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Cadenas de Markov ∣ 78

5 APLICACIONES

5.1 Aplicacion comercial (“Brand switching”)

Un cliente puede adquirir un televisor de alguna de las siguientes marcas: X, Yo Z. Se asume que estas alternativas cubren todas las posibilidades de compra.Con respecto al comportamiento de compra, los fabricantes de los televisoresdisponen de la siguiente informacion:

* El 30% de los clientes que poseen un televisor X se mantienen leales a lamarca en su proxima compra, mientras que el 40% adquiere un Y y el 30%restante, un Z.

* De los clientes que actualmente poseen un televisor marca Y, el 40% com-pra un televisor X, el 25% vuelve a adquirir un Y y el resto uno de la marcaZ.

* El 20% de los clientes que poseen un Z compran un X, el 30% un Y y elresto no cambia de marca.

Se desea saber:

a) ¿Cual es la probabilidad de que un poseedor de un televisor X adquiera unZ al cabo de dos compras?

b) ¿Cual es la probabilidad de que el dueno de un X compre nuevamente untelevisor de la misma marca luego de tres transacciones?

c) ¿Cual sera el porcentaje de participacion en el mercado a largo plazo?

d) ¿Cual es el numero esperado de compras que transcurriran antes que elactualmente poseedor de un televisor X adquiera un Z?

Solucion:

a) Se puede resumir el comportamiento de la proxima compra con la siguientematriz de transicion:


𝑃 =

𝑋 𝑌 𝑍𝑋 0, 3 0, 4 0, 3𝑌 0, 4 0, 25 0, 35𝑍 0, 2 0, 3 0, 5

��𝑋0,4

��

0,5

��

0,3�� 𝑌

0,4

��

0,35��

0,25��

��𝑍0,2

��

0,3

0,5

𝑉(1)

1 = [0, 3 0, 4 0, 3]

𝑉(2)

1 = 𝑉(1)

1 .𝑃 = [0, 3 0, 4 0, 3]0, 3 0, 4 0, 30, 4 0, 25 0, 350, 2 0, 3 0, 5

= [0, 31 0, 31 0, 38]

Si vector 𝑉(2)

1 informa las probabilidades de que el dueno de un televisorX adquiera un X, Y o Z despectivamente en la segunda compra. Luego, laprobabilidad de que adquiera un Z en dos transacciones es 38%.La misma informacion puede obtenerse de la matriz 𝑃 2. En ella podemosobservar todas las probabilidades asociadas al segundo paso para todos losestados iniciales.

𝑃 2 =0, 31 0, 31 0, 380, 29 0, 3275 0, 38250, 28 0, 305 0, 415

Ası la probabilidad de que el actual-mente poseedor de un Y adquiera unZ en la segunda compra es 38,25%.La probabilidad de que el duenode un televisor marca Z vuelva aadquirir otro de la misma marca endos transacciones es 41,5%, etc.

b) 𝑉(3)

1 = 𝑉(2)

1 .𝑃 = [0, 31 0, 31 0, 38]0, 3 0, 4 0, 30, 4 0, 25 0, 350, 2 0, 3 0, 5

= [0, 293 0, 3155 0, 3915]


Otra forma de calcular el vector V es:

𝑉(3)

1 = 𝑉(1)

1 .𝑃 2 = [0, 3 0, 4 0, 3]0, 31 0, 31 0, 380, 29 0, 3275 0, 38250, 28 0, 305 0, 415

= [0, 293 0, 3155 0, 3915]

Es decir, la probabilidad de que el ahora dueno de un X compre nue-vamente un televisor de la misma marca el cabo de 3 pasos es 29,3%. Almismo resultado pudo arribarse a partir de la 𝑃 3.

𝑃 3 =0, 293 0, 3155 0, 39150, 2945 0, 3127 0, 39280, 289 0, 3128 0, 3982

c) Se forma un sistema de ecuaciones formado por N-1 ecuaciones extraıdasdel producto matricial

[𝑝(𝑥) 𝑝(𝑦) 𝑝(𝑧)]0, 3 0, 4 0, 30, 4 0, 25 0, 350, 2 0, 3 0, 5

= [𝑝(𝑥) 𝑝(𝑦) 𝑝(𝑧)]

y por la ecuacion p(x) + p(y) + p(z) =1

⎧⎨⎩

𝑝(𝑥).0, 3 + 𝑝(𝑦).0, 4 + 𝑝(𝑧).0, 2 = 𝑝(𝑥)𝑝(𝑥).0, 4 + 𝑝(𝑦).0, 25 + 𝑝(𝑧).0, 35 = 𝑝(𝑦)𝑝(𝑥) + 𝑝(𝑦) + 𝑝(𝑧) = 1

Resolviendo este sistema de 3 ecuaciones con 3 incognitas resulta:p(x)=0,2919 p(y)=0,3135 p(z)=0,3946

Es decir, a largo plazo los porcentajes de participacion en el mercado seran29,19%, 31,35% y 39,46?% para las marcas X, Y y Z respectivamente. Almismo resultado pudo haberse arribado calculando una potencia de P paraun numero alto de transacciones:


𝑃 8 =0, 2919 0, 3135 0, 39460, 2919 0, 3135 0, 39460, 2919 0, 3135 0, 3946

d) Se modifica la matriz de transicion P, convirtiendo al estado Z en un estadoabsorbente:

𝑋 𝑌 𝑍𝑋 0, 3 0, 4 0, 3𝑌 0, 4 0, 25 0, 35𝑍 0 0 1

Esta matriz se descompone en 4 submatrices de la forma𝐼 𝑂

𝐴 𝑁

𝑍 𝑋 𝑌

𝑍 1 0 0

𝑋 0, 3 0, 3 0, 4𝑌 0, 35 0, 4 0, 25

Luego se procede a calcular la matriz (𝐼 −𝑁)−1

𝐼 −𝑁 =1 00 1

− 0, 3 0, 40, 4 0, 25

=0, 7 −0, 4−0, 4 0, 75

(𝐼 −𝑁)−1 =2, 0548 1, 09591, 0959 1, 9178

El vector �� = (𝐼 − 𝑁)−1.1 nos dara el numero promedio de pasos quetranscurren hasta que el proceso se absorba para cada uno de los estadosno absorbentes iniciales.


�� =2, 0548 1, 09591, 0959 1, 9178

𝑥11=

3, 15073, 0137

Luego, el numero esperado de transacciones que transcurren hasta queel actualmente poseedor de un televisor X adquiera un Z es 3,1507.

5.2 Planeamiento de Personal

El Departamento de Relaciones con el Personal de una firma realiza un estu-dio de niveles de categorıa para proveer promociones adecuadas en el momentooportuno, controlar el pago de haberes, analizar necesidades: de contratacionde personal, etc. Esta empresa tiene 20 empleados de categorıa 3 (la mas alta),80 de categorıa 2 y 200 de categorıa 1 (la mas baja de todas).En base a datos historicos se espera que el 35% de los empleados de la categorıa1, el 20% de la 2 y el 5% de la 3 dejen la empresa anualmente por renuncias,despidos, jubilaciones, fallecimientos, etc.Considerando las siguientes polıticas de personal:

- mantener la misma cantidad de empleados (total y por niveles)

- realizar contrataciones solamente en el primer nivel

- dar promociones a los empleados una sola vez por ano

el gerente del Departamento encargo al grupo de Investigacion Operativa de laempresa:

1. Averiguar que cantidad de gente debera contratarse y que cantidad deberapromoverse a la categorıa inmediata superior para mantener los niveles deempleados estables, anualmente.

2. Determinar el tiempo de permanencia promedio de un empleado en lacompanıa (ındice de rotacion del personal)


3. Calcular la probabilidad de que un empleado que recien ingresa a la firmallegue a la maxima categorıa.

Solucion:

1. El siguiente grafico representa el proceso de promociones anuales de losempleados.

�� 1 0,35 ��

��

�� 0

�� 2 ��

0,20

��

�� 30,05

��

Todos los empleados llegaran si estado 0, que es un estado absorbente.Las probabilidades de transicion a los demas estados se desconocen, perose puede resolver el problema analizando el flujo de empleados en cadanodo.

- Nodo 3

𝑥 �� 20

𝑦

��

Para mantener el mismo nivel de empleados enla categorıa, la cantidad promedio a promovera la categorıa 3 (x) debe ser igual a la cantidadpromedio que pasan al estado 0 (y).y=20 . 0,05 = 1x=1Permanecen z = 20 - 1 = 19

- Nodo 2

𝑥��80

𝑦

��

3��

El numero medio de empleados a promover ala categorıa 2 (x) debe ser igual a los que sepromocionan a la categorıa 3 mas los que seabsorben (y)y = 80 . 0,20 = 16x= 16 + 3 = 19Permanecen z = 80 - 19 = 61


- Nodo 1

𝑥�� !200 𝑦

��

19

��

La cantidad media de empleados a contrataranualmente (x) debe igualar al numero prome-dio de individuos que pasan al estado 0 maslos que se promueven al estado 2.y = 200 . 0,35 = 70x= 70 + 19 = 89z = 200 - 89 = 111

Estos valores podemos resumirlos en el siguiente cuadro (o en su corres-pondiente matriz de transicion):

Cat. 1 2 3 0 Total

1 111 19 70 2002 61 3 16 803 19 1 20

𝑃 =

1 2 3 41 0, 555 0, 95 0, 352 0, 7625 0, 375 0, 23 0, 95 0, 054 1

�� 1 0,35 ��

0,095

��

0,555�� 0

1��

�� 2 0,0375 ��

0,20

��

0,7625

�� 3

0,05

��

0,95

2. Agrupando la matriz de transicion, se procede a calcular la matriz (𝐼 −𝑁)−1:

0 1 2 30 1 0 0 0

1 0, 35 0, 555 0, 0952 0, 2 0, 7625 0, 03753 0, 95

𝑁 =0, 555 0, 95

0, 7625 0, 03750, 95


𝐼 −𝑁 =0, 555 0, 95

0, 7625 0, 03750, 95

(𝐼 −𝑁)−1 =2, 2472 0, 8989 0, 67420 4, 2105 3, 15790 0 20

��𝑖 =3, 82037, 368420, 0

Luego, el ındice de perma-nencia promedio en la em-presa es de 3,82 anos porempleado.

3. Para calcular la probabilidad de que un empleado que se encuentra actual-mente en el estado 1 logre la maxima categorıa, se supone al estado 3 comoun estado absorbente.

�� 1 0,35 ��

0,095

��

0,555�� 0

1��

�� 2 0,0375 ��

0,20

��

0,7625

�� 3

1

La matrız de transicion reagrupada en el formato𝐼 0

𝐴 𝑁es:

3 0 1 23 10 1

1 0, 35 0, 555 0, 0952 0, 0375 0, 2 0, 7625

𝑁 =0, 555 0, 95

0, 7625(𝐼 −𝑁) =

0, 445 −0, 0950 0, 2375

(𝐼 −𝑁)−1 =2, 2472 0, 89890 4, 2105


(𝐼 −𝑁)−1.𝐴 =2, 2472 0, 89890 4, 2105

.0 0, 35

0, 375 0, 2=

0, 03371 0, 96630, 1579 0, 8421

Luego, la probabilidad de que un empleado de la primer categorıa alcancela maxima es de 3,37%. Tambien se puede observar que la probabilidad delograr esa categorıa para un empleado de la categorıa 2 es de 15,79%.Otra ınformacion util es el numero esperado de anos que transcurren hastaalcanzar la maxina categorıa. Para ello, se multiplica la natrız (𝐼 −𝑁)−1

por un vector unitario:

��𝑖 =2, 2472 0, 89890 4, 2105

.11=

3, 14614, 2105

En promedio, un empleado de categorıa 1 tardara 4,21 anos hasta alcanzarla categorıa 3.

5.3 Gestion de inventarios

La demanda mensual de un repuesto en un proceso productivo tiene la siguientedistribucion de probabilidad:

𝑑 0 1 2 ≥ 3

𝑝 0, 6 0, 3 0, 1 0

Si el stock inicial es de 3 unidades, y la observacion del nivel de inventariosse realiza al finalizar cada mes, determinar:

a. la probabilidad de que al cabo de dos meses se haya agotado el stock

b. la probabilidad de que al cabo de cuatro meses haya dos o mas de dosrepuestos en stock


c. el numero promedio de meses que trancurren hasta agotar el stock

d. el costo total de almacenamiento en cada ciclo de compra, si el costo dealmacenamiento unitario mensual es de 10$.

Solucion:

a. Llamaremos:S0: ninguna unidad en stock al finalizar un mesS1: una unidad en stock al finalizar un mesS2: dos unidades en stock al finalizar un mesS3: tres unidades en stock al finalizar un mes

𝑆3 𝑆2 𝑆1 𝑆0𝑆3 0, 6 0, 3 0, 1 0𝑆2 0, 6 0, 3 0, 1𝑆1 0, 6 0, 4𝑆0 1

�� !𝑆30,3 ��

0,6��

0,1

�� !𝑆2

0,6��

0,3

��

0,1

��

�� !𝑆1

0,6��

0,4 �� !𝑆2

1��

Los estados S3, S2 y S1 son transitorios, mientras que el estado S0 esabsorbente.

𝑃 2 =

𝑆3 𝑆2 𝑆1 𝑆0𝑆3 0, 36 0, 36 0, 21 0, 07𝑆2 0, 36 0, 36 0, 28𝑆1 0, 36 0, 64𝑆0 1

Luego la probabilidad de que tran-curridos dos meses se haya agotadoel stock es 0,07=7%

b.

𝑆3 𝑆2 𝑆1 𝑆0𝑆3 0, 13 0, 26 0, 29 0, 32𝑆2 0, 13 0, 26 0, 61𝑆1 0, 13 0, 87𝑆0 1

La probabilidad de que haya doso mas repuestos al cabo de cuatromeses es 0,26 + 0,13 = 0,39 (39% ).


c. Se reagrupa la matriz de transicion P en cuatro submatrices y se calculala inversa de I-N

𝑆0 𝑆3 𝑆2 𝑆1𝑆1 0 0 0 0𝑆3 0, 6 0, 3 0, 1𝑆2 0, 1 0, 6 0, 3𝑆1 0, 4 0, 6

𝑁 =

𝑆3 𝑆2 𝑆1𝑆3 0, 6 0, 3 0, 1𝑆2 0, 6 0, 3𝑆1 0, 6

𝐼 −𝑁 =0, 4 −0, 3 −0, 1

0, 4 −0, 30, 4

(𝐼 −𝑁)−1 =10/4 30/16 25/32

10/4 30/1610/4

��𝑖 =10/4 30/16 25/32

10/4 30/1610/4

x111=

5, 164, 382, 5

La duracion promedio de un lote de tre unidades es de 5,16 meses.

d. El numero prometido de meses que el sistema esta en cada uno de los es-tados S3, S2 y S1 es, respectivamente, 10/4, 30/16 y 25/32, valores queobtenemos de la matriz (𝐼 − 𝑁)−1. Luego; el costo esperado de almace-namiento es:[

1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 x10

4

𝑚𝑒𝑠

𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜+ 2 𝑢𝑛. x

30

16

𝑚𝑒𝑠

𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜+ 3 𝑢𝑛. x

25

32

𝑚𝑒𝑠

𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜

]x 10

$

𝑢𝑛. 𝑚𝑒𝑠

= 85, 94$

𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜


5.4 Planeamiento de produccion

A un centro productivo de una fabrica llegan piezas para someterse a un procesode mecanizado en dos maquinas (A y B). Luego de cada etapa de elaboracionse realiza, un control de calidad (CCA y CCB). La secuencia de fabricacion delas piezas se muestra en el siguiente grafico:

��

0,03

��

0,05

de otro centro �� 𝐴 ��

0,10

��

"#$%&'()𝐶𝐶𝐴 ��

0,02

��

𝐵 ��

0,09

��

"#$%&'()𝐶𝐶𝐵 ��

0,05

��

a Almacenes

�� Desechos

Si durante el mecanizado una pieza se estropea, se la desecha sin pasar porControl de Calidad. En los centros de inspeccion se puede devolver una piezapara ser reprocesada o considerarla defectuosa. Las probabilidades estimadaspara cada caso se muestran en el grafico.Los tiempos esperados para la realizacion de cada operacion de mecanizado yde inspeccion y los costos asociados son los siguientes.

𝑇𝑒(𝐻𝐻) Costo($/𝐻𝐻)

Mecanizado A 2 1200Control A 0, 1 2000Mecanizado B 3 1800Mecanizado A 0, 2 2000

El costo directo de cada pieza que llega al Centro es de 3000$/pieza y el costode oportunidad del material defectuoso es de 500$/pieza. Determinar:

1. la probabilidad de completar satisfatoriamente una pieza que entra al cen-tro.

2. el numero esperado de piezas que deben ingresar al centro para producir1000 piezas buenas.


3. los requerimientos de personal para cada pieza terminada.

4. el costo directo esperado de cada pieza terminada que sale del Centroproductivo.

Solucion:

1.

Estado Operacion

PA Procesamiento en maquina ACCA Control de Calidad del proceso APB Procesamiento en maquina BCCB Control de Calidad del proceso BD DefectuosasA Almacen de piezas terminadas

Los estados D y A son estados absorbentes.

��PA0,90 ��

0,10

�� !CCA

0,95 ��

0,02

��

��

��

��

0,03

�� PB0,91 ��

0,09

��

�� !CCB0,90 ��

0,05

��

��

��

��

0,90

�� A

1

��

��D

1

��

𝑃 =

𝑃𝐴 𝐶𝐶𝐴 𝑃𝐵 𝐶𝐶𝐵 𝐷 𝐴

0, 90 0, 10 𝑃𝐴

0, 30 0, 95 0, 02 𝐶𝐶𝐴0, 91 0, 09 𝑃𝐵

0, 05 0, 05 0, 90 𝐶𝐶𝐵

1 𝐷

1 𝐴

Reagrupando:


𝑃 =

𝐷 𝐴 𝑃𝐴 𝐶𝐶𝐴 𝑃𝐵 𝐶𝐶𝐵𝐷 1𝐴 1

𝑃𝐴 0, 10 0, 90𝐶𝐶𝐴 0, 02 0, 03 0, 95𝑃𝐵 0, 09 0, 91𝐶𝐶𝐵 0, 05 0, 90 0, 05

𝑁 =

0 0, 90 0 00, 30 0 0, 95 00 0 0 0, 910 0 0, 05 0

𝐼−𝑁 =

1 −0, 90 0 0−0, 30 1 −0, 95 00 0 1 −0, 910 0 −0, 05 1

(𝐼 −𝑁)−1 =

1, 0277 0, 925 0, 9206 0, 83770, 0308 1, 0277 1, 0229 0, 93090 0 1, 0477 0, 95340 0 0, 0524 1, 0477

𝐴 =

0, 10 00, 02 00, 09 00, 05 0, 90

(𝐼 −𝑁)−1.𝐴 =

𝐷 𝐴0, 2661 0, 75390, 1621 0, 83780, 1419 0, 85810, 0571 0, 9429

Por lo tanto, la probabilidad de com-pletar satisfactoriamente una piezaque entra al proceso (probabilidad deabsorcion en el estado A) es 0,7539(75,39% ).

2. El numero esperado de piezas que deben entrar al proceso para produciruna pieza buena es 1/0,7539=1,3264. Luego, se necesitaran 1327 piezaspara producir 1000 piezas buenas.


3. De la matriz (𝐼 − 𝑁)−1 se obtiene el numero de veces que una pieza queentra al centro productivo pasa por cada operacion.

Estados No de veces No de veces HH/pieza HH/pieza(por pieza (por pieza procesada terminadaque entra) que sale terminada)

(a) (b)=(a)x1,3264 (c) (b)x(c)

PA 1,0277 1,3631 2 2,7263CCA 0,925 1,2269 0,1 0,1227PB 0,9206 1,2211 3 3,6633CCB 0,8377 1,1111 0,2 0,2222

4.

Estados Costo HH/pieza Costo/pieza($/HH) terminada terminada

PA 1200 2,7263 3271,56CCA 2000 0,1227 245,40PB 1800 3,6633 6593,94CCB 2000 0,2222 444,4

Costo M. de O.: 10555,30

⋅ Costo de materiales:

3000$

pieza que entrax 1, 3264

pieza que entra

piezas terminadas= 3979, 2

$

pieza terminada

⋅ Venta de material de rezago:

500$

pieza defectuosax 0, 2461

pieza defectuosa

piezas que entrax 1, 364

pieza que entra

piezas terminada= 163, 21

$

pieza terminada


Costo Mano de Obra 10555, 30Costo de Materiales 3979, 2- Venta de Defectuosos −163, 21Costo directo 14371.29 $

pieza terminada

5.5 Analisis de fallas

Una maquina de un proceso productivo puede estar en uno de los siguientesestados al final de cada dıa de operacion:𝐸0 = Perfectamente operable𝐸1 = Operable con deterioro menor𝐸2 = Operable con deterioro mayor𝐸3 = Inoperable Cuando el sistema se encuentra en alguno de los tres primerosestados pueden producirse artıculos defectuosos durante el dıa siguiente. Loscostos esperados (debido a la produccion de defectuosos) para cada uno de losestados son

Estado Costo𝐸0 0𝐸1 1000$𝐸2 3000$

Cuando la maquina se encuentra en el estado 3 se la repara llevandola al estado𝐸0. Este trabajo toma un dıa para completarse a un costo de 4000$. El lucrocesante diario es de 2000$.Asumiendo las siguientes probabilidades de transicion

Estado 𝐸0 𝐸1 𝐸2 𝐸3

𝐸0 0 7/8 1/16 1/16𝐸1 − 3/4 1/8 1/8𝐸2 1/2 1/2

1. Formular el problena como una cadena de Markov

2. Calcular el costo promedio esperado a largo plazo

3. Determinar el numero promedio de dıas de funcionamiento de la maquina

Solucion:


1.

𝑃 =

𝐸0 𝐸1 𝐸2 𝐸3

𝐸0 7/8 1/16 1/16𝐸1 3/4 1/8 1/8𝐸2 1/2 1/2𝐸3 1

1/16

��

��

��

�� !𝐸07/8

��

1/16

��

�� !𝐸11/8

��

1/8

��

3/4�� !𝐸2

��

��

��

��

1/2��

�� !𝐸3

1

��

2. Calculamos las probabilidades en regimen estacionario asociadas a cadaestado

[𝑝(0) 𝑝(1) 𝑝(2) 𝑝(3)]

7/8 1/16 1/163/4 1/8 1/8

1/2 1/21

= [𝑝(0) 𝑝(1) 𝑝(2) 𝑝(3)]

⎧⎨⎩

𝑝(3) = 𝑝(0)

𝑝(0).7/8 + 𝑝(1).3/4 = 𝑝(1)

𝑝(0).1/16 + 𝑝(1).1/8 + 𝑝(2).1/2 = 𝑝(2) −→

⎧⎨⎩

𝑝(0) = 2/13𝑝(1) = 7/13𝑝(2) = 2/13𝑝(3) = 2/13

𝑝(0) + 𝑝(1) + 𝑝(2) + 𝑝(3) = 1


Costo promedio = 0.𝑝(0) + 1000.𝑝(1) + 3000.𝑝(2) + (4000 + 2000).𝑝(3) =

= 1923, 08$

3. Considerando el estado E absorbente

𝑃 =

𝐸0 𝐸1 𝐸2 𝐸3

𝐸0 0 7/8 1/16 1/16𝐸1 0 3/4 1/8 1/8𝐸2 0 0 1/2 1/2𝐸3 0 0 0 1

𝐸3 𝐸0 𝐸1 𝐸2

1

1/16 7/8 1/161/8 3/4 1/81/2 1/2

𝐼 −𝑁 =1 −7/8 1/160 1/4 −1/80 0 1/2

(𝐼 −𝑁)−1 =1 7/2 10 4 10 0 2

(𝐼 −𝑁)−1.1 =1 7/2 10 4 10 0 2

x111=

5, 552

Por lo tanto, el tiempo esperado de cada ciclo de la maquina es 5,5 dıas.

5.6 Analisis de cuentas

El departamento de contadurıa de una empresa tiene la siguiente informacionsobre la evolucion de los creditos de un mes a otro (en porcentajes):


Cuenta Creditos Morosos Cobro IncobrablesCorriente Documentados

Cuenta Corriente 30 10 10 50Cred. Documentados 40 10 50Morosos 70 30

Suponiendo que se mantienen los niveles de creditos

1. ¿Cual es la probabilidad de que una cuenta en “Cuenta Corriente” se cobre?

2. ¿Cuantos meses transcurren en promedio hasta que se liquida una cuentade cada uno de los dos tipos de credito?

Solucion:

1.

𝑃 =

𝐶𝐶 𝐶𝐷 𝑀𝑂 𝐶𝑂 𝐼𝑁

𝐶𝐶 0, 3 0, 1 0, 1 0, 5𝐶𝐷 0, 4 0, 1 0, 5𝑀𝑂 0, 7 0, 3𝐶𝑂 1𝐼𝑁 1

𝐶𝑂 𝐼𝑁 𝐶𝐶 𝐶𝐷 𝑀𝑂

𝐶𝑂 1𝐼𝑁 1

𝐶𝐶 0, 5 0, 3 0, 1 0, 1𝐶𝐷 0, 5 0, 4 0, 1𝑀𝑂 0, 7 0, 3

𝐼 −𝑁 =0, 7 −0, 1 −0, 1

0, 6 −0, 11

(𝐼 −𝑁)−1 =1, 429 0, 238 0, 1670 1, 667 0, 1670 0 1

(𝐼 −𝑁)−1.𝐴 =1, 429 0, 238 0, 1670 1, 667 0, 1670 0 1

x0, 5 00, 5 00, 7 0, 3

=0, 950 0, 0500, 950 0, 0500, 7 0, 3


La probabilidad de que una cuenta CC se cobre es de 95%.

2.

��𝑖 =1, 429 0, 238 0, 1670 1, 667 0, 1670 0 1

x111=

1, 8341, 8341

En ambos casos es 1,834 meses.

5.7 Estudio de confiabilidad en un sistema de lıneas de transmision

El sistema esta constituido por tres lıneas de transmision de energıa o infor-macion que operan en paralelo. Cada lınea puede encontrarse en servicio, ofuera de servicio, ya sea por mantenimiento programado (indisponibilidad pro-gramada) o por falla, debido a la accion de un agente externo (indisponibilidadforzada). Ademas el regimen de operacion no permite retirar una lınea pormantenimiento programado cuando existe alguna otra en paralelo fuera de ser-vicio, ya sea por mantenimiento programado o por falla forzada.

FUENTE

sentido del flujo1 −→2 −→3 −→

SUMIDERO

En estas condiciones los estados posibles son:


Estado No de lıneas No de lıneas No de lıneasen servicio en falla forzada en manten. programado

1 3 0 02 2 1 03 2 0 14 1 2 05 1 1 16 0 3 07 0 2 1

y las transiciones entre los estados se pueden expresar mediante el siguientegrafo:

�� 11 ind. progr.

�� 1 falla forzada�� 3 1 mant. progr.

��

1 falla

��

�� 2

1 falla forzada

1 falla forzada

�� 51 reprac.

!!

1 falla

��

1 mant. progr.

�� 41 reprac.

!!

1 falla forzada

�� 71 reprac.

!!

1 mant. progr.

�� 61 reprac.

!!

Se puede observar que existen cuatro transiciones basicas:

- falla forzada

- reparacion

- indisponibilidad programada

- mantenimiento

Se asumira la hipotesis de que tanto los regımenes de falla y de indisponibili-dad programada como las duraciones de las reparaciones y los mantenimientos


tienen probabilidades de transicion dadas por funciones de distribucion expo-nencial:

- 𝑃𝑖𝑗(𝑡) falla forzada = (1− 𝑒−𝜆𝑓 𝑡)

- 𝑃𝑖𝑗(𝑡) indisp. progr. = (1− 𝑒−𝜆𝑝𝑡)

- 𝑃𝑖𝑗(𝑡) reparacion = (1− 𝑒−𝜇𝑓 𝑡)

- 𝑃𝑖𝑗(𝑡) mantenimiento = (1− 𝑒−𝜇𝑝𝑡)

De esta manera el sistema se puede estudiar como una cadena de Markov ho-mogenea con parametro t continuo. Luego las respectivas tasas de transicionseran:

- 𝑑falla forzada =𝑑

𝑑𝑡(𝑃𝑖𝑗(0))f. forz. = 𝜆𝑓 (5.1)

- 𝑑indispon. progr =𝑑

𝑑𝑡(𝑃𝑖𝑗(0))ind. progr. = 𝜆𝑝 (5.2)

- 𝑑reparacion =𝑑

𝑑𝑡(𝑃𝑖𝑗(0))reparacion = 𝜇𝑓 (5.3)

- 𝑑mantenimiento =𝑑

𝑑𝑡(𝑃𝑖𝑗(0))mantenim. = 𝜇𝑝 (5.4)

Los valores anteriores corresponden a probabilidades de transicion por cable.Para evaluar las probabilidades de transicion entre los siete estados definidoses necesario afectar a las expresiones (5.1) a (5.4) por el numero de lineas queestan en condiciones de efectuar la transicion, ası del estado 1 al estado 2 sepuede pasar por falla en cualquiera de las 3 lıneas, luego la tasa de transicion𝑑12 sera 𝑃12 = 3𝜆𝑓 , y ası con las demas, luego el grafo con las tasas de transiciones:


�� 1𝑑13=3𝜆𝑝

�� 𝑑12=3𝜆𝑓�� 3 𝑑31=𝜇𝑝

��

𝑑35=2𝜆𝑓

��

�� 2

𝑑12=𝜇𝑓

𝑑24=2𝜆𝑓

�� 5𝑑53=𝜇𝑓

!!

𝑑57=𝜆𝑓

��

𝑑52=𝜇𝑝

�� 4𝑑42=2𝜇𝑓

!!

𝑑46=𝜆𝑓

�� 7𝑑75=2𝜇𝑓

!!

𝑑74=𝜇𝑝

�� 6𝑑64=3𝜇𝑓

!!

Todas las restantes tasas 𝑑𝑖𝑗 que no figuran en el grafo son nulas. Luego lasprobabilidades del estado permanente:

𝑃 = 𝑃1 𝑃2 𝑃3 𝑃4 𝑃5 𝑃6 𝑃7

se calculan de la expresion (3.3.1):𝑃 = 𝐵.𝐴−1

con la matriz A definida en la (3.3 0), y que en este caso es:

𝐴 =

(𝑑12 + 𝑑13) 𝑑12 𝑑13 0 0 0 1𝑑21 −(𝑑21 + 𝑑24) 0 𝑑24 0 0 1𝑑31 0 −(𝑑31 + 𝑑35) 0 𝑑35 0 10 𝑑42 0 −(𝑑42 + 𝑑46) 0 𝑑46 10 𝑑52 𝑑53 0 −(𝑑52 + 𝑑53 + 𝑑57) 0 10 0 0 𝑑64 0 −𝑑64 10 0 0 𝑑74 −𝑑75 0 1


=

−3(𝜆𝑝 + 𝜆𝑓) 3𝜆𝑓 3𝜆𝑝 0 0 0 1𝜇𝑓 −(2𝜆𝑓 + 𝜇𝑓) 0 2𝜆𝑓 0 0 1𝜇𝑝 0 −2(𝜆𝑓 + 𝜇𝑝) 0 2𝜆𝑓 0 10 2𝜇𝑓 0 −(𝜆𝑓 + 2𝜇𝑓) 0 𝜆𝑓 10 𝜇𝑝 𝜇𝑓 0 −(𝜆𝑓 + 𝜇𝑓 + 𝜇𝑝) 0 10 0 0 3𝜇𝑓 0 −3𝜇𝑓 10 0 0 𝜇𝑝 2𝜇𝑓 0 1

Luego calculando la matriz 𝐴−1, su 7ma. fila dara los valores de las proba-bilidades del estado permanente. Mediante este metodo pueden determinarse,ademas:

. probabilidad de tres lıneas en servicio: 𝑃𝑗

. probabilidad de dos lıneas en servicio: 𝑃2 + 𝑃3

. probabilidad de una lınea en servicio: 𝑃4 + 𝑃5

. probabilidad de ninguna lınea en servicio: 𝑃6 + 𝑃7

Como ejemplo pueden calcularse los valores anteriores para los siguientes datos:𝜆𝑝 =10, 7 indisp/cable-ano; 𝜆𝑓 = 0, 4 fallas/cable-ano; 𝜇𝑝 = 983, 5 manten./cable-ano; 𝜇𝑓 = 190, 4 repar./cable-ano.


References

[1] Bronson, R Investigacion de Operaciones, serie Shaum; Mc. Graw Hill

[2] Gallagher y Watson, Quantative Methods for Busines; Mc. Graw Hill

[3] Gillett B., Introduction to Operations Research; Mc. Graw Hill

[4] Hillier y Lieberman, Introduccion a la Investigacion de Operaciones; Mc.Graw Hill

[5] Kaufman A., Metodos y Modelos de Investigacion de Operaciones;C.E.C.S.A

[6] Parsen, Procesos Estocasticos; Parainfo

[7] Prawda J., Metodos y Modelos de Investigacion de Operaciones; Limusa

[8] Rau J., Optimization and Probability in System Engieneering; Van NostranReinhold

[9] Shambin y Stevens, Investigacion de Operaciones, Un enfoque fundamen-tal; Mc. Graw Hill

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