Controle de Gestion Serie2

INSTITUT NATIONAL DES TECHNIQUES ECONOMIQUES ET COMPTABLES

En collaboration avec le Centre National d'Enseignement à Distance - Institut de Lyon

CCONTRÔLE DE GESTIONONTRÔLE DE GESTION

UE 121 R1211-F2/4

Ce fascicule comprend : La série 02

Les devoirs 2 et 3 à envoyer à la correction

Le contrôle de gestion outil de décision

Marc RIQUINBernard MOISY (devoirs)

2008 – 2009

2 R1211-F2/4

L’ensemble des contenus (textes, images, données, dessins, graphiques, etc.) de ce fascicule est la propriété exclusive de l’INTEC-CNAM.

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PRÉSENTATION DE LA SÉRIE

Lien avec le référentiel

Introduction et présentation des objectifs I. Coûts complets par la méthode des coûts à base d’activités 3.2 II. Coût variable 3.2 ; 2.4 III. Coût spécifique 3.2 IV. Coût marginal 3.2 V. Coût cible ou target costing 4.2 VI. Les variables aléatoires 2.4 VII. Exercices corrigés ANNEXE 1 : Table de la loi normale centrée réduite N (0 ; 1)

ANNEXE 2 : Dérivée et extremum d’une fonction

« La comptabilité de gestion est une comptabilité pour ceux qui gèrent, ce que n’est pas directement la comptabilité financière. Elle est à considérer comme un système d’aide à la décision pour les managers ». (Henri BOUQUIN, Comptabilité de gestion, Sirey)

Intégrée au processus global de contrôle de gestion, la comptabilité de gestion est un outil qui doit permettre aux décideurs : – d’identifier les problèmes, – de repérer et évaluer les solutions, – de choisir celles qui leur conviennent.

Le choix d’un coût repose sur sa pertinence, c’est-à-dire sa capacité à répondre à un besoin particulier d’information.

Ce besoin peut résulter d’une obligation légale (évaluation des stocks, des productions immobilisées, prise en compte de la sous-activité) et/ou d’une nécessité de gestion.

La pertinence ou adéquation avec les problèmes de gestion à résoudre est contingente à l’organisation, aux objectifs et besoins du décideur.

Le lien entre les coûts et les décisions sera présenté lors de la présentation des différentes méthodes.

Le problème posé au décideur est de déterminer les charges à inclure dans les coûts. La typologie proposée par le PCG 1982 (schéma présenté en introduction de la série 01) conduit à différencier, en fonction du contenu, deux types de coûts : – Les coûts complets : cette partie se focalisera sur la méthode des coûts à base d’activité, la méthode

classique des centres d’analyse ayant été présentée en série 01. – Les coûts partiels qui ne prennent en considération que la partie jugée pertinente des charges. Cette

partie présentera la méthode du coût variable et son prolongement, la méthode du coût spécifique, ainsi que la méthode du coût marginal.

La comptabilité de gestion est un outil d’aide à la décision qui est utile aussi bien pour le pilotage stratégique (fixation d’un prix de vente, abandon ou maintien d’une activité, intégrer les attentes des clients, s’intéresser aux coûts des différents éléments de la chaîne de valeur, étude du risque…) que

4 CONTRÔLE DE GESTION R1211-F2/4

pour le pilotage opérationnel (mesure de la performance par la connaissance la plus objective possible des coûts, influencer les comportements de ceux qui sont en charge des coûts et de la valeur créée…).

Cette série présentera également l’étude du risque, notamment par la prise en compte de données aléatoires, et la méthode du coût cible.

ERRATUMEn série 01, à la fin de la page 23, lire « série 04 » (et non pas « série 08 »).

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Objectifs de la série

– Savoir choisir un coût en réponse à un problème de gestion. – Connaître les avantages et limites de chaque méthode de calcul de coûts. – Savoir calculer un coût complet avec la méthode des coûts par activité. – Savoir expliquer la notion de subventionnement. – Savoir définir le management à base d’activités ou ABM (Activity Based

Management).– Connaître la méthodologie de mise en œuvre de la méthode à base d’activités. – Savoir appréhender (calcul et interprétation) le risque : seuil de rentabilité, marge de

sécurité, levier opérationnel. – Savoir prendre en compte les données aléatoires. – Savoir calculer un coût marginal, un optimum économique et un optimum technique.

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SÉRIE 02

PLAN DE LA SÉRIE

LE CONTRÔLE DE GESTION OUTIL DE DÉCISION.................................................................................11

I. LES COÛTS COMPLETS PAR LA MÉTHODE DES COÛTS À BASE D’ACTIVITÉS (OU MÉTHODE ABC) .............................................................................. 11A. PILOTAGE ET COÛTS COMPLETS .......................................................................................... 11B. L’ÉVOLUTION DU CONTEXTE A CONDUIT À LA CRISE DU MODÈLE

CLASSIQUE PAR LES CENTRES D’ANALYSE ..................................................................... 111. Hypothèses implicites de la méthode des centres d’analyse ................................................. 112. Limites de la méthode classique.............................................................................................. 123. L’évolution de l’objet de coût.................................................................................................. 134. Le contexte concurrentiel......................................................................................................... 13

C. FONDEMENTS DE LA MÉTHODE DES COÛTS À BASE D’ACTIVITÉS (ABC) ............. 141. Le subventionnement croisé .................................................................................................... 142. Du produit à l’activité .............................................................................................................. 163. Le management à base d’activités ou ABM (Activity Based Management)........................ 17

D. MÉTHODOLOGIE DE MISE EN ŒUVRE................................................................................. 171. L’élaboration de la carte des activités ..................................................................................... 172. La simplification de la carte et le regroupement des activités par inducteur........................ 183. Synthèse des principales étapes............................................................................................... 19

E. APPRÉCIATION CRITIQUE........................................................................................................ 19F. APPLICATION CORRIGÉE ......................................................................................................... 20

1. Énoncé....................................................................................................................................... 202. Éléments de réponse................................................................................................................. 223. Complément sur l’inducteur référence.................................................................................... 25

II. LA MÉTHODE DES COÛTS VARIABLES (OU DIRECT COSTING) ............................ 26A. LE MODÈLE « COÛT-VOLUME-PROFIT » ............................................................................. 26

1. Comportement des charges...................................................................................................... 262. Charges semi-variables (ou semi-fixes) .................................................................................. 27

B. LES MARGES SUR COÛTS VARIABLES ................................................................................ 27C. APPRÉCIATION DE LA MÉTHODE.......................................................................................... 27

1. Intérêts....................................................................................................................................... 282. Limites....................................................................................................................................... 28

D. LE SEUIL DE RENTABILITÉ...................................................................................................... 291. Définition et calcul ................................................................................................................... 292. Enrichissements du modèle de base ........................................................................................ 31


E. APPRÉCIATION DU RISQUE ..................................................................................................... 361. Date d’atteinte du seuil de rentabilité (parfois appelée point-mort)...................................... 362. Marge de sécurité ..................................................................................................................... 363. L’indice de prélèvement........................................................................................................... 374. Levier opérationnel (ou levier d’exploitation ou coefficient de volatilité)........................... 375. Prise en compte de données aléatoires .................................................................................... 38

F. POLITIQUE DE PRIX OPTIMAL................................................................................................ 421. Élasticité prix de la demande................................................................................................... 422. Recherche de l’optimum et de la zone de profitabilité .......................................................... 423. Limites de cette approche ........................................................................................................ 44

III. LA MÉTHODE DES COÛTS SPÉCIFIQUES (OU DIRECT COSTING ÉVOLUÉ) ....... 44A. LES MARGES SUR COÛT SPÉCIFIQUE .................................................................................. 45B. APPRÉCIATION DE LA MÉTHODE.......................................................................................... 46

1. Intérêts....................................................................................................................................... 462. Limites....................................................................................................................................... 46

IV. LE COÛT MARGINAL......................................................................................................... 47A. COMPOSANTES DU COÛT MARGINAL................................................................................. 47

1. Structure suffisante................................................................................................................... 472. Structure insuffisante ............................................................................................................... 47

B. MODÉLISATION MATHÉMATIQUE........................................................................................ 491. Évolution des coûts .................................................................................................................. 492. Étude théorique du coût marginal ........................................................................................... 503. Représentations graphiques ..................................................................................................... 53

C. UTILITÉ POUR LA GESTION..................................................................................................... 551. Intérêts....................................................................................................................................... 552. Limites....................................................................................................................................... 56

D. CONCLUSION................................................................................................................................ 56

V. LA MÉTHODE DES COÛTS CIBLES (TARGET COSTING)............................................ 56A. LES FONDEMENTS DE LA MÉTHODE ................................................................................... 56

1. La phase amont de conception................................................................................................. 572. Le renversement dans l’analyse du marché ............................................................................ 57

B. LES ÉTAPES DE LA MÉTHODE ................................................................................................ 581. Détermination du coût cible..................................................................................................... 582. Détermination du coût estimé.................................................................................................. 583. Optimisation du coût ................................................................................................................ 59

C. CONCLUSION................................................................................................................................ 60

VI. LES VARIABLES ALÉATOIRES ....................................................................................... 61A. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES (OU DISCONTINUES)........................................ 61

1. Fonction de distribution ou loi de probabilité......................................................................... 612. Fonction de répartition ............................................................................................................. 623. Caractéristiques d’une variable aléatoire discrète .................................................................. 63

B. VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES................................................................................ 631. Fonction de répartition : F(x)................................................................................................... 642. Densité de probabilité : f(x) ..................................................................................................... 64

R1211-F2/4 SÉRIE 02 9

C. PROPRIÉTÉS DES VALEURS CARACTÉRISTIQUES........................................................... 651. Propriétés de l’espérance mathématique................................................................................. 652. Propriétés de la variance .......................................................................................................... 66

D. LOIS USUELLES DE PROBABILITÉ......................................................................................... 661. Loi binomiale............................................................................................................................ 662. Loi de Poisson .......................................................................................................................... 693. Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson....................................................... 714. Loi normale............................................................................................................................... 715. Approximations par une loi normale....................................................................................... 75

VII. EXERCICES CORRIGÉS..................................................................................................... 75

ANNEXE 1 : TABLE DE LA LOI NORMALE CENTRÉE RÉDUITE N (0, 1) ..................... 112

ANNEXE 2 : DÉRIVÉE ET EXTREMUM D’UNE FONCTION ............................................. 113

DEVOIR 2 À ENVOYER À LA CORRECTION........................................................................ 117

DEVOIR 3 À ENVOYER À LA CORRECTION........................................................................ 121

R1211-F2/4 SÉRIE 02 11

LE CONTRÔLE DE GESTION OUTIL DE DÉCISION

I. LES COÛTS COMPLETS PAR LA MÉTHODE DES COÛTS À BASE D’ACTIVITÉS (OU MÉTHODE ABC)

A. PILOTAGE ET COÛTS COMPLETS

Selon le PCG 1982, le coût complet est « constitué par la totalité des charges qui peuvent lui être rapportées ». Il conduit à la détermination d’un coût de revient.

Les applications du coût complet sont essentiellement le domaine du pilotage stratégique à long terme :– Faut-il lancer tel produit nouveau ? La décision s’appuiera sur le coût de revient prévisionnel.

Sur les marchés où la concurrence est faible, le coût de revient permet de fixer un prix de vente. Sur les marchés où la concurrence est importante, le prix de vente est imposé par le marché et le coût de revient devient un coût cible à ne pas dépasser.

– Gérer le portefeuille d’activités et de produits par comparaison des rentabilités.

Pour être exploitables dans le cadre de la gestion à court terme (comparaisons de coûts), ils ne doivent pas subir l’influence des variations d’activité ( imputation rationnelle des charges fixes, technique présentée en série 01).

Plus traditionnellement, les coûts complets sont les bases d’évaluation de certains éléments du bilan : stocks (article 321-2 du PCG sur le coût d’acquisition), productions immobilisées (article 321-3 du PCG sur le coût de production ; article 333-1 du PCG sur l’incorporation des charges financières ; article 321-3 du PCG sur la quote-part de charges correspondant à la sous-activité).

Deux méthodes de calcul d’un coût complet sont à connaître : la méthode des centres d’analyse (présentée en série 01) et la méthode des coûts à base d’activités.

B. L’ÉVOLUTION DU CONTEXTE A CONDUIT À LA CRISE DU MODÈLE CLASSIQUE PAR LES CENTRES D’ANALYSE

1. Hypothèses implicites de la méthode des centres d’analyse

La méthode des « sections homogènes » est issue des travaux de 1928 du lieutenant-colonel RIMAILHO dans le cadre de l’organisation des ateliers de l’armée et a été développée par la CEGOS (1936), cabinet de conseils et formation pour les entreprises.

Pour comprendre la pertinence de ce modèle, il convient de le resituer dans le contexte où il est apparu. Dans les années 1930, les caractéristiques essentielles sont les suivantes : – Pénurie relative (économie de l’offre). – Produits standardisés fabriqués en grandes séries. – Procédés de fabrication stables.


– Prépondérance de la fonction production au sein des entreprises. – Prépondérance des charges directes dans les coûts. – Gestion taylorienne qui dissèque le travail humain et sépare les fonctions de conception,

d’exécution et de contrôle. – La notion de performance est assimilée à la baisse des coûts de revient.

Ces hypothèses sont, en majeure partie, remises en cause avec la crise du fordisme : – Turbulence de l’environnement économique. – Émergence de nouveaux facteurs de compétitivité. – Diversification des besoins et éducation des consommateurs. – Etc.

Le modèle classique est centré sur la connaissance du coût de production. Or, avec la crise du fordisme, la fonction production a perdu de son poids au profit des fonctions d’amont et d’aval (recherche et développement, marketing, gestion des ressources humaines, logistique et approvisionnements…).

Enfin, le concept de chaîne de valeur (PORTER), qui est une vision transversale des organisations, sera à l’origine de nouvelles méthodes.

2. Limites de la méthode classique

a. La pertinence de cette méthode repose sur l’hypothèse d’une part prépondérante des charges directes dans l’ensemble des charges.

C’était le cas au moment de l’élaboration de la méthode. Cependant, à partir des années 1970-1980, la production s’est caractérisée par une différenciation poussée des produits, une diversité des tailles des produits, une diminution du travail humain, un passage d’une économie de l’offre à une économie de la demande (saturation des marchés, exigence des consommateurs...).

En conséquence, la prépondérance de la main-d’œuvre directe a disparu et des fonctions autres que la production émergent (fonction recherche et développement ; la fonction marketing devient prépondérante ; les activités de support telles que la qualité, la maintenance, la logistique, les ressources humaines prennent de l’importance…).

Contexte initial Années 1970-1980

Charges directes

Charges directes

Charges indirectes

Charges indirectes

L’arbitraire pouvant exister pour le traitement et l’imputation des charges indirectes qui était admissible quand les charges indirectes ne représentaient qu’une faible proportion des charges totales ne rend plus la méthode pertinente.

Pour reprendre une expression de Philippe LORINO1, le renversement de la pyramide des coûts fait que les coûts indirects sont majoritaires et que la « pyramide repose sur son sommet ».

1 Le contrôle de gestion stratégique (Dunod).

R1211-F2/4 SÉRIE 02 13

b. L’hétérogénéité des activités dans les centres d’analyse

Le coût d’un centre regroupe un ensemble de charges et chacune doit être corrélée avec l’unitéd’œuvre du centre (revoir série 01).

Cette condition peut conduire à subdiviser un centre d’analyse en sections homogènes dans lesquelles les charges sont liées à l’unité d’œuvre. Cependant, le risque est de créer une « usine à gaz ».

c. La répartition des centres auxiliaires

Les centres auxiliaires fournissent des prestations aux centres principaux, mais ne participent pas directement à la production. La répartition secondaire fait perdre le caractère d’homogénéité des charges des centres principaux et remet fondamentalement en cause la condition requise pour la création d’un centre d’analyse, à savoir le lien avec l’unité d’œuvre.

Ce problème est amplifié par l’importance croissante des centres de services et des charges indirectes.

3. L’évolution de l’objet de coût

La tendance est à la personnalisation accrue des prestations, ce qui se matérialise par la différenciation physique des produits et des doses variables de services (livraison rapide, installation, montage, garantie prolongée, formation...).

La complexité croissante est correctement suivie en ce qui concerne les consommations physiques déterminées par les volumes produits. En revanche, la consommation de services internes qui n’obéit pas à des lois volumiques est mal traitée, et c’est celle qui se développe le plus rapidement.

La différenciation des produits conduit ainsi à une perte de fiabilité des coûts affichés.

4. Le contexte concurrentiel

La concurrence n’est plus fondée sur le seul prix et n’est plus cantonnée dans un espace relativement restreint.

L’incertitude accrue rend la possession de stocks coûteuse et les délais risqués. La « chrono-compétition » conduit à la réactivité et à la production de lots de plus petites tailles, et à long terme au raccourcissement de la durée de vie des produits.

Synthèse

Le modèle classique est un modèle daté fondé sur une approche fonctionnelle (cloisonnement des fonctions) et centré sur le coût de production qui ne correspond plus aux nouvelles formes d’organisation caractérisées par le développement des autres fonctions, par des processus de production de plus en plus intégrés et par une approche transversale de la chaîne de valeur.

La répartition secondaire est en contradiction avec l’homogénéité de l’activité d’un centre d’analyse.

Risque d’arbitraire dans l’imputation des charges indirectes (hétérogénéité des activités d’un centre d’analyse appréhendée par une seule unité d’œuvre) aux objets de coût.

Risque de coûts non pertinents puisque les charges indirectes sont devenues majoritaires et donc de prise de décision erronée.

La méthode des coûts par activités est une réponse.


C. FONDEMENTS DE LA MÉTHODE DES COÛTS À BASE D’ACTIVITÉS (ABC)

Face aux insuffisances des modèles traditionnels et aux nouvelles exigences du contrôle de gestion, un nouveau cadre de référence, issu du programme de recherche Cost Management System (CMS) mené par des consultants et des universitaires américains (KAPLAN, COOPER, PORTER) et diffusé en France par Pierre MEVELLEC dès 1985, a été élaboré : la méthode des coûts à base d’activités (Activity Based Costing).

1. Le subventionnement croisé

Indépendamment du poids croissant des charges indirectes, le reproche essentiel de la méthode des centres d’analyse porte sur le système d’imputation des charges indirectes qui n’est pertinent que si l’activité des centres d’analyse est homogène.

En l’absence d’une telle homogénéité, des phénomènes de « subventionnements croisés » (selon l’expression de Pierre MEVELLEC) peuvent être observés.

EXEMPLEUne entreprise produit dans un atelier de production deux produits P1 et P2. Les données sont les suivantes :

P1 P2 Quantités produites Poids unitaire (tonne)

1 500 0,2

5000,1

Centre production

Total après répartition secondaire Unité d’œuvre Nombre d’unités d’œuvre Coût de l’unité d’œuvre

70 000 €Tonne produite À déterminer À déterminer

Travail à faire

1. Calculer les charges unitaires indirectes de production imputées.

2. Le centre production comporte en fait deux activités : le montage et le contrôle.

P1 P2

Temps de contrôle par produit 0,02 heure 0,06 heure

Montage Contrôle Total après répartition secondaire Unité d’œuvre Nombre d’unités d’œuvre Coût de l’unité d’œuvre

49 000 Tonne produite

350À déterminer

À déterminerTemps passé

À déterminer heures À déterminer

Calculer les charges unitaires indirectes de production imputées.

R1211-F2/4 SÉRIE 02 15

3. L’activité de contrôle est en fait réalisée par lots dont la taille dépend du produit.

P1 P2 Nombre de lots Taille du lot

2 lots 750

10 lots 50

Calculer les charges unitaires indirectes de production imputées.

4. Conclure.

Éléments de réponse

1. Nombre d’unités d’œuvre : 1 500 0,2 + 500 0,1 = 350

Centre production Total après répartition secondaire Unité d’œuvre Nombre d’unités d’œuvre Coût de l’unité d’œuvre

70 000 €Tonne produite

350200

Charges unitaires1 indirectes de production imputées :

P1 P2

Q CU M Q CU M Coût unitaire imputé 0,2 200 40 0,1 200 20

Ce premier calcul repose sur l’hypothèse d’une homogénéité des charges indirectes du centre de production et suppose que l’unité d’œuvre retenue traduise l’activité de ce centre.

2.

P1 P2 Temps de contrôle par produit 0,02 heure 0,06 heure

Montage Contrôle Total après répartition secondaire Unité d’œuvre Nombre d’unités d’œuvre Coût de l’unité d’œuvre

49 000 Tonne produite

350140

21 000 Temps passé

60 heures 350

Charges unitaires indirectes de production imputées :

P1 P2

Q CU M Q CU M Montage 0,2 140 28 0,1 140 14 Contrôle 0,02 350 7 0,06 350 21

Coût unitaire imputé 35 35

1 Bien lire les questions : un coût unitaire est demandé.


La deuxième approche conduit à rejeter l’hypothèse d’homogénéité des charges indirectes en distinguant deux centres d’analyse ayant chacun leur unité d’œuvre.

Cette deuxième approche permet un calcul plus précis en mettant en évidence le coût du contrôle de chaque produit et montre que le coût de P1 était surestimé avec la première approche car le coût du contrôle n’était pas abordé.

3.

P1 P2 Nombre de lots Taille du lot

2 lots 750

10 lots 50

Coût du lot contrôlé : 21 000 / (2 + 10) = 21 000 / 12 = 1 750

Il est important de comprendre qu’il ne s’agit pas d’un coût par produit, mais par lot, le nombre de lots permettant de réaliser la production totale.

Ce coût est ventilé entre les produits :

P1 P2 Coût du lot contrôlé Nombre de lots

1 750 2

1 750 10

Coût pour la production 3 500 17 500 Coût du contrôle pour un produit 2,3333 35

Calcul des charges unitaires indirectes de production imputées :

P1 P2

Q CU M Q CU M Montage Contrôle

0,2 140 28,00 2,33

0,1 140 1435

Coût unitaire imputé 30,33 49

La troisième approche appréhende l’activité contrôle en fonction du nombre de lots contrôlés et montre que les produits P1 n’ont que 2 contrôles contre 10 pour les produits P2.

Ce troisième calcul montre que la deuxième approche surévaluait le coût du contrôle des produits P1 car elle était volumique, c’est-à-dire liée au nombre de produits contrôlés, et ne tenait pas compte du nombre de contrôles effectués.

4. Cet exemple montre que le système traditionnel de rattachement des charges indirectes au coût des produits peut générer des distorsions.

L’hétérogénéité des activités du centre d’analyse aboutissait dans le premier calcul au subventionnement du produit B par le produit A. En effet, l’unité d’œuvre retenue était volumique, c’est-à-dire liée au seul volume de production, et ne permettait pas d’appréhender la plus grande complexité du produit B (plus long à contrôler et produit en nombreuses séries de petite taille).

2. Du produit à l’activité

Les produits sont trop éphémères et trop variés pour qu’ils puissent continuer à servir de base aux systèmes de calcul des coûts.

Les organisations doivent trouver une notion plus stable que le produit. Cette notion est la notion de compétence, de savoir-faire.

R1211-F2/4 SÉRIE 02 17

Une compétence s’exprime par des actions constitutives d’activités, et s’il est délicat d’évaluer directement les compétences, il est possible de mesurer les consommations et les productions caractéristiques des activités correspondantes.

Ressources consommées ACTIVITÉS Produits

La méthode part donc de la constatation que ce ne sont pas les produits qui consomment les ressources de l’entreprise mais les activités.

3. Le management à base d’activités ou ABM (Activity Based Management)

La méthode des coûts à base d’activités se fonde sur le concept de chaîne de valeur, mis en évidence par M. PORTER. L’analyse de la chaîne de valeur permet de comprendre à quel endroit et de quelle manière l’entreprise crée de la valeur pour le client et comment elle se procure un avantage concurrentiel.

Le management à base d’activités ou ABM (Activity Based Management) est une phase additionnelle à la méthode ABC.

L’ABM va au-delà du constat de coûts et permet de réorganiser l’entreprise pour améliorer le rapport valeur/coût des activités : Quelles sont les activités principales de l’entreprise ? Quelles sont les activités à développer ? Quelles sont les activités à externaliser ?...

Deux termes sont souvent associés à l’ABM : – Reengineering (reconfiguration des processus) : pour améliorer les processus créateurs de valeur en

visant la réduction des coûts, l’amélioration des délais, de la qualité, la satisfaction du client… – Benchmarking (étalonnage comparatif) : recherche de l’efficience en se comparant à un

« meilleur » choisi parmi les concurrents ou les partenaires.

D. MÉTHODOLOGIE DE MISE EN ŒUVRE

1. L’élaboration de la carte des activités

Cette première étape vise à représenter l’organisation par ses activités. Elle s’attache à répondre à trois questions : Quelles sont les activités présentes ? Quelles ressources consomment-elles ? Quelle est leur production ?

Parallèlement, pour préparer non plus le calcul des coûts mais la gestion des coûts (ABM), d’autres questions sont posées : Quelles sont les causes de l’activité ? Quelles sont ses performances ?

a. Identifier les activités

L’outil privilégié est l’entretien avec les acteurs. Cette approche a le double avantage de sensibiliser et d’associer les opérationnels au futur modèle de fonctionnement de l’organisation.

Le paradoxe est que tout le modèle se fonde sur la notion d’activité bien qu’il n’existe aucune définition normalisée de celle-ci…

b. Évaluer les ressources consommées par les activités

Il s’agit de faire disparaître l’arbitraire lié à l’imputation des charges indirectes aux différents coûts : avec la méthode traditionnelle, les charges indirectes sont indirectes par rapport aux produits ; avec la


méthode ABC, elles deviennent directes par rapport aux activités (mais demeurent indirectes par rapport aux produits).

L’affectation des charges selon leur traçabilité (une charge traçable est allouée à un coût selon une unité non arbitraire) répond ainsi à une critique forte de la méthode des centres d’analyse.

c. Choix des inducteurs de coût

Un inducteur de coût mesure ce que fait une activité et comment les objets de coûts consomment les activités.

Il permet d’allouer le coût de l’activité en fonction du nombre d’inducteurs consommés par les objets de coût (produit, processus, projets, clientèle...).

Il est important de remarquer que l’inducteur exprime une relation de causalité, c’est-à-dire qu’il indique le facteur causal qui explique la consommation des ressources.

2. La simplification de la carte et le regroupement des activités par inducteur

La carte des activités peut aboutir à un modèle complexe qui présenterait deux inconvénients majeurs : coût de maintenance et de traitement, et surtout un affichage peu clair des messages à faire passer.

Le recensement des activités conduit généralement à des simplifications : – Élimination des activités peu consommatrices de ressources et qui participent faiblement à la

création de valeur. – Regroupement des activités par facteurs de causalité : quand plusieurs activités ont le même

inducteur, elles sont regroupées dans des centres de regroupement.

R1211-F2/4 SÉRIE 02 19

3. Synthèse des principales étapes

Le schéma suivant retrace les principales étapes de la méthode des coûts à base d’activités :

A2 A3 A4 A5 A6

Objet decoût Y

Objet decoût X

Objet decoût Z

Coût del'inducteur 2



Regroupementinducteur 2



Centre 2Centre 1 Centre 3

Charges indirectes

Charges incorporées

Charges directes

A1

Calcul descoûts complets

Regroupementsdes coûts par

activité

Identificationdes coûts par

activité

Seules les charges indirectes sont traitées différemment. Les produits consomment des activités qui consomment des ressources. Les charges indirectes demeurent indirectes par rapport aux objets de coûts produits.

E. APPRÉCIATION CRITIQUE

Face à l’engouement soulevé par la méthode, quelques limites ont été présentées : – La notion d’activité est ambiguë. – Le frein humain est une difficulté fréquemment citée par les entreprises qui ont implanté la

méthode : la mise en place est parfois ressentie comme une remise en cause des compétences et du pouvoir et suppose l’adhésion du personnel.


– Il ne faut pas créer une « usine à gaz » ni une organisation trop sommaire. Un arbitrage entre simplicité et complexité s’impose.

– La similitude dans le procédé de calcul des coûts conduit des auteurs à rappeler que la méthode des « sections homogènes » se fonde sur l’homogénéité de l’activité du centre d’analyse et qu’en ce sens la méthode des coûts à base d’activités ne constituerait qu’un « retour aux sources ».

Cependant, c’est oublier que : – la logique des inducteurs est fondée sur l’étude des causalités alors que celle des unités d’œuvre est

celle d’une imputation aux coûts ; – la structure du calcul est différente : les activités consomment les ressources, les produits

consomment les activités ; – la méthode permet de prendre conscience des problèmes de transversalité et ouvre sur une

meilleure gestion des activités et des processus (ABM) : le calcul des coûts ne suffit pas à appréhender la valeur créée par une organisation. L’adoption d’une comptabilité à base d’activités est ainsi une étape vers une comptabilité stratégique.

Le principal problème vient du fait que la méthode ABC/ABM dissocie l’analyse des coûts du découpage de l’entreprise en centres de responsabilités, c’est-à-dire que le découpage comptable ne coïncide plus avec la structure fonctionnelle et budgétaire.

F. APPLICATION(1)

1. Énoncé

La société A produit en juste à temps trois produits X, Y et Z pour lesquels les données suivantes ont été constatées :

A. Production

X Y Z Quantités produites 40 000 30 000 15 000 Lots de 2 000 10 5 / Lots de 1 000 20 15 5 Lots de 500 / 10 10 Lots de 100 / / 50

B. Nomenclature des produits et prix d’achat des composants

X Y Z Prix des composants Composant A 0,1 kg 0,2 kg 0,1 kg 40 € par kg Composant B / / 0,3 kg 80 € par kg Composant C / 0,5 kg 0,6 kg 100 € par kg Composant D 0,2 kg / 0,3 kg 90 € par kg Composant E 0,4 kg 0,6 kg / 10 € par kg Composant F 0,5 kg / / 20 € par kg Composant G (Emballages) 1 unité 1 unité 1 unité 30 € par unité Temps machine en atelier 2 3 heures 5/3 heure 2 heures

(1) L’exercice 1 constitue un entraînement complémentaire.

R1211-F2/4 SÉRIE 02 21

Les composants A, B et D sont livrés par lots de 500 kg ; le composant C par lots de 1 000 kg ; les composants E et F par lots de 2 000 kg et les emballages par lots de 5 000 unités.

C. Charges indirectes

Toutes les charges sont indirectes à l’exception des composants et des emballages. La société A a été découpée en cinq centres d’analyse : C1 : approvisionnement C2 : atelier 1 C3 : atelier 2 C4 : contrôle C5 : administration

C1 C2 C3 C4 C5 Total des charges indirectes 282 500 € 525 000 € 813 000 € 25 000 € 164 550 €Unités d’œuvre Kg achetés Kg consommés Heures machine Nombre de produits Coût de production

D. Prix de vente

X Y Z 89 € 115 € 180 €

E. Activités et inducteurs de coûts

Centre d’analyse Activités Montant en € Inducteur de coût

C1 Relations fournisseurs 18 000 Nombre de références C1 Contrôle réception 125 000 Nombre de lots réceptionnés C1 Suivi des stocks 80 000 Nombre de références C1 Logistique interne 59 500 Nombre de manipulations(1)

C2 Ordonnancement 25 000 Nombre de lots fabriqués C2 Conception 300 000 Nombre de modèles C2 Production 200 000 Nombre de lots fabriqués C3 Ordonnancement 213 000 Poids des composants C3 Production 600 000 Temps machine C4 Contrôle 25 000 Nombre de lots fabriqués C5 Administration générale 164 550 Coût ajouté(2)

(1) Le nombre de manipulations pour un produit est le nombre de lots pour le produit nombre de références composant pour le produit. (2) Le coût ajouté est la somme de tous les frais internes à l’exception des frais de l’activité administration générale.

De manière à éviter une approche volumique, l’inducteur nombre de références sera réparti au proratades quantités consommées par les différents produits.

Travail à faire

1. À l’aide des renseignements A à D, calculer les coûts de revient (avec le détail unitaire des coûts) et les résultats analytiques par la méthode des centres d’analyse.

2. Commenter les résultats obtenus.


3. À l’aide des renseignements A à E, recalculer les coûts de revient (avec le détail unitaire des coûts) et les résultats analytiques par la méthode des coûts à base d’activités (par souci de simplification, il ne sera pas fait de calcul en fonction de la taille des lots fabriqués).

4. Conclure.

2. Éléments de réponse

1. Méthode des centres d’analyse

a. Calcul du coût des unités d’œuvre

C1 C2 C3 C4 C5 Total des charges indirectes 282 500 525 000 813 000 25 000 164 550 Unités d’œuvre Kg achetés Kg consommés Heures machine Nombre de produits Coût de production Nombre d’unités d’œuvre 106 500(1) 106 500(1) 200 000(2) 85 000 9 280 503(3)

Coût de l’unité d’œuvre 2,6526 4,9296 4,0650 0,2941 0,0177 (1) 40 000 (0,1 + 0,2 + 0,4 + 0,5) + 30 000 (0,2 + 0,5 + 0,6) + 15 000 (0,1 + 0,3 + 0,6 + 0,3) Il n’y a pas de stocks en raison du juste à temps. (2) 40 000 3 + 30 000 5/3 + 15 000 2 (3) Voir tableau suivant : 40 000 87,5877 + 30 000 110,926 + 15 000 163,2810

b. Coûts de revient (avec le détail unitaire des coûts) et résultats analytiques

X Y Z Q CU M Q CU M Q CU M

Composant A 0,1 40 4 0,2 40 8 0,1 40 4 Composant B 80 0 80 0 0,3 80 24 Composant C 100 0 0,5 100 50 0,6 100 60 Composant D 0,2 90 18 90 0 0,3 90 27 Composant E 0,4 10 4 0,6 10 6 10 0 Composant F 0,5 20 10 20 0 20 0 Emballages 1 30 30 1 30 30 1 30 30

Coût direct 66 94 145 C1 1,2 2,6526 3,1831 1,3 2,6526 3,4484 1,3 2,6526 3,4484 C2 1,2 4,9296 5,9155 1,3 4,9296 6,4085 1,3 4,9296 6,4085 C3 3 4,0650 12,1950 5/3 4,0650 6,7750 2 4,0650 8,1300 C4 1 0,2941 0,2941 1 0,2941 0,2941 1 0,2941 0,2941

Coût production 87,5877 110,9260 163,2810 C5 87,59 0,0177 1,5530 110,93 0,0177 1,9668 163,28 0,0177 2,8951

Coût de revient 89,1407 112,8928 166,1760 Prix de vente 89 115 180

Résultat unitaire –0,1407 2,1072 13,8240 Résultat total –5 629,35 63 217,28 207 360

Résultat de la société : 264 947,93

2. Le produit X est déficitaire. Il n’est pas possible de prendre une décision sur le maintien ou l’abandon du produit pour l’instant. Pour répondre à cette question, il convient soit de calculer la marge sur coût variable (ce qui n’est pas possible puisque la ventilation charges variables-charges fixes n’est pas communiquée), soit de recalculer les coûts avec une méthode plus adaptée pour prendre en compte la complexité des produits tant au niveau de leur composition que de leur production.

R1211-F2/4 SÉRIE 02 23

3. Méthode des coûts à base d’activités

a. Calcul du coût des inducteurs

Les activités qui possèdent le même inducteur doivent être regroupées.

Activité Montant Inducteur Volume Coût Relations fournisseurs 18 000 Suivi des stocks 80 000 98 000 Nombre de références(1) 7 14 000 Contrôle réception 125 000 Nombre de lots réceptionnés(2) 125 1 000 Logistique interne 59 500 Nombre de manipulations(3) 595 100 Ordonnancement 25 000 Production 200 000 Contrôle 25 000 250 000 Nombre de lots fabriqués(4) 125 2 000 Conception 300 000 Nombre de modèles(5) 3 100 000 Ordonnancement 213 000 Poids des composants(6) 106 500 2 Production 600 000 Temps machine(6) 200 000 3 Administration générale 164 550 Coût ajouté(7) 1 645 500 0,1

(1) 7 références (de A à G). (2) Nombre de lots reçus : A : (40 000 0,1 + 30 000 0,2 + 15 000 0,1) / 500 = 23 B : 15 000 0,3 / 500 = 9 C : (30 000 0,5 + 15 000 0,6) / 1 000 = 24 D : (40 000 0,2 + 15 000 0,3) / 500 = 25 E : (40 000 0,4 + 30 000 0,6) / 2 000 = 17 F : 40 000 0,5 / 2 000 = 10 G : (40 000 + 30 000 + 15 000) / 5 000 = 17 Total = 125 (3) Nombre de manipulations : X : (10 + 20) 5 = 150 Y : (5 + 15 + 10) 4 = 120 Z : (5 + 10 + 50) 5 = 325 Total = 595 (4) Nombre de lots fabriqués : X : 10 + 20 = 30 Y : 5 + 15 + 10 = 30 Z : 5 + 10 + 50 = 65 Total = 125 (5) Trois produits. (6) Voir question 1. (7) charges indirectes sauf administration : 282 500 + 525 000 + 813 000 + 25 000

b. Étude préalable de l’inducteur référence

Le coût d’une référence est de 14 000 €. Pour éviter un phénomène de subventionnement, il sera calculé le coût par unité de composant consommé (d’autres solutions sont envisageables, comme le montre le complément proposé en paragraphe C. Il faut donc bien lire les sujets pour répondre convenablement aux exigences des questions).


X Y Z Productions 40 000 30 000 15 000 Poids total Coût unitaire : 14 000 / Q Composant A 0,1 0,2 0,1 11 500 1,2174 Composant B 0,3 4 500 3,1111 Composant C 0,5 0,6 24 000 0,5833 Composant D 0,2 0,3 12 500 1,1200 Composant E 0,4 0,6 34 000 0,4118 Composant F 0,5 20 000 0,7000 Composant G 1 1 1 85 000 0,1647

Imputation aux produits de l’activité gestion des composants pour un produit :

X Y Z Composant A 0,1217 0,2435 0,1217 Composant B 0,0000 0,0000 0,9333 Composant C 0,0000 0,2917 0,3500 Composant D 0,2240 0,0000 0,3360 Composant E 0,1647 0,2471 0,0000 Composant F 0,3500 0,0000 0,0000 Composant G 0,1647 0,1647 0,1647

Total 1,0252 0,9469 1,9058

c. Coûts de revient (avec le détail unitaire des coûts) et résultats analytiques

Seules les charges indirectes étant imputées différemment, il convient de reprendre le total partiel des charges directes de la question 1.

X Y Z

Calcul(1) M Calcul M Calcul M Références 1,025 0,947 1,906 Lots réception (2)50 1000 / 40 000 1,250 42 1 000 / 30 000 1,400 33 1 000 / 15 000 2,200 Manipulations 150 100 / 40 000 0,375 120 100 / 30 000 0,400 325 100 / 15 000 2,167 Lots fabriqués 30 2 000 / 40 000 1,500 30 2 000 / 30 000 2,000 65 2 000 / 15 000 8,667 Modèles 1 100 000 / 40 000 2,500 1 100 000 / 30 000 3,333 1 100 000 / 15 000 6,667 Poids 48 000 2 / 40 000 2,400 39 000 2 / 30 000 2,600 19 500 2 / 15 000 2,600 Temps machine 120 000 3 / 40 000 9,000 50 000 3 / 30 000 5,000 30 000 3 / 15 000 6,000

Coût ajouté(3) 18,050 15,680 30,207 Administration 18,050 0,1 1,805 15,680 0,1 1,568 30,207 0,1 3,021 Coût direct 66,000 94,000 145,000

Coût de revient 85,855 111,248 178,228 Prix de vente 89,000 115,000 180,000

Résultat unitaire 3,145 3,752 1,772 Résultat total 125 800 112 560 26 584,5

(1) La méthode ABC donne le coût des activités pour une production totale. Pour obtenir un coût unitaire, il convient de diviser par la production. (2) Lots réceptionnés de composants A, D, E, F et G pour X : 50 = 40 000 [(0,1 / 500) + (0,2 / 500) + (0,4 / 2 000) + (0,5 / 2 000) + (1 / 5 000)] 50 lots à 1 000 pour 40 000 produits X Lots réceptionnés de composants A, C, E et G pour Y : 42 = 30 000 [(0,2 / 500) + (0,5 / 1 000) + (0,6 / 2 000) + (1 / 5 000)] Lots réceptionnés de composants A, B, C, D et G pour Z : 33 = 15 000 [(0,1 / 500) + (0,3 / 500) + (0,6 / 1 000) + (0,3 / 500) +(1 / 5 000)] (3) Total partiel pour imputer l’administration. Résultat de la société = 264 944,5 €

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4. Le résultat de la société est évidemment le même (aux arrondis près) puisque seules les charges indirectes ont été imputées différemment.

La comparaison des coûts et des résultats montre qu’avec la méthode classique des centres d’analyse les produits X et Y subventionnaient le produit Z (le coût unitaire de revient de Z augmente tandis que celui de X et, dans une moindre mesure, celui de Y diminuent).

X Y Z Coût de revient ABC 85,855 111,248 178,228 Résultat unitaire ABC 3,145 3,752 1,772 Coût de revient classique 89,1407 112,8928 166,1760 Résultat unitaire classique –0,1407 2,1072 3,8240

En effet, les inducteurs de coûts de la méthode ABC ont permis de montrer que le produit X fabriqué en grandes séries et faible consommateur de lots subventionne le produit Z fabriqué en petites séries et consommateur de lots.

Le produit Z est fabriqué en petites séries et utilise 4 références. Il nécessite donc plus de manipulations, plus de frais de lancement, plus d’efforts pour gérer les références.

Le calcul de coûts avec la méthode à base d’activités permet de prendre en compte ces différences alors que la méthode classique des centres d’analyse impute les charges indirectes en fonction des volumes de production.

Il ne faut donc abandonner aucun modèle. Le résultat négatif du produit X avec la méthode des centres d’analyse provenait d’une imputation volumique des charges indirectes.

3. Complément sur l’inducteur référence

Le texte aurait pu proposer une autre méthode.

Par exemple : « L’imputation au coût total d’un produit se fera en remarquant qu’un produit ne consomme qu’un tiers de référence si elle est commune aux trois produits, une demi-référence si elle n’est commune qu’à deux produits et bien entendu une référence si elle n’est utilisée que par un produit. »

La méthode étant différente, l’imputation obtenue ne sera pas la même pour cet inducteur.

X Y Z Composant A (commun à X, Y et Z) 1/3 1/3 1/3 Composant B (spécifique à Z) 1 Composant C (commun à Y et Z) 1/2 1/2 Composant D 1/2 1/2 Composant E 1/2 1/2 Composant F 1 Composant G (Emballages) 1/3 1/3 1/3

Total 8/3 5/3 8/3

L’imputation unitaire du coût des références pour X serait : (14 000 8/3) / 40 000 = 0,933 L’imputation unitaire du coût des références pour Y serait : (14 000 5/3) / 30 000 = 0,778 L’imputation unitaire du coût des références pour Z serait : (14 000 8/3) / 15 000 = 2,489


II. LA MÉTHODE DES COÛTS VARIABLES (OU DIRECT COSTING)

L’approche par les coûts partiels consiste à ne retenir dans les coûts que la partie jugée pertinente des charges, les autres charges étant constituées en masses qui ne seront pas réparties.

Les méthodes de coûts partiels visent ainsi à un pilotage par le calcul de marges qui mesurent la capacité contributive des différents produits aux charges communes :

Marge = Chiffre d’affaires – Coût partiel

Les méthodes de coûts partiels visent ainsi à n’inclure dans les coûts que : – des charges affectables sans ambiguïté (notion de traçabilité), – des charges contrôlables, c’est-à-dire celles maîtrisées par les décideurs.

REMARQUELes systèmes de gestion peuvent combiner les coûts complets et les coûts partiels.

Une analyse des charges en fonction de deux critères permet d’identifier les différentes approches :

Directes Indirectes

Variables

– Matières consommées – Marchandises vendues – Charges de personnel – Sous-traitance

– Énergie consommée (des compteurs peuvent les rendre directes)

– Frais de transport – Dépenses de communication

Fixes – Dotations aux amortissements de moyens

exclusivement dédiés à un objet de coût – Charges de personnel

– Charges administratives – Loyers

Le coût variable (ou opérationnel) est constitué de l’ensemble des charges qui varient avec le volume d’activité (l’activité étant appréciée par les opérations de production et/ou de vente).

Directes Indirectes Variables Fixes

Le terme anglo-saxon « direct costing » est un fauxami dont la traduction est coût variable.

A. LE MODÈLE « COÛT-VOLUME-PROFIT »

Le modèle de comportement des coûts à court terme est fondé sur la relation : Y = aX + b

Avec Y = coût total a = coût variable unitaire X = niveau d’activité B = charges de structure (ou charges fixes totales)

1. Comportement des charges

Coût variable total

Activité

Coût variable total = aX

Charges fixes totales

Activité

Coût fixe total = bChangement « brutal » par paliers

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Coût variable unitaire

Activité

Coût variable unitaire = aX / X = a

Charges fixes unitaires

Activité

Coût fixe unitaire = b / X

2. Charges semi-variables (ou semi-fixes)

Activité 2 000 2 400 2 600 3 200 Charges totales 50 000 55 000 60 000 70 000 Charges unitaires 25,00 22,92 23,08 21,88

Les charges semi-variables sont des charges qui ne sont pas constantes au niveau unitaire comme les charges variables, ni au niveau global comme les charges fixes.

Ces charges doivent être décomposées en une partie fixe et une partie variable par une équation du type : y = ax + b.

L’utilisation de la fonction régression linéaire d’une calculatrice permet ainsi d’obtenir : Y = 17X + 15 400

B. LES MARGES SUR COÛTS VARIABLES

Les charges de structure constituent une masse non répartie entre les objets de coût.

Cette méthode ne cherche pas à calculer un coût complet mais à dégager la marge sur coût variable qui mesure la contribution de l’élément étudié à la rentabilité de l’ensemble étudié.

X Y Z TOTAL Chiffre d’affaires Charges variables Marges sur coûts variables M/CVCharges de structure CFRésultat R

Taux de marge sur coûts variables = Marges sur coûts variables / Chiffre d’affaires

C. APPRÉCIATION DE LA MÉTHODE

La méthode n’est pertinente que si le poids des charges variables est important dans la structure descoûts.


1. Intérêts

– Simplification et rapidité des calculs de coûts quand l’organisation s’est donné les moyens de distinguer les charges variables des charges fixes.

– Dans les centres de responsabilité, les décideurs subalternes ne peuvent généralement pas agir sur les charges de structure. Par ailleurs, les charges variables unitaires sont peu sensibles aux variations du niveau d’activité. En conséquence, dans les centres de responsabilité, les coûts variables sont plus faciles à comparer dans le temps et sont mieux maîtrisés que les coûts complets par les responsables.

– Le modèle permet d’établir des scénarios d’évolution des coûts induits par les variations d’activité (budgets).

– Le modèle offre au décideur des informations sur le risque d’exploitation1 (seuil de rentabilité, marge de sécurité, levier opérationnel). Combinée à l’étude du risque, la méthode peut conduire le décideur à privilégier des options réduisant la rigidité, synonyme de charges de structure : sous-traitance, recours aux emplois précaires plutôt que stables…

– Dans un marché segmenté, la méthode permet de fixer le prix de vente de chaque segment.

– La méthode permet de prendre des décisions sur l’abandon, le maintien, la réorientation ou le développement des activités si on suppose que les charges fixes ne sont pas modifiées par la décision.

– En cas de rationnement des ressources de financement, la méthode permet d’orienter les actions sur les activités les plus créatrices de marges sur coûts variables.

2. Limites

– Le modèle suppose une proportionnalité entre le coût et le volume. Or, le volume n’est qu’un facteur parmi d’autres.

– La méthode incite à pousser les ventes des produits à forte marge sur coûts variables sans se soucier des conséquences sur les activités de support (recherche et développement, logistique, gestion de la qualité…). Il peut en résulter une progression des charges fixes. De plus, le marché doit pouvoir absorber le supplément de production ; il ne doit pas exister de goulots d’étranglement tout au long du processus de production et de distribution et les capacités de production doivent pouvoir être utilisées pour un produit ou un autre dans le cas de substitution.

– La tendance est à l’accroissement des charges de structure.

– Les aspects stratégiques relatifs à l’abandon d’un produit sont à prendre en considération : image de marque, couvrir une gamme, complémentarité, entrée d’un nouveau concurrent pour prendre le créneau laissé… Par ailleurs, l’abandon d’un produit peut entraîner de nouveaux coûts : réorganisation, coûts de produits de remplacement…

– L’analyse est essentiellement valable à court terme, car à long terme les décisions stratégiques (nouveaux produits, nouveaux marchés, nouveaux canaux de distribution, délocalisation…) se répercutent sur les charges de structure.

– Les stocks devront être évalués au coût complet (un coût partiel sous-évaluant les stocks).

1 Le risque d’exploitation sera traité au paragraphe E. Appréciation du risque

R1211-F2/4 SÉRIE 02 29

La méthode est plus un outil de gestion à court terme (contrôle d’exécution des centres deresponsabilité) qu’un outil adapté à la prise de décisions stratégiques.

D. LE SEUIL DE RENTABILITÉ

1. Définition et calcul

Il s’agit du chiffre d’affaires qui permet d’obtenir un résultat nul. Le résultat est nul si la marge sur coûts variables permet de couvrir les charges de structure.

Soit t = taux de marge sur coûts variables CF = charges de structure X = le seuil de rentabilité

Il y a plusieurs manières d’aborder le même problème :

X est tel que tX = CF

X est tel que tX – CF = 0

X est tel que Chiffre d’affaires = Charges variables + Charges fixes X = (1 – t) X + CF

EXEMPLE 1 (monoproduction)

Le compte différentiel (c’est-à-dire fondé sur la distinction charges variables-charges de structure) annuel de la société B est le suivant :

Q CU M Chiffre d’affaires 20 000 50 1 000 000 Charges variables 20 000 30 600 000 Marges sur coûts variables 20 000 20 400 000 Charges de structure 300 000 Résultat 100 000

Taux de marge sur coûts variables : 400 00 / 1 000 000 ou 20 / 50 = 40 %

Calcul et détermination graphique du seuil de rentabilité :

a. Détermination à partir de l’équation : MCV = CF Soit X le seuil de rentabilité en euros. X est tel que : 0,4X = 300 000 X = 750 000 €Le seuil de rentabilité en volume est : 750 000 / 50 = 15 000 unités

REMARQUEUn calcul direct du seuil de rentabilité en volume est possible avec la marge unitaire. Soit X le seuil de rentabilité en volume : 20X = 300 000 X = 15 000 unités Le seuil de rentabilité en euros est : 15 000 50 = 750 000 €


La détermination graphique consiste à tracer l’équation de la MCV (soit 0,4X) et l’équation des charges fixes (soit 300 000) et à rechercher l’intersection des deux droites.

0 250 000 500 000 750 000

SR

1 000 000 1 250 000

0

100 000

200 000

300 000

400 000

500 000Charges de structureet MCV

Chiffre d'affaires

Zone de pertescar MCV < CF

Zone de bénéfices

MCV = 0,4X

CF = 300 000

REMARQUEIl est possible de tracer 20X en retenant les volumes de production en abscisses. Le seuil est alors en volume.

Pour déterminer la date d’obtention du seuil de rentabilité, il faut se demander : combien de mois faut-il pour obtenir un chiffre d’affaires égal à 750 000 €, sachant que pour 12 mois il est égal à 1 000 000 € ?

Une « règle de trois » permet de poser et de résoudre le problème : 12 mois :1000 000m mois : 750 000

m est tel que : 750 000 12 = 1 000 000 m m = 9 mois soit fin septembre

b. Détermination à partir de l’équation : résultat = 0 Soit X le seuil de rentabilité en euros. X est tel que : 0,4X – 300 000 = 0 X = 750 000 €Le seuil de rentabilité en volume est : 750 000 / 50 = 15 000 unités

La détermination graphique consiste à tracer l’équation du résultat (soit 0,4X – 300 000) et à rechercher l’intersection avec l’axe des abscisses.

R1211-F2/4 SÉRIE 02 31

Zone de pertesR < 0

Zone de bénéfices

0 250 000 500 000 750 000

SR

1 000 000 1 250 000

0

−100 000

−200 000

−300 000

−400 000

−500 000

100 000

200 000

Chiffre d'affaires

Résultat

R = 0,4X − 300 000

c. Détermination à partir de l’équation : Chiffre d’affaires = Charges totales Les charges variables sont proportionnelles au chiffre d’affaires et représentent 60 % de ce chiffre d’affaires. Soit X le seuil de rentabilité en euros. X est tel que : X = 0,6X + 300 000 X = 750 000 €

La détermination graphique consiste à tracer l’équation du chiffre d’affaires (soit Y = X) et l’équation des charges (soit 0,6X + 300 000), puis à rechercher l’intersection des deux droites.

0

500 000

1 000 000

0 250 000 500 000 750 000 1 000 000 1 250 000SR

CA, équation Y = X

CT = 0,6X + 300 000

Zone de pertesCA < CT

Chiffre d'affaires

Coût totalet chiffres d'affaires

Zone de bénéfices

2. Enrichissements du modèle de base

a. Variation des charges de structure

Les charges de structure ne sont fixes que pour une structure donnée et varient brutalement par palier quand la structure est modifiée.


EXEMPLE 2

La structure actuelle de la société B ne lui permet pas de produire et vendre plus de 22 000 unités par an.

Pour l’année à venir, elle prévoit un accroissement important de son marché et, pour y répondre, elle doit investir. Les nouveaux équipements dont le coût d’acquisition est de 2 000 000 € seront amortis linéairement sur 10 ans et mis en service le 1er janvier. Cette nouvelle structure permettrait de produire et vendre jusqu’à 35 000 unités.

Travail à faire

1. En supposant que le taux de marge sur coûts variables reste inchangé, calculer le seuil de rentabilité.

2. Représenter graphiquement le changement de structure et étudier l’opportunité de cet investissement.


1. L’augmentation des charges de structure de 2 000 000 / 10 = 200 000 € par an.

Les charges fixes sont désormais égales à 500 000 €. Le nouveau seuil de rentabilité X est tel que : 0,4X = 500 000 X = 1 250 000 € soit 25 000 unités

2.

0 250 000 500 000 750 000 1 000 000 1 250 000 1 500 000 1 750 000

0

100 000

200 000

300 000

400 000

500 000

600 000

700 000

SR2SR1

Résultat maximal possible dans l'ancienne structure avec 22 000 unités.

Bénéfices

Pertes

Avec l’ancienne structure, le résultat maximal était de : 22 000 20 – 300 000 = 140 000 €, ce qui correspond à un chiffre d’affaires de 1 100 000 €.

Le changement de structure est opportun s’il permet d’obtenir au moins le même résultat. Le chiffre d’affaires correspondant est : 0,4X – 500 000 140 000 soit 1 600 000 €.

Si l’investissement est réalisé, la société B sera en perte entre 1 100 000 € et 1 250 000 €, alors que dans l’ancienne structure elle faisait un bénéfice (mais limité à la vente de 22 000 unités). Entre 1 250 000 € et 1 600 000 €, le seuil de rentabilité est atteint, mais le résultat est inférieur au maximum possible avec l’ancienne structure.

R1211-F2/4 SÉRIE 02 33

En conclusion, le changement de structure n’est opportun que si la société réalise un chiffre d’affaires supérieur à 1 600 000 €.

b. Variation du taux de marge sur coûts variables

EXEMPLE 2 (suite)

L’investissement effectué en début d’année par la société B sera totalement opérationnel début avril et permettra alors une réduction des coûts variables de 20 %. Les ventes annuelles prévisionnelles sont de 32 400 unités et sont réparties régulièrement sur l’année.

Travail à faire

1. Calculer le seuil de rentabilité.

2. Représenter graphiquement la détermination du seuil de rentabilité.


1. Le chiffre d’affaires obtenu fin mars : 32 400 3/12 50 = 405 000 €La marge sur coûts variables obtenue fin mars : 405 000 40 % = 162 000 €

Début avril, la marge sur coûts variables passera à [50 – (30 0,8)] = 26 €. Le taux de marge sur coûts variables sera alors : 26 / 50 = 52 % Fin mars, le montant des charges de structure qui reste à couvrir est : 500 000 – 162 000 = 338 000 €Le chiffre d’affaires complémentaire X à réaliser pour atteindre le seuil de rentabilité est tel que : 0,52X = 338 000 Soit X = 650 000 €Le seuil de rentabilité est donc : 405 000 + 650 000 = 1 055 000 €

2. La résolution graphique est plus délicate car il faut déterminer l’équation de la marge sur coûts variables dans le repère d’origine pour tracer la droite. En effet, l’équation y = 0,52X est l’équation au 1er avril et non pas au 1er janvier. La méthode la plus simple est de poser que, dans le repère d’origine, l’équation est : y = 0,52X + b, et que cette droite passe par le point (405 000 ; 162 000). Il faut donc résoudre : 162 000 = 0,52 405 00 + b soit b = –48 600 L’équation est donc : y = 0,52X – 48 600


0 135 270 405 540 675 810 945 1 080 1 215 1 350 1 485 1 6200

100

200

300

400

500

600

700

800

900

SR = 1 055

Chiffre d'affaires (milliers d'euros)

MCV et charges fixes (milliers d'euros)

MCV

y = 0,52X − 48 600pour CA > 405

y = 0,4Xpour CA < 405

c. Variations saisonnières

EXEMPLE 3

La société C communique les données prévisionnelles suivantes :

Trimestre 1 Trimestre 2 Trimestre 3 Trimestre 4

Chiffre d’affaires 500 000 1 000 000 2 000 000 800 000

Les charges variables représentent 70 % du chiffre d’affaires et les charges de structure annuelles sontde 800 000 €.

Les chiffres d’affaires mensuels d’un trimestre seront supposés réguliers.

Travail à faire

Déterminer le seuil de rentabilité et sa date d’obtention algébriquement et graphiquement.


Le SR étant atteint quand la marge sur coût variable est égale aux charges fixes, il convient de calculer le cumul des marges sur coût variable.

Trimestres CA CA MCV MCV

1 500 000 500 000 150 000 150 0002 1 000 000 1 500 000 300 000 450 0003 2 000 000 3 500 000 600 000 1 050 0004 800 000 4 300 000 240 000 1 290 000

À la fin du trimestre 2, la MVC cumulée est égale à 450 000 €.

Le seuil de rentabilité est atteint pendant le trimestre 3 pour lequel on suppose la linéarité du chiffre d’affaires et de la MCV. Le chiffre d’affaires du trimestre 3 doit dégager une MCV égale au montant des charges fixes restant à couvrir, soit une MCV : 800 000 – 450 000 = 350 000 €

R1211-F2/4 SÉRIE 02 35

Pour 3 mois du trimestre 3, la MCV = 600 000 et pour m mois, la MCV doit être égale à 350 000.

Une « règle de trois » permet de poser et résoudre le problème : 3 mois :600 000m mois : 350 000

m est tel que : 350 000 3 = 600 000 m m = 1,75 mois

Le chiffre d’affaires complémentaire du troisième trimestre est : (2 000 000 / 3) 1,75 = 1 166 667 €Le seuil de rentabilité : 3 500 000 + 1 166 667 = 4 666 667 €

En supposant des mois de 30 jours, le seuil de rentabilité est atteint 1 mois et 23 jours (23 = 0,75 30) après la fin du deuxième trimestre, soit le 23 août.

0 1 2 3 40

200 000

400 000

600 000

800 000

1 000 000

1 200 000

1 400 000

SR23 août

Trimestres

MCV cumulées et charges fixesMCV cumulées

d. Multiproduction

EXEMPLE 4

La société D fabrique deux produits A et B dont les marges sur coûts variables unitaires sont respectivement de 20 € et 60 €. Les charges fixes sont égales à 300 000 €.

Le raisonnement correct consiste à exprimer le seuil de rentabilité en fonction des quantités A et B vendues : 20A + 60B 300 000

Il y a une infinité de solutions : tous les couples A et B qui respectent l’inéquation.

0 5 000 10 000 15 000 20 0000

1 000

2 000

3 000

4 000

5 000

6 000 B

A


EXEMPLE 4 (suite)

La société D fabrique deux produits A et B dont les marges sur coûts variables unitaires sont respectivement de 20 € et 60 €. Les charges fixes sont égales à 300 000 €.

Le taux moyen de marge sur coûts variables (compte tenu des volumes vendus, 12 000 produits A et 8 000 produits B) est de 25 %.

Travail à faire

1. Déterminer le seuil de rentabilité global, c’est-à-dire sans faire la distinction entre les 2 produits, en euros et en volume.

2. En supposant la structure des ventes constante, calculer le seuil de rentabilité en nombre de produits A et B. Vérifier.

3. Que penser de ce raisonnement ?


1. Seuil de rentabilité global : 300 000 / 0,25 = 1 200 000 €

La marge sur coûts variables moyenne est : 12 000 20 + 8 000 6012 000 + 8 000

= 36

2. Seuil de rentabilité global en volume : 300 000 / 36 8 334 produits

Nombre de produits A : 8 334 12 000 / (12 000 + 8 000) = 5000,4 5 001 Nombre de produits B : 8 334 12 000 / (12 000 + 8 000) = 3 333,6 3 334

REMARQUEIl convient d’arrondir par excès car il est préférable de dépasser le seuil de rentabilité plutôt que ne pas l’atteindre…

Vérification : 5 001 20 + 3 334 60 = 300 060 €

3. Ce raisonnement global qui consiste à appliquer le contexte de la monoproduction au niveau global n’est pas très pertinent car une marge moyenne ne reflète pas la diversité des taux de marge des différents objets de coût.

E. APPRÉCIATION DU RISQUE

1. Date d’atteinte du seuil de rentabilité (parfois appelée point-mort)

Plus le seuil de rentabilité est atteint tôt dans l’année, plus la sécurité est importante.

2. Marge de sécurité

La marge de sécurité représente la baisse du chiffre d’affaires qui peut être supportée sans subir de pertes.

En valeur absolue : MS = CA – SR

En valeur relative (indice de sécurité) : MS = CA SRCA

R1211-F2/4 SÉRIE 02 37

3. L’indice de prélèvement

Il exprime le pourcentage du chiffre d’affaires nécessaire pour couvrir les charges fixes :

IP = CFCA

100

Plus l’indice est faible, plus facilement l’entreprise peut atteindre son seuil de rentabilité.

4. Levier opérationnel (ou levier d’exploitation ou coefficient de volatilité)1

Le levier opérationnel exprime le pourcentage de variation du résultat obtenu par une variation en pourcentage du chiffre d’affaires. Il s’agit donc de l’élasticité du résultat par rapport au chiffre d’affaires.

LO = Variation relative R / Variation relative CA =

RRCA

CA

Ainsi, un levier opérationnel = 2 signifie que l’augmentation (la baisse) de 10 % du chiffre d’affaires entraîne une augmentation (une baisse) de 20 % du résultat.

Cette première formulation est peu pratique car il faut calculer les variations du chiffre d’affaires et du résultat.

Si on suppose que les conditions d’exploitation sont stables d’une période à l’autre (taux de marge sur coûts variables et charges fixes constants), ce qui signifie que la variation du chiffre d’affaires ne peut provenir que des quantités, le calcul peut se simplifier :

LO =

RRCA

CA

=R

RCACA

=R

CACAR

Or CA = CA1 – CA0 et R = R1 – R0

Si le taux t de marge sur coûts variables et CF sont constants : R = (CA1 t – CF) – (CA0 t – CF) R = (CA1 – CA0) t

LO =(CA1 CA0 )t

CA1 CA0

CAR

= t CAR

=MCV

R

LO =MCV

R

1 Cf. exercice corrigé 10.


Une dernière formulation est possible :

LO = t CAR

= t CAt CA CF

= t CA

t CA t CFt

= t CA

t CA CFt

=CA

CA CFt

Or CFt

= SR

LO =CA

CA – SR=

1MS relative

Conclusions : – La variabilité du résultat est d’autant plus grande que l’indice de sécurité est faible. – La variabilité du résultat est d’autant plus élevée que les charges fixes le sont.

Appliqués aux données initiales de l’exemple 1, les résultats sont : – Marge de sécurité en valeur absolue : 1 000 000 – 750 000 = 250 000 €– Marge de sécurité en valeur relative : 250 000 / 1 000 000 = 25 %

Un raisonnement en valeur relative (c’est-à-dire en pourcentage) est plus significatif : le chiffre d’affaires peut baisser de 25 % avant d’être en perte.

– Indice de prélèvement : 300 000 / 1 000 000 = 30 %

– Levier opérationnel : 400 000100 000

= 10,25

= 4

Pour déterminer le levier opérationnel à partir de la première formulation, il est nécessaire de calculer le résultat pour un niveau d’activité différent. Prenons par exemple une variation de –10 % des quantités (tout autre pourcentage, positif ou négatif, aurait pu être retenu) :

Pour mémoire Q CU M Chiffre d’affaires 1 000 000 18 000 50 900 000 Charges variables 600 000 18 000 30 540 000 Marges sur coûts variables 400 000 18 000 20 360 000 Charges de structure 300 000 300 000 Résultat 100 000 60 000

Levier opérationnel :

60 000 100 000100 000

900 000 1000 0001000 000

= 4

Très forte variabilité du résultat (donc risque) : si les volumes vendus augmentent (baissent) de 10 %, le résultat augmente (baisse) de 40 %.

5. Prise en compte de données aléatoires1

Les principaux aspects mathématiques pour comprendre ce paragraphe sont exposés en partie VI de cette série.

Le chiffre d’affaires étant aléatoire, ce paragraphe permet de compléter l’étude du seuil de rentabilité par le calcul de probabilités relatives au chiffre d’affaires.

1 Les exercices corrigés 3, 4, 5, 9 et 10 illustrent cette partie du cours.

R1211-F2/4 SÉRIE 02 39

a. Propriétés à connaître

RAPPELS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES Les propriétés de l’espérance mathématique et de la variance sont les mêmes que la variable aléatoire soitdiscrète ou continue. Soit a et b deux constantes, et Xi une variable aléatoire.

Propriétés de l’espérance Propriétés de la variance E(aX) = aE(X) V(aX) = a2V(X)

E(aX + b) = aE(X) + b V(aX + b) = a2V(X)

E(X1 + X2) = E(X1) + E(X2) – Cas de variables indépendantes : V(X1 + X2) = V(X1) + V(X2)– Cas de variables non indépendantes : V(X1 + X2) = V(X1) + V(X2) + 2 cov (X1 ; X2)

Si une variable aléatoire X suit une loi normale N (m ; ), alors la variable T =X m suit la loi

normale centrée réduite N (0 ; 1). L’annexe 1 présente la table nécessaire au calcul des probabilités.

Si X suit une loi N (m1 ; 1) et si Y suit une loi N (m2 ; 2), avec X et Y indépendantes, alors :

X + Y suit N (m1 + m2 ; 12

+ 22 )

X – Y suit N (m1 – m2 ; 12

+ 22 )

b. Calcul de probabilités

EXEMPLE 5En réalité, en reprenant les données initiales de l’exemple 1, les quantités vendues Q ne sont pas certaines et suivent une loi normale N (20 000 ; 4 000).

Travail à faire

1. Calculer la probabilité d’atteindre le seuil de rentabilité.

2. Calculer la probabilité de vendre : Plus de 22 000 unités ? Moins de 21 000 unités ? Entre 19 000 et 20 000 unités ?

3. Exprimer la loi suivie par le chiffre d’affaires. Calculer la probabilité d’avoir un chiffre d’affaires inférieur à 900 000 € avec la loi suivie par le chiffre d’affaires. Vérifier la probabilité d’atteindre le seuil de rentabilité avec la loi suivie par le chiffre d’affaires. Quel est le chiffre d’affaires qui sera dépassé dans 95 % des cas ?

4. Exprimer la loi suivie par le résultat. Calculer la probabilité d’avoir un résultat inférieur à 75 000 € avec la loi suivie par le résultat. Vérifier la probabilité d’atteindre le seuil de rentabilité avec la loi suivie par le résultat. Quel est le résultat qui sera dépassé dans 95 % des cas ?



1. La probabilité d’atteindre le seuil de rentabilité exprimée avec la loi des quantités est : P(Q > 15 000)

Le changement de variable donne : P(T > 15 000 20 0004 000

)

P(T > –1,25) = 1 – [P(T < –1,25)] (attention : –1,25 et non pas +1,25) 1 – (–1,25) = 1 – [1 – (1,25)] = (1,25) = 0,8944

La probabilité d’atteindre le seuil de rentabilité est égale à 89,44 %, ce qui est assez fort. Cette appréciation du risque est toutefois subjective car il est possible de penser que la probabilité de ne pas atteindre le seuil de rentabilité qui est égale à 10,56 % (100 – 89,44) est significative.

2. P(Q > 22 000) = P(T > 22 000 20 0004 000

) = P(T > 0,5) = 1 – (0,5) = 1 – 0,6915 = 0,3085

P(Q < 21 000) = P(T < 21000 20 0004 000

) = P(T < 0,25) = 0,5987

P(19 000 < Q < 20 000) = P( 19 000 20 0004 000

< T < 20 000 20 0004 000

) = P(–0,25 < T < 0)

(0) – (–0,25) = (0) – [1 – (0,25)] = 0,5 – 1 + 0,5987 = 0,0987

3. Le chiffre d’affaires est : CA = 50 Q Le chiffre d’affaires CA est une variable aléatoire qui suit une loi normale car Q suit une loi normale. Il convient de déterminer les paramètres de la loi suive par CA : E(CA) = E(50Q) = 50E(Q) = 50 20 000 = 1 000 000

V(CA) = V(50Q) = 502 4 0002 (la variance de Q est l’écart type au carré)

(CA) = 502 4 0002 = 200 000

CA suit donc la loi normale N (1 000 000 ; 200 000)

P(CA < 900 000) = P(T < 900 000 1000 000200 000

) = P(T < –0,5) = (–0,5) = 1 – (0,5) = 0,3085

La probabilité d’atteindre le seuil de rentabilité exprimée avec la loi du chiffre d’affaires est :

P(CA > 750 000) = P(T > 750 000 1000 000200 000

) = P(T > –1,25) = 0,8944

Le chiffre d’affaires k qui sera dépassé dans 95 % des cas est exprimé par : P(CA > k) = 0,95

P(T > k 1000 000200 000

) = 0,95 posons t = k 1000 000200 000

Il faut donc trouver t, tel que : P(T > t) = 0,95 1 – p(T < t) = 0,95 P(T < t) = 0,05

(t) = 0,05

La plus petite probabilité qui peut être lue dans la table est (0) = 0,5. La valeur t recherchée est donc négative et, pour la déterminer, il faut utiliser la propriété (–t) = 1 – (t).

(–t) = 1 – 0,05 (–t) = 0,95

R1211-F2/4 SÉRIE 02 41

La lecture de la table montre que –t est compris entre 1,64 (car (1,64) = 0,9495) et 1,65 (car (1,65) = 0,9505), et que –t est exactement au milieu de cet intervalle.

–t = 1,645 donc t = –1,645 soit –1,645 = k 1000 000200 000

d’où k = 671 000 €

4. Le résultat est : R = 20Q – 300 000 Le résultat R est une variable aléatoire qui suit une loi normale car Q suit une loi normale. Il convient de déterminer les paramètres de la loi suive par R : E(R) = E(20Q – 300 000) = 20E(Q) – 300 000 = 20 20 000 – 300 000 = 100 000

V(R) = V(20Q – 300 000) = 202 4 0002 (la variance de la constante est nulle)

(R) = 202 4 0002 = 80 000

R suit donc la loi normale N (100 000 ; 80 000)

P(R < 75 000) = P(T < 75 000 100 00080 000

) = P T < –0,3125) (–0,31) = 1 – (0,31) = 1 – 0,6217

= 0,3783

La probabilité d’atteindre le seuil de rentabilité exprimée avec la loi du résultat est :

P(R > 0) = P(T > 0 100 00080 000

) = P(T > –1,25) = 0,8944

EXEMPLE 6Le volume des ventes d’un produit suit une loi normale. Il y a 9 chances sur 10 de se situer dans un intervalle compris entre 6 000 et 9 000 unités, intervalle centré sur le volume moyen espéré.

Travail à faire

1. Déterminer les paramètres de la loi normale suivie par le volume des ventes.

2. Calculer la probabilité de vendre moins de 6 546 unités.


1. L’espérance est la moyenne de l’intervalle : 7 500 unités.

L’écart type est obtenu en posant : P(6 000 < Q < 9 000) = 0,90

P( 6 000 7 500 < T < 9 000 7 500 ) = 0,90 posons t = 1500

P(–t < T < t) = 0,90 (t) – (–t) = 0,90 (t) – [1 – (t)] = 0,90

2 (t) – 1 = 0,90 (t) = 1,90 / 2 = 0,90

d’où t = 1,645

donc 1,645 = 1500 et = 911,85 912

2. P(Q < 6 546) = P(T < 6 546 7 500912

) = P(T < –1,046) (–1,05)

(–1,05) = 1 – (1,05) = 1 – 0,8531 = 0,1469 = 14,69 %


F. POLITIQUE DE PRIX OPTIMAL

Pour conclure cette partie sur le coût variable, ce paragraphe a pour objectif d’expliquer comment cette méthode, conjuguée à la notion d’élasticité prix de la demande, permet de déterminer le prix de vente qui maximise le résultat.

1. Élasticité prix de la demande

L’élasticité de la demande par rapport au prix permet de mesurer l’impact des variations de prix sur la demande et de déterminer le prix de vente optimal.

L’élasticité de la demande par rapport au prix, notée eD/P, exprime le pourcentage de variation de la demande obtenue par une variation en pourcentage du prix :

eD/P = Variation relative D / Variation relative P =

DDP

P

Pour un bien « normal », si le prix augmente (diminue), la demande diminue (augmente). L’élasticité prix est alors un nombre négatif.

Ainsi une élasticité eD/P = –1,8 signifie que si le prix augmente de 10 %, la demande baisse de : +10 % –1,8 = –18 %

Les produits de luxe ont au contraire une élasticité prix positive. Le prix étant associé à la qualité et des effets de snobisme font que si le prix diminue (augmente), la demande diminue (augmente).

EXEMPLE 7

En réalité, en reprenant les données initiales de l’exemple 1, présenter le compte de résultat différentiel sachant que l’élasticité de la demande par rapport au prix est de –2, si le prix baisse de 5 %.

Calcul du nouveau prix : 50 95 % = 47,50 €

Le volume vendu augmentera de : – 2 –5 % = + 10 % et sera de : 20 000 1,1 = 22 000

Q CU M Chiffre d’affaires 22 000 47,50 1 045 000 Charges variables 22 000 30 660 000 Marges sur coûts variables 22 000 17,50 385 000 Charges de structure 300 000 Résultat 85 000

Cette politique n’est pas opportune car elle diminue le résultat.

2. Recherche de l’optimum et de la zone de profitabilité

a. Le prix optimum est celui qui permet de maximiser le résultat (ou la marge sur coûts variables, comme il sera constaté avec le calcul de la dérivée).

En reprenant les données initiales de l’exemple 1, le résultat est : R = 50 20 000 – 30 20 000 – 30 000

R1211-F2/4 SÉRIE 02 43

On sait que :

DDP

P

= –1,8

Pour simplifier, posons DD

= d et PP

= p

d’où pd

= –1,8 et d = –1,8 p

Si le prix varie, il devient : 50(1 + p) Et les quantités sont alors : 20 000(1 + d) (attention : ne pas mettre 1 – d. Le signe de d dépendra du

signe de p qui ne sera connu qu’après dérivation).

Pour déterminer l’optimum, il convient d’exprimer le résultat en fonction des variations relatives du prix et de la demande : R = 50(1 + p) 20 000(1 + d) – 30 20 000(1 + d) – 30 000 R(p) = 50(1 + p) 20 000(1 – 1,8p) – 30 20 000(1 – 1,8p) – 30 000 R(p) = 1 000 000(1 – 1,8p + p – 1,8p2) – 600 000 + 1 080 000p – 30 000 R(p) = 1 000 000 – 800 000p – 1 800 000p2 – 600 000 + 1 080 000p – 30 000 R(p) = – 1 800 000p2 + 280 000p + 100 000

L’optimum est atteint quand la dérivée1 s’annule (il sera admis qu’il s’agit d’un maximum) : R'(p) = –3 600 000p + 280 000 S’annule pour : 0 = –3 600 000p + 280 000 Soit : –3 600 000p = –280 000 p = –280 000 / –3 600 000 = +0,07777 soit +7,78 % d = –1,8p = –1,8 0,07777 = –0,14 soit –14 %

Le prix optimal est : 50(1 + p) = 50(1 + 0,07777) = 53,888 53,89 €Le nouveau volume correspondant : 20 000(1 + d) = 20 000(1 – 0,14) = 17 200

Le résultat optimal est :

Q CU M Chiffre d’affaires 17 200 53,89 926 908 Charges variables 17 200 30 516 000 Marges sur coûts variables 17 200 23,89 410 908 Charges de structure 300 000 Résultat 110 908

b. La zone de profitabilité est la fourchette de prix dans laquelle le résultat est positif. Elle se détermine à partir des racines2 du trinôme du second degré obtenu en exprimant le résultat en fonction des variations relatives du prix.

R(p) = –1 800 000p2 + 280 000p + 100 000

= b2 – 4ac = 280 0002 – 4(–1 800 000 100 000) 893 532,312

1 Cf. annexe 2 : Dérivée et extremum d’une fonction. 2 Cf. annexe 2


Les deux racines sont :

p1 = 280 000 + 893532,312 1800 000

–0,1704 p2 = 280 000 893532,312 1800 000

1 0,326

Les deux résultats obtenus indiquent la fourchette dans laquelle le prix peut se situer pour rester bénéficiaire, à savoir : 50(1 – 0,1704) = 41,48 € et 50(1 + 0,326) = 66,30 €

0−0,05−0,1−0,15−0,2−0,25 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55

−100 000

−50 000

100 000

150 000

+7,78 %

Z o n e d e p r o f i t

Résultat

p

3. Limites de cette approche

Difficultés pratiques pour déterminer le coefficient d’élasticité.

De plus, la demande est incertaine et dépend de nombreux autres facteurs que le prix (revenu, conjoncture, dépenses de publicité…), la concurrence peut réagir, le changement de prix peut être incohérent avec la stratégie de positionnement et d’image.

III. LA MÉTHODE DES COÛTS SPÉCIFIQUES (OU DIRECT COSTING ÉVOLUÉ)1

Cette méthode, également dénommée coût propre ou méthode des marges contributives ou méthode des marges et apports, est un prolongement de la méthode des coûts variables.

Cette méthode incorpore aux coûts les charges spécifiques : – Charges variables.

1 Les exercices corrigés 6 et 8 mettent en application la méthode des coûts spécifiques.

R1211-F2/4 SÉRIE 02 45

– Charges fixes spécifiques : charges fixes qui peuvent être rattachées sans arbitraire à un coût(charges fixes directes).

Directes Indirectes Variables Fixes

A. LES MARGES SUR COÛT SPÉCIFIQUE

Les charges fixes communes constituent une masse non répartie entre les objets de coût.

Cette méthode cherche à dégager la marge sur coût spécifique qui mesure la contribution de l’élément étudié à la rentabilité de l’ensemble étudié.

X Y Z TOTAL Chiffre d’affaires Charges variables

Marges sur coûts variables Charges fixes spécifiques (CFS)

M/CV CFS

Marges sur coût spécifique Charges fixes communes (CFC)

M/CS CFC

Résultat R

EXEMPLEUne entreprise produit et vend trois produits X, Y et Z pour lesquels les éléments suivants sont communiqués :

X Y Z Chiffre d’affaires 50 000 180 000 100 000 Charges directes 50 000 90 000 90 000 Charges indirectes 20 000 10 000 20 000

Travail à faire

1. Calculer les résultats en coûts complets. Conclure.

2. Les charges sont variables à hauteur de 30 000 pour X, de 80 000 pour Y et de 60 000 pour Z. Calculer les marges sur coûts variables. Conclure.

3. Les charges fixes spécifiques sont de 30 000 pour X, de 10 000 pour Y et de 30 000 pour Z. Calculer les marges sur coûts spécifiques. Conclure.


1. Coûts complets

X Y Z Total Chiffre d’affaires 50 000 180 000 100 000 330 000 Coût complet 70 000 100 000 110 000 280 000

Résultat –20 000 80 000 –10 000 50 000

On constate un problème sur X et Z.

Est-ce un problème lié à l’imputation des charges indirectes ? Si oui : recalculer les coûts avec une méthode plus pertinente (ABC).


Il faut étudier les marges sur coûts variables avant de prendre une décision.

2. Marges sur coûts variables

X Y Z Total Chiffre d’affaires 50 000 180 000 100 000 330 000 Coût variable 30 000 80 000 60 000 170 000 Marges sur coûts variables 20 000 100 000 40 000 160 000

Charges fixes 110 000 Résultat 50 000

Il ne faut donc pas abandonner X et Z dont la marge sur coûts variables est positive. Abandonner X et Z diminuerait la marge totale sur coûts variables de 60 000 € (perte de la marge de X et de Z) et rendrait résultat total négatif (–10 000 €).

3. Marges sur coûts spécifiques

X Y Z Total Chiffre d’affaires 50 000 180 000 100 000 330 000 Coût variable 30 000 80 000 60 000 170 000 Marges sur coûts variables 20 000 100 000 40 000 160 000 Charges fixes spécifiques 30 000 10 000 30 000 70 000 Marges sur coûts spécifiques –10 000 90 000 10 000 90 000

Charges fixes communes 40 000 Résultat 50 000

L’examen des marges sur coût spécifique doit être réalisé avec précaution car son niveau dépend du volume d’activité pour lequel elles sont calculées. En effet, si la marge sur coûts variables augmente (hausse possible du prix de vente, augmentation possible des volumes vendus, baisse possible des coûts variables), la marge sur coût spécifique augmente.

Dans le cas d’une marge sur coûts spécifiques négative, indépendamment des considérations stratégiques (image de marque, complémentarité des gammes, ne pas laisser la place à un concurrent…), il est impératif de s’assurer de l’impossibilité d’augmenter l’activité (absence de débouchés, saturation des contraintes de production…) avant de condamner un objet de coût.

B. APPRÉCIATION DE LA MÉTHODE

1. Intérêts

– Cette méthode est un intermédiaire entre le coût variable et le coût complet. Elle présente l’intérêt d’être un coût partiel plus exhaustif et donc plus précis que le coût variable, et dans sa composition d’être plus sûre que le coût complet.

– Elle permet le même type d’applications que la méthode du coût variable dont elle est le prolongement, et en particulier la prise de décision relative au maintien ou à l’abandon d’une activité en mettant en évidence la contribution de chacune à la couverture des charges fixes communes.

– Elle permet le calcul de seuils de rentabilité spécifiques.

2. Limites

– La méthode étant le prolongement du coût variable, les limites sont sensiblement les mêmes. – Les stocks devront être évalués au coût complet (un coût partiel sous-évaluant les stocks).

R1211-F2/4 SÉRIE 02 47

Conclusion sur les coûts partiels

Les méthodes de coûts partiels permettent d’organiser le calcul des coûts par centre de responsabilité. Elles facilitent la prise de certaines décisions, les simulations et la prévision. Elles évitent l’arbitraire de certaines répartitions.

Cependant, elles ne permettent pas la fixation d’un prix de vente du fait de l’absence de résultat par objet de coût. L’évolution du contexte fait que les coûts variables et les coûts directs représentent une part de moins en moins importante dans la structure des charges.Le coût spécifique constitue un élément de réponse à cette évolution.

Les coûts partiels ne peuvent suffire. Ils constituent un outil de pilotage des centres de responsabilité et fournissent un complément d’information adapté à certaines décisions.

IV. LE COÛT MARGINAL

« Coût constitué par la différence entre l’ensemble des charges d’exploitation nécessaires à une production donnée et l’ensemble de celles nécessaires à cette même production majorée ou minorée d’une unité » (PCG 1982).

Le coût marginal est donc la variation du coût total.

La définition peut être étendue à un nombre quelconque d’unités. Dans ce cas :

Coût marginal = CT / Q

De même, dans une vision plus réaliste, la notion est applicable à une série nouvelle, un lot supplémentaire, une production additionnelle…

L’analyse marginale n’a de sens qu’a priori pour prendre des décisions essentiellement relatives à l’acceptation de commandes supplémentaires et à la fixation des prix.

A. COMPOSANTES DU COÛT MARGINAL

Le coût marginal est un coût estimé qui ne s’intéresse qu’au coût engendré par la variation d’une unité, et c’est cette simplification qui fait l’intérêt de la méthode.

Pour le calculer, deux situations sont à distinguer.

1. Structure suffisante

Dans ce cas, le coût marginal est égal au coût variable de l’unité supplémentaire.

2. Structure insuffisante

Le coût marginal est alors égal au coût variable de l’unité supplémentaire majoré du coût de la structure supplémentaire.


EXEMPLE 1

Une entreprise produit et vend 1 000 planches à voile par an au prix unitaire de 400 €.Sa capacité de production est de 1 200 produits, et l’analyse des coûts est la suivante : Coût variable unitaire : 200 € (dont 40 € de charges de personnel) Charges de structure : 150 000 €

Un centre de vacances contacte l’entreprise pour commander 150 planches au prix de 300 €.L’acceptation de cette commande se ferait en recourant aux heures supplémentaires, ce qui majorerait les charges de personnel de 25 %.

Travail à faire

1. Déterminer le résultat annuel avant la prise de décision.

2. L’entreprise doit-elle accepter cette commande ?

3. Déterminer le résultat annuel si l’entreprise accepte cette commande.


1.

Chiffre d’affaires 400 000 Charges variables –200 000

Marge sur coûts variables 200 000 Charges de structure 150 000

Résultat 50 000

La structure est suffisante : le coût marginal est alors égal au coût variable de l’unité supplémentaire.

Charges de personnel 50 Autres charges variables 160

Coût marginal 210Recette marginale 300Résultat marginal +90

2. La recette marginale étant supérieure au coût marginal, il faut accepter cette commande.

3. Il ne faut pas tout recalculer, mais faire un raisonnement à la marge : Résultat marginal total : 90 150 = 13 500 Résultat total : 50 000 + 13 500 = 63 500

EXEMPLE 2Une entreprise produit et vend 1 000 planches à voile par an au prix unitaire de 400 €.Sa capacité de production est de 1 200 produits, et l’analyse des coûts est la suivante : Coût variable unitaire : 200 € (dont 40 € de charges de personnel) Charges de structure : 150 000 €

Un centre de vacances contacte l’entreprise pour commander 300 planches au prix de 240 €.L’acceptation de cette commande se ferait en recourant aux heures supplémentaires, ce qui majorerait les charges de personnel de 25 %.

Travail à faire

1. L’entreprise doit-elle accepter cette commande, sachant que les charges de structure augmenteront de 12 000 € ?

2. Quel doit être le prix de vente unitaire minimum de cette série ?

R1211-F2/4 SÉRIE 02 49


1. La structure est insuffisante : le coût marginal est alors égal au coût variable de l’unité supplémentaire majoré du coût de la structure supplémentaire.

Calcul Montant total Charges de personnel 50 300 15 000 Autres charges variables 160 300 48 000 Accroissement des charges de structure 12 000

Coût marginal 75 000

Coût marginal unitaire : 75 000 / 300 = 250

Montant unitaire Montant total Coût marginal 250 75 000 Recette marginale 240 72 000 Résultat marginal –10 –3 000

Il faut refuser cette commande car la recette marginale est inférieure au coût marginal.

2. Le prix de vente minimum est le coût marginal unitaire, soit 250 €.

B. MODÉLISATION MATHÉMATIQUE

1. Évolution des coûts

a. Évolution du coût total

Dans le contexte élémentaire « coût-volume », l’évolution des charges avec l’activité est représentée par une droite :

y = ax + CF

Coût total

Activité


En réalité, les charges totales sont plus proches d’une courbe en (S) qui illustre la relation entre le coût total et le rendement.

Coût total

Activité

Rendements croissants Effet d'expérience, éco- nomie d'échelle.

Rendements constants Rendements décroissants Structure qui arrive à saturation, dysfonctionnements, augmentation des pannes, problèmes de qualité...

b. Conséquences sur le coût moyen

Coût moyen

Activité

Le coût moyen décroît en zone de rendements croissants car le coût marginal est inférieur au coût moyen.

Le coût moyen est constant en zone de rendements constants car le coût marginal est proche du coût moyen.

Le coût moyen croît en zone de rendements décroissants car le coût marginal est supérieur au coût moyen.

2. Étude théorique du coût marginal

L’évolution du coût marginal peut être déterminée par l’analyse statistique de coûts constatés sur plusieurs périodes pour différents niveaux d’activité.

L’ajustement du nuage de points fournit une courbe représentative de la fonction du coût total.

Soit CT = f(Q) la fonction qui exprime le coût total en fonction des quantités Q produites.

R1211-F2/4 SÉRIE 02 51

a. Coût marginal

D’après la définition du coût marginal, quand les quantités produites augmentent de Q, le coût devient CT + CT.

Le coût marginal de l’unité est : CQ

soit f(Q + Q)Q

Si Q tend vers zéro, c’est-à-dire pour un accroissement infime de la production, et si f est dérivable :

Coût marginal = limQ 0

CQ

Cette limite est la dérivée de la fonction du coût total.

Coût marginal = CT'(Q)

Cette approche suppose que les coûts puissent s’exprimer par des fonctions continues et dérivables, ce qui n’est pas toujours le cas dans la réalité et en particulier dans le cas des productions par lots.

EXEMPLE 3Supposons CT(Q) = 6Q3 – 150Q2 + 8 000Q Coût marginal = Cmarg(Q) = 18Q2 – 300Q + 8 000

b. Optimum technique

Il s’agit du niveau d’activité pour lequel le coût moyen est minimum pour une structure donnée.

Le coût moyen est : CM (Q) = CT(Q)Q

CM(Q) = (6Q3 – 150Q2 + 8 000Q) / Q = 6Q2 – 150Q + 8 000

Une fonction atteint un optimum quand sa dérivée première s’annule1. L’optimum technique est donc le point qui annule la dérivée du coût moyen, et il sera admis qu’il s’agit d’un minimum.2

CM'(Q) = 12Q – 150 S’annule pour Q = 12,5

Le coût minimum est donc : CT(12,5) = 88 281,25

REMARQUE

CM(Q) = CT(Q)Q

CM'(Q) = CT'(Q).Q CT(Q).1Q2

= CT'(Q)Q

– CT(Q)Q2

1 Cf. annexe 2. 2 La représentation graphique du coût moyen montre qu’il décroît pour atteindre un minimum puis qu’il croît à nouveau. Sinon, pour démontrer qu’il s’agit d’un minimum, il convient de remarquer que la dérivée seconde (dérivée de la dérivée) est positive.


Cette dérivée s’annule pour : CT'(Q)Q

= CT(Q)Q2

CT'(Q) = CT(Q).QQ2

CT'(Q) = CT(Q)Q

À l’optimum technique : Coût marginal = Coût moyen

Vérification : Cmarg(12,5) = 7 062,5 CM(12,5) = 7 062,5

c. Optimum économique

Il s’agit du niveau d’activité qui maximise le résultat total.

Soit CA(Q) la fonction du chiffre d’affaires.

Le résultat en fonction des quantités est : R(Q) = CA(Q) – CT(Q)

Le résultat est optimal quand sa dérivée première s’annule : R'(Q) = CA'(Q) – CT'(Q) Cette dérivée s’annule pour : CA'(Q) = CT'(Q) Soit : Recette marginale = Coût marginal

Supposons que le prix de vente unitaire soit égal à 7 550 €.

R(Q) = 7 550Q – (6Q3 – 150Q2 + 8 000Q) = –6Q3 + 150Q2 – 450Q R'(Q) = –18Q2 + 300Q – 450

= b2 – 4ac = 3002 – 4(–18 –450) = 57 600 = 2402

Les deux racines sont :

Q1 = 300 + 2402 18

= 1,66 Q2 = 300 2402 18

= 15

Il y a donc deux optima : R(15) = 6 750(maximum) Vérification : Cmarg(15) = 7 550 CAmarg = 7 550 R(1,66) = –361(minimum) Vérification : Cmarg(1,66) = 7 550 CAmarg = 7 550

R1211-F2/4 SÉRIE 02 53

3. Représentations graphiques

a. Prix de vente constant (reprises des données de l’exemple 3)

CA(Q) = 7 550Q CT(Q) = 6Q3 – 150Q2 + 8 000Q

Q CT(Q) CT(Q)/Q CT’(Q) CA(Q) R(Q) R(Q)/Q 1 7 856 7 856 7 718 7 550 –306 –306

1,2/3 12 894 7 768 7 550 12 533 –361 –2172 15 448 7 724 7 472 15 100 –348 –174

Coût marginal = Recette marginale

3 22 812 7 604 7 262 22 650 –162 –544 29 984 7 496 7 088 30 200 216 54

Seuil de rentabilité 1

5 37 000 7 400 6 950 37 750 750 150 6 43 896 7 316 6 848 45 300 1 404 234 7 50 708 7 244 6 782 52 850 2 142 306 8 57 472 7 184 6 752 60 400 2 928 366 9 64 224 7 136 6 758 67 950 3 726 414 10 71 000 7 100 6 800 75 500 4 500 450 11 77 836 7 076 6 878 83 050 5 214 474 12 84 768 7 064 6 992 90 600 5 832 486

12,5 88 281 7 063 7 063 94 375 6 094 487,5 13 91 832 7 064 7 142 98 150 6 318 486 14 99 064 7 076 7 328 105 700 6 636 474

Minimum du coût moyen. Le coût marginal passe par ce point.

15 106 500 7 100 7 550 113 250 6 750 45016 114 176 7 136 7 808 120 800 6 624 414 17 122 128 7 184 8 102 128 350 6 222 366 Coût marginal = Recette marginale

18 130 392 7 244 8 432 135 900 5 508 306 19 139 004 7 316 8 798 143 450 4 446 234 20 148 000 7 400 9 200 151 000 3 000 150 21 157 416 7 496 9 638 158 550 1 134 5422 167 288 7 604 10 112 166 100 –1 188 –54 Seuil de rentabilité 2

23 177 652 7 724 10 622 173 650 –4 002 –174 24 188 544 7 856 11 168 181 200 –7 344 –306 25 200 000 8 000 11 750 188 750 –11 250 –450 26 212 056 8 156 12 368 196 300 –15 756 –606 27 224 748 8 324 13 022 203 850 –20 898 –774 28 238 112 8 504 13 712 211 400 –26 712 –954 29 252 184 8 696 14 438 218 950 –33 234 –1 146 30 267 000 8 900 15 200 226 500 –40 500 –1 350


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

5 000

5 500

6 000

6 500

7 000

7 500

8 000

8 500

9 000

9 500

10 000 Coûts et prix

Activité

A B C D

Coût marginal

Coût moyen

Recettemarginale

b. Prix de vente variable

EXEMPLE 4Le prix de vente sera supposé décroître régulièrement de 50 € chaque fois que l’activité augmente d’une unité. Les données relatives aux coûts seront celles de l’exemple 3.

Q CT(Q) CT(Q) / Q CT'(Q) Prix unitaire CA(Q) CA(Q) / Q R(Q) R(Q) / Q 1 7 856 7 856 7 718 7 550 7 550 7 550 –306 –306 2 15 448 7 724 7 472 7 500 15 050 7 525 –398 –199 3 22 812 7 604 7 262 7 450 22 500 7 500 –312 –104 4 29 984 7 496 7 088 7 400 29 900 7 475 –84 –21 5 37 000 7 400 6 950 7 350 37 250 7 450 250 50 6 43 896 7 316 6 848 7 300 44 550 7 425 654 109 7 50 708 7 244 6 782 7 250 51 800 7 400 1 092 156 8 57 472 7 184 6 752 7 200 59 000 7 375 1 528 191 9 64 224 7 136 6 758 7 150 66 150 7 350 1 926 214 10 71 000 7 100 6 800 7 100 73 250 7 325 2 250 225 11 77 836 7 076 6 878 7 050 80 300 7 300 2 464 224 12 84 768 7 064 6 992 7 000 87 300 7 275 2 532 21113 91 832 7 064 7 142 6 950 94 250 7 250 2 418 186 14 99 064 7 076 7 328 6 900 101 150 7 225 2 086 149 15 106 500 7 100 7 550 6 850 108 000 7 200 1 500 100 16 114 176 7 136 7 808 6 800 114 800 7 175 624 39 17 122 128 7 184 8 102 6 750 121 550 7 150 –578 –34 18 130 392 7 244 8 432 6 700 128 250 7 125 –2 142 –119 19 139 004 7 316 8 798 6 650 134 900 7 100 –4 104 –216 20 148 000 7 400 9 200 6 600 141 500 7 075 –6 500 –325

R1211-F2/4 SÉRIE 02 55

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

6 000

6 500

7 000

7 500

8 000 Coûts et prix

A C B D

Coût marginal

Coût moyen

Recettemarginale

Prix moyen

c. Commentaire des deux graphiques

L’optimum économique est le point C pour lequel la recette marginale est égale au coût marginal.

L’optimum technique est le point B pour lequel le coût moyen est minimum. Il est à noter que le coût marginal passe par le minimum du coût moyen.

La zone de bénéfice est située entre A et D.

A est le premier seuil de rentabilité : le coût moyen devient inférieur au prix de vente moyen.

Quand on dépasse le point C, le résultat se détériore jusqu’à devenir négatif au-delà du point D. Ceci s’explique par la loi des rendements décroissants, alors que dans le calcul classique du seuil de rentabilité, on suppose que la MCV unitaire est stable, ce qui fait que plus l’activité est importante, plus le résultat augmente.

C. UTILITÉ POUR LA GESTION

1. Intérêts

– Opportunité ou non d’accepter une production supplémentaire. – Politique de prix différentiels selon la saison, la clientèle, le taux d’occupation : Yield Management.– Détermination du prix de vente optimum. – Opportunité d’une sous-traitance : le coût d’achat d’un bien sous-traité est comparé au coût

marginal obtenu en interne. – Peut servir de prix de cession interne (cf. série 04).– Dissipe l’illusion d’une croissance infinie des profits qui est implicite dans le modèle « coût-

volume-profit ». En effet, la plupart des entreprises sont soumises aux rendements décroissants.


2. Limites

– La méthode se heurte à des difficultés pratiques : W Comment évaluer dans les coûts totaux le coût d’une unité supplémentaire ?

La méthode suppose qu’il est possible de faire des expériences pour x unités, puis x + 1… ce qui n’est pas réaliste, d’autant plus que les facteurs de productions ne sont généralement pas divisibles.

W La méthode suppose qu’il est possible d’ajuster les coûts observés par une fonction. – La méthode incite à accepter toute offre tant que le prix de vente est supérieur au coût marginal.

Cette logique peut compromettre la rentabilité globale de l’entreprise : W par un transfert de clientèle habituelle vers le prix marginal, W en provoquant une réaction de la concurrence, W en cassant une image de marque, W en créant une distinction artificielle de la clientèle…

– Dans le cas d’un changement de structure, l’accroissement envisagé suppose une certaine pérennité.

– Le modèle du coût marginal est uniquement volumique, alors que la cause des coûts résulte de facteurs divers.

D. CONCLUSION

Le coût marginal est un outil a priori et ponctuel pour prendre des décisions exceptionnelles.

Il est indispensable de l’accompagner de réflexions stratégiques, commerciales et industrielles.

V. LA MÉTHODE DES COÛTS CIBLES (TARGET COSTING)

La méthode du coût cible a été développée dans l’industrie automobile au Japon pendant la période 1970-1980.

Le développement de la méthode des coûts cibles (ou coûts objectifs) s’inscrit dans une démarche stratégique de coût global (ou life cycle cost) qui consiste à analyser la rentabilité sur l’ensemble du cycle de vie, depuis le coût de conception jusqu’au coût de destruction.

A. LES FONDEMENTS DE LA MÉTHODE

La comptabilité de gestion ne s’intéresse qu’à la phase de production, or actuellement 70 % à 90 % des coûts sont des coûts de conception (en amont de la production) et des coûts de maintenance et de services liés au produit (en aval de la production).

Par ailleurs, les modèles traditionnels sont adaptés à des produits parvenus à maturité dont la durée du cycle de vie est assez longue.

La méthode part d’un constat simple : ce sont les produits qui génèrent le profit de l’entreprise, et cetteprofitabilité (résultat/chiffre d’affaires) se joue essentiellement dans la phase de conception.

R1211-F2/4 SÉRIE 02 57

1. La phase amont de conception

Traditionnellement, les efforts de réduction des coûts ont porté sur la recherche de gains de productivité lors de la fabrication.

Le point de départ de la méthode a été de constater qu’environ 80 % des coûts du cycle de vie d’un produit étaient préengagés lorsque la première unité du produit est lancée en fabrication alors même que 80 % de ces coûts ne seront effectivement dépensés qu’après cette date.

Ainsi, la majorité des coûts qui seront supportés durant les phases de production et de distribution des produits dépend de choix réalisés lors des phases de conception et de développement.

En conséquence, il est plus facile de réduire les coûts au moment de la conception. Il est donc logique de se tourner vers l’amont en se préoccupant des coûts lors même de la conception des produits.

Le raccourcissement de la durée du cycle de vie des produits conjuguée au fait que lorsque la production commence, environ 80 % des coûts de l’ensemble du cycle sont engagés même s’ils ne seront dépensés qu’ultérieurement, met en évidence l’importance de la phase initiale de conception.

Coûts totaux provoqués par le produitau long de son cycle de vie

Phases ducycle de vie

80 %

Conception Début deproduction

Fin du cycle

Coûts engagés

Coûts dépensés

Adapté de la Revue française de comptabilité, n° 255

C’est dès la phase de conception du produit que les décisions concernant les caractéristiques du produit et l’organisation de sa production auront des conséquences difficilement réversibles sur des dépenses qui se poursuivront pendant tout le cycle de vie.

Les coûts décidés sont maîtrisables : choix de sous-traitance, de technologie, analyse de la valeur...

Les coûts dépensés sont suivis par le contrôle de gestion comptable classique.

2. Le renversement dans l’analyse du marché

La méthode du coût cible se fonde sur le principe que le prix est imposé par le marché.

Le prix ne dépend donc pas du coût, et c’est au contraire le coût qui doit être adapté au prix du marché.

Le coût apparaît alors comme une variable d’action qui est limitée par deux contraintes : – Le prix imposé par le marché. – La marge choisie par l’entreprise.


Philippe LORINO désigne par le terme coût cible, le coût qui répond à cette équation :

Coût cible = Prix de vente imposé par le marché – Profit cible

La méthode du coût cible est un ensemble de méthodes et d’outils de gestion visant à adapter le coût complet prévisionnel des produits aux objectifs de profitabilité fixés pour l’ensemble du cycle de vie.

B. LES ÉTAPES DE LA MÉTHODE

1. Détermination du coût cible

Le coût cible se déduit du prix de vente imposé par le marché et du profit cible.

a. La fixation du prix de vente

Les techniques d’étude de marché conduisent à déterminer un prix prévisionnel et un volume prévisionnel qui évolueront au cours du cycle de vie du produit.

b. La fixation du profit cible

Un objectif de rentabilité de l’ensemble du portefeuille de produits est fixé sur un horizon temporel en fonction des options stratégiques, du mode de financement, de la stratégie commerciale, de la croissance attendue...

Une quote-part du profit global planifié est alors attribuée à chaque produit et constitue son profit cible.

Le coût cible se déduit de l’équation précédemment présentée :

Coût cible = Prix de vente imposé par le marché – Profit cible

c. Décomposition du coût cible

À ce stade, le coût cible n’est pas opératoire car trop global. Aussi doit-il être décomposé en fonction des composantes en coûts cibles partiels. Cette décomposition nécessite : – l’identification des différentes fonctions que le produit est censé remplir ; – l’évaluation de l’importance relative que le consommateur attribue à chacune des fonctions ; – l’analyse des relations entre les composants et les fonctions ; – la définition d’un coût cible par composant : la part du coût du composant dans le coût total doit

être cohérente avec sa part relative de contribution à la valeur créée pour le client.

Le coût cible représente ainsi une mesure de la valeur perçue par le consommateur, ce qu’il est prêt à payer pour l’ensemble des fonctions attachées au produit, et chaque composant du produit devrait engendrer un coût correspondant à la valeur que lui attribue le consommateur.

(Voir exercice corrigé n° 2.)

2. Détermination du coût estimé

Dans un deuxième temps, compte tenu de son pôle de compétences (hommes, technologie, organisation du travail, communication), l’entreprise estime le coût qu’elle est capable de réaliser.

Comme le coût cible, le coût estimé doit couvrir l’ensemble du cycle de vie.

R1211-F2/4 SÉRIE 02 59

Compte tenu de son aspect stratégique, la connaissance de ce coût futur suppose précision et justesse.

L’estimation fait appel à trois types de méthodes.

a. Les méthodes paramétriques

Fondées sur la corrélation entre les coûts et les paramètres physiques du produit (poids, volume, dimension, puissance...), elles débouchent sur une relation Y = aX + b.

Ces méthodes sont simples et rapides mais trop approximatives. Aussi ne sont-elles à utiliser que comme première approximation.

b. Les méthodes analogiques

Elles prennent comme point de départ le coût d’un produit existant analogue au produit nouveau. Le coût estimé est dérivé des modifications apportées au produit nouveau.

Ces méthodes supposent des conditions techniques stables et un concept de produit non innovant.

c. Les méthodes analytiques

Elles consistent en une analyse technique détaillée du produit nouveau.

La pertinence du modèle d’allocation des charges aux coûts est fondamentale pour obtenir un coût estimé fiable. La prise en compte dans le coût des produits de leur complexité (nombre de composants, niveau de standardisation...), de leur mode de fabrication (nombre d’opérations, taille des lots...) doit être correctement évaluée pour percevoir les phénomènes de subventionnement croisé.

C’est pourquoi les méthodes de coûts à base d’activités (ABC) sont fréquemment utilisées dans la démarche du coût cible.

3. Optimisation du coût

Dans la plupart des cas, le coût estimé est supérieur au coût cible et, en conséquence, l’objectif sera de résorber l’écart. Pour cela, des techniques d’optimisation sont à mettre en œuvre.

Les améliorations doivent toujours être effectuées dans une perspective valeur-coût : il ne s’agit pas de réduire le coût si cela devait affecter la valeur perçue, mais d’optimiser le rapport entre ces deux notions.

Ce processus d’amélioration est mis en œuvre à toutes les étapes du cycle de vie :

a. Pendant la conception

L’analyse de la valeur est la technique fondamentale utilisée pour rapprocher le coût estimé du coût cible sans affecter la valeur perçue par le client.

Selon l’Afnor, l’analyse de la valeur est définie comme « une méthode de travail structurée et systémique à caractère technico-économique qui vise à ne laisser subsister dans un produit que ce qui est nécessaire à la satisfaction du client ».

L’analyse de la valeur passe par une analyse fonctionnelle pour recenser, caractériser, hiérarchiser et valoriser les fonctions du produit. Chacune des fonctions identifiées doit être valorisée pour le producteur (coût) et pour le client (prix que le client est prêt à payer pour cette fonction).


L’analyse fonctionnelle consiste à : – rechercher les fonctions ; – classer les fonctions entre fonctions principales et fonctions contraintes ainsi qu’entre fonctions

d’usage et fonctions d’estime ; – différencier les fonctions de service répondant aux besoins des utilisateurs des fonctions techniques

choisies par le concepteur-réalisateur pour assurer des fonctions de service ; – hiérarchiser les fonctions ; – valoriser les fonctions.

L’analyse fonctionnelle permet souvent d’éliminer une multitude de « petites tâches » inutiles et d’adapter le bien en fonction des besoins du consommateur pour obtenir non pas la qualité maximale, mais la qualité optimale.

Par ailleurs, la conception modulaire des produits, et plus généralement la différenciation retardée des produits, permet de valoriser les interactions entre produits et processus de production.

b. Pendant la phase de production

L’optimisation doit se poursuivre par l’effet d’apprentissage et par une dynamique permanente de progrès (« kaizen »).

Pendant la phase de production, la « maintenance des coûts » consiste à contrôler les coûts réels pour les maintenir proches des coûts cibles et pour éliminer les causes d’écarts.

Le modèle de MAKIDO résume la maîtrise des coûts recherchée par l’optimisation du coût :

C. CONCLUSION

La méthode des coûts cibles est une vision tournée vers le marché qui s’inscrit parfaitement avec les démarches de qualité totale et de benchmarking.

Elle implique une vision transversale des organisations : le marketing pour les études de marché, les études et méthodes pour la conception et les choix de processus, le contrôle de gestion pour la valorisation des coûts et des performances, les approvisionnements dans le choix des composants...

L’analyse de la valeur est souvent source d’innovations : produits, procédés, organisation.

Cependant, elle se heurte à des difficultés d’évaluation : – Si l’entreprise dispose d’une certaine marge de manœuvre dans la fixation du prix de lancement en

fonction de sa stratégie (écrémage ou pénétration), elle doit anticiper les réactions des concurrents. – Une autre difficulté concerne la répartition du profit global sur une longue période entre les

différents produits du portefeuille. – Quels éléments retenir dans le calcul du coût estimé et comment appréhender les phénomènes

d’apprentissage ? – La méthode nécessite une implication forte pour surmonter la culture budgétaire des territoires et

aboutir à une coopération transversale et non hiérarchique entre les différentes fonctions. La conception du coût cible reste bien souvent le fait des professionnels de la conception et ignore la vision transversale.

Coût cible Coût estimé Coût réel

Conception et réduction du coût

Maintenance du coût

R1211-F2/4 SÉRIE 02 61

VI. LES VARIABLES ALÉATOIRES1

Une variable aléatoire est une application qui permet d’associer à chaque résultat d’une épreuve (ou éventualité) une probabilité.

L’étude du référentiel (ou ensemble des éventualités prises par une variable aléatoire) conduit à distinguer : – les variables aléatoires discrètes : variables dont l’ensemble des valeurs possibles est

dénombrable ; – les variables aléatoires continues : variables dont l’ensemble des valeurs possibles est infini car

défini par toutes les valeurs d’un intervalle réel.

A. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES (OU DISCONTINUES)

1. Fonction de distribution ou loi de probabilité

La fonction de distribution ou loi de probabilité d’une variable aléatoire X est l’application qui, à chaque valeur possible xi, associe la probabilité P(xi) ou P(X = xi).

Cette fonction qui peut être représentée par un diagramme en bâtons est telle que :

P(xi ) = 1i=1

n

EXEMPLE 1

Un représentant a relevé le nombre quotidien de commandes qu’il a obtenues sur une année de 300 jours de travail :

Nombre quotidien de commandes 0 1 2 3 4 Total Nombre de jours 30 60 120 75 15 300

Les conditions passées étant stables, il souhaite déterminer la loi de probabilité du nombre quotidien de commandes.

V La variable aléatoire étudiée est X : « nombre quotidien de commandes ». Les valeurs xi prises par X sont : {0, 1, 2, 3, 4}. Il s’agit d’un ensemble fini qui constitue le référentiel de la variable aléatoire X.

V Les probabilités associées à chaque valeur xi sont assimilables aux fréquences de la série statistique.

Ainsi : 0,1 = 30300

1 Cette partie du cours a pour objectif de présenter les éléments fondamentaux nécessaires à la compréhension de la partie II.E.5. Appréciation du risque par la prise en compte de données aléatoires.


La loi de probabilité peut être représentée par un tableau ou par un diagramme en bâtons, représentation graphique adaptée à une variable discrète :

xi 0 1 2 3 4

P(X = xi) ou P(xi) 0,1 0,2 0,4 0,25 0,05 P(xi) = 1

Ainsi, selon la loi de probabilité définie, le représentant a, parexemple, une probabilité égale à 40 % d’obtenir deuxcommandes chaque jour.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 1 2 3 4

0,1

0,2

0,4

0,25

0,05

P(xi)

xi

Diagramme en bâtons

2. Fonction de répartition

La fonction de répartition d’une variable aléatoire est l’application F qui, à tout réel x, associe la probabilité F(x) que la variable aléatoire X soit inférieure ou égale à x.

F(x) = P(X x)

V F(x) est une fonction monotone croissante de 0 à 1, représentée par une courbe en escalier des probabilités cumulées croissantes.

V Pour tous réels a et b :

P(a < X b) = F(b) – F(a)

EXEMPLE 1 (suite)

Déterminer et représenter la fonction de répartition du nombre de commandes du représentant, puis calculer P(X < 0), P(X 0), P(X 2), P(X > 2), P(X < 3), P(0 < X < 3).

Fonction de répartition :

x F(x)]– , 0[ 0[0 , 1[ 0,1 [1 , 2[ 0,3 [2 , 3[ 0,7 [3 , 4[ 0,95 [4 , [ 1

0 1 2 3 4 5

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1 F(x)

x

Calcul des probabilités : P(X < 0) = 0 P(X 0) = F(0) = P(X = 0) = 0,1 P(X 2) = F(2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,1 + 0,2 + 0,4 = 0,7 P(X > 2) = 1 – P(X 2) = 1 – F(2) = 1 – 0,7 = 0,3 P(X < 3) = P(X 2) = 0,7 P(0 < X < 3) = P(X = 1) + P(X = 2) = P(0 < X 2) = F(2) – F(0) = 0,7 – 0,1 = 0,6

R1211-F2/4 SÉRIE 02 63

3. Caractéristiques d’une variable aléatoire discrète

Les caractéristiques ont pour objectif de synthétiser la variable aléatoire sous la forme de valeurs significatives.

a. Espérance mathématique

L’espérance mathématique, notée E(X), exprime la tendance centrale de la variable aléatoire X.

L’espérance mathématique de X est la moyenne arithmétique des valeurs prises par X pondérées par les probabilités associées à chacune de ces valeurs :

E(X) = xiP(xi )i=1

n

b. Variance et écart-type

La variance, notée V(X), exprime la dispersion de la variable aléatoire par rapport à la tendance centrale.

La variance de X est la somme des écarts élevés au carré entre les valeurs prises par X et son espérance mathématique, pondérés par les probabilités associées à chacune de ces valeurs :

V(X) = [xi E(X)]2 P(xi )i=1

n

La variance n’a pas la même unité que la variable étudiée (la variance est le résultat de calculs élevés au carré : il s’agit d’un indicateur « quadratique »). Aussi est-il préférable de retenir l’écart-type, racine carrée de la variance, pour annuler l’effet des carrés.

L’écart-type, mesure de la dispersion d’une variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique, est utilisé en gestion pour apprécier le risque. D’une façon générale, plus il est élevé, plus le risque est grand.

L’écart-type, noté (X), est la racine carrée de la variance :

(X) = V(X)

Il n’est pas demandé de retenir les formules de calcul, mais de savoir exploiter les fonctions statistiques de votre calculatrice.

EXEMPLE 1 (suite) Espérance mathématique : E(X) = 1,95 contrat Écart-type : (X) = 1,0234 contrat

B. VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES

L’étude de problèmes économiques peut conduire à présenter les résultats possibles sous forme d’intervalles.

Une variable aléatoire est continue quand l’ensemble des valeurs qu’elle peut prendre est défini par toutes les valeurs d’un intervalle réel.


Le nombre de valeurs d’un intervalle étant infini, la probabilité attachée à un point tend intuitivement vers 0 :

P(X = x) = 0

Une variable aléatoire continue se définit par sa fonction de répartition et par sa densité de probabilité.

1. Fonction de répartition : F(x)

La fonction de répartition d’une variable aléatoire est l’application F qui, à tout réel x, associe la probabilité F(x) que la variable aléatoire X soit inférieure ou égale à x.

F(x) = P(X x)

Les propriétés d’une fonction de répartition sont les suivantes :

V F(x) est une fonction croissante de 0 à 1 :

lim F(x) = 0x

et lim F(x) = 1x +

Courbe représentative de F(x) : F(x)

x0 +∞−∞

1

V Pour tous réels a et b :

P(a < X b) = F(b) – F(a)

2. Densité de probabilité : f(x)

La fonction de densité d’une variable aléatoire X continue est la fonction f qui, à tout réel x, associe la dérivée de la fonction de répartition sur chacun des intervalles où F est dérivable :

f(x) = F'(x)

Les propriétés d’une fonction de densité sont les suivantes :

V f(x) est une fonction dont les valeurs sont positives sur l’ensemble de définition de la variable aléatoire puisqu’elle est la dérivée d’une fonction croissante.

V La probabilité d’un intervalle [a, b] se calcule en intégrant la fonction de densité f :

P(a < X b) = f (t) dt = F(b) – F(a)a

b = [F(x)]a

b

f(t)

t0a b

R1211-F2/4 SÉRIE 02 65

V De même, la fonction de répartition F de la variable aléatoire X peut s’exprimer par la primitive de fqui tend vers 0 quand x tend vers moins l’infini :

P(X x) = f (t) dt = F(x)x

x t0

f(t)

V f(x) est telle que l’aire entre l’axe des abscisses et la courbe est égale à 1 :

f (t) dt = 1+

f(t)

t0

C. PROPRIÉTÉS DES VALEURS CARACTÉRISTIQUES

Les propriétés de l’espérance mathématique et de la variance sont les mêmes que la variable aléatoire soit discrète ou continue.

Soit a et b deux constantes, et X une variable aléatoire.

1. Propriétés de l’espérance mathématique

V Espérance de aX :

E(aX) = aE(X)

V Espérance de aX + b :

E(aX + b) = aE(X) + b

V Espérance de la somme de variables aléatoires X1, X2, ..., Xn :

E(X1 + X2 + ... + Xn) = E(X1) + E(X2) + ... E(Xn)

V Espérance du produit de deux variables aléatoires indépendantes X1, X2 :

E(X1 X2) = E(X1) E(X2)


2. Propriétés de la variance

V Variance de aX : V(aX) = a2V(X)

V Variance de aX + b : la variance et l’écart-type d’une constante sont nuls.

V(aX + b) = a2V(X)

V Variance de la somme de variables aléatoires X1, X2 :

Il faut distinguer le cas des variables aléatoires non indépendantes du cas des variables indépendantes.

Variables aléatoires non indépendantes Variables aléatoires indépendantes

V(X1 + X2) = V(X1) + V(X2) + 2 cov (X1, X2) V(X1 + X2) = V(X1) + V(X2)

Avec cov(X1, X2) = covariance de X1 et X2 = (Xi X)(Yi Y) =1N

XiYi XY

EXEMPLE 1 (suite)

Calculer l’espérance mathématique et l’écart-type du résultat quotidien R du représentant, sachant que chaque contrat conclu génère un produit de 1 000 €, des charges variables de 200 €, et que les charges fixes quotidiennes sont de 500 €.

Le résultat R en fonction des quantités est : R = (1 000 – 200)X – 500 = 800X – 500 L’espérance du résultat quotidien est : E(R) = E(800X – 500) = 800E(X) – 500 avec : E(X) = 1,95 E(R) = 800 1,95 – 500 = 1 060 €

La variance du résultat quotidien est V(R). V(R) = V(800X – 500) = 8002V(X) Avec : V(X) = 1,0234 2 puisque l’écart-type est la racine carrée de la variance V(R) = 8002 1,02342 = 670 302,44

L’écart-type du résultat quotidien est : (R) = 670 302,44 = 818,72 €

D. LOIS USUELLES DE PROBABILITÉ

1. Loi binomiale

a. Épreuve de Bernoulli

Une variable aléatoire discrète X1 suit une loi de Bernoulli si le référentiel de l’épreuve est l’alternative : réalisation de l’épreuve (avec la probabilité p) ; non-réalisation de l’épreuve (avec la probabilité q, avec q = 1 – p).

Succès = réalisation de l’épreuve Probabilité p Résultat d’une épreuve de Bernoulli :

deux éventualités Échec = non-réalisation de l’épreuve Probabilité q =1 – p

R1211-F2/4 SÉRIE 02 67

La valeur de la variable de Bernoulli est 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec :

xi 1 0 P(X1 = xi) p q

E(X1) = (1 p) + (0 q) = p V(X1) = (12 p) + (02 q) – p2 = p – p2 = p(1 – p) = pq

L’espérance mathématique d’une variable de Bernoulli est : E(X1) = pLa variance d’une variable de Bernoulli est : V(X1) = pq

Présentation d’épreuves de Bernoulli :

Épreuves Référentiel – Sexe d’un enfant à la naissance. – Résultat d’un candidat à un examen. – Résultat du jet d’une pièce. – Contrôle de qualité. – Signe d’un nombre.

– Fille ou garçon. – Admis ou refusé. – Pile ou face. – Conforme ou non conforme. – Positif ou négatif.

b. Définition de la binomiale

Soit une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de réalisation de l’événement succès est égale à p.

Cette épreuve est reproduite n fois, les répétitions étant indépendantes (c’est-à-dire que la probabilité de succès est égale à p au cours des n épreuves).

La variable aléatoire X étudiant le nombre de succès au cours des n épreuves de Bernoulli indépendantes suit une loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n , p).

X est une variable aléatoire discrète dont les valeurs possibles sont les entiers compris entre 0 et n.

Pour que X soit égale à k, une des possibilités est qu’il y ait succès au cours des k premières épreuves, puis échec pendant les (n – k) épreuves suivantes. La probabilité de cet événement est égale à pk qn – k.Cependant, seul le nombre k de succès est pris en compte sans que l’ordre où ils se réalisent intervienne, et il y a donc Cn

k combinaisons qui réalisent l’événement X = k.

En conséquence, pour tout nombre entier naturel k, tel que 0 k n, la loi de probabilité de X est donnée par :

P(X = k) = Cnk pk qn – k

Avec n!

(n k)! k!

c. Caractéristiques d’une variable aléatoire binomiale

Une variable aléatoire X qui suit une binomiale est la somme de n variables de Bernoulli Xi

indépendantes et peut, en conséquence, se définir par X = X1 + X2 + ... + Xn.

L’espérance E(X) d’une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale est :

E(X) = E(X1 + X2 + ... + Xn)


D’après les propriétés de l’espérance mathématique :

E(X) = E(X1) + E(X2) + ... + E(Xn) = p + p + ... + p

E(X) = np

La variance V(X) d’une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale est :

V(X) = V(X1 + X2 + ... + Xn)

D’après les propriétés de la variance, et puisque les variables Xi sont indépendantes :

V(X) = V(X1) + V(X2) + ... + V(Xn) = pq + pq + ... + pq

V(X) = npq

et (X) = npq

d. Somme de variables aléatoires binomiales indépendantes de même probabilité p

Si X suit une loi binomiale B (n1 , p) et si Y suit une loi binomiale B (n2 , p), avec X et Y indépendantes mais de même probabilité p, alors X + Y est la somme de (n1 + n2) variables de Bernoulli indépendantes de paramètre p, et X + Y suit une loi B (n1 + n2 , p).

EXEMPLE 2

Le responsable du rayon vidéo d’un grand magasin a constaté que 95 % des lecteurs de DVD et des téléviseurs de la marque M fonctionnent sans problème pendant quatre ans.

Une promotion a été effectuée pour Noël : 30 lecteurs de DVD et 50 téléviseurs de la marque M ont été vendus en une journée.

Travail à faire

1. Soit X la variable aléatoire étudiant « le nombre de pannes des 30 lecteurs de DVD de la marque M sur une période de quatre ans », calculer les probabilités que : – aucun ne soit tombé en panne, – 10 soient tombés en panne, – au plus 5 soient tombés en panne, – au moins 6 soient tombés en panne.

2. Calculer l’espérance mathématique, la variance et l’écart-type de la variable aléatoire X.

3. Soit Z la variable aléatoire étudiant « le nombre total de pannes des 30 lecteurs de DVD et des 50 téléviseurs de la marque M sur une période de quatre ans », calculer l’espérance mathématique, la variance et l’écart-type de la variable aléatoire Z.


1. Dans un premier temps, il faut identifier la loi suivie par la variable aléatoire X étudiant « le nombre de pannes des 30 lecteurs de DVD de la marque M sur une période de quatre ans ».

Pour un lecteur de DVD, il s’agit d’une épreuve de Bernoulli dont l’alternative est : – il y a une panne, avec une probabilité de 5 % ; – il n’y a pas de panne, avec une probabilité de 95 %.

Cette épreuve est répétée 30 fois de façons indépendantes.

La variable aléatoire X suit donc une loi binomiale B (30 ; 0,05).

R1211-F2/4 SÉRIE 02 69

2.

V Calcul préalable de points :

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P(X = k) 0,2146 0,3389 0,2586 0,1270 0,0451 0,0123 0,0027 0,0004 0,00007 0,00001 0,00000P(X k) 0,2146 0,5535 0,8121 0,9391 0,9842 0,9965 0,9992 0,9996 0,99967 0,99968 1

Les valeurs P(X = k) sont obtenues en appliquant la formule Cnk pk qn – k

Par exemple, P(X = 1) = 30!

(30 1)! 1! 0,051 0,9529 = 0,3389

REMARQUECertaines calculatrices permettent d’obtenir directement les résultats.

V Calcul des probabilités :

P(X = 0) = 300

C 0,050 0,9530 – 0 = 0,2146 = 21,46 %

P(X = 10) = C3010

0,0510 0,9530 – 10 0 % P(X 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = 5) = 99,65 % P(X 6) = 1 – P(X < 6) = 1 – P(X 5) = 1 – 0,9965 = 0,0035 = 0,35 %

V E(X) = 30 0, 05 = 1,5 lecteur de DVD V(X) = 30 0, 05 0, 95 = 1,425 lecteur de DVD

(X) = 1,425 = 1 lecteur de DVD

3. La variable aléatoire Z est la somme de deux variables aléatoires binomiales indépendantes de même probabilité. La variable Z suit donc une loi binomiale B (30 + 50 ; 0,05). E(Z) = 80 0, 05 = 4 appareils en panne. V(Z) = 80 0, 05 0, 95 = 3,8 appareils en panne.

(Z) = 3,8 = 1,95 appareil en panne.

2. Loi de Poisson

La loi de Poisson modélise les variables aléatoires qui étudient les événements où le futur est indépendant du passé et les événements rares (files d’attente, pannes, mortalité, accidents, nombre d’appels à un standard...), et suppose les propriétés suivantes : – La probabilité p de réalisation d’un événement pendant un intervalle de temps infiniment petit de

durée dt est proportionnelle à dt. – La probabilité d’avoir plus d’une réalisation d’un événement donné dans un intervalle de temps

tend vers zéro : la loi de Poisson est également appelée loi des événements rares.

a. Définition d’une loi de Poisson

Une variable aléatoire discrète X suit une loi de Poisson de paramètre notée P ( ), avec nombre réel positif, quand sa loi de probabilité est définie par :

P(X = k) = e–k

k!


REMARQUEConnaissant P(X = k), il est possible de calculer rapidement P(X = k + 1) :

P(X = k + 1) = P(X = k)k +1

b. Caractéristiques d’une variable aléatoire de Poisson

Il sera admis que l’espérance E(X) d’une variable aléatoire X qui suit une loi de Poisson est :

E(X) =

Il sera admis que l’écart-type (X) d’une variable aléatoire X qui suit une loi de Poisson est :

(X) =

c. Somme de variables aléatoires de Poisson indépendantes

Si X suit une loi de Poisson P ( 1) et si Y suit une loi de Poisson P ( 2), avec X et Y indépendantes, alors X + Y suit une loi P ( 1 + 2).

EXEMPLE 3Le nombre moyen de taxis qui traversent un carrefour entre neuf et dix heures est de 30 véhicules et suit une loi de Poisson.

Travail à faire

1. Calculer les probabilités pour que, sur une période de dix minutes entre neuf et dix heures, traversent : aucun taxi, trois taxis, quatre taxis, cinq taxis, au plus cinq taxis.

2. Calculer l’espérance mathématique, la variance et l’écart-type du nombre de taxis qui traversent le carrefour pendant dix minutes.


1. Dans un premier temps, sachant que = 30 pour une heure (ou 60 minutes), il convient de déterminer , nombre moyen de taxis traversant le carrefour pour l’intervalle de 10 minutes :

Pour 10 minutes, d’après la proportionnalité, = 30 1060

= 5

La variable aléatoire X qui étudie « le nombre de taxis qui traversent le carrefour pendant un intervalle de 10 minutes » suit donc une loi de Poisson P (5).

P(X = 0) = e–5 5 0

0 ! 0,007 = 0,7 %

P(X = 3) = e–5 5 3

3 ! 0,140 = 14 %

P(X = 4) = e–5 5 4

4 ! = P(X = 3)

54

0,175 = 17,5 %

P(X = 5) = e–5 5 5

5! = P(X = 4) 5

5 0,175 = 17,5 % On remarquera que : P(X = 4) = P(X = 5)

R1211-F2/4 SÉRIE 02 71

P(X 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + ... + P(X = 5) = 0,616 = 61,6 %

2. E(X) = V(X) = = 5 taxis

(X) = 5 = 2,236 taxis

EXEMPLE 4Deux machines A et B fonctionnent indépendamment l’une de l’autre. Le nombre de pannes pour un mois donné de 30 jours suit une loi de Poisson de paramètre = 25 pour la machine A et de paramètre

= 20 pour la machine B.

Travail à faire

Calculer la probabilité que, pour un jour donné, il n’y ait pas de pannes.


La variable aléatoire étudiant « le nombre quotidien de pannes » suit une loi de Poisson de paramètre = (25 + 20) / 30 = 1,5

P(X = 0) = e–1,5 1,50

0! 0,2231 = 22,31 %

3. Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson

Une variable aléatoire suivant une loi binomiale B (n , p) peut être approchée par une loi de Poisson P ( ) si les trois conditions suivantes sont réunies : n est suffisamment grand, p est voisin de zéro, et le produit np pas trop grand.

En pratique, les conditions d’approximation sont les suivantes : Si n 30 (ou n 50) et p 0,1 et np 15 (ou np 5) alors B (n , p) peut être approchée P ( ) avec = np

L’approximation permet de simplifier les calculs.

4. Loi normale

La loi normale ou loi de Laplace-Gauss modélise les variables aléatoires qui résultent de nombreuses causes indépendantes dont les effets s’additionnent, sans que l’une soit prépondérante.

Cette loi est la plus répandue car elle traduit la complexité des phénomènes physiques et socio-économiques souvent distribués normalement.

Par ailleurs, elle permet d’approximer, sous certaines conditions, la loi binomiale et la loi de Poisson.

a. Loi normale centrée réduite

Si une variable aléatoire continue X suit une loi normale N (m , ), alors la variable

T = X m suit la loi normale centrée réduite N (0 , 1).


Ce théorème permet de limiter l’étude des lois normales à celle de la loi normale centrée réduite pour laquelle il existe une table (cf. annexe 1 en fin de série).

La variable T étant continue P(T t) = P(T < t) puisque le paragraphe 6-2 précise que P(T = t) = 0

La représentation graphique de la fonction de densité de la loi normale centrée réduite est la suivante :

f(t)

t0 1−1−2−3 2 3

Le calcul de P(T t), noté également (t), se fonde sur les propriétés suivantes : – La fonction est paire et sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. – L’aire comprise entre la courbe et l’axe des abscisses est égale à 1.

Première conséquence :

f(t)

t0 1−1−2−3 2 3

π(0)

Deuxième conséquence : (–t) = 1 – (t)

π(−t)

f(t)

t

0 1−1−2−3−4 2 3 4−t

1 − π(t)

f(t)

t

0 1−1−2−3−4 2 3 4t

b. Utilisation de la table de répartition de la loi normale centrée réduite

La table de répartition de la loi normale centrée réduite donne les valeurs de (t) pour des valeurs positives de t et pour calculer P(T t).

EXEMPLE 5Le chiffre d’affaires mensuel d’un commerce suit une loi normale de moyenne 12 000 € et d’écart-type 1 500 €.

Travail à faire

1. Calculer la probabilité que le chiffre d’affaires mensuel soit : – égal à 12 000 – inférieur à 12 000 – inférieur à 13 000 – inférieur à 10 000

(0)

(0) = 0,5

Donc si (t) < 0,5 t est négatif.

R1211-F2/4 SÉRIE 02 73

– compris entre 10 500 et 13 500 – supérieur à 10 500

2. Calculer le chiffre d’affaires mensuel qui – ne sera pas dépassé dans 95 % des cas, – sera dépassé dans 80 % des cas.


1. La variable aléatoire C exprimant le chiffre d’affaires mensuel suit une loi normale N (12 000 , 1 500).

La variable T = C 12 0001500

suit la loi normale N (0 , 1).

V P(C = 12 000) = 0

V P(C < 12 000) ou P(C 12 000) = P(T 12 000 12 0001500

) = P(T 0) = (0) = 0,5

V P(C < 13 000) ou P(C 13 000) = P(T 13 000 12 0001500

) = P(T 0,66) = (0,66) = 0,7454

V P(C < 10 000) ou P(C 10 000) = P(T 10 000 12 0001500

) = P(T –1,33) = (–1,33)

(–1,33) = 1 – (1,33) = 1 – 0,9082 = 0,0918

V P(10 500 < C < 13 500) = P( 10 500 12 0001500

T 13500 12 0001500

) = P(–1 T 1)

(1) – (–1) = (1) – [1 – (1)] = 2 (1) – 1 = 0,6826

V P(C > 10 500) = P(T > 10 500 12 0001500

) = P(T > –1) = 1 – P(T < –1) = 1 – [1 – P(T < 1)]

1 – [1 – (1)] = (1) = 0,8413

2. Le problème est inversé : il s’agit de déterminer t à partir des valeurs connues de (t).

V P(C < c) = 0,95

P(T < c 12 0001500

) = 0,95 Pour simplifier, posons : t = c 12 0001500

P(T t) = 0,95 (t) = 0,95

t ... 0,04 0,05 ...

1,6 0,9495 0,9505...

La lecture de la table indique que t est compris entre 1,64 et 1,65. Comme 0,95 est exactement au milieu de l’intervalle [0,9495 – 0,9505], on en déduit que t = 1,645.

t = 1,645 soit 1,645 = c 12 0001500

d’où : c = 14 467,5

V P(C > c) = 0,8

P(T > c 12 0001500

) = 0,8 Pour simplifier, posons : t = c 12 0001500

P(T > t) = 0,80 1 – P(T < t) = 0,8 P(T < t) = 0,2


(t) = 0,20 (remarque : t est négatif puisque 0,2 < 0,5) D’après la symétrie : (–t) = 1 – (t)

(–t) = 1 – 0,20 (–t) = 0,8

La table indique que –t est compris entre 0,84 et 0,85, mais très proche de 0,84 qui sera la valeur retenue (une interpolation linéaire donnerait : –t = 0,841).

Donc : –t = 0,841 et t = –0,841 soit –0,841 = c 12 0001500

d’où : c = 10 738,50

c. Somme et différence de variables aléatoires normales indépendantes

Si X suit une loi normale N (m1 , 1) et si Y suit une loi normale N (m2 , 2), avec X et Y indépendantes, alors :

X + Y suit une loi normale N (m1 + m2 , 12

+ 22 )

X – Y suit une loi normale N (m1 – m2 , 12

+ 22 )

Dans les deux cas, l’écart-type est la racine de la somme des variances. En effet, les variables étant indépendantes, V(X – Y) = V(X) + V(–Y) = V(1X) + V(–1Y).

Or V(aX + b) = a2V(X)

D’où : V(X – Y) = 1V(X) + (–1)2 V(Y) = V(X) + V(Y) et (X – Y) = 12

+ 22

EXEMPLE 6Le chiffre d’affaires mensuel d’un magasin A suit une loi normale N (15 000 , 2 000), et celui d’un magasin B, géographiquement éloigné et ainsi indépendant de celui du magasin A, suit une loi normale N (20 000 , 3 000).

Travail à faire

Le propriétaire de ces deux magasins désire calculer la probabilité que :

1. Le chiffre d’affaires mensuel total soit supérieur à 30 000 €.

2. La différence entre les chiffres d’affaires mensuels des deux magasins soit de plus de 6 000 €.


1. Le chiffre d’affaires mensuel total Z des deux magasins suit une loi normale :

N (15 000 + 20 000 , 20002+ 30002 ) = N (35 000 , 3 605,55).

P(Z > 30 000) = P(T > 30 000 35 0003 605,55

) = P(T > –1,38) = (1,38) = 0,9162 = 91,62 %

2. La différence D entre les chiffres d’affaires mensuels suit une loi normale :

N (20 000 – 15 000 , 20002+ 30002 ) = N (5 000, 3 605,55)

P(–6 000 < D < +6 000) = P( 6 000 5 0003 605,55

< T < 6 000 5 0003 605,55

) = P(–3,05 < T < 0,28)

(0,28) – (–3,05) = (0,28) – [1 – (3,05)] = 0,61026 – (1 – 0,99886) = 0,6091 = 60,91 %

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5. Approximations par une loi normale

D’après le théorème de la limite centrale, la loi binomiale et la loi de Poisson convergent vers la loi normale quand n est grand.

L’intérêt de ces approximations est de simplifier les calculs.

En toute rigueur, l’approximation d’une variable aléatoire discrète par une variable aléatoire continue nécessite d’effectuer une correction de continuité. Cependant, par souci de simplification, cet aspect ne sera pas abordé.

a. Approximation d’une loi binomiale par une loi normale

Une variable aléatoire suivant une loi binomiale B (n , p) peut être approchée par une loi normale si n est grand et si p est proche de 0,5 (0,3 p 0,7). En pratique, les conditions d’approximation sont les suivantes :

Si n 30 et p et q sont proches de 0,5 ou si np > 15 et nq > 15 ou si npq > 10

alors la loi B (n , p) peut être approchée une loi normale N (np , n pq ).

b. Approximation d’une loi de Poisson par une loi normale

Une variable aléatoire suivant une loi de Poisson P ( ) peut être approchée par une loi normale si est grand. En pratique, les conditions d’approximation sont les suivantes :

Si > 15

alors la loi P ( ) peut être approchée une loi normale N ( , ).

VII. EXERCICES CORRIGÉS

Exercice 1 : Coûts complets (méthode des centres d’analyse et méthode ABC)

Les dirigeants de la société A ont acquis la certitude que leur système de calcul de coûts actuellement en vigueur ne s’avère plus pertinent. C’est pourquoi ils souhaiteraient mettre en place un calcul des coûts par activités.

Organisation du processus productif : La production est organisée en juste à temps. Dans un premier temps, le centre usinage, totalement informatisé, fabrique deux produits intermédiaires PIA et PIE qui consomment unitairement :

Produit intermédiaire PIA Produit intermédiaire PIB Éléments Quantité Prix Quantité Prix

Matière première X 0,25 kg 12 € le kg 0,4 kg 12 € le kg Matière première Y 1 kg 17,6 € le kg 0,5 kg 17,6 € le kg Composants PO 1 unité 5 € / / Composants PL / / 1 unité 13 €

Main-d’œuvre directe 0,01 h 15 € 0,005 h 15 €

Autres charges directes 1 3 € 1 4 €

Centre usinage 0,15 uo à déterminer 0,2 uo à déterminer


Les produits intermédiaires ainsi obtenus transitent ensuite par le centre montage, partiellement automatisé, où il leur est adjoint une pièce spécifique en des proportions différentes pour les transformer en produits finis. Les consommations de ressources pour chacun d’eux sont les suivantes :

Produits A Produits B Éléments

Quantité Prix Quantité Prix Produit intermédiaire PIA 1 unité à déterminer / / Produit intermédiaire PIB / / 1 unité à déterminer Pièces PT 1 25 2 25 €

Main-d’œuvre directe 0,25 h 16 0,3 h 16 €

Autres charges directes / 10 / 12 €

Centre montage 0,25 uo à déterminer 0,3 uo à déterminer

La phase de production terminée, les produits finis transitent dans le centre distribution où ils subissent un contrôle qualité avant leur expédition auprès de la clientèle.

Le prix de vente du produit A est de 98 € et celui du produit B est de 163 €.

Quantités produites et vendues de la période : – produits A : 20 000 unités, – produits B : 15 000 unités.

REMARQUELes coûts des unités d’œuvre ou des inducteurs de coûts se feront avec 5 décimales.

Travail à faire

1. À l’aide de l’annexe 1 exclusivement, calculer les coûts complets et les résultats analytiques des produits A et B selon la méthode classique des centres d’analyse.

2. À l’aide des annexes 1, 2 et 3, recalculer ces coûts complets selon la méthode des coûts par activités. Que constatez-vous en terme de rentabilité des produits ?

3. Dans une note, il vous est demandé : – d’expliquer l’origine de tels écarts, – de préciser l’intérêt de la méthode des coûts par activité, pour la prise de décision en gestion.

NOTA BENEToutes les données numériques de ce dossier sont relatives à une même période.

ANNEXE 1

Tableau des charges indirectes de la période étudiée

Centres Montant

en € Nature de l’unité d’œuvre

Approvisionnement 180 000 Valeur des approvisionnements (matières, composants, pièces) Usinage 240 000 Heures machines Montage 500 000 Heures de main-d’œuvre directe Distribution 70 000 Coûts de production des produits finis Administration 160 000 Coûts de production des produits finis

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ANNEXE 2

Achats de la période étudiée et nombre de commandes

Quantités achetées Nombre de commandes Prix d’achat unitaires Matière première X 11 000 kg 8 12 € le kg Matière première Y 27 500 kg 12 17,6 € le kg Composants PO 20 000 unités 10 5 € l’unité Composants PL 15 000 unités 5 13 € l’unité Pièces PT 50 000 unités 20 25 € l’unité

Production de la période étudiée

Quantités produites Nombre de lots(1) Taille des lots Produits finis A 20 000 200 100 Produits finis B 15 000 75 200

(1) Les lots sont constitués dès la phase d’usinage.

Service maintenance (interventions sur la période étudiée) Nombre d’interventions : – Centre usinage : 25 (dont 10 pour les PIA) – Centre montage : 25 (dont 10 pour les PIA)

Activités réalisées dans les différents centres assortis de leurs coûts respectifs

Pour chaque centre ont été recensées les activités les plus pertinentes et représentatives en terme d’évolution de coûts indirects. Puis les coûts de chaque centre ont été ventilés entre les activités s’y rapportant.

Centres Coûts totaux en € Activités Coûts des activités en €

Approvisionnement 180 000 Gestion des matières 56 000 Gestion des composants 51 000 Gestion des pièces 73 000 Usinage 240 000 Réglage des machines 22 000 Planification des ordres 52 800 Lancement des fabrications 125 000 Maintenance 40 200 Montage 500 000 Montage manuel 247 500 Montage automatisé 155 000 Gestion des lots 82 500 Maintenance 15 000 Distribution 70 000 Contrôle de qualité 42 000 Expédition 28 000 Administration 160 000 Organisation générale 160 000


Détermination des inducteurs de coûts

Activités Inducteurs de coûts Gestion des matières Quantités achetées Gestion des composants Nombre de commandes Gestion des pièces Quantités achetées Réglage des machines Nombre de lots Planification des ordres Nombre de lots Lancement des fabrications Heures machines Maintenance Nombre interventions Montage manuel Heures de MOD Montage automatisé Heures machines(1)

Gestion des lots Nombre de lots Maintenance Nombre d’interventions Contrôle de qualité Temps de contrôle(2)

Expédition Nombre de lots Organisation générale Chiffre d’affaires

(1) 1 250 dont 500 pour produits A (2) 312,5 h dont 1 h par lot pour A


1.

a. Calcul du coût des unités d’œuvre

Approv. Usinage Montage Distribution Administration charges indirectes 180 000 240 000 500 000 70 000 160 000

Unités d’œuvre Valeur des approvi.

Heures machines

Heures MOD

Coûts de production des produits finis


Nombre d’unités d’œuvre 2 161 000 6 000 9 500 3 737 125 3 737 125 Coût de l’unité d’œuvre 0,08329 40,00000 52,63158 0,01873 0,04281

Justification du nombre d’unités d’œuvre :

– Valeur des approvisionnements :

Éléments Q PU Montant

Matière première X 11 000 12 132 000 Matière première Y 27 500 17,6 484 000 Composants PO 20 000 5 100 000 Composants PL 15 000 13 195 000 Pièces PT 50 000 25 1 250 000 2 161 000

– Heures machines usinage :

PIA 20 000 0,15 3 000 PIB 15 000 0,2 3 000 6 000

R1211-F2/4 SÉRIE 02 79

– Heures MOD montage :

PIA 20 000 0,25 5 000 PIB 15 000 0,30 4 500 9 500

– Coûts de production des produits finis (voir calculs suivants) : 3 737 125 = 1 822 452,20 + 1 914 672,80

b. Coûts de production des produits intermédiaires

PIA PIB

Q CU Montant Q CU Montant Matière première X 5 000 12 60 000 6 000 12 72 000 Matière première Y 20 000 17,6 352 000 7 500 17,6 132 000 Composants PO 20 000 5 100 000 0 0 Composants PL 0 0 15 000 13 195 000

approvisionnements 512 000 399 000 Main-d’œuvre directe 200 15 3 000 75 15 1 125 Autres charges directes 20 000 3 60 000 15 000 4 60 000

charges directes 575 000 460 125 Centre approvisionnement 512 000 0,08329 42 646,92 399 000 0,08329 33 234,61 Centre usinage 3 000 40 120 000 3 000 40 120 000 Coûts de production PI 20 000 36,88235 737 646,92 15 000 40,89064 613 359,61


PFA PFB

Q CU Montant Q CU Montant Pièces PT 20 000 25 500 000 30 000 25 750 000 Main-d’œuvre directe 5 000 16 80 000 4 500 16 72 000 Autres charges directes 20 000 10 200 000 15 000 12 180 000

charges directes hors PI 780 000 1 002 000 Produits intermédiaires 20 000 36,88235 737646,92 15 000 40,89064 613359,61 Centre approvisionnement 500 000 0,08329 41 647,39 750 000 0,08329 62 471,08 Centre montage 5 000 52,63158 263 157,895 4 500 52,63158 236 842,10 Coûts de production PF 20 000 91,12261 1 822 452,20 15 000 127,6449 1 914 672,80

Coûts de revient et résultats analytiques

PFA PFB

Q CU Montant Q CU Montant Coûts de production PF 20 000 91,12261 1 822 452,20 15 000 127,64485 1 914 672,80 Centre administration 1 822 452,20 0,01873 34 136,31 1 914 672,80 0,01873 35 863,70 Centre distribution 1 822 452,20 0,04281 78 025,85 1 914 672,80 0,04281 81 974,15 Coûts de revient 20 000 96,73071 1 934 614,36 15 000 135,50071 2 032 510,65 Chiffres d’affaires 20 000 98 1 960 000,00 15 000 163 2 445 000,00 Résultats analytiques 20 000 1,26928 25 385,64 15 000 27,49929 412 489,35

Résultat total = 437 875,00

Au vu des résultats analytiques, les deux produits semblent rentables selon la méthode des centres d’analyse.


Cependant, la méthode classique ne prend pas suffisamment en considération les spécificités de production des deux produits, d’où les doutes des gestionnaires et leur volonté d’appliquer la méthode à base d’activités.

2. Calcul du coût des inducteurs

Activités Inducteurs de coûts Volume Coût Gestion des matières 56 000 Quantités MP achetées(1) 38 500 1,45455 Gestion des pièces 73 000 Quantités pièces achetées(1) 50 000 1,46 Gestion des composants 51 000 Nombre de commandes(2) 15 3 400 Réglage des machines 22 000 Planification des ordres 52 800 Gestion des lots 82 500 Expédition 28 000 185 300 Nombre de lots(3) 275 673,81818 Lancement des fabrications 125 000 Heures machines usinage(4) 6 000 20,8333 Montage automatisé 155 000 Heures machines montage(5) 1 250 124 Maintenance 40 200 Maintenance 15 000 55 200 Nombre interventions(6) 25 2 208 Montage manuel 247 500 Heures de MOD(7) 9 500 26,05263 Contrôle de qualité 42 000 Temps de contrôle(8) 312,50 134,4 Organisation générale 160 000 Chiffre d’affaires 4 405 000 0,03632

(1) 11 000 + 27 500 = 38 500 pour les matières ; 20 000 + 30 000 = 50 000 pour les pièces (2) 10 + 15 = 25 (3) 200 + 75 = 275 (4) 3 000 + 3 000 = 6 000 (5) Lire annexe. 1 250 dont 500 pour A (6) Lire annexe. 25 dont 10 pour A (7) Heures de montage des PF : 5 000 + 4 500 = 9 500 (8) Lire annexe. 312,5 (dont 1 200 = 200 pour A)

Coûts de revient et résultats analytiques

PFA PFB

Q CU Montant Q CU Montant charges directes PI 575 000,00 460 125,00 charges directes PF 780 000,00 1 002 000,00

Gestion des matières 25 000 1,45455 36 363,75 13 500 1,45455 19 636,43 Gestion des pièces 20 000 1,46 29 200,00 30 000 1,46 43 800,00 Gestion des composants 10 3 400 34 000,00 5 3 400 17 000,00 Réglage des machines 200 673,818 134 763,60 75 673,818 50 536,35 Lancement fabrications 3 000 20,8333 62 499,90 3 000 20,8333 62 499,90 Montage automatisé 500 124 62 000,00 750 124 93 000,00 Maintenance 10 2 208 22 080,00 15 2 208 33 120,00 Montage manuel 5 000 26,05263 130 263,15 4 500 26,05263 117 236,84 Contrôle de qualité 200 134,4 26 880,00 112,5 134,4 15 120,00 Organisation générale 1 960 000 0,03632 71 187,20 2 445 000 0,03632 88 802,40 Coûts de revient 20 000 98,2118 1 964 237,60 15 000 133,5251 2 002 876,91 Chiffres d’affaires 20 000 98 1 960 000,00 15 000 163 2 445 000,00 Résultats analytiques 20 000 –0,21188 –4 237,60 15 000 29,47487 442 123,09

R1211-F2/4 SÉRIE 02 81

Résultat total = 437 885,49 (aux arrondis près résultat de la méthode classique)

Le produit A qui semblait rentable est déficitaire avec ce système de calcul. Cette deuxième méthode est plus pertinente compte tenu de la coexistence d’activités multiples dans chaque centre. Avec le système classique, le produit A était subventionné par le produit B.

3. L’origine des écarts entre les deux méthodes de calcul provient : – de l’effet de diversité des activités : réfutant ainsi l’hypothèse d’homogénéité du système classique

des centres d’analyse. Au sein d’un centre d’analyse, les produits consomment les ressources de plusieurs activités et dans des proportions variables ;

– de l’effet coût relatif des activités : le coût des activités diffère ; – de l’effet taille des séries : les séries sont de tailles différentes et consomment des ressources

indépendantes du volume de la série. Cela signifie qu’une part des charges est consommée indépendamment de la taille de la série (réglage des machines, contrôle de la qualité…).

Exercice 2 : Coût cible

La société A produit des montres. Chaque année, elle renouvelle environ un quart de ses produits. En effet, chaque modèle créé a une durée de vie prévue de 4 ans car la concurrence et les désirs des clients obligent à trouver de nouveaux modèles et à innover.

Une « équipe projet » est réunie avec l’appui de la direction générale autour du bureau d’études afin de travailler sur la conception d’un nouveau modèle.

Dans un premier temps, ce groupe a défini les principales fonctions et qualités attendues par les clients.

Six fonctions classées en deux grands groupes de fonctions ont été distinguées : les fonctions mécaniques, directement liées aux performances techniques de la montre, et les fonctions esthétiques, liées aux demandes plus subjectives des futurs utilisateurs.

Une étude de marché a permis de mesurer le degré d’importance des fonctions du produit mesuré par les consommateurs sur une échelle de notation de 0 à 10 :

Fonction Notation 1 Facilité de lecture 8 2 Précision 5 3 Design 10 4 Étanchéité 3 5 Durée de vie 4 6 Solidité 7

Les services techniques ont estimé les fonctions remplies par les composants. La matrice des apports des composants aux fonctions (en pourcentage de chaque fonction) est la suivante :

Fonctions Composants

1 2 3 4 5 6

C1 (Bracelet) 5 50 5 25 40 C2 (Électronique) 20 60 55 C3 (Pile) 40 C4 (Boîtier) 70 50 95 20 40 C5 20 C6 5

Total 100 100 100 100 100 100


Cette montre pourrait être lancée au début de l’année prochaine. L’étude de marché indique que les ventes prévisionnelles seraient de 200 000 unités la première année et diminueraient régulièrement de 50 000 unités les années suivantes. Le prix de vente serait de 15 € HT les deux premières années et de 12 € pour les dernières années.

La société a pour objectif un taux de profitabilité de 40 % la première année. Ce taux diminue de cinq points régulièrement les années suivantes.

Le coût de la montre estimé par le bureau des méthodes est le suivant :

Composants Coût (euros) %C1 (Bracelet) 3,0 20 % C2 (Électronique) 5,0 33,33 %C3 (Pile) 0,5 3,33 %C4 (Boîtier) 3,0 20,00 %C5 1,5 10,00 %C6 2,0 13,33 %

Total 15 € 100 %

La ventilation du coût estimé par fonction faite par le bureau des méthodes est la suivante :

Fonctions 1 2 3 4 5 6 Total En % 22 30 8 30 5 5 100 En euros 3,3 4,5 1,2 4,5 0,75 0,75 15

Travail à faire

1. Calculer le coût cible. Pour cela, calculer : le prix de vente moyen, le taux de marge moyen.

2. Calculer le pourcentage d’importance de chaque fonction selon la perception des clients, puis ventiler le coût cible par fonction.

3. Calculer le degré d’importance (en pourcentage) de chaque composant selon la perception des clients.

4. Calculer l’index des valeurs qui exprime pour chaque composant le dépassement du coût par rapport à l’utilité apportée. Pour cela, comparer le degré d’importance des composants perçu par le bureau des méthodes avec celui perçu selon les clients. Interpréter ces index.

5. Comparer le coût cible au coût estimé en faisant une ventilation par fonction. Commenter les écarts constatés et proposer quelques pistes envisageables de réduction des coûts.


1. Calcul du coût cible

Années 1 2 3 4 Total

Prix 15 15 12 12 Volume 200 000 150 000 100 000 50 000 500 000 Chiffre d’affaires 3 000 000 2 250 000 1 200 000 600 000 7 050 000 Taux de profitabilité 40 35 30 25 Marge en euros 1 200 000 787 500 360 000 150 000 2 497 500

Prix moyen 14,10 Marge moyenne (4,995 arrondie à 5) 5,00 Coût cible = Prix moyen – Marge moyenne 9,10

R1211-F2/4 SÉRIE 02 83

2. Pourcentage d’importance de chaque fonction selon la perception des clients

Fonction Notation Perception en % Coût cible par fonction 1 Facilité de lecture 8 8 / 37 = 21,62 % 9,10 21,62 % = 1,97 2 Précision 5 13,51 % 1,23 3 Design 10 27,03 % 2,46 4 Étanchéité 3 8,11 % 0,74 5 Durée de vie 4 10,81 % 0,98 6 Solidité 7 18,92 % 1,72 Total 37 100 % 9,10

3. Le degré d’importance (en pourcentage) des composants selon la perception des clients est obtenu par calcul matriciel, en faisant le produit de la matrice des apports par la matrice des pourcentages des fonctions.

5 50 5 25 40 21,62 % 25,27 %20 60 55 13,51 % 18,38 %

40 27,03 % 5,41 %70 50 95 10 40 8,11 % = 46,08 %

20 10,81 % 3,78 %5 18,92 % 1,08 %

Exemple d’interprétation : selon la perception des clients, le composant C1 devrait contribuer pour 25,27 % au coût de la montre.

4. Index des valeurs

Composants % de coût % d’importance Index des valeurs C1 (Bracelet) 20 25,27 0,79 C2 (Électronique) 33,33 18,38 1,81 C3 (Pile) 3,33 5,41 0,62 C4 (Boîtier) 20,00 46,08 0,43 C5 10,00 3,78 2,65 C6 13,33 1,08 12,34

Il convient de trouver des améliorations pour diminuer les coûts trop élevés (index supérieur à 1) ou investir pour améliorer des composants jugés utiles (index inférieur à 1).

5. Comparaison par fonction du coût estimé et du coût cible

Fonctions 1 2 3 4 5 6 Total

Coût estimé en % 22 30 8 30 5 5 100 Coût estimé € 3,3 4,5 1,2 4,5 0,75 0,75 15 Coût cible en % 21,62 13,51 27,03 8,11 10,81 18,92 100 Coût cible € 1,97 1,23 2,46 0,74 0,98 1,72 9,1 Écart % 0,38 16,49 –19,03 21,89 –5,81 –13,92 0 Écart € 1,33 3,27 –1,26 3,76 –0,23 –0,97 5,9

Le coût estimé est supérieur de 5,90 € au coût cible. Ce dépassement important (65 % du coût cible) concerne les fonctions 1, 2 et 4. Trop d’importance est accordée à ces fonctions, alors que les fonctions 3, 5 et 6 ont été sous évaluées par le bureau des méthodes.

Il convient donc de recentrer la montre sur les fonctions attendues par les consommateurs pour en réduire le coût.


L’index des valeurs montre que trop d’importance a été accordée à l’électronique, et surtout aux composants C6 et C5. Il faut donc dans un premier temps commencer par rechercher des composants plus adaptés (qualité optimale et non maximale).

Pour réduire les coûts, les pistes suivantes peuvent être étudiées : – Une renégociation des prix, l’appel à de nouveaux fournisseurs, regroupement des achats avec des

partenaires, réduction des coûts d’approvisionnement par une meilleure organisation… – Étude de la sous-traitance. – Différenciation retardée. – Ne pas oublier qu’il y aura des phénomènes d’apprentissage, le kaizen. – Etc.

Exercice 3 : Variables aléatoires

L’entreprise X est une société anonyme spécialisée dans la fabrication d’un produit A.

Afin d’élargir la clientèle existante, elle décide de faire paraître des annonces dans des revues professionnelles.

Lors d’une campagne similaire antérieure, elle a constaté que le nombre x de commandes parvenues à la suite de la parution d’une seule annonce est une variable aléatoire X dont la loi de probabilité figure dans le tableau suivant :

xi 0 1 2

P(X = xi) 0,2 0,65 0,15

Travail à faire

1. Calculer l’espérance mathématique et l’écart-type de la variable aléatoire X. Quelle est la signification de l’espérance mathématique dans ce cas précis ?

2. L’entreprise décide de faire paraître 30 annonces dans des revues professionnelles. Les commandes consécutives à la parution dans les différentes revues sont indépendantes. Si Y est la variable aléatoire représentant le nombre de commandes reçues à la suite de la parution des 30 annonces ; quels sont alors l’espérance mathématique et l’écart-type de Y ? Indiquer les propriétés sur lesquelles la réponse est fondée. La marge sur coûts variables étant de 5 000 € par produit vendu, calculer l’espérance mathématique et l’écart-type de la marge sur coûts variables pour 30 annonces.

3. Soit Z la variable aléatoire représentant le nombre d’annonces dont la parution ne provoque aucune commande. a. Quelle est la loi de probabilité suivie par Z lorsque l’entreprise passe 30 annonces ? b. Calculer l’espérance mathématique et l’écart-type de Z. c. On décide d’approcher Z par une loi normale. Déterminer un intervalle [a , b] centré autour de l’espérance mathématique de Z tel que :

P(a < Z < b) = 0,95


1. E(X) = (0,2 0) + (0,65 1) + (0,15 2) = 0,95 V(X) = (0,2 02) + (0,65 12) + (0,15 22) – 0,952 = 0,3475

(X) = 0,3475 = 0,58949

L’espérance signifie que pour une annonce passée, l’entreprise obtient moins d’une commande supplémentaire (0,95).

R1211-F2/4 SÉRIE 02 85

2. E(Y) = E(X1 + X2 + ... + X30) = 30E(X) = 30 0,95 = 28,5

V(Y) = V(X1 + X2 + ... + X30). Les variables étant indépendantes : V(Y) = V(X1) + ... + V(X30) = 30V(X) = 30 0,3475= 10,425

(Y) = 10,425 = 3,2287 E(Marge) = E(5 000 Y) = 5 000 E(Y) = 142 500 €V(Marge) = V(5 000 Y) = 5 0002 V(Y) = 260 625 000 €

(Marge) = 260 625 000 = 16 143,88 €

3. Pour une annonce, la probabilité p de ne pas obtenir de commande est 0,2.

a. Z est la répétition de 30 variables de Bernoulli indépendantes. Z suit donc une loi binomiale B (30 ; 0,2).

b. E(Z) = 30 0,2 = 6 V(Z) = 30 0,2 0,8 = 4,8

(Z) = 4,8 = 2,19

c. D’après le texte, l’approximation possible de Z est : N (6 ; 2,19). P(a < Z < b) = 0,95 avec a = 6 – k et b = 6 + k

P(6 – k < Z < 6 + k) = P( (6 k) 62,19

< T < (6 + k) 62,19

) = 0,95 Posons : t = k2,19

P(–t < T < t) = 0,95 (t) – (–t) = 0,95

2 (t) – 1 = 0,95 (t) = 0,975 D’où t = 1,96 et k = 2,19 1,96 = 4,2924

a = 6 – 4,2924 = 1,71 et b = 10,29


Une entreprise fabrique et commercialise des produits de consommation courante en très grand nombre.

Il y a une probabilité constante égale à 0,1 qu’un article choisi au hasard dans la production ne satisfasse pas aux normes imposées.

Travail à faire

1. On prélève au hasard 10 articles. Calculer la probabilité qu’il y ait au moins un article non conforme parmi ces 10 articles.

2. On prélève au hasard 50 articles. Soit X le nombre d’articles non conformes parmi ces 50 articles. – Indiquer la loi suivie par X. – Montrer que cette loi peut être approchée par une autre loi que l’on précisera. – À l’aide de cette loi, calculer la probabilité qu’il y ait au moins 5 articles non conformes parmi ces

50 articles.

3.a. On prélève au hasard 500 articles. Soit X le nombre d’articles non conformes parmi ces 500 articles. – Indiquer la loi suivie par X. – Montrer que cette loi peut être approchée par une autre loi que l’on précisera. – À l’aide de cette loi, calculer la probabilité qu’il y ait au moins 50 articles non conformes parmi ces

500 articles.


b. Le coût de revient d’un article est de 20 € et le prix de vente de 30 €, pour l’hypothèse de fabrication envisagée. Le client décide de ne pas régler les articles non conformes. – Exprimer le bénéfice en fonction de X pour une commande de 500 articles. – Calculer l’espérance et l’écart-type de son bénéfice.


1. Il s’agit d’une loi binomiale B (10 ; 0,1).

P(X 1) = P(X = 1) + P(X = 2) + ... + P(X = 10) = 1 – P(X = 0)

P(X = 0) = C100 0,10 0,910 = 0,3487

D’où : P(X 1) = 1 – 0,651 = 0,6513

2. Il s’agit d’une loi binomiale B (50 ; 0,1).

Les conditions d’approximation par une loi de Poisson sont réunies : n 50, p 0,1 et np 5. La loi d’approximation est donc la loi de Poisson P(50 0,1) = P(5). P(X 5) = 1 – P(X 4) = P(X = 0) + ... + P(X = 4) = 0,56

3.

a. Il s’agit d’une loi binomiale B (500 ; 0,1), qui peut être approchée par une loi normale N (500

0,1 ; 500 0,1 0,9 ), soit N (50 ; 6,708). P(X 50) = P(T 0) = 1 – P(T 0) = 0,50

b. Soit X le nombre d’articles non conformes. Chiffre d’affaires des articles conformes : 30(500 – X) Coût de revient de tous les articles produits : 20 500 Bénéfice : 30 (500 – X) – 20 500 = 5 000 – 30 X E(Bénéfice) : E(5 000 – 30 X) = 5 000 – 30 E(X) = 5 000 – 30 50 = 3 500 V(Bénéfice) : V(5 000 – 30 X) = (–30)2 V(X) = 40 500

(Bénéfice) : 40 500 = 201,246


Une entreprise de vente par correspondance décide une campagne de promotion. Elle envoie 10 000 lettres à des clients potentiels, leur proposant l’envoi gratuit de son catalogue s’ils lui retournent un coupon-réponse inclus dans la lettre.

L’expérience a montré que, dans ce genre de campagne promotionnelle, sur 100 personnes atteintes, 15, en moyenne, demandent l’envoi du catalogue gratuit. On peut par ailleurs considérer que les réponses des personnes contactées sont indépendantes les unes des autres.

Les coûts d’une telle campagne sont les suivants : – chaque lettre envoyée coûte 1 €,– chaque catalogue expédié gratuitement coûte 5 €,– les autres coûts peuvent être évalués globalement à 8 000 €.

R1211-F2/4 SÉRIE 02 87

Travail à faire

1. On considère que le nombre de demandes de catalogues gratuits reçues par l’entreprise est une variable aléatoire X et le coût total de la campagne promotionnelle une variable aléatoire Y. a. Déterminer la loi de probabilité suivie par X. Justifier. b. Calculer l’espérance mathématique et l’écart-type de X. c. Indiquer pourquoi la loi suivie par X peut être approchée par une loi normale. Préciser ses paramètres. d. Calculer, selon cette dernière loi, la probabilité que X soit supérieure à 1 450. e. Déterminer, selon la même loi, la valeur de X qui a la probabilité 0,80 d’être dépassée.

2. a. Exprimer Y en fonction de X. b. Calculer l’espérance mathématique et l’écart-type de Y. c. Si l’on admet que X suit une loi normale, déterminer la loi de probabilité de Y. Justifier. d. Donner la signification concrète de l’espérance mathématique de Y.

3. La probabilité que le coût de la campagne soit compris entre 25 000 € et 26 000 € est-elle supérieure à 0,95 ?

L’entreprise a élaboré une statistique du nombre d’achats zi effectués dans l’année suivant la réception du catalogue par 200 de ses clients :

Nombre d’achats zi 0 1 2 3 4 5 6 7 Nombre de clients ni 28 53 53 37 18 8 3 0

4. Calculer la moyenne, l’écart-type et la variance de Z.

5. On considère que le nombre d’achats réalisés dans l’année par un client détenteur du catalogue est une variable aléatoire Z dont on cherche à déterminer la loi de probabilité. Compte tenu des résultats de la question précédente, indiquer pourquoi on peut envisager que Z suit une loi de Poisson.


1.

a. Chaque lettre envoyée génère l’alternative : retour du coupon avec la probabilité p = 0,15 et non-retour du coupon avec la probabilité q = 1 – 0,15 = 0,85. Les réponses sont 10 000 épreuves de Bernoulli indépendantes. La loi de X est donc une loi binomiale B (10 000 ; 0,15).

b. E(X) = 10 000 0,15 = 1 500 demandes.

(X) = 10 000 0,15 0,85 = 35,707 35,71 demandes.

c. Les conditions sont largement réunies : n est grand et par ailleurs np >15 et nq > 15. Il est donc possible d’approcher la loi binomiale B (10 000 ; 0,15) par la loi normale N (1 500 ; 35,71).

d. P(X > 1 450) = 1 – P(X 1 450) = 1 – P(T 1 450 150035,71

) = 1 – (–1,4) = 1 – 0,0808 = 0,9192

e. La valeur V recherchée est telle que : P(X > V) = 0,8 1 – P(X < V) = 0,8

P(T V 150035,71

) = 0,2 posons t = V 150035,71


(t) = 0,2 (–t) = 1 – (t) = 0,8 soit –t 0,84 et t = –0,84

Donc : V 150035,71

= –0,84 d’où V 1 470 demandes.

2.

a. Y = Coût d’envoi des 10 000 lettres + Coût d’envoi des catalogues gratuits + Coûts fixes Y = (10 000 1) + (5 X) + 8 000 = 5X + 18 000

b. E(Y) = E(5X + 18 000) = 5E(X) + 18 000 = 5 1 500 + 18 000 = 25 500 €(Y) = (5X + 18 000) = 5 (X) = 5 35,71 = 178,55 €

c. Si X suit une loi normale, alors Y = aX + b suit une loi normale. Y suit la N (25 500 ; 178,55).

d. E(Y) = 25 500 € est le coût moyen de la campagne.

3. P(25 000 < Y < 26 000) = P( 25 000 255 00178,55

< T < 26000 255 00178,55

) = P(–2,80 < T < 2,8) = 0,9948

La probabilité que le coût soit compris entre 25 000 et 26 000 € est supérieure à 95 %.

4. La calculatrice donne : E(Z) = 2 achats (Z) = 1,4036688 V(Z) = 1,40366882 = 1,97

5. Z est une variable aléatoire discrète dont l’espérance et la variance sont très proches. On peut donc penser que Z suit une loi de Poisson P(2).

Exercice 6 : Coûts spécifiques

Une entreprise fabrique des produits X et des produits Y et les écoule dans deux régions différentes.

Une étude prévisionnelle laisse espérer la vente de 80 000 X et 15 000 Y dans la région 1 ; 20 000 X et 10 000 Y dans la région 2.

Les coûts prévisionnels sont calculés pour la fabrication et la vente de 100 000 X et 25 000 Y.

Charges de production prévisionnelles

X Y Charges variables 50 € par unité 80 € par unité Charges fixes directes 1 000 000 € 500 000 €Charges fixes indirectes 200 000 €

Charges de distribution prévisionnelles

Région 1 Région 2 Charges variables 5 % du chiffre d’affaires 5 % du chiffre d’affaires Charges fixes directes 2 000 000 € 1 200 000 €Charges fixes indirectes 100 000 €

Frais généraux : 500 000 €

Prix de vente pratiqués

Les produits sont vendus au même prix quelle que soit la région :

X : 100 € Y : 140 €

R1211-F2/4 SÉRIE 02 89

Travail à faire

Le P-DG se demande s’il doit continuer à vendre dans les deux régions.

1. Calculer la marge sur coût spécifique pour chaque région et le résultat prévisionnel.

2. Aider le P-DG à prendre une décision.

3. Vérifier en calculant le résultat qu’obtiendrait l’entreprise en abandonnant les ventes dans la région 2.

Élément de réponse

1. Aide à la prise d’une décision

Coût de production de X et Y

X (100 000) Y (25 000) Charges variables 50 € 100 000 5 000 000 80 € 25 000 2 000 000 Charges fixes directes 1 000 000 500 000 Coût spécifique 6 000 000 2 500 000 Coût spécifique unitaire 60 € 100 €

Coût de revient spécifique et marge sur coût spécifique par région

Les frais fixes « directs » de production sont indirects si on raisonne par région car le fait d’arrêter de vendre dans une région oblige néanmoins à continuer à fabriquer les deux produits. Il faut donc partir du coût variable de production des produits vendus.

Région 1 Région 2 Coût de production variable X : 50 80 000 4 000 000 X : 50 20 000 1 000 000

Y : 80 15 000 1 200 000 Y : 80 10 000 800 000 Charges variables de distribution (1) X : 5 80 000 400 000 X : 5 20 000 100 000

Y : 7 15 000 105 000 Y : 7 10 000 70 000 Charges fixes directes de distribution 2 000 000 1 200 000 Coût de revient spécifique 7 705 000 3 170 000 Chiffre d’affaires X : 100 80 000 X : 100 20 000

Y : 140 15 000 10 100 000

Y : 140 10 0003 400 000

Marge sur coût spécifique 2 395 000 230 000 1. Pour X : 100 5 % = 5 €. Pour Y : 140 5 % = 7 €.

Résultat prévisionnel

Marge globale sur société unipersonnelle : 2 395 000 + 230 000 2 625 000 Charges fixes indirectes 2 300 000 – Charges de production : 1 000 000 + 500 000 + 200 000 1 700 000 – Charges de distribution 100 000 – Frais généraux 500 000

Résultat prévisionnel 325 000

2. Décision à prendre

Il vaut mieux continuer à vendre dans les deux régions. Si, par exemple, on abandonne la région 2, le résultat risque de diminuer de 230 000 €, c’est-à-dire de la marge sur coût spécifique que l’on peut réaliser dans la région 2.


3. Vérification

Si on abandonne la région 2, on n’aura plus besoin de fabriquer que 80 000 X et 15 000 Y.

Coût de production de X et Y

X (80 000) Y (15 000) Charges variables 50 80 000 4 000 000 80 15 000 1 200 000 Charges fixes directes 1 000 500 000 Coût spécifique 5 000 000 1 700 000 Coût spécifique unitaire (1) 62,50 € 113,33 €1. On remarquera la dégradation des coûts spécifiques unitaires du fait de la baisse d’activité

Coût de revient et résultat

Région 1 Coût de production variable X : 50 80 000 4 000 000

Y : 80 15 000 1 200 000 Charges variables de distribution X : 5 80 000 400 000

Y : 7 15 000 105 000 Charges fixes directes de distribution 2 000 000

Coût de revient spécifique 7 705 000

Chiffre d’affaires X : 100 80 000 Y : 140 15 000

10 100 000

Marge sur coût spécifique (1) 2 395 000 Charges fixes indirectes (2) 2 300 000 – Charges de production : 1 000 000 + 500 000 + 200 000 1 700 000 – Charges de distribution 100 000 – Frais généraux 500 000 Résultat (3) 95 000 1. On retrouve la même valeur qu’à la 1re question. 2. À proprement parler toutes les charges directes si on analyse par région, puisqu’il n’y a plus qu’une région. 3. Le résultat a bien baissé de 230 000 €, par rapport au calcul effectué à la 1re question.

Exercice 7 : Seuil de rentabilité

La société REDUK fabrique un produit vendu au prix unitaire de 10 € et incorporant en charges directes variables 5 € de main-d’œuvre et 1 kilo de matière première M. Cette matière est achetée 4 000 € la tonne pour des quantités mensuelles totales inférieures ou égales à 10 tonnes. Au-delà de 10 tonnes, le fournisseur accorde sur les quantités supplémentaires une réduction de 10 %. Ainsi, si REDUK commande 20 tonnes par mois, il lui est facturé (10 4 000) + (10 4 000 0,9) soit 76 000 €, ce qui représente un coût unitaire moyen de 3 800 € à la tonne. Par ailleurs, les frais fixes mensuels sont de 38 000 €.

Travail à faire

Calculer le seuil de rentabilité mensuel exprimé en nombre de produits. Donner une représentation graphique.

R1211-F2/4 SÉRIE 02 91


Les 10 premières tonnes de matière M achetées 4 000 € la tonne permettent de fabriquer 10 000 produits rapportant une marge sur coûts variables unitaires de : 10 – (5 + 4) = 1 € et une marge globale de : 10 000 1 = 10 000 €.

Au-delà, la marge unitaire passe à : 10 – (5 + 3,6) = 1,4

Pour couvrir les charges fixes qui sont au total de 38 000 €, il faut un supplément de marge de :

38 000 – 10 000 = 28 000 € soit un supplément d’activité de : 28 0001,4

= 20 000 produits

Le seuil de rentabilité SR est donc : 10 000 + 20 000 = 30 000 produits

Autre raisonnement

On pose : Marge totale = Frais fixes

Soit (10 000 1) + [(SR – 10 000) 1,4] = 38 000

d’où : SR =38 000 10 000

1,4+10 000 = 20 000 +10 000 = 30 000

Représentation graphique

Frais fixes = 38 000

= SR

Marge / CV

10 000

10 000 20 000 30 000 40 000

20 000

30 000

40 000

Euros

Nombre de produits

Exercice 8 : Coûts complets – Coûts partiels – Seuil de rentabilité – Élasticité

La société Télé-Ménager-Services-Express est une filiale d’un groupe de la grande distribution, spécialisée dans le dépannage des appareils de cuisine, des récepteurs de télévision, hi-fi, etc. TMSE a été créée en mars N et pour le premier mois le chiffre d’affaires avait été de 170 000 €, avec une perte d’exploitation évaluée à 48 000 €.

On distingue trois modalités d’intervention : – Les dépannages au siège : les clients apportent directement leurs appareils à l’atelier pour

réparation. Il n’y a pas alors de frais de déplacement. – Les dépannages à domicile : sur appel téléphonique, un technicien se déplace chez le client dans

la journée, effectue un diagnostic rapide, et procède à l’intervention sur place si celle-ci est simple (changement d’un fusible par exemple).


– Les « enlèvements » : si la panne est plus compliquée, le technicien, qui ne dispose évidemment pas dans sa camionnette de toutes les pièces de rechange nécessaires, procède à un enlèvement de l’appareil et le dépose à l’atelier pour réparation. Après celle-ci, l’appareil sera ramené chez le client (ce qui occasionne donc deux « déplacements » pour une intervention).

TMSE axe sa publicité sur le service, dans le cadre d’une stratégie de différenciation. Sans fonctionner 24 heures sur 24, la société se déplace de 7 à 23 heures, et dispose à cet effet d’un standard téléphonique fonctionnant en « 2 8 ».

Du point de vue comptable, TMSE a défini 3 centres d’analyse permettant de traiter ses charges indirectes selon la méthode du « direct costing évolué », c’est-à-dire en imputant les charges indirectes variables sur la base d’un coût variable de l’unité d’œuvre : – Centre Administration qui gère la promotion commerciale, l’administration générale et financière,

la comptabilité. L’activité de facturation, notamment, génère des charges variables proportionnelles au nombre de factures émises, donc au nombre d’interventions ou de réparations (on notera que les dépannages à domicile sont également facturés par ce centre, les techniciens n’effectuant aucun encaissement).

– Centre Transports qui gère le parc de camionnettes utilisées par les techniciens lors de leurs déplacements à domicile. Ce centre génère notamment des charges variables proportionnelles au nombre de déplacements (carburants par exemple). On fait l’hypothèse simplificatrice d’un kilométrage moyen égal pour tous les déplacements.

– Centre Atelier qui gère les achats de pièces et les réparations au siège. Ce centre génère notamment des charges variables proportionnelles au nombre d’heures de travail des techniciens directement occupés à effectuer les réparations.

Pour la période correspondant au mois d’avril N, on dispose des données suivantes :

a. Les techniciens ont effectué 400 dépannages à domicile et procédé à 200 enlèvements. L’atelier a effectué en tout 2 000 réparations.

b. Le chiffre d’affaires réalisé est le suivant : – dépannages directs au siège : 144 000 €,– dépannages à domicile : 30 400 €,– dépannages au siège à la suite d’un enlèvement : 36 000 €.

c. Les charges de personnel se décomposent ainsi : – charges indirectes : 43 000 € :

W centre Administration : 14 000, dont 2 000 de variables, W centre Transport : 13 000, dont 7 000 de variables, W centre Atelier : 16 000, dont 12 000 de variables ;

– charges directes variables (main-d’œuvre des techniciens se rendant à domicile) : 9 600 € pour les dépannages à domicile et 4 800 € pour l’activité « enlèvement » ;

– charges directes fixes 12 000 € (il s’agit des frais de fonctionnement du standard téléphonique ; la société considère que ces charges sont spécifiques à l’activité « dépannage à domicile », pour laquelle le système a été mis en place).

d. Les achats de pièces de rechange s’élèvent à 132 000 €. Ces achats concernent les dépannages à domicile pour 8 000 € et les réparations à l’atelier pour 124 000 €, dont 16 000 € pour les interventions suite à un enlèvement. Il n’y a pas de variations de stock de pièces.

e. Les services extérieurs s’élèvent à 28 160 € : – 10 160 pour l’Administration (dont 4 000 de fixes) ; – 8 000 pour le Transport (dont 3 000 de fixes) ; – 10 000 pour l’Atelier (dont 5 000 de fixes).

R1211-F2/4 SÉRIE 02 93

f. Les dotations aux amortissements, considérées comme des charges indirectes fixes, s’élèvent à 19 000 €, dont 3 000 pour le centre Administration et 9 000 pour le centre Transport. Le reste concerne l’Atelier.

g. Dans l’atelier, les heures de travail productives imputables aux réparations s’élèvent à 4 000 €, dont 400 pour les réparations suite à enlèvement.

Travail à faire

1. Calculer le nombre de déplacements et le nombre de factures émises pour avril N.

2. Établir le tableau de répartition des charges indirectes et de calcul des coûts variables des unités d’œuvre pour avril N. (Chaque centre d’analyse doit donner lieu à une colonne dédoublée permettant de séparer les charges indirectes fixes des charges indirectes variables.)

3. Établir le compte de résultat de la comptabilité financière pour avril N.

4. Procéder à l’analyse des résultats d’avril N en utilisant le direct costing évolué. On établira un tableau présentant en colonnes les 3 activités de la société, et faisant apparaître successivement la marge sur coûts variables, le taux de marge par rapport au chiffre d’affaires, la contribution (ou marge sur coûts spécifiques, après déduction des charges fixes directes spécifiques) et le résultat net.

5. Calculer le seuil de rentabilité mensuel, en euros (on fera l’hypothèse d’une stabilité de la répartition du chiffre d’affaires par activités). Donner une représentation graphique. Calculer la marge de sécurité.

6. Commenter les résultats obtenus dans les questions précédentes.

7. La direction envisage d’allouer un budget mensuel de publicité dans la presse régionale de 10 000 €, dont l’effet serait de doubler le nombre de dépannages à domicile (et donc, indirectement, les enlèvements), et d’augmenter les réparations en direct au siège de 40 %. Cette initiative vous semble-t-elle intéressante ? Quel serait, dans ces conditions, le résultat mensuel ?

8. Le secteur de la réparation étant très concurrentiel, l’élasticité du volume des ventes par rapport au prix est très élevée et a été évaluée à –3. La société envisage donc de baisser ses prix de 10 %. Cette stratégie vous semble-t-elle profitable ? Commenter dans une optique stratégique.


1.

a. Nombre de déplacements – Chaque « enlèvement » occasionne in fine 2 déplacements, d’où un nombre total de déplacements

dus aux enlèvements égal à : 200 2 = 400 – Le nombre total de déplacements est donc : 400 + (200 2) = 800 (400 correspondant aux

dépannages à domicile plus 200 2 correspondant aux enlèvements.)

b. Nombre de factures émises – L’atelier effectue 2 000 interventions dont 200 suite à enlèvement ; il y a donc 1 800 réparations

« directes siège ». – On émet donc en tout : 1 800 + 200 + 400 = 2 400 factures


2.

Tableau de répartition des charges indirectes et de calcul des coûts variables des unités d’œuvre

Administration Transport Atelier Éléments Total

Fixes Variables Fixes Variables Fixes Variables Charges de personnel 43 000 12 000 2 000 6 000 7 000 4 000 12 000 Services extérieurs 28 160 4 000 6 160 3 000 5 000 5 000 5 000 Dotations aux amortissements 19 000 3 000 – 9 000 – 7 000 – Totaux 90 160 19 000 8 160 18 000 12 000 16 000 17 000 Nature de l’unité d’œuvre facture déplacement heure de

travail Nombre d’unités d’œuvre 2 400 800 4 000 Coût variable de l’unité d’œuvre 3,4 € 15 € 4,25 €

3.

Compte de résultat de la comptabilité financière

DÉBIT CRÉDIT Achats pièces détachées 132 000 Prestations de services (2) 210 400 Services extérieurs 28 160 Résultat (perte) 38 160 Charges de personnel (1) 69 400 Dotations aux amortissements 19 000 248 560 248 560

(1) 69 400 = 43 000 + 9 600 + 4 800 + 12 000 (2) 210 400 = 144 000 + 30 400 + 36 000

4.

Tableau d’analyse des résultats dans l’optique coûts partiels

Éléments Totaux Dépannages directs au siège Dépannages à domicile Enlèvements

Chiffre d’affaires 210 400 144 000 30 400 36 000 Charges variables : 132 000 108 000 8 000 16 000 – Pièces de rechange – Déplacements

techniciens 14 400 – 9 600 4 800 – Imputation des charges

indirectes variables : • administratives 8 160 1 800 3,4 = 6 120 400 3,4 = 1 360 200 3,4 = 680 • de transport 12 000 – 400 15 = 6 000 200 2 15 = 6 000 • d’atelier 17 000 3 600 4,25 = 15 300 – 400 4,25 = 1 700

(–) Total charges variables 183 560 129 420 24 960 29 180 = Marges sur coûts variables 26 840 +14 580 +5 440 +6 820 Taux de marge 12,76 % 10,12 % 17,89 % 18,94 % (–) Charges fixes spécifiques 12 000 – 12 000 – = Contributions par activités 14 840 +14 580 (–) 6 560 +6 820 (–) Charges fixes indirectes 53 000 = RÉSULTAT NET –38 160

R1211-F2/4 SÉRIE 02 95

5.

Seuil de rentabilité SR :

Frais fixes = 65 000

(53 000 + 12 000)

Marge

SRCA = 210 400

Déficitde

38 160

26 840

65 000

SR210 400

=65 00026 840

d’où : SR = 210 400 65 00026 840

509 538 (aux arrondis près)

La marge de sécurité est négative : 210 400 – 509 538 = –299 138

6.

– On peut tout d’abord critiquer l’affectation des 12 000 € de fonctionnement du standard à la seule activité « dépannage à domicile », imposée par l’énoncé : en effet, le standard profite également à l’activité enlèvement.

– Ceci veut dire qu’il ne faut pas tirer de conclusions de la contribution négative des dépannages à domicile. Le point important est que toutes les marges sur coûts variables sont positives. Toutes les activités sont donc intrinsèquement profitables et doivent être développées.

– Certes, le déficit est important et l’entreprise est très loin de son seuil de rentabilité ; mais il s’agit d’une entreprise en phase de démarrage et il est tout à fait logique d’attendre la fin d’une période de « montée en puissance » pour atteindre un « régime de croisière » profitable. Il n’est pas rare de devoir attendre 2 ou 3 exercices annuels pour atteindre le seuil de rentabilité.

Ici, l’erreur serait de conclure hâtivement à la nécessité de réduire les frais fixes, par exemple.

7.

– On doit calculer l’accroissement de marge M et le comparer à l’accroissement des frais fixes FF que représente le budget de publicité :

M = (14 580 0,4) + 5 440 + 6 820 = 5 832 + 5 440 + 6 820 = 18 092

(On utilise l’hypothèse de proportionnalité de la marge par rapport à l’activité.)

Comme M > FF 18 092 > 10 000

On peut en conclure que le projet est intéressant.

– La variation du résultat R serait : R = M – FF = 18 092 – 10 000 = 8 092 et le résultat prévisionnel mensuel serait : Rp = R + R = – 38 160 + 8 092 = –30 068


On peut évidemment remarquer que cette mesure, intéressante en soi, est insuffisante pour atteindre le seuil de rentabilité. Il faudrait certainement envisager une politique commerciale plus active pour que la « montée en puissance » évoquée plus haut s’effectue plus rapidement.

8

– Une élasticité de –3 peut être interprétée de la façon suivante : une baisse des prix de 10 % entraîne une augmentation du volume des ventes de 30 %.

– On peut calculer la variation du chiffre d’affaires CA et la comparer à la variation des charges variables FV (les charges fixes étant inchangées).

CA = [(210 400 1,3 0,9) – 210 400]

effet volume effet prix CA = 246 168 – 210 400 = 35 768

– Par ailleurs : FV = 183 560 0,3 = 55 068 – Donc : R = CA – FV = 35 768 – 55 068 = –19 300

Cette variation étant négative, la politique envisagée n’est pas intéressante.

Le secteur étant concurrentiel, les marges sont faibles et toute réduction de prix ne s’accompagnant pas de baisse des coûts (gains de productivité par exemple) est suicidaire. Il vaut mieux persévérer dans la stratégie de différenciation par le service.

Exercice 9 : Concordance entre le résultat par coûts partiels et le résultat en coûts complets - Risque

A. La société GLATEX est l’un des spécialistes européens des tissus techniques à base de fibre de verre utilisées dans l’industrie du bâtiment.

Le service approvisionnement achète la fibre de verre à la tonne et en gère le stockage. Au début du mois N, le stock de fibre de verre était de 60 tonnes valorisées au coût d’achat complet moyen pondéré unitaire de 1 150 euros la tonne, incluant une partie variable de 1 060 euros. On néglige les variations de stock des autres composants entrant dans la composition des produits finis. Les charges indirectes d’approvisionnement sont imputées en fonction du tonnage sur l’ensemble des matières achetées, fibre de verre et autres composants.

Le service fabrication est un atelier très automatisé qui produit et conditionne le tissu en bobines disponibles en deux largeurs : standard (S) et extra-large (XL). Les charges indirectes de fabrication sont imputées au coût de production en fonction du temps de fonctionnement de la chaîne intégrée de production. L’atelier travaille selon le principe de deux équipes journalières. Il n’y a pas de stock initial de bobines au début du mois N.

Le service distribution prend en charge la commercialisation des produits sur le marché européen. Les charges indirectes correspondantes sont imputées proportionnellement au chiffre d’affaires hors taxes exprimé en euros.

Le service administration est en charge des problèmes comptables, juridiques et financiers. Il est considéré comme un centre auxiliaire qui refacture une partie de ses charges à chacun des trois autres services, proportionnellement aux coefficients suivants : – approvisionnement............................. 1 – fabrication........................................... 4 – distribution ......................................... 3

R1211-F2/4 SÉRIE 02 97

B. L’analyse des comptes de gestion pour la période correspondant au mois N donne les renseignements suivants : – Achats

W 340 tonnes de fibre de verre à 900 € la tonne ; W 200 tonnes d’autres composants pour un montant total de 80 000 €.

– Services extérieurs : au total 278 400 €, qui se répartissent ainsi : W administration : 25 000 € (fixes) ; W approvisionnement : 98 400 €, dont 12 000 fixes ; W fabrication : 56 000 €, dont 15 000 fixes ; W distribution : 99 000 €, dont 22 000 fixes.

– Charges de personnel : au total 398 500 € ; W administration : 43 000 € (fixes) ; W approvisionnement : 15 000 € (fixes) ; W fabrication : 243 500 €, dont 190 000 fixes ; W distribution : 97 000 €, dont 72 000 fixes.

– Dotations aux amortissements : au total 157 000 €, fixes, qui se répartissent ainsi : W administration : 12 000 € ; W approvisionnement : 17 000 € ; W fabrication : 70 000 € ; W distribution : 58 000 €.

– VentesW 1 500 bobines S à 400 € l’unité ; W 800 bobines XL à 500 € l’unité.

C. Pendant le mois N, l’atelier de fabrication a produit 2 000 bobines S et 800 bobines XL. On dispose des renseignements suivants concernant l’activité :

Production de : S XL Consommation de fibre de verre en tonnes 210 120 Consommation d’autres composants en tonnes 140 60 Temps d’utilisation de la chaîne en heures 85 65

Il n’y a pas de différences d’inventaire sur le stock de fibre de verre.

On dispose des statistiques de vente en volume des bobines S au cours des 12 derniers mois :

Mois Quantités vendues Q Mois Quantités vendues Q M1 1 640 M7 2 300 M2 2 000 M8 1 800 M3 1 800 M9 2 100 M4 2 000 M10 2 040 M5 2 080 M11 2 100 M6 2 200 M12 1 700

La comptabilité analytique utilise les principes du direct costing pour calculer des marges sur coûts variables, pour les besoins de la gestion prévisionnelle, mais également, après imputation des charges indirectes fixes, des coûts complets pour être en mesure de valoriser ses stocks.


Travail à faire

Tous les calculs demandés concernent le mois N.

1. Établir le tableau de répartition des charges indirectes, en distinguant la partie fixe et la partie variable du coût de l’unité d’œuvre.

2. Calculer, dans un tableau, les coûts d’achat globaux et unitaires, en distinguant la partie fixe et la partie variable.

3. Établir le compte de stock de fibres de verre qui fonctionne en coût complet. Calculer la partie fixe du coût unitaire complet moyen pondéré qui servira à valoriser le stock final.

4. Calculer, dans un tableau, les coûts de production globaux et unitaires des bobines S et XL, en distinguant la partie fixe et la partie variable.

5. Calculer, dans un tableau, les coûts de revient globaux et unitaires des produits vendus, en distinguant la partie fixe et la partie variable, ainsi que les résultats analytiques. Commenter ces résultats.

6. Établir le compte de résultat de la comptabilité financière.

7. Calculer les corrections à apporter aux charges fixes de la période du fait de l’existence de variations de stocks, dans l’optique du calcul du résultat de la période dans le cadre de la méthode du direct costing.

8. Calculer les marges sur coûts variables et retrouver le résultat de la période dans l’optique direct costing. Commenter.

9. On suppose que la société GLATEX est assurée de vendre 800 bobines XL. Calculer dans ces conditions le seuil de rentabilité exprimé en nombre de bobines S.

10. Calculer la probabilité d’atteindre ce seuil de rentabilité et commenter.


1. Tableau de répartition

Approvisionnement Fabrication Distribution Éléments Totaux Adm.

Fixes Variables Fixes Variables Fixes Variables Services extérieurs 278 400 25 000 12 000 86 400 15 000 41 000 22 000 77 000 Charges de personnel 398 500 43 000 15 000 – 190 000 53 500 72 000 25 000 Dotations 157 000 12 000 17 000 – 70 000 – 58 000 –

Répartition primaire 833 900 80 000 44 000 86 400 275 000 94 500 152 000 102 000

Répartition secondaire –80 000 10 000 40 000 – 30 000

Totaux 833 900 0 54 000 86 400 315 000 94 500 182 000 102 000 Unité d’œuvre Tonne Heure Euro de CA Nombre 540 150 1 000 000

Coûts unitaires fixes et variables

100 160 2 100 630 0,182 0,102

Coûts unitaires totaux 260 par tonne 2 730 par heure 0,284 par euro de CA

R1211-F2/4 SÉRIE 02 99

2. Calcul des coûts d’achat

Éléments Total Fibre de verre (340 tonnes)

Autres composants (200 tonnes)

Prix d’achat 386 000 340 900 = 306 000 200 pour 80 000 Charges indirectes VARIABLES 86 400 340 160 = 54 400 200 160 = 32 000

Coût variable d’achat global 472 400 360 400 112 000 Coût variable d’achat unitaire 1 060 560 Charges indirectes FIXES 54 000 340 100 = 34 000 200 100 = 20 000

Coût d’achat complet global 394 400 132 000 Coût d’achat complet unitaire 1 060 + 100 = 1 160 560 + 100 = 660

3. Stock de fibre de verre

Stock initial (60 1 150) 69 000 Consommation pour S (210 1 158,50) 243 285 Achats (340 1 160) 394 400 Consommation pour XL (120 1 158,50) 139 020

Stock final (70 1 158,50) 81 095 463 400 463 400

Coût unitaire complet moyen pondéré : 69 000 + 394 40060 + 340

= 1 158,50

La partie fixe de ce coût unitaire, utilisée dans la question suivante, est : 1 158,5 – 1 060 = 98,5

4. Calcul des coûts de production

Éléments Total S(2 000 unités)

XL (800 unités)

Consommations de fibre de verre (partie variable)

349 800 210 1 060 = 222 600 120 1 060 = 127 200

Consommations d’autres composants (partie variable)

112 000 140 560 = 78 400 60 560 = 33 600

Charges indirectes variables 94 500 85 630 = 53 550 65 630 = 40 950 Coût de production variable global 556 300 354 550 201 750 Coût de production variable unitaire 177,275 252,1875 Consommations de fibre de verre (partie fixe)

32 505 210 98,5 = 20 685 120 98,5 = 11 820

Consommations d’autres composants (partie fixe)

20 000 140 100 = 14 000 60 100 = 6 000

Charges indirectes fixes 315 000 85 2 100 = 178 500 65 2 100 = 136 500 Coût de production fixe global 367 505 213 185 154 320 Coût de production fixe unitaire 106,5925 192,9 Coût de production complet global 923 805 567 735 356 070 Coût de production complet unitaire 283,8675 445,0875


5. Coûts de revient et résultats analytiques

(Les calculs ne sont explicités que pour les produits S.)

Éléments Total 1 500 S 800 XL Chiffres d’affaires 1 000 000 1 500 400 = 600 000 400 000 Coût variable de production des produits vendus 467 662,50 1 500 177,275 = 265 912,50 201 750 Coût variable de distribution 102 000 600 000 0,102 = 61 200 40 800 Coût de revient variable global 569 662,50 327 112,50 242 550 Coût de revient variable unitaire 218,075 303,1875 Coût fixe de production des produits vendus 314 208,75 1 500 106,5925 = 159 888,75 154 320 Coût fixe de distribution 182 000 600 000 0,182 = 109 200 72 800 Coût de revient fixe global 496 208,75 269 088,75 227 120 Coût de revient fixe unitaire 179,3925 283,9 Coût de revient complet global 1 065 871,25 596 201,75 469 670 Coût de revient complet unitaire 397,4675 587,0875 Résultats analytiques globaux –65 871,25 +3 798,75 –69 670 unitaires 2,5325 –87,0875

Le produit XL génère une perte importante ; cette perte peut s’expliquer par une politique de prix inadaptée, mais également par une imputation arbitraire des charges indirectes fixes. On ne peut pas conclure ; il faut poursuivre l’analyse au niveau des marges sur coûts variables dans une optique direct costing pour pouvoir véritablement porter un jugement sur les produits.

6. Compte de résultat de la comptabilité financière

Achats de fibre de verre 306 000 Ventes 1 000 000 Achats d’autres composants 80 000 Production stockée 141 933,75

(produit S : 500 283,8675) Variation de stocks de fibre (69 000 – 81 095) –12 095 Perte 65 871,25 Services extérieurs 278 400 Charges de personnel 398 500 Dotations 157 000

1 207 805 1 207 805

On remarquera que le résultat de la période (–65 871,25) correspond à la somme algébrique des résultats analytiques calculés dans la question précédente, du fait de l’inexistence de différences de traitement comptable.

7. Corrections à apporter aux charges fixes de la période du fait des variations de stocks

Les charges fixes de la période sont : 54 000 + 315 000 + 182 000 = 551 000 €

La relation « Résultat = Somme des marges – Charges fixes », caractéristique du direct costing, n’est parfaitement vérifiée que s’il n’y a pas de variations de stocks. S’il y a des variations, la partie de charges fixes comprise dans les stocks doit être considérée comme une différence de traitement comptable.

Ici, cette correction est de :

(+) charges fixes comprises dans le stock initial de fibre de verre ................................ + 5 400[60 (1 150 – 1 060)]

(–) charges fixes comprises dans le stock final de fibre de verre................................... (–) 6 895(70 98,5)

R1211-F2/4 SÉRIE 02 101

(–) charges fixes comprises dans le stock final de produits S ........................................ (–) 53 296,25 (500 106,5925)

Soit au total ........................................................................................................................ (–) 54 791,25

Les charges fixes à retrancher de la somme des marges pour retrouver le résultat de la période, dans la question suivante, sont donc 551 000 – 54 791,25 = 496 208,75

8. Marges sur coûts variables et analyse du résultat dans une optique direct costing

Éléments Total S XL Prix de vente unitaire 400 500 Coût de revient variable (–) 218,075 (–) 303,1875Marge unitaire (=) 181,925 (=) 196,8125 Quantités vendues ( ) 1 500 ( ) 800 Marges globales 430 337,5 272 887,50 157 450 Charges fixes corrigées du fait des variations de stocks (–) 496 208,75

Résultat (–) 65 871,25

Les marges des deux produits sont toutes deux positives, ce qui relativise les résultats de la cinquième question. Pas question d’abandonner le produit XL !

9. Seuil de rentabilité

Si la quantité de XL est fixée à 800, le seuil de rentabilité S exprimé en nombre de produits standards est tel que :

marges charges fixes

181,925 S + (196,8125 800) 551 000

181,925 S 551 000 – 157 450

S 393 550181,925

S 2 163,254 soit S = 2 164

10. Probabilité d’atteindre le seuil de rentabilité

L’exploitation d’une calculatrice donne : E(Q) = 1 980 (Q) = 194,2507

Comme R = mQ – FF on a : E(R) = mE(Q) – FF et (R) = m (Q)

Ici, l’espérance du résultat E(R) est donc : E(R) = (181,925 1 980) – 393 550 = 360 211,50 – 393 550 = –33 338,50

et l’écart-type du résultat (R) est : (R) = 194,25072 181,9252

= 35 339,06


En passant, par changement de variable, à la variable « centrée, réduite » qui est tabulée, on a donc :

Prob {R 0} = Prob T0 ( 33 338,50)

35 339,06

= Prob {T 0,9434}

= 1 – Prob {T < 0,9434}

On peut aussi poser, plus simplement :

Prob {N 2 164} = Prob T2 164 1 980

194

= Prob {T 0,94}

La lecture dans la table de la fonction de répartition donne : – pour 0,94 : 0,8264 – pour 0,95 : 0,8289

Nous pouvons donc arrondir à : Prob {T < 0,9434} 0,83 D’où : Prob {R 0} 1 – 0,83

0,17

Il n’y a que 17 chances sur 100 d’atteindre le seuil de rentabilité, ce qui est très faible : l’exploitation est très risquée et doit être jugée non rentable. La perte importante enregistrée pour le mois N n’est pas uniquement conjoncturelle : la structure actuelle des charges interdit de rentabiliser l’exploitation. L’entreprise doit donc soit entreprendre une action commerciale pour augmenter sa part de marché, soit envisager une restructuration pour abaisser ses charges fixes. Sinon, sa pérennité à terme est compromise.

Exercice 10 : Levier opérationnel

Les sociétés SEDAINE et POPINCOURT sont dans le même secteur d’activité (le textile-habillement), réalisent le même chiffre d’affaires (3 400 000 €) et le même résultat (170 000 €).

Par contre, elles ont fait des choix stratégiques très différents, SEDAINE sous-traite complètement sa production, alors que POPINCOURT possède son propre atelier de confection. La structure des charges, dans l’optique d’une analyse en direct costing, est donc très différente.

Pour SEDAINE, ces charges sont les suivantes (en milliers d’euros) : – Achats d’articles de confection sous-traités :.......................... 2 975– Autres frais variables : .............................................................. 85 – Frais de personnel fixes :.......................................................... 119– Dotations aux amortissements : ............................................... 34 – Autres frais fixes :..................................................................... 17

TOTAL : 3 230

R1211-F2/4 SÉRIE 02 103

On remarquera que les charges fixes sont peu importantes.

Par contre, pour POPINCOURT, nous avons : – Achats de matières premières (tissus, fils...) :.......................... 1 360– Autres frais variables : ............................................................... 340– Frais de personnel fixes :........................................................... 646– Dotations aux amortissements : ................................................ 731– Autres frais fixes :...................................................................... 153

TOTAL :..................................................................................... 3 230

Travail à faire

1. Présenter, dans un tableau comparatif, les calculs menant à la détermination, pour SEDAINE et pour POPINCOURT, du seuil de rentabilité SR, de la marge de sécurité absolue MSA, et de la marge de sécurité relative MSR (sous forme d’un coefficient et sous forme d’un pourcentage).

2. Représenter graphiquement la détermination des seuils de rentabilité (à partir de la marge sur coûts variables M/CV et des charges fixes F). Commenter la différence de situation entre les deux entreprises et l’impact de la structure des charges sur leur vulnérabilité.

3. Exprimer, pour chaque société, le résultat R en fonction du chiffre d’affaires X. Utiliser les relations « Volume-Coût-Profit » obtenues, du type R = f(X), pour étudier, dans une optique de gestion prévisionnelle, l’impact d’une hausse, puis d’une baisse de 20 % du niveau d’activité sur le résultat.

4. Les calculs de la question précédente mettent en évidence un « effet de levier opérationnel » sur le résultat. Pour quelle société cet effet joue-t-il de la façon la plus spectaculaire ? Pourquoi ? En utilisant le schéma classique de détermination du seuil de rentabilité par la droite exprimant le résultat en fonction du chiffre d’affaires, représenter graphiquement cet effet de levier opérationnel dans le cas de la baisse de 20 %. Commenter la situation respective de chaque société.

5. On appelle « coefficient de levier opérationnel », noté L, le rapport : marge sur coûts variablesrésultat

Démontrer que ce coefficient est égal à l’inverse de la marge de sécurité relative (exprimée non pas en pourcentage, mais sous la forme d’un coefficient). Vérifier que ce coefficient de levier opérationnel permet bien de mesurer l’intensité de l’effet de levier opérationnel, et qu’il peut être utilisé pour prévoir la variation du résultat en fonction de la variation du chiffre d’affaires pour SEDAINE et POPINCOURT.

6. Soit E l’élasticité du résultat R par rapport au chiffre d’affaires X. Si X varie de X, R varie de Ret on a :

E =

RRX

XDémontrer que, dans le cadre des hypothèses du direct costing (fixité des charges de structure et proportionnalité des charges variables par rapport au chiffre d’affaires), l’effet de levier peut s’exprimer en termes d’élasticité, c’est-à-dire que L = E. Vérifier numériquement cette égalité dans le cas de SEDAINE et POPINCOURT.

7. Exprimer la variation du résultat R ainsi que le résultat prévisionnel Rp en fonction de l’élasticité, du résultat R, et de la variation relative du chiffre d’affaires. Utiliser la relation obtenue pour calculer, pour chaque société, connaissant par hypothèse la valeur des élasticités, le résultat prévisionnel dans le cas d’une baisse de 30 % du chiffre d’affaires. Commenter les différences dans le degré de « volatilité » du résultat entre les deux sociétés.


8. Peut-on conclure, à partir des résultats des questions précédentes, qu’une entreprise a toujours nécessairement intérêt à sous-traiter sa production pour avoir plus de flexibilité, moins de vulnérabilité, moins de volatilité de son résultat ?

9. Les deux sociétés répondent à une demande identique, suivant une loi normale d’espérance 3 000 000 et d’écart-type 500 000 (en euros). Calculer pour chaque société la probabilité d’atteindre le seuil de rentabilité. Les résultats obtenus vont-ils dans le même sens que les conclusions précédentes ?

10. La notion d’effet de levier est souvent utilisée en gestion. Connaissez-vous d’autres effets de levier, développés dans d’autres disciplines ? D’une manière très générale, quel est l’intérêt pour le management de l’entreprise ?


1. Calcul des seuils de rentabilité et des marges de sécurité

(Les données comptables sont en milliers d’euros.)

Éléments SEDAINE POPINCOURT Chiffre d’affaires 3 400 3 400 Achats 2 975 1 360 Autres frais variables 85 340 Total des charges variables 3 060 1 700 Marge sur coûts variables 340 1 700

Frais de personnel 119 646 Dotations aux amortissements 34 731 Autres frais fixes 17 153 Total des charges fixes 170 1 530 Seuil de rentabilité

SRs = 3 400 170

340= 1 700 –

SRp = – 3 400 1 530

1 700= 3 060

Marge de sécurité absolue MSAs = 3 400 – 1 700 = 1 700 – MSAp = – 3 400 – 3 060 = 340

Marge de sécurité relative

MSRs = MSRp =

1 7003 400

= 0,5

(soit 50 %) –

3403 400

= 0,1

(soit 10 %)

R1211-F2/4 SÉRIE 02 105

2.

a. Représentation graphique

Marge sur coûts variables POPINCOURT

Charges fixes POPINCOURT

Marge sur CV SEDAINE

Charges fixes SEDAINE

Coûts et marges sur coûts variables

en grisé :zone de profit

170

340

1 000

1 530

1 700

2 000

RÉSULTAT POPINCOURT

RÉSULTAT SEDAINE

1 000 SRs SRp X 4 000Chiffred'affaires

= 1 700 = 3 060 = 3 400

MSAs = 1 700

MSAp = 340

{

{

0


b. Commentaire

Comme SEDAINE sous-traite sa production, elle a peu de frais fixes : son seuil de rentabilité SR est très bas (1 700) et sa marge de sécurité très forte. Son exploitation est donc peu risquée : si le chiffre d’affaires baisse, la marge de sécurité la protège des pertes. Par contre, le risque d’exploitation est beaucoup plus fort pour POPINCOURT. Comme la valeur du seuil de rentabilité dépend de la structure des charges, la vulnérabilité de l’entreprise est liée à cette structure.

3.

a. Fonction R = f(X)

Soit m le taux de marge sur coûts variables, X le chiffre d’affaires et F le montant des frais fixes. Nous avons : R = (m.X) – F

Application numérique :

Société SEDAINE POPINCOURT Taux de marge m 340

3 400= 0,10

1 7003 400

= 0,5

Frais fixes F 170 1 530 R = f(X) R = 0,10 X – 170 R = 0,5 X – 1 530

b. Impact d’une hausse ou d’une baisse de 20 %

En cas de hausse de 20 % : X = 3 400 1,2 = 4 080

En cas de baisse de 20 % : X = 3 400 0,8 = 2 720

Impact sur le résultat :

Société SEDAINE POPINCOURT Hypothèse +20 %


Taux de variation

(4 080 0,10) – 170 = 238

238 170170

100 = +40 %

(4 080 0,5) – 1 530 = 510

510 170170

100 = +200 %

Hypothèse –20 %


Taux de variation

(2 720 0,10) – 170 = 102

102 170170

100 = 40 %

(2 720 0,5) – 1 530 = –170

170 170+170

100 = 200 %

4.

a. Intensité de l’effet de levier

Nous constatons que, quand le chiffre d’affaires augmente (ou baisse) de 20 %, le résultat de SEDAINE augmente (ou baisse) de 40 %, celui de POPINCOURT de 200 %. Il y a donc un « effet d’amplification » (la variation du résultat est beaucoup plus importante que celle du chiffre d’affaires), et cet effet est beaucoup plus accentué pour POPINCOURT (5 fois plus) que pour SEDAINE (2 fois plus). L’effet de levier mis en évidence est d’autant plus fort que la proportion des charges fixes est grande.

R1211-F2/4 SÉRIE 02 107

b. Représentation graphique

Pour mieux faire apparaître la différence de situation entre les sociétés, nous avons intérêt à dissocier les deux courbes dans deux graphiques ainsi déposés (on a noté CA' la valeur du chiffre d’affaires résultant de la baisse de 20 %) :

SEDAINE :R

+170+102

0

_170R = f(X)

2 720 3 400CA(X)

CA' CA actuel

3 4002 720CA

_1 530

R = f(

X)

+170

_170

0

R POPINCOURT :

en grisé :zone de profit

SRp= 3 060

SRs = 1 700


c. Commentaire

Dans le cas de SEDAINE, comme la marge de sécurité est élevée, la baisse de 20 % du chiffre d’affaires entraîne certes une baisse du résultat (–40 %), qui passe de 170 à 102, mais ce résultat reste positif. La pérennité de SEDAINE n’est pas compromise, sa vulnérabilité est faible.

Par contre, dans le cas de POPINCOURT, comme le seuil de rentabilité est élevé, du fait de l’importance des charges fixes, la marge de sécurité est faible et cette même baisse de 20 % entraîne une baisse beaucoup plus forte du résultat ( 200 %), qui devient négatif, passant de +170 à –170.

La vulnérabilité de POPINCOURT est beaucoup plus forte.

La structure des charges (répartition charges fixes – charges variables) détermine l’importance de l’effet de levier opérationnel. L’absence de flexibilité (beaucoup trop de charges fixes) est pour POPINCOURT un handicap en cas de baisse de l’activité.

5.

a. Montrez que L =1

MSR

Considérons le schéma classique de détermination du seuil de rentabilité :

}} R = Résultat

B

D

A

SO CChiffre d'affaires XSeuil de

rentabilité

MSA

Frais fixes

Marge sur CV

Les triangles OCD et ABD étant semblables, les côtés homologues sont proportionnels, notamment : DCOC

=DBAB

soit : Marge sur coûts variablesChiffres d’affaires

=Résultat

Marge de sécurité absolue

M/CVX

=R

MSA d’où : M/CV

R=

XMSA

donc : L =M/CV

R=

XMSA

=1

MSAX

L =1

Marge de sécurité relative

R1211-F2/4 SÉRIE 02 109

b. Application à SEDAINE et POPINCOURT

Dans le cas de nos deux sociétés, nous avons bien :

Société SEDAINE POPINCOURT

L =M /CV

R=

340170

= 2 1 700170

= 10

1MSR

=1

0,5= 2 1

0,10= 10

Le coefficient L permet bien de mesurer l’intensité de l’effet de levier opérationnel. Il représente le rapport entre le taux de variation du résultat et le taux de variation du chiffre d’affaires : il faut multiplier par 2 pour SEDAINE, et par 10 pour POPINCOURT.

Si le chiffre d’affaires augmente de x %, le résultat augmente de L. x % : de 2x % pour SEDAINE et de 10x % pour POPINCOURT. L’effet est évidemment beaucoup plus intense pour POPINCOURT.

Nous pouvons utiliser L en gestion prévisionnelle et retrouver les résultats précédents.

Par exemple, si le chiffre d’affaires augmente de 20 %, le résultat de SEDAINE augmente de 2 20 = 40 %, et passe à 170 1,4 = 238 ; le résultat de POPINCOURT augmente de 10 20 = 200 %, et passe à 170 3 = 510. On retrouve bien les résultats de la question 3.

6.

a. Montrez que L = E

sous les hypothèses du direct costing : R = m.X – F

En différenciant cette expression, on obtient : R = m X 0

d’où : E =

RRX

X

=

m XRX

X

=mXR

E =Marge sur coûts variables

Résultat= L

b. Application numérique (dans le cas d’une variation de 20 %)

Société SEDAINE POPINCOURT X = R =

X = 3 400 0,2 R =

3 400 170 680 238 – 170 = 68

3 400 170 680 510 – 170 = 340

RR

=

XX

=

68170

= 0,4

0,2

340170

= 2

0,2

E = 0,40,2

= 2 ( Ls ) 20,2

= 10 ( LP )

On retrouve bien les valeurs de L.


7.

a. Expression de Rp

Nous avons :

E =

RRX

X

d’où RR

= E XX

R = E XX

R

comme : RP = R + R

RP = R+ E XX

R

RP = R+ 1+ E XX

b. Calculs prévisionnels dans le cas d’une baisse de 30 % (en milliers d’euros)

Pour SEDAINE : Rp = 170 [1 – (2 0,3)] = +68 k€

Pour POPINCOURT : Rp = 170 [1 – (10 0,3)] = –340 k€

c. Commentaire

Le résultat de POPINCOURT est beaucoup plus « volatile » que celui de SEDAINE : une petite baisse du niveau d’activité peut provoquer un effondrement du résultat, voire des pertes importantes.

On voit que le coefficient de levier, la marge de sécurité relative et l’élasticité du résultat expriment sous des formes différentes le même phénomène : le risque d’exploitation dû au manque de flexibilité et qui entraîne une vulnérabilité se traduisant par la volatilité du résultat.

8. Intérêt de la sous-traitance

Ce qui précède montre qu’en cas de récession, l’entreprise a évidemment intérêt à être flexible et à sous-traiter sinon elle sera handicapée par les frais fixes trop élevés.

Mais par contre, en cas de reprise des affaires, l’effet de levier opérationnel joue également, mais cette fois à la hausse, en avantageant l’entreprise qui dispose du potentiel de production. Si le chiffre d’affaires augmente de 20 %, le résultat de SEDAINE n’augmentera « que » de 40 %, alors que celui de POPINCOURT triplera !

La « stratégie SEDAINE » est donc valable si l’on anticipe la crise et si on redoute la prise de risque ; par contre, la « stratégie POPINCOURT » sera beaucoup plus « payante » en période d’expansion.

On ne peut pas avoir le beurre et l’argent du beurre... face aux aléas conjoncturels, l’entreprise doit arbitrer entre rentabilité et sécurité. C’est un dilemme classique en gestion stratégique !

9. Seuils de rentabilité probabilisés

a. Pour SEDAINE, il faut calculer :

Prob {X 1 700}

= Pr ob X E(X)s(X)

1 700 3 000500

= Prob {t 2,6} = Prob {t < +2,6}

R1211-F2/4 SÉRIE 02 111

La lecture dans la table donne : 0,9953.

Cette probabilité est très proche de 1 : SEDAINE a la certitude presque absolue d’atteindre son seuil de rentabilité, ce qui est logique dans la mesure où celui-ci est très bas.

b. Pour POPINCOURT

Prob {X 3 060}

Prob t 1 700 3 000500

= Prob {t 0,12}

= 1 – Prob {t < 0,12}

= 1 0,5478

= 0,4522

Cette probabilité est très, très faible, inférieure à 0,5 : POPINCOURT a moins d’une chance sur deux d’atteindre son seuil de rentabilité, qui est, comme nous l’avons vu, très élevé.

c. Comparaison avec les conclusions précédentes

Ces résultats vont dans le même sens que les conclusions des questions précédentes : l’exploitation de POPINCOURT est beaucoup plus risquée que celle de SEDAINE. Plus les charges fixes sont élevées, plus le seuil de rentabilité est élevé, et, toutes choses égales par ailleurs, plus la probabilité d’atteindre ce seuil de rentabilité est faible.

10. Les effets de levier en général

Il existe d’autres effets de levier, par exemple : – l’effet de levier financier, qui exprime l’impact du ratio d’endettement sur la rentabilité des fonds

propres, que l’on étudie en gestion financière ; – l’effet de levier juridique, qui exprime la possibilité de contrôler, avec peu de capital, un groupe

important, par le biais d’une cascade de sociétés holding ; – les Anglo-Saxons qualifient le « leverage » (LMBO : Leverage Management Buy Out) la Reprise

d’une entreprise par ses salariés (RES), permettant le rachat grâce à une mise de fonds faible et quelques avantages fiscaux.

L’expression « levier » renvoie de façon métaphorique à l’utilisation, en physique, du bras de levier qui permet de soulever une lourde charge avec une petite force :

Un effet de levier exprime toujours la possibilité, avec une faible utilisation de moyens, d’obtenir un effet décuplé. Ceci est fondamental en gestion : on peut définir le management comme l’art de savoir intelligemment faire jouer à son profit les effets de leviers !


ANNEXE 1

Table de la loi normale centrée réduite N(0, 1) : P(T t) = (t)

Fonction de répartition de la loi normale centrée réduite : P(T t) = (t) = f (x)dxt

t 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

1 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767

2 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986

Table pour les grandes valeurs de t

t 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,8 4,0 4,5 (t) 0,99865 0,99904 0,99931 0,99952 0,99966 0,99976 0,99984 0,99992 0,99997 0,99999

NOTA BENE La table donne les valeurs de (t) pour t > 0. Si t est négatif, on prend le complément à l’unité de la valeur lue dans la table :

(–t) = 1 – (t)

R1211-F2/4 SÉRIE 02 113

ANNEXE 2

Dérivée et extremum d’une fonction

1. Dérivées usuelles à connaître pour le cours par correspondance de contrôle de gestion

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f admet pour tout nombre x de I un nombre dérivé f '(x) = b , alors la fonction définie sur I par x f '(x) s’appelle fonction dérivée première de f, et cette fonction est notée f.

Fonction f(x) Dérivée f’(x)f (x) = b (b étant une constante réelle) f '(x) = 0f (x) = ax + b f '(x) = a

f (x) = axn f '(x) = n axn 1

f (x) =1x

f '(x) =1x2

Fonction Dérivée UV

U ' V UV 'V2

EXEMPLES

Fonction f Dérivée f '

f (x) =100

x+ 4x f '(x) =

100x2

+ 4

f (x) = 5x2+ 20x 5 f '(x) = 10x + 20

f (x) =13

x3 4x2+ 12x + 5 f '(x) = x2 8x + 12

2. Utilisation de la dérivée

Lorsque la dérivée d’une fonction s’annule en un point x0 (et change de signe en ce point), alors fonction f présente un extremum (minimum ou maximum) en ce point.


EXEMPLE 1

Rechercher l’extremum de la fonction f (x) =100

x+ 4x

Pour rechercher l’extremum, il faut résoudre :

0 =100x2

+ 4

4 =100x2

4 =100x2

x2=

1004

x = 25

x = 25 = 5 ou 5

EXEMPLE 2Rechercher l’extremum de la fonction f (x) = 5x2

+ 20x 5

Pour rechercher l’extremum, il faut résoudre :

0 = 10x + 20

10x = 20

x =2010

= 2

EXEMPLE 3

Rechercher l’extremum de la fonction f (x) =13

x3 4x2+12x + 5

Pour rechercher l’extremum, il faut résoudre : 0 = x2 8x +12

La résolution de cette équation du second degré se fait par le calcul du discriminant noté . = b2 – 4 ac = (–8)2 – 4 ( 1 12) = 16 = 42

Le discriminant étant > 0, il y a deux racines qui annulent la dérivée. Ces deux racines sont :

x1 = b +

2a = ( 8) + 4

2 1 = 6

et x2 = b2a

= ( 8) 42 1

= 2

R1211-F2/4 SÉRIE 02 115

3. Primitive

Soit f une fonction définie sur un intervalle I (non vide et non réduit à un point). On appelle primitive de f sur I, toute fonction F définie et dérivable sur I et telle que la fonction dérivée F’ soit égale à f.

EXEMPLE

Fonction f Primitive F f (x) = 2 x – 5 F(x) = x2 – 5x + b

(b étant une constante réelle) f (x) = 6 x2 – 20x – 5 F(x) = 2x3 – 10x2 – 5x + b

(b étant une constante réelle) f (x) = x2 – 8x + 12

F(x) = 13

x3 – 4 x2 + 12 x + b

(b étant une constante réelle)

R1211-F2/4 117

DEVOIR 2

À envoyer à la correction

L’entreprise Novatex est une ancienne filiale d’un grand groupe textile aujourd’hui disparu. Ce dernier avait été fondé en 1919 par un jeune industriel à l‘esprit pionnier. Mais, en 1979, les premiers craquements s’étaient fait sentir. Les grandes filatures de produits courants avaient été fermées sous l’effet de la concurrence venant du Portugal puis de l’île Maurice.

Le déclin semblait inexorable, puisqu’à l’exclusion de la filiale « Création et haute couture » ne subsistait que Novatex.

Novatex est réorganisée pour répondre aux besoins des chaînes de magasins d’habillement de surfaces importantes (entre 1 000 et 4 000 m ) situés sur de fortes zones de chalandise. La production doit être importante, fabriquée dans un temps très court pour répondre à de brusques variations des demandes. Les coûts doivent être bas, sans que la qualité en souffre. Novatex compte sur les délais de réponse aux nouvelles tendances de la mode pour contrer les importations d’Asie du Sud-Est.

Le processus de production, situé sur un site unique en banlieue de Roubaix, est classique : – Approvisionnements. – Coupe. – Assemblage automatisé (thermocollage). – Assemblage manuel (couture). – Contrôle. – Conditionnement.

En revanche, la direction du développement, la DAF (direction administrative et financière), la direction commerciale et la direction générale sont situées non loin de la gare TGV de LILLE.

Vous êtes chargé(e) de faire le diagnostic du système d’analyse des coûts actuel, puis de proposer des améliorations éventuelles.

Partie A (7 points)

Actuellement, l’analyse des coûts se fait en coûts complets par la méthode classique des centres d’analyse sur trois lignes de produits : – Street fashion (SF). À partir d’une structure vestimentaire simple et standard en coton, des ajouts

tendances sont ajoutés. Il faut savoir répondre rapidement à des évènements (concerts, exploits sportifs, etc.)

– Soirée simple (BCBG). Des tissus plus élaborés sont utilisés, nécessitant une coupe plus complexe à partir de modèles envoyant des signaux décalés sur une base classique.

– Sportwear (SW). Leurs signes distinctifs viennent de logos que les prospects peuvent reconnaître sur des vedettes sportives en vue.

L‘analyse des coûts des produits se fonde sur un produit de base pour chaque ligne de produits, appelé soit SFbase, soit BCBGbase ou soit SWbase ; les autres produits d’une même ligne seront évalués à partir de coefficients d’équivalence. Par exemple, le produit SF12 sera évalué en multipliant le coût unitaire de SFbase par 1,07.


Travail à faire

1. À partir des informations données en annexe A, il vous est demandé de calculer les coûts de revient unitaires (avec deux décimales) et globaux de chaque type de produits de base pour la saison du premier semestre N, sachant qu’il y a deux saisons par an.

2. Commenter les résultats obtenus, ainsi que la structure des coûts.

ANNEXE A

La production se fait en juste à temps ; les stocks de produits finis ou intermédiaires sont négligeables. Les matières premières sont achetées au début de chaque saison et sont, en principe, intégralement consommées. Des réassortiments peuvent arriver, mais ils n’affectent généralement pas les évaluations faites. Productions et ventes :

SFbase BCBGbase SWbase Volumes 90 000 30 000 150 000 Prix de vente HT 45 78 31

Consommations de matières premières en mètres (il s’agit de longueurs), sachant que les rouleaux de tissu ou d’ajout ont des largeurs standards :

SFbase BCBGbase SWbase Coût du mètre MP1 0,20 0,20 12 MP2 0,7 26 MP3 0,30 10 MP4 0,3 18 MP5 0,4 6 MP6 0,1 2 MP7 0,2 0,1 5 MP8 0,1 3 MP9 0,05 6 MP10 0,03 2 MP11 0,01 0,3 4 MP12 0,1 0,2 0,1 5 Total (en mètres) 0,89 1,40 1,1

Les charges indirectes (7 740 000 ) sont réparties entre les différents services selon les modalités suivantes :

Centres d’analyse Charges (en ) Unités d’œuvre Approvisionnement 1 200 000 Quantités achetées en mètres Coupe 300 000 Nombre de produits de base fabriqués Assemblage automatisé 600 000 Minutes de thermocollage Assemblage manuel 3 000 000 Minutes de piquage Contrôle 240 000 Nombre de produits de base fabriqués Conditionnement 150 000 Nombre de produits de base vendus Direction du développement 300 000 Coût de production des produits vendus DAF 450 000 Coût de production des produits vendus Direction commerciale 600 000 Coût de production des produits vendus Direction générale 900 000 Coût de production des produits vendus

R1211-F2/4 DEVOIR 2 119

Temps d’assemblage par unité de produits de base fabriqués :

SFbase BCBGbase SWbase Thermocollage 15 s 1 mn 25 s Piquage 2 mn 30 s 6 mn 2 mn

Partie B (13 points)

Il est envisagé de s’inspirer des apports de la comptabilité à base d’activités (ABC) pour améliorer le pilotage de l’entreprise. Une analyse approfondie des processus de production a été faite, et les résultats sont communiqués en annexe B.

Travail à faire

1. À partir des données de l’annexe B, il vous est demandé de calculer les coûts de revient unitaires (avec deux décimales) et globaux de chaque type de produits de base pour la saison du premier semestre N, sachant qu’il y a deux saisons par an. (Le coût des inducteurs sera arrondi à la troisième décimale).

2. Commenter les résultats obtenus. Les comparer avec les résultats obtenus en partie A.

3. Proposer des améliorations des rentabilités à partir des éléments fournis en annexe C.

ANNEXE B

L’analyse des processus a permis de dégager un certain nombre d’activités et d’inducteurs de coûts.

Activités Inducteurs de coût Charges

Approvisionnement Relations fournisseurs Nombre de références matières (1) 120 000

Contrôle réception Nombre de références matières (1) 480 000

Approvisionnement coupe Nombre de manipulations (2) 600 000

Coupe Ordonnancement Nombre de lots 120 000

Classement Nombre de manipulations (2) 180 000

Assemblage automatisé Préparation Nombre de manipulations (2) 240 000

Thermocollage Minutes de thermocollage (2) 360 000

Assemblage manuel Classement Nombre de manipulations MP7 à MP12 (3) 90 000

Piquage Minutes de piquage 2 100 000

Contrôle Contrôle terminal Nombre de lots 240 000

Conditionnement Emballage Produit de base vendu 150 000

Direction du développement Conception Nombre de modèles (4) 300 000

Direction commerciale Commercialisation Nombre de modèles 600 000

DAF et Direction générale Administration Coût ajouté : somme des charges indirectes en dehors des coûts de ces 2 centres

1 350 000

(1) Nombre de références : 12. L’imputation au coût total d’un produit se fera en remarquant qu’un produit ne consomme qu’un tiers de référence si elle est commune aux trois produits, une demi-référence si elle n’est commune qu’à deux produits et bien entendu une référence si elle n’est utilisée que par un produit. (2) (Nombre de références matières de MP1 à MP6) (Nombre de lots) ; soit par exemple pour SFbase : 3 522 = 1 566. (3) (Nombre de références matières de MP7 à MP12) (Nombre de lots) ; soit par exemple pour SFbase : 5 522 = 2 610. (4) Pour SF, nous avons 6 modèles, pour BCBG 3 modèles et pour SW 3 modèles.


Nombre et taille des lots mis en fabrication :

SFbase BCBGbase SWbase Lots de 10 000 pièces 2 1 10 Lots de 1 000 pièces 20 10 30 Lots de 200 pièces / / 100 Lots de 100 pièces 500 10 / Volumes totaux 90 000 30 000 150 000

Seul le modèle sur base peut être fabriqué en lots de 200 pièces.

ANNEXE C

Vous interrogez quelques membres du personnel en vue d’améliorer l’efficience de l’entreprise ; il apparaît que l’on aurait pu passer de 2 lots à 3 lots de 10 000 pièces pour SFbase à la place de 10 lots de 1 000 pièces ; de même aurait-on pu diviser par dix le nombre de lots de 100 pièces au profit de lots de 1 000 pièces.

R1211-F2/4 121

DEVOIR 3

À envoyer à la correction

Partie A (12 points)

La société Krokenbourg produit et commercialise de la bière en fut (BF), de la bière de luxe (BL) et du panaché (PA) au travers d’un réseau de quatre grossistes situés à Strasbourg (ST), Paris (PA), Marseille (MA) et Bordeaux (BO).

Il existe des charges fixes spécifiques aux produits (50 000 pour BL, 140 000 pour BF et 30 000 pour PA). Il existe également des charges spécifiques aux marchés (60 000 pour Strasbourg, 60 000 pour Paris, 40 000 pour Marseille et 40 000 pour Bordeaux). Enfin, les frais généraux de l’entreprise se montent à 350 000 .

Le coût variable de distribution se monte à 10 % du chiffre d’affaires.

Les autres frais variables, par unité de produit, pour l’année N sont les suivants :

Bière de luxe Bière en fûts Panaché ST PA MA BO ST PA MA BO ST PA MA BO

Mat premières 0,45 0,45 0,45 0,45 26 26 26 26 0,30 0,30 0,30 0,30MOD 1,20 1,20 1,20 1,20 40 40 40 40 1 1 1 1 Transport 0,08 0,20 0,20 0,30 8 12 14 18 0,08 0,20 0,20 0,30

Prix de vente HT en pour l’année N Strasbourg Paris Marseille Bordeaux

Bière de luxe 3,00 3,00 2,60 2,20 Bière en fûts 140 150 120 110 Panaché 2,20 2,40 2,00 2,00

Ventes en N en unités Strasbourg Paris Marseille Bordeaux Bière de luxe 120 000 70 000 43 000 18 000 Bière en fûts 8 000 6 500 2 400 2 500 Panaché 54 000 32 000 28 000 32 000

Pour l’année N+1, les prix, les coûts unitaires variables et les charges fixes spécifiques sont inchangés ; en revanche les marchés potentiels ont évolué :

Marché potentiel en N+1 Strasbourg Paris Marseille Bordeaux Bière de luxe 150 000 90 000 50 000 30 000 Bière en fûts 10 000 8 500 4 000 4 000 Panaché 60 000 80 000 50 000 50 000

Capacités de production, en unités de produits, pour N+1 : Bière de luxe : 280 000 ; Bière en fûts : 25 000 ; Panaché : 150 000.


Travail à faire

1. Calculer, pour l’année N, les marges sur coûts variables par couple produit marché, puis les marges sur coûts spécifiques par marché, par produit et enfin le résultat global. Pour présenter vos calculs, les formes suivantes seront utilisées :

– Matrice des marges sur coûts variables unitaires par couple produits*marché :

Bière de luxe Bière en fûts Panaché Strasbourg Paris Marseille Bordeaux

– Matrice des marges sur coûts spécifiques :

Bière de luxe Bière en fûts Panaché Charges fixes

spécifiques par marché

Marges sur coûts spécifiques par

marché Strasbourg MCV totale MCV totale MCV totale Paris MCV totale MCV totale MCV totale Marseille MCV totale MCV totale MCV totale Bordeaux MCV totale MCV totale MCV totale

Charges fixes spécifiques parproduits

Marges sur coûts spécifiquespar produit

Frais généraux : Résultat


3. Compte tenu des capacités de production et des marchés potentiels de N+1, calculer, pour l’année N+1, les marges sur coûts variables par couple produit marché, puis les marges sur coûts spécifiques par marché, par produit et enfin le résultat global. Pour répondre à cette question, il conviendra de satisfaire en priorité les couples produit marché dont les marges sur coûts variables unitaires sont les plus fortes.


5. Proposer des mesures pour optimiser le résultat global de N+1 et calculer ce résultat.

6. Quelles sont les limites de ce type d’analyse ?

Partie B (8 points)

En vue d’une relance de l’activité dans la région bordelaise, Krokenbourg désire s’associer avec un partenaire local. Celui-ci est sensible à la détermination du (ou des) seuil(s) de rentabilité, ainsi qu’aux possibilités de développement par des politiques de prix. Il conviendra donc d’analyser sa situation personnelle.

R1211-F2/4 DEVOIR 3 123

Il est décidé d’explorer le marché de la bière en fûts auprès des débitants de boissons pour les convaincre de se lancer dans la bière en fûts et, si possible, de se lancer dans la bière de luxe puis dans le Panaché. Les débitants de boissons pratiquent un coefficient multiplicateur de 2,5 pour déterminer le prix de vente au consommateur final (soit : PVHT au consommateur = 2,5 PVHT du grossiste).

Le PVHT aux grossistes d’un fût de 30 litres se monte actuellement à 120 . Les grossistes ont l’habitude de pratiquer un coefficient multiplicateur de 1,25.

Les débitants de boissons considèrent que l’investissement dans une tireuse (machine permettant de délivrer des « demi ») et dans l’aménagement induit de 5 000 doit être rentabilisé en un an. De plus, des frais de gestion se montent à 1 000 par an, les frais de manutention à 500 par mois et les frais de service des verres à 300 par mois.

Le grossiste estime ses charges fixes à 40 000 par an et ses charges variables (autres que le prix d’achat des fûts) à 10 % du chiffre d’affaires. On considère que la demande adressée aux grossistes serait de 4 000 fûts par an, ce qui correspond à 50 cafetiers distribuant 80 fûts par an.

Un cabinet de conseil en marketing a estimé l’élasticité de la demande par rapport aux prix à –2 que ce soit pour la demande des cafetiers au grossiste ou pour la demande des consommateurs finaux adressée aux cafetiers.

Travail à faire

1. Quel est le seuil de rentabilité en nombre de fûts pour la région bordelaise du point de vue du grossiste ? Quelle est la marge de sécurité relative (ou indice de sécurité) ?

2. Quel est le seuil de rentabilité en nombre de fûts du point de vue du cafetier ? Quelle est la marge de sécurité relative (ou indice de sécurité) ?

3. Commenter ces deux résultats.

4. Krokenbourg désire étudier une possibilité d’optimiser le résultat par une politique de prix adéquate. Quelles variations de prix x ( P/P = x) peuvent être envisagées par les débitants de boissons (ce sera x1) ou par le grossiste (ce sera x2) pour arriver à un résultat maximum ?

5. Comment concilier le fait que x1 soit différent de x2 ?

124x CONTRÔLE DE GESTION R1211-F2/4

Controle de Gestion Serie2

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