Convexit´e dans le plan discret. Application `a la tomographie · 1 Plan de l’expos´e...

104
Convexit´ e dans le plan discret. Application ` a la tomographie Alain Daurat 11 d´ ecembre 2000

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Convexite dans le plan discret.Application a la tomographie

Alain Daurat

11 decembre 2000

1

Plan de l’exposeTomographie discrete

1

Plan de l’exposeTomographie discrete

Unicité des totalement convexes

Résultats déjà connus

Reconstruction despolyominos HV-convexes

1

Plan de l’exposeTomographie discrete

Unicité des totalement convexes

Résultats déjà connus

Reconstruction despolyominos HV-convexes

Reconstruction desQ-convexes

1.

1

Plan de l’exposeTomographie discrete

Unicité des totalement convexes

Résultats déjà connus

Reconstruction despolyominos HV-convexes

Reconstruction desQ-convexes

1.

2. Reconstruction approchée desQ-convexes

1

Plan de l’exposeTomographie discrete

Unicité des totalement convexes

Résultats déjà connus

Reconstruction despolyominos HV-convexes

Reconstruction desQ-convexes

1.

2. Reconstruction approchée desQ-convexes

3. Unicité des Q-convexes

1

Plan de l’exposeTomographie discrete

Unicité des totalement convexes

Résultats déjà connus

Reconstruction despolyominos HV-convexes

Reconstruction desQ-convexes

1.

2. Reconstruction approchée desQ-convexes

3. Unicité des Q-convexes

1

Plan de l’exposeTomographie discrete

Unicité des totalement convexes

Résultats déjà connus

Reconstruction despolyominos HV-convexes

Reconstruction desQ-convexes

1.

2. Reconstruction approchée desQ-convexes

3. Unicité des Q-convexes

Reconstruction des totalement convexes

résolution d’un probleme posé par Gritzmann :

1

Plan de l’exposeTomographie discrete

Unicité des totalement convexes

Résultats déjà connus

Reconstruction despolyominos HV-convexes

Reconstruction desQ-convexes

1.

2. Reconstruction approchée desQ-convexes

3. Unicité des Q-convexes

Reconstruction des totalement convexes

résolution d’un probleme posé par Gritzmann :

0. Introduction à la tomographie

2

0. Introduction a la tomographie

3

Tomographie geometrique

3

Tomographie geometrique

3

Tomographie geometrique

3

Tomographie geometrique

4

Tomographie discrete

p = x− y

1

3

2

3 3 1 1

Xp

XpE(i) = |{M ∈ E : p(M) = i}|.

4

Tomographie discrete

p = x− y

1

3

2

3 3 1 1

Xp

1

1

3

4

1

4

XpE(i) = |{M ∈ E : p(M) = i}|.

4

Tomographie discrete

p = x− y

1

3

2

3 3 1 1

Xp

1

1

3

4

1

4

3 4 151

XpE(i) = |{M ∈ E : p(M) = i}|.

5

Reconstruction

On se fixe un ensemble D de directions

Reconstruction(D)Donnee : |D| vecteurs (pi)i∈Z pour p ∈ D.

Sortie : Une partie E ⊂ Z2 , si elle existe, dont

les projections verifient

∀p ∈ D∀i ∈ Z XpE(i) = pi.

6

– Si |D| = 2 alors Reconstruction(D) peut etre resolu en

temps polynomial. (Gale, Ryser 1957).

– Si |D| ≥ 3 alors le probleme existentiel associe a Reconstruction(D)est NP-complet (GGP97).

7

Reconstruction avec hypotheses geometriques

On se fixe un ensemble D de directions et une classe Fcontenue dans les parties de Z2.

Reconstruction(F ,D)Donnee : |D| vecteurs (pi)i∈Z pour p ∈ D.

Sortie : Un ensemble E ∈ F , si il existe, dont

les projections verifient

∀p ∈ D∀i ∈ Z XpE(i) = pi.

8

Reconstruction des polyominos HV-convexes

1

1

3

4

1 3 4 15

1

4

9

Si

– D = {x,y} (directions horizontales et verticales.)

– F est la classe des polyominos HV-convexes.

alors Reconstruction(F ,D) peut etre resolu en temps

polynomial ([BDLNP96]).

9

Si

– D = {x,y} (directions horizontales et verticales.)

– F est la classe des polyominos HV-convexes.

alors Reconstruction(F ,D) peut etre resolu en temps

polynomial ([BDLNP96]).

Extension a des directions quelconques?

10

1. Reconstruction des Q-convexes

11

Q-convexite

R0(M) R1(M)

R2(M)R3(M)

M

p = p(M)

q = q(M)

Les quatre quadrants :

Rpq0 (M) = {N ∈ Z2

/ p(N) ≤ p(M) et q(N) ≤ q(M)}

Rpq1 (M) = {N ∈ Z2

/ p(N) ≥ p(M) et q(N) ≤ q(M)}

Rpq2 (M) = {N ∈ Z2

/ p(N) ≥ p(M) et q(N) ≥ q(M)}

Rpq3 (M) = {N ∈ Z2

/ p(N) ≤ p(M) et q(N) ≥ q(M)}

12

Definition. Un ensemble F est Q-convexe selon les directions p et q si

pour tous M ∈ Z2:

∀iRpqi (M) ∩ F 6= ∅ =⇒ M ∈ F.

De maniere equivalente

∀M ∈ Z2 \ E ∃i Ri(M) ∩ E = ∅

13

Deux ensembles Q-convexes selon x et y

13

Deux ensembles Q-convexes selon x et y

13

Deux ensembles Q-convexes selon x et y

13

Deux ensembles Q-convexes selon x et y

13

Deux ensembles Q-convexes selon x et y

13

Deux ensembles Q-convexes selon x et y

13

Deux ensembles Q-convexes selon x et y

14

Un ensemble Q-convexe selon x + y et x− y

D

14

Un ensemble Q-convexe selon x + y et x− y

D

14

Un ensemble Q-convexe selon x + y et x− y

D

15

Un ensemble Q-convexe selon x,y,x− y

D

15

Un ensemble Q-convexe selon x,y,x− y

D

15

Un ensemble Q-convexe selon x,y,x− y

D

15

Un ensemble Q-convexe selon x,y,x− y

D

15

Un ensemble Q-convexe selon x,y,x− y

D

16

Enveloppe Q-convexe

L’intersection de deux Q-convexes selon D est Q-convexe.

16

Enveloppe Q-convexe

L’intersection de deux Q-convexes selon D est Q-convexe.

On peut donc definir l’enveloppe Q-convexe d’une partie

quelconque de Z2. Le programme

17

Reconstruction

Si Q(D) est la classe des Q-convexes selon D alorsReconstruction(Q(D),D) peut etre resolu en O(n7)operations.Demo

– Essai generique

17

Reconstruction

Si Q(D) est la classe des Q-convexes selon D alorsReconstruction(Q(D),D) peut etre resolu en O(n7)operations.Demo

– Essai generique

– directions diagonales

17

Reconstruction

Si Q(D) est la classe des Q-convexes selon D alorsReconstruction(Q(D),D) peut etre resolu en O(n7)operations.Demo

– Essai generique

– directions diagonales

– Cas ou 2-SAT est necessaire

17

Reconstruction

Si Q(D) est la classe des Q-convexes selon D alorsReconstruction(Q(D),D) peut etre resolu en O(n7)operations.Demo

– Essai generique

– directions diagonales

– Cas ou 2-SAT est necessaire

– autre cas

17

Reconstruction

Si Q(D) est la classe des Q-convexes selon D alorsReconstruction(Q(D),D) peut etre resolu en O(n7)operations.Demo

– Essai generique

– directions diagonales

– Cas ou 2-SAT est necessaire

– autre cas

– Cas ou la Q-convexite intervient dans la phase finale.

18

18

A

B

C

D

F

G

H

E

18

A

B

C

D

F

G

H

EProjections verticales :

18

A

B

C

D

F

G

H

EProjections verticales :

A ⇔ ¬C, B ⇔ ¬D,

E ⇔ ¬G, F ⇔ ¬H.

18

A

B

C

D

F

G

H

EProjections verticales :

A ⇔ ¬C, B ⇔ ¬D,

E ⇔ ¬G, F ⇔ ¬H.

Projections horizontales :

A ⇔ ¬E, B ⇔ ¬F ,

C ⇔ ¬G, D ⇔ ¬H.

18

A

B

C

D

F

G

H

EProjections verticales :

A ⇔ ¬C, B ⇔ ¬D,

E ⇔ ¬G, F ⇔ ¬H.

Projections horizontales :

A ⇔ ¬E, B ⇔ ¬F ,

C ⇔ ¬G, D ⇔ ¬H.

Convexite:

18

A

B

C

D

F

G

H

EProjections verticales :

A ⇔ ¬C, B ⇔ ¬D,

E ⇔ ¬G, F ⇔ ¬H.

Projections horizontales :

A ⇔ ¬E, B ⇔ ¬F ,

C ⇔ ¬G, D ⇔ ¬H.

Convexite:

A ⇒ B, D ⇒ C,

E ⇒ F , H ⇒ G,

19

– Choix des pieds. (O(n2))– Liaison des pieds en utilisant la Q-convexite. (O(n2))– Operations de completions utilisant la convexite selon cha-

cune des directions (O(n5))– Reduction du probleme a 2-SAT (O(n5)).

19

– Choix des pieds. (O(n2))– Liaison des pieds en utilisant la Q-convexite. (O(n2))– Operations de completions utilisant la convexite selon cha-

cune des directions (O(n5))– Reduction du probleme a 2-SAT (O(n5)).

Dernierement, les deux dernieres etapes ont ete reduites a O(n3) →algorithme global en O(n5).

20

2. Reconstruction approchee desQ-convexes

21

RecAppro(F ,D)Donnee : 2|D| vecteurs (pi)i∈Z et (p′i)i∈Z2 pour

p ∈ D.Sortie : Un ensemble E ∈ F , si il existe, dont

les projections verifient

∀p ∈ D ∀i ∈ Z pi ≤ XpE(i) ≤ p′i.

22

Si |D| = 2 alors RecAppro(Q(D),D) peut etre resolu en

O(n6) operations.

– Choix de quatre pieds.

– Reduction directe du probleme a 2-SAT en utilisant quatre

variables V0(M),V1(M),V2(M),V3(M) pour chaque point

M . La variable Vi(M) signifiant “Ri(M) ∩ E = ∅”.

E peut se calculer a partir de V :

E = {M ∈ ∆ | ¬V0(M) ∧ ¬V1(M) ∧ ¬V2(M) ∧ ¬V3(M)}.

23

Expression de la Q-convexite.

Si Ri(M) ⊂ Ri(N) alors Vi(N) =⇒ Vi(M).

M

N

24

Borne inferieureExpression par une 2-formule que XqE(j) ≥ 3

A1 A2 A3 A4 A5

A1 A2 A3 A4 A5

A1 A2 A3 A4 A5

A1 A2 A3 A4 A5

24

Borne inferieureExpression par une 2-formule que XqE(j) ≥ 3

A1 A2 A3 A4 A5

A1 A2 A3 A4 A5

A1 A2 A3 A4 A5

A1 A2 A3 A4 A5 ¬V1(A3)¬V2(A3)

24

Borne inferieureExpression par une 2-formule que XqE(j) ≥ 3

A1 A2 A3 A4 A5

A1 A2 A3 A4 A5

A1 A2 A3 A4 A5

A1 A2 A3 A4 A5 ¬V1(A3)¬V2(A3)

¬V0(A1) ∨ V1(A4)

¬V0(A1) ∨ V2(A4)

¬V3(A1) ∨ V1(A4)

¬V3(A1) ∨ V2(A4)

24

Borne inferieureExpression par une 2-formule que XqE(j) ≥ 3

A1 A2 A3 A4 A5

A1 A2 A3 A4 A5

A1 A2 A3 A4 A5

A1 A2 A3 A4 A5 ¬V1(A3)¬V2(A3)

¬V0(A1) ∨ V1(A4)

¬V0(A1) ∨ V2(A4)

¬V3(A1) ∨ V1(A4)

¬V3(A1) ∨ V2(A4)

¬V0(A2) ∨ V1(A5)

¬V0(A2) ∨ V2(A5)

¬V3(A2) ∨ V1(A5)

¬V3(A2) ∨ V2(A5)

24

Borne inferieureExpression par une 2-formule que XqE(j) ≥ 3

A1 A2 A3 A4 A5

A1 A2 A3 A4 A5

A1 A2 A3 A4 A5

A1 A2 A3 A4 A5 ¬V1(A3)¬V2(A3)

¬V0(A1) ∨ V1(A4)

¬V0(A1) ∨ V2(A4)

¬V3(A1) ∨ V1(A4)

¬V3(A1) ∨ V2(A4)

¬V0(A2) ∨ V1(A5)

¬V0(A2) ∨ V2(A5)

¬V3(A2) ∨ V1(A5)

¬V3(A2) ∨ V2(A5)

¬V0(A3)¬V3(A3)

25

Borne superieureExpression par une 2-formule que XqE(j) ≤ 3

On doit fixer des points qui extremisent p.

A1 A2 A3 A4 A5

A1 A2 A3 A4 A5

25

Borne superieureExpression par une 2-formule que XqE(j) ≤ 3

On doit fixer des points qui extremisent p.

A1 A2 A3 A4 A5

A1 A2 A3 A4 A5

V3(A1) ∨ V2(A4)

25

Borne superieureExpression par une 2-formule que XqE(j) ≤ 3

On doit fixer des points qui extremisent p.

A1 A2 A3 A4 A5

A1 A2 A3 A4 A5

V3(A1) ∨ V2(A4)

V3(A2) ∨ V2(A5)

26

Extension a plusieurs directions

L’algorithme precedent ne s’etend pas facilement pour les

Q-convexes selon plus de trois directions

26

Extension a plusieurs directions

L’algorithme precedent ne s’etend pas facilement pour les

Q-convexes selon plus de trois directions

Rpq0

p

q

pr

Rpr0

Rqr0

q

r

V pq0 ⇔ V pr

0 ∨ V qr0

27

Les ASP (presque-demi-plans)

Definition. Un ASP selon D est un quadrant maximal parmi

les quadrants selon deux directions de D.

Rpr2 (M)R

qr2 (M) R

pq1 (M)

Rqr0 (M) R

pr0 (M) R

pq3 (M)

M MM

M M

M

D

Les six ASP autour d’un point pour D = {x,y,x + y}.

28

Q-convexes forts

Un ensemble E ⊂ Z2 est Q-convexe fort si pour tout M 6∈ E

il existe un ASP autour de M qui ne contient aucun point de

M .

D

29

Si QF(D) designe la classe des Q-convexes forts selon Dalors RecAppro(Q(D),D) peut etre resolu en O(n2+2d)operations.

30

3. Unicite

31

Unicite

Definition. L’ensemble de directions D caracterise la classe

E si pour tous ensemble E1 et E2 de E on a :

(∀p ∈ D XpE1 = XpE2) =⇒ E1 = E2

Resultat negatif ([BDLNP]): Aucun ensemble fini de

directions caracterise la classe des parties quelconques de Z2.

32

Ensembles totalement convexes

Un ensemble E ⊂ Z2 est totalement convexe si

E = Z2 ∩ convE.

33

2

6

6

5

6

6

2

2 6 6 5 6 6 2

1 2 2 4 5 5

5

2

1

4

2

1 2 2 4 5 5 5 4

2

2

1

D = {x,y,x + y,x− y}

34

Caracterisation des ensembles totalementconvexes

Theoreme. [[GG97]] Si un birapport de quatre directions de

D n’est pas dans {43,

32,2,3,4} alors D caracterise la classe des

totalement convexes.

34

Caracterisation des ensembles totalementconvexes

Theoreme. [[GG97]] Si un birapport de quatre directions de

D n’est pas dans {43,

32,2,3,4} alors D caracterise la classe des

totalement convexes.

Birapport :[

p1 p2p3 p4

]= p3−p1

p3−p2: p4−p1

p4−p2= (p3−p1)(p4−p2)

(p3−p2)(p4−p1)

34

Caracterisation des ensembles totalementconvexes

Theoreme. [[GG97]] Si un birapport de quatre directions de

D n’est pas dans {43,

32,2,3,4} alors D caracterise la classe des

totalement convexes.

Birapport :[

p1 p2p3 p4

]= p3−p1

p3−p2: p4−p1

p4−p2= (p3−p1)(p4−p2)

(p3−p2)(p4−p1)

Corollaire. Si ‖D‖ ≥ 7 alors D caracterise les totalement

convexes

35

Exemple : D = {x,y,2x+ y,x− 2y},[ −2 0

12 ∞

]= 5 6∈ {4

3,32,2,3,4}

35

Exemple : D = {x,y,2x+ y,x− 2y},[ −2 0

12 ∞

]= 5 6∈ {4

3,32,2,3,4}

1 3 3 5 5 3 3 2 1

1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1

2

8

8

2

5

2

3

2

3

3

3

2

2

3

2

1

1

36

Switching-component

Definition. Un switching-component selon D est la difference

de deux ensembles qui ont les memes projections selon D.

F+ F− (E−,E+) = (F+ \ F−,F− \ F+)

37

Switching de totalement convexes

D-polygones convexes

D-polygones affinement rgulier

tous les birapport sont dans {4/3, 3/2, 2, 3, 4}

37

Switching de totalement convexes

D-polygones convexes

D-polygones affinement rgulier

tous les birapport sont dans {4/3, 3/2, 2, 3, 4}

Switchings de Q-convexes

D-polygones Q-convexes forts

37

Switching de totalement convexes

D-polygones convexes

D-polygones affinement rgulier

tous les birapport sont dans {4/3, 3/2, 2, 3, 4}

Switchings de Q-convexes

D-polygones Q-convexes forts

37

Switching de totalement convexes

D-polygones convexes

D-polygones affinement rgulier

tous les birapport sont dans {4/3, 3/2, 2, 3, 4}

Switchings de Q-convexes

D-polygones Q-convexes fortsdans Z2

37

Switching de totalement convexes

D-polygones convexes

D-polygones affinement rgulier

tous les birapport sont dans {4/3, 3/2, 2, 3, 4}

Switchings de Q-convexes

D-polygones Q-convexes fortsdans Z2

38

Unicite de la reconstruction des Q-convexes

Theoreme. D caracterise la classe des Q-convexes selon D si

et seulement si D caracterise la classe des totalement convexes.

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXClasses

Directions|D| ≤ 3 ou

tous les birapports dans{4

3,32,2,3,4}

|D| ≥ 4avec un birapport

6∈ {43,32,2,3,4}

quelconqueNON

[BDLNP]

H-convexe 4-connexeNON

[BDLNP]

HV-convexeNON

[BDLNP]

Q-convexes selon D NON[BDLNP]

OUI

totalement convexesOUI

[GG97]

39

HHHHHH

HHHHHH

HHHHF

D {x,y} |D| = 2 |D| ≥ 3|D| ≥ 7ou birapport 6∈

{43,32,2,3,4}

quelconque O(n2) NP-comp

HV-convexe NP-comp ? ? ?

4-connexe NP-comp ? ? ?

HV-convexe

4-connexeO(n4) ? ? ?

Q-convexe ?

tot. convexe ? ? ? ?

39

HHHHHH

HHHHHH

HHHHF

D {x,y} |D| = 2 |D| ≥ 3|D| ≥ 7ou birapport 6∈

{43,32,2,3,4}

quelconque O(n2) NP-comp

HV-convexe NP-comp ? ? ?

4-connexe NP-comp ? ? ?

HV-convexe

4-connexeO(n4) ? ? ?

Q-convexe O(n5)tot. convexe ? ? ? ?

39

HHHHHH

HHHHHH

HHHHF

D {x,y} |D| = 2 |D| ≥ 3|D| ≥ 7ou birapport 6∈

{43,32,2,3,4}

quelconque O(n2) NP-comp

HV-convexe NP-comp ? ? ?

4-connexe NP-comp ? ? ?

HV-convexe

4-connexeO(n4) ? ? ?

Q-convexe O(n5)tot. convexe ? ? ?

39

HHHHHH

HHHHHH

HHHHF

D {x,y} |D| = 2 |D| ≥ 3|D| ≥ 7ou birapport 6∈

{43,32,2,3,4}

quelconque O(n2) NP-comp

HV-convexe NP-comp ? ? ?

4-connexe NP-comp ? ? ?

HV-convexe

4-connexeO(n4) ? ? ?

Q-convexe O(n5)tot. convexe ? ? ? O(n5)

40

Conclusion et perspectives

– Decouverte d’une notion tres adaptee a la tomographie

discrete.

40

Conclusion et perspectives

– Decouverte d’une notion tres adaptee a la tomographie

discrete.

– Est-ce une notion utile dans la pratique?

40

Conclusion et perspectives

– Decouverte d’une notion tres adaptee a la tomographie

discrete.

– Est-ce une notion utile dans la pratique?

– Angiographie.

– Microscopie electronique

40

Conclusion et perspectives

– Decouverte d’une notion tres adaptee a la tomographie

discrete.

– Est-ce une notion utile dans la pratique?

– Angiographie.

– Microscopie electronique

– La Q-convexite dans d’autre domaines? (Combinatoire).

41

References

[BDLNP] E. Barcucci, A. Del Lungo, M. Nivat, et R. Pinzani. X-rays characterizing some classes of discrete sets. preprint.

[BDLNP96] E. Barcucci, A. Del Lungo, M. Nivat, et R. Pinzani. Reconstructing convex polyominoes from horizontal and verticalprojections. Theor. Comp. Sci., 155(2):321–347, 1996.

[DV84] M. Delest et G. Viennot. Algebraic languages and polyomino enumeration. j-THEOR-COMP-SCI, 34:168–206,1984.

[Gar95] R. J. Gardner. Geometric Tomography, volume 58 de Encyclopedia of Mathematics and its Applications. CambridgeUniversity Press, 1995.

[GG97] R. J. Gardner et P. Gritzmann. Discrete tomography: Determination of finite sets by X-rays. Trans. Am. Math.Soc., 349(6):2271–2295, 1997.

[GGP99] R. J. Gardner, P. Gritzmann, et D. Prangenberg. On the computational complexity of reconstructing lattice setsfrom their x-rays. Disc. Math., 202:45–71, 1999.

[Ham63] P. C. Hammer. Unsolved problems. Dans Proc. Symp. Pure Math., vol 7 : Convexity, p. 498–499. Amer. Math.Soc., 1963.

[KKV89] D. Kolzow, A. Kuba, et A. Volcic. An algorithm for reconstructing convex bodies from their projections. Disc. andComp. Geom., 4:205–237, 1989.

[Rys63] H. J. Ryser. Combinatorial Mathematics. Mathematical Association of America, 1963.

[Vol87] A. Volcic. Tomography of convex bodies and inscribed polygons. Ricerche Mat., 36:185–192, 1987.

[Woe96] G. H. Woeginger. The reconstruction of polyominoes from horizontal and vertical projections. Technical reportSFB-65, TU Graz, Graz, 1996.