7/24/2019 Correction TD7 SA

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TD SA n7 : lments de correction

1) Labaque de Black nest utilisable que dans le cas dun bouclage par retour unitaire ; cest

le cas ici. Pour ltude en frquence, on substitue ppar j . On obtient :

0,53,5

1 0, 2

je

T j j j

Dtermination du module

0,53,5

1 0, 2

jeT j

j j

220 3,5 20 20 1 0, 04dBT j Log Log Log

210,88 20 10 1 0, 04dB

T j Log Log

Dtermination de largument

0,53,5 1 0, 2jArg T j Arg Arg e Arg j Arg j

180

0,5 90 0, 2Arg T j Arctan

Une programmation de la calculatrice, en mode degr,permet dobtenir le tableau ci-dessous :

( / )rad s 0,1 0,2 0,5 0,7 1 1,5 2 2,5 3 4

dB

T j 30,9 24,8 16,9 13,9 10,7 7 4,2 2 0 -3,3

Arg T j -94 -98 -110 -118 -130 -150 -169 -188 -207 -243

Lieu de Black de la FT

Dphasage Entre/Sortie (deg)

Gain(dB)

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-20

-10

0

10

20

30

40

6 dB

3 dB

1 dB

0.5 dB

0.25 dB

0 dB

-1 dB

-3 dB

-6 dB

-12 dB

-20 dB

Figure 1

7/24/2019 Correction TD7 SA

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Selon le critre de revers, la boucle obtenue par bouclage retour unitaire est instable. On ne

peut dont dfinir de marge la stabilit.

2) Correction proportionnelle

Il faut descendre le lieu de Black de sorte quil passe par le point de coordonnes BO

(0dB,-180+45=135).

On lit sur la courbe : ( ( )) 135 9, 75Arg T j GdB dB

Il faut dont ajouter -9,75dB la courbe pour obtenir une marge de phase de 45.

20 9, 75RLog K dB 9,75

2010 0,33RK

.

Nichols Chart

Open-Loop Phase (deg)

Open-LoopGain(dB)

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

6 dB

3 dB

1 dB

0.5 dB

0.25 dB

0 dB

-1 dB

-3 dB

-6 dB

-12 dB

-20 dB

System: ftbo

Phase Margin (deg): -26.9

Delay Margin (sec): -0.157At frequency (rad/sec): 3

Closed Loop Stable? No

System: ftbocpro

Phase Margin (deg): 45

Delay Margin (sec): 0.698At frequency (rad/sec): 1.13

Closed Loop Stable? Yes

Figure 2

3) Correcteur avance de phase

Le correcteur avance de phase a pour structure : 1

11

a T pC p avec a

T p

Il permet dajouter une avance de phase max1

arcsin1

a

a

la pulsation

1

T a

.

Ici, le lieu de black de la FTBO coupe laxe des 0dB en un point dabscisse0

207dB

la

pulsation de coupure0

3,1 /c dB rad s .

7/24/2019 Correction TD7 SA

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Pour obtenir une marge de phase de 45, on va donc devoir ajouter une avance de phase de

max 207 135 72 la pulsation 0 3,1 /c dB rad s .

Le calcul donne :

Il reste compenser le gain introduit par ce correcteur la pulsation correcteur,

On calcule 0c dBC j 2.0136 + 6.1575j =6,48 72 ; Ce correcteur apporte bien 72 dephase supplmentaire comme requis, mais aussi il amplifie dun facteur 6,48 cette pulsation.

Cette amplification modifie la pulsation de coupure qui permet de dfinir la marge de phase !

On compense donc cette amplification non souhaite pour rtablir la pulsation de coupure etpar suite

Au final, 1 2.093

0,1544.1 0.0531

pC p

p

Nichols Chart

Open-Loop Phase (deg)

Open-LoopGain(dB)

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

6 dB

3 dB

1 dB

0.5 dB

0.25 dB

0 dB

-1 dB

-3 dB

-6 dB

-12 dB

-20 dB

System: ftbo

Phase Margin (deg): -26.9

Delay Margin (sec): -0.157

At frequency (rad/sec): 3

Closed Loop Stable? No

System: ftbocavan

Phase Margin (deg): 44.9

Delay Margin (sec): 0.261

At frequency (rad/sec): 3

Closed Loop Stable? Yes

Figure 3

max

max

max

1 sin1arcsin

1 1 sin

1

aa

a

Ta

40

53

a

T ms

7/24/2019 Correction TD7 SA

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4) Correcteur retard de phase

Le correcteur retard de phase a pour structure : 1

11

T pC p avec b

b T p

Le but est de modifier le lieu de Black de la fonction de transfert corrige en boucleouverte de sorte que le critre de revers soit respect.

Le correcteur retard de phase permet dajouter du gain en basse frquence ou, selon

un autre point de vue, de diminuer le gain au del dune certaine frquence. Cest ce second

point de vue qui nous intresse ici, on va attnuer le gain dans la boucle ouverte, de sorte que

le lieu de la figure 1 sabaisse au dessous du point critique. Il faut alors dimensionner ce

correcteur pour que le retard de phase induit nait pas dinfluence dans la bande de frquence

autour du point critique.

A partir de la pulsation de coupure1

T

, la correcteur retard de phase apporte une

attnuation de 20Log b dB.

On doit dimensionner ce type de correcteur pour avoir une marge de gain de 10dB. Ici, le lieu

de black de la FTBO coupe laxe des -180 de dphasage en un point dordonne

2,9GdB dB la pulsation de 2, 32 /rad s .

Pour obtenir la marge de gain de 10dB, il faut donc ajouter 12,9dB cette pulsation.

Pour que le retard de phase introduit par ce correcteur ne soit pas oprant dans la gamme de

frquence autour du point critique , on va considrer une frquence de coupure du

correcteur plus petite dun facteur 10, approximation classique dune dcade pour lesfonctions de transfert du 1erordre.

Le calcul donne

Nichols Chart

Open-Loop Phase (deg)

Open-LoopGain(dB)

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

6 dB

3 dB

1 dB

0.5 dB

0.25 dB

0 dB

-1 dB

-3 dB

-6 dB

-12 dB

-20 dB

System: ftbocret

Gain Margin (dB): 9.41

At frequency (rad/sec): 2.16

Closed Loop Stable? Yes

Figure 4

20 ( ) 12,9

1

10

Log b

T

4,42

4,31

b

T

1 4, 31

1 19,05

pC p

p

7/24/2019 Correction TD7 SA

5/6

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

6 dB

3 dB

1 dB

0.5 dB

0.25 dB

0 dB

-1 dB

-3 dB

-6 dB

-12 dB

-20 dB

Nichols Chart

Open-Loop Phase (deg)

Open-LoopGain(dB)

Figure 5

Au regard des marges de stabilit, le correcteur retard de phase est, ici, plus performant.

Remarque : le fait que le correcteur retard de phase ait une marge de phase de 45, identique

celles obtenues pour les correcteurs proportionnel et avance de phase est fortuit.

La fonction de transfert considrer pour tracer le lieu de black demand est :

0,53, 5 1 4, 31

1 19, 05 1 0, 2

jj eFTBOC j

j j j

( / )rad s 0,1 0,2 0,5 0,7 1 1,5 2 2,5 3 4

dB

T j 25 15,35 4,74 1,41 -2 -5,82 -8,6 -10,9 -12,9 -16,2

Arg T j -133 -132 -129 -132 -140 -156 -174 -188 -211 -246

Etude des erreurs de positions et de vitesse dans les diffrents cas de figure :

Le cours donne les dfinitions de ces erreurs en fonction de lordre et du t ype du systme. On

peut prfrer, dune manire plus gnrale, recalculer ces erreurs partir de leurs dfinitions

intrinsques :

lim

lim

positiont

vitesset

t pouruneentreen chelon

t pouruneentreen rampe

7/24/2019 Correction TD7 SA

6/6

0

20

1lim 1

1lim 1

positionp

vitessep

p FTBF pp

p FTBF pp

Si le bouclage envisag est unitaire :

1

1 11 1

FTBO p denFTBOFTBF p

FTBO p FTBO p denFTBO numFTBO

Au final,

0

0

lim

1lim

positionp

vitesset

denFTBO

denFTBO numFTBO

denFTBO

p denFTBO numFTBO

1.

Le systme possde un intgrateur dans la chane directe, on peut donc affirmer que

lerreur de position est nulle, quelque soit la correction envisage.

2. Le systme est de type 1. Plus le gain dans la boucle est important et plus lerreur de

vitesse est faible.

0,53,5

1 0, 2

peFTBONC j

p p

0,33

RK

1 2.0930,1544.

1 0.0531

p

p

1 4, 31

1 19,05

p

p

0

1limp

denFTBO

p denFTBO numFTBO

1

0,33 3,5

1

0,1544 3,5

1

3,5

Erreur de vitesse 87 % 185% 28,6%

Ici, selon ce critre, cest le correcteur retard de phase qui est le plus performant.

Au final, cest le correcteur retard de phase qui est le plus adapt des 3 correcteurs

envisags. La boucle obtenue est la fois plus stable et un suivi de consigne plus rapide.