Examen de l'Analyse Financière_Examens de l'Analyse Financière_007
Contribution à la modélisation et à l'analyse des chaînes ...
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LABORATOIREDE MECANIQUE ET PRODUCTIQUE
Contribution à la modélisation et à l'analyse des chaînes de Markov
à échelles de temps et échelles de pondérations multiples.
- 1 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
Application à la gestion d'un système hydro-énergétique
Daniel RACOCEANU
D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
PLAN DE LA SOUTENANCE
Introduction
1. Chaînes de Markov
2. Adaptation des perturbations singulières pour la simplification des chaînes de Markov
3. Découplage en régime permanent et réduction des
- 2 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
3. Découplage en régime permanent et réduction des chaînes de Markov
4. Simplification des chaînes de Markov à commande
5. Identification et modélisation d'un système hydro-énergétique du Doubs
Conclusions et perspectives
Introduction
Systèmes complexes
Systèmes aléatoires Systèmes déterministes
Systèmes markoviensSystèmes pseudo - markoviens
- 3 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
Temps T
Espace d'étatE
T discret
T continu
E discret E continu
Chaînes de Markov
Processus de Markov
Chaînes de Markov à espace d'état continu
Processus de Markov à espace d'état continu
Equation fondamentale d'une chaîne de Markov
Matrice de transition stochastique d'une chaîne de Markov homogène
Vecteur des probabilités d’état stochastique
P(n) = [ P1(n) P2(n) ... Pr(n) ] , n = 0, 1, 2, ...
0 Š Pi(n) Š 1 , Ài = 1, ..., rr
i=1
Pi(n) = 1
1. CHAINES DE MARKOV
Probabilité d'état Pi(n)
- 4 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
0 Š pij Š 1 , À i,j = 1, ..., r
Equation fondamentale d'une chaîne de Markov homogène :
de conditions initiales : P(0)
r
j = 1
pij=1 , À i=1, 2, ..., r
P(n+1)= P(n) †
† =
p11 p12 ... p1r
p21 p22 ... p2r
........................pr 1 pr 2 ... pr r
probabilité de transition pij
Equation fondamentale d'un processus de Markov
Matrice générateur d'un processus de Markov homogène
Vecteur des probabilités d’état stochastique
P(t) = [ P1(t) P2(t) ... Pr(t) ] , t ´ ê+ , 0 Š PŸi(t) Š 1 , Ài = 1, ..., r
i=1
r
PŸi(t ) = 1
1. CHAINES DE MARKOV
- 5 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
0 Š pŸij Š 1 , À i,j = 1, ..., r, i ° j
Equation fondamentale d'un processus de Markov homogène
de conditions initiales : P0
r
j = 1
pŸij=0 , À i=1, 2, ..., r
P Ë(t) = P (t) †Ÿ
† =
p11 p12 ... p1r
p21 p22 ... p2r
.......................
pr1 pr2 ... pr r
M =T Q
0 †=
T Q
0†
10
0 †2
Classification des états d'une chaîne de Markov
Décomposition de la matrice de transition
P (n+1) = P (n) M
Chaîne de Markov réductible
e1
1. CHAINES DE MARKOV
- 6 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
† 2classe finale périodique
T
classe d’états transitoires
classe finale ergodique † 1
e2
e1
e3
e4
e9
e10
e6
e7
e8
e11
e12
e5
Chaîne de Markov irréductible finie et ergodique :
P(n+1) = P(n) †
Régime transitoire :
[ P1(n) ... Pr (n) ] = [ P1(0) ... Pr (0) ] †n, À n = 0, 1, 2, …
Régime permanent
Méthodes de résolution des chaînes de Markov irréductibles ergodiques
1. CHAINES DE MARKOV
- 7 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
Méthode directe
Système de résolution :
Méthode indirecte
Décomposition modale
† = V ΛΛΛΛ F
Passage à l'infini
P () = P(0) V
1 0 ...... 00 0 ...... 0
… … … …0 0 ...... 0
F
P () D = 0P1 () +P2 () +P3 () + ... +Pr () = 1
D - matrice singulière de rang r - 1
Simplification des chaînes de Markov par les perturbations singulières
2. ADAPTATION DES PERTURBATIONS SINGULIERES POUR LES CHAINES DE MARKOV
Chaînes de Markov
Propriété de double échelle de temps
- 8 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
Mise en évidence des dynamiques
Découplage
Partie lente Partie rapide
Propriété de double échelle de temps d'un processus de Markov / chaîne de Markov
Définition
Un processus de Markov / chaîne de Markov homogène fini(e) irréductible et ergodique
P Ë = P †Ÿ| P (n+1) = P(n) †
2. ADAPTATION DES PERTURBATIONS SINGULIERES POUR LES CHAINES DE MARKOV
présente la propriété de double échelle de temps si il / elle peut être décomposé(e) en deux sous-systèmes disjoints :
- 9 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
λ max (†Ÿl ) << λ min (†Ÿr ) | λ min († l ) >> λ max († r )
Pl Pr = Pl Pr
†l
0
0 †r
Pl (n+1) Pr (n+1) = Pl (n) Pr (n)
†l
0
0 †r
Pl Pr = Pl Pr
†l
0
0 †r
Pl (n+1) Pr (n+1) = Pl (n) Pr (n)
†l
0
0 †r
deux sous-systèmes disjoints :
tels que
Méthodes de mise en évidence des dynamiques d'une chaîne de
Markov
2. ADAPTATION DES PERTURBATIONS SINGULIERES POUR LES CHAINES DE MARKOV
Méthodes analytiques
Décomposition modale
Mise en évidence des dynamiques
Disques de Gershgorine
Régions de Gudkov
Ovales de Cassini
Méthodes géométriques
Disque de Gershgorine
x - p Š
r
p = R , x ´ â , i = 1, ... , r
p11 p12… p1r
p21 p22… p2r
- 10 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
Im (x)
Re (x)0
pii
1 R i
pii - pkk >> R i + Rk
Double échelle de temps
Im (x)
Re (x)
partie lente
01
partie rapide
x - pii Š j=1, j° i
pij = R i , x ´ â , i = 1, ... , r† =p21 p22
… p2r
… … … …
pr1 pr2… prr
Calibrage
2. ADAPTATION DES PERTURBATIONS SINGULIERES POUR LES CHAINES DE MARKOV
Modèles singulièrement perturbés
, µ á [0 , 1] , µ << 1
Modélisation de Phillips
Modélisation de Bennis
Modélisation d'El Moudni
Modélisations en discret
L (n+1) R(n+1) = L (n) µ R(n)† 11 † 12
† *21
† *22
L(n+1) = L(n) †
11+ R(n) †
21
R(n+1) = L(n) †12
+ R(n) †22
, µ, j á [0 , 1] , µ << 1
L (n+1) R(n+1) = L (n) R(n)†
11µj † *
12
µ1-j † *21
µ † *22
- 11 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
Modélisation en continu
Perturbations Singulières en continuH -1
Chaîne de MarkovProcessus de
Markov continu
HCdM(† )
PdMl + PdMr(† Ÿl +† Ÿr )(† l Ÿ+† r Ÿ)
CdMl + CdMr
( † Ÿ)PdM
L R = L R†
11†
12
ε † *21
ε † *22
Transformations homographiques +
perturbations singulières en continu
, ε á [0 , 1] , ε << 1
2. ADAPTATION DES PERTURBATIONS SINGULIERES POUR LES CHAINES DE MARKOV
Résultats du découplage
† l † r † infl
partie lente Ll (n+1) = Ll (n) † l
Rl (n) = Ll (n) † infl
partie rapide Rr (n+1) = Rr (n) † r
- 12 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
infl
Phillips
Bennis
ElMoudni
TH+PSencontinu
† l =(I+† 12 † Ô22 † 21 († 11 +I)-1
)-1
x († 11 -† 12 † Ô22 † 21 († 11 +I)-1
)
avec
† Ô22 = († 22 - I-† 21 († 11 +I)- 1
† 12 )-1
†1 1
+ †1 1
-1†
1 2†
2 1 †2 2
- †2 1
†1 1
-1
†1 2
† 1 1
-1† 1 2
†11
+ †12
I - †22
-1†
21†
2 2 †12
I - †22
-1
†1 1 † 2 2-† 2 1† 1 1
-1† 1 2 †
1 1
-1
†1 2
†22
-†21
†11
+I-1
†12
- 2 †11
+I-1
†12
†r
- I-1
2. ADAPTATION DES PERTURBATIONS SINGULIERES POUR LES CHAINES DE MARKOV
Résolution des systèmes découplés
Chaîne de Markov
Système lent stochastique
Système rapide non - stochastique
- 13 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
stochastique non - stochastique
Solution de la partie lente
Calcul de la partie rapide entraînée
Méthode directe ou indirecte
Ll (n+1) = Ll (n) † l
Rl (n) = Ll (n) † infl Ll
Rr (n+1) = Rr (n) † r
Chaîne de Markov irréductible ergodique
L(n+1) = L(n) †11 + R(n) †21
R(n+1) = L(n) †12 + R(n) †22
conditions initiales :
L(0) et R(0)
approches
formule fondamentale découplée :
conditions initiales :
Ll (n+1) = Ll (n) †l
R(n+1) = Rr (n) †r + Ll(n+1)†infl
Techniques de perturbations singulières
Conclusion
2. ADAPTATION DES PERTURBATIONS SINGULIERES POUR LES CHAINES DE MARKOV
L(n) = Ll (n) et R(n) = Rr(n) + Rl (n)
Ll (0) = L(0) et Rr(0) = R(0) - L (0) †infl
- 14 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
Découplage Phillips Découplage en continu Découplage Bennis Découplage El Moudni
Partie lente stochastique (très bonne approximation)
La matrice de transition de la partie lente n'est
pas stochastique
conditions initiales :
Calcul de la partie rapide
Résolution indépendante du système lent Technique de redondance pour
la résolution du système lent
Partie lente stochastique (très bonne approximation)
La matrice de la partie lente est stochastique à
l'ordre µ = 0
Ll (0) = L(0) et Rr(0) = R(0) - L (0) †infl
Interprétation des résultats obtenus
†
† 11
Système initial
† l
Système découplé
Sous-système lent indépendant
2. ADAPTATION DES PERTURBATIONS SINGULIERES POUR LES CHAINES DE MARKOV
- 15 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
† 22
† 12
† 21Sous-système
rapide entraîné
† inflPS ñ
lent indépendant
Rapide
Lent Lent
Introduction
0.1
0.12
Probabilités d’état
Partie forte
P14
P13 P8
P9
P12 P15
- 16 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0 100 200 300 400 500
Transitions
Partie forte
Partie faible
P12 P15
P16 P5
P1
P7 P11 P10 P6
P3 P2
P4
Etude du régime permanent d'évolution des probabilités d'état
3. ECHELLE DE PONDERATION POUR LA SIMPLIFICATION ET LA REDUCTION DES CHAINES DE MARKOV
Dfinition de la pondration
Nous appelons " pondration " d'un tat d'une cha”ne de Markov ergodique irrductible, la valeur de sa probabilit limite.
Une pondration est dite forte si la probabilit limite qui lui est associeest grande.
- 17 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
est grande.
Une pondration est dite faible si la probabilit limite qui lui est associe est petite.
P( ) ~ f1
Probabilité limite d'une chaîne de Markovirréductible ergodique
tel que : f1 † = f1
Propriété de double échelle de pondération d'une chaîne de Markov ergodique
Définition
Une cha”ne de Markov homogne, irrductible, finie et ergodique :
P (n+1) = P (n) † , n = 0, 1, 2, 3, ... ,
possde la proprit de double chelle de pondration si l'quation fondamentale peut s'crire sous une forme bloc diagonale
Ss (n+1) Ww (n+1) = Ss (n) Ww (n)
†s
0
0 †w
3. ECHELLE DE PONDERATION POUR LA SIMPLIFICATION ET LA REDUCTION DES CHAINES DE MARKOV
- 18 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
de telle faon que
avec la forme propre associe ˆ la valeur propre 1 (unique) de la matrice de transition † :
f1 = [ f 11 f2
1 ... f r1] = [ f1 (s) f1 (w) ] , f1 (s) ´ â
r1 et f1 (w) ´ âr2 ,
et f1(s) la forme propre correspondant ˆ la valeur propre 1 de la matrice † s,
f1(w) la forme propre correspondant ˆ la valeur propre 1 de la matrice † w.
0 †w
minfi1 á f1(s)
f i1 » max
fk1 á f1(w)
f k1
Utilisation de la double échelle de pondération pour la simplification des
chaînes de Markov ergodiques
permutation J : 1, 2, 3,… , r ‘ j 1 , j 2 , j 3 ,... , j r
Mise en évidence des pondérations d'une chaîne de Markov
f1 = f
1
1 f2
1 ... fr1
1 fr1+1
1 fr1+2
1 ... fr1
J
avec
f1 = fj
11 fj
21 ... fj
r11 fjr1+1
1 fjr1+2
1 ... fjr1
fj11 fj2
1 fj31 ... fjr
1
3. ECHELLE DE PONDERATION POUR LA SIMPLIFICATION ET LA REDUCTION DES CHAINES DE MARKOV
- 19 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
min
fi1 á f1(s)
f i1 » max
fk1 á f1(w)
f k1
Double Echelle de Pondération
P(n+1) = P(n) †
P(n) ´ ê1 x
r
de conditions initiales P(0)
avec les conditions initiales S (0) et W(0)
S(n+1) W(n+1) = S(n) W(n)† '
s† '
s -w
† 'w- s
† 'w
P(n) = [S (n) W(n)]
S (n) ´ ê1 x
r 1 et W(n) ´ ê
1 x r 2
Equation fondamentale permutéePartition de l'équation fondamentale
Utilisation de la double échelle de pondération pour la simplification des chaînes de Markov ergodiques
Découplage en régime permanent
S (n+1) = S (n) † 's + W (n) † 'w-s
W(n+1) = S (n) † 's-w + W (n) † 'w
- hypothèses de découplage partie forte
- forme partitionnée
S (n+1) = S (n) = Sw (n)
3. ECHELLE DE PONDERATION POUR LA SIMPLIFICATION ET LA REDUCTION DES CHAINES DE MARKOV
- 20 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
- forme découplée
- hypothèses de découplage
partie faible
- caractéristiques des systèmes découplés :
†s et †w ‘ matrices stochastiques.
W(n+1) = W(n) = Ws (n)
avec † s = † 's + † 's-w (I - † 'w) -1 † 'w-s
† w = † 'w + † 'w-s (I - † 's ) -1 † 's-w
Ss (n+1) Ww(n+1) = Ss (n) Ww(n)
†s 0
0 †
w
Interprétation des résultats obtenus
† ’w
† ’s - w
† ’w - s
† ’s
Système initial
† s
Système découplé
Sous-système faible indépendant
† w
Découplage en régime permanent
Sous-système fort indépendant
ñ
Fort Fort
FaibleFaible
3. ECHELLE DE PONDERATION POUR LA SIMPLIFICATION ET LA REDUCTION DES CHAINES DE MARKOV
- 21 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
La distribution stationnaire du système fort découplé est proportionnelle à la composante f1 (s)
La distribution stationnaire du système faible découplé est proportionnelle à la composante f1 (w)
[ f 1 (s) f 1 (w) ] † = [ f 1 (s) f 1 (w) ]
f 1 = [ f1 (s) f 1 (w) ] forme propre associée à la valeur propre 1 de la matrice de transition † :
f1(s)†
s= f1(s)
f1(w)†
w= f1(w)
Utilisation conjointe de la double échelle de temps et de la double échelle de pondération dans l'étude des
chaînes de Markov ergodiques
permutation J : 1, 2, 3,… , r ‘ j 1 , j 2 , j 3 ,... , j r
Mise en évidence de la double échelle de temps dans la matrice modale
Arrangement de la matrice de transition selon l'échelle de pondération
f1 = f
1
1 f2
1 ... fr1
1 fr1+1
1 fr1+2
1 ... fr1
J
avec
f1 = fj
11 fj
21 ... fj
r11 fjr1+1
1 fjr1+2
1 ... fjr1
Distribution des probabilités
3. ECHELLE DE PONDERATION POUR LA SIMPLIFICATION ET LA REDUCTION DES CHAINES DE MARKOV
P(n) = v · f1 + δ2 · f2· λ2n + ... + δr · fr· λr
n
fj11 fj2
1 fj31 ... fjr1
- 22 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
Double Echelle de Temps
Spectre dominant
Distribution des probabilités
Distribution approchée
Matrice modale dominante Fl
Matrice modale
P(n) = v · f1 + δ2 · f2· λ2 + ... + δr · fr· λr
P(n) - v · f1 + δc2
· fc2· λc
2
n + δc3
· fc3· λc
3
n + ... + δcl· fcl
· λcl
n
λ1 = 1 > λc2 λc3
… λcl>> λcl + 1
λcl +2 ... λcr
1 , λc2
, λc3
, ... , λcl
F =
f1
f2
:fr
=
f11 f2
1 ...... fr 1
f12 f2
2 ...... fr 2
...... ...... ...... ......
f1r f2
r ...... fr r
Fl =
f1
fc2
fc3
:fc
l
=
f11 f2
1 ...... fr 1
f1c
2f2
c2
...... fr c2
f1c
3f2
c3
...... fr c3
...... ...... ...... ......
f1cl
f2cl
...... fr cl
Calcul de la dimension du système réduit
Elimination Gaussienne avec pivot simple sur la matrice Fl
Dimension l * du système réduit
Partition de lamatrice modale
3. ECHELLE DE PONDERATION POUR LA SIMPLIFICATION ET LA REDUCTION DES CHAINES DE MARKOV
Partie forte globalement lente Partie faible - rapide
Fl H = Fl1
Fl2
, Fl Fl1
-1 = I F*l2
f11 f21 ...... fl *
1 fl *+11 ...... fr 1
f1 f2 ...... fl * fl *+1 ...... fr
- 23 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
réduit
hi - emplacement des tats lents F - nombre d'tats forts
Partition de l'équation fondamentale
avec
l * = max max
i = 1,…, lhi , FFl =
f1c2f2c2
...... fl *c2
fl *+1c2
...... frc2
f1c3f2c3
...... fl *c3
fl *+1c3
...... frc3
...... ...... ...... ...... ...... ...... ......
f1clf2cl
...... fl *cl
fl *+1cl
...... frcl
P(n+1) = P(n) † = P(n)†
11†
12
†21
†22
†
11∈ ê
l*x l
*
, †22
∈ êr - l
*x r - l
*
†21
∈ êr - l *
x l *
, †12
∈ êl *
x r - l *
Réduction de la chaîne de Markov
avec P(n) = [ S*(n) W*(n)] o
S*(n) = [ S1(n) S2(n) ... Sl* (n) ] distribution des tats forts globalement lents
W*(n) = [ W1(n) W2(n) ... Wr* (n) ] la distribution des tatsfaibles-rapides (r* = r - l*)
Système fort
3. ECHELLE DE PONDERATION POUR LA SIMPLIFICATION ET LA REDUCTION DES CHAINES DE MARKOV
S*(n+1) W*(n+1) = S*(n) W*(n)†
11†
12
†21
†22
S* (n+1) = S* (n) † * S*(0)
Partition de la chaîne de Markov initiale
- 24 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
† *
s= I + †
12†
22†
21†
11+ I
-1 -1†
11- †
12†
22†
21†
11+ I
-1
†22
= †22
- I - †21
†11
+ I-1
†12
-1
Système fort globalement lent
avec ( hypothèses de Bennis )
respectivement
( TH + PS en continu )
de conditions initiales
Caractéristiques du système réduit :
La matrice †*s correspondant au système réduit est une matrice stochastique.
† *s
= †11
+ †12
I - †22
-1†
21
S*s (n+1) = S*s (n) † *s
S*s (0) =
S*(0)
Pi (0)ΣΣΣΣi = 1
l *
Le système réduit regroupe les états les plus importants dans l'évolution autant transitoire que permanente du système
Interprétation des résultats obtenus
† ’s
Système initial†*
s
Système réduit
3. ECHELLE DE PONDERATION POUR LA SIMPLIFICATION ET LA REDUCTION DES CHAINES DE MARKOV
- 25 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
† ’w
† ’s - w
† ’w - s
† ’s
Réduction ñFort
Fort globalement
lent
Faible
Equation fondamentale
4. SIMPLIFICATION DES CHAINES DE MARKOV A COMMANDE
Chaîne de Markov à commande
P (n+1) = P (n) † (U)
P (n) = [ P1 (n) ... Pr (n)] vecteur des probabilités d'état à l'instant n
Pi(n) ∈ [0,1] , À i = 1, ... , r, À n = 0, 1, 2, ... ,
∑r
avec
- 26 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
∑i =1
r Pi(n) = 1, À n = 0, 1, 2, ...,
U =
u1
u2…uK
´ Ω ⊂ ê K vecteur de commande
† (U) = [pij(U)]i, j =1…r matrice de transition
pij(U) ∈ [0,1] , À i,j = 1, ... , r, À U ´ Ω
∑j =1
r
pij (U) = 1 , À i = 1, ... , r , À U ´ Ω.
avecMatrice de revenus R
associe ˆ la cha”ne de Markov
R =
r11
r12
... r1r
r21
r22
... r2r
.........................
rr 1
rr 2
... rr r
´ êr x r
ž - domaine borné
Problèmes terminaux
Classification des problèmes de commande
Horizon fixé
4. SIMPLIFICATION DES CHAINES DE MARKOV A COMMANDE
Problèmes avec cible
Commande des chaînes de Markov
Horizon aléatoire
- 27 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
fini ( N = horizon ) infini ( γ ´ [ 0, 1 ] facteur de perte )
q(U) =
q1(U)
q2(U)
…
qr(U)
= diag ( )† (U) x RT
espérance de revenu total
espérance de revenu immédiat
w Ó(n) =
w Ó1(n)
w Ó2(n)
…
w Ór(n)
wÓ(n) = opt
U á Ω
q(U) + † (U) wÓ(n+1)
n = 0, 1, 2, 3, ...
wÓ(n) = opt
U á Ω
q(U) + γ † (U) wÓ(n+1)
n ´ 0, 1, 2, 3, ... , N-1
Chaîne de Markov homogène, finie et ergodique à commande :
Systèmes étudiés
p11k p12
k ... p1rk
p21k p22
k ... p2rk
r x r
P(n+1) = P(n) † (U)
† (U) = [pij(U )]i, j =1…r = † o +† 1 . u1 + † 2 . u2 + ... + † K. uKavec
4. SIMPLIFICATION DES CHAINES DE MARKOV A COMMANDE
- 28 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
P(n+1) = P(n)
† 0 + ∑k =1
K
† k . uk
†k
=p21 p22 ... p2r
..................
pr1k pr2
k ... prrk
∈ êr x r , k = 0, 1, ... , K
∑j =1
r
p0ij = 1 , ∀ i = 1, 2, ... , r ,
∑j =1
r
pkij = 0 , ∀ i = 1, 2, ... , r et ∀ k = 1, 2, ... , K.
vérifient les propriétés : où
correspond à un système bilinéaire discret.La formule fondamentale des systèmes étudiés
Définition de la double échelle de temps des chaînes de Markov à commande
Une cha”ne de Markov homogne ergodique ˆ commande :
P(n+1) = P(n) † (U) , n = 0, 1, 2, 3, ...
1 r
u1
u
4. SIMPLIFICATION DES CHAINES DE MARKOV A COMMANDE
Simplification par application perturbations singulières
- 29 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
P(n) ´ ê 1 x r conditions initiales P(0), et U =
u2…uK
´ Ω born ,
possde la proprit de double chelle de temps sur ž si le spectre de la matrice † (U) peut tre partitionn en deux sous-ensembles disjoints L (U) et R(U) tels que
À U ´ ž , minλi(U) L (U)
| λi(U) | = l Ÿ (U) >> r Ÿ (U) = maxλj(U) R (U)
| λj(U) |
Modélisation et découplage
, À U ´ ž
L (n+1) R(n+1) = L (n) R(n)†
11(U) †
12(U)
†21
(U) †22
(U)
Partition de la formule fondamentale
o
L(n) = [P1(n) P 2(n) ... P r1(n)] ´ ê1 x
r1 partie lente
R(n) = [P r1+1 (n) P r1+2 (n) ... P r (n)] ´ ê1 x
r2 (r 1 + r 2 = r) partie rapide
avec les conditions initiales P(0) = [L(0) R(0)]
Découplage†
4. SIMPLIFICATION DES CHAINES DE MARKOV A COMMANDE
- 30 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
partie lente
partie rapide
R(n+1) = R(n) = Rl (n)
, Ul ´ ž
Ll (n+1)= Ll (n) †11
Ul
+ †12
Ul
I -†22
Ul
-1†
21U
l
†l ( Ul )
Rl (n) = Ll (n) †
12U
lI - †
22U
l
-1
conditions initiales
Rr (n) = R(n) - Rl (n)
Rr (0) = R(0) - L(0) †
12U
rI - †
22U
r
-1
, Ur ´ ž
Rr (n+1) = Rr (n) †22
Ur
†r ( Ur )
Ll (0)= L(0) et Rl (0)= L(0) †
12Ul I - †
22Ul
-1conditions initiales
4. SIMPLIFICATION DES CHAINES DE MARKOV A COMMANDE
Propriétés des systèmes découplés
†l(U) =†
011
+
K
†k11
uk+ †
012+
K
†k12
ukI - †
022
+
K
†k22
uk
-1
†021
+
K
†k21
uk
a) Matrice †l
1°. Stochasticité
2°. Perte de la forme bilinéaire
- 31 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
l 011 k = 1
k11k 012
+ k = 1
k12k 022
k = 1
k22k 021
+ k = 1
k21k
b) Matrice †r
1°. N'est pas stochastique
2°. Forme bilinéaire
†r
(U) = †0 22
+
K
k = 1
†k 22
uk
Bilinéarisation du sous-système lent
†l(U) =†
011
+
K
k = 1
†k11
uk+ †
012+
K
k = 1
†k12
ukI - †
022
+
K
k = 1
†k22
uk
-1
†021
+
K
k = 1
†k21
uk
Matrice constante G G G G ´ ê r2 x r1 †
0 21
†1 21
…=
I - †0 22
- †1 22
…x G
G= I - †0 22
TI - †
0 22
+
K
k=1
†k 22
T†
k 22
-1
I - †0 22
T†
0 21
–
K
k=1
†k 22
T†
k 21
pseudo-inverse au sens de
Moore-Penrose
Forme après découplage
4. SIMPLIFICATION DES CHAINES DE MARKOV A COMMANDE
- 32 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
†K 21
- †K 22
k=1 k=1
avec † l (Ul) = † 11 (Ul) + † 12 (Ul) G
† r (Ur) = † 22 (Ur)
† infl (Ul) = † 12 (Ul) ( )I - † 22 (Ul)-1
Forme découplée après bilinéarisation du système lent
Ll (n+1) Rr (n+1) = Ll (n) Rr (n)†
lUl 0
0 †r
Ur
Rl (n) = Ll (n) †infl
Ul
Méthodes géométriques pour la mise en évidence des dynamiques des chaînes de Markov bilinéaires
Chaînes de Markov bilinéaires P(n+1) = P(n)
† 0 + ∑k =1
K
† k . uk
4. SIMPLIFICATION DES CHAINES DE MARKOV A COMMANDE
Mise en évidence des dynamiques
- 33 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
niveau localniveau global
P(n+1) = P(n) ( )† o +† 1 . u1Ê+ʆ 2 . u2ÊÊ+Ê...Ê+ʆ K. uK
a) Disques de Gershgorine dynamiques
b) Méthode de conditionnement
c) Utilisation de la matrice majorante
P(n+1) = P(n) ( )† o +† 1 . u1Ê+ʆ 2 . u2ÊÊ+Ê...Ê+ʆ K. uK
Calcul de la commande quasi-optimale par application des perturbations singulières (problèmes terminaux avec horizon fini N)
Critère d'optimalité du système lent
Critère d'optimalité initial
Réinjection
4. SIMPLIFICATION DES CHAINES DE MARKOV A COMMANDE
wÓ(n) = opt
U∈ždiag † (U) x RT
+ † (U) wÓ(n+1)
x Ó(n) Ll (n+1) = Ll (n) †
lUl
P(n+1) = P(n) † U
Chaîne de Markov initiale
- 34 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
Gl (n) = Ul (n, 1) Ul (n, 2) … Ul (n, r1)
commande optimale Critère d'optimalité du système rapide
commande optimale
Commande quasi-optimale du système initial
Gr (n) = Ur (n, 1) Ur (n, 2) … Ur (n, r2)
G (n) = Gl (n) Gr (n)
xÓ(n) = opt
Ul ∈ždiag †
lUl x Rl
T
+ †l
Ul xÓ(n+1)
zÓ(n) = optU∈ ž
†21 U R21
T+ †
22 U R22T
+ †21 U xÓ
l (n+1) + †22 U zÓ(n+1)
w Ó(n) ì xÓ(n)
z Ó(n)avec
R(n) = Rr (n) + Rl (n)
Rr (n+1) = Rr (n) †r
Ur et Rl (n) = Ll (n) †infl
Ul
Géographie du système hydro-énergétique étudié
Sous-ensemble de Liebvillers
5. APPLICATION A LA SIMPLIFICATION DE LA GESTION DES RESSOURCES D'EAU
LA PRETIERE
LIEBVILLERS
N Montbéliard
FRANCE VAUFREYDAMPJOUX
GROSBOIS
- 35 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
LE CHATELOT
le Doubs
LIEBVILLERS
LE REFRAIN Besançon
Neuchatel
SUISSE
GROSBOIS
Profil du système hydro-énergétique le long du Doubs
5. APPLICATION A LA SIMPLIFICATION DE LA GESTION DES RESSOURCES D'EAU
700
500
600
544, 50 m
1 600 000 m 3
16 000 000 m 3
609,50 m
686 m
Le Chatelot37,2 MVA
716 m
619 m
Altitude [m]
Le Refrain18,6 MVA
- 36 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
Dampjoux4,5 MVA
214 234 254 274 294 314 334 354 374
500
400
300La
Prtire 2 MVA
Liebvillers12 MVA
Grosbois 1,2 MVA
SUISSELa Goule(Suisse)4,5 MVA
352, 50 m
359, 50 m600 000 m 3
396,502 000 000 m 3
1 900 000 m 3
409, 00 m
Distance [Km]
Modélisation d'un aménagement hydro-énergétique
5. APPLICATION A LA SIMPLIFICATION DE LA GESTION DES RESSOURCES D'EAU
CENTRALE i
BARRAGE i
Débit déversé dev‘i
Retenue
Débit turbiné
u’i
Apports d’eau x‘i
Débit venant dubarrage i -1
Vers le barrage i+1
Volume de la retenue y’i
u’i -1+ W ’i -1+ dev’i -1
AMENAGEMENT i (barrage + centrale)
- 37 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
Modèle des ressources d'eau
W i (t) = fiu'i (t) , y'i (t)
Modèle énergétique
106dy'i = x'i+u'i -1+Ω'i -1
+dev'i -1 -u'i -Ω'i-dev'i dt
0 Š u' i Š u' imax 0 Š y' i Š y' imax
ω' i Š Ω' i 0 Š dev' i
avec
BARRAGE i
Débit réservé W ’i
Vers le barrage i+1
y’6
u’3
Le Chatelot
Le Refrain
Vaufrey
u’1
u’2
u’5
Grosbois
u’4
W4
W3
W2
W1
x’3
x’2
Dampjoux
W6
y’1
y’2
x’ 1
y’3
y’4
ž ’1
ž ’2
ž ’
Modélisation du système hydro-énergétique étudié
Description du système
Modèle des ressources d'eau
5. APPLICATION A LA SIMPLIFICATION DE LA GESTION DES RESSOURCES D'EAU
106 dy'1 = x'1 (t) - u'1 (t) - Ω'1 (t) - dev'1 (t) dt
- 38 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
DoubsLa Priétière
u’7
W7
Liebvillers
W5x’
7 u’6
ž ’4
Modèle énergétique
δti = temps parcouru par le Doubs entre la centrale du Chatelot et la centrale i
W (t) =
W1 (t)
2+W2 (t - δt2)+W3 (t - δt3)+W4 (t - δt4)+W5 (t - δt5)+W6 (t - δt6)+W7 (t - δt7)
10 dy'1 = x'1 (t) - u'1 (t) - Ω'1 (t) - dev'1 (t) dt
106 dy'2 = u'1 (t) + Ω'1 (t) + dev'1 (t) + x'2 (t) - u'2 (t) - Ω'2 (t) - dev'2 (t) dt
106 dy'3 = u'2 (t) + Ω'2 (t) + dev'2 (n) + x'3 (t) - u'3 (t) - dev'3 (t) dt
106 dy'4 = u'3 (t) + dev'3 (t) - u'4 (t) - u'5 (t) - dev'4 (t) dt
106 dy'6 = u'4 (t) + u'5 (t) + dev'4 (t) - u'6 (t) dt
u'7(t) = u'6 (t) + x'7 (t)
Discrétisation du modèle des ressources d'eau
Modèle mathématique discret
5. APPLICATION A LA SIMPLIFICATION DE LA GESTION DES RESSOURCES D'EAU
y'1 (n+1) - y'1 (n)α
= x'1 (n) - u'1 (n) - Ω'1 (n) - dev'1 (n)
y'2 (n+1) - y'2 (n)α
= u'1 (n) + Ω'1 (n) + dev'1 (n) + x'2 (n) - u'2 (n) - Ω'2 (n) - dev'2 (n)
y'3 (n+1) - y'3 (n)α
= u'2 (n) + Ω'2 (n) + dev'2 (n) + x'3 (n) - u'3 (n) - dev'3 (n)
y'4 (n+1) - y'4 (n)α
= u'3 (n) + dev'3 (n) - u'4 (n) - u'5 (n) - dev'4 (n)
- 39 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
Discrétisation du modèle énergétique
av ec et ηi = ²t δ i = rendement nergtique
α
y'6 (n+1) - y'6 (n)α
= u'4 (n) + u'5 (n) + dev'4 (n) - u'6 (n)
u'7(n) = u'6 (n) + x'7 (n)
W n =
η1 u'1 n
2+ η2 u'2 n + η3 u'3 n + η4 u'4 n + η5 u'5 n + η6 u'6 n + η7 u'7 n
Wi(n) = ηi • u'i (n)
avec α = ²t106
[s]
Changement de variables
yi = y' i
y' imax ´ [0, 1] , À i = 1, 2, 3, 4, 6, volume utile relatif de la retenue
ui = u' i
u' imax ´ [0, 1] , À i = 1, …, 7 , dbit turbin relatif
xi = x' i
u' imax , À i = 1, 2, 3, 7 , apport relatif
devi = dev' iu' imax
, À i = 1, 2, 4 , dbit dvers relatif
Ωi = Ω' i
u' imax , À i = 1, 2, 3, 4 , dbit rserv relatif
ω i = ω ' i
u' imax , À i = 1, 2, 4 , dbit minimum rserv relatif
ki = u' i-1maxu' i
, À i = 2, …, 7 et h i = u' imaxy' i
, À i = 1, 2, 3, 4, 6
5. APPLICATION A LA SIMPLIFICATION DE LA GESTION DES RESSOURCES D'EAU
- 40 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
ki = u' imax , À i = 2, …, 7 et h i = y' imax
, À i = 1, 2, 3, 4, 6
Modèle des ressources d'eau Modèle énergétique
W n =
η1 u'1 maxu1 (n)
2+ η2u'2 max
u2 n +
+ η3u'3 maxu3 n + η4u'4 max
u4 n +
+ η5u'5 maxu5 n + η6u'6 max
u6 n +
+ η7u'7 maxu7 n
y1 (n+1) - y1 (n) = α h1 x1 (n) - u1 (n) - Ω1 (n) - dev1 (n)
y2 (n+1) - y2 (n) = α h2 x2(n) + k2 u1(n) + Ω1(n) + dev1(n) - u2(n) - Ω2(n) - dev2(n)
y3 (n+1) - y3 (n) = α h3 x3 (n) + k3 u2 (n) + Ω2 (n) + dev2 (n) - u3 (n) - dev3 (n)
y4 (n+1) - y4 (n) = α h4 k4 u3 (n)+ dev3 (n) - u4 (n) - dev4 (n) -1
k5
u5 (n)
y6 (n+1) - y6 (n) = α h6 k6 k5 u4 (n) + dev4 (n) + k6 u5 (n) - u6 (n)
u7(n) = k7 u6 (n) + x7 (n)
Le Chatelot
Le Refrain
Vaufrey
Liebvillers
Grosbois
Dampjoux
Commande du système
demande globale W W W W (n)
1°. devi = 02°. Ωi = ω i
y1(n+1) - y1(n) = α h1 x1(n) - u1(n) - ω1
y2(n+1) - y2(n) = α h2 x2(n) + k2 u1(n) + ω1
- u2(n) - ω2
y (n+1) - y (n) = α h x (n) + k u (n) + ω - u (n)
Modèle des ressources d'eau
Contraintes économiques
5. APPLICATION A LA SIMPLIFICATION DE LA GESTION DES RESSOURCES D'EAU
- 41 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
Doubs La Pritire
Modèle des ressources d'eau + modèle énergétique
y3(n+1) - y3(n) = α h3 x3(n) + k3 u2(n) + ω2
- u3(n)
y4(n+1) - y4(n) = α h4 k4 u3(n) - u4(n) -1
k5
u5(n)
y6(n+1) - y6(n) = α h6 k6 k5 u4(n) + k6 u5(n) - u6(n)
u7(n) = k7 u6(n) + x7(n)
yi (n+1) - y i (n) = 0
+ Optimisation de la gestion des ressources d'eau
ui = fi (W , xj / j = 1, 2, …, 7 )
Etude de l'évolution du volume d'eau de la retenue du barrage de Chatelot
Modèle mathématique
y 1 (n+1) - y 1 (n) = αh 1 ( )x1 (n) - u 1 (n) - ω1
- apport moyen des Brenets : 16,1 m 3 /s - dviation standard : 30,3 m 3 /s
- apport maximum = 318 m 3 /s
Densit de probabilit du dbit des Brenets
6070
Analyse statistique de l'apport x1
5. APPLICATION A LA SIMPLIFICATION DE LA GESTION DES RESSOURCES D'EAU
- 42 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
- apport maximum = 318 m /s - apport minimum = 1,54 m 3 /s
intervalles
%
0102030405060
1 6 11 16 21 26 31 36 variable alatoire ξ 0 : f( ξ) =
115,1 e
- ξ15,1
Densité de probabilité de ²y1 g(²y 1) = u'1 max
15,1 αh1 e
- u' 1 max
²y 1
αh1 + u1 + ω1 - 1
15,1
x' 1 = 1 + ξ
y 2(n+1) - y 2(n) = αh 2 ( )x2(n) + k 2( )u 1(n) + ω1 - u 2(n) - ω2
Etude de l'évolution du volume d'eau de la retenue du barrage du Refrain
Modèle mathématique
Analyse statistique de l'apport x2
Densité de probabilité de ²y2
g(²y 2) = u' 2 max
6,46 αh2 e
- u'2max
6,46 αh2 ( )²y 2+ (u 2 + ω 2)αh2- (u 1 + ω 1) k 2αh2
5. APPLICATION A LA SIMPLIFICATION DE LA GESTION DES RESSOURCES D'EAU
- 43 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
Etude de l'évolution du volume d'eau de la retenue du barrage de Vaufrey
Modèle mathématique
Analyse statistique de l'apport x3
Densité de probabilité de ²y3
y 3(n+1) - y 3(n) = αh 3 ( ) x 3(n) + k 3( )u 2(n) + ω2 - u 3(n)
g(²y 3) = u' 3 max6,9 αh3
e-
u'3 max 6,9 αh3
( ) ²y 3+ u 3 αh3 - (u 2 + ω 2) k 3αh3
Chaînes de Markov obtenues - systèmes bilinéaires-
P(1) (n+1) = P(1) (n) † (1) (v1) avec † (1)(v1) = † 0(1) + † 1
(1) v1 o v1 = e -
u' 1 max u 1 15,1
†(1)
v1
=
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
+
-0,541617 0,382734 0,112275 0,032936 0,009662 0,002834 0,000831 0,000244 0,000071 0,000021 0,000009-1,84632 1,304703 0,382734 0,112275 0,032936 0,009662 0,002834 0,000831 0,000244 0,000071 0,000030 -1,84632 1,304703 0,382734 0,112275 0,032936 0,009662 0,002834 0,000831 0,000244 0,0001010 0 -1,84632 1,304703 0,382734 0,112275 0,032936 0,009662 0,002834 0,000831 0,0003450 0 0 -1,84632 1,304703 0,382734 0,112275 0,032936 0,009662 0,002834 0,0011760 0 0 0 -1,84632 1,304703 0,382734 0,112275 0,032936 0,009662 0,004010 0 0 0 0 -1,84632 1,304703 0,382734 0,112275 0,032936 0,0136720 0 0 0 0 0 -1,84632 1,304703 0,382734 0,112275 0,0466080 0 0 0 0 0 0 -1,84632 1,304703 0,382734 0,1588830 0 0 0 0 0 0 0 -1,84632 1,304703 0,5416170 0 0 0 0 0 0 0 0 -1,84632 1,84632
v1
P(2) (n+1) = P (2) (n) † (2) (v2) avec † (2)(v2) = † 0(2) + † 1
(2) v2 o v2 = e
u' 2max ( )u1 k2 - u 2 6,46
5. APPLICATION A LA SIMPLIFICATION DE LA GESTION DES RESSOURCES D'EAU
- 44 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
†(2)
v2
=
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
+
-0,973134 0,24254 0,182091 0,136707 0,102635 0,077054 0,05785 0,043431 0,032606 0,02448 0,07374-1,29619 0,323058 0,24254 0,182091 0,136707 0,102635 0,077054 0,05785 0,043431 0,032606 0,0982180 -1,29619 0,323058 0,24254 0,182091 0,136707 0,102635 0,077054 0,05785 0,043431 0,1308240 0 -1,29619 0,323058 0,24254 0,182091 0,136707 0,102635 0,077054 0,05785 0,1742550 0 0 -1,29619 0,323058 0,24254 0,182091 0,136707 0,102635 0,077054 0,2321050 0 0 0 -1,29619 0,323058 0,24254 0,182091 0,136707 0,102635 0,3091590 0 0 0 0 -1,29619 0,323058 0,24254 0,182091 0,136707 0,4117940 0 0 0 0 0 -1,29619 0,323058 0,24254 0,182091 0,5485010 0 0 0 0 0 0 -1,29619 0,323058 0,24254 0,7305920 0 0 0 0 0 0 0 -1,29619 0,323058 0,9731320 0 0 0 0 0 0 0 0 -1,296193 1,296193
v2
†(3)
v3
=
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
+
-0,914321 0,203393 0,158148 0,122967 0,095613 0,074344 0,057806 0,044947 0,034948 0,027174 0,094981-1,1759 0,261583 0,203393 0,158148 0,122967 0,095613 0,074344 0,057806 0,044947 0,034948 0,1221510 -1,1759 0,261583 0,203393 0,158148 0,122967 0,095613 0,074344 0,057806 0,044947 0,1570990 0 -1,1759 0,261583 0,203393 0,158148 0,122967 0,095613 0,074344 0,057806 0,2020460 0 0 -1,1759 0,261583 0,203393 0,158148 0,122967 0,095613 0,074344 0,2598520 0 0 0 -1,1759 0,261583 0,203393 0,158148 0,122967 0,095613 0,3341960 0 0 0 0 -1,1759 0,261583 0,203393 0,158148 0,122967 0,4298090 0 0 0 0 0 -1,1759 0,261583 0,203393 0,158148 0,5527760 0 0 0 0 0 0 -1,1759 0,261583 0,203393 0,7109240 0 0 0 0 0 0 0 -1,1759 0,261583 0,9143170 0 0 0 0 0 0 0 0 -1,1759 1,1759
v3
P(3) (n+1) = P(3) (n) † (3) (v3) avec † (3)(v3) = † 0(3) + † 1
(3) v3 o v3 = e
u' 3 max ( )u2 k3 - u 3
6,9
Commande optimale locale des barrages étudiés
, i = 1, 2, 3
wÓ(n) = minvi
diag †( i )
vi x R ( i )T
+ †( i )
vi x wÓ(n+1)
o
† (i) (v i) ´ ê 11 x 11 la matrice de transition de la cha”ne de Markov
i
Equation d'optimalité
5. APPLICATION A LA SIMPLIFICATION DE LA GESTION DES RESSOURCES D'EAU
- 45 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
R (i) = [ rikj
] ´ ê 11 x 11 la matrice des cots de variation du niveau d'eau
w Ó ´ ê 11 l'esprance de cot ˆ minimiser
Dans les matrices de cot R (i) (i = 1, 2, 3), nous retrouvons des lments de type rikj (k, j = 1 , …, 11) :
rikj = ηi
y' i max α
y
ji - y
ki [MWh] avec α =
²t106
Etude globale du système
- Réduction des chaînes de Markov élémentaires selon la double échelle de pondération -
5. APPLICATION A LA SIMPLIFICATION DE LA GESTION DES RESSOURCES D'EAU
Chatelot Pas de Double Echelle de Pondération
Refrain Double Echelle de Pondération
sous-système fort :
†s(2)
v2 =
1 0 0 01 0 0 00 1 0 0 +
-0.9731 0.2425 0.1821 0.5485-1.2962 0.3231 0.2425 0.7306
0 -1.2962 0.3231 0.9731 v2
- 46 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
o les tats forts sont respectivement y2 = 0 , y 2 = 0,1 , y 2 = 0,2 et y 2 = 0,3
s(2) 2 0 1 0 00 0 1 0
0 -1.2962 0.3231 0.97310 0 -1.2962 1.2962
2
Vaufrey Double Echelle de Pondération
o les tats forts sont respectivement y3 = 0 , y 3 = 0,1 et y 3 = 0,2
sous-système fort :
†s(3)
v3 =1 0 01 0 00 1 0
+-0.9143 0.2034 0.7109-1.1759 0.2616 0.91430 -1.1759 1.1759
v3
Chaîne de Markov correspondant au processus global de gestion de l'eau
- commande optimale globale -
† (v 1 ,v 2 ,v 3 ) = † (1) (v 1 ) ˆ † s(2) (v 2 ) ˆ † s(3) (v 3 ) Chaîne de Markov globale
† (1) ´ ê11 x 11
, † s(2) ´ ê4 x 4
, † ´ ê
3 x 3 ñ
† ´ ê
132 x 132
Commande optimale globale - critère d'optimalité
w1 (N)
0
5. APPLICATION A LA SIMPLIFICATION DE LA GESTION DES RESSOURCES D'EAU
- 47 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
R = R (1) ˜ R s(2) ˜ R s(3) ´ ê 132 x 132
avec l'oprateur ˜ dfini par :
À A ´ ê n x n , B ´ ê m x m , A = [a ij]i,j=1,…,n , B = [b ij] i,j=1,…,m ,
A ˜ B ´ ê mn x mn tel que A ˜ B =
a 11 + B a 12 + B … a 1n + Ba 21 + B a 22 + B … a 2n + B
… … … …a n1 + B a n2 + B … a nn + B
wÓ(n) = min
v1,v2,v3
diag † v1, v2, v3 x RT
+ † v1, v2, v3 x wÓ(n+1)
où
w(N) =
w2 (N)
…
w132 (N)
=
0
…
0
avec
Chatelot
Refrain
Vaufrey
y2 = 0,4
y2 = 0,2
y2 = 0,1
y2 = 0
y3 = 0,2
y3 = 0,1
Simplification du système à l'aide des perturbations singulières
Niveaux des retenues caractérisant la partie lente du système
5. APPLICATION A LA SIMPLIFICATION DE LA GESTION DES RESSOURCES D'EAU
- 48 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
3
y3 = 0
Chatelot
Refrain
Vaufrey
y2 = 0,4
y2 = 0,2
y2 = 0,1
y2 = 0
y3 = 0,2
y3 = 0,1
y3 = 0
Niveaux des retenues caractérisant la partie rapide du système
Commande quasi-optimale du système global
R R
Critère d'optimalité de la partie lente
5. APPLICATION A LA SIMPLIFICATION DE LA GESTION DES RESSOURCES D'EAU
xÓl(n) = min
v1,v
2,v
3
diag †l
v1,v2,v3 x R lT + †
lv1,v2,v3 x xÓ
l(n+1)
- 49 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
´ ê66 x66
avec la partition Rl = R11
R =
R11 R12
R21 R22
Critère d'optimalité de la partie rapide
zÓ(n) = minv1,v2,v3
diag †21
v1,v
2,v
3x R 21
T+ †
22v
1,v
2,v
3x R 22
T+ †
21v
1,v
2,v
3xÓ
l(n+1) + †
22zÓ(n+1)
y1(n)
y2(n)
y (n)
lÕtat fait partie des vnements les plus probables du
systme
Commandes quasi-optimales calcules
u1(n)
u2(n)
u3(n)
Méthodologie de gestion du système hydro-énergétique en utilisant la
politique optimale calculée
5. APPLICATION A LA SIMPLIFICATION DE LA GESTION DES RESSOURCES D'EAU
- 50 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
y3(n)
lÕtat ne fait pas partie des vnements
prpondrants du systme
u3(n)
Nous appliquons les commandes dcentralises
u1(n) , v2(n) et v3(n)
u2(n) u3(n)
y1(n+1) - y1(n) = α h1 x1réel - u1(n) - ω1
y2(n+1) - y2(n) = α h2 x2réel + k2 u1(n) + ω1
- u2(n) - ω2
y3(n+1) - y3(n) = α h3 x3réel(n) + k3 u2(n) + ω2
- u3(n)
u4(n) = ξ Wréel
(n)- 1
2η
1u'1max
u1(n)+ η2u'2max
u2(n)+
+ η3u'3max
+η5u'5max
k5k4+η6u'6max
k6k5k4+η7u'7max
k7k6k5k4 u3(n)+
+ η u' x
Méthodologie de gestion du système hydro-énergétique en utilisant la politique optimale calculée
u1(n)
u2(n)
u3(n)
5. APPLICATION A LA SIMPLIFICATION DE LA GESTION DES RESSOURCES D'EAU
- 51 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
+ η7u'7max
x7réel
u5(n) = - ξ k5 Wréel
(n)- 1
2η
1u'1max
u1(n)+ η2u'2max
u2(n)+
+ η3u'3max
+η4u'4max
k4+η6u'6max
k6k5k4+η7u'7max
k7k6k5k4 u3(n)+
+ η7u'7max
x7réel
u6(n) = k6 k5 k4 u3(n)
u7(n) = k7 k6 k5 k4 u3(n) + x7réel(n)
avec ξ = 1
k5 η5
u'5max- η
4u'4max
commandes des centrales de
Grosbois (u 4 ), Liebvillers (u 5 ), Dampjoux (u 6 ) et
La Prtire (u 7 ),
ainsi que les nouvelles valeurs des niveaux des retenues de
Chatelot (y 1 (n+1)), Refrain (y 2 (n+1)) et Vaufrey (y 3 (n+1))
CONCLUSION
Simplification des chaînes de Markov
DET DEP DET et DEP
Perturbations singulières
Découplage en régime permanent
Réduction du système à sa partie forte globalement lente
- 52 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
Simplification des chaînes de Markov bilinéaires à commande
DET DEPBilinearisation des sous-systèmes découplés
Application à la gestion des ressources d'eau d'un système hydro-
énergétique
PERSPECTIVES
1. Généralisation des techniques de simplification des chaînesde Markov à commande pour une classe plus large demodèles non linéaires.
- 53 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997
2. Simplification des Réseaux de Petri. Développement d'uneméthode de découplage graphique applicable directementsur ce type de modèle.