Dynamique des Structures EPFL – ENAC – IIC – IMAC

Corrigé du test de Dynamique des Structures Dr. Pierino Lestuzzi

Semestre automne - 2012

Question 1: [7 pts]

On considère le bâtiment de la Figure 1. On s’intéresse aux oscillations horizontales du

plancher du deuxième étage. Le plancher du 1er

étage étant de masse négligeable.

Figure 1 � = 200000��� = 182.6 ∙ 10���� ℎ = 3� � = 2.5�

1) Dessiner le système fondamental masse-ressort.

/1pt

2) Déterminer la rigidité équivalente ���

Soit k� =k� +k� + k� et k� = 3k�

1K!" = 1k� + 1k� ⇒ K!" = k� ∙ k�k� + k� = (k� +k� + k�) ∙ 3k�k� +k� + k� + 3k�

Selon le tableau des relations déplacement-force:

x(t)

& &

& &

ℎ

ℎ

ℎ ℎ

�

x(t)

'�

� '� '�

'� '� '�

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K!" = (12EIh� + 3EIh� + 0) ∙ 3 12EIh�12EIh� +3EIh� + 0 + 312EIh� = 18017 EIh� = 18017 ∙ 200000 ∙ 182.6 ∙ 10�3000� = 14321.6 Nmm = 1.432 ∙ 10/ Nm

/3pt

3) Déterminer la fréquence propre 01 du système.

f3 = 12π5K!"m = 12π51.432 ∙ 1072500 = 12.05Hz

/1pt

4) Calculer le rapport entre la nouvelle et l’ancienne fréquence propre si le système

statique du bâtiment est modifié comme dans la Figure 2 (en créant des rotules à la

connexion des poteaux et du plancher du 2ème

étage, ainsi qu’entre le poteau central et

le plancher du 1er

étage).

Figure 2

En créant des rotules dans les poteaux, on modifie la rigidité du système ; il faut donc déterminer la

nouvelle rigidité équivalente : k�8 = k� = 12EIh3 k�8 = 0 k�8 = k� = 0 k�8 = 3EIh3

K!"8 = (k�8 +k�8 + k�8 ) ∙ 3k�8k�8 +k�8 + k�8 + 3k�8 = (12EIh� + 0 + 0) ∙ 3 3EIh�12EIh� + 0 + 0 + 33EIh� = 367 EIh� = 6.956 ∙ 10� Nm

f38f3 =12π:K!"8m12π:K!"m = ;K!"8;K!" = < 367 EIh�18017 EIh� = 517 ∙ 367 ∙ 180 = 0.697

En créant des rotules dans les poteaux, on diminue la rigidité du système et ainsi, on diminue sa

fréquence propre.

x(t)

�

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/2pt

Question 2: [8 pts]

La Figure 3 représente la réponse =(�) d’une structure en mouvement.

Figure 3

Sur la base de ce graphique :

1) Déterminer la période >? de la structure et le niveau d’amortissement de la

structure.

La période de l’oscillation peut se lire sur le graphique pour un cycle : TA = 0.44s

C’est un niveau d’amortissement faible.

/1pt

2) Déterminer le facteur d’amortissement C en faisant l’hypothèse que D ≈ F1.

Ici, la méthode du décrément logarithmique est utilisée: x� ≅ 0.29m et x� ≅ 0.21m pour n=1 cycle.

δ3 = ln Lx�x�M ≅ ln L0.290.21M ≅ 0.32 λ = OPQR∙3 ≅ S.��S.��∙� ≅ 0.73Hz (λ!TUVW = 0.707Hz)

/2pt

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Temps [s]

Dépla

cem

ent

[m]

=� =�

>?

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3) Déterminer le coefficient d’amortissement ζ du système.

ν = �YQR = �YS.�� = 14.28 ZU[\

ζ = ]̂P ≅ ]_ ≅ S./���.�` ≅ 0.05 = 5% (ζ!TUVW = 5%)

/2pt

4) Déterminer la vitesse initiale bS de l’oscillation.

Partons de l’équation de l’oscillation avec amortissement faible : x(t) = ee]W fxS cos(νt) + VS + λxSν sin(νt)k

Sur la Figure 3, on peut lire xS = x(0) = 0.4 et x(t = 1s) = 0

On a donc,

x(t = 1s) = ee] fxS cos(ν) + VS + λxSν sin(ν)k = 0

x(t = 1s) = ee] fxS cos(ν) + VS + λxSν sin(ν)k = 0 ⇒ VS = −L νxStan(ν) + λxSM = −L14.28 ∙ 0.4tan(14.28) + 0.73 ∙ 0.4M = 0.53ms

Le calcul de VS est très sensible à la précision des paramètres déterminés précédemment. La

réponse exacte est VS = −0.3n\ . On admet donc les solutions dans l’intervalle [−1n\ ; 1n\ ].

/3pt

Question 3: [7 pts]

Le cadre représenté à la Figure 4 est soumis à une explosion dont l’effet peut être assimilé à

une charge latérale r(�) appliquée au niveau du toit (Figure 5). On néglige l’amortissement

(ζ = 0).

Figure 4 Figure 5

r(�) = {rS ��t 0 ≤ � ≤ �t0� > �t

m

rS F(t)

0 �t

F(t)

t (sec.)

���/2 ���/2

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��� = 10.53 ∙ 104x/� � = 1500'y rS = 50'x �t = 1.5z

1) Déterminer l’équation de l’oscillation =(�) durant l’explosion (0 ≤ � ≤ �t).

L’intégrale de Duhamel s’écrit: x(t) = 1mω3| F(τ) sin�ω3(t − τ)� dτWS

Avec :

r(�) = rS ��� ����0 ≤ � ≤ �t F(τ) = 0����� > ��

On a donc en intégrant par parties: x(t) = 1mω3| rS ��t sin�ω3(t − τ)� dτWS = rSmω3 �f ��t ∙ 1ω3 cos�ω3(t − τ)�k t0 −| 1�t ∙ 1ω3 cos�ω3(t − τ)� dτW

S �= rSmω3 �f ��t ∙ 1ω3k − f− 1�t ∙ 1ω3� sin�ω3(t − τ)�k t0�= rSmω3 f ��t ∙ 1ω3 + 1�t ∙ 1ω3� (0 − sin(ω3t))k = rSmω3� f ��t − 1�t ∙ 1ω3 sin(ω3t)k= rS��� � ��t − 1�t ∙ sin(ω3t)ω3 �

Numériquement, on a, avec ω3 = :���n = :10.53∙104��SS = 8.38 ZU[\ :

x(t) = 5000010.53 ∙ 10� � �1.5 − 11.5 ∙ sin(8.38t)8.38 � = 0.317 ∙ �� − sin(8.38t)8.38 �

/5pt

2) Le système oscillera-t-il toujours après l’explosion (� > �t)? Justifier sans établir les

équations.

Oui.

Justification: T3 = 2πω3 = 2π8.38 = 0.75s

Le rapport ��QP = 2 indique qu’au temps �t , le deuxième cycle de l’oscillation forcée se termine.

La vitesse est donc nulle à ce moment-là, mais le déplacement n’est pas nul et est égal au

déplacement statique ��� = �����. Après le temps �� , la structure continue donc à osciller

librement selon un mouvement non amorti dont le déplacement initial est le déplacement

statique ��� .

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/2pt

Question 4: [8 pts]

Les fondations du cadre représenté à la Figure 6 sont soumises à un déplacement=�(�) ==�Ssin(F�). Considère que la masse est concentrée sur la traverse et que l’amortissement

estζ = 0.2 .

Figure 6

=�S = 25�� F = 3.5 ���z ��� = 13.12 ∙ 104x/� � = 1750'y

1) Calculer le déplacement maximal en tête de colonne.

C’est un cas de mouvement de la fondation. Le déplacement maximal se détermine en utilisant

l’expression de la transmittance.

ω3 = 5���m = 513.12 ∙ 10�1750 = 8.66 rads

λ = ζω3 = 0.2 ∙ 8.66 = 1.73 rads ωω3 = 3.58.66 = 0.40 ≠ 1

La transmittance se calcule donc ainsi :

R  = 51 + 4λ�ω�ω3�5L1 − ω�ω3�M� + 4 λ�ω3� ∙ ω�ω3�

= :1 + 4 ∙ 1.73� ∙ 3.5�8.66�5L1 − 3.5�8.66�M� + 41.73�8.66� ∙ 3.5�8.66�

= 1.19

xnUT = x¡SR  = 25 ∙ 1.19 = 29.75cm

/3pt

2) Donner trois solutions de modification possible pour réduire le déplacement maximal.

1) Augmenter la rigidité de la structure en augmentant l’inertie des poteaux du cadre.

���/2 ���/2

�

=�(�)

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2) Réduire la masse de la structure en utilisant des matériaux plus résistants.

3) Changer le système statique ; par exemple, isoler le sol de la structure en mettant des appuis

à rouleau à la place des encastrements comme cela a été fait pour le Los Angeles City Hall.

/3pt

3) On propose d’augmenter l’amortissement de 0.2 à 0.7 sans changer la rigidité ni la masse

de la structure. Expliquer, sans refaire de calculs, pourquoi ce n’est pas une bonne idée.

Selon la courbe de R  de la page 20 du polycopié, pour ^̂P = 0.4 , la transmittance et ainsi le

déplacement maximal ne varient que très peu en passant d’un amortissement de 0.2 à 0.7. Ainsi,

les moyens engagés pour augmenter le coefficient d’amortissement de la structure de 0.2 à 0.7

ne sont pas proportionnés par rapport à la réduction du déplacement maximal.

D’un autre côté, si ^̂P > √2 , en passant d’un amortissement de 0.2 à 0.7, la transmittance

augmenterait. Dans ce cas, cette mesure conduirait à un plus grand déplacement maximal de la

structure. Il faut donc être prudent avec la modification de l’amortissement.

/2pt

BONUS

Un système en oscillation amortie est entretenu par une force harmonique dont la

fréquence est de 3£¤. La pulsation propre du système est de �¥√� ¦§t� .Quelle part de la force

appliquée est transmise à la fondation ?

La part de force transmise est fonction du rapport ^̂P . Ici, on a :

ωω3 = 2πfω3 = 2π36¨√2 = 33√2 = ;2

Quel que soit l’amortissement du système, pour ^̂P = √2 , la transmittance ©ª vaut 1.

La part de la force appliquée au système qui est transmise à sa fondation est donc 100%.

/2pt