Par

Khaled DEBIANE

Rabat, MAROC, Novembre 13-14, 2008

Cours sur le logiciel HEC-RASCabinet Telesystems

http://www.tmis-conseil.com

Résumé

HEC-RAS est un logiciel intégré pour l'analyse hydraulique qui permet de simuler les

écoulements à surface libre. Il a été conçu par le Hydrologic Engineering Center du U.S Army

Corps of Engineers. Il est présentement utilisé dans plusieurs firmes d'ingénierie et

organismes gouvernementaux. Le code à surface libre HEC-RAS 3.1.2 est devenu maintenant

très performant, doté d'interfaces conviviales d'édition et de paramétrage des simulations. Il

peut traiter des cas complexes et il est disponible en freeware. Par contre, l'utilisation

pertinente de tels modèles nécessite des connaissances solides en hydraulique pour poser le

problème avec pertinence et juger de la qualité des résultats.

Ainsi, la formation fournira d'abord un rappel des bases théoriques relatives à l'hydraulique

des écoulements à surface libre. Je présenterai après le principe de fonctionnement de HEC-

RAS et les principaux menus du logiciel. Par la suite, les principales étapes requises pour la

modélisation hydraulique sont énumérées.

Le code HEC-RAS sera ensuite utilisé pour modéliser la courbe de tarage dans deux stations

(station d'Estellie sur le Verdon et la station de Pont de Mourrefrey dans l'Issole). On montre

dans ces deux cas que la modélisation hydraulique donne également des bons résultats dans la

détermination des courbes de tarage.

2

TABLE DES MATIERES

I.1INTRODUCTION ....................................................................................................... 5

I.2RAPPEL DES BASES THÉORIQUES RELATIVES À L'HYDRAULIQUE DES ÉCOULEMENTS À SURFACE LIBRE ......................................................................... 7

I.2.1Formules de perte de charge par frottement ; écoulement turbulent ........................................................ 7

I.2.2Formules de perte de charge par frottement ; écoulement laminaire ...................................................... 13

I.2.3Simplification du modèle d’écoulement de Navier-Stokes ........................................................................ 16

I.2.4Formulation 1D : Modèle de Saint-Venant ................................................................................................ 18

I.2.5Equation différentielle du mouvement graduellement varié .................................................................... 20

I.2.6Hauteurs caractéristiques de l'écoulement ................................................................................................. 22

I.2.7Etude qualitative systématique et classification .......................................................................................... 23

I.3PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT DE HEC-RAS ET LES PRINCIPAUX MENUS DU LOGICIEL ............................................................................................... 25

I.3.1Etapes de la modélisation .............................................................................................................................. 26

I.4MODÉLISATION DES COURBES DE TARAGE ; CAS PRATIQUE .................... 33

I.4.1Station d’Estellié sur le Verdon .................................................................................................................... 33

I.4.2Station de pont de Mourrefrey dans l’Issole ............................................................................................... 37

3

I.1 Introduction

Les hydrauliciens savent actuellement caractériser l’écoulement de l’eau dans la nature.

Pour essayer de reproduire l’ensemble des phénomènes qui apparaissent avec l’eau, ils ont

réalisé beaucoup d’expériences avec de grands débits d’eau sur de grosses canalisations. De

multiples formules empiriques ont été proposées, tout particulièrement dans le cadre de la

modélisation unidirectionnelle des écoulements dans les canalisations longues en régime

uniforme.

L’une des hypothèses de base de la modélisation mathématique de ces écoulements

équivaut à supposer que le mouvement se fait par tranches de fluide et que la répartition de la

pression le long de la dite section transversale est hydrostatique. Chaque tranche est

représentée par un équilibre entre l’inertie d’une part, les forces d’Archimède d’autre part, et

le frottement qui s’exerce le long des parois mouillées de l’ouvrage considéré. Ce sont aussi

là, les hypothèses de l’approximation de l’eau peu profonde, désignée également en

hydraulique par le modèle de Saint-Venant, valable pour de grandes longueurs d’ondes.

Pour terminer la formulation mathématique, on est amené à faire le choix d’une loi de

frottement. Une loi a priori simple consiste à considérer que le comportement de chaque

tranche du fluide dans un écoulement graduellement varié (qui varie en temps et/ou en

espace), est similaire au comportement de la même tranche dans un écoulement uniforme. En

se servant ainsi des formules empiriques de la littérature relatives à ces écoulements

uniformes, on parvient à résoudre des problèmes beaucoup plus complexes.

Dans le cas des écoulements graduellement variées qui motive cette étude, le calcul et la

construction exacts du profil de la surface libre nécessitent la résolution de l'équation

différentielle du mouvement obtenue à partir du modèle de Saint Venant. Dans la littérature,

plusieurs méthodes de résolutions ont été utilisées :

• Méthode de Bakhmeteff

• Méthode par approximations successives

• Méthode graphique de Raytchine

• Méthode de Silber

• Méthode de Bresse

Mais quel que soit le procédé de calcul utilisé, le résultat ne donnera l'équation de la ligne

de la surface libre qu'à une constante prés. Et il faudra obligatoirement connaître l'un de ses

points ; celui-ci, appelé point de repère, désigné par 0h . Le point de repère est également

4

appelé "section de contrôle", il dépend de la singularité responsable de l'écoulement varié. En

général, ce point est calculé séparément de l'écoulement à l'endroit même de la singularité, car

c'est ici qu'un changement du régime d'écoulement se produit correspondant plus

généralement à Fr = 1 (qui donne la hauteur critique représentant l'énergie minimale de

l'écoulement). Mais, comme au voisinage des singularités le régime est brusquement varié,

cette hauteur théorique ne correspond jamais à la réalité. Ainsi, on fait souvent appel à des

lois semi-empiriques telles que la loi de déversoir, du ressaut hydraulique...

Actuellement, il existe un certain nombre de codes de calcul numérique permettant de

résoudre le problème dans des conditions pratiques. On trouve celles qui sont basées sur le

modèle 1D de Saint Venant, comme HEC-RAS (développé par Hydrologic Engineering

Center du U.S Army Corps of Engineers) et celles qui sont basées sur le modèle 2D, comme

MAC2D (développée à l’Université de Louvain-la-Neuve) et RUBAR20 (développée au

Cemagref).

Nous nous intéressons dans ce travail au code HEC-RAS c’est une abréviation de «

Hydrologic Engineering Center’s River Analysis System ». C’est un code 1D permanent ou

non-permanent de calcul de ligne d’eau en graduellement varié. Il résout « l’équation de

l’énergie unidimensionnelle », les pertes étant évaluées par la formule de frottement au fond

de Manning-Strickler et par des formules de contraction/expansion de l’écoulement. Pour les

situations rapidement variées telles que les ressauts hydrauliques, les écoulements à proximité

des ponts, et les confluences de rivière, l’équation de l’énergie est remplacée par l’équation de

quantité de mouvement. Pour les écoulements débordants, la section totale est divisée en sous-

sections homogènes en terme de forme et de rugosité, et chaque débit partiel Q i est calculé

selon la Divided Channel Method à l’aide de la formule de Manning-Strickler.

Le cours fournira d'abord un rappel des bases théoriques relatives à l'hydraulique des

écoulements à surface libre. Je présenterai après le principe de fonctionnement de HEC-RAS

et les principaux menus du logiciel. Par la suite, les principales étapes requises pour la

modélisation hydraulique sont énumérées.

Le code HEC-RAS sera ensuite utilisé pour modéliser la courbe de tarage dans deux stations

(station d'Estellie sur le Verdon et la station de Pont de Mourrefrey dans l'Issole). On montre

dans ces deux cas que la modélisation hydraulique donne également des bons résultats dans la

détermination des courbes de tarage.

5

I.2 Rappel des bases théoriques relatives à l'hydraulique des

écoulements à surface libre

I.2.1 Formules de perte de charge par frottement ; écoulement turbulent

Depuis Chézy (1775), les ingénieurs ont cherché à établir une formule pratique qui

donnerait la relation entre la perte de charge (qui représente le frottement), le débit et les

autres éléments intervenant dans le mouvement de l'eau qui fut longtemps le seul intéressant

l'ingénieur. C'est le succès de la similitude qui a permet d'établir la forme générale de la loi de

frottement à travers le coefficient de perte de charge Λ . Ainsi, pour un fluide quelconque dans

un ouvrage quelconque (canalisation en charge, écoulement à surface libre), la pente de

frottement ( fJ est désignée également dans la littérature par fS ), s’écrit :

gU

DJ

Hf 2

2Λ=

(1)

HD est le diamètre hydraulique, dimension linéaire caractéristique d'une section transversale

de l'ouvrage considéré (diamètre d'une canalisation, diamètre hydraulique de la section

mouillée d'un écoulement à surface libre, etc.). g est l'accélération de la pesanteur. U

représente la vitesse moyenne débitante dans la dite section transversale. Λ est le coefficient

adimensionnel de perte de charge (dans la littérature on introduit aussi le coefficient de

frottement désigné par la lettre f ou par 4/Λ=fC ) qui est fonction du nombre de Reynolds

de l'écoulement Re, et de HD/ε , la rugosité relative des parois de l'ouvrage ( ε est la hauteur

équivalente des rugosités des parois), soit :

=Λ

HDRef ε, (2)

Dans le cas d'un écoulement à surface libre, la pente du canal I est l'homologue de J, et on

peut s’attendre à un effet de pesanteur supplémentaire comme le nombre de Froude et l’effet

de la tension superficielle. On définit souvent dans ce cas le diamètre hydraulique, comme

suit :

6

22DH

HH

DRetPS == (3)

Le point de distinction entre toutes les formules empiriques, semi-empiriques ou

analytiques proposées dans la littérature porte sur l'expression du coefficient de résistance Λ .

Comme signalé plus haut, la première formule empirique a été obtenue par Chézy

correspondant à )8/(2 gC=Λ où C est une constante appelée coefficient de Chézy. C'est

depuis les expériences de Coulomb, en 1800, qu'on a su que la rugosité de la paroi a

également une influence. A la suite, plusieurs autres formules différentes (établies dans les

canaux ou dans les conduites en charge) ont été proposées. On peut citer par exemple les

formules de Prony, Tadini, Ganguillet & Kutter, Darcy, Bazin, Blasius ( 25.0316.0 Re=Λ ),

Manning correspondant à nReC /6/1= où n est le coefficient de Manning, Strickler

correspondant à kn /1= où k est le coefficient de Strickler. Ces formules empiriques ont été

établies d'après les résultats d'expériences réalisées avec de grands débits d’eau sur de grosses

canalisations, mais dans un domaine assez limité. Elles ont été parfois employées, par la suite,

dans tous les cas possibles, avec des extrapolations que ceux qui les utilisent ne soupçonnent

même pas.

Dans le cas des écoulements dans les conduites en régime établi, le problème a été allégé

par Reynolds, en 1883, qui fut le premier à définir le nombre adimensionnel Re portant son

nom par la suite :

µρ HUDRe = (4)

où ρ et µ représente respectivement la masse volumique et la viscosité du fluide. Dans les

canaux, HD est souvent remplacé par h4 où h représente la profondeur maximale (ou

moyenne) de l'écoulement. Les observations de Reynolds indiquent suivant la valeur du

nombre Re la nature du régime d'écoulement : pour de faibles valeurs de Re, les faibles

rugosités de la paroi n'ont pas d'influence et l'écoulement est laminaire ; pour Re assez grand,

un mouvement aléatoire des particules se produit donnant naissance à un écoulement

turbulent.

Dans les années trente, une contribution de plusieurs chercheurs (Prandtl, Nikuradse,

Karman, Millikan…) a permet d'aboutir à une solution semi-empirique donnant, d'une part la

répartition des vitesses locales (moyennes temporelles puisque celles-ci sont fluctuantes),

d'autre part l'expression du coefficient de résistance Λ . Ces solutions font appel aux résultats

de la similitude et à un certain nombre de raisonnements semi-théoriques faisant intervenir un

7

grand nombre de constantes. C'est grâce à l'expérience que ces constantes ont été évaluées.

Ainsi, Λ a été caractérisée selon differents régimes d'écoulement, en passant du régime

laminaire (écoulement de Poiseuille) à l'écoulement turbulent hydrauliquement lisse (loi

logarithmique ou Karman-Prandtl), et enfin à l'écoulement hydrauliquement rugueux

(Nikuradse). Dans le cas des rugosités aléatoires, Colebrook propose pour le régime

intermédiaire (Hydrauliquement lisse/Hydrauliquement rugueux) une relation composite

(implicite) de telle sorte, pour Re petit, on tombe sur la loi logarithmique et pour Re grand, on

a la formule de Nikuradse. Moody et Rouse récapitulent par la suite ces formules dans un

diagramme appelé usuellement diagramme de Moody qui représente le coefficient de

résistance Λ en fonction du nombre de Reynolds et la rugosité relative HD/ε . Notons que

même si d'autres formules ont été proposées dans la suite, les ingénieurs préfèrent toujours

utiliser le diagramme de Moody. Ainsi, après un siècle et demi de recherches, le problème de

l'écoulement de l'eau dans les conduites en régime établi a été maîtrisé.

Il faut noter cependant que ces relations ont souvent été établies dans des géométries

circulaires ( DDH = ). Si la section de la conduite est quelconque, on fait appel au concept du

diamètre hydraulique ( PSDH /4= où S et P sont respectivement l'aire et le périmètre

mouillée de la section), qui suppose que les lois établies dans les géométries circulaires restent

valables en utilisant HD en place de D. L'erreur commise par cette approximation est environ

40% dans le régime laminaire, et de 15% dans le régime turbulent (cf. White 1986 pp. 322).

Une autre approximation, qui donne des résultats meilleurs que la première, a été proposée

par Jones (1976). Il s'agit de l'approximation du diamètre laminaire qui revient à remplacer

HDD λ= où λ est un coefficient correcteur de non-circularité. Le coefficient λ peut être

déterminé dans des conduites diverses à partir des solutions exactes relatives au cas laminaire

: solutions analytiques de Boussinesq (1868) pour des sections planes et elliptiques, et

beaucoup d'autres solutions données sous forme de séries par Berker (1963), White (1974),

Zarling (1976), Burgess et Mahajerin (1987)…

Notons également que le passage du régime laminaire au régime turbulent est un problème

qui n'est pas encore tout à fait résolu. Dans le diagramme de Moody, la transition se situe vers

Re = 2400 car on considère le cas des écoulements perturbés. On a pu atteindre en effet des

valeurs du nombre Re de l'ordre 105 en restant laminaire (avec des conduites très lisse et

exemptes de vibrations). Précisons toutefois que dans les conduites usuelles, Rec est rarement

supérieur à 4000 (Rec est le nombre de Reynolds lors de la transition).

8

D'autre part, un nombre considérable d'études a été consacré aux pertes de charge dans les

canalisations, qui devrait avoir pour conséquence de chercher dans quelle mesure ces

formules universelles (Prandtl, Nikuradse, Colebrook…) pourraient s'appliquer aux

écoulements à surface libre (Thijsse 1949, Powell 1950, Crump 1956 cités par Carlier 1980).

La formule de Crump se déduit immédiatement de la formule de Colebrook en y introduisant

le coefficient de Chézy C à la place du coefficient de résistance )8/(2 gC=Λ . Donc cette

formule de Crump s'applique aussi bien aux canalisations en charge, qu'aux écoulements à

surface libre. Mais d'une manière générale, l'utilisation de ces formules universelles rencontre

bien des oppositions de la part de nombreux hydrauliciens qui préfèrent les formules

classiques de Bazin, Manning, Strickler, etc. Selon un extrait de l'article de Vadot (1954), les

formules établies pour les conduites ne peuvent pas être appliquées brutalement aux canaux.

Des expériences effectuées par Varwick dans des canaux, dont les parois, comme Nikuradse,

étaient recouvertes de rugosités artificielles, montrent la même allure que celles des courbes

de Nikuradse. Toutefois, il se situe nettement au-dessus de la courbe de l'écoulement lisse. En

outre, la transition et le passage au régime rugueux se produisent pour des nombres de

Reynolds plus grand en canal qu'en conduite. Vadot explique cela par les déformations de la

surface libre et par l'influence de l'encombrement des rugosités qui conduit à sous-estimer le

périmètre mouillé. D’autres auteurs font observer que les écarts ont pour cause l'existence

d'une surface libre qui a, sur l'écoulement, un effet de tranquillisant provoqué par le

frottement entre l'air et le liquide (Carlier 1980) et d'autre introduit l'effet de la tension

superficielle (cf. Bartolini 1977). On laisse de côté ces problèmes et signalons pour finir que

les expériences réalisées dans la littérature ont montré que les écoulements uniformes dans les

canaux changent du laminaire au turbulent dans le domaine Re variant entre 2000 à 50000 (cf.

Chow 1959 pp.8) suivant la rugosité des parois.

On retient donc que la formule la plus simple et la plus utilisée par les hydrauliciens pour

évaluer la pente de frottement d’un écoulement turbulent est celle de la formule de Manning-

Strickler, utilisée également dans le programme HEC-RAS. Elle s'exprime sous la forme:

2

3/1

8Re

ng=Λ (5)

où n est le coefficient de Manning, c’est un coefficient caractéristique de la nature des parois.

La formule de Strickler correspondant à Kn /1= où K est le coefficient de Strickler.

9

Tableau 1: Valeurs estimées pour le coefficient de Manning en fonction de la nature des

parois

Nature des paroisn (Manning)

( 3/1/ ms )K (Strickler) (

sm /3/1 )

Béton lisse 0.011 à 0.013 77 à 91

Béton brut 0.013 à 0.016 62 à 77

Canal en terre, non enherbé 0.017 60

Canal en terre, enherbé 0.02 50

Rivière de plaine, sans végétation arbustive 0.025 à 0.029 35 à 40

Rivière de plaine, large, végétation peu dense 0.033 30

Rivière à berges étroites très végétalisées 0.067 à 0.1 10 à 15

Lit majeur en prairie 0.033 à 0.05 20 à 30

Lit majeur en vigne ou taillis 0.067 à 0.1 10 à 15

Lit majeur urbanisé 0.067 à 0.1 10 à 15

Lit majeur en forêt >0.1 <10

Dans le cas d’une rivière à lit de gravier et à berges non végétalisées 6/15021dK = , où 50d

désigne le diamètre (en mètre) des grains du lit tel que 50% en poids aient un diamètre

inférieur.

10

Cas d’un lit composé

La modélisation de l’aléa inondation se heurte à plusieurs difficultés dès lors qu’interviennent

des débordements de l’écoulement du lit mineur dans les lits majeurs contigus. Les

écoulements « en lit composé » sont alors caractérisés par une interaction turbulente entre

l’écoulement du lit mineur et celui du lit majeur. En outre, les lits majeurs peuvent présenter

une morphologie très variable le long d’une même rivière, et en particulier des variations de

largeur. Ces dernières donnent naissance à des transferts de masse entre lit mineur et lit

majeur qui, a priori, se superposent aux transferts turbulents classiques dus au gradient de

vitesses entre lits.

Le calcul le plus simple de la capacité d’écoulement d’un lit composé consiste à considérer la

section totale comme un tout homogène (nommé SCM dans la littérature pour « Single

Channel Method »). Mais compte tenu de la complexité de l’écoulement et de l’hétérogénéité

des vitesses sur la section totale, on conçoit bien que la formule de Manning appliquée à la

section totale n’est plus pertinente pour calculer le débit total. De surcroît, juste après le

débordement dans les plaines d’inondation, le périmètre mouillé augmente brusquement,

conduisant à une baisse significative du rayon hydraulique. Par conséquent, cela conduit à une

sous-estimation du débit sur la section totale si l’on considère une rugosité de Manning

constante sur la section totale.

Ainsi, d’autres méthodes ont été proposées tenteront de pallier ces insuffisances, chacune

étant rattachée à un concept ou une hypothèse particulière reliant les débits, les vitesses, les

forces de frottement, les contraintes au fond, entre sous-sections et section totale. La plus part

de ces méthode se basent sur le calcul d’une rugosité de Manning composite, cn , telle que :

∑=i

iic nwn (6)

les iw étant des fonctions de pondération des rugosités par sous-section, in , reliées aux

paramètres géométriques et hydrauliques, et différant selon les auteurs.

Dans le code HEC-RAS, la section totale est divisée en sous-sections homogènes en terme de

forme et de rugosité, et chaque débit partiel Q i est calculé selon la Divided Channel Method

(DCM) à l’aide de la formule de Manning-Strickler, soit :

3/21Hii

iifiii RS

nDJDQ == (7)

11

Où iD est la débitance de la sous section homogène i (notée K dans le programme HEC-

RAS)

On considère alors que la débitance d’un écoulement élémentaire n’est pas affectée par la

présence des lits adjacents, donc que la perte de charge par lit est égale à la pente de

frottement sur le fond. On admet par ailleurs que les pentes de frottements par lits sont égales

entre elles, ce qui conduit à :

DQ

D

Q

DQ

DQ

DQJ

ii

ii

n

ni ======

∑∑

...2

2

1

12/1(8)

Où Q et D sont respectivement le débit total et la débitance totale.

Il résulte :

( )2/3N

1i

1/5ii

c P

nPn

=∑

= (9)

Où N est le nombre total des sous sections (par défaut N= 3 dans le programme)

i est le numéro de la sous section

ni est le coefficient de Manning pour la sous section i

Pi est le périmètre mouillé pour la sous section i

Dans le calcul des périmètres mouillés, seuls les contacts terre-eau sont à considérer.

Figure 1 : Calcul de la rugosité sous HEC-RAS dans le cas d’un lit composé

I.2.2 Formules de perte de charge par frottement ; écoulement laminaire

Quelle que soit la forme de la section, l'expression de Λ est la suivante :

( )SdeformeU +

=Λ 1Re64

(10)

Dans la littérature cette expression est généralement écrite comme suit

Kch

,

Pch

Krob

,

Prob

Klob

,

Plob

12

Reα=Λ (11)

A partir des résultats présentés dans la littérature (cf. Berker 1963, White 1974, Zarling 1976)

pour les écoulements dans les conduites diverses, un certain nombre de valeur de α sont

répertoriées dans le tableau 2.

( ∗ ) Pour une section rectangulaire de largeur finie b et d'épaisseur 2e, la forme de la section

est représentée par le rapport x̂ tel que )2/(ˆ ebx = . Dans ce cas, l'expression de α est déduite

de Berker :

)ˆ(ˆ11

5122

xfx

+

=α(12)

où ( )xf ˆ est une fonction dont les valeurs sont données par l'auteur sous forme d'un tableau ou

en forme de série :

( )∑∞

=

+

+−

+

=

055

2

ˆ2

12tanh12

1ˆ11921

1

ˆ11

96

pxp

pxxπ

π

α(13)

Il est possible de vérifier que 96=α pour ∞→x̂ (section plane) et que 91.56≈α pour

1ˆ =x (section carrée). Notons également qu'une section rectangulaire devient, à 5% près,

similaire à une section plane lorsque 3.13ˆ >x .

Par simplification, on considère souvent que la largeur du canal est assez importante pour que

la répartition de la vitesse dans l'axe central du canal soit parabolique, i.e

.1

−= 2

21 yhyJgu fµ

ρ(14)

On vérifie ainsi que le paramètre de forme β , qui sera définit dans la suite, égal à 1.2, et que

2

3hU

gJ f ρ

µ= (15)

Notons que la même loi a été utilisée par Hunt (1994), Aguirre-PE (1995) et Debiane (2000)

et aussi par d’autres investigateurs pour étudier les écoulements de fluides géologiques.

Aguirre-PE propose de la multiplier par un coefficient correcteur.

13

Tableau 2: Quelques valeurs de α reportées dans la littérature

HD α

Plan 4e 96

Rectangle ebx 2/ˆ =e

xx 4

1ˆˆ

+Equation 13 ( ∗ )

3ˆ

642.013

16 ≥

−≈ xif

xCercle D 64

Ellipse ebx 2/ˆ =

ζζπ dx

y ∫

−−=

1

02 2

sinˆ111ˆ

yeˆ

2

9.788ˆˆ1

ˆ1132

2

2

2

≈=∞→

+=

παxyx

Parallélogramme e)cos(2 γ ≈ 56.6 if °= 30γ

Hexagone

ebx 2/)sin(ˆ γ= ex

x4

1ˆ)cos(2

1ˆ

+

+

γ

≈ 60

2e

b

e

D

R

e

b

e

b

e

e

e

2 γ

γ

e2 γ

γ

Dans la conduite

Dans lecanal

Rectangle

Rectangle

Cercle

Demi-cercle

Ellipse Parallelogramme

TriangleDemi-ellipse

Hexagone

Trapèze

b

14

I.2.3 Simplification du modèle d’écoulement de Navier-Stokes

Nous nous intéressons au cas d'un fluide de comportement Newtonien. Nous supposons

que les particules fluides sont animées d'un mouvement de vitesse u relative à un repère

Galiléen suivant la direction x. La composante de vitesse le long de cet axe est noté u. Les

autres composantes sont v le long de l'axe y et w le long de l'axe z (Figure 2). Les équations de

base sont celles de la mécanique des fluides : équations de conservation de la masse, de la

quantité de mouvement et de l'énergie sous forme locale. Nous supposons pour commencer

que l'écoulement est laminaire, isotherme et isochore. Le frottement interne peut être alors

représenté par le troisième principe de Newton où la viscosité est le seul paramètre

rhéologique. Ainsi, les équations du mouvement se réduisent aux équations de Navier-Stokes

D→→⋅

+−= divpgradgu µρρ 2 (16)

et l'équation de continuité

0=udiv (17)

où ρ est la masse volumique, µ la viscosité, g est l'accélération gravitationnelle, p est la

pression et D est le tenseur du taux de déformation.

1Figure 2: Système de cordonnées utilisé

L'espace de l'écoulement est supposé être beaucoup plus large qu'il est épais. Il est raisonnable

de réduire dans ce cas l'ensemble de ces équations aux deux composantes dans la direction x

et dans la direction y. Ces équations sont la formulation complète dans le cas de l'écoulement

bidimensionnel dans le plan (x, y), il résulte :

( ) ( )yyxxxyxt uugpuvuuu ,,,,,, )sin( +++−=++ µαρρ (18)

Ox

χ

S

b

xg

θ

Z

xy

u

z(c)

15

( ) ( )yyxxyyxt vvgpvvvuv ,,,,,, )cos( ++−−=++ µαρρ (19)

0,, =+ yx vu (20)

où α est la pente du canal (Figure 2).

Deux dimensions caractéristiques de l'écoulement peuvent être considérées, 0L dans la

direction de la longueur, et h qui représente l'épaisseur. Un ensemble de variables

adimensionnelles normalisées sont choisies (leur ordre de grandeur est 1). Des lettres capitales

indiquent les variables normalisées. Pour les coordonnées d'espace et de temps, elles sont

choisies, comme suit

= t

LU

Ly

LxTYX

0

0

00

,,),,(ε

(21)

où la référence 0U et le paramètre ε sont introduits. Ce paramètre ε est le rapport 0/ Lh .

Les deux composantes réduites de vitesse (U et V) sont :

( )

=

00

,,Uv

UuVU

ε(22)

La composante v est normalisée par l'intermédiaire de l'équation de continuité.

En supposant que la pression hydrostatique donne la norme pour la pression, il vient :

LgpPερ

= (23)

Ainsi, en introduisant ces variables adimensionnelles, les équations du mouvement deviennent

:

( ) ( )YYXXXYXT UURe

PFr

UVUUU ,,2

,2,,,1)sin(1 ++−−=++ εαε

ε(24)

( ) ( ) ( )YYXXYYXT VVRe

PFr

VVVUV ,,2

2

,2,,,2 )cos(1 +++−=++ εεαε (25)

où Fr et Re sont respectivement, le nombre de Froude et le nombre de Reynolds :

LhhURe

ghUFr

µρ 00 ; == (26)

Notons que l'équation de conservation de la masse ne fait apparaître aucun nombre

adimensionnel.

En limitant maintenant ces expressions au cas spécifique où ε est petit devant 1, il vient :

( ) ( )YYXYXT URe

PFr

UVUUU ,2

,2,,, )(1)sin(1 +Ο+−−=++ εαεε

(27)

16

( ) )()cos(1)( 2,2

2 εαε Ο++−=Ο YPFr

(28)

En associant ces deux équations, il apparaît que l'inertie, la pression, la gravité et le frottement

visqueux ont les ordres de grandeur : 1, 2/1 Fr , 2/1 Fr , Re/1 , respectivement. Si Re n'est pas

petit, on obtient à l'ordre )( 2εΟ

( ) )()sin( 2,,,,, εµαρρ Ο+++−=++ yyxyxt ugpuvuuu (29)

)cos(, αρ gp y −= (30)

Négligeant la tension superficielle, l'équation 30 peut être alors intégrée le long de y, soit :

0)( pyhgp +−= ρ (31)

où 0p est la pression atmosphérique. Il résulte que la répartition de la pression le long de y est

hydrostatique. En utilisant l’équation (31), l’équation (29) peut être réécrite comme suit :

( ) )()sin()cos( 2,,,,, εµαραρρ Ο+++−=++ yyxyxt ughguvuuu (32)

Cette équation constitue la forme simplifiée des équations de Navier-Stokes dans

l'approximation d'un domaine très long.

I.2.4 Formulation 1D : Modèle de Saint-Venant

Il s'agit des mêmes équations de conservation que précédemment mais écrites pour des

valeurs moyennes dans une section. Si on applique le principe de conservation de la masse à

un domaine délimité par deux sections transversales, xS et dxxS + , et en supposant que le

système est fermé, i.e qu'il n'existe pas un débit entrant ou sortant de ce domaine, on obtient

une formulation globale du principe de la conservation de la masse, soit :

0=∂∂+

∂∂

xQ

tS

(33)

où USQ = est le débit global traversant la section mouillée S , et U étant la vitesse

moyenne. Pour une section rectangulaire de largeur b , hbS = . Il est avantageux dans ce cas

d'introduire un débit par unité de largeur du canal ' q ', tel que bQq /= . Ainsi, l’équation (33)

se récrit :

0=∂∂+

∂∂

xq

th

(34)

ou bien

0,,, =++ xxt UhhUh (35)

avec

17

.h

udyU

h

∫= 0

(36)

La forme globale de l'équation dynamique peut être obtenue directement en intégrant

l’Equation 32 de 0=y à ),( txhy = . En utilisant la règle de Leibnitz pour la dérivation sous

le signe intégral, il résulte :

( ) )()sin()cos(1 2,,,, εα

ρταββ Ο++−=+−++ g

hhghUUUU w

xtxt (37)

où β est un coefficient de forme qui tient compte de la répartition de vitesse le long de (Oy).

20

2

hU

dyuh

∫=β

(38)

Ce coefficient dépend du nombre de Reynolds : 03.1≈ pour l'écoulement turbulent et 2.1≈

pour l'écoulement laminaire.

( )0, =

=yyw uµτ est la contrainte tangentielle à la paroi. Remarquons que le ralentissement

visqueux du fluide par les parois est responsable des forces de frottement.

En posant la pente d’énergie J égale à ghw ρτ / et en négligeant le troisième terme du premier

membre de l'équation (37) car 1≈β , il vient :

( )JghgUUU xxt −=++ )sin()cos( ,,, ααβ (39)

Les équations (39) et (34) représentent la formulation 1D de Saint-Venant. Par simplification,

les auteurs considèrent généralement 1=β .

D'autre part, si l'écoulement considéré est dans l'espace (x, y, z), autrement dit si la largeur

du canal n'est pas très grande devant la hauteur de l'écoulement et si en plus la répartition de

vitesse à la surface libre est quasi-uniforme, il résulte que l'équation (39) reste toujours

valable. Il faut cependant remplacer les expressions de J, U, β par :

χ

ττ

σβ

σ

ρτ χ

∫∫∫====

dlavec

SU

du

S

udU

ghJ

w

wSSw

2

2

;; (40)

où wτ est la moyenne de wτ sur le périmètre mouillé χ

En outre, l'équation de continuité (33) devrait être prise sous sa forme générale, i. e :

0,,, =++ xxt USSUh (41)

déduite à partir de l'équation (33) en remplaçant USQ =

18

Avant de quitter ce paragraphe, insistons sur le fait que le modèle de Saint-Venant n'est

qu'une approximation d'ordre )( 2εΟ qui devrait être valable lorsque la profondeur de

l'écoulement est petite devant sa longueur (hypothèse d'eau peu profonde)

I.2.5 Equation différentielle du mouvement graduellement varié

Considérons un canal cylindrique (on dit aussi prismatique en hydraulique) de pente θ .

Dans le cas permanent, l’équation (37) se simplifie, comme suit :

( ) ( )( )JhgzUU z −−=

∂∂

,cossin ααβ (42)

pour l'équation dynamique qui exprime l'équilibre entre les forces de pesanteur, de frottement

et d'inertie, et

0=∂∂

zq

(43)

pour l'équation de continuité où USq = est le débit, h est la profondeur et β étant le

coefficient de forme qui tient compte de la non répartition uniforme de la vitesse (voir plus

haut). z a l’origine l’extrémité amont du canal, compté positivement suivant la direction de

l’écoulement.

Après manipulations, il résulte :

( )( ) 3

2,

cos

sin

gSbqJh

vz βα

α

−

−=(44)

On retrouve bien le modèle classique des écoulements graduellement variées lorsque la pente

du fond est faible I≈≈ )tan()sin( αα et 1)cos( ≈α

En conservant la valeur du nombre de Froude égale à 1 pour définir la hauteur critique, il est

possible de définir le nombre de Froude, comme suit :

αβ

cos3

22

gSbq

Fr = (45)

et l’équation (44) devient :

( )( ) ( )2, 1cos

sinFrJh z −

−=α

α(46)

On peut également définir l’énergie de l’écoulement, de la manière suivante :

( )gUhE

2

21cos βα += (47)

En fonction de E , l’équation (44) devient :

19

( ) JE z −= αsin, (48)

Modèle utilisé par HEC-RAS

Si l’on considère deux sections 1 et 2 de l’écoulement séparées d’un pas d’espace x∆ , 1E et

2E étant les énergies de l’écoulement à ces même points, il vient d’après l’équation (48),

( )( ) xJEE ∆−=− αsin12 (49)

Qui se réduit au modèle de Bernoulli utilisé dans le programme HEC-RAS pour calculer les

hauteurs d’eau lorsque la pente du canal est faible ( I≈≈ )tan()sin( αα et 1)cos( ≈α ).

Concernant le calcul de la ligne d’eau, il s’effectue suivant la Standard Step Method : c’est

une procédure itérative de résolution de l’équation (49) et de l’équation donnant la pente

d’énergie J. Cette dernière est supposée égale à la somme de pertes de charge par frottement

fJ et la perte par contraction ou expansion de la section, soit :

g2Uβ

g2Uβ

21

1

22

2 −∆

+=x

CJJ f (50)

Comme dit précédemment, le programme devise la section mouillée en trois sous sections

(Fig. 1). Le coefficient β sur la section totale est calculé de la manière suivante :

++= 2

3

2

3

2

3

3

2

rob

rob

ch

ch

lob

lob

t

t

SD

SD

SD

DSβ (51)

Dans le calcul, les coefficients β par sous-section étant supposés égaux à 1.

D’autre part, le pas d’espace x∆ est calculé, comme suit :

robchlob

robrobchchloblob

QQQQxQxQxx

++∆+∆+∆=∆ (52)

Où lob, ch et rob désignent les lits gauche, mineur et droit, respectivement. x∆ est noté L

dans le programme, β est noté a, S est noté A et U est noté V.

Enfin, la pente de frottement entre les sections 1 et 2 ( fJ ) et est calculée par plusieurs

méthodes, à défaut de préciser, on a :2

21

21

++=

DDQQJ f (53)

Le code HEC-RAS recommande d’utiliser les valeurs suivantes du coefficient de contraction :

• S’il n’y a pas de transition, C est nul

20

• Pour une transition graduelle, on a 0.1 pour le coefficient de contraction et 0.3 pour le

coefficient d’expansion

• Au niveau d’un pont, on a 0.3 pour le coefficient de contraction et 0.5 pour le coefficient

d’expansion

• Pour une brusque variation, on a 0.5 pour le coefficient de contraction et 0.8 pour le

coefficient d’expansion

Ainsi, le débit Q et la géométrie étant les données du problème, la pente de frottement, le

coefficient β et les pertes par contraction/expansion ne sont fonction que du tirant d’eau. On

a donc affaire à une résolution 1D sur la section totale de la ligne d’eau, sans résolution

explicite de la répartition de débit.

Remarque

A noter que la loi utilisée pour évaluer les pertes d’énergie par frottement est celle que tous

les hydrauliciens utilisent exclusivement qui suppose que la contrainte moyenne à la paroi

dans une section quelconque d'un écoulement graduellement varié est égale à la contrainte

moyenne à la paroi de l'écoulement uniforme ayant les mêmes valeurs du débit et de la

hauteur locale. Notons que cette manière d’évaluer J permet de retrouver les propriétés de

l’écoulement uniforme loin d’obstacles.

I.2.6 Hauteurs caractéristiques de l'écoulement

Hauteur normale

Considérons un canal de pente et de débit constant. Lorsque le numérateur de l'équation

(44) s'annule, la surface libre et le fond ont la même pente. Donc la profondeur est constante

et correspond à la hauteur normale ( nh ). Le calcul de cette hauteur nécessite la résolution des

équations du régime uniforme. Le procédé du calcul peut être numérique.

Hauteur critique

Considérons un canal de section quelconque et de pente α portant un débit constant.

Lorsque le dénominateur de l'équation (44) s'annule, la profondeur du fluide atteint une

hauteur appelée hauteur critique "hc". Le régime d'écoulement correspondant est appelé

régime critique. En général, ce régime est instable (fluctuation de la surface libre). Une petite

variation de l'énergie provoque des variations sensibles de profondeur de part et d'autre de hc.

Pour le calcul de hc, on annule le dénominateur de l’équation (44), soit donc:

21

( ) 0cos 3

2

=−gSbqvβα (54)

qui correspond à 1=Fr et également à l’énergie minimale de l’écoulement ‘ minE ’ où :

chE23

min = (55)

Dans une section rectangulaire, l’équation (54) donne :

31

2

cos

=

αβ

gQhc

(56)

Pente critique

Considérant un canal de section rectangulaire et de pente variable portant un débit

constant. On définit la pente critique " cα " comme étant la pente pour laquelle la hauteur

normale est égale à la hauteur critique ( )cn hh = . Pour calculer cα , on associe les équations du

régime uniforme à l'équation du régime critique (l’équation (54)). Le procédé de calcul est

numérique.

I.2.7 Etude qualitative systématique et classification

Les formes possibles des profils de la surface libre sont déduites à partir de l'équation (44).

Son premier membre zh, est la pente de la surface libre rapportée au fond du canal (h est

mesurée positivement vers le haut). Son second membre peut être discuté en relation avec la

valeur respective des profondeurs normale et critique. On trouve donc un régime fluvial si

toutes les hauteurs sont supérieures à la hauteur critique ou bien un régime torrentiel dans

l'autre sens et enfin un régime critique dans le cas limite.

22

Figure 3 : Classification des profils de la surface libre

23

I.3 Principe de fonctionnement de HEC-RAS et les principaux menus

du logiciel

HEC-RAS est logiciel intégré pour l’analyse hydraulique qui permet de simuler les

écoulements à surface libre. Il a été conçu par le Hydrologic Engineering Center de l’US

Army Corps of Enginners. Il s’agit d’une nouvelle version d’un modèle hydraulique

auparavant nommé HEC-2, qui comporte maintenant un interface graphique permettant

d’éditer, modifier et visualiser les données d’entrée de même d’observer les résultats obtenus.

Pour démarrer HEC RAS, double-cliquez sur l’icône HEC-RAS 3.1.3.lnk placé sur le bureau, ou bien

allez dans le menu Démarrer et choisissez le programme HEC-RAS 3.1.3. Fait important à

noter, HEC-RAS utilise comme symbole décimal le point, et non la virgule utilisée

habituellement dans notre système d’unité. Un message d’erreur peut apparaître lors du

démarrage si le symbole décimal spécifié pour votre ordinateur n’est pas le point. Vous

pouvez changer ce symbole dans le Panneau de configuration de Windows.

Suite au démarrage de HEC-RAS vous devez obtenir la fenêtre principale de HEC-RAS qui

illustrée à la figure ci-dessous.

Fenêtre principale de HEC-RAS

La barre de menu comprend toutes les fonctions disponibles de HEC-RAS. Le menu File

permet d’ouvrir, de créer et de sauvegarder un projet (avec extension .prj). Les autres options

permettent de modifier le titre du projet ou d’effacer tous les fichiers reliés à un projet. Utilisé

cette dernière option avec précaution !

Outre le menu File, le menu Edit est également important et permet de spécifier les données

de base décrivant le système hydrographique devant être modélisé ainsi que les conditions du

débit dans ce système.

24

La principale étape de la création d’un projet de modélisation avec HEC-RAS est de définir la

géométrie de notre cours d’eau, au moyen de sections transversales. Cette étape est réalisée en

choisissant l’option Geometric Data…Toute les données reliées à la géométrie du cours d’eau

sont sauvegardées dans les fichiers dont l’extension est .G** où ** désigne les chiffres

représentant une numérotation séquentielle.

Une autre option disponible dans le menu Edit est Steady Flow Data…Cette option permet de

spécifier la ou les valeurs de débit dans le cours d’eau qui devront être modélisés, ainsi que

les conditions limites de l’écoulement. Les informations qui sont spécifiées avec cette option

sont contenues dans les fichiers .F**.

I.3.1 Etapes de la modélisation

ProjetDans le menu File, choisir l’option New Projet pour obtenir une fenêtre similaire à celle

illustrée plus bas. La première étape est de choisir le dossier de travail où le projet sera

sauvegardé.

Fenêtre New Projet

Un nouveau répertoire peut d’ailleurs être crée avec le bouton Create Directory. Le titre du

projet sera par la suite spécifié dans la ligne haute et un nom de fichier doit aussi être indiqué

dans la case suivante, tout en conservant l’extension .prj. Il ne faut pas utiliser les accents

pour un nom de fichier. Après avoir appuyé sur OK, un message apparaît pour confirmer les

25

informations soumises. Appuyez à nouveau sur OK et les données seront sauvegardées dans

le fichier et le répertoire indiqué.

Avant d’entrer les informations reliées à la géométrie et aux débits, il faut spécifier le système

d’unité utilisé. Dans le menu Option, allez à Units System et choisissez System

International (Metric System).

Géométrie des sectionsAprès avoir défini les principaux paramètres du projet, la deuxième étape est de définir les

caractéristiques géométriques du système modélisé. Sélectionnée Edit / Geometric Data… et

la fenêtre Base Geometric Data apparaît.

Fenêtre Geometric Data

Pour vous aider à tracer le tronçon de rivière à l’étude, vous pouvez ajoutez une image de

fond à cette fenêtre. Appuyez sur le bouton Add /Edit background pictures…et appuyez sur

Add afin de sélectionner le fichier image. Après avoir appuyé sur Close, un message apparaît

car la taille de l’image est plus grande que la taille de l’écran. Il est possible d’ajuster l’échelle

en choisissant dans le menu View l’option Full Plot. Pour sauvegarder les étapes accomplies,

allez à File / Save Geometric Data as… Sauvegardez les données de la géométrie sous un

26

fichier. Pour représenter le tronçon à étudier, cliquez sur le bouton River Reach. Le curseur se

transforme en crayon et vous et vous pouvez alors dessiner le tronçon de rivière à l’aide d’une

suite de points qui vont de l’amont vers l’aval, en suivant le centre de la rivière sur l’image

de référence. Vous double-cliquez pour indiquer la fin du tronçon. A ce moment, une fenêtre

apparaît vous demandant d’indiquer le nom de la rivière et le nom du tronçon.

Les autres caractéristiques géométriques nécessaires à cette étape sont les sections

transversales à différents endroit de la rivière. Les sections transversales sont représentées au

moyen de points représentant des coordonnées X-Y, où X est la distance par rapport à un

point de référence arbitraire placé sur la rive et Y est l’élévation du fond de la rivière.

Fenêtre Cross Section Data

Pour entrer les données, vous devez cliquer sur le bouton Cross-Section dans la partie gauche

pour obtenir une fenêtre similaire à celle illustrée ci-haut. Dans le menu Option, choisissez

Add a new Cross Section…Il vous est alors demandé de définir la station (River Station) de

cette section transversale qui est en fait un identificateur numérique. HEC-RAS place sur un

tronçon de rivière les stations en ordre décroissant de la partie amont ver la partie aval. La

signification de chacun des termes que l’on y retrouve est décrite ci-dessous :

River : nom de la rivière sur laquelle la nouvelle section sera ajoutée ;

Reach : non du tronçon de la rivière sur laquelle la nouvelle section sera ajoutée ;

River station : Identification numérique de la section transversale ;

Description : Commentaire de l’utilisation sur cette section

27

Cross-section coordinates : Coordonnées relatives dans le plan X-Y des points définissant la

section transversale ;

Downstream Reach Lengths : Distance en mètres jusqu’à la prochaine section transversale

située en aval. LOB signifie la partie gauche de la plaine inondable et ROB sa partie droite,

alors que Channel désigne le lit principal de la rivière ;

Manning’s values : Coefficient de Manning de chaque portion de la section transversale ;

Main channel bank stations : Coordonées, dans le plan X seulement, des limites gauches et

droite du lit principal de la rivière. Les valeurs fournies doivent correspondre à une valeur

déjà présente dans la partie Cross-section coordinates.

Après avoir entré les données, cliquez sur Apply Data. Vous pouvez alors visualiser la section

transversale que vous venez de définir dans la partie adjacente de la fenêtre. Les autres

sections seront rentrées de la même manière.

Pour augmenter la stabilité des calculs de niveau par le modèle. Il est recommandé d’avoir

une distance raisonnable entre deux sections transversales. En assumant que la pente et les

propriétés des sections varient de façon linéaire entre deux sections consécutives, la fonction

XS interpolation dans le menu Tools permet d’ajouter par interpolation de nouvelles sections

entre deux sections existantes.

Fenêtre XS interpolation

28

Pour terminer, vous pouvez vérifiez les données spécifiées avec le menu Tables. Les mêmes

paramètres pour toutes les sections y sont regroupés à l’intérieur d’un même tableau et

peuvent y être modifiés. Avant de quitter la fenêtre Geometric Data, sauvegardez les

informations que vous avez rentrées.

Débit et conditions aux limitesL’étape suivante de la modélisation hydraulique sur HEC-RAS est de spécifier les débits

utilisés pour calculer les profils d’écoulement. Dans la fenêtre principale, cliquez sur le

bouton Steady Flow Data. Pour obtenir une fenêtre similaire à celle illustrée plus bas. Pour

entrer les valeurs des débits, indiquées d’abord Number of Profiles. Par la suite, dans le menu

Options, allez à Edit Profil Names…et indiquée les noms de profils appropriés. Les valeurs de

débit qui sont entrées aux cases correspondantes sont représentatives de la section amont et

sont considérés valides sur tout le tronçon de rivière. HEC-RAS permet toutefois de

représenter des changements de débits aux sections transversales, lorsqu’un affluent important

entraîne un changement de débit dans le tronçon.

Fenêtre Steady Flow Data

Lorsque les débits correspondants aux différents profils devant être calculés sont spécifiés, il

faut par la suite définir les conditions limites de l’écoulement en cliquant sur le bouton Reach

29

Bondary Conditions. Les conditions limites sont nécessaires pour calculer la hauteur d’eau

initiale aux extrémités de chaque tronçon. Pour un écoulement fluvial, seulement les

conditions à l’aval sont nécessaires, tandis que pour un écoulement torrentiel, les conditions à

l’amont seulement sont nécessaires. Selon le régime d’écoulement modélisé, une seule des

deux conditions limites peut être indiquée. On a le choix entre trois conditions aux limites :

hauteur critique, hauteur normale et hauteur connue. Avant de passer à l’étape suivante,

sauvegardez ces données avec File / Save Flow Data as…Entrez le titre et quittez cette fenêtre

pour revenir au menu principal de HEC-RAS.

Fenêtre Reach Bondary Conditions

Simulation hydraulique La dernière étape nécessaire à la modélisation avec HEC-RAS est de définir le plan utilisé.

Cliquez sur le bouton Perform à Steady Flow Simulation pour obtenir la fenêtre présentée

plus bas. Le Geometry File et Steady Flow File que vous avez crées y sont indiqués. Dans le

menu File, choisissez New Plan. Lorsque requis, entrez le titre et l’identificateur indiqué sur

la figure ci-dessous.

30

Choisissez le régime d’écoulement et appuyez sur Compute pour débuter la simulation. Une

fenêtre montrant la progression de la simulation s’ouvrira et les calculs s’effectueront.

Lorsque le programme a terminé, vous pouvez fermer la fenêtre Hydraulic Computation, ainsi

que la fenêtre Steady Flow Analysis.

Fenêtre Steady Flow Analysis

Visualisation des résultats A la suite de la simulation les résultats sont automatiquement sauvegardés dans un fichier. Un

des résultats intéressant à consulter est la vu en profil du tronçon simulé. Cette fonction, View

Profiles, est située dans la barre de boutons. Allez également dans le menu Option de cette

fenêtre. Vous y trouverez les options d’affichage, telles que Zoom et Pan. Il y a aussi d’autres

options qui permettent d’afficher les résultats d’un ou plusieurs plans, d’ajouter ou supprimer

l’affichage de certains profiles, de changer le tronçon dont les résultats sont actuellement

affichés. Ce menu Options est d’ailleurs similaire pour différentes fenêtre graphiques

permettant de visualiser les résultats.

Une autre option graphique intéressante est accessible via le bouton View 3D multiple cross

section plot…. Les sections transversales de début et de fin peuvent être modifiées pour

afficher qu’une partie du tronçon à l’étude. Rotation et Azimuth permettent quant à eux de

modifier l’angle de vue. Pour ne voir qu’une seule section.

Deux autres boutons, View Detailed Output at XS… et View Output at Multiple…,

permettent de voir les résultants sous forme tabulaire.

Finalement, comme on peut voir dans le tableau des résultats des sections transversales, il y a

plusieurs variables qui sont calculées par HEC-RAS en plus des niveaux d’eau. Dans certains

cas, on s’intéressera aux vitesses afin de quantifier par exemple les possibilités d’érosion.

31

Nous allons maintenant modéliser deux tronçons de rivière : l’un se trouve sur Verdon dans la

station d’Estellié et l’autre sur l’Issole dans la station de Pont de Mourrefrey.

I.4 Modélisation des courbes de tarage ; cas pratique

I.4.1 Station d’Estellié sur le Verdon

Description du tronçon étudiéSuite à une crue en 1994, un profil en long a été réalisé sur le Verdon. Nous disposons de 9

sections à l’amont de la station hydrométrique et une section à l’aval. Le lit du Verdon est

constitué de galets, un tronçon de la rivière comporte des gros blocs en travers de

l’écoulement.

Sous HEC-RAS, nous allons donc modéliser un tronçon du fluide situé près de la station de

jaugeage d’Estellié.

Débit et conditions aux limitesDans ce cas, l’écoulement simulé est fluvial, c’est à dire qu’il y a une rupture de pente (voir

figure 3) qui provoque des ondes de gravité qui se propagent en partie vers l’amont.

Nous avons choisit la condition au limite à hauteur normale. Celle-ci demande de connaître la

valeur de la pente du canal. On impose donc à l’amont une valeur de la pente du canal qui

donne la valeur de la hauteur normale.

Pour le tronçon étudié, la pente du canal varie entre 0.01 à 0.05. On vérifie d’après le tableau

4 que la pente du canal n’a pas d’influence sur la profondeur du fluide au niveau de la station

de jaugeage. On a pris alors une pente moyenne de 0.03.

Q (m 3/s) DH (m) pour I=0.01 DH (m) pour I=0.051 0.21 0.2150 1.74 1.74300 4.05 4.05

Tableau 4 : Influence de la pente du canal pour n=0.0365

Coefficient de ManningD’après les résultats de la littérature, le coefficient de Manning varie dans notre cas entre

0.033 et 0.04. On peut vérifier d’après le tableau 5 que l’influence du paramètre n est

négligeable au niveau de la station de jaugeage. On a pris alors une valeur de n moyenne de

0.0365.

32

Q (m 3/s) DH (m) pour n=0.03 DH (m) pour n=0.051 0.21 0.2350 1.73 1.75300 4.04 4.06

Tableau 5 : Influence de la rugosité du canal pour I=0.03

Résultats

La figure 4 montre la forme de la section et la profondeur de l’eau pour un débit de 300 m3 /s

et la figure 5 montre le profil de la surface libre. Pour ce débit, il n’existe pas de données pour

pouvoir vérifier notre résultat.

Figure 4 : Forme de la section au niveau de la station de jaugeage

33

Figure 5 : Profil de la surface libre

Interpolation au niveau de la station de jaugeageEn rajoutant, par interpolation, deux sections à l’amont et à l’aval de la station de jaugeage, il

apparaît au niveau de la station hydrométrique une élévation de la surface libre, comme s’il

s’agissait d’un ressaut hydraulique (voir figure 6 ci-dessous). Il claire donc que dans ce cas

l’influence de nombre de stations est non négligeable.

34

Figure 6 : Influence d’une interpolation au niveau de la station de jaugeage

COURBE DE TARAGE

0.00

500.00

1000.00

1500.00

2000.00

0 5 10 15

HAUTEUR (m)

DEB

IT (m

3/s)

HEC RAS

MESURES

Figure 7 : Comparaison de la courbe de tarage

35

Comparaison de la courbe de tarage On vérifie d’après la figure 7 qu’on a un bon accord entre les résultats obtenus sous HEC

RAS et les mesures. Pour une hauteur de 13m, on estime le débit de la rivière à 1950 m3 /s

I.4.2 Station de pont de Mourrefrey dans l’Issole

Située dans le cours d’eau de l’Issole, la station de Pont de Mourrefrey est à l’amont d’un

simple pont. Nous avons pu aller sur place pour réaliser un profil topographique d’un tronçon

de la rivière et une mesure de débit, ainsi nous avons pu apprécier l’environnement. Comme

on peut voir sur la figure 8, la station hydrométrique est située à 6.62 m à l’amont du pont.

Sur la figure 9, on voit bien que le pont a une forme d’un arc. A l’aval du pont, un tronçon de

la rivière comporte des gros blocs en travers de l’écoulement (figure 10). Comme on peut voir

également sur la figure 11, il est possible de supposer que la rive droite de la rivière est

constituée d’un mur vertical, à gauche on a une zone plaine d’arbres (figure 12), suivi d’une

zone presque plate qui va jusqu’à un mure qui fait barrage à la route.

Le tronçon de la rivière est de pente moyenne de 0.02. Le relevé topographique a été réalisé

en quatre sections :

• à l’aval du pont

• au niveau du pont

• au niveau de l’échelle limnimétrique

• en amont de l’échelle limnimétrique

La condition limite est prise en amont avec la condition à profondeur normale et une pente de

0.02. Notons toutefois que la condition limite en aval du tronçon à hauteur critique donne

pratiquement les mêmes résultats.

On a fixé le coefficient de Manning des prairies à 0.1 et celui du lit de la rivière à 0.0365. Les

valeurs prises des paramètres du pont sont indiquées dans la figure ci-dessous.

On remarque sur les figures 13 et 14 qu’il peut y avoir un débordement de l’eau sur la route

de la rive gauche de la rivière et en amont du pont pour un débit d’environ 160 sm /3 et cela

sans que le pont soit complètement inondé. Pour ce débit, la hauteur d’eau à l’échelle

limnimétrique atteint la valeur de 3.6 m.

Les sections transversales de début et de fin sont représentées sur la figure 15, on peut

visualiser également ici le début de débordement de l’eau dans la dernière section prélevée.

Enfin, dans la figure 16, on représente la comparaison entre la courbe de tarage obtenue sur

HEC RAS et les meures. Pour une hauteur à l’échelle limnimétrique de 2m, on estime le débit

36

de la rivière à 68 sm /3 . Le meilleur ajustement est obtenu avec un coefficient de contraction

et d’expansion nul

Valeurs prises des paramètres du pont

37

Figure 8 : Vue de la station hydrométrique

Figure 9 : Forme du pont de Mourrefrey

38

Figure 10 : Tronçon de la rivière avec des gros blocs

Figure 11 : Vue de droite de la rivière

39

Figure 12 : Vue de gauche de la rivière

Figure 13 : Débordement de l’eau dans la dernière section prélevée

40

Figure 14 : Hauteur de l’eau sous le pont lors du débordement

Figure 15 : Les sections transversales de début et de fin

41

COURBE DE TARAGE

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4HAUTEUR (m)

HEC RASMESURES

Figure 16 : Comparaison de la courbe de tarage

42

References

[1] User's Manual HEC, (2002)

[2] Hydraulic Reference Manual HEC, (2001)

[3] Applications Guide HEC, (2001)

[4] Carlier, M., (1986) Hydraulique générale et appliquée, Eyrolles

[5] Chow, V.T., (1959) Open-channel Hydraulics. McGraw-Hill Book Co., New York

[6] DEBIANE, K. (2000). "Hydraulique des Ecoulements Laminaires à Surface Libre dans un

Canal pour des Milieux Visqueux ou Viscoplastiques: Régimes Uniformes, Graduellement

Varié, et Rupture de Barrage". Ph.D. thesis, University of Grenoble I, Rheology Laboratory

INPG-UJF-CNRS, France, 273 pages.

[7] DEBIANE, K, PIAU, J.M. (2001) "Ecoulement généré par le lâcher instantané d'un

barrage retenant un fluide viscoplastique." Les Cahiers de Rhéologie, vol.XVIII, No.1, pp. 45-

54

[8] De Saint-Venant, B. (1871) Théorie du mouvement non permanent des eaux. Comptes

Rendus de l'Académie des Sciences, 73, 237.

[9] Nsom B., DEBIANE K., PIAU J-M., Bed slope effect on the dam break problem, Journal

of Hydraulic Research, Vol. 38, No. 6, pp. 459-464, 2000.

[10] Nsom, B.; DEBIANE, K.; PIAU, J.M.; AYADI, A. Gradually varied flow of unloaded

mud in open channel. Appl. Mech. Eng. 4, No.3, 443-470 (1999).

[11] PIAU, J.M. (1996). "Flow of a Yield Stress Fluid in a Long Domain. Application to Flow

on an Inclined Plane." Jl of Rheology, Vol. 40, No. 4, pp. 711-723.

[12] PIAU, J.M., and DEBIANE, K. (2005). "Consistometers Rheometry of Power-Law

Viscous Fluids." Jl of Non-Newtonian Fluid Mech., Vol. 127, pp. 213-224.

[13] White F.M (1986) Fluid Mechanics, MacGraw-Hill, New York, 2éme Ed

43