CORRÉLATIONS ET AGRÉGATION DES

RISQUES NON-VIE :

ASPECTS THÉORIQUES ET RÉALITÉ

OPÉRATIONNELLE

CONGRÈS DES ACTUAIRES, JUIN 2014

YANNICK APPERT-RAULLIN, PACIFICA

PHILIPPE TANN, GIE AXA, GROUP RISK MANAGEMENT

LAURENT DEVINEAU, MILLIMAN

1

Sommaire

• Analyse théorique de l’agrégation FS

• Problématiques et méthodologies

• Le pilotage des effets de diversification

• Objectif : l’analyse du processus d’agrégation des risques prime / réserves de la Formule Standard (FS) permet d’identifier les facteurs de risque sous-jacents au calcul du SCR et de caractériser le type de corrélations considérées

• Il est également intéressant de rapprocher ces travaux d’analyse des techniques mises en œuvre

par le Régulateur pour calibrer les paramètres de corrélation

• Ci-dessous un diagramme de synthèse du calcul du SCR prime / réserves de la FS :

• Etape 0 : calcul de mesures de volume pour chaque risque et chaque Lob -> Vprem,lob (volume de

primes par Lob) and Vres,lob (volume de réserves par Lob)

• Etape 1 : calcul d’un coefficient de variation par Lob à partir des paramètres FS :

Agrégation FS des risques prime / réserves Rappel de la méthodologie (1/2)

lobreslobprem

lobreslobreslobreslobreslobpremlobpremlobpremlobprem

lobVV

VVVV

,,

2

,,,,,,

2

,, ..2

…

Coefficients de variation du

risque de prime

…

Coefficients de variation

du risque de réserves

Corrélation entre les facteurs de risque prime et réserves

- = 50% -

• Diagramme de synthèse du calcul du SCR prime / réserves de la FS (suite) :

• Etape 2 : agrégation des coefficients de variation entre Lob

• Etape 3 : calcul du SCR via la relation

• Ce calcul découle d’une hypothèse de loi log-normale du facteur de risque global (i.e somme de la charge

des sinistres futurs avec la charge résiduelle des sinistres en stock divisée par la mesure de volume globale)

• L’espérance (resp. le coefficient de variation) du facteur de risque global est supposée égale à 100% (resp. à la

valeur calculée en étape 2)

• Par simplification, l’approximation suivante est faite :

Agrégation FS des risques prime / réserves Rappel de la méthodologie (2/2)

1

1²

1²lnexp)(*)(

%5,99

NwithVSCR

lob

lob

Calculé en étape 2

Hypothèse log-normalité du

facteur de risque global

cr

crcrcr

loblob

loblobloblobloblob

lob

lob

VVCorrLob

V,

,2

1

Corrélations entre lob

lob

lobVSCR .3

3)(

lob

lobres

res

loblobprem

prem

lob

lob

lobreslobprem

lob

lobreslobprem

VLVLVVVV

L,,

),(),(),(),(

..1

• L’analyse du processus d’agrégation de la FS permet de mettre en évidence les variables aléatoires sous-jacentes au calcul du SCR prime / réserves :

• Les coefficients de corrélation considérés dans l’agrégation FS sont homogènes à des corrélations linéaires des variables introduites ci-dessus :

Agrégation FS des risques prime / réserves Facteurs de risque et corrélations (1/2)

Loss ratio par lob Par cohérence avec le cadre Solvabilité 2 (vision

économique et horizon 1 an) -> cet élément doit

correspondre à un loss ratio BE vu en fin de première

année de survenance

Ratio des BE de réserves par lob Par cohérence avec le cadre Solvabilité 2 (vision économique et horizon 1

an) -> cet élément doit correspondre à la somme des paiements

incrémentaux de l‘année avec le BE des réserves dans 1 an divisée par le

BE des réserves en t=0 : (BEres(1)+P(1)) / BEres(0)

LVLLVLVLLlob

loblob

lob

lobres

res

loblobprem

prem

lob ... ,,

Corrélation des risques prime / réserves = 50 % Corrélations entre lob

Pour une Lob fixée -> cette corrélation est

homogène à une corrélation linéaire entre les

variables « loss ratio » et « ratio de BE »

Les paramètres de corrélation sont

homogènes à des corrélations linéaires

entre les couples (Llob(r), Llob(c) )r,c

Loss ratio global

sous-jacent au

calcul du SCR

• Remarque : une agrégation prime / réserves au sein d’un modèle interne partiel (MIP) peut

être conceptuellement différente

• Exemple -> cas d’un MIP reposant sur :

• Une approche simulatoire des sinistres futurs (risque de prime) afin d’appliquer de manière adéquate la

réassurance non-proportionnelle

• Une formule fermée de type Wuthrich pour l’estimation de la MSEP (Mean Square Error of Predication) à 1 an

des sinistres en stock (risque de réserves)

Agrégation FS des risques prime / réserves Facteurs de risque et corrélations (2/2)

Development year j

Accident year i 0 1 … I-1 I

0

1

…

I-1

I

Development year j

Accident year i 0 1 … I-1 I

0

1

… I-1

I

Bilan éco. en t=0

A(0) NAV(0)

BE(0)

t=0 t=1

Bilan éco. en t=1

A(1) NAV(1)

BE(1)

10 %5.0 NAVqNAVSCRpremium

Simulation des sinistres

futurs

)()1(ˆ11 III BEPBEIRDCt=0 t=1

DI DI+1

1%5.0 ICDRqSCRreserve

MSEP calculée par formule

fermée de type Wuthrich +

hypothèse de distribution

Modélisation du risque de prime Modélisation du risque de réserves

lob

loblob

lob

lobres

res

loblobprem

prem

lob VLLVLVLL ... ,,

Corrélation entre loss ratios et ratio de BE

≠ reservepremiumSCRSCRreservepremium SCRSCRSCRSCRSCRreservepremium

.2,

22

Corrélation entre SCR Conceptuellement différent

• Point d’attention : le paramètre permettant d’agréger des SCRpremium et SCRreserve est conceptuellement différent de la

corrélation utilisée pour agréger des coefficients de variation

• Les corrélations FS du risque de souscription non-vie sont évoquées dans différents documents produits par l’EIOPA :

• Final Advice – Article 111(d) Correlations (former Consultation Paper 74) – January 2010

• Ce papier détaille les choix des paramètres de corrélation pour différents risques …

… et certaines problématiques concernant l’agrégation des SCR à partir des paramètres de corrélations : par exemple, si deux risques sont non corrélés le paramètre permettant d’agréger les SCR respectifs peut être différent de 0.

• S’agissant des risques prime / réserves, le régulateur indique que le choix de corrélations linéaires est cohérent avec l’approche d’agrégation FS basée sur un calcul de coefficient de variation consolidé

• CP 74 - 3.94 : […] we note that these correlations, in contrast to all other correlations considered in this

paper, are intended to directly aggregate standard deviations instead of capital requirements. Therefore,

in this case the correlation parameters should be set as linear correlation coefficients.

• Consultation Paper 71 – Calibration of non-life underwriting risk – November 2009

• Ce document décrit uniquement les travaux de calibrage des coefficients de variation (dénommés « standard déviations » dans les textes réglementaires) prime / réserves

• L’estimation des corrélations n’est pas traitée dans ce document. Une référence est fait au « QIS3 calibration

paper » publié en 2007

• CP 71 - 3.356 : CEIOPS considers the calibration presented in QIS 3 to be appropriate. […]

• CP 71 - 3.357 : For the correlation factor between premium and reserve risk the QIS4 factor of 50% should be kept.

Agrégation FS des risques prime / réserves Travaux de calibrage des corrélations effectués par le régulateur (1/2)

• Documents produits par l’EIOPA (suite) :

• QIS3 Calibration of the underwriting risk, market risk and MCR – April 2007

• Dans ce document le régulateur traîte du type de corrélations à considérer insistant sur le fait que les corrélations

linéaires sont en général inadéquates pour refléter la dépendances des extrêmes

• QIS 3 – calibration of the underwritting risk – 1. 84 […] when selecting correlation coefficients, allowance should be made for non-linear tail correlation, which is not captured under a “pure” linear correlation approach.

• Remarque : le calibrage des corrélations FS prime / réserves est uniquement détaillé dans le document « QIS3 calibration paper » publié en 2007

• Ci-dessous les principaux points concernant les travaux de calibrage :

• Données utilisées : historique de loss ratios de compagnies allemandes sur la période 1988-2002

• Hypothèses formulées par le régulateur :

• La corrélation entre (prem,lob1) et (prem,lob2) est la même que celle entre (res,lob1) et (res,lob2)

• Pour chaque Lob -> la corrélation entre les risques de prime et de réserves est fixée à 50%

• La corrélation entre (prem,lob1) et (res,lob2) correspond à 50% de la corrélation entre (prem,lob1) et (prem,lob2)

• Conclusion : la matrice de corrélation FS du risque de souscription non-vie repose uniquement sur des travaux d’estimation menés sur historiques de loss ratios

• Ces loss ratios sont d’ailleurs très probablement vus à l’ultime

Agrégation FS des risques prime / réserves Travaux de calibrage des corrélations effectués par le régulateur (2/2)

Sommaire

• Analyse théorique de l’agrégation FS

• Problématiques et méthodologies

• Le pilotage des effets de diversification

Retour d’expérience

Modèle interne versus formule standard

• Le Groupe AXA a mis en place un modèle interne pour la quantification des principaux

risques auxquels il est exposé afin de mieux prendre en compte son profil de risque et

des effets de diversification.

• Le cadre de modélisation de la dépendance linéaire entre risques proposé par la

formule standard présente des limites que le modèle interne cherche à y remédier:

• problème de la dépendance non-linéaire des évènements extrêmes: par exemple,

la dépendance entre lignes d’affaires pour les risques premium réserves

• difficulté dans l’interprétation des valeurs de la matrice de corrélation entre lignes

d’affaires proposée par la formule standard et nécessité de s’assurer que

l’exigence en capital réglementaire n’est pas sous-estimée avec cette matrice

• scénarios des catastrophes naturelles définis dans la formule standard peu

adaptés pour un assureur disposant un grand nombre d’entités internationales

Risques et opportunités

• Opportunités du modèle interne:

• possibilité d’implémenter une approche empirique des risques grâce aux données internes disponibles

• amélioration des connaissances des risques liées au comportement des assurés (i.e. behavioural risk)

• pilotage de la compagnie en tenant compte de son profil de risques

• contribution à la recherche actuarielle

• Limites:

• coût important dans l’implémentation et la maintenance du modèle

• risque de concentration d’expertise technique

• complexification du modèle au détriment de l’analyse des risques

• volatilité des résultats obtenus

• volumétrie des données limitée

• production importante de documentations et de justification du modèle interne pour l’approbation auprès des régulateurs européens

Un exemple: analyse de la dépendance entre les lignes

d’affaires pour les risques non-vie et non-CAT

• La diversification entre lignes d’affaires pour les risques non-vie et non-CAT représente une part important des effets de diversification totaux dont pourrait bénéficier le groupe AXA.

• Dans le cadre de la formule standard, une matrice de corrélation standard entre les lignes d’affaires est proposée pour l’agrégation des SCRs.

• Problème: Difficulté d’interprétation de la matrice QIS, qui n’est pas parfaitement adaptée à la segmentation interne du portefeuille d’AXA

• Développement d’une méthode permettant de modéliser la dépendance entre lignes d’affaires à partir d’une analyse des risques inhérents aux différents portefeuilles d’AXA

• Développement d’un modèle fournissant une estimation de la corrélation implicite à 1 an entre 2 lignes d’affaires pour le risque de réserve à partir des triangles (cf. article One-Year Volatility of Reserve Risk in a multivariate framework)

Application numérique du modèle (1/2)

• Principe de modélisation:

• Extension du modèle de Braun développé uniquement pour la vision ultime à la vision à 1 an en adoptant une approche similaire à celle de Wüthrich pour généraliser le modèle de Mack à 1 an

• Exemple numérique: corrélation entre les lignes RC Auto et RC Entreprises pour une entité du groupe AXA

• Conclusion?

Corrélation QIS 50%

Corrélation 2012 59%

Corrélation 2013 36%

Application numérique du modèle (2/2)

• Exemple numérique: corrélation entre les lignes RC Auto et RC Entreprises pour une entité du groupe AXA

• Impact: Exemple d’une entreprise qui n’a que deux lignes d’affaires

• Comment conclure?

Ligne d’affaire SCR

RC Auto 200

RC Entreprises 100

Corrélation

choisie

Valeur Risque de

réserve

Corrélation QIS 50% 264

Corrélation 2012 59% 271

Corrélation 2013 26% 246

Défis du practicien

• Compréhension et diffusion des connaissances sur le modèle

interne en dehors du monde du risk management (souscripteurs,

financiers…)

• Calibrage des matrices de corrélation avec le projet des risk drivers

basé sur l’identification des facteurs de risques par les business lines

• Renforcement du lien entre le modèle interne et le pilotage et

l’allocation du capital

• Accompagnement de l’évolution de la recherche actuarielle

Sommaire

• Analyse théorique de l’agrégation FS

• Problématiques et méthodologies

• Le pilotage des effets de diversification

Un pilotage stratégique adapté à la culture de risques de

l’entreprise

Art. 45 de la Directive Européenne Solvabilité II

• Dans le cadre de son système de gestion des risques, chaque entreprise d’assurance et de réassurance procède à une évaluation interne des risques et de la solvabilité.

• L’évaluation interne des risques et de la solvabilité fait partie intégrante de la stratégie commerciale et il en est tenu systématiquement compte dans les décisions stratégiques de l’entreprise.

L’ORSA facilite cet exercice d’intégration du risque par le biais de mesures de performance ajustées du risque au niveau de la tarification, de la création de nouveaux produits, du processus budgétaire et de l’allocation stratégique du capital.

Limite : l’exigence en capital (en formule standard) est « bottom-up » conduisant à un capital consolidé relatif à un agrégat de segments. Comment allouer ce capital afin de déterminer la consommation en capital réelle des différents segments après bénéfices de diversification ?

Un bénéfice de diversification caractérisé par des matrices

de corrélations linéaires

Aggrégation

intra-modulaire

Aggrégation

inter-modulaire

Les capitaux élémentaires d’un même module de

risque sont agrégés, prenant ainsi en compte la

diversification existante au sein d’un même module

de risque.

Les sous-capitaux agrégés issus de l’étape ci-

dessous sont ensuite agrégés entre eux afin

d’obtenir le capital BSCR.

Le calcul des capitaux élémentaires est réalisé à partir de coefficients de chocs, puis les capitaux sont agrégés au moyen de coefficients de corrélation linéaires.

L’allocation de l’exigence en capital global Solvabilité II à un sous-niveau d’aggrégation, peut être définie « mathématiquement » par des approches théoriques : méthode proportionnelle, méthode marginale, méthode de Shapley, méthode d’Euler ou méthode d’Aumann-Shapley.

Une analyse de la création de valeur par segment d’activité

(« Line of business ») possible

L’exigence en capital réallouée par « LoB » (« Motor vehicule liability insurance »,

« Other motor insurance », « MAT insurance», « Fire insurance » … cf Spécifications

techniques ) permet d’analyser la création de valeur à cette maille et améliorer le

pilotage de l’entreprise. La création de valeur évoquée peut être vue comme une

mesure de la rentabilité incluant le coût des fonds propres diversifiés.

Les limites discutables :

• L’hypothèse de la mesure de risque (« Value at Risk » sous Solvabilité 2) : il est envisageable de

calculer le capital économique à partir d’autres mesures de risque, tout en satisfaisant le critère de

solvabilité à un an. Quid du « use test »? Quid de l’écart « Capital réglementaire SCR » vs « besoin

global de solvabilité » ?

• L’hypothèse de corrélation linéaire et du paramétrage des coefficients de corrélation linéaire : Est-ce

que ces hypothèses sont le reflet de la dépendance entre les SCR modulaires? Pouvons nous

supposer qu’en raison de la faible probabilité de survenance simultanée de tous les évènements

adverses ces paramètres ont pour simple ambition d’atténuer l’exigence globale de capital ?

• Les Directions Opérationnelles, Techniques, Produits doivent être associées à ces notions et

comprendre l’origine de ce « chargement » qu’est le coût du capital. Les équipes Risques, Modèle,

Solvabilité doivent faire preuve de pédagogie.

Mais PACIFICA ne vend pas de produit « Other Motor

insurance », « MAT insurance »,…

Le pilotage stratégique a besoin d’une vision « multi dimensions » :

• « LoB » pour le capital réglementaire

• Produit pour l’optimisation du développement stratégique

• Garantie pour l’optimisation tarifaire

• Client ou Famille de client pour l’optimisation du développement commercial

• Réseau de distribution

• Catégorie ministérielle (pour les nostalgiques)

La statistique a des limites notamment caractérisées par la notion de groupes homogènes de risque

• Il est nécessaire de mettre en place des « jeux » d’hypothèses en accord avec les différentes directions de l’entreprise.

Le responsable de la gestion des risques doit trouver le compromis entre

modèle mathématique et stratégie commerciale de l’entreprise