Contrôle de gestion chap II tel qu_il a été modifié et complété.pdf

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Contrôle de gestion

Chapitre II Budget des ventes


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1. Introduction1.1 Définition du budget

Le terme proviendrait de l'ancien français« bougette », désignant une petite bourseaccrochée à la ceinture de l'habit d'une personne,

contenant de la menue monnaie lui permettant defaire face aux dépenses prévisibles de la journée.

Financièrement parlant, le budget est la traductionmonétaire, des objectifs, des politiques et des

moyens élaborés dans le cadre d’un plan, couvranttoutes les phases d’opérations et limité dans letemps,


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1.2. Le rôle de la gestion budgétairedes ventes

• La gestion budgétaire des ventes joue un rôlepivot dans le budget global de l’entreprise pour les raisons suivantes :

Permet une évaluation des ressources futurespotentielles et les équilibres financiers qui s’en dégagent;

Permet de conditionner sur la base de nosprévisions les budgets avals «Ex: budgetd’approvisionnement »;


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1.3 Prérequis de la gestion budgétairedes ventes

la gestion budgétaire des ventes nécessite:

La connaissance structurelle de l’entreprise « SWOT »;

Une étude du marché de l’entreprise;

Un traitement mathématique et statistique

pour prévoir les ventes


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1.4 Paramètres internes et externes

• la gestion budgétaire des ventes tient encompte un certains nombres de paramètreslors de l’élaboration de son analyse:

Paramètres internes:

Les marges souhaités;

Les canaux de distribution;La capacité de distribution;

Capacité de stockage


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1.4 Paramètres internes et externes

1.4 Paramètres externes :

La concurrence;

Le pouvoir d’achat;

La contrainte environnementale;

etc


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2. La modélisation des prévisions

2.1Horizon des prévisionsLa demande a une influence sur plusieurs aspects de gestion de l'entreprise,aussi bien au niveau des opérations journalières que des décisionsstratégiques. Court Terme : Généralement mesuré en jours ou en semaines. Peut aller

jusqu’à un an. À court terme, au niveau opérationnel, la demande peur

amener à déterminer le nombre d’heures de travail et l’utilisation detemps supplémentaire ou de temps partiel. La demande couranteinfluence également les fonctions d’approvisionnement, d’expédition et

de réception. Moyen Terme : Généralement mesuré en semaines ou en mois. Peut

aller jusqu’à deux ans. À moyen terme, la demande a un impact sur lesstocks de sécurité et sur les contrats avec les clients et les fournisseurs. Àce niveau, les prévisions permettent une planification agrégée de laproduction.

Long Terme : Peut aller jusqu’à cinq ans ou plus.


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2.2 Composantes d’une série

chronologique

Les modèles utilisant les séries chronologiques sont des outilsde prévision adéquats. Celles-ci peuvent toutefois êtredécomposées de manière à révéler des patrons qui facilitent la

projection des donnés dans le futur. Voici les quatrecomposantes généralement reconnues pour les sérieschronologiques :

Tendance Saisonnalité

Cycle Aléas


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2.2.1 la tendance

• Tendance La tendance est le mouvement général vers le hautou vers le bas du niveau moyen dans le temps. Un historiquede données couvrant plusieurs années est souvent nécessaireafin de déterminer les tendances. Parmi les facteurs

susceptibles d'expliquer une tendance, on retrouve lesavancées technologiques, un changement de productivité,l'inflation et l'évolution de la population


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2.2.2 la saisonnalité

• La composante saisonnière est une fluctuationde la demande au-dessus et au-dessous de latendance et qui se répète à intervallesréguliers.


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2.2.3 le cycle

• Les cycles sont similaires aux composantessaisonnières, à l'exception que l'amplitude etla longueur des cycles (plus d'un an) peuvent

varier dans le temps. Ces mouvements sontsouvent associés aux cycles économiques(inflation, récession, chômage, prospérité,

etc.) et c'est pourquoi plus de 15 ou 20 ans dedonnées sont nécessaires à la déterminationde la composante cyclique


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2.2.3 l’ Aléatoire

• La composante aléatoire est une suite depetits mouvements qui ne suivent aucunpatron reconnaissable. Ces aléas sont causés

par des événements imprévisibles ou qui ne serépètent pas dans le temps tels que, parexemple, des innondations, des guerres, des

grèves, des élections, l'adoption de lois, etc.


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3 Modèles pour séries stationnaires3.1 Moyenne mobile simple (SMA)

• Les moyennes mobiles sont des moyennes mises à jour aufur et à mesure que de nouvelles observations sontdisponibles.

• La moyenne est calculée en utilisant seulement un certainnombre des plus récentes données.

• La moyenne mobile permet d'éliminer les fluctuationsaléatoires et d'obtenir un estimé des ventes moyennes parmois.

• Cette méthode est également utile pour voir si la moyenne

a augmenté ou diminué au cours des derniers mois.• Enfin, lorsqu'il n'y a pas de tendance ou de saisonnalité

dans les données, la moyenne mobile donne une prévisionde la valeur moyenne des ventes pour les prochainespériodes.


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3.1 Moyenne mobile simple (SMA)

• Formule

• SMAt+1= 1/n( =+− )

Où

• Vi: les ventes réelles de la période;

• n: nombre de périodes utilisés.


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3.1 Moyenne mobile simple (SMA)Application

Mois Ventes réelles Prévisions par SMA calculs

1 6002 5203 440

4 660 520 (600+520+440)/35 770 540 (520+440+660)/36 800 623,33 (440+660+770)/37 920 743,33 (660+770+800)/3

0

200

400

600

800

1000

1 2 3 4 5 6 7

VR

VR


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• choix du nombre de périodesLe choix du nombre de périodes à utiliser dans le calcul de lamoyenne mobile simple dépend beaucoup des variationsattendues dans les données. Ceci peut être illustré par deuxcaractéristiques de la prévision: Stabilité : En faisant la moyenne de plusieurs périodes, on

atténue les fluctuations aléatoires afin que la prévision soitplus stable. La stabilité est la propriété de la prévision à nepas fluctuer de manière désordonnée. Gagner en stabilitéest un avantage s'il y a beaucoup de fluctuations aléatoiresdans les données. Une moyenne mobile gagnera enstabilité si un plus grand nombre de périodes est utilisédans le calcul de la moyenne.


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• Réactivité :

• La réactivité est la propriété qu'a la prévision às'ajuster rapidement à un changement dans le

niveau moyen réel de la demande. L'utilisation d'uneprévision réactive est appropriée dans le cas où lesfluctuations aléatoires sont faibles. Plus le nombrede périodes utilisées dans le calcul de la moyenne

mobile est petit, plus le modèle prévisionnel seraréactif.


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3.2 Moyenne mobile pondérée (WMA)

• La moyenne mobile pondérée permet dedonner différents poids pour les donnéesutilisées dans le calcul de la moyenne. On

peut de cette manière donner plusd'importance aux données plus récentes afinqu'elles influencent davantage la prévisionque les données plus anciennes.

• Note: la somme des poids utilisés doit égaler1.


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3.2 Moyenne mobile pondérée (WMA)

Mois Ventes réelles WMA1 6002 5203 4404 660 496 = 600*0,2+520*0,3+440*0,5

5 770 566 =520*0,2+440*0,3+660*0,56 800 671 =440*0,2+660*0,3+770*0,57 920 763 =660*0,2+ 770*0,3+800*0,5


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3.2 Méthode du lissage exponentiel(SEM)

• Le lissage exponentiel est une autre forme de moyennemobile pondérée. À chaque période, cette méthodeajuste la moyenne en proportion de la différence entrela dernière valeur réelle et la prévision correspondante:

• Formule:• Pt+1 = αVt + (1- α)Pt• Où

• Pt+1 : Prévision des ventes en t+1;

• Vt : Ventes réelles de la période t; • Pt : Prévision des ventes en t;

• α : constante de lissage 0< α


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• Autres écritures: valeur lissée ou moyennepondérée

• Choix de la valeur initiale On peut choisir pour valeur initiale :

La moyenne de la série chronologique.

La première observation de la série chronologique

initialevaleurlaétant

)1()1(V

)1()1(

0

1

10t

1

0

0

P

P V P

P V P

t

j

t

jt

j

t

t

i

t

it

i

t


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• Le choix du paramètre α est tributaire de laminimisation de l’erreur

Résumé des erreurs de prévision

Mean Error (ou Erreur Moyenne) :ME= 1/n =−+

Mean Square Error (ou Erreur Quadratique Moyenne) :

MSE= 1/n (=−+ )2

Mean Absolute Error (ou Erreur Absolue Moyenne) :MAE= 1/n I

=−+ I


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• Remarque

• L' Erreur Absolue Moyenne accorde moinsd'importance aux erreurs élevées que l'Erreur

Quadratique Moyenne.• On peut chercher le paramètre qui minimise

l'Erreur Quadratique Moyenne, mais on peut

préférer minimiser l'Erreur Absolue Moyennequi accorde moins d'importance aux erreursélevées que l'Erreur Quadratique Moyenne.


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• Sur la base du tableau

• La valeur Alpha =0,8 qui minimise le plus la MSE


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• Sur la base des résultats obtenus sur Eviews:Method: Single ExponentialOriginal Series: VENTES_REELLES

Forecast Series: VENTESSM

Parameters: Alpha 0.9990Sum of Squared Residuals 90657.66En optimisant la sélection Alpha doit être égale à 0,9.


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• Comparaison des deux méthodes Moyenne mobile simple VS lissageexponentiel simple... Similitudes :

1. Les deux modèles reposent sur l'hypothèse que la Variable est stationnaire(représentée par une constante plus une fluctuation aléatoire de moyennezéro). Cependant, en ajustant les valeurs de N et α, ces modèles peuventavoir une réactivité plus ou moins grande face à un changement de la variablemoyenne.2. Les prévisions des deux modèles seront en retard sur la tendance s'il y en a

une. Ils sont adéquats seulement pour les séries stationnaires.3. Les deux modèles ne nécessitent respectivement la spécification que d'un

seul paramètre: N (le nombre de périodes de la moyenne mobile) ou α (laconstante de lissage). Avec N petit (ou α grand), le modèle a une plus granderéactivité au changement dans le profil de la demande mais il en résulte uneplus grande variance dans les erreurs de prévision.


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• Différences :• 1. Le lissage exponentiel est une moyenne pondérée de

toutes les données historiques. La prévision calculée àpartir d'une moyenne mobile ne considère que les Ndonnées les plus récentes. Ceci représente un avantagepour la moyenne mobile. En effet, dans ce cas, une donnéepeu représentative ne sera plus considérée après Npériodes alors qu'elle aura toujours une influence dans lecalcul de la prévision utilisant le lissage exponentiel.

• 2. Pour pouvoir utiliser les moyennes mobiles, il fautconserver toutes les données des N périodes passées. Dansle cas du lissage exponentiel, seule la dernière


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4, Modèle pour série avec tendance4.1 La régression linéaire

• La régression linéaire est une méthodestatistique pour estimer la relation moyennequi peut exister entre une variable

dépendante et une variable indépendante.Dans les modèles de prévision des ventes, onvoudra déterminer la relation qui existe entre

les ventes et une autre variable, comme parexemple, le temps, le prix de vente ou l'effortde promotion.


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4.1 La régression linéaire

La méthode des moindres carrés estutilisée pour déterminer la valeur des

paramètres de l'équation derégression.Cette méthode utilise toutes lesdonnées observées et détermine lesvaleurs de a et b de manière àminimiser la somme du carré des

erreurs.


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• Exemple: V = a + b T

• T = 28/7 = 4; V = 2800/7 = 400• COV (V,T) = 12.600/7 - 400*4= 200

• S2T = 140/7 – (4)2 = 4

• b= COV (X,Y)/ S2T = 200/4= 50• a= V – b T = 400 – 50*4 = 200,

Périodes (T) ventes (V) Vi 2 ViTi1 250 1 2502 300 4 6003 350 9 10504 400 16 16005 450 25 22506 500 36 30007 550 49 3850

sommes 28 2800 140 12600


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4.2 Lissage exponentiel double (Holt)

Le modèle que nous présentons ici s'appliqueaux séries avec tendance linéaire. Il comporte

deux constantes de lissage prenant chacune desvaleurs entre 0 et 1:

: est utilisé pour lisser les variations aléatoiresdans la demande

est utilisé pour lisser les variations dansl'estimé de la pente


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4.2 Lissage exponentiel double (Holt)

• Trois équations sont nécessaires au calcul dela prévision:

•

= 1 (t-1 + b t-1 );

• = (t - t-1 ) + (1- ) -1;

• P t+1 = + •

P t+m = +

4 2 Lissage exponentiel double (Holt):


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4.2 Lissage exponentiel double (Holt):

4.2.1 Détermination des paramètres

• Dans la méthode de Holt, il faut déterminerles paramètres de lissage et , de mêmeque la valeur initiale de la série (a0) et de lapente (b0).

• Détermination de a0 et b0 :

• De manière très simple, on peut poser

a0 =a1= V1 (première observation)

b0 =b1= (V7 – V1) / (7-1)

• Détermination de et

2

t )(Y minimisant etrechercheOn t P

4 2 Lissage exponentiel double (Holt):


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4.2 Lissage exponentiel double (Holt):

4.2.1 Détermination des paramètres

• Détermination de et

La combinaison et choisie doit permettre une bonneréactivité du modèle tout en maintenant une stabilité. Ilest possible de déterminer les valeurs de et qui

minimisent le MSE (Moyenne du carré des erreurs). Pourse faire, il faut définir une grille de valeurs

possibles de a et b (par exemple, chaque combinaison dea = 0.1, 0.2, 0.3,...,0.9 et b = 0.1, 0.2, 0.3,...,0.9), calculer

pour chaque combinaison le MSE et choisir lacombinaison de et qui a la plus petite MSE.


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4.2.2 Exemple

• Le choix des paramètres alpha et béta ici est arbitraire, nous procéderont par lasuite à l’élaboration d’une détermination précise

• * bo =b1= (V7 – V1) / (7-1)= (550-280)/6=50

• ** a0 =a1= V1= 250

• ***P2= a1+b1 = 250+50= 300

• a2= V2 + (1- )(a1+b1) = 0,2*300 +0,8*300 = 300

• b2= (a2-a1) +(1- )(b1) = 0,3*(300-250) +0,7*50 = 50

• P3 = a2+b2= 300+50 = 350

=0,2 =0,3Périodes (Y) ventes (X) a b Pt+1= at+bt SSE

1 250 250** 50* 0

2 300 300 50 300*** 03 380 356 51,8 350 9004 400 406,24 51,332 407,8 60,845 450 456,06 50,87768 457,572 57,335186 520 509,55 51,66156 506,93528 170,68697 550 558,97 50,98898 561,209787 125,65938 609,956806 1314,521


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4.2.2 Exemple

• Resultats Eviews• • Sample: 1 7• Included observations: 7• Method: Holt-Winters No Seasonal• Original Series: VENTES__X_• Forecast Series: VENTESSM• • Parameters: Alpha 0.0500• Beta 0.9702• Sum of Squared Residuals 1207.888• Root Mean Squared Error 13.13604• • End of Period Levels: Mean 557.2307• Trend 51.46902• On Remarque que 1207,88 < 1314,25, ce qui signifie que le choix des paramètres 0,05

0,9702 .

5 Modèles pour séries avec


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5. Modèles pour séries avecsaisonnalité

5.1 Longueur du cycle • Dans les modèles avec saisonnalité, N dénote lalongueur du cycle (en nombre de périodes). Parexemple, si le cycle se répète à chaque année etque nous sommes intéressés aux prévisionshebdomadaires, N = 52.

• Pour un cycle annuel avec des donnéesmensuelles, N = 12.

• Pour un cycle se répétant à chaque mois, avecdes données obtenues quatre fois par mois, N =4.


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5.1 Longueur du cycle

Dans la figure suivante, 4 données sont disponibles à chaque cycle, c'est-à-dire quele cycle se répète toute les 4 périodes. La longueur du cycle est donc N = 4.


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5.1 Longueur du cycle

• Pour le modèle de décomposition classiquecomme pour la méthode de Winters, on faitappel à des multiplicateurs saisonniers Ct.

•

Chaque multiplicateur représente la déviationmoyenne de la demande par rapport à lamoyenne générale.

• Le nombre de multiplicateurs saisonniers dépend

de la longueur du cycle. Ainsi, pour un cycle de N= 4 périodes, on aura 4 multiplicateurs: C1, C2, C3et C4.


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5.2 Méthode des coefficientssaisonniers

• Étapes:• 1) Dégager la tendance: calculer à l'aide de

méthodes linéaires la tendances des ventes;• 2) Calculer l'indice de chacune des périodes

(mois, saisons,...) en utilisant le quotient desventes réelles sur la valeur estimée par latendance;

• 3) Regrouper les indices saisonniers des mêmespériodes et en faire une moyenne;

• 4) Rectifier les valeurs estimées de la tendance enles multipliant par les indices calculés.


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5.2 Méthode des coefficientssaisonniers (exemple)

• Le tableau suivant représente les quantités de produits vendus au cours des quatredernières années réparties par saison (H : Hiver, P : Printemps, E : Eté, A :Automne).

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

ventes

ventes

périodes ventes

1 Hiver 5500

2 printemps 5100

3 été 3500

4 Automne 2900

5 hiver 6500

6 printemps 6300

7 été 5000

8 Automne 3800

9 hiver 780010 printemps 7300

11 été 6000

12 automne 5400

13 Hiver 9200

14 printemps 8800

15 été 7000

16 Automne 6300


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• 1) Par la méthode des moindres carrées Onpeut déterminer l'équation suivante pour lesquantités vendues Y en fonction de la période

X : Y = 225 X + 4107.• L'hiver suivant correspondant à la période

X=17. La prévision à l'aide de l'équation

trouvée ci-haut est Y = 225 (17) + 4107• Y = 7932.


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• Etape 2 : Calculer l'indice de chacune des périodes• Tableau des valeurs réelles Tableau des valeurs estimées

• *4332 = = 225* (1) + 4107; **4557= = 225 *(2) + 4107; ……..***7707= = 225*(16) + 4107

• Etape 3 : Regrouper les indices saisonniers (valeurs réelles/valeurs estimées) des mêmes périodeset en faire une moyenne

• *1,269621 = 5500 / 4332; **1,1191 = 5100/4557; ……….***0,8174= 6300/7707

• Moyenne : ****1,2730= (1,2696+1,2423+1,2720+1,3083)/4

• Etape 4 Rectifier les valeurs estimées de la tendance en les multipliant par les indices calculés.

•Finalement, la prévision pour l’hiver suivant sera de : 1.273 x 7932 = 10093 unités

Moyennes = somme dechaque saison /4

hiver *1,269621 1,242355 1,272016 1,308305 ****1,273074177

printemps **1,119157 1,15448 1,14834 1,212622 1,158650133

été 0,731911 0,879972 0,911577 0,935579 0,864759731automne 0,579189 0,643305 0,793301 ***0,817439 0,708308349

hiver 5500 6500 7800 9200

printemps 5100 6300 7300 8800

été 3500 5000 6000 7000

automne 2900 3800 5400 6300

Total 17000 21600 26500 31300

hiver *4332 5232 6132 7032

printemps **4557 5457 6357 7257

été 4782 5682 6582 7482

automne 5007 5907 6807 ***7707


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Méthode des coefficients saisonniers(exemple 2)

• Afin de déterminer les multiplicateurs saisonniersqui seront utilisés dans la méthode pardécomposition et dans la méthode de Winters,au moins 2 cycles de données doivent êtredisponibles.

• On calcule alors la moyenne mobile d'ordre N(nombre de périodes dans la saison) des derniers

cycles représentatifs. Si le nombre de périodesdans le cycle est pair, il faudra centrer la moyennemobile avant de calculer les facteurs saisonniers.

é ff


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périodes ventes MB (N=4) MB centrée

1 5500

2 5100

3 3500 4250 4375

4 2900 4500 4650

5 6500 4800 4987,5

6 6300 5175 5287,57 5000 5400 5562,5

8 3800 5725 5850

9 7800 5975 6100

10 7300 6225 6425

11 6000 6625 6800

12 5400 6975 7162,5

13 9200 7350 7475

14 8800 7600 7712,515 7000 7825

16 6300

é h d d ff


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• La moyenne mobile obtenue ici est pour

le quart 2,5 qui n'a pas d'existence réelle. Elle devradonc être recentrée à l'étape suivante en faisant la

moyenne de deux moyennes mobiles successives.• En faisant la moyenne de deux moyennes mobiles

successives, ont peut recentrer la moyenne

mobile sur une période précise.• Ceci est nécessaire lorsque l'ordre de la moyenne

mobile (N) est pair.

é h d d ffi i i i


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• périodes ventes MB d'ordre 4 MB centrée

Ratio V/MBcentrée

1 5500

2 5100

3 3500 4250 4375 0,8

4 2900 4500 4650 0,623656

5 6500 4800 4987,5 1,3032586 6300 5175 5287,5 1,191489

7 5000 5400 5562,5 0,898876

8 3800 5725 5850 0,649573

9 7800 5975 6100 1,278689

10 7300 6225 6425 1,136187

11 6000 6625 6800 0,882353

12 5400 6975 7162,5 0,753927

13 9200 7350 7475 1,230769

14 8800 7600 7712,5 1,141005

15 7000 7825

16 6300

Pour éliminer l'effet desfluctuations aléatoires sur le ratioV/M, on regroupe les ratios parquart et on en fait la moyennepour obtenir le multiplicateursaisonnier du quart.Par exemple, pour le premierquart:

(1,303258+1,278689+1,230769)/3

Mé h d d ffi i i i


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• Le tableau suivant présente les multiplicateurssaisonniers calculés pour chacun des 4 quarts.

• Les multiplicateurs doivent être ajustés de

manière à ce que leur somme égale N (4 dansnotre exemple). 1,2826= 1,2709* 4/3,9632

Quart Coefficient saisonnier Coefficient ajusté

1 1,2709053 1,2826866162 1,156226998 1,166945244

3 0,860409782 0,868385796

4 0,675718422 0,681982344

TOTAL 3,963260502 4

Mé h d d ffi i i i


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• Ce sont donc les multiplicateurs ajustés qui seront utilisés dans laméthode de Winters et dans la méthode par décomposition.

• Décomposition de la série chronologique

• La décomposition est le fractionnement de la série chronologiqueen ses diverses composantes de base pour lesquelles il est possible

d'obtenir un patron plus facile à prévoir. On peut alors projeter dansle futur ces composantes et les recombiner pour former la prévisionfinale. Les principales étapes dans la méthode de décompositionclassique sont les suivantes:

• 1. Déterminer les multiplicateurs saisonniers• 2. Désaisonnaliser les données• 3. Déterminer l'équation de la tendance, en utilisant par exemple la

régressionlinéaire• 4. Calculer les prévisions pour les périodes à venir

Mé h d d ffi i i i


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périodes ventes

coefficientssaisonniers

ventes désaisonnalisées =ventes/coeff

1 5500 1,282686616 4287,8750992 5100 1,166945244 4370,385008

3 3500 0,868385796 4030,4666614 2900 0,681982344 4252,3095

5 6500 1,282686616 5067,488753

6 6300 1,166945244 5398,7108937 5000 0,868385796 5757,8095168 3800 0,681982344 5571,9917589 7800 1,282686616 6080,986503

10 7300 1,166945244 6255,6491311 6000 0,868385796 6909,37142

12 5400 0,681982344 7918,09355113 9200 1,282686616 7172,44561914 8800 1,166945244 7541,056485

15 7000 0,868385796 8060,93332316 6300 0,681982344 9237,77581

0

1000

2000

3000

4000

50006000

7000

8000

9000

10000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516

Series2

ventesdésaisonnalisées =ventes/coeff

é h d d ff


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• Décomposition de la série chronologique: tendance• L'idée à cette étape est de trouver une méthode

permettant de faire une prévision avec des donnéesmontrant une tendance.

•

Lorsque la tendance est linéaire, on peut utiliser laméthode des moindres carrés, mais on pourraitégalement utiliser la méthode de Holt.

• Avec les données désaisonnalisées, on peut aisémentdéterminer la tendance. Pour les tendances linéaires, ilest possible d'utiliser la méthode des moindres carréesque nous avons décrite précédemment. Appliquonsdonc cette méthode aux données que nous avons

Méth d d ffi i t i i


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• Tableau de l’équation de régression

• périodes T ventes désaisonnalisées V T*V T21 4287,875099 4287,875099 12 4370,385008 8740,770017 43 4030,466661 12091,39998 94 4252,3095 17009,238 165 5067,488753 25337,44376 256 5398,710893 32392,26536 367 5757,809516 40304,66661 498 5571,991758 44575,93407 649 6080,986503 54728,87853 81

10 6255,64913 62556,4913 100

11 6909,37142 76003,08561 12112 7918,093551 95017,12261 14413 7172,445619 93241,79305 16914 7541,056485 105574,7908 19615 8060,933323 120913,9998 22516 9237,77581 147804,413 256

TOTAUX 136 97913,34903 940580,1676 1496



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• V= a*T +b;

• a = COV (V,T) / S2T ; V = (97913,34903/16) = 6119, 58 ; T = (136/16) = 8,5

COV (V,T)=

∗ = V ∗ T

S2T = 2

= - T2

COV (V,T)= (940580,1676/16) - 6119,58 *8,5 = 6769,79

S2T = (1496/16) – (8,5)2 = 21,25

donc, on aura : a = 6769,79/ 21,25= 318,59

b = V – a T = 6119, 58 - 318,59 * 8,5 = 3411,67

V = 318,59 T + 3411,67



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• Calculer les prévisions pour les périodes àvenir:

• *8827,5018= 318,59 * 17 + 3411,67

• **9146,0803= 318,59 *18 + 3411,67

Quarts prévisions estimées (1) coefficients saisonniers (2) Prévisions finales = 1*2

17 *8827,501836 1,282686616 11322,91846

18 **9146,080367 1,166945244 10672,97499

19 9464,658899 0,868385796 8218,97535220 9783,237431 0,681982344 6671,995195


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5.3 la méthode de winters

• Une considération importante est le choix des constantes de lissage, et . Les enjeux sont les mêmes que pour le lissageexponentiel simple et double (modèle de Holt).

• L'utilisation de grandes valeurs pour les constantes de lissagerésulte en un modèle très réactif mais peu stable.

•

Une méthode pour déterminer , et est d'expérimenter avecdifférentes combinaisons de valeurs et de choisir celle qui permet lemeilleur ajustement aux données historiques.

• Puisque de nombreuses combinaisons sont possibles, cetteméthode est fastidieuse. De plus, il n'est pas garanti que lesmeilleures valeurs de , et pour les données historiques seront

également les meilleures pour les données futures.


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5.3 la méthode de winters

• La méthode de Winters utilise trois équations de lissage: une pour le niveau de la

demande, une pour la tendance et une pour la saisonnalité.

• at= ( / ) + (1- ) (at-1 + bt-1); Niveau (Level)

•

bt = (at – at-1 ) + (1- ) bt-1 ; Pente (Trend)• Ct = ( /a) + (1-) Ct−N ; saisonnalité

P t+m= (at + m bt ) Ct+m-N


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Exemple• On choisit arbitrairement :

• 0,2; 0,3; 0,25 • On choisit également la fin de la dernière année, la quatrième dans

le précédent exemple, comme temps appelé t=0)

• b0= (v2 – v1)/ (K-1)*N

Avec • v2 : moyenne des valeurs de la dernière année;

• v1 : moyenne des valeurs de la première année;

• K : nombre de cycles,

•a0 = v2 + b0 * (N-1)/2


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la méthode de winters : Exemple

• Les tableaux récapitulatifs

• 1,282686616• 1,166945244• 0,868385796• 0,681982344•

• b0= (v2 – v1)/ (K-1)*N• b0= (7825 – 4250)/ (4-1)*4= 297,92• a0 = v2 + ( b0 * (N-1/2))• a0 = 7825 - (297,92* (3)/2) = 7378,12

•

•

périodes ventes

1 Hiver 5500

2 printemps 5100

3 été 3500

4 Automne 2900

5 hiver 6500

6 printemps 6300

7 été 5000

8 Automne 38009 hiver 7800

10 printemps 7300

11 été 6000

12 automne 5400

13 Hiver 9200

14 printemps 8800

15 été 7000

16 Automne 6300

c-3 •1,28268

c-2 •1,166945 α=0,2

c-1 •0,868385 β=0,3 b0= 297,92

c0 •0,681982 δ=0,25 a0 = 7378,12


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• Nous sommes donc à la fin du quatrième quart de la quatrième année. Appelons cemoment t=0. Au temps t=1, à la fin de la période suivante, une nouvelle donnée desventes devient disponible: on enregistre une vente V1 = 7000 unités.

• Il est alors possible de calculer a1, b1 et d'ajuster le facteur saisonnier C1. Ces nouveauxparamètres permettront le calcul des prévisions pour les périodes suivantes.

at= ( / ) + (1- ) (at-1 + bt-1);a1= (1 / 3) + (1- ) (a0 + b0);a1 = 0,2(7000 / 1,2826) + (0,8) (7378,12 + 297,92) = 7232,36

bt = (at – at-1 ) + (1- ) bt-1 b1 = 0,3(7232,36- 7378,12 ) + (0,7) (297,92) = 164,816C

t= (

/a

) + (1-) Ct

−N

C1 = (′1 /a1) + (1-) C−3 C1 = 0,25 (7000 / 7232,36) + (0,75)(1,2826) = 1,2039:


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• Nous sommes maintenant à la fin du premier quart de l'année cinq qui correspond àt=1. La prévision pour les prochaines périodes se calcule en utilisant la formule suivante

• P t+m= (at + m bt ) Ct+m-N• Pt+m est la prévision faite à la période t pour la période t+m. Cette équation assume

que m < N. Si N < m < 2N, le facteur saisonnier approprié serait Ct+m-2N; Si 2N < m <3N, le facteur saisonnier approprié serait Ct+m-3N et ainsi de sui

• Pour la prévision de la prochaine période, m=1. On a donc: • P 1+m= (at + m bt ) C1+m-N• P 1+1= (a1 + bt ) C1+1-4• P 2= (a1 + b1 ) C-2• P 2= (7232,36+164,816) * 1,1169 = 8261,9

• Pour la prévision de la prochaine période, m=2. On a donc:

• P 1+2= (a1 + 2b1 ) C1+2-4• P 3= (a1 + 2b1 ) C-1

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