KdV Cas général CLT, CLA

Conditions aux limites pour les équations dispersives

Corentin Audiard UPMC, Laboratoire Jacques-Louis Lions

1 décembre 2014

Corentin Audiard UPMC, Laboratoire Jacques-Louis Lions From GP to EK

KdV Cas général CLT, CLA

Plan

1 L’exemple de KdV

2 Le cas général

3 Conditions aux limites absorbantes

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Un résultat contre intuitif pour KdV :

∂t u + u∂x u + ∂3x u = 0,

les ondes se déplacent vers la droite (solitons de la forme u(x − ct), c > 0), mais il faut imposer trois conditions au bord : une à gauche et deux à droite. Argument d’énergie : sur [0,∞[

‖u(·,T )‖2L2(R+) − ‖u(·, 0)‖ 2 L2(R+) =

∫ T 0

2u3(0) 3

− ∂x u(0, t)2 + 2u(0, t)∂2x u(0, t)dt ,

l’unicité requiert u(0, t) = 0, mais sur ]−∞, 0]

‖u(·,T )‖2L2(R−) − ‖u(·, 0)‖ 2 L2(R−) =

∫ T 0

−2u3(0) 3

+ ∂x u(0, t)2 − 2u(0, t)∂2x u(0, t)dt ,

l’unicité requiert u(0, t) = ∂x u(0, t) = 0.

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Ce n’est pas un artefact des calculs :

Theorem (Holmer 06)

Il existe une infinité de solutions au problème ∂t u + u∂x u + ∂3x u = 0, (x , t) ∈ R− × [0,∞[ u|t=0 = u0, u|x=0 = 0,

ainsi qu’à  ∂t u + u∂x u + ∂3x u = 0, (x , t) ∈ R− × [0,∞[ u|t=0 = u0, ∂x u|x=0 = 0,

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Une interprétation algébrique dans le cas linéaire : on fixe τ = γ + iδ, γ > 0 et on liste les solutions de la forme eλx+τ t , de limite nulle à l’infini. Alors

λ3 + τ = 0 et Re(λ) < 0.

On note E−(τ) l’espace vectoriel engendré par ces solutions, ie

E−(τ) = { ∑

αj e λj x+τ t , αj ∈ C}

Pour −τ = reiθ, θ ∈]π/2, 3π/2[ fixé, il n’y a qu’une seule solution, λ− = r1/3jeiθ/3, et on a simplement

E−(τ) = {αeτ t+λ −x}, dim(E−(τ)) = 1.

Remarque : la dimension de E− est indépendante de τ , c’est lié à une propriété algébrique du symbole de l’équation.

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La condition aux limites B(u, ∂x u, ∂2x u) = 0 donne unicité des solutions sous réserve que

∀ u ∈ E−, B(u) = 0⇒ u = 0.

Autrement dit, B est une injection. On peut aussi montrer que l’existence d’une solution requiert que B soit une surjection, donc

Condition de Kreiss-Lopatinskii il existe γ > 0 tel que l’opérateur B est un isomorphisme E−(τ)→ Im(B), ∀ τ = γ + iδ.

Quelques exemples :

1 Dirichlet B(u) = u(0), B(eλx+τ t ) = 1, KL est vérifiée.

2 Neumann B(u) = ∂x u(0), B(eλx+τ t ) = (−τ)1/3, ok aussi.

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Sur R−, on a deux solutions à l’équation

λ3 + τ = 0, Re(λ) > 0,

qui sont λ+k = j −k r1/3eiθ/3, k = 0, 1, l’espace E−(τ) est donc

E−(τ) = { 1∑

k=0

αk e τ t+λ+k x}.

A nouveau, on remarque dim(E−) = 2 ne dépend pas de τ , la condition de Kreiss-Lopatinskii B : E− → Rk bijectif implique k = 2.

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Condition de Kreiss-Lopatinskii uniforme : l’espace E−(τ) a été défini pour Re(τ) ≥ 0. On remarque que l’espace E−(τ) “admet une limite” pour Re(τ)→ 0, c’est à dire eτ t+λx a une limite. On “prolonge par continuité” E− à Re(τ) ≥ 0. Pour certaines formes de B, la condition de Kreiss-Lopatinskii est équivalente à

∀ τ ∈ S1, Re(τ) > 0, B : E−(τ)→ Im(B) est un isomorphisme.

La condition de Kreiss-Lopatinskii uniforme s’écrit

∀ τ ∈ S1, Re(τ) ≥ 0, B : E−(τ)→ Im(B) est un isomorphisme.

La version uniforme assure que “la condition ne dégénère pas sur les bords du demi-cercle”.

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Pour une classe d’équations aux dérivées partielles satisfaisant les mêmes propriétés algébriques, on peut définir similairement la condition de Kreiss-Lopatinskii. Classe considérée

P(∂t , ∂x1 , · · · , ∂xd )u = f , P polynôme “quasi-homogène”,

P(iδ, iξ) a toutes ses racines réelles en δ pour ξ ∈ Rd fixé (on peut inclure les systèmes quitte à remplacer P par un polynôme caractéristique). Problème posé sur le demi espace {xd > 0}. A nouveau, on liste les solutions de la forme eτ t+iξ

′·x′+λxd , τ = γ + iδ, γ > 0, ξ′ ∈ Rd−1, Re(λ) < 0 et on note E−(τ, ξ′) l’espace vectoriel engendré par ces solutions. Les nombres (τ, ξ′, λ) satisfont

P(τ, iξ′, λ) = 0,

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On considère maintenant le problème avec condition au bord{ P(∂t ,∇) = P(∂t ,∇)u = 0, Bu = g, avec B à valeurs dans Rn.

A nouveau, l’unicité des solutions requiert l’implication

∀ u ∈ E−(τ, ξ′), B(u) = 0⇒ u = 0.

Deux faits importants : l’espace E−(τ, ξ′) a une dimension indépendante de (τ, ξ′), l’espace E−(τ, ξ) peut se prolonger par continuité dans la limite Re(τ)→ 0.

On peut définir comme pour Airy Condition de Kreiss-Lopatinskii : pour tout (τ, ξ′) ∈ {γ + iδ, δ ∈ R} × Rd−1, l’opérateur B est un isomorphisme E−(τ, ξ′)→ Im(B).

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La condition de Kreiss-Lopatinskii uniforme générale : pour certaines formes de B, la condition de Kreiss-Lopatinskii est équivalente à

∀ (τ, ξ′) ∈ Sd , Re(τ) > 0, B : E−(τ)→ Im(B) est un isomorphisme.

La condition de Kreiss-Lopatinskii uniforme s’écrit

∀ (τ, ξ′) ∈ Sd , Re(τ) ≥ 0, B : E−(τ)→ Im(B) est un isomorphisme.

La version uniforme assure que “la condition ne dégénère pas sur les bords de la demi-hypersphère”.

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Exemple : l’équation de Schrödinger

P(∂t ,∇) = i∂t u + ∆u = i∂t u + d∑ 1

∂2j u = 0.

P est quasi-homogène et P(iδ, iξ) = −δ + |ξ|2 n’a effectivement que des racines réelles en δ. Espace stable : solution particulière eτ t+ξ

′·x′+λxd , donc

iτ − |ξ′|2 + λ2 = 0⇔ λ2 = (−iγ + δ + |ξ′|2).

Une seule racine de partie réelle négative, qu’on note √ −iτ + |ξ′|2, donc

dim(E−(τ, ξ′)) = 1.

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KL et KL uniforme pour les conditions de Dirichlet et les conditions de Neumann :

1 Conditions de Dirichlet : B(u) = u(0) = 1, donc KL et KLU sont respectées.

2 Conditions de Neumann : B(u) = √ −iτ + |ξ|2, donc KL est respectée, mais pas

KLU (échec pour τ = 0− i|ξ|2, aux points dits de glancing). C’est le même problème que pour l’équation des ondes. L’équation de Schrödinger avec condition de Neumann homogène est cependant un problème bien posée.

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Conditions au bord et régularité : le problème i∂t u + ∂2x u = 0, u|t=0 = u0, u|xd =0 = g

a une solution d’énergie finie (H1) pour g ∈ H3/4(R+), g(0) = 0. Plus généralement, si u est 2n fois dérivable en espace et n fois en temps, elle doit satisfaire les conditions de compatibilité

u ∈ CT H2n+1 ∩ CnT H 1 ⇒ g ∈ Hn+3/4(R+) et ∂nt g|t=0 = (i∂2x )nu0.

Les conditions de compatibilités avec un second membre f , en dimension supérieure, peuvent s’écrire similairement : posant ϕ0 = u0, ϕn+1 = −i(∂nt f |t=0 −∆ϕn), nécessairement ∂nt g|t=0 = ϕk |∂Ω.

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Pour l’analyse numérique, il faut évidemment restreindre l’étude de l’EDP{ P(∂t ,∇)u = 0, x ∈ R, u|t=0 = u0,

à un intervalle