ce qui précède Lω I cosϕ=20.10−3.2π .50×15×0,808=76,1 V

• Exprimer la relation permettant de réaliser le diagramme des tensions (dit « diagramme bipolaire »).Tracer les deux diagrammes possibles et déduire les intensités des courants d’excitation correspondants.

On applique la loi des mailles au schéma équivalent du stator orienté avec la convention récepteur :V=E+ j Lω I


Pour ϕ1=36 ° Pour ϕ2=−36 °

• Quelles sont les puissances réactives absorbées ? Préciser la signification des signes dans chacun des cas.

Dans les deux cas Q=3V I sinϕ

Pour ϕ1=36 ° :Q=3×220×15×sin 36=5820 var

Pour ϕ2=−36 °Q=3×220×15×sin(−36)=−5820 var

• Calculer le moment du couple du moteur.

Il est donné par C=PΩ

=8000×30π .1500

=50,9 N.m

c. Pour i = 6 A, on augmente progressivement, à partir d’une valeur nulle, la puissance que le moteurfournit à sa charge.

• Représenter sur un diagramme des tensions l’évolution du point représentatif du fonctionnement.

L'extrémité du vecteur associé à la fém décrit un cercle dont le centre est le point d'origine des vecteursassociés à la tension statorique et à la fém et le rayon correspond à la valeur de la fém soitE=k.i.f=0,88 .6.50=264 V

• Déterminer la puissance maximale du moteur.

La puissance maximale correspond à un angle de 90° entre le vecteur associé à la tension statorique et celuiassocié à la fém.

I = 52,7 A ; j = 37° donne P=3×220×52,7×cos37=27,8 kW

• Commenter le comportement de la machine au voisinage de cette limite.

Au delà de cette limite, le fonctionnement est instable. Si le couple imposé sur l'arbre est constant alors lamachine va caler, sinon la vitesse va osciller autour de la vitesse de synchronisme.


2. Tension et fréquence varient suivant la loi Vf=

22050

constante

Pour la partie I.2, on maintient constantes les intensités I = 15 A et i = 4 A.a. En déduire que la fém s’écrit alors E = 3,52.f.

Dans la partie précédente, on a établi E=k.i.f avec k = 0,88 SI donc ici E=0,88×4. f=3,52 . f

b. Exprimer numériquement V et LwI en fonction de f dans le cas où I = 15 A.

Puisque Vf=

22050

alors V=4,4 . f .

L'expression Lω I devient Lω I=L . 2π . f . 15=20.10−3 . 2π . f .15=1,88 . f

c. Représenter sur le même diagramme les tensions et force électromotrice (échelle 1 cm pour 20 V)lorsque la fréquence passe de 50 Hz à 25 Hz. Faire figurer les angles j = (I, V), y = (I, E) et q = (E, V).Que dire de ces angles quand la fréquence f varie ?

Pour 50 Hz : V=220 V et Lω I=1,88×50=94 V

Pour 25 Hz : V=110 V et Lω I=1,88×25=47 V

Pour 50 Hz Pour 25 Hz

Les angles sont inchangés lorsque la fréquence varie.

d. Après avoir exprimé le moment du couple C du moteur, montrer qu’il est indépendant de la vitesse.Calculer sa valeur.

Il est toujours donné par C=PΩ

avec P=3V I cosϕ=3×4,4 . f ×15×cos ϕ et Ω=2π . fp

d'où

C=p.3×4,4 . f×15×cosϕ

2π . f=

3×4,4×15×0,6π =37,8 N.m

Le courant I étant fixé et ϕ ne dépendant pas de la fréquence, le couple est constant.

Étude simplifiée d’un moteur synchrone dit « autopiloté »Un moteur synchrone est alimenté par un réseau triphasé (220 V / 380 V, 50 Hz) par l’intermédiaire de deuxponts triphasés complets à thyristors, comme l’indique la figure cidessous.

Le pont 1 délivre une tension que l’on assimile à sa valeur moyenne U0, constante.

Le pont 2 fonctionne en commutateur de courant ; grâce à une inductance suffisante L0, le courant decirculation entre les deux ponts est parfaitement lissé. Son intensité est I0.

Afin d’assurer en permanence le synchronisme entre le rotor et le champ glissant créé par le stator, ce quiévite tout risque de décrochage, les signaux d’amorçage des thyristors du pont 2 sont élaborés à partird’impulsions issues d’un capteur qui détecte la position du rotor. Ainsi, il est possible de fixer le déphasage


y entre le fondamental du courant et la fém pour chaque enroulement du stator, conformément auxorientations choisies sur le schéma cidessous. Ceci équivaut à fixer le retard angulaire à l’amorçage desthyristors du pont 2. Le moteur ainsi alimenté et contrôlé est dit « autopiloté ».

3. Graphes des tensions et des courantsLes commutations sont instantanées et l’intensité du courant I0 est supposée constante. Les enroulements R,S, T du stator du moteur sont alors le siège de fém sinusoïdales formant un système triphasé eR, eS, eT dont lareprésentation est donnée sur le document réponse (page 13).La valeur efficace commune de ces fém est E = k1.i.W.

Les données dont les suivantes :

k1 = 0,28 unités S.I.

i = 6,5 A (intensité du courant d’excitation)

W vitesse angulaire du rotor en rad/s

eR=E 2sin t

Les thyristors du pont 2 s’amorcent selon la séquence 1, 3’, 2, 1’, 3, 2’, 1, … Dans les conditions de

fonctionnement du montage, le thyristor 1 s’amorce à t=5

6 et chacun des suivants avec un retard

angulaire

3 sur le précédent.

Pour chacun des groupes (1, 2, 3) et (1’, 2’, 3’), l’amorçage d’un thyristor bloque le précédent.a. Sur le document réponse, représenter

• sur les axes « conduction des thyristors » les intervalles de conduction de ces thyristors.

Voir le document réponse et le lien

• la tension u en fonction de wt.

Voir le document réponse et le lien

• l’intensité iR du courant circulant dans l’enroulement R du stator en fonction de ωt. Déduire de cettedernière représentation, en tenant compte des symétries de iR, l’allure du fondamental iRf de iR.

Voir le document réponse et le lien . Le fondamental du courant iR, noté iRf, est en bleu.

b. On note y le retard angulaire de iRf par rapport à eR. Déterminer y. Vérifier sur cet exemple l’exactitudede la relation générale entre y et l'angle a de retard à l'amorçage des thyristors : y = a – p

Sur le document réponse, on lit ψ=−π3

rad et α=2 π

3 rad . On vérifie bien la relation proposée


http://www.etasc.fr/index.php/page/cours/courantLignePD3/redressementC

http://www.etasc.fr/index.php/page/cours/tensionRedresseePD3/redressementC

http://www.etasc.fr/index.php/page/cours/commCatCom/redressementC

dans l'énoncé ψ=2π

3−π

4. Propriétés du moteur synchrone autopiloté

En raisonnant sur le fondamental du courant statorique, de valeur

efficace I f=6

I0, le modèle du stator du moteur est le suivant

On note IRf le nombre complexe représentant l’intensité sinusoïdaleiRf du fondamental.

La régulation impose =

3, i = 6,5 A.

a. Réaliser dans un cas général, mais pour un déphasage j = (IRf, VR) négatif, le diagramme des tensions (diagrammebipolaire). Faire figurer l’angle y.

Le vecteur associé à la tension statorique est placé horizontalement, celui associé au courant est en avancede ϕ , celui associé à la chute de tension aux bornes de la réactance synchrone est en avance de 90° sur lecourant.

b. Déduire une relation entre VR, cosj, E et cosyIl y a deux triangles rectangle, on peut écrire V cosϕ=E cos ψ

c. En exprimant l’égalité entre la puissance fournie par le pont et la puissance absorbée par le moteur, ennégligeant toutes les pertes, montrer que l’on peut écrire : U 0 I0=3 I Rf E cos

La puissance fournie par le pont est Pf=U 0 . I 0 et celle reçue par le moteur est Pm=3V IRfcos ϕ .Puisque les deux puissances sont égales (pas de pertes) et que V cosϕ=E cos ψ alorsU0 I0=3 EIRf cos ψ

d. Montrer que le moment C du couple moteur est proportionnel à I0 pour i et y donnés. Peuton faire unecomparaison avec un moteur à courant continu ? Quel élément impose la valeur de I0 ? Exprimernumériquement C(I0).

I f=6

I0 et E=k1iΩ donne P=U 0 I 0=3k1 .i.Ω . √6

π I 0cos ψ

On a toujours C=PΩ

soit C=3k1. i . √6π I 0 cos ψ ou C=3 k1. i . √6

π cos ψ . I 0


yj

Le terme K=3k 1. i . √6π cos ψ tel que C=K. I 0 est constant si i et ψ sont constants.

Comparaison avec la machine à courant continu :

• I 0 : courant dans l'induit

• i : courant dans l'inducteur (excitation)

• ψ : décalage des balais

Le courant est imposé par le couple donc par la charge mécanique reliée à l'arbre du moteur.

K=3×0,28×6,5 . √6π cos 60=2,13 N.m/A , on a donc C=2,13 . I 0

e. On rappelle que la valeur moyenne Uc de la tension u (figure 1) s’exprime en fonction de E et du retardangulaire a à l’amorçage des thyristors par la relation U c=2,34 . E.cosα . Exprimer U0 en fonctionde E et y. Montrer que la vitesse angulaire W du moteur synchrone autopiloté est proportionnelle à U0.Y a t il une analogie entre ce moteur et un moteur à courant continu ? Exprimer numériquement larelation entre W et U0.

On a U c=2,34 . E.cosα et ψ=α−π soit α=ψ+π donc cosα=−cos ψ

U c=−U 0=−2,34 . E .cos ψ soit U0=2,34 .E . cos ψ

Comme E=k1 iΩ alors U0=2,34 .k1iΩ . cos ψ qui donne Ω=U0

2,34 . k1 i . cos ψ

Comparaison avec la machine à courant continu : la vitesse de rotation dépend de la tension aux bornes del'induit et de l'intensité du courant d'excitation.

Application numérique : Ω=1

2,34×0,28×6,5×0,5U 0 soit Ω=0,470U 0

Document réponse


Exercice 12 : Alternateurs d'un Airbus A320

La génération électrique est assurée par deux alternateurs principaux de 90 kVA qui délivrent un systèmetriphasé de tensions 115 V / 200 V, 400 Hz. La vitesse est maintenue constante grâce à une régulationhydraulique de la vitesse de rotation des alternateurs.

Étude d'un alternateur non saturé

Le réseau de bord est alimenté en 400 Hz, c'est la fréquence des tensions et intensité statoriques del'alternateur. Pour l'Airbus A320, le constructeur donne :

Tension nominale VN/UN 115 V / 200 V

Nombre de phases 3

Puissance apparente nominale SN 90 kVA

Vitesse de rotation nominale nN 12,0.103 tr/min

Facteur de puissance 0,75 < cos j < 1

Résistance d'induit (par phase) Rs 10 mW

L'induit est couplé en étoile.


1 23

3'2'1'

I0

I0

On a effectué deux essais à vitesse nominale constante : nN

• Essai en génératrice à vide : la caractéristique à vide EV = f(Ie) où EV est la valeur de la fém induite à videdans un enroulement et Ie l'intensité du courant inducteur, est tracée à la page 16.

• Essai en courtcircuit : dans le domaine utile, la caractéristique de courtcircuit est la droite d'équation Icc = 3,07 Ie, où Icc est la valeur efficace de l'intensité de courtcircuit dans un enroulement du stator.

1. On s'intéresse au fonctionnement nominal

a. Calculer la pulsation des tensions de sortie de l'alternateur.La pulsation ω est donnée par ω=2π f =2π .400=2513 rad/s .

b. Déterminer le nombre de paires de pôles de la machine.

La vitesse n (en tr/min) est reliée à la fréquence f et au nombre de paires de pôles p par : n=60. fp

soit

p=60. fn

=60×40012000

=2

c. Calculer la valeur efficace du courant d'induit nominal IN.

La puissance apparente SN=√3U N IN soit IN=SN

√3U N

=90.103

√3 .200=260 A

2. On suppose l'alternateur non saturé. Pour décrire son fonctionnement on utilise le modèle équivalent parphase représenté cidessous

a. Calculer l'impédance synchrone Zs de l'alternateur.

On utilise l'essai en court circuit pour lequel Evcc=Zs . I cc soit Zs=Evcc

I cc

Pour I e=10 A on lit Ev=45 V sur la caractéristique à vide.

Pour Ie=10 A , on a I cc=30,7 A d'après la relation Icc = 3,07 Ie

On obtient Zs=45

30,7=1,46 Ω

b. En déduire la réactance synchrone Xs = Lsw.

Z s=√R s2+X s

2 donc X s=√Z s2−Rs

2=√1,462−(10.10−3)2=1,46 Ω

3. Dans toute la suite du problème, on néglige l'influence des résistances statoriques Rs.

a. Déterminer l'intensité Ie0 du courant inducteur pour un fonctionnement à vide sous tension nominale.La fém pour un fonctionnement à vide sous tension nominale est égale à la valeur efficace des tensionsstatoriques soit 115 V pour les tensions simples. On lit 26 A sur la caractéristique à vide.

b. La charge est triphasée équilibrée, l'alternateur fonctionne dans les conditions nominales, il débite soncourant nominal IN en retard sur la tension. Pour cos j = 0,75, représenter le diagramme vectoriel des


tensions et en déduire la valeur de la fém induite EV.Le vecteur associé à une tension statorique est placé horizontalement. Comme cosϕ=0,75 alorsϕ=41,4 ° : le vecteur associé au courant statorique est en retard de 41,4° sur la tension statorique. Le

vecteur associé à la chute de tension aux bornes de la réactance synchrone ( X s I ) est en avance de 90°sur le courant. On respecte l'équation V=Ev – j X s I (d'après la loi des mailles)

4. On s'intéresse au réglage de l'excitation de l'alternateur lorsqu'il débite son courant nominal IN.Déterminer la valeur du courant d'excitation qui permet de maintenir V = 115 V pour un fonctionnement àcos j = 0,75.Ce point de fonctionnement est le même que pour la question précédente, on lit donc sur la caractéristique àvide l'intensité correspondant à E = 470 V soit Ie≈108 A

Étude du circuit d'excitation

Le schéma du circuit d'excitation de l'alternateur principal est représenté à la page suivante.

Principe de fonctionnement• La tension aux bornes de l'inducteur de l'alternateur principal est produite à l'aide d'un alternateur

intermédiaire, appelé excitatrice, dont l'inducteur est fixe et l'induit, solidaire de l'arbre principal, esttournant.

• L'inducteur de l'alternateur intermédiaire est modélisé par sa résistance R1 et son inductance L1 ; il estparcouru par un courant i1(t) de valeur moyenne I1.

• L'excitatrice n'étant pas saturée on peut considérer que le courant Ie est proportionnel à I1.

• Le réglage du courant d'excitation principal Ie s'effectue donc par l'intermédiaire d'un hacheur qui contrôleI1.


PMG : alternateur à aimantspermanentsLes traits pointillés représententla partie mobile, les traits pleinsreprésentent la partie fixe. Lestrois alternateurs sont sur lemême arbre.

L'alternateur à aimants permanents (PMG) et le redresseur àdiodes qui alimentent le hacheur sont modélisés par ungénérateur, considéré comme une source de tension continueparfaite, fournissant une tension U0 = 140 V.

Le schéma est représenté cicontre :

On étudie le régime permanent où la conduction dans la charge(R1, L1) est ininterrompue. Les semiconducteurs qui composentle hacheur sont considérés comme parfaits.

L'interrupteur H est commandé à la fréquence f = 2,0 kHz et onnote a son rapport cyclique. Au cours d'une période T,l'interrupteur H est passant de 0 à aT, il est bloqué de aT à T.

5. Étude de l'inducteur de l'excitatrice

a. Tracer l'allure de la tension v1(t) lorsque a vaut 0,60.R1 = 9,0 WL1 = 0,10 H

De 0 à aT : v1(t) = U0

de aT à T : v1(t) = 0

b. Calculer V1, valeur moyenne de v1(t) en fonction de a et U0.

Valeur moyenne V 1=1T

αT U0=αU0

c. En déduire l'expression de I1, valeur moyenne de i1(t), en fonction de a, U0 et R1. Faire l'applicationnumérique pour a = 0,60.

D'après la loi des mailles, v1(t )=R1i1(t)+L1

d i1(t)dt

ce qui donne V 1=R1 . I 1 car la valeur

moyenne de la tension aux bornes de l'inductance est nulle (le courant i1( t) est périodique). Enremplaçant V1 par son expression en fonction de U0 : αU0=R1 . I 1 soit


I1=αU 0

R1

=0,6×140

9=9,33 A

6. Étude des variations du courant

a. Écrire les équations différentielles auxquelles satisfait i1(t) entre les dates 0 et aT, puis entre aT et T.

entre les dates 0 et aT : U0=R1i1(t)+L1

d i1(t )dt

entre aT et T : 0=R1i1(t)+L1

d i1( t)dt

b. En remarquant que L1

R1

≫T , représenter sans calcul l'allure du courant i1(t).

Dans cette situation, le courant est constitué de portions de droites : croissante entre 0 et aT et décroissanteentre aT et T.

7. On définit l'ondulation du courant par l'expression i1=I M−Im

2.

Dans le cas où i1≪ I 1 , on admet que l'ondulation peut s'exprimer sous la forme i1=1−U 0

2 L1 fPour quelle valeur de a l'ondulation Di1 estelle maximale ? Justifier la réponse. Quelle est son expressiondans ce cas ? Calculer sa valeur numérique sachant que L1 = 0,10 H.

L'ondulation est maximale pour α=0,5 (la dérivée d (Δ i1)

d α=

U 0

2 L1 f(1−2α) s'annule pour

α=0,5 )

On remplace α par 0,5 : Δ i1max=0,5 (1−0,5)U 0

2 L1 f=

U 0

4×2 L1 f=

1404×2×0,1×2000

=0,875 A


Caractéristique à vide


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