Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16...
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16 décembre 2003 1/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-
différentiels linéaires
B. Marx
sous la direction de D. Georges et D. Koenig
Laboratoire d’Automatique de GrenobleUMR CNRS-UJF-INPG
B.P. 46, 38402 Saint Martin d’Hères, France
16 décembre 2003 2/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
• Introduction aux systèmes singuliers
• Placement optimal de capteurs et d'actionneurs
• Diagnostic robuste de défauts
• Commande multicritère et commande tolérante aux défauts
• Conclusion & Publications
Syst. Sing.
Introduction
Conclusion
Diag. Robuste
Plact Opt. CA
Commande
Plan de la présentation
16 décembre 2003 3/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Définition des Systèmes singuliersSyst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande Pour la modélisation de systèmes physiques on utilise des
• relations dynamiques (loi de comportement, stockage, PFD, etc.)
• relations statiques (maillage, équilibre de bilans, etc.)
))t(y),t(u),t(x(g0))t(y),t(u),t(x),t(x(f0
On a donc un modèle du type :
)t(Du)t(Cx)t(y)t(Bu)t(Ax)t(xE
)x(dimnr)E(rang
après linéarisation, le modèle devient :
avec
0D on peut supposer
Diag. Robuste
16 décembre 2003 4/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Formes équivalentesSyst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande
pour P et Q non singulières on a :
DCQ
PBPAQ,PEQ
DC
BA,E
Forme équivalente standard :
)t(xC)t(xC)t(y)nilpotenteN()t(uB)t(x)t(xN
)t(uB)t(xA)t(x
2211
222
1111
Forme équivalente par décomposition par valeurs singulières :
)t(xC)t(xC)t(y)t(uB)t(xA)t(xA0)t(uB)t(xA)t(xA)t(x
2211
2222121
12121111
sous-syst. usuel
sous -syst. non propre
dynamique
statique
Diag. Robuste
16 décembre 2003 5/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Réponse temporelleSyst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande • Réponse temporelle
)t(uBNC)d)(uBexQ0Ie(C)t(y1h
0k
)k(2
k21
)t(At
00
1tA1
1
1
• régularité unicité de la trajectoire x(t) pour u(t) et x0 données
det(sE-A) 0
• système non impulsif
admet une représentation usuelle
a une fonction de transfert propre
N=0, dans la forme équivalente standard
A22 inversible dans la forme équivalente par SVD de E
sous-syst. usuel
sous syst.non propre
Diag. Robuste
16 décembre 2003 6/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Intérêts des systèmes singuliersSyst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande
• signification physique des variables
• combinaison de relations dynamiques et statiques
• systèmes rectangulaires
• systèmes interconnectés
• systèmes impulsifs
• mauvais conditionnement de E-1A, pour E inversible
Diag. Robuste
16 décembre 2003 7/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Commandabilité des syst. singuliersSyst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande
(E,A,B)commandable
sous-syst. usuelcommandable
sous-syst. non propre
commandable
K tel que les pôles
finis de (E,A+BK) soient arbitrairement placés
K tel que (E,A+BK) soit non impulsif
(E,A,B) Imp-commandable
Diag. Robuste
(E,A,C)observable
sous-syst. usuelobservable
sous-syst. non propreobservable
L tel que les pôles
finis de (E,A+LC) soient arbitrairement placés
L tel que (E,A+LC) soit non impulsif
(E,A,C) Imp-observable
16 décembre 2003 8/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
État du système
(E,A,B) R-commandable et Imp-commandable
ExempleSyst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande
Circuit RLC parallèle :à t=1, on applique v=1 V
décrit par la forme singulière
2
1
2
1
2
1
i
i
q
100
010y,v
1
1
0
i
i
q
00C/1
R00
010
i
i
q
000
L00
001
v(t) C
R
L
i1(t)
i2(t)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-0.14
-0.12
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
x(t), avec retour d'étatnormalisant
(E,A,C) R-observable etImp-observable
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.14
-0.12
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
Éstimée de x(t), avec retour d'état observé
de fonction de transfert T
RsL
1Cs)s(G
Diag. Robuste
16 décembre 2003 9/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Placement optimal de capteurs/actionneurs
Syst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande
• Problème : quelles grandeurs mesurer ?
sur quelles grandeurs agir ?
• Méthodes (pour systèmes usuels) :
• assurer l'observabilité / la commandabilité
• minimiser une erreur d'estimation / un coût de
commande pour un type d'observateur / correcteur donné
• performances en boucle fermée (norme H,…)
• maximiser les transferts d'énergie
Diag. Robuste
16 décembre 2003 10/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Principe et avantages des méthodes énergétiques de POC/A
Syst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande
• Avantages :
environnement(correcteur,…)
environnement(observateur,correcteur,…)
• ne dépend pas de la structure de supervision
• fondement théorique : interprétation énergétique des
grammiens :
0)t(uetX)0(xpour,XGXdt)t(y)t(y
X)(x,0)0(xpour,XGXdt)t(u)t(umin
00oT0
0
T
1c
T
0
T
u
énergie énergie
localisationdes actionneurs
énergie énergie
localisationdes capteurs
système
• Principe :
Diag. Robuste
16 décembre 2003 11/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Calcul des grammiens généralisés pour systèmes singuliers
Syst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande
(i) Gccc, Gc
ncc et Gcc= Gc
cc + Gcncc satisfont respectivement
)3(
BBBBEEG
...2/AGAG2/0
)2(BBGEEG0
)1(BBAGAG0
T0
T0
T1
T1
T1
Tcc1
T10
Tcc
cc10
T1
T1
nccc
T1
Tnccc1
T0
T0
T0
Tccc
ccc0
(ii) Si (E, A) est stable, Gccc 0 , Gc
ncc 0 et Gcc 0, sont les
uniques solutions de (1), (2) et (3) respectivement
(iii) Si (E, A) est stable, (E, A, B) est commandable si et seulement si Gc
c>0 est l'unique solution de (3).
=> Résultats analogues pour l'observabilité (par dualité)=> Résultats en temps discrets déjà établis
Théorème.
Diag. Robuste
16 décembre 2003 12/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Syst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande
Interprétation énergétique des grammiens généralisés
Théorème.(i) L'énergie de commande minimale pour amener un système en X, depuis x(t0)=0, en un temps infini, est donnée par :
X)G(X
)k(u)k(umin)X(E
1cd
T0k
T
uu
(ii) L'énergie de sortie d'un système libre, générée par une condition initiale x(0)=X, est donnée par :
X)PQ)(G()PQ(X
)k(y)k(y)X(E
1od
TT0k
Ty
Maximisation de Gdc
=> minimisation de l'énergie de commande
Maximisation de (PQ)-TGdo(PQ)-1
=> maximisation de l'énergie de sortie
Diag. Robuste
16 décembre 2003 13/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Optimisation de l'observabilité ou de la commandabilité
Syst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande• Placement de nc capteurs maximiser l'énergie de sortie
le placement optimal correspond à la matrice C solution de
sous les contraintes et
))PQ(G)PQ((TracemaxJ 1oc
T
c
co
ij
0G1,0cn,...,1i,1c coijc
Oj
ij
• Placement de na actionneurs minimiser l'énergie de commande
le placement optimal correspond à la matrice B solution de
sous les contraintes et)G(TracemaxJ c
cb
cc
ij
0G1,0bn,...,1i,1b ccija
Ci
ij
Problèmes d'optimisation entière
Diag. Robuste
16 décembre 2003 14/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Syst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande
Réalisation et grammiens équilibrés
Pour (E,A,B,C) commandable et observable, il existe T1 et T2 telles que :
cas continu : et
cas discret : et
où et
T
c2
c1c
c P0
0PG
Q0
0QG
c2
c1Tc
o
T
c2
c1d
c P0
0PG
Q0
0QG
c2
c1Td
o
12
11
T0
0TPP Q
T0
0TQ
2
1
Les énergies de commande optimale, Eu(X), et de sortie, Ey(X),
s'écrivent alors :
et XP0
0PX)X(EXP
0
0PX)X(E
1
d2
d1TT
y1
1
d2
d1TT
u
Diag. Robuste
16 décembre 2003 15/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Syst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande
Optimisation jointe de l'observabilité
et de la commandabilité• Placement de nc capteurs et /ou na actionneurs
maximiser l'énergie transmise des entrées vers les sorties,
le placement optimal correspond à la matrice C et/ou B solution de
sous les contraintes
1,0cn,...,1i,1c ijc
Oj
ij
1,0bn,...,1i,1b ija
Ci
ij
T
c2
c1T
b,c
c P0
0PTracemaxJ
ijij
00
0c2
c1
Diag. Robuste
16 décembre 2003 16/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Diagnostic robusteSyst. Sing.
Introduction
Conclusion
Diag. Robuste
Plact Opt. CA
Commande
système capteursactionneursconsigne mesures
Modèle nominal
générateur de résidus
traitement des résidus
nature, valeur, instant d'apparition,... des défauts
besoin d'étudier les défauts, malgré les perturbations
généralement insuffisant car :
• bruits, dynamiques non modélisées, variation de paramètres… perturbations
perturbations défauts
• biais, dérives, pannes,... défauts
16 décembre 2003 17/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Diagnostic robuste pour systèmes singuliers
Syst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande
• méthodes a priori - traitement (logique, statistique,...) des
données brutes :
validation de bilans pour systèmes interconnectés
• méthodes a posteriori - comparaison entre des grandeurs
mesurées et des grandeurs estimées :
diagnostic robuste par filtrage-H
diagnostic robuste par factorisation coprime
estimation des fautes par observateur PI à entrées
inconnues
Diag. Robuste
16 décembre 2003 18/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Validation de bilans pour systèmes interconnectés
Syst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande
• méthode :
approche graphique : système équivalent à un graphe
génération de résidus par arcs et par nœuds
logiques de décision pour générer des alarmes
• objectifs :
détecter et localiser des défauts de mesures (dérives,…)
détecter et localiser des défauts système (fuites,…)
validité à l'apparition de défauts multiples
Diag. Robuste
• résultats :
détection et localisation de défauts multiples
minimisation des fausses alarmes,
décentralisation possible
16 décembre 2003 19/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Diagnostic par filtrage-HSyst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande• Positionnement du problème :
système décrit par
ou)t(dE)t(fR)t(Du)t(Cx)t(y
)t(dE)t(fR)t(Bu)t(Ax)t(xE
22
11
)s(d)s(G)s(f)s(G)s(u)s(G)s(y dfu
• Hypothèse :
faisceau (E,A) régulier
• Objectifs :
génération de résidus
modeler la réponse fréquentielle aux défauts
imposer un gabarit de robustesse aux perturbations
• Méthode :
généralisation du filtrage-H aux systèmes singuliers
Diag. Robuste
16 décembre 2003 20/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Syst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande
Diagnostic par filtrage-H
• Formulation sous forme de contrôle H :
Gf(s)
Gd(s) +
K(s)
r
wzgénération de résidus
modeler Gfr(s)gabarit de robustesseproblème standard H
Wf(s)
-
+
y
Déterminer le K(s) qui minimise la norme H de Gwz(s)
Wd(s) Gf(s)
Gd(s)
Gu(s)+
-Gu(s)
K(s)+f
u
dr
génération de résidusmodeler Gfr(s)gabarit de robustesse
Wf(s)
- +
z
Déterminer le K(s) qui minimise ||K(s)Gf(s)-Wf(s) K(s)Gd(s)Wd(s) ||
Wd(s)
Gf(s)
Gd(s)
Gu(s)+
-Gu(s)
K(s)+f
u
dr
génération de résidusmodeler Gfr(s)
Wf(s)
- +
z
Déterminer le K(s) qui minimise ||K(s)Gf(s)-Wf(s)||
Gf(s)
Gd(s)
Gu(s)+
-Gu(s)
K(s)+f
u
d rgénération de résidus
• Résolution :
synthèse de K(s) par résolution de LMI strictes
• Limite de cette approche :
générateur de résidus éventuellement impulsif
Diag. Robuste
16 décembre 2003 21/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Diagnostic par factorisation coprime Syst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande
• Hypothèses :
faisceau (E,A) régulier
système (E,A,C) Imp-observable et détectable
• Objectifs :
génération de résidus par des filtres propres
modeler la réponse fréquentielle aux défauts
imposer un gabarit de robustesse aux perturbations
• Méthode :
factorisation coprime du système
formulation H du diagnostic
• Système :
dEfRDuCxydEfRBuAxxE
22
11
Diag. Robuste
16 décembre 2003 22/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Factorisation coprime de systèmes singuliers
Syst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande
Théorème.Un système régulier et Imp-observable admet
une factorisation coprime avec
et
DC
BA,E)s(G
)s(N~
)s(M~
)s(G 1
IC
ILCA,E)s(M
~
DC
LDBLCA,E)s(N
~
)s(N~
)s(M~
)s(G)s(N~
)s(M~
)s(G)s(N~
)s(M~
)s(G d1
df1
fu1
u
2
21d
2
21fu EC
LEELCA,E)s(N
~
RC
LRRLCA,E)s(N
~
DC
LDBLCA,E)s(N
~
Application à la génération de résidus
)s(d)s(N~
)s(f)s(N~
)s(u)s(N~
)s(y)s(M~
)s(r
df
u
cofacteurs propres, réalisables par une représentation usuelle
générateur de résidus propre (choix de L)
Diag. Robuste
16 décembre 2003 23/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Synthèse du module de diagnosticSyst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande
Théorème. Le choix du gain L, n'influe pas sur les performances du
module de diagnostic
Algorithme de synthèse du module de diagnostic.
Gu(s)
~ -Nu(s)
~ M(s)+
u
y+
Gf(s)f
Gd(s)d
r
1. Déterminer L, telle que (E,A+LC) soit admissible, par résolution d'une LMI stricte.
d
fDERxCE0Cy
rd
f0Dx0C0z
r
0
0
0
d
f
B0
0B
DER
x
A00
0A0
CE0A
x
d22d2
ff
d
f
d11
d
f
d1
Gu(s)
~ -Nu(s)
~ M(s)
Qd(s)
+
u
y+
Gf(s)
Wf(s)
f
r
+- zGd(s)dWd(s)d
r
2. Déterminer Qd(s), solution d'un problème H standard pour le système non singulier (LMI)
Diag. Robuste
16 décembre 2003 24/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Exemple de diagnostic par factorisation coprime
Syst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande
On considère le système défini par
d10
00f
10
00x
0100
0010y
d
00
00
00
01
f
00
00
00
01
u
10
00
00
01
x
1000
0100
00105
00115
x
0000
1000
0010
0001
On applique la synthèse pour les fonctions de pondérations :
s01.01
s001.010
0s01.01
s001.01
)s(W
s01.01
10
0s01.01
1
)s(W df
avec
onsin,0
5t3pour,1)t(f
onsin,0
4t1pour),t(u)t(f 21
Diag. Robuste
16 décembre 2003 25/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Exemple de diagnostic par factorisation coprime
Syst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande
0 1 2 3 4 5 6-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Frequency (rad/sec)
Sin
gula
r V
alue
s (d
B)
Singular Values
100 101 102 103 104 105 106-200
-180
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
Résultats obtenus :
Fautes (pointillés noirs) et résidus
(traits rouge)Valeurs singulières de la sensibilité à d (bleu), et gabarit
(vert)
Diag. Robuste
16 décembre 2003 26/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Estimation des défauts par observateur PI à entrées inconnues
Syst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande
• Hypothèses :
(E, A, C) Imp-observable (H1)
rang [E E1] = rang E (H2)
défaut vérifiant df(t)/dt=0 (H3)
• Objectifs :
estimation robuste de l'état et des défauts
gabarit de robusesse
• Méthode :
extension de l'observateur PI aux systèmes singuliers
synthèse d'un banc d'observateurs dédiés
• Système : )(fRuDxCy
dEfRuBxAxE
2
11
Diag. Robuste
16 décembre 2003 27/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Observateur PI à entrées inconnues Syst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande• Système équivalent à () par compression des lignes de E :
fRDuCxydEfRBuAxxE
2
11
H
L1+L2
F
J +
M2
M1
M3 D
C+ +
(')
L3+-
K
u
d f
y
f
y
xz
boucle integrale
• On propose l'observateur proportionnel-integral défini par :
fKDuxCy
uMyMzMx)yy(Lf
fHJuy)LL(Fzz
321
3
21
gains à déterminer afin que
et)t(x)t(x )t(f)t(f
Diag. Robuste
16 décembre 2003 28/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Existence et synthèse de l'obs. PISyst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
CommandePour : F=T1A-L2C , L1=FT2 , J=T1B-(L1+L2)B , H=T1R1-L2R2 M1=In ,
M2=T2 , M3=-T2D, K=R2, l'erreur d'estimation vérifie :
avec
3
22
11111
f
x
f
x
L
LLNCC
0
ETB
00
NTATAdB
e
eCLA
e
e
Théorème : sous (H1-H3), l'observateur PI converge
les erreurs d'estimation sont stabilisables
0)s(Reavecs,nfn
NC
sI0
NAEs
rang
NC
sI0
NAsE
rang
2
1
2
1
•Existence
Théorème : l'observateur PI optimal est solution de la minimisation de sous les contraintes LMI
et
et L est donné par L=X-1Y
0X0
I0I
0IXB
IBXYCCYAXXAT
TTT
•Synthèse
Diag. Robuste
16 décembre 2003 29/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Diagnostic robuste par observateur PI à entrées inconnues
Syst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande Synthétiser un banc de nf observateurs : chaque observateur
PI dédié à un défaut
Pour i=1,…nf l'observateur PI dédié optimal est déterminé par la
minimisation de i sous les contraintes LMI suivantes
où Di est la (n+i)ème colonne de D
et Li est donné par Li=X1i-1Yi
0X0X
0
I00D
0IXBXBD
0BXXAAXXBC
DDBXCBXYCCYAXXA
i2i1
ii
ii2Tdi1
TTd
di2i2Tddi2i1
TTd
Tidi1di1
Ti
Tii1i1
T
Un gabarit de robustesse est assuré par une fonction de pondération fréquentielle Wd(s)
Algorithme de synthèse du module de diagnostic.
Diag. Robuste
16 décembre 2003 30/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Exemple d'application de l'observateur PI
Syst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande
Diag. Robuste
0 2 4 6 8 10 12
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
f2(t)
estimée de f2(t) avec un PIO dédié
estimée de f2(t)
0 2 4 6 8 10 12-1
0
1
2
3
4
5
estimée de f1(t)
f1(t)
f2(t)
estimée de f2(t)
On considère le système défini par
avec :
et le filtre de pondération :
f00
10x
0010
0001y
d
00
00
1,00
01,0
f
00
00
01
00
u
0
0
1
0
x
1110
1001
0001
0100
x
0000
0000
001,00
0001,0
onsin,0
9t7pour,1)t(f
onsin,0
5t3pour),t(u)t(f
2
1
200s2
100s02,0)s(W 1
d
Singular Values
100 101 102 103 104 105 106-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
valeurs singulièresde Ted(s)
1 / |Wd(s)|
16 décembre 2003 31/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Diagnostic robuste pour systèmes singuliers : récapitulatif
Syst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande
Validation de bilans
Filtrage HFactorisation
coprimeObservateur PI à
entrées inconnues
(E,A) régulier(non impulsif)
(E,A) régulier(non impulsif)
Structure mailléerégime stationnaire
Nature du système(E,A) régulier
Imp-observabledétectable
Défauts à dynamiques lentes
dans Im(E)
Problème H non singulier
LMI strictes
LMI strictesplacement de
pôlesLogique booléenneRésolution
Implémentation Automate logiqueFiltre singulier
(admissible) d'ordre nFiltre propre
d'ordre 2r+kf+fd
Filtre propre d'ordre n+nf
Application
Génération de résidus,
Génération d'alarmes
Estimation robuste des fautes,
Accomodation de la loi de commande
Estimation robuste des fautes,
Accomodation de la loi de
commande
Génération de résidus,
Estimation robuste des fautes,
Contrôle tolérant aux fautes
Diag. Robuste
16 décembre 2003 32/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Commande multicritèreSyst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande
• Hypothèses :
(E, A,B) Imp-commandable
(E, A,C) Imp-observable
Ker(E) Ker(C2)
• Objectifs :
placement de pôles (O1)
contrainte de norme-H sur le transfert de w vers z (O2)
contrainte de norme-H2 sur le transfert de w vers z2 (O3)
• Méthode :
formulation LMI des objectifs, et optimisation convexe
• Système :CxyetxCz,xCz
BuwBAxxE
22
w
Diag. Robuste
16 décembre 2003 33/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
caractérisation par LMI stricte du placement de pôles
Syst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande
• Région LMI : région convexe de C 2 matrices =T et
• D-admissible : (E,A), stable, non impulsif et les v.p. finies D
Théorème : (E,A) est D-admissible si et seulement si il existe une matrice P définie positive et une matrice S telles que
EPET+APE T + TEPAT+1mm(AVSUT+USTVTAT) < 0
avec V et U base du noyau de E et ET,
et où 1ij désigne la matrice (ij) de composantes égales à 1
Généralisé aux systèmes singuliers incertains
Diag. Robuste
16 décembre 2003 34/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Synthèse des correcteurs pour commande multicritère
Syst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande
0)BHUAVSU(Sym
...)BEL(EPA)BLE(APEEPE
mk,l1TT
TTTlk
TTkl
Tkl
0I)VUSEP(C
C)VUSEP(BB)BHUBLEAVSUAPE(Sym2TTT
TTTTww
TTTT
22
T22
Tww
TTTT
)PCC(Trace
0BB)BHUBLEAVSUAPE(Sym
méthode analogue pour le contrôle par retour dynamique de sorties
chaque objectif impose une contrainte LMI stricte recherche d'un solution : convexité,… mais conservatisme
Théorème : Pour une région LMI D et deux réels 2 et , il existe un retour
d'état u(t)=Kx(t) tel que le système en boucle fermée satisfasse (01-03) si il existe des matrices P=PT>0, L, H et S telles que
et le gain est donné par K=(LET+HUT)(PET+VSUT)-1
Diag. Robuste
16 décembre 2003 35/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Commande tolérante aux fautesSyst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande
• Hypothèses : (E, A) régulier (E, A,B) Imp-commandable et stabilisable (E, A,C) Imp-observable et détectable
• Objectifs :
performances nominales
tolérance aux fautes et aux perturbations
mise en œuvre de filtres propres
• Méthode :
factorisation coprime
formalisme H standard pour systèmes usuels
• Système :
dEfRDuCxydEfRBuAxxE
22
11
Diag. Robuste
16 décembre 2003 36/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
G(s)
Xr-1(s) -Yr(s)
+u
d f
yref
• Réponse nominale retour d'état observé
L et F déterminés par LMI strictes
DCDFC
LDB
LD
LCA0
LCBFA
,E0
0E)s(N
~)s(X ul
)s(ref)s(N~
)s(X)s(y ul
Synthèse du correcteur pour la commande tolérante aux fautes
Syst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande
G(s)
Qc(s)
Xr-1(s) -Yr(s)
+
+
+u
d f
yref
~ -Nu(s)
~ M(s)
• Tolérance aux fautes problème standard H
Qc(s) déterminé par synthèse de correcteur H d'un système non singulier.
)s(d)s(N~
)s(f)s(N~
)s(Q)s(N)s(X dfcul
)s(N~
)s(N~
)s(Q)s(N)s(XminJ dfculRH)s(Qc
filtres propres perf. nominales / tolérance aux fautes : traitées séparément
Diag. Robuste
16 décembre 2003 37/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Commande tolérante aux fautes adaptative
Syst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
CommandeAlgorithme de contrôle adaptatif tolérant aux fautes.
1 Déterminer F et L tels que (E,A+BF) et (E,A+LC) satisfassent les objectifs de contrôle nominal
2 Déterminer le filtre de diagnostic robuste Qd(s)
3 Déterminer nf filtres Qci(s) chacun dédié à une faute fi, et un filtre Qc0(s) pour le cas "sans faute"
4 Implémenter le contrôleur ci-contre, avec
où Jd est la norme H du transfert de d sur r
onsin),s(Q
Jrsi),s(Q)s(Q
0c
dicic
G(s)
Qc(s)
Xr-1(s) -Yr(s)
+
+
+u
d f
yref
~ -Nu(s)
~ M(s)
Qd(s)
r
r
Diag. Robuste
16 décembre 2003 38/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Application de la commande tolérante aux fautes
Syst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande
Diag. Robuste
Résidus fournis par le module de
diagnosticSorties, contrôle nominal avec d=f=0 (ronds), contrôle par
retour d'état observé (pointillés), CTF (croix) et CTFA (trait).
On considère le système défini par
avec
f10
00x
0100
0010y
d
0
0
0
01,0
f
00
00
00
01
u
10
00
00
01
x
1000
0100
00105
00115
x
0000
1000
0010
0001
onsin,0
5,4t5,3pour,2)t(f
onsin,0
2t1pour,2)t(f
2
1
16 décembre 2003 39/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
• On a proposé des méthodologies complémentaires
de 1/ placement optimal de capteurs / actionneurs
2/ diagnostic robuste
3/ commande
Conclusion & PerspectivesSyst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande
• mais de nombreux sujets restent ouverts…
1/ robustesse du POC / A
2/ LTR et Loop shaping
3/ décentralisation de la commande
4/ aspects numériques de la mise en œuvre
Diag. Robuste
16 décembre 2003 40/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Publications Georges, Benoit, Chovin, Koenig, Marx & Mauris, Distributed Instruments for
Control and Diagnosis Applied to a Water Distribution System, IEEE Instrumentation and Measurement Technology Conference, Anchorage, USA, 2002.
Koenig, Mammar & Marx, H Fault Detection and Isolation for Descriptor : a Matrix Inequalities Approach, American Conference on Control, Anchorage, USA, 2002.
Marx, Koenig & Georges, Optimal sensor/Actuator Location for Descriptor Systems Using Lyapnov-Like Equations, 41st IEEE Conference on Decision and Control, Las Vegas, USA, 2002.
Marx, Koenig & Georges, Robust fault diagnosis for descriptor systems – a coprime factorization approach, IFAC SAFEPROCESS’03, Washington, USA, 2003.
Marx, Koenig & Georges, Robust pole-clustering in LMI regions for descriptor systems, a characterization via strict LMIs, European Control Conference, Cambridge, UK, 2003.
Marx, Koenig & Georges, Robust fault diagnosis for linear descriptor systems using proportional integral obsevers, 42nd IEEE Conference on Decision and Control, Hawai, USA, 2003.
Syst. Sing.
Introduction
Conclusion
Plact Opt. CA
Commande
Soumis : Marx, Koenig & Georges, Optimal sensor and actuator location for descriptor systems using generalized gramians and balanced realizations, soumis à American Control Conference, 2004
Marx, Koenig & Georges, Pole-Clustering, H2/H Control for Descriptor Systems : a Strict LMI Approach, soumis à IEEE transactions on automatic control (2003)
Marx, Koenig & Georges, Fault Diagnosis and Robust Fault Tolerant Control for Descriptor Systems, soumis à Automatica (2003)
Diag. Robuste
16 décembre 2003 41/40
Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires
Merci de votre attention (ou de votre patience)