Spéciale PSI - Cours "Conversion de puissance" 1

Conversion électromagnétique statique

Chapitre I : Le transformateur

Objectifs :

• déterminer les principales caractéristiques d’un transformateur et comprendre son principe de fonctionnement ;

• présenter un modèle simple : le transformateur parfait.

1. Introduction

Les chapitres précédents abordaient le problème de traitement du signal sans aucune référence aux puissances mises en jeualors que les techniques à utiliser ne sont pas les mêmes si ces puissances sont de l’ordre du milliwatt ou du kilowatt.De plus, les procédés de production, de transport et d’utilisation de l’énergie électrique font appel à de nombreuses conversionsde puissance.

• Production : dans les centrales, l’énergie thermique est convertie en énergie mécanique (mise en mouvement desturbines) puis en énergie électrique grâce à un alternateur qui réalise une conversion électromécanique. (casparticulier des centrales hydroélectriques).

• Transport : pour diminuer les pertes par effet Joule dans les lignes électriques on transporte l’énergie électrique soushaute tension. Pour limiter les risques, l’utilisateur reçoit cette énergie sous une tension bien plus faible. Ces différentesconversions statiques de la puissance sont obtenus grâce à des transformateurs.

• Utilisation : selon les modes d’utilisation, il pourra être nécessaire d’effectuer une conversion électronique depuissance.

Au cours de ces conversions la puissance reçue en entrée Pe est égale à la somme de la puissance Ps cédée ensortie et de la puissance PP perdue (sous forme de chaleur, rayonnement, vibrations mécaniques). On définit alors lerendement du convertisseur comme le rapport de la puissance utile délivrée à la charge à la puissance absorbée à la source :

Pe = Ps + PP et η = PsPe

Exercice n 01 : Nécessité des hautes tensionsQuels diamètres de fil choisir pour fournir à une usine, distant de 50 km, une puissance de 10MW avec moins de 10% de pertes

sous une tension de 220V ou de 200.103V ?La résistivité du cuivre est ρ = 2, 0.10−8Ω.m.

Exercice n 02 : Limite d’utilisation d’un montage potentiométrique dans la conversion de puissance

E = 24V, R = 80Ω, on pose r1 + r2 = R′ et R′ = 1kΩ.

1) On réalise le montage ci-dessus. Déterminer la fem αE et la résistance interne ri du dipôle AA′. Exprimer α et ri en fonctionde r1 et r2.

2) En déduire la puissance P2 dissipée dans la résistance de charge R en fonction de E, α, R′ et R.3) Calculer la puissance P1 fournie par la source de tension E en fonction de E, α, R′ et R.4) En déduire le rendement η en puissance du circuit en fonction de α, R′ et R.Application numérique : calculer η pour α = 3/4. Que pensez-vous de la valeur obtenue ?

Conversion de puissance. Chapitre I : Le transformateur 2

2. Rappels

• Les phénomènes expérimentaux liés aux milieux magnétiques sont très bien interprétés à l’échelle macroscopique parl’hypothèse que tout élément de volume d’un matériau aimanté possède un moment dipolaire magnétique. Le phénomèned’aimantation est alors entièrement caractérisé par la densité volumique de moment dipolaire, champ vectoriel quenous désignerons par

−→M ;

−→M est appelé ”vecteur aimantation” ou simplement ”aimantation” du milieu. Unité:

−→M

s’exprime en Ampère par mètre (symbole Am−1) dans le système d’unités internationale.

• Par définition on appelle ”vecteur −→H” ou vecteur ”excitation magnétique” le vecteur donné en tout point par larelation

−→H =

−→B

µo−−→M

Le vecteur−→H a la même dimension que le vecteur

−→M , il s’exprime donc en Ampère par mètre (symbole Am−1) en SI.

• Le théorème d’Ampère s’écrira alors dans un milieu magnétique∮

C

H.d =

∫∫

S

j.dS +

∫∫

S

∂ D

∂t.dS

soit dans l’ARQS∮

C

−→H.d

−→l = Ilibre, enlace

• Loi de Faraday généralisée : Pour une maille fermée, mobile dans un champ magnétique variable B, la f.e.m.d’induction est donnée par la loi de Faraday :

e = − dφdt

où dφdt représente la dérivée totale du flux φ(t), tenant compte du déplacement du circuit et de la variation de

B. (e est

la somme de eL =∮C

(ve ∧ B

).d et de eN = −

∮C∂ A∂t .d

).

• Si le circuit à une inductance propre L et est parcouru par un courant d’intensité i alors φ = L.i et e = −Ldidt• Si deux circuits sont en inductance mutuelle et en supposant qu’il n’y a pas d’autre source de champmagnétique, les flux totaux à travers chacune des deux bobines s’écrivent :

Φ1 = φ1→1 + φ2→1 = L1i1 +Mi2

Φ2 = φ2→2 + φ1→2 = L2i2 +Mi1

D’où les f.e.m. induites :e1 = −dΦ1

dt = −L1di1dt −M

di2dt

e2 = −dΦ2dt = −L2

di2dt −M

di1dt

R1 L1

MR2L2i1 i2

A DCB

R1

e1

R2

e2

i1 i2

A DCB

On en déduit les différences de potentiel aux bornes de chacun des deux circuits :

uAB = v1 = R1i1 − e1 = R1i1 + L1di1dt+M

di2dt

uCD = v2 = R2i2 − e2 = R2i2 + L2di2dt+M

di1dt

Les équations électriques de chacune des deux branches sont couplées par inductance mutuelle.En régime sinusoïdal permanent à la pulsation ω ces équations deviennent :

v1 = R1i1 + jωL1i1 + jωMi2v2 = R2i2 + jωL2i2 + jωMi1

Conversion de puissance. Chapitre I : Le transformateur 3

3. Le transformateur

3.1. Description du dispositif

• Un transformateur est constitué d’un circuit magnétique fermé sur lequel sont bobinés deux enroulements élec-triquement indépendants (galvaniquement isolé) : le primaire (relié à la source) et le secondaire (relié à la charge)(dans le cas particulier de l’autotransformateur, il n’y a qu’un seul bobinage : le secondaire est une partie du primaire).Le circuit magnétique est constitué d’un matériau ferromagnétique (cf. travaux pratiques), en général de minces tôlesde fer au silicium d’épaisseur comprise environ entre 0, 05mm et 0, 5mm isolées les unes des autres par du vernis oupar une oxydation superficielle, et fortement comprimées par un système de serrage.Chacun des circuits électriques est constitué de fil de cuivre ou d’aluminium émaillé ou enrubanné de coton, papier outoile pour l’isolation électrique. Ces circuits sont noyés dans de la résine ou imprégnés de vernis et comprimés pourrésister aux efforts électromagnétiques.Dans les transformateurs de forte puissance, le circuit électrique est isolé du circuit ferromagnétique et de l’enveloppeextérieure par un diélectrique (de l’huile ou du pyralène, avant son interdiction). Ce fluide permet aussi d’évacuer versl’extérieur la chaleur dissipée dans le transformateur.

• Importance du circuit ferromagnétique :Grâce aux propriétés ferromagnétiques du matériau qui le constitue, le circuit magnétique canalise les lignes de champmagnétique : le champ magnétique peut être considéré comme quasiment nul en dehors du matériau, appelé ici noyau.Le couplage entre les enroulements est alors pratiquement total, car quasiment toutes les lignes de champ magnétiquetraversent les deux enroulements. De plus, le circuit ferromagnétique rend l’intensité dans le circuit primaire très faibleen l’absence de courant dans le secondaire.L’utilisation de tôles feuilletées dans le sens du champ magnétique permet de diminuer les pertes par courants deFoucault.

3.2. Convention d’orientation

On oriente de façon arbitraire le circuit magnétique.L’orientation des enroulements primaire et secondaire est telle que leur normale (obtenue avec les règles habituelles) est dansle sens choisi pour l’orientation du circuit magnétique. On repère alors par deux points une paire de bornes homologuesdu transformateur : cette paire est composée de la borne du primaire et de celle du secondaire par où rentre un courantpositif avec la convention d’orientation précédente.

3.3. Hypothèses simplificatrices

L’étude d’un transformateur réel est complexe mais nous pourrons adopter des hypothèses simplificatrices :

• sur le matériau constituant le noyau :

— le noyau est torrique

— les champs magnétiques mis en jeu sont faibles devant le champ de saturation et le cycle d’hystérésis est suffisam-ment étroit pour être assimilé à un segment de droite. On peut alors faire l’approximation d’un milieu linéaire,homogène et isotrope (milieu L.H.I.) pour lequel

B = µ0µr H

Conversion de puissance. Chapitre I : Le transformateur 4

— l’hypothèse précédente peut être complétée : dans le cas des matériaux ferromagnétiques, la perméabilité relativeµr est souvent grande devant 1 et on ferra parfois l’approximation µr → +∞.

• sur le champ magnétique dans le noyau :

— les lignes de champ magnétique sont assimilées à des cercles de même axe de révolution que le tore,qui se comporte donc comme un tube de champ. Il n’y a pas de ”fuites” (c’est à dire pas de lignes de champ quise referment en dehors du noyau). II en résulte que le flux du champ B à travers toute section est constant etque le couplage entre les deux enroulements est total.

— on considère la section du tore de diamètre très inférieur au rayon moyen R, de telle sorte qu’on puissesupposer les champs uniformes sur toute une section.

• sur les enroulements :Ils sont parfaitement conducteurs et ne présentent pas de pertes par effet Joule.

Exercice n 03 : Etude d’une bobine à noyau toriqueUne bobine est constituée de n1 spires pratiquement jointives de rayon a, enroulées en une seule couche sur un tore de rayon moyen

r0. L’enroulement est réalisé avec un fil de cuivre de diamètre d a. La bobine est parcourue par un courant I.

1) Quelle est la forme des lignes de champ magnétique ?2) Exprimer le champ magnétique B en un point P situé à l’intérieur du tore et repéré par les coordonnées r et θ.3) Calculer l’inductance propre L de la bobine. On considérera pour cela que r0 a et les calculs seront développés au second

ordre.4) Calculer la valeur maximale que doit avoir le rapport a/r0 pour que l’on puisse considérer que L ≈ L1 =

µ0n21a

2

2r0, avec une

précision supérieure à 1% ? µ0 est la perméabilité du vide.Application numérique: d = 0, 4mm, a = 6mm, r0 = 30mm.

4.Mise en équation du transformateur parfait

4.1. Notations

Soit un transformateur pour lequel toutes les hypothèses simplificatrices précédentes sont applicables (sauf µr → +∞) :

Conversion de puissance. Chapitre I : Le transformateur 5

• le noyau est torrique et constitué d’un milieu linéaire, homogène et isotrope : B = µ0µr H

• les lignes de champ magnétique sont assimilées à des cercles de même axe de révolution que le tore (le flux du champ Bà travers toute section est constant et le couplage entre les deux enroulements est total) et les champs sont uniformessur toute une section.

• les enroulements sont parfaitement conducteurs et ne présentent pas de pertes par effet Joule.

Soit n1 (respectivement n2) le nombre de spires du primaire (respectivement du secondaire) et i1, i2, v1 et v2 les courantset les tensions indiqués sur la figure 1 ci-dessus.

4.2. Expression des tensions

4.2.1. Première méthode

• les lignes de champ étant des cercles, le théorème d’Ampère appliqué au cercle orienté C de rayon R donne :∮

C

−→H.d

−→l = Ilibre, enlace

l’excitation magnétique H est donc :H =

1

2πR(n1i1 + n2i2)uθ

• le milieu est linéaire, homogène et isotrope

⇒ B = µ0µr H =µ0µr2πR

(n1i1 + n2i2)uθ

• le flux φ de B à travers toute section du tore s’écrit :

φ =

∫∫B.dS = BS =

µ0µr2πR

(n1i1 + n2i2)S

Ce flux, souvent appelé flux commun (c’est la grandeur qui assure le couplage entre le primaire et le secondaire) estle flux pour une spire. C’est une grandeur continue (φ est lié à l’énergie emmagasinée dans le noyau).

• Dans chaque enroulement va apparaître un phénomène d’induction lorsque le flux va varier. On modélise alors letransformateur par le quadripôle de la figure 2 du paragraphe 4.1..Il y a n1 spires au primaire, le flux à travers ce conducteur est donc φ1 = n1φ et la loi de Faraday donne (résistancedes bobinages négligeables) :

v1 = −e1 =dφ1dt

= n1dφ

dt= n1

d

dt

(µ0µrS

2πR(n1i1 + n2i2)

)

⇒ v1 =µ0µrS

2πRn21di1dt+µ0µrS

2πRn1n2

di2dt

de même au secondaire on obtient :

v2 = −e2 =dφ2dt

= n2dφ

dt

=µ0µrS

2πRn1n2

di1dt+µ0µrS

2πRn22di2dt

v1 = −e1 = µ0µrS2πR n21

di1dt +

µ0µrS2πR n1n2

di2dt

v2 = −e2 = µ0µrS2πR n1n2

di1dt +

µ0µrS2πR n22

di2dt

4.2.2. Deuxième méthode

On pouvait retrouver directement ces résultats grâce aux rappels du paragraphe 2 :nous pouvons donner le schéma électrique équivalent du transformateur (avec les hypothèses précédentes) :

Conversion de puissance. Chapitre I : Le transformateur 6

v1 = −e1 = L1 di1dt +Mdi2dt

v2 = −e2 = L2 di2dt +Mdi1dt

avec L1 = µ0µrn21S2πR et L2 = µ0µr

n22S2πR

et M =√L1L2 = inductance mutuelle avec couplage total

4.3. Rapport de transformation en tension

D’après le paragraphe 4.2. v1 = n1dφdt et v2 = n2

dφdt et donc

v2v1= n2

n1= m = rapport de transformation en tension

4.4. Transformateur parfait : rapport de transformation en courant

Dans le modèle du transformateur parfait nous supposons de plus que la perméabilité relative µr du matériaumagnétique tend vers l’infini. L’expression du flux donne

φ =µ0µr2πR

(n1i1 + n2i2)S ⇒ n1i1 + n2i2 = 2πRφ

µ0µrS→ 0 et donc

i2i1≈ −n1

n2= − 1

m si µr →∞

Le symbole d’un transformateur parfait, est donné ci-dessous :

Remarques :1) Dans un transformateur parfait, la puissance instantanée absorbée au primaire p1 = u1.i1 est égale à la puissance

instantanée cédée au secondaire p2 = u2.i2 . Cette propriété restant vraie pour les valeurs moyennes, le rendement d’untransformateur parfait est donc égal à 1. Le transformateur est utilisable comme convertisseur de puissance, mêmepour de fortes puissances.2) Dans un transformateur parfait n1i1 + n2i2 → 0, l’excitation magnétique H est donc nulle.

4.5. Fonctionnement en régime sinusoïdal

Dans le cas où les tensions et courants primaires et secondaires varient sinusoïdalement dans le temps, les équations généralesde fonctionnement du transformateur s’écrivent en notation complexe :

v1 = L1di1dt +M

di2dt et v2 = L2 di2dt +M

di1dt

⇒ V 1 = jL1ωI1 + jMωI2 et V 2 = jL2ωI2 + jMωI1

Il en est de même pour les relations de transformation des courants et tensions

V 2 = mV 1 et I1 ≈ −mI2

Exercice n 04 : Caractéristiques d’un transformateurLe rapport de transformation d’un transformateur parfait est de 0, 22. L’enroulement secondaire comporte 100 spires.1) Quel est le nombre de spires au primaire ?

Conversion de puissance. Chapitre I : Le transformateur 7

2) Le primaire est alimenté sous 1000V, 50Hz, le secondaire est relié à un moteur de puissance 1000W et de cosϕ = 0, 8.a) Quelle est la tension au secondaire ?b) Quels sont les courants dans les circuits primaire et secondaire ?

Exercice n 05 : Fonction de transfert

Un transformateur a le schéma équivalent donné ci-dessus. Au primaire est connectée une source sinusoïdale de fem complexe e etde résistance interne ρ ; le secondaire est fermé sur une résistance de charge Rch.

1) v étant la tension aux bornes de Rch, déterminer, en notation opérationnelle, la fonction de transfert V (p) /E (p).2) A quel modèle mathématique correspond-elle selon que l’on suppose ou non le couplage total ?

4.6. Transfert d’impédance par un transformateur parfait

Vu du primaire, l’ensemble transformateur charge est équivalent à un dipôle dont les caractéristiques dépendent de la charge etdu rapport de transformation. Remplacer l’ensemble transformateur + charge par le dipôle équivalent est appelé transfertdes caractéristiques de la charge au primaire.La caractéristique courant-tension de la charge donne la relation entre u2 et i2. Les équations couplant le primaire et lesecondaire permettent de déterminer la relation entre u1 et i1.Plaçons-nous dans le cas d’un régime sinusoïdal forcé de pulsation ω et d’une charge représentée par un dipôle linéaired’impédance Zc(p). Les équations U2(p) = −Zc(p).I2(p), U2(p) = mU1(p) et I1(p) = −mI2(p) imposent la relation :

U1(p) =Zc(p).I1(p)

m2

L’impédance vue au niveau du primaire du transformateur est Zc(p)m2 impédance de la charge Zc(p) (branchéeau secondaire) divisée par le carré du rapport m de transformation.L’impédance ”vue” au primaire du transformateur parfait a la même phase que l’impédance de la charge. En particulier, unerésistance est vue comme une résistance, un condensateur comme un condensateur et une bobine comme une bobine.

4.7. Transfert de la source

Inversement, vu du secondaire, l’ensemble transformateur-source est équivalent à un dipôle dont les caractéristiques dépendentde la source et du rapport de transformation.Remplacer l’ensemble transformateur + source par le dipôle équivalent est appelé transfert des caractéristiques de lasource au secondaire.Plaçons-nous du point de vue de la charge et cherchons le dipôle équivalent au transformateur alimenté par un générateur.La relation entre la tension u1 aux bornes du générateur et son courant de sortie i1 fixe la relation entre u2 et i2.Dans le cas d’un régime sinusoïdal forcé de pulsation ω, modélisons la source par un générateur de Thévenin de f.e.m. E(p)et d’impédance Zs(p) en notation opérationnelle.Des relations U1(p) = E(p) − Zs(p).I1(p) définissant le générateur et l’ensemble des relations U2(p) = m.U1(p) et I2(p) =− I1(p)

m caractéristiques du transformateur, nous déduisons :

U2(p) =m.E(p) +m2Zs(p)I2(p)

Conversion de puissance. Chapitre I : Le transformateur 8

La source vue à travers le transformateur parfait est équivalente à un générateur de Thévenin de f.e.m. m.E(p) et d’impédancem2Zs(p):

La source transférée au secondaire a pour f.e.m. m.E(p), et pour impédance m2Zs(p):

• la f.e.m. E(p) de la source (branchée au primaire) est multipliée par le rapport m de transformation ;

• l’impédance Zs(p) de cette source est multipliée par le carré du rapport m de transformation.

Exercice n 06 : Adaptation à l’aide d’un transformateurUn générateur sinusoïdal a une force électromotrice complexe e et une résistance interne Re ; il est chargé par une résistance Rch.

1) Déterminer la puissance moyenne que dissipe le générateur dans Rch.2) Déterminer le rapport m du transformateur parfait à interposer entre la source et la charge pour que la puissance que cette

dernière absorbe soit maximale. Que vaut alors cette puissance ?

Exercice n 07 : Transfert d’impédance et de puissanceSoit un transformateur considéré comme parfait de rapport de transformation m = 0, 22. Son primaire est relié à une source de

tension de 103V, 50Hz. Son secondaire est relié à un moteur de puissance 5 kW considéré comme un dipôle inductif de cosϕ = 0, 9.1) Calculer l’impédance du moteur.2) Calculer cette impédance ramenée au primaire du transformateur.3) La ligne d’alimentation primaire du transformateur présente en fait une résistance de 1Ω.3.a) Quelle est la puissance fournie au moteur ? Quelle est celle fournie par la source de 103V ?3.b) Comparer ces résultats à ceux obtenus avec la même ligne alimentée en 220V et reliée au même moteur.

5. Exemples d’utilisation

5.1. Problème de la composante continue

Si le courant primaire est continu et qu’il n’y a pas de source de signal (tension ou courant) connectée au secondaire, alorsdi1/dt = 0 donc v1 = v2 = 0 ; le primaire se comporte, vis à vis du continu, comme un court-circuit.Il ne faut donc pas connecter directement le primaire du transformateur à une source de tension continue,ou plus généralement à tout générateur possédant une valeur moyenne de tension non nulle, sous peine dedétériorer la source ou l’enroulement si aucune limitation de courant n’a été prévue.

5.2. Transformateur d’isolement

Lorsque l’on cherche à interconnecter deux circuits, il arrive que leurs masses soient distinctes et que le raccordement soitproblématique. L’insertion d’un transformateur d’isolement (de rapport parfois égal à 1) permet alors de s’affranchir de ladifficulté : on utilise les propriétés d’isolation galvanique du transformateur.

Conversion de puissance. Chapitre I : Le transformateur 9

5.2.1. Sécurité secteur : transformateur d’isolement abaisseur

Tous les points du montage sont galvaniquement isolés de la phase et du neutre du secteur.

5.2.2. Mesure

Lorsque l’on cherche à visualiser, sur un oscilloscope, la caractéristique i(v) d’un dipôle en mesurant simultanément la tensionà ses bornes et le courant le traversant par l’intermédiaire de la tension aux bornes d’une résistance placée en série, on peutêtre confronté à un problème de masse. Il est possible de surmonter la difficulté en utilisant un transformateur d’isolement.

5.3. Conclusion

• Selon les cas un transformateur permet d’ :

— augmenter ou abaisser l’amplitude d’une tension (transformateur de tension)— isoler deux circuits (transformateur d’isolement)— adapter l’impédance (cf. § 4.5. et 4.6.)

• Caractéristiques nominales d’un transformateur :Un transformateur doit être adapté à la source et à la charge auxquelles il est relié. Pour cette raison, les constructeursprécisent les caractéristiques suivantes :

— la fréquence d’utilisation,— la tension d’alimentation primaire,— la tension de sortie à vide

— la puissance apparente (ou l’intensité nominale). La puissance apparente est le produit de l’intensité nominale(qui correspond aux conditions d’utilisation optimale du transformateur) par la tension de sortie à vide elle estexprimée en VA et non en watts.

Le constructeur indique parfois la tension secondaire en charge pour le courant nominal avec un facteur de puissance quiest précisé. Elle diffère, en général, de moins de 5% de la tension à vide.Par exemple, un transformateur 220V 24V 100VA doit être relié à une source de tension efficace 220V 50Hz et fournitune intensité de 100

24 = 4, 2A sous 24V dans les conditions nominales.

6. Transformateur réel (modèle linéaire)

On se propose d’examiner successivement les causes d’écart entre le fonctionnement réel d’un transformateur et le modèle dutransformateur parfait.

Conversion de puissance. Chapitre I : Le transformateur 10

6.1. Perméabilité du matériau

6.1.1. Courant magnétisant

Dans le transformateur parfait µr →∞ ; supposons que le matériau L.H.I. a une perméabilité relative µr finie. D’aprèsle théorème d’Ampère : ∮

lignede champ

−→H.d

−→l = Ilibre, enlace = n1i1 + n2i2

On définit alors le courant magnétisant im par :

im = i1 +n2n1i2 = courant magnétisant

Cette définition donne

n1im = n1

(i1 +

n2n1i2

)= n1i1 + n2i2 =

∮ligne

de champ

−→H.d

−→l

Le courant magnétisant im est l’intensité parcourant le primaire, avec le secondaire en circuit ouvert (i2 = 0),créant la même excitation magnétique qu’au point de fonctionnement défini par les intensités i1 et i2.

Dans le cas d’un noyau torique∮

lignede champ

−→H.d

−→l = 2πRH = H avec =périmètre du tore :

⇒ im =

n1H =

n1

B

µ0µr=

n1

1

µ0µr

φ

S

Remarque : Si µr est finie l’exitation magnétique n’est plus nulle.

6.1.2. Modélisation

Montrons qu’un transformateur dont le seul ”défaut” est l’existence d’un courant magnétisant peut être modélisé par lecircuit ci-dessous :

par définition de im : im = i1 +n2n1i2

⇒ v1 = L?dimdt

= L?d(i1 +

n2n1i2)

dt= L?

di1dt+n2n1L?di2dt

le quadripôle complet (i.e. les deux circuits couplés) vérifie v1 = L1di1dt+M

di2dt

par identification : L1di1dt+M

di2dt= L?

di1dt+n2n1L?di2dt

⇒ L? = L1

Remarque : le couplage étant total M =√L1L2 et la deuxième égalité L? = n1

n2M = n1

n2

√L1L2 est compatible car

L1 = µ0µrn21S2πR et L2 = µ0µr

n22S2πR (bobinage sur noyau torique) donc L? =

n1n2

√L1L2 =

n1n2

√L1

(L1

n22n21

)= L1.

6.2. Inductances de fuite

Dans le modèle du transformateur parfait le couplage était total. Si il y a des fuites magnétiques (certaines lignes de champtraversent un enroulement sans traverser l’autre) alors il apparaît pour chacun des enroulements un flux qui n’est pas commun,dont on peut tenir compte en ajoutant au modèle du transformateur parfait des inductances l1 et l2, dites inductances defuite :

Conversion de puissance. Chapitre I : Le transformateur 11

Exercice n 08 : Inductances de fuite d’un système de circuits couplés linéairesSoit un système de deux circuits couplés. Le flux à travers le primaire s’écrit Φ1 = L1i1 + Mi2 et à travers le secondaire

Φ2 = L2i2 +Mi1 avec M2 < L1L2. Soit k =

√M2

L1L2le coefficient de couplage des circuits.

1) Montrer que le système peut être modélisé par le circuit ci-dessous pour lequel Lf 1 = (1− k)L1, Lf 2 = (1− k)L2, L = kL1et m = M

kL1= kL2

M .2) Vérifier que ces résultats sont compatibles avec le paragraphe 6.1.2..

6.3. Résistances de bobinage

Dans le modèle du transformateur parfait le bobinage du transformateur avait une résistance nulle. En réalité le fil utilisé aune résistivité ρ non nulle et donc une résistance

r = ρ

Savec = longueur du fil et S = section du fil

Le primaire et le secondaire présente donc une résistance qui par effet de peau peut dépendre de la fréquence (la conductionne se fait pas uniformément dans la section du fil).

6.4. Transformateur réel

Nous pouvons maintenant modéliser un transformateur dont :

• le noyau a une permitivité relative finie,

• le couplage entre primaire et secondaire n’est que partiel,

• les enroulements sont résistifs :

On pourra si nécessaire ramener les impédances au primaire ou au secondaire.

Conversion de puissance. Chapitre I : Le transformateur 12

Les pertes par effet Joule dans les conducteurs sont appelées pertes cuivre par opposition aux pertes fer (pertes parcourants de Foucault + pertes par hystérésis), autre cause de dissipation de puissance dans un transformateur (cf. TP sur letransformateur).Pour tenir compte des pertes fer on peut ajouter une résistance supplémentaire Rf en parallèle sur L :

Mais ce dernier modèle est encore imparfait car les pertes fer ne correspondent pas à des effets linéaires ;On introduit alors un dipôle non linéaire :

Conversion de puissance. Chapitre I : Le transformateur 13

Exercice n 09 : Transformateur en chargeLors d’un essai à vide sous une tension sinusoïdale primaire de 225V, la tension mesurée au secondaire est de 27V. Le nombre de

spires du circuit secondaire est de 50.1) On suppose le transformateur parfait :

a) Calculer le nombre de spires au primaire.b) Lors d’un essai en charge avec une charge résistive sous la même tension primaire, l’intensité au secondaire est de 20A.

Calculer l’intensité au primaire lors de cet essai en charge.2) En charge, la tension mesurée au secondaire est de 25V. Pour interpréter cette chute de tension, on tient compte de la résistance

des bobinages. Quelle est la résistance équivalente du transformateur ramenée au primaire ? ramenée au secondaire ? Quelle est lapuissance dissipée par effet Joule dans le transformateur ?

Exercice n 10 : Rendement d’un transformateur non idéal

Un transformateur, pour lequel on néglige les pertes par courant de Foucault et hystérésis, a un schéma équivalent de la formedonnée ci-dessus. Dans ce schéma, les inductances de fuite et les résistances rendant compte des pertes Joule dans les enroulementsont été ramenées au secondaire.

La perméabilité relative du noyau magnétique est supposée très élevée. Au primaire est connectée une source de tension sinusoïdalede force électromotrice complexe e, de pulsation ω et d’impédance interne nulle. Le secondaire est chargé par une résistance pure Rch.

1) Déterminer la tension complexe aux bornes de Rch ; comment varie son amplitude avec la pulsation ?2) Déterminer le rendement du transformateur (rapport de la puissance moyenne absorbée par Rch à la puissance moyenne absorbée

au primaire).3) Déterminer la capacité du condensateur qui, inséré en série entre le secondaire et la résistance de charge, permet de recueillir

une tension d’amplitude maximale aux bornes de celle-ci. Conclure.

Exercice n 11 : Surintensité à la mise sous tension d’un transformateur

Le noyau ferromagnétique d’un transformateur torique a un cycle d’hystérésis de la forme représentée ci-dessus. Le noyau a unesection de révolution S, un rayon moyen R ; le primaire comporte n1 spires et le secondaire est laissé en circuit ouvert. Les flux defuite sont négligés, de même que les pertes Joule des enroulements. On suppose qu’aux instants t < 0, la tension au primaire est nulle,et que l’induction rémanente dans le noyau est Br. Aux instants t ≥ 0, le primaire est soumis à une tension de la forme U1 sin (ωt).

1) Déterminer l’équation différentielle à laquelle obéit le flux ϕ dans le noyau. L’intégrer en tenant compte de la continuité autemps t = 0 (propriété que l’on justifiera).

2) Que peut-on dire du champ magnétique H si U1 >Bsat−Br

2 n1Sω ? Qu’observe t-on alors sur le courant traversant le primaire? Conclure.