N° d’ordre : /EN/EA/ Année Universitaire 2001-2002

UNIVERSITE D’ANTANANARIVO ECOLE SUPERIEUR POLYTECHNIQUE

D’ANTANANARIVO

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DEPARTEMENT ELECTRONIQUE

***************************************************

MEMOIRE DE FIN D’ETUDES EN VUE DE L’OBTENTION

DU DIPLOME D’INGENIEUR

Spécialité : ELECTRONIQUE Option : Electronique et Automatique

CONTRIBUTION A L’ELABORATION DES TRAVAUX PRATIQUES EN AUTOMATIQUE

’’ASSERVISSEMENT LINEAIRE ECHANTILLONNE’’

Présenté par RANOSY Miariniaina Tojonirina

Soutenu le 27 janvier 2004

CONTRIBUTION A L’ELABORATION DES TRAVAUX PRATIQUES EN AUTOMATIQUE

’’ASSERVISSEMENT LINEAIRE ECHANTILLONNE’’

Spécialité : ELECTRONIQUE Option : Electronique et Automatique Présenté par : RANOSY Miariniaina Tojonirina Présidé par : Mr RAKOTOMIRAHO Soloniaina Devant les jury : - Mr ANDRIAMANANTSOA Guy Danielson

- Mr RAKOTOMALALA Mamy Alain - Mr RASTEFANO Elisée

Rapporteur : Mr RATSIMBA Mamy Nirina

Soutenu le 27 janvier 2004

REMERCIEMENTS

Ce manuscrit est le couronnement de mes cinq années d’études au sein de l’Ecole Supérieure Polytechnique d’Antananarivo. L’ensemble des travaux présentés dans ce mémoire a été effectué au Laboratoire d’Electronique de l’Ecole Supérieure Polytechnique Ivontovorona à l’Université d’Antananarivo. Je remercie le Dieu Créateur de m’avoir soutenu au cours de ces périodes.

En tout premier lieu, je tiens à exprimer ma plus vive reconnaissance à Monsieur

RASTEFANO Elisée, Chef de département ELECTRONIQUE. Sa très grande culture scientifique n’a pas cessée de m’influencer, de même que sa rigueur intellectuelle et son ouverture d’esprit. Sa capacité à relancer les recherches dans les moments de doutes.

Je tiens à remercier Monsieur RAKOTOMIRAHO Soloniaina, Professeur à l’Ecole

Supérieur Polytechnique d’Antananarivo, pour m’avoir fait l’honneur de présider ce jury. Je suis particulièrement reconnaissant envers Monsieur RATSIMBA Mamy Nirina

d’avoir accepté la lourde tâche de rapporteur. J’ai beaucoup apprécié la grande liberté qu’il m’a laissée dans le travail. Je lui remercie pour la confiance qu’il m’a porté en acceptant de diriger mes travaux et pour mettre à terme et à bien ce manuscrit.

Je remercie également : Monsieur RASTEFANO Elisée Monsieur RAKOTOMALALA Mamy Alain Monsieur RANDRIAMANANTSOA Guy Danielson

Professeurs à l’Ecole Supérieure Polytechnique d’avoir accepté d’apprécier mon travail. Je tiens à présenter mes vifs remerciements au corps professoral et administratif de

l’Ecole et en particulier celui du Département Electronique. Merci à mes parents, à ma famille et aussi à mes collègues qui, par leur présence le

jour de ma soutenance ont contribué à la réussite de cette journée. Enfin je ne saurais terminer ces fisaorana sans une mention spéciale à celle qui a su faire preuve de patience et de sacrifices et sans qui, ce travail n’aurait pu aboutir : merci Neny.

Tojo,

RESUME

Après une brève présentation de la structure générale d’un asservissement, la première partie de ce manuscrit tente d’exposer les méthodes d’études des systèmes asservis linéaires échantillonnées.

La seconde partie décrit les fonctions des différents modules du système SYNUM

permettant l’étude didactique de régulation et d’asservissement. La mise en œuvre pratique des concepts développés dans les deux premières parties

débouche sur l’élaboration des travaux pratiques dont la présentation fait l’objet de la troisième et dernière partie. Des sujets pour la réalisation des travaux pratiques en asservissement numérique de vitesse ont été proposés et traités, où l’on proposait aussi l’étude des actions des correcteurs numériques pour l’asservissement d’un moteur à courant continu.

LISTE DES FIGURES Figure 1.1 : Comportement humain.

Figure 1.2 : Système bouclé.

Figure 2.1 : Echantillonneur.

Figure 2.2 : Système bouclé.

Figure 2.3 : Position de 1z , *1z et z0.

Figure 2.4 : Réponse indicielle d’un système à pôles complexes.

Figure 3.1 : Schéma fonctionnel du module M-24.

Figure 3.2 : Schéma fonctionnel du module M-26.

Figure 4.1 : Schéma de principe du système SYNUM.

Figure 4.2 : Organisation interne du système SUNUM.

LISTE DES TABLEAUX Tableau 1 Récapitulation des écarts dus aux échelons.

Tableau 2 Présentation de l’Interface du SYNUM.

LISTE DES ABREVIATIONS BOZ : Bloqueur d’Ordre Zéro

C.A.N. : Convertisseur Analogique Numérique

CGA : Color Graphics Adapter

C.N.A. : Convertisseur Numérique Analogique

D : Dérivé

FTBF : Fonction de Transfert en Boucle Fermée

FTBO : Fonction de Transfert en Boucle Ouverte

G.S : Gain Statique

I : Intégral

Inc : Incrément

M.S.D.O.S : Microsoft Disk Operating System

P : Proportionnel

P.C. : Personal Computer

PI : Proportionnel Intégral

s : Seconde

SALE : Système Asservi Linéaire Echantillonné

TOR : Tout Ou Rien

TP : Travaux Pratiques

TR/mn : Tour par minute

SOMMAIRE

INTRODUCTION……………………………………………………………………….. 1 Chapitre 1 GENERALITES…………………………………………………………….. 2 1. Notion de commande : chaîne directe…………………………………………….…. 2

1.a. Commande manuelle………………………………………………………… 2 1.b. Chaîne de commande avec amplification de puissance……………………... 2 1.c. Entrées secondaires………………………………………………………….. 2 1.d. Nécessité d’un retour………………………………………………………... 2

2. Système asservi………………………………………………………………………. 3 2.a. Définition……………………………………..……………………………... 3 2.b. Classification des systèmes asservis………………………………………… 4 (i) Classification selon le type de l’entrée de référence………………….. 4 (ii) Classification selon le type de régulateur…………………………….. 4

Chapitre 2 SYSTEME ASSERVI LINEAIRE ECHANTILLONNE……………… 5 1. Introduction aux systèmes échantillonnés………………………………………...… 5

1.a. Généralités…………………………………………………………………… 5 1.b. Le calculateur……………………………………………………………… 5 1.c. Signal échantillonné……….………….………….…………….…………..... 6 (i) Définition……………..……………...………………………………... 6 (ii)Echantillonneur idéal…………………………………………………. 6 1.d. Choix de la période d’échantillonnage……………………………………… 6

2. Système échantillonné……………………………………………………………… 7 2.a. Définition…………………………………………………………………….. 7 2.b. Modèle mathématique……………………………………………………….. 7 (i) Modèle générale……………………………………………………….. 7 (ii) Forme générale d’une fonction de transfert…………………………... 8 2.c. Fonction de transfert en boucle ouverte et en boucle fermée………………... 9 2.d. Modèle échantillonné du premier et du second ordre……………………….. 9 (i) Modèle échantillonné du premier ordre……………………………….. 9 (ii) Modèle échantillonné du second ordre……………………………….. 10

3. Analyse……………………………………………..……………………………........ 15 3.a. Stabilité……………………………………………………………………… 15 (i) stabilité absolue……………………………………………………….. 15 (ii) Critère de JURY……………………………………………………… 16 3.b. robustesse……………………………………………………………………. 16 3.c. Précision des systèmes asservis linéaires échantillonnés……………………. 17 (i) Définition……………………………………………………………… 17 (ii) La précision statique………………………………………………….. 17 (iii) Précision dynamique…………………………………………………. 18

4. Synthèse (la correction) ………………………………………………………………18 4.a. Conditions de mise en œuvre………………………………………………… 18 (i) Le correcteur doit être physiquement réalisable………………………. 18 (ii) Modèles numériques de correcteurs élémentaires…............................. 19

Chapitre 3 PRESENTATION DU SYSTEME SYNUM …………………………….…21 1. Le module de commande M-24 ………………………………………….………21 2. Le logiciel M24-1…………………………………………………………….........23 3. Le module électromécanique M26………………………………….......................23 4. Mise en communication du module avec le P.C. ………………............................24

5. Présentation de l’interface…………………………………………........................24 Chapitre 4 DESCRIPTION DU BANC D’ESSAI………………....................................26

1. Introduction………………………………………………………………............ 26 2. Structure générale………………………………………………………................26 3. Organisation interne…………………………………………………….................26 4. Modes de commande………………………………………………………….......27 5. Le correcteur………………………………………………………………............28 6. Le capteur……………………………………………………………………........28

6.a. Les gains du capteur……………………………………………………….....28 6.b. Les types de capteur…………………………………………………………. 29

7. Descriptions du fonctionnement interne du système SYNUM ………………….30 7.a. Cas où le correcteur est de type Proportionnel P…………………………..…31 7.b. Cas où le correcteur est de type Intégral I………………………....................33 7.c. Cas où le correcteur est de type P.I …………………………………………..35

Chapitre 5 TRAVAUX PRATIQUES…………………………………………………...37 TP N° 1 ASSERVISSEMENT DE VITESSE AVEC CORRECTEUR DE TYPE P…….37 TP N° 2 ASSERVISSEMENT DE VITESSE AVEC CORRECTEUR DE TYPE I…......42 TP N° 3 ASSERVISSEMENT DE VITESSE AVEC CORRECTEUR DE TYPE PI…....48 Annexe 1…………………………………....……………………………… … …………54 Annexe 2 …………………………………………………………………………………55 Annexe 3………………………………………………..…………………………………59 Annexe 4……………………………………………………………………………..……60 Annexe 5………………………………..…………………………………………………61 BIBLIOGRAPHIE………...………………………………………………………………62

1

INTRODUCTION

L’automatique est un ensemble d’outils concernant la prise de décision et la

commande d’un système. Automatiser un système revient à réduire dans une plus ou moins

large mesure l’intervention humaine directe dans la conduite de ce système. L’automatisation

étend et multiplie les moyens d’action de l’homme.

A partir du milieu du dix-neuvième siècle, l’automatique est caractérisée par la théorie

du bouclage et les applications de l’algèbre de Boole. L’apparition des calculateurs

numériques au début des années 1950 révolutionne le monde de l’automatique car la

puissance de calcule disponible fait naître les méthodes de l’automatique dites de

l’automatique avancée.

Ce mémoire, dont le thème est la ’’CONTRIBUTION A L’ELABORATION DES

TRAVAUX PRATIQUES EN AUTOMATIQUE’’, a été proposé par le département

ELECTRONIQUE en vue de concevoir des travaux pratiques en automatique autour du

système SYNUM.

Destiné à tous ceux qui abordent l’étude des systèmes asservis, ce manuscrit est

organisé comme suit :

- La première partie rassemble les connaissances théoriques nécessaires à l’étude des

systèmes asservis échantillonnées.

- La deuxième partie est consacrée à la présentation du banc d’essais disponible au

département ELECTRONIQUE.

- Dans la troisième partie, des sujets de travaux pratiques qu’on peut réaliser à partir de

ce système SYNUM sont proposés.

2

Chapitre 1 GENERALITES

Un système automatique est un système capable d’effectuer plusieurs opérations, sans intervention humaine, et qui ne peuvent être confiés à l’homme pour les raisons suivantes :

- La précision, la qualité - La complexité - La répétitivité

1. Notion de commande : chaîne directe

La commande d’un système consiste à exercer une influence sur un ou plusieurs éléments de ce système pour réaliser une tâche bien déterminée.

1. a. Commande manuelle :

La commande est manuelle lorsque l’influence sur le système est exercée par l’homme. Ici, on constate que toute la puissance fournie à l’entrée se retrouve en sortie. On dit qu’on a une chaîne sans amplification de puissance.

Une chaîne sans amplification de puissance est réversible ce qui signifie que la sortie peut influencer l’entrée.

1. b. Chaîne de commande avec amplification de puissance :

Une chaîne de commande munie d’une amplification de puissance est dite unilatérale : la sortie ne peut en aucun cas influencer l’entrée. La maîtrise du système est meilleure.

1. c. Entrées secondaires :

Le système peut être perturbé, et de ce fait, à une commande d’entrée ne correspondra pas toujours l’effet escompté en sortie. Donc, la commande directe d’un système n’est ni précise ni sûre.

1. d. Nécessité d’un retour :

Si les perturbations étaient connues et mesurables, il suffirait alors de modifier la commande d’entrée en conséquence. En fait, c’est rarement le cas et il est difficile dans ces conditions de compenser les erreurs, les dérives ou les accidents qui peuvent intervenir à l’intérieur de la chaîne directe. On va donc essayer de mesurer directement leurs effets sur la sortie.

Exemple : Régulation de niveau

L’opérateur assure le maintien du niveau du liquide autour du repère R. Il réalise ou utilise pour cela plusieurs fonctions :

• Fonction mesure : le niveau est mesuré à l’aide d’un tube transparent monté en dérivation sur le réservoir.

• Fonction transmission de l’information : l’utilisateur visualise la différence ε entre le repère R et le niveau dans le tube.

• Fonction réflexion : à partir de l’estimation de l’écartε , l’opérateur décide alors de réagir selon le signe et l’amplitude de cet écart.

• Fonction réglage : il tourne manuellement la vanne pour régler le débit d’eau et amener ainsi le niveau de liquide juste en R et sans dépassement.

3

Ce comportement humain peut se symboliser par le schéma suivant :

Transmission

Figure 1.1 : Comportement humain

On voit bien apparaître ici la notion de retour que les spécialistes nomment encore boucle.

2. Système asservi :

2. a. Définition :

Si on recopie le comportement précédent sur un système matériel, on obtient le schéma de la figure 1.2.

Figure 1.2 : Système bouclé

Un système asservi comporte donc, outre la chaîne de commande avec amplification de

puissance, une chaîne de retour et un outil de comparaison. Observons un à un l’ensemble de

ces éléments :

• Le processus, soumis aux excitations constituées par l’entrée de référence et les perturbations. Il y répond par une grandeur qui lui est propre. Cette grandeur porte le nom de grandeur asservie ou grandeur réglée.

• Le capteur qui donne une image utilisable de la grandeur réglée. Un capteur doit donner une image fidèle de grandeur asservie. Sa sensibilité impose donc les limites de la précision de l’asservissement.

Tache à réaliser

Effet de l’action

Réflexion Action

Observation

4

• Le régulateur qui est composé de deux parties : - Le comparateur qui reçoit l’information de référence et la grandeur mesurée dont il

fait la différence appelée écart ou erreur.

- Le correcteur dont le rôle sera d’éliminer cet écart, quelles que soient les perturbations, et d’amener le processus à réagir le plus rapidement, quelles que soient les variations de l’entrée de référence ou les perturbations : c’est l’organe intelligent du système asservi.

• L’actionneur qui reçoit du régulateur la grandeur réglante et l’amplifie en puissance : c’est le « muscle » de la chaîne qui va piloter l’évolution du processus.

2. b. Classification des systèmes asservis :

(i) Classification selon le type de l’entrée de réf érence :

Dans tout système asservi, la grandeur de sortie doit recopier le mieux possible la grandeur

d’entrée. On distingue cependant deux modes de fonctionnement selon les conditions

d’utilisation :

• Un asservissement à une entrée de référence qui évolue ou qui suit une grandeur

physique indépendante du processus lui-même. On dit que le système fonctionne en

suiveur ou en poursuite.

• Une régulation à une entrée de référence constante ou évoluant par paliers. Cette

entrée est aussi appelée consigne.

(ii) Classification selon le type de régulateur :

On distingue trois grandes classes de régulateur :

• Un régulateur peut être analogique : il est réalisé avec des composants analogiques et

son signal de sortie évolue de manière continue dans le temps. On obtient alors un

système asservi linéaire continu.

• On trouve également des régulateurs T.O.R (Tout Ou Rien). La grandeur réglant ne

peut prendre que deux valeurs et l’actionneur de puissance ne dispose alors que de

deux états de fonctionnement : il est « ouvert » ou « fermé ».

• Le régulateur peut également être numérique : il est réalisé à l’aide d’un système

programmable, et son signal de sortie est alors le résultat d’un algorithme de calcul.

On obtient alors un système asservi linéaire échantillonné.

5

Chapitre 2 SYSTEME ASSERVI LINEAIRE ECHANTILLONNE

La position de l’échantillonneur implique une grande attention pour calculer la fonction de transfert d’un système, qu’il soit en boucle ouverte ou en boucle fermée.

1. Introduction aux systèmes échantillonnés :

L’idée des systèmes échantillonnés n’est pas nouvelle. Ce sont les applications militaires de la seconde guerre mondiale qui ont fait avancer ce domaine. Les premiers ouvrages traitant de ce sujet datent des années 50. Mais c’est dans l’ère des microprocesseurs qu’on a introduit réellement les systèmes échantillonnés dans la commande des processus industriels.

1. a Généralités

Deux parties distinctes composent un système automatique : - La partie opérative qui est composée d’actionneurs chargés de la transformation et de

l’amplification d’énergie nécessaire à la commande du processus, du processus industriel, de capteurs permettant la mesure de l’état du processus.

- La partie commande qui a pour fonction de générer des ordres de commande (loi de commande) à partir de l’erreur résultant de la comparaison entre les consignes et les mesures réalisées sur le processus.

1. b. Le calculateur :

La fonction initiale du calculateur est de réaliser la génération des ordres de commande à partir des consignes à atteindre et des mesures réalisées sur le processus. L’utilisation de calculateur dans la commande offre plusieurs avantages :

- La collecte et la mémorisation faciles des informations telles que les mesures. - L’échange de données avec d’autres calculateurs (fonction communication). - La possibilité de surveillance du système (détection de défauts ou de pannes). - L’optimisation de la loi de commande par rapport aux performances désirées et aux

caractéristiques du processus commandé.

Pour traiter les mesures réalisées sur le processus, il est nécessaire de convertir les grandeurs analogiques en grandeurs numériques avec un dispositif de conversion numérique analogique (C.N.A.). De même, pour appliquer les ordres de commande au processus, il est nécessaire de réaliser une conversion numérique-analogique( C.N.A.).

La commande par calculateur fait intervenir deux éléments importants qui assurent

l’interface entre la partie analogique et la partie numérique du système :

1. Les échantillonneurs qui captent au rythme de la période d’échantillonnage la valeur prise par les grandeurs continues afin d’en réaliser la conversion analogique-numérique.

2. Les bloqueurs (d’ordre 0) qui interviennent à la suite de la C.N.A. pour maintenir la commande constante entre deux instants d’échantillonnage.

6

L’horloge d’échantillonnage va être un élément essentiel du système. Le choix de sa période sera déterminant dans la conception d’un système échantillonné et on montre que si celle-ci est bien choisie, les systèmes échantillonnés ont un meilleur comportement que les systèmes continus équivalents. Nous allons discuter sur son choix.

1. c. Signal échantillonné

(i) Définition

Un signal est dit échantillonné s’il est transmis à des instants privilégiés appelés : instants d’échantillonnage. Le plus souvent, ces instants sont équidistants et l’espace entre ces instants s’appelle : la période d’échantillonnage, l’organe qui effectue le prélèvement des échantillons s’appelle échantillonneur.

Figure 2.1 Echantillonneur

(ii) Echantillonneur idéal

L’échantillonneur est idéal lorsque son prélèvement est instantané. Et dans ces conditions l’échantillonnage f(t) sera :

(t) = (t).p(t) Où p(t) est la fonction peigne de Dirac

p(t) =

(t) = (t) =

Comme f(t) est causale alors : (t) = 1. d. Choix de la période d’échantillonnage :

La période d’échantillonnage ne peut être choisie n’importe comment : • Si elle est trop petite, on travaille inutilement puisque le processus n’a pas le temps

d’évoluer entre deux instants d’échantillonnage. • Si elle est trop grande, on pourra rater des événements importants (des éventuelles

perturbations) au moment de l’observation de la sortie. Le théorème de Shannon nous donne la limite théorique pour la fréquence

d’échantillonnage ,

On doit avoir :

= >2

7

Où est la plus grande des fréquences transmises par le processus ; elle est donnée par la bande passante de celui-ci. Or, cette bande passante est directement liée à l’inertie du système, celle-ci est caractérisée par :

• La constante de temps τ s’il est du premier ordre. • La pulsation propre non amortie s’il est du second ordre.

2. Système échantillonné

2. a. Définition :

Un système est dit échantillonné si en un maillon au moins de la chaîne des éléments le constituant, l’information n’est transmise qu’à des instants privilégiés appelés instants d’échantillonnage. Il est dit échantillonné aussi si sa fonction régulateur est réalisé par un système programmable (calculateur ou système microprogrammé).

2. b. Modèle mathématique :

(i) Modèle générale

Soit un système du premier ordre muni de son B.O.Z. admettant pour fonction de transfert :

F(z) = 0

0

)(

)(

zz

k

zE

zS

−=

Si on pose = - ; = - ;

Il vient 1

1

11

1)(

)(−+

=−

za

zb

zE

zS

Soit S(z) – S(z) = E(z) Et en revenant aux échantillons

s(k) + s(k-1) = e(k-1) (2.1)

Pour un système du second ordre, la fonction de transfert d’un système linéaire continu a pour forme :

F(z) = ))((

)(

)(

)(

21

1

zzzz

zzK

zE

zS i

−−−= si 1≥ξ

= )*)((

)(

11

0

zzzz

zzK i

−−−

si 1<ξ

Dans ces deux expressions possibles de la fonction de transfert, les Ki, z0, 1z , *1z et z2 sont

des fonctions de ξ et nω . L’une ou l’autre forme de la fonction de transfert peut s’écrire :

8

=

Soit S(z) + S(z) + S(z) = E(z) + E(z)

Et en revenant aux échantillons :

s(k) + s(k-1) + s(k-2) = e(k-1) + e(k-2) (2.2)

Les relations (1) et (2) peuvent s’écrire sous la forme :

s(k) + s(k-1) = e(k-1) (2.1’)

s(k) + s(k-1) + s(k-2) = e(k-1) + e(k-2) (2.2’)

s(k) = - s(k-1) + e(k-1) (2.1’)

s(k) = - s(k-1) - s(k-2) + e(k-1) + e(k-2) (2.2’)

Ou encore :

s(k) =- s(k-1) + e(k-1)

s(k) = (2.3)

Pour un ordre m quelconque et sur la base de relation (3), le modèle général d’un système

échantillonné linéaire peut être décrit par l’algorithme :

s(k) = (2.4)

Avec m

Et d est un retard par multiple de la période d’échantillonnage.

(ii) Forme générale d’une fonction de transfert

En posant d’une manière générale x(k-1) = q-1 x(k) , où q-1 est l’opérateur retard, la relation (2.4) devient :

s(k) [ 1 + ] = e(k) )(

1

dtm

iiqb +−

=∑ (2.5)

Notons par N(q-1) le terme im

iiqb −

=∑

1

et par D(q-1) l’autre terme 1 + 1

1

−

=∑ qa

n

ii

La relation (2.5) s’écrit alors :

D(q-1) s(k) =q-d N(q-1) e(k)

9

En posant encore F( ) = q-d

)1(

1)(

−

−

qD

qN

Il vient s(k) = F( ) e(k)

La forme générale caractérisant de la fonction de transfert caractérisant le système s’obtient

en remplaçant par

Soit :

F( ) =

2. c. Fonction de transfert en boucle ouverte et n boucle fermée :

Considérons le système de la figure 2.2 :

Figure 2.2 : Système bouclé

Les fonctions de transfert sont définies par :

FTBO(z) = )(

)(

z

zS

ε= C(z). F(z) en boucle ouverte

FTBF(z) = = en boucle fermée

2. d. Modèle échantillonné du premier et du second ordre

(i) Modèle échantillonné du premier ordre

On considère un système du premier ordre de fonction de transfert F(p) :

F(p) =

Sa fonction de transfert muni de son BOZ s’écrit :

= F(z) = K avec =

• Le comportement statique :

Le comportement statique est déterminé par le gain statique (G.S.) donné par :

G.S.= F(z) = K = K

10

• Le comportement dynamique

Le comportement dynamique d’un système continu est influencé par sa constante de temps Revenons à l’équation de récurrence du 2.b.i pour calculer son temps de réponse à un échelon,

= k

s(k) - .s(k-1) = k.(1- En calculant les différents échantillons de la réponse, l’échantillon de rang n est donné par : s(n) = k (1 + …… + ) = k (1- Comme <1 alors quand n , et on retrouve le régime permanent S(n) = k. Pour obtenir le temps de réponse, on cherche le rang n de l’échantillon tel que :

S(n) > 0.95k

Le temps de réponse sera alors , une condition équivalente à 0.95k ≤ k

Soit , on entre dans le canal des 5% si n = 0ln

3

z

−.

Et comme alors n = donc le temps de réponse est

(ii) Modèle échantillonné du second ordre La transformée en Z utilise le changement de variable z = , ce qui implique obligatoirement que tout pôle pi de la fonction de transfert F(p) se transforme en un pôle z1 = e TP1− Le paragraphe suivant indique aussi le rôle joué par le pôle au sein de la stabilité d’un système.

a. Cas où les pôles sont réels

Le processus muni de son B.O.Z. admet pour fonction de transfert :

F(z) = k avec et

En développant cette expression, on arrive à :

F(z) = = ))((

)(

21

01

zzzz

zzK

−−−

Avec K1= K (21

2211 )1()1(

ττττ

−−−− zz

et z0 = )1()1(

)1()1(

2211

212121

zz

zzzz

−−−−−−

ττττ

L’échantillonnage conserve l’ordre du système, par contre, on voit apparaître un élément nouveau dans la fonction de transfert : c’est un zéro, résultat de l’échantillonnage blocage.

11

• Le comportement statique

Le gain statique caractérise le comportement statique du système, il est donné par :

G(0) = = K

• Le comportement dynamique

Il suffit d’abord d’observer la position des pôles : Si les pôles sont proches de 1, ils correspondent à des pôles proches de l’origine, donc le système répond lentement. Inversement plus les pôles sont proches de l’origine, plus le système est rapide. L’influence du zéro est assez intéressante car :

• Si -1< < 0 le zéro change peu de chose. • Plus se rapproche des pôles, plus le temps de montée diminue : la réponse est

nerveuse. • Si la réponse présente un dépassement, d’autant plus important que est

proche de 1.

b. Cas où les pôles sont complexes

Le processus muni de son B.O.Z. admet pour fonction de transfert :

F(z) = = KK1

Avec =

= Te ζωρ −=

T 21 ζ−

Z0=- 1

2cos

1

sin.2

K

−

−+ θ

ζθζρρ

Et K1 = 1 –

+

−θθ

ζζ

cossin.1 2

L’échantillonnage conserve l’ordre du système mais on constate comme précédemment qu’il fait apparaître naturellement un zéro. Même si ζ et sont fixes, il va donc influencer la forme de la réponse transitoire.

12

Cette fonction de transfert peut encore s’écrire sous la forme :

F(z) = k

Avec =

= 2

b0 = ρρ +2

−

−θθ

ζζ

cossin.1 2

b1 = ρ−1

+

−θθ

ζζ

cossin.1 2

• Le comportement en régime permanent

C’est le gain statique qui montre le comportement du système en régime permanent, le gain

statique est donné par G(0) =

Ce qui peut encore s’écrire : G(0) =

• Le comportement en régime dynamique

Il est caractérisé par :

- La position des pôles

- La position du zéro par rapport aux pôles.

Ces trois termes , et sont liés à ζ et et donc, on peut tracer des abaques

permettant de déterminer leurs valeurs à partir d’un cahier de charges. On va pour cela

supposerζ et fixes, donc que les pôles sont fixes également. On peut alors déterminer

l’influence du zéro sur la réponse à un échelon.

La réponse indicielle

K1 étant une constante, la réponse de F(z) à un échelon s’écrit :

S(z) =

En décomposant en éléments simples, l’échantillon de rang k de la réponse s’écrit :

= A. + B. + C (2.6)

13

Avec A = )*1)(1(

1

11

0

zz

z

−−−

B =)*)(1( 111

01

zzz

zz

−−−

C =)*)(1*(

*

111

01

zzz

zz

−−−

On retrouve le régime permanent A. comme = 1, le régime permanent tend vers A.

On retrouve aussi le régime dynamique fixé par les termes B.

En exprimant la somme de ces deux termes et en remplaçant kz1 par kρ et kz *1 par

kρ , il vient :

B. + C z1*k =

11 * zz

k

−ρ

−−−

−− − θθ jkjk e

z

zze

z

zz

11*

*

1

01

1

01 (2.7)

Comme nTe ζωρ −= , on observe une sinusoïde échantillonnée amortie autour du régime

permanent. L’évaluation de ces paramètres de cette sinusoïde échantillonnée amortie pourra se faire par la méthode par construction géométrique qui permet de localiser , et .

Figure 2.3 : position de , et

14

01 zz − est représenté par le vecteur de module et d’argument ϕ . 11 −z est représenté

par le vecteur A de module et d’argument ψ . Dans ces conditions :

γ

ρρ je

z

zz

1

0

1

01

1−=

−−

(2.8)

On calcule de la même manière

γ

ρρ jej

z

zz −=−

−

1

0

1

01

1*

* (2.9)

Le régime transitoire peut alors s’écrire :

B. + = *11

1

zz

z k

− ( γ

ρρ jej .

1

0− ) +11

*1

* zz

z k

− ( γ

ρρ jej .

1

0 )

Comme = kρ . et = kρ .

il vient. B + =11 * zz

k

−ρ

−+ ++− )(

1

0)(

1

0 θγθγ

ρρ

ρρ jkjkj ejej

= 11 * zz

k

−ρ

. j.2. 1

0

ρρ

cos( )( θγ k+

D’autre part 11 * zz − = ).( θθρ jj ee −−

= -2j ρ

Ce qui permet d’avoir B. + =θ

ρsin2 j

k

−.j.2.

1

0

ρρ

cos( )( θγ k+

En se rapportant à la relation (2.6), on définit la régime transitoire par Sk.

Où = A - )cos(.sin.1

01

θγθρ

ρρk

k

+−

(2.10)

Les pôles 1z et *1z étant fixes, on constate que si on fait varier z0, on fait varier également l’angleγ , donc le dépassement D.

• Paramètres du régime dynamique La réponse indicielle d’un système à pôles complexe est donnée dans la figure 2.4. Sur cette réponse on met en évidence le dépassement D, le temps de réponse où à lieu le premier dépassement nT. Ces deux paramètres sont bien sûr liés à ζ .

15

Figure 2.4 : Réponse indicielle d’un système à pôles complexes

La détermination de D et n s’effectue en utilisant diverses abaques. Telles que l’abaque des lieux des dépassements (Cf annexe 4) et l’abaque de lieu des temps de montée (Cf annexe 3) vient aussi s’ajouter à leur détermination. Il est dans ces conditions, possibles de :

• Déterminer les paramètres dynamiques d’un système dont la fonction de transfert de second ordre est connue.

• Synthétiser une fonction de transfert à partir d’un cahier de charges défini à priori.

3. Analyse 3. a. Stabilité : (i) Stabilité absolue : On se rappellera qu’un système est stable, lorsque, écarté de sa position initiale, il tend à y revenir. Cette condition s’applique aussi aux systèmes échantillonnés mais en ne considérant cette fois le système, qu’aux instants d’échantillonnage. Pour un système bouclé à retour unitaire :

FTBF (z) =

Ce système bouclé est stable si les racines de son équation caractéristique 1+FTBO(z)=0 ont, chacune, leur module inférieur à 1. Dans le plan des z, ils sont situés dans le cercle du rayon 1.

16

(ii) Critère de JURY : L’équation caractéristique 1 + FTBO(z) = 0 peut s’écrire :

1+ = 0

Où N(z) et D(z) représentent respectivement les polynômes numérateur et dénominateur de la FTBO. Cette fonction devient alors :

N(z) + D(z) = 0

Où encore Pour un système physique, tous les coefficients ai sont réels et >0 Le critère de JURY s’énonce ainsi qu’un système en boucle fermée est stable si les n + 1 conditions suivantes, portant sur les coefficients de son équation caractéristique, sont satisfaites :

1) >0 2) (-1)n. >0 3) < 4) - >0 pour j = 1, 2, …………., (n-2)

et avec 1+lka = pour 0 l 0

et 0

ia = (0 )

3. b. robustesse

Degré de stabilité et temps de réponse :

Comme dans le cas de tout systèmes continus (Cf annexe 2), estimer le degré de stabilité d’un système bouclé c’est quantifier son éloignement de la zone d’instabilité, ce qui revient à imposer aux n-racines de l’équation caractéristique de se trouver à l’intérieur d’un cercle de rayon R<1 et centré en 0.

Marge de gain – Marge de phase :

Pour un système échantillonné la marge de gain peut être définie de façon semblable au cas continu. Si est le gain statique du système échantillonné, et si est la valeur du gain qui conduirait le même système à la limite de stabilité alors :

17

- La marge de gain s’écrit :

Mg = Km/K0

- La marge de phase correspond aussi à :

M

Avec : argument de la FTBO pour une valeur de z telle que |FTBO(z)| = 1 Notons que la notion de marge de phase est peu utilisée pour les systèmes échantillonnés, car la phase est plutôt liée à la position des pôles de la fonction de transfert donc à la période d’échantillonnage. 3. c .Précision des systèmes asservis linéaires échantillonnés :

(i) Définition :

Généralement la précision d’un système est définie à partir de l’erreur--- entre la grandeur de consigne et la grandeur de sortie. On distinguera d’abord la précision statique qui caractérise la limite de l’erreur au bout d’un temps statique infini pour une entrée donnée, c'est-à-dire le régime permanent et la précision dynamique tenant compte des caractéristiques d’évolution du processus en régime transitoire.

(ii) La précision statique :

La précision statique est déterminée par la fonction de transfert :

La valeur limite de --- quand k tend vers ∞ peut s’écrire par :

=

Qui est l’écart statique dû à la consigne. On cite ci-dessous les écarts habituels correspondant aux échelons de positions de vitesse et d’accélération :

∗ Pour un échelon de position Kp =

∗ Pour un échelon de vitesse (ou traînage) Kv =

∗ Pour un échelon d’accélération Ka =

Où les coefficients sont les constantes d’erreurs (de position de vitesse et d’accélération) Le tableau 1 récapitule ces écarts.

18

Tableau 1

Ecart M=0 M=1 M=2

Position 1/ 0 0

Traînage T/ vK 0

accélération /

(iii) Précision dynamique :

Le comportement dynamique d’un système est essentiellement et entièrement caractérisé par la connaissance de son comportement fréquentiel. En système échantillonné on adopte la caractérisation du comportement dynamique d’un système à partir des deux types d’entrées en comparaison avec les comportements des systèmes continus du premier et second ordre.

• Comparaison avec les systèmes du premier ordre :

La réponse indicielle d’un système et l’amortissement de l’effet d’une perturbation sont caractérisés en continu par la constante du tempsτ .

• Comparaison avec les systèmes du second ordre :

L’étude des caractéristiques dynamiques d’un système échantillonné se déduit directement de celle d’un système continu dans le plan complexe et ainsi on a des relations entre constante de temps, de pulsation et d’amortissement. 4. Synthèse (la correction) Correction des systèmes asservis linéaires : On a vu que les systèmes asservis pouvaient présenter des défauts au regard d’un cahier de charges : une précision insuffisante, une stabilité trop relative voire instabilité, un temps de réaction trop lent, un dépassement trop important. Il est donc nécessaire d’intégrer dans le système un réseau correcteur dont l’objectif est d’améliorer un ou plusieurs de ces paramètres sans le faire au détriment des autres. Le correcteur sera numérique, donc programmable et pourra être décrit par un algorithme ou par une équation récurrente. 4. a. Conditions de mise en œuvre

(i) Le correcteur doit être physiquement réalisable

Un système est réalisable lorsque sa sortie ne précède pas l’entrée. Dans ces conditions, si l’équation récurrente de commande est :

(k-1)+…….+

19

Sa transformée en Z s’écrit : Ur(z)+a1z

-1Ur(z)+…….+anz-nUr(z)=ε (z)+b1z-1ε (z)+ ……….+bmz-m(z)

Soit Ur

(z)[1+a1z-1+…….+ anz

-n] = zm-nε (z) [1 + + ….. +

La fonction de transfert du correcteur s’écrit donc : C(z) =

La condition de réalisation du correcteur est m≤n (ii) Modèles numériques des correcteurs élémentaires L’intégration et la dérivation numérique n’existent pas mathématiquement. Il est donc nécessaire de discrétiser ces deux opérations.

• Dérivation discrétisée

On transpose la définition de la dérivée dans le domaine numérique

=

Où T est la période d’échantillonnage. Si l’on prend comme l’opérateur retard , on aura :

= = (1 - )

A l’opérateur continu dt

dcorrespond l’opérateur discrétisé (1 - )

T

1

• Intégration discrétisée

De même pour s(t) = La dérivation de cette expression par rapport à t donne

= x(t) = =

Qu’on en déduit s(t) = x(t) =

L’opérateur continu ∫dt correspond l’opérateur discrétisé

20

• Correcteurs élémentaires P, I et D Les correcteurs continus élémentaires ont pour fonction de transfert respectif (Cf annexe 2) (p) = pour l’action proportionnelle,

(p) = pour l’action intégrale,

(p) = p pour l’action dérivée, Or représente l’opérateur d’intégration et p l’opérateur dérivé. En remplaçant ces opérateurs

par leurs équivalents discrétisés dans les deux fonctions de transfert précédentes, On aura : CI( = = Ki

CD( = = Kd

En remplaçant par , il vient les fonctions de transfert des correcteurs numériques Intégrales (z) et Dérivées (z) (z) = avec

(z) = avec

La fonction de transfert du correcteur numérique proportionnel se déduit de la table de transformée en Z (Cf annexe 5) (z) = Notons que toutes combinaisons à partir de ces modèles élémentaires précédentes sont possibles pour avoir différentes dispositions de correcteurs.

21

Chapitre 3 PRESENTATION DU SYSTEME SYNUM

Le système SYNUM est un système didactique permettant l’étude de régulation et d’asservissement de position et de vitesse. Il comprend trois modules :

- Le module de commande et d’interface M24 - Le module électromécanique M26 - Le module logiciel M24-1.

1. Le module de commande M-24

Le module de commande M24 est conçu autour d’un régulateur numérique intégré de type industriel. Ce module est géré par un microprocesseur.

Il comprend également différentes interfaces de contrôle et de commande accessibles

par le bus du microprocesseur :

• Une interface pour codeur incrémental, • Une interface pour potentiomètre numérique, • Deux convertisseurs numérique/analogique, • Un port (8 entrées et 8 sorties logiques) associé à deux signaux de contrôle permettant

un dialogue parallèle géré par interruption, • Un port de communication série, • Un générateur de signaux d’horloge.

D’autre part, chacune des structures électroniques peut être étudiée séparément et son

fonctionnement observé grâce à de nombreux points test qui permettent de visualiser les signaux aux points cruciaux. La figure 4.1 donne le schéma fonctionnel du module M24.

Principe d’utilisation :

• De nombreux points test permettent d’observer le fonctionnement des différentes structures électroniques du module

• L’alimentation du module M24 provient du module M26 • L’opérateur agit sur le fonctionnement du module grâce au logiciel M24-1 implanté

sur micro-ordinateur de type compatible PC.

22

Figure 3.1 : Schéma fonctionnel du module M24.

23

2. Le logiciel M24-1 :

Ce module logiciel est destiné à réaliser une interface de dialogue entre le module de commande M24 et l’utilisateur. Il doit être implanté sur micro-ordinateur de type compatible PC équipé d’un moniteur et d’une carte graphique de résolution supérieure à CGA.

Son but est d’accéder à toutes les fonctionnalités du système.

• Accéder aux différents éléments du micro système • Modifier les paramètres de fonctionnement du système • Choisir les paramètres de régulation • Réaliser les essais en boucle ouverte et boucle fermée • Choisir ou réaliser différents types de régulation • Visualiser des courbes de réponse, les sauvegarder sur fichiers disque pour ensuite

pouvoir les comparer • Permettre dans tous les cas, différents types d’excitation (échelon constant, suivi de

consigne) • Réaliser automatiquement les calculs de transcodage.

Ce logiciel utilise la technique des menus déroulants. Les commandes peuvent être introduites au choix, par appui sur les touches clavier repérées sur l’écran du PC ou par utilisation de la souris.

Les pages écran de visualisation sont de deux types :

- Pages « textes » affichant les menus et les données, - Pages « graphiques » montrant les courbes de réponse.

3. Le module électromécanique M26 :

Le module M26 fait partie de la configuration de base du système SYNUM. Il comprend :

- Un ensemble prise secteur, interrupteur et fusible pour l’alimentation à partir du secteur 220V,

- Les alimentations régulées nécessaires aux circuits électroniques implantés sur module M24,

- Des interfaces pour fins de course (opto - coupleur), - Un support mécanique en aluminium anodisé sur lequel se monte le moteur à courant

continu, le potentiomètre numérique. Le moteur à courant continu de référence ESCAP 28D11-219E, à part ses

caractéristiques modélisées (Cf annexe 1) possède les caractéristiques suivantes : - Tension d’alimentation 24V - Constante de couple 39. [Nm/A] - Vitesse à vide 5900 [tr/mn] - Résistance de l’induit 9.2 [Ω]

24

Le codeur incrémental est couplé directement à l’axe du moteur à courant continu. Ce codeur délivre deux signaux en quadrature de phase à raison de 500 périodes par tour de rotation ainsi qu’un signal « d’index » à une impulsion par tour.

Le disque supporte deux graduations sérigraphiés, l’une repérant les degrés, l’autre repérant les incréments du codeur incrémental.

Module M26

Figure 3.2 : Schéma fonctionnel du module M26

4. Mise en communication du module avec le P.C. On passe à la ligne de commande du M.S. DOS pour lancer l’application « syn.exe » qui est le fichier exécutable du système SYNUM. On aura une image de présentation que l’on quitte en appuyant sur une touche quelconque du clavier. Le logiciel assure la mise en communication en testant l’un des ports « série » du PC. Si un module M24 est connecté au P.C., le logiciel affiche le menu d’entrée. 5. Présentation de l’interface Le menu d’entrée principale comprend les cinq tâches suivantes : Tâches, Applications, Configuration, Quitter, A propos de. Chacune des tâches est décrite succinctement dans le tableau 2.

Alimentation +24V

Alimentation Régulée +5V

Alimentation Régulée+/- 12V

Moteur à Courant

continu

Potentiomètre

numérique

Codeur

Incrémental HP

HEDS 7501

Prise secteur Module M24

25

Tableau 2

MENUS Sous Menu Action

Tâches REG…

PRN…

PMN…

Effectuer des essais en Boucle Fermée

Permettre l’accès aux registres du régulateur

Effectuer des essais expérimentaux en Boucle Ouverte

Permettre l’accès aux éléments matériels du moniteur

M24 tels que :

• Le Convertisseur Analogique

• Les afficheurs

• Le sélecteur d’horloge

• Les ports d’Entrée Sortie parallèle

• La mémoire Ram du M24

• Le registre du régulateur numérique

• Les compteurs pour signaux en quadrature de phase

Application Les sous menus correspondant au menu application

mettent en œuvre le système SYNUM dans des domaines

divers tels que :

• Régulation et asservissement

• Méthodologie d’expérimentation

• Mouvement mécanique

• Technique d’interfaçage et de communication

• Accès à des fonctionnalités particulières du système

tels que des algorithmes de régulation programmés

sur microcontrôleur (en assembleur) ou sur micro-

ordinateur (en langage C)

Configuration • Permet d’informer le logiciel des modifications

éventuelles de caractéristiques matérielles

Quitter Permet de quitter le logiciel et de redonner la main à la

commande MSDOS du micro-ordinateur

A propos de… Donne accès à une page d’informations sur le numéro de

version du logiciel…

26

Chapitre 4 DESCRIPTION DU BANC D’ESSAI

1. Introduction

Le travail consiste à mettre en œuvre le système SYNUM en validant l’algorithme de régulation programmé en langage assembleur sur microprocesseur 8031. Il permet également de vérifier expérimentalement un certain nombre de notions concernant les asservissements numériques telles que :

• Les calculs des fonctions de transfert que ce soit en boucle ouverte ou en boucle fermée

• Les comportements dynamiques d’un système numérique du premier ou du second ordre

• Les influences séparées ou conjuguées des actions des correcteurs de type P ou I numériques.

• La stabilité en boucle fermée des systèmes numériques.

2. Structure générale Le schéma de principe du système est représenté par la figure 4.1.

Figure 4.1 : Schéma de principe du système

3. Organisation interne : Le régulateur numérique HCTL 1000 est un circuit de contrôle de mouvement universel à haute performance implanté dans le module M24. Le microprocesseur 8031 lui spécifie les commandes pour réaliser un système complet d’asservissement. Ce dernier est relié à un PC via une liaison série RS 232 pour assurer le dialogue avec l’opérateur grâce au logiciel SYN. Les commandes sont fournies au HCTL 1000 en entrée par le microprocesseur 8031. Un bus d’adresses / données 8 bits bidirectionnel et multiplexé relie le HCTL 1000 à ce processeur de commande. Les données de position proviennent du codeur incrémental délivrant des signaux en quadrature de phase. Les données issues du codeur sont traitées par un comptage en quadrature de phase et un compteur 24 bits conserve l’information de position (position, vitesse, accélération) L’organisation interne est esquissée par le schéma bloc de la figure 4.2.

27

Figure 4.2 : Organisation interne du système SUNUM.

4. Modes de commande

Le HCTL 1000 offre quatre algorithmes de commande : 1. La commande de position 2. La commande proportionnelle de vitesse 3. La commande de profil trapézoïdal 4. La commande intégrale de vitesse

• La commande de position permet d’effectuer des déplacements de position sans profil de vitesse. A cet effet, l’utilisateur spécifie une commande de position inscrite sous 24 bits.

• La commande proportionnelle de vitesse permet d’asservir la vitesse en utilisant

uniquement le facteur de gain. • La commande intégrale de vitesse permet d’asservir à partir d’un profil continu déterminé

par une vitesse et une accélération commandée. • La commande de profil trapézoïdal effectue des déplacements de position et profile la

trajectoire de la vitesse sous forme d’un trapèze ou d’un triangle. L’utilisateur se contente dans ce cas de spécifier la position finale à atteindre, ainsi que l’accélération et la vitesse maximale.

Le générateur de consigne résident calcule les profils nécessaires pour la commande de profil trapézoïdal et la commande intégrale de vitesse. L’asservissement de position ou de vitesse est obtenu par comparaison de la valeur souhaitée avec la valeur réelle, ce qui permet de calculer une commande compensée grâce au correcteur numérique.

28

5. Le Correcteur

Tous les modes de commande utilisent d’une façon ou d’une autre le filtre numérique programmable D(z) pour la stabilité du système asservi. La compensation D(z) s’écrit :

D(z) = )256/(

)256/(

Bz

Az

+−

Où z est la variable, k le gain, A le zéro et B le pôle. Tous les paramètres A, B, k mentionnées ci-dessous sont des données scalaires de 8 bits. Le filtre numérique utilise les données pré échantillonnées pour calculer D(z). Pour la commande de position, la commande intégrale de vitesse et la commande de profil trapézoïdal, le filtre est mis en œuvre comme suit : Mcn = [(k/4) Xn] – [(A/256) (k/4) Xn-1 + (B/256) MCn-1] Où n est la période d’échantillonnage courante,

n-1 la période d’échantillonnage précédente, MCn la sortie de la commande du moteur à n, MCn-1 la sortie de la commande du moteur à n-1, Xn la (position de commande – position réelle) à n, Xn-1 la (position de commande – position réelle) à n-1.

Pour la commande proportionnelle de vitesse, le filtre de compensation numérique est mis en œuvre comme suit : MCn = (k/4) Yn

Où Yn la (vitesse de commande – vitesse réelle) à n. Le filtre numérique attaque ensuite un B.O.Z.

6. Le Capteur Le déplacement angulaire de la partie mobile en rotation est détecté par un codeur incrémental à trois voies : 2 voies délivrant deux signaux en quadrature de phase dont le nombre de périodes par tour correspond au nombre de fentes par voies sur le disque du codeur. 1 voie appelé index délivrant une impulsion par tour. 6. a. Les gains du capteur :

• Pour la mesure de position

Le schéma fonctionnel du capteur s’illustre comme suit

Mn

29

Le gain s’écrit : = = 4n [incréments/tr]

Où n est le nombre de fentes du codeur est le déplacement angulaire [tr] Et Mn la grandeur exprimée en nombre d’impulsions [inc].

• Pour la mesure de la vitesse Le schéma fonctionnel du capteur est : N Mnv

Le gain v s’écrit = = 4 [incréments/tr/min]

Où N est la vitesse de la roue, Mnv est le nombre d’impulsions comptées pendant une période d’échantillonnage

exprimé en [inc], et Te est la période d’échantillonnage.

• Pour la mesure de l’accélération

Le schéma fonctionnel du capteur est de la forme : … a Mna Le gain a s’écrit = = 4 Te2 [incréments/(tr/

Où a désigne l’accélération de la roue codeuse [tr/], Mna est la variation de nombre d’impulsions entre deux périodes d’échantillonnage exprimé en [inc], Te est la période d’échantillonnage. 6. b. Les types de capteur : Le système SYNUM dispose deux types de capteur :

1. Le capteur de boucle 2. Le capteur de mesure

Le capteur de boucle donne au régulateur les informations de vitesse ou de position utiles pour la gestion des mouvements tandis que le capteur de mesure est destiné au suivi en temps réel de l’évolution de la position ou de la vitesse. Lors des essais il y a mémorisation des échantillons dans la mémoire vive du système en vue d’un ultérieur traitement et chargement dans la C.N.A. de mesure.

v

a

30

7. Descriptions du fonctionnement interne du système SYNUM Le but du travail étant de mettre en œuvre le système SYNUM en validant l’algorithme de régulation programmé en langage assembleur sur le microprocesseur 8031. Le circuit 8031 d’INTEL est un régulateur PI numérique microprogrammé implanté dans le système, il est paramétrable par deux coefficients Ka et Kb. Sa période d’échantillonnage est la période d’échantillonnage de mesure Tem. Les coefficients Ka et Kb sont des scalaires codés sur 8 bits (valeur décimale comprise entre 0 et 255).

La relation de récurrence entre les échantillons de l’écart et les échantillons de sortie du régulateur est :

Sn = Sn – 1 + 16

Ka (En-En-1) +

256

Kb En (4.1)

Où Ka est le coefficient d’action proportionnelle, Kb est le coefficient d’action intégrale, En est l’échantillon de l’écart (Cn-Mn) à l’instant t=n. Tem, En-1 est l’échantillon de l’écart (Cn-1 – Mn-1) Cn est l’échantillon de consigne à l’instant t=n. Tem, Mn est l’échantillon de mesure à l’instant t=n.Tem, Srn est le résultat de calcul chargé en sortie du régulateur à l’instant d’échantillonnage

(t=n.Tem). Srn-1 est le résultat de calcul obtenu à l’instant d’échantillonnage précédent (t = (n-1).Tem). La transformée en Z de la relation de récurrence (4.1) donne la relation (4.2) :

Sr(z) – Sr(z-1) =16

Ka [E(z) – E(z-1)] +

256

Kb E(z) (4.2)

Ce qui conduit à une fonction de transfert en z noté K(z) d’expression :

K(z) = = 16

Ka +

256

Kb (4.3)

L’obtention de la fonction de transfert du système mène à décrire chacun des particularités des cas du correcteur.

31

7. a. Cas où le correcteur est de type Proportionnel P

Dans ce cas le coefficient Kb est nul, et la relation de récurrence entre les échantillons de l’écart et les échantillons de sortie a pour expression :

= 16

Ka (Cn – Mn)

Avec Ka le coefficient réglable d’action proportionnelle, grandeur scalaire codée sur 8 bits. Le gain du capteur de vitesse est donné par la relation suivante : Tem

Où n est le nombre de fentes du codeur (pour le système SYNUM n =500) Tem est la période d’échantillonnage de mesure.

• Expression de la FTBO et FTBF en tenant compte du B.O.Z.

O(p) = Kp

Si on fait le changement de variable z= avec la transformée en z de [)1( 0 pTp +

δ]

On a la fonction de transfert en z O(z) = Kp (1- ) Si on pose b= exp ( ),

On obtient la fonction de transfert en boucle ouverte :

O(z) = Kp (4.4)

On en déduit de la relation (4.4) la fonction de transfert en boucle fermée :

F(z) =

F(z) = (4.5)

32

• La réponse du système Mnv(t) suite à une échelon de consigne

Soit Cnv(t) = A u(t), le type de l’entrée A étant constant

Alors Cnv (p) = p

Aet Cnv (z) =

1

.

−z

zA

A partir de la fonction de transfert on exprime alors Mnv(z)

Mnv(z) = F(z) Cnv(z)

Soit Mnv(z) = )1.(.

)1.(.

bKpbz

bKp

−+−−

δδ

1

.

−z

zA

Si on pose e FT

Tem− = b -

= b+ 16

Ka

et KF = )1.(.

)1.(.

bKpbz

bKp

−+−−

δδ

=δ

δ.1

.

Kp

Kp

+=

δδ

.16

.

Ka

Ka

+

L’expression de Mnv(z) devient

Mnv(z) = A.

)e)(1(

).e1(

F

F

T

Tem-

T

-Tem

−−

−

zz

z

En se référant à la table de transformée, on en déduit Mnv(t) qui est la réponse du système

suite à un échelon de consigne

Mnv(t) = .A.(1- FT

t

e−

)

• Le gain statique en boucle fermée

Le gain statique G.S. s’obtient en faisant z=1 dans la fonction de transfert (4.5)

G.S. = δ

δ.1

.

Kp

Kp

+

=δ

δ.16

.

Ka

Ka

+

33

7. b. Cas où le correcteur est de type Intégral I

D’après la relation de récurrence (4.1), l’action proportionnelle est annulée

= + En

On en déduit la relation en z en se rappelant que multiplier par , c’est retarder d’une période d’échantillonnage :

Sr(z)= Sr(z) + E(z)

On obtient la fonction de transfert du correcteur

Avec K(z) =)(

)(

zE

zSr=

=

• Expression de la constante de temps Ti de l’action intégrale

Le coefficient Ki d’un intégrateur numérique a pour expression générale Ki =

Où Te est la période d’échantillonnage Dans le cas du circuit 8031, Te = Tem, entraînant ainsi Ki =

Donnant ainsi la valeur de la constante de temps Ti, tel que : Ti =

• Expression des fonctions de transfert de l’ensemble

La fonction de transfert de l’ensemble processus capteur-bloqueur a été déterminé auparavant et est de la forme :

O’(z) =

La fonction de transfert en boucle ouverte est alors donnée par la relation : O(z) = K(z) O’(z)

34

Ce qui donne comme fonction de transfert en boucle ouverte

O(z) = = Ki

La fonction de transfert en boucle fermée a pour expression

F(z) = =

• Le gain statique G.S.

Le gain statique est obtenu en faisant z = 1 dans la fonction de transfert

G.S.= F(1) = 1

• La vitesse N en régime établi La dernière relation G.S. + 1 entraîne = 1

D’où l’expression de la vitesse en régime établi =

• La stabilité du système

Si on se réfère dans le plan complexe, le système reste stable tant que les pôles de la fonction de transfert en boucle fermée restent à l’intérieur du cercle unité Or si on exprime F(z) sous la forme : F(z) =

Avec K= et = 0 S = b+1 – la somme des pôles P = b le produit des pôles La condition de stabilité peut être exprimée sous la forme :

-1<P<1 équivaut à -1< <1

35

Tem étant toujours choisie inférieure à , le système est théoriquement toujours stable, quelque soit la valeur de Kb. 7. c. Cas où le correcteur est de type PI

D’après la relation de récurrence (4.1) et si on pose Ki =256

Kb et Kp =

256

Ka

On obtient la relation Sr(z) = Sr(z) + Kp ((z) – E(z) ) + Ki.E(z)

Soit Sr(z) = 11

)(−− z

zE . [Ki + Kp. (1-

On obtient la fonction de transfert du correcteur

K(z) = )(

)(

zE

zSr = Kp + Ki

• Expression de la fonction de transfert en boucle ouverte O(z) •

O(z) = )(

)(

zE

zMnv = K(z)

)(

)1(

bz

b

−−δ

avec b =

On aura ensuite :

O(z) = )1)((

]).)[(1(

−−−+−

zbz

KpzKiKpbδ

• Expression de la fonction de transfert en boucle fermée F(z)

F(z) = )(1

)(

)(

)(

zO

zO

zCnv

zMnv

+=

On obtient F(z) = )]1(.)).).(1.(1(

]).)[(1.(2 bKpbzKiKpbbz

KpzKiKpb

−−++−−+−−+−

δδδ

(4.7)

• Expression du gain statique

Le gain statique s’obtient en remplaçant z par 1 dans la fonction de transfert en boucle fermée

• Condition de stabilité

On pourra mettre la fonction (4.7) sous la forme suivante :

F(z) = PSzz

zzKF

+−−

20)(

= )*)((

)(

11

0

zzzz

zzKF

−−−

36

Avec :

= et =

S = = b+1 - la somme des pôles de F(z)

P = = b – Kp .(1-b) le produit des pôles de F(z)

Le système reste stable tant que le pôle de la fonction de transfert reste à l’intérieur du cercle

unité, une condition équivalente à -1 < P < 1 entraînant ainsi : < Kp <

Or Kp est un coefficient positif, donc il y a stabilité tant que :

0 < Kp <

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BIBLIOGRAPHIE

[1] Cours de « Système Asservi Linéaire Continu », E 420, Département Electronique, ES

Polytechnique d’Antananarivo, 2000/2001

[2] Cours de « Système Asservi Linéaire Echantillonnée », E 421, Département Electronique,

ES Polytechnique d’Antananarivo, 2000/2001

[3] Jean Luc AZAN, PRECIS D’ELECTRONIQUE, Tome 1, Bréal éditions, 1993.

[4] Jean Luc AZAN, PRECIS D’ELECTRONIQUE, Tome 2, Bréal éditions, 1993.

[5] Michel VILLAIN, Systèmes asservis linéaires, BORDAS, Paris, 1977.

[6] F de CARFORT ; C. FOULARD ; J CALVET, Asservissements linaires continus,

BORDAS, Paris, 1976

Pages web : www.gorkhali.com/kamal

www.phytem.ens-cachan.fr/coursenligne.htm

[7] Thiery HANS et Jean Luc ROHOU « Moniteurs M24, M25, M26 », Edition mentor, 26

Avenue Dugay-Trouin

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Titre : « CONTRIBUTION A L’ELABORATION DES TRAVAUX PRATIQU ES EN AUTOMATIQUES »

Nombre de pages : 62 Nombre de figures : 10 Nombre de tableaux : 02

Mots-clés : asservissement, automatique, échantillonnés, performance

RESUME

Cet ouvrage présente une contribution à l’élaboration des travaux pratiques en

automatique, introduisant aussi les concepts de base de la modélisation de système asservi

linéaire échantillonné avec utilisation d’un système didactique SYNUM comme appui

pratique. Choisir et mettre en œuvre un système asservi revient à exprimer ces performances

exprimées en termes de précision, rapidité et stabilité Ce travail ne permet pas seulement de

vérifier les notions théoriques mais aussi de progresser dans la conception de systèmes

asservis.

Auteur : RANOSY Miariniaina Tojonirina Adresse de l’auteur : Lot 36 Ambohidratrimo Antananarivo 105. Adresse e-mail : ranosy_tojonirina@yahoo.fr Contact : 034 06 700 06 Rapporteur : Mr RATSIMBA Mamy Nirina