Contact Hertzien

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Sommaire I. Problème de Hertz, approche analytique............1 1. Hypothèses de Hertz............................. 2 2. Résultats....................................... 2 II. Approche numérique, résolution du contact Hertzien avec Abaqus......................................... 3 1. Géométrie et cas de charge......................3 2. Propriétés du contact (module Interaction)......4 1) Définition du contact..........................4 2) Comportement tangentiel........................7 3) Comportement normal............................9 3. Chargement et maillage.........................11 III. Bilan de l’étude, application sur un cas industriel......................................... 13

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Sommaire

I. Problème de Hertz, approche analytique........................................................1

1. Hypothèses de Hertz...................................................................................22. Résultats......................................................................................................2

II. Approche numérique, résolution du contact Hertzien avec Abaqus..............3

1. Géométrie et cas de charge.........................................................................3

2. Propriétés du contact (module Interaction).................................................4

1) Définition du contact...............................................................................42) Comportement tangentiel........................................................................73) Comportement normal.............................................................................9

3. Chargement et maillage............................................................................11

III. Bilan de l’étude, application sur un cas industriel....................................13

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Lorsque l’on veut modéliser un contact en analyse éléments finis, il faut distinguer deux principales familles de problèmes. Le contact dit de Hertz, et le contact conforme. Le contact de Hertz, dont il est question dans ce rapport, sera l’objet de l’étude suivante, avec pour objectif de vérifier la pertinence des résultats du logiciel Abaqus.

Le contact conforme est étudié au cours du stage de Master Recherche consacré au comportement mécanique des rotules, en se basant sur les résultats de ce rapport. On distingue le contact hertzien du contact conforme par l’étendue de la surface de contact. En contact hertzien, on considère le contact comme initialement ponctuel, le contact conforme correspondant à une surface de contact initiale de dimension comparable aux pièces.

I. Problème de Hertz, approche analytique

Hertz s’est intéressé au contact entre des lentilles en analysant les franges optiques induites par la surface de contact. Ses principaux résultats se fondent sur des résultats expérimentaux, mais restent une référence dans le domaine de l’étude analytique du contact.

Il considère que les contraintes de contact comportent une concentration qui peut être définie comme indépendante des contraintes dans le reste des solides. En clair, la zone de contact est suffisamment petite pour ne pas tenir compte des autres conditions limites. Les surfaces de contact sont supposées régulières (sans accident géométrique), en contact initialement ponctuel, de dimensions faibles par rapport au reste du solide.

Le schéma suivant donne le paramétrage retenu pour l’expression des résultats de l’étude de Hertz.

Paramétrage :

P : chargement δ : enfoncement relatifδi : déplacement de chacun des solide a : rayon de la section de contact plane zi : cote d’un point quelconque de la surface de contact

Hertz observe une forme elliptique de frange d’interférence et en déduit une distribution elliptique des iso-valeurs de contraintes. Ces considérations sont principalement d’ordre géométrique : seule la relation entre la déformation et la pression est issue de la théorie élastique.

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Figure 1. Paramétrage du contact entre surfaces non conformes

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1. Hypothèses de Hertz

Dans les hypothèses de travail de Hertz, on trouve des éléments qui permettent de distinguer un contact hertzien d’un contact conforme. La différence la plus simple à mettre en évidence sera la comparaison des rayons de courbure des surfaces de contact. En effet, la première hypothèse de Hertz consiste à dire que ces rayons de courbure sont très différents. Dans le cas de nos lentilles, les rayons peuvent avoir la même valeur mais l’un sera positif tandis que l’autre sera négatif.

Enoncé des hypothèses de Hertz : Les surfaces sont continues et non conformes (rayons de courbure très

différents), Les déformations sont petites, Chaque solide peut être considéré comme un milieu semi infini, Pas de frottement.

Ces hypothèses sont très restrictives puisque les frottements sont négligés ainsi que les influences des conditions limites hors surface de contact (milieu semi infini). Elles ne seront pas discutées dans les lignes qui suivent, mais les modèles établis sous Abaqus devront concorder.

2. Résultats

Les différents résultats regroupés dans le tableau suivant résument les travaux de Hertz sur le contact.

R : rayon équivalent

E : module de Young équivalent

K(e), E(e) : intégrales elliptiques complètes du premier et second ordre

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Tableau 1. Résultats de Hertz

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Dans cette formulation, le problème réside dans le calcul des intégrales elliptiques, dans des cas ou la géométrie et la surface de contact sont trop complexes. Une intégrale elliptique possède un domaine d’intégration formulé par une fonction elliptique, mathématiquement complexe. L’intérêt des éléments finis est alors évident, ils doivent permettre une résolution rapide et fiable du problème de contact.

Figure 2. Exemples de répartion de pression de contact : sphère-plan, cone-plan (contact non-conforme) et plan-plan (contact conforme)

II. Approche numérique, résolution du contact Hertzien avec Abaqus

1. Géométrie et cas de charge

Avant de commencer la définition du modèle Abaqus, il convient de se poser les bonnes questions quand aux types de problèmes rencontrés en contact Hertzien. Du point de vue de la géométrie d’abord, peut-on faire un modèle axisymétrique, ou doit-on faire un modèle 3D ? De même, le système comporte-t-il des non-linéarités (géométrique, matériaux, loi de frottement)? Des réponses à ces questions découleront les paramètres du modèle que l’on entrera au fur et à mesure de sa construction. Pour les besoins de l’étude, on crée un modèle 3D de deux huitièmes de sphère en contact ponctuel, tout en conservant à l’esprit qu’un modèle axisymétrique serait plus fiable et plus rapide. Ces différentes étapes sont détaillées par la suite avec le souci de clarifier l’influence des options disponibles sous le logiciel.

A la suite du dessin des différentes pièces intervenant dans le contact, on définit les propriétés matériaux en affectant les sections des pièces (on peut notamment définir des matériaux non isotropes). Viens ensuite la création de l’assemblage. Pour cela, il faut définir

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quelle surface viendra se coller à l’autre, et quel jeu peut exister entre les surfaces (paramètre clearance lors de l’établissement du contact).

Figure 3. Assemblage des deux huitièmes de sphères

Ces premières étapes donnent une base au modèle élément fini que l’on veut créer. La prochaine étape que propose le logiciel tient à la création des propriétés du contact. Il est à noter que le passage entre modules est tout à fait libre dans le logiciel, le respect de la chronologie proposée permet de passer en revue toutes les options utilisables sans entraîner d’effet destructeur (le partitionnement des surfaces après la création du maillage détruit le maillage par exemple)

2. Propriétés du contact (module Interaction)

Ce module est le plus important dans la définition du contact. C’est ici que l’on définit le comportement des surfaces dans le modèle. On y définit les lois mécaniques et thermiques que doit suivre le logiciel pour simuler un comportement réel. Dans le cadre du contact Hertzien, on ne rencontre pas de phénomènes thermiques significatifs et cette dimension du problème demanderait une étude à part entière.

Du point de vue mécanique, on distingue deux types de lois de comportement : le comportement tangentiel et le comportement normal.

Avant de définir ces lois, il faut définir le contact en lui même grâce au module Interaction.

1) Définition du contact

Dans la simulation du contact, pour piloter le comportement de l’assemblage des pièces, le logiciel ne considère qu’une seule surface, appelée surface maître, à laquelle on associe un ensemble de nœuds qui forme la surface esclave. Le choix de ces surfaces doit suivre des critères relativement simples à mettre en pratique.

Si l’un des solides est rigide, la surface maître correspond à la pièce rigide, si les deux pièces sont déformables, on prends la surface maître sur la pièce la plus rigide (géométriquement et du point de vue matériau), ou celle dont le maillage est le plus grossier.

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Ce choix se justifie par le fait que les nœuds de la surface esclave ne peuvent pas pénétrer dans la surface maître, mais l’inverse est possible.

Figure 4. Règles de pénétration des noeuds esclaves/maîtres

Les critères cités ci-dessus doivent limiter l’interpénétration des surfaces. Dans le cas ou les pièces ont un maillage et un matériau identiques, le choix des surfaces n’est pas trivial. Une étude rapide sous Abaqus (figure 5) montre que l’on préfèrera affecter la surface maître sur la pièce comportant un condition cinématique nulle et donc la surface esclave sur la pièce que l’on aura chargé. Mais les résultats de simulation ne présentent pas de grandes différences et le bilan est donc très relatif.

Figure 5. Pression de contact : influence du choix de la surface maître

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Figure 7. Distorsion de la surface esclave vers la surface maître

Le logiciel demande quel type de formulation l’on choisit pour ce glissement afin d’indiquer si le modèle comporte de grands déplacements des nœuds de la surface esclave par rapport a la surface maître. Dans le cadre des hypothèses de Hertz, et dans de nombreux cas en général, on écartera l’option Finite Sliding au profit du Small Sliding. L’option Finite Sliding indique que les pièces peuvent se mouvoir selon une grande amplitude (sans préciser sa valeur) en rotation comme en translation.

Enfin, on peut choisir d’ajuster les nœuds de la surface esclave. Cette option permet de corriger la position de ces nœuds par rapport à la surface maître. En effet, malgré les critères de sélection de la surface maître, certain nœuds pénètreront dans la surface esclave (overclosed nodes) et l’on peut choisir ou non de repositionner la surface esclave.

Dans le cas d’un contact non conforme (modèle ci-contre), si l’on choisit de corriger avec trop de liberté (en terme d’unité de surface maître) la géométrie sera complètement faussée (adjust nodes within 10 units of the master surface). Ici, on choisira plutôt un ajustement en cas de pénétration (Adjust only overclosed nodes).

Le contact est maintenant réalisé, il reste à définir les lois de comportement du contact, et ce grâce au module Interaction Property. Dans ce module, outre les lois de comportement thermique, on définit les lois de comportement normal et tangentiel.

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Figure 6. Module intéraction : définition du contact

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2) Comportement tangentiel 

Il traduit les phénomènes de frottement rencontrés dans le contact. On peut ici choisir de ne pas les modéliser avec l’option Frictionless. L’option Penality donne un comportement linéaire en saisissant un simple coefficient de frottement, et il est possible de limiter la valeur des efforts de frottement en entrant un maximum shear stress (le comportement n’est alors linéaire que sur une plage de valeurs).

D’un point de vue pratique, il faut prendre en compte la différence entre coefficient de frottement μk et coefficient d’adhérence μs. Ceci est possible dans le logiciel en sélectionnant l’option Static Kinetic Exponential Decay. Il est alors demandé d’entrer ces coefficients ainsi qu’un paramètre pilotant la décroissance de la courbe exponentielle. Le schéma ci-dessous donne la loi de cette courbe ainsi que son allure.

Figure 9. Static Kinetic Exponential Decay, courbe et formule

Le logiciel peut également rechercher une valeur exacte des efforts de frottement grâce à la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Cette méthode ne requiert aucun paramètre supplémentaire, mais comporte des inconvénients. En effet, avec cette méthode, le logiciel augmente le nombre de degrés de liberté et/ou le nombre d’itérations nécessaire à la résolution. Le temps de calcul est donc allongé, et le manuel indique même que la résolution peut être impossible si des zones de la surface présentent un accident de forme où le lien entre pression de contact et efforts de frottement sera trop important. On peut choisir d’empêcher tout mouvement relatif des pièces en considérant les efforts de frottements comme infini grâce

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Figure 8. Tangential behavior : options disponibles

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au paramètre Rough (rugueux). Cette option utilise également la méthode des multiplicateurs de Lagrange.

Enfin, pour les cas plus complexes ou ces lois ne suffisent pas, le logiciel permet d’entrer manuellement la loi de comportement de frottement à travers la routine Fric. Cette routine est détaillée dans le manuel utilisateur au paragraphe 24-2-8.

Sur le graphique suivant, on peut voir les pressions de contact du modèle de Hertz en modélisation 3D, avec les différentes lois de frottement utilisable dans notre cas, et une étude de l’influence du coefficient de frottement. L’hypothèse de Hertz est alors justifiée par le peu d’écart de niveau de pression au centre du contact, mais on observe une différence nette au bord de la surface de contact. Cette différence sera plus appréciable dés lors que l’on s’intéresse aux phénomènes de fretting, destructeur en périphérie du contact.

Figure 10. Pression de contact, comparatif des lois de comportement tangentiel

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3) Comportement normal 

Ici aussi le logiciel offre de nombreuses possibilités de simulation. La version simple de la loi de comportement normal consiste à dire que le contact est parfait. Il s’agit de l’option Hard Contact, dans laquelle on néglige les effets de dureté de surface. Lorsqu’il existe un jeu entre les surfaces la pression de contact est nulle, et lorsque les surfaces sont collées les contraintes sont gouvernées par le matériau (rapport pression surface).

Figure 12. Formulation 'Hard Contact'

Une version plus élaborées consiste à modéliser l’écrasement des aspérités en surface, et donc de lier la pression de contact au jeu entre les surfaces. Cette loi, de forme exponentielle, demande deux paramètres C0 et P0 correspondant aux points d’intersections de la courbe avec les axes (c et p° sur le schéma).

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Figure 11. Normal behavior : options disponibles

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Figures 13. Contact 'softened', courbe et formule de la pression de contact en fonction du jeu

Une loi linéaire existe aussi pour simuler cet écrasement. Grâce à l’option Linear, et en entrant les points d’intersection avec les axes, on définit une droite liant le jeu et la pression de contact. On peut aussi établir une courbe expérimentale à partir de points références dans un tableau en sélectionnant l’option Tabular. Ces lois, prenant en compte la position relative des surfaces, admettent une interférence entre les surfaces (overclosure), il convient donc de vérifier la cohérence du modèle au niveau de l’ajustement des nœuds esclaves.

Figure 14. Pression de contact, comparatif des différentes lois de comportement normal

Les simulations montrent que l’on peut gagner du temps de calcul en utilisant la loi exponentielle, et que l’on conserve de bons résultats si les paramètres P0 et C0 sont choisis correctement. A partir d’essai d’indentation il sera possible d’identifier le type de loi correspondant au comportement normal (linéaire/exponentielle) ainsi que leurs paramètres, ou le cas échéant, des points références pour l’option Tabular.

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Figure 15. Formulation expérimentale d'une loi de comportement normal

3. Chargement et maillage

La suite logique de la construction du modèle fait intervenir les conditions limites et le maillage.

Cette partie, plus classique, comporte tout de même quelques difficultés, notamment pour le maillage. Les conditions limites sont intégrées au modèle, dans lequel on inscrit les différentes contraintes de mobilité ou les efforts auxquels est soumis le modèle. Afin de ne pas surcharger les calculs, on donnera un maximum de liberté aux pièces, selon les directions d’efforts ou symétrie de la géométrie.

Figure 16. Modèle Hertzien, conditions limites

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Pour le maillage, les choses se gâtent lorsque l’on veut établir un modèle Hertzien de deux sphères en contact. En effet la géométrie circulaire se prête mal au maillage structure à partir de briques qui est préconisé pour le contact. Le fait de dessiner un simple huitième de sphère permet dans un premier temps de mailler les pièces et d’obtenir des résultats grossier.

En revanche, diminuer la taille des éléments allonge fortement le temps de calcul, avec un gain sur la précision très faible. Sur le modèle étudié, le rayon des sphères est de 50 mm alors que la surface de contact approche les 5 mm après déformation. Il faut donc raffiner le maillage de la zone de contact exclusivement, et ceci est possible en utilisant des ‘bias’. L’alternative serait de partitionner la pièce pour créer une zone proche du contact avec un maillage fin, mais le logiciel semble incapable de mailler la géométrie obtenue (seul le maillage à partir d’éléments triangle fonctionne).

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Figures 17. Modèle Hertzien, maillage final

L’utilisation de ‘bias’, quand à elle, est limitée par la déformation qu’elle entraîne sur les éléments proches du contact. Le maillage consiste donc à trouver un compromis entre précision de calcul, nombre d’éléments et distorsion des éléments.

Le modèle ci-dessus est celui utilisé pour les simulations exposées dans ce rapport. On y voit l’utilité des ‘bias’ pour affiner la zone de contact tout en conservant une correspondance des nœuds (les nœuds des deux surfaces sont l’un en face de l’autre, condition nécessaire au bon déroulement des calculs si l’on n’ajuste pas les nœuds de la surface esclave). On voit également la distorsion que peut subir certains éléments du maillage. Une solution à cette distorsion est de déporter les éléments fortement déformés loin de la zone de contact (ils seront alors moins influencés par la déformation due au contact).

Ainsi, le maillage des zones de contact ne peut être prédit par des règles précises. On notera que les pièces maillées dans notre cas semblent être le pire cas possible pour le logiciel. Au final, deux principes seront a retenir pour le maillage : affinement du maillage de la zone de contact, et déportation des éléments distordus loin de la zone de contact. Dans le cas conforme, on maillera plus finement la zone de contact appartenant à la surface esclave, en utilisant un ajustement des nœuds de cette surface.

III. Bilan de l’étude, application sur un cas industriel

Au terme des travaux concernant le contact sous Abaqus, certaines zones d’ombre demeurent, notamment sur des paramètres avancés nécessitant un cas d’étude plus complexe ou plus adapté (pénétration des nœuds au niveau du contact, cas non linéaire utilisant l’option Finite Sliding formulation, …) ou des données plus complètes quand au matériau (dureté du contact pour l’utilisation des lois exponentielles, linéaires ou par tableau).

Comme nous l’avons vu précédemment, la loi exponentielle de contact demande une identification précise de la dureté de surface des pièces mises en contact. Malgré cela, le gain en temps de calcul fournit par cette loi est indéniable, puisque avec des résultats comparables à la méthode hard contact, on passe d’un temps de calcul de 1h30 à 20-25 minutes, en simulation 3D. 

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Le tableau suivant permet de comparer succinctement les différentes options testées dans cette étude. Il reprend qualitativement les données des différents graphiques.

 Pression de contact

Temps de calculCentre du contact Bord du contact

Master/slavesurface Master = pièce chargée ++ +Surface Slave = pièce chargée ++ ++

Sliding formulation

Finite Sliding -- --Small Sliding ++ ++

slave node adjustement

Adjust only overclosed nodesAucun effet observé

Do not adjust slave nodes

Interaction property

Tangential behavior

Frictionless ++ - +Penalty ++ + +

Static-kinetic exponential decay

++ + +

rough ++ + +Lagrange multiplier ++ + -

Normal behavior

Hard contact ++ ++ --Exponential Voir commentaires ++

LinearNon testé

Tabular

MaillageAxisymétrique/3D ++/--

Hexagonal/Tétraédrique +/-- +/-- -/++Linéaire/Quadratique ++/--

Légende : -- très mauvais, - mauvais, + bon, ++ très bon, case vide : sans effet notable

D’une manière plus claire, il est rappelé ci-dessous les différents choix auxquels sera confronté l’utilisateur du logiciel lors de l’établissement de son modèle.

-Problème de géométrie : Suivant la forme de la pièce, on peut utiliser un modèle axisymétrique ou non. Ensuite, il faudra affiner le maillage de la zone de contact, est-il donc possible de trouver un partitionnement maillable par le logiciel ? (À prendre en considération dès le départ pour ne pas avoir à réaffecter toutes les surfaces.)

-Problèmes liés au contact : Choix de la surface Maître, de l’adjustement ou non des nœuds esclaves, du type de loi de frottement, de la loi traduisant le comportement normal, avec ses paramètres.

Si l’on suit ces étapes avec application, le contact sous Abaqus ne devrait pas poser de problème. Les difficultés que pourra rencontrer l’utilisateur seront spécifiques au cas étudié, notamment au niveau du maillage, en considérant le contact comme conforme ou non.

Pour illustrer un cas de contact conforme, nous appliquerons les méthodes indiquées ci-dessus sur un cas industriel : une rotule d’attache au mat moteur d’un A380, modélisée sous la forme d’un Démonstrateur Sarma (géométrie utilisée pour les essais). Il s’agit de trois pièces déformables en contact selon deux surfaces conformes, l’une entre l’axe et la bague intérieure, l’autre entre la bague intérieure et la bague extérieure.

Tableau 1. Comparatif des options de simulation du contact sous Abaqus

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Comme indiqué, c’est dans le maillage que l’on retrouve les principales difficultés, avec notamment le choix de l’ajustement des nœuds. Cet exemple nous permet de préciser qu’en contact conforme, il est recommandé d’utiliser l’option Adjust nodes within X units of master surface, car cela permet au logiciel d’aligner les nœuds esclave sur les nœuds maître. Mais cet ajustement ne fait pas tout, comme le montre la figure suivante.

On observe ici les contraintes de Von Mises sur la bague intérieure d’un modèle Démonstrateur Sarma. Si l’on regarde de près la surface théoriquement cylindrique de la bague intérieure, on remarque que l’option d’ajustement a collé les nœuds de cette surface sur la surface de l’axe, qui, trop grossièrement maillé, fausse la géométrie du contact. Il s’en suit des concentration de contraintes (en rouge vif) qui ne correspondent pas à la réalité, et cela montre l’application que l’on doit porter à la cohérence du modèle que l’on établit.

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Figure 18. Démonstrateur Sarma, maillage à partir de briques

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Sur la seconde surface de contact, on n’observe pas de distorsion des surfaces comme précédemment. Cela nous permet d’observer la répartition de la pression de contact dans la surface conforme liant la bague extérieure et la bague intérieure.

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Figure 19. Démonstrateur Sarma, contraintes de von mises

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Figure 20. Démonstrateur Sarma, pression de contact sur la bague extérieure

Grâce à cet exemple, nous pouvons conclure que malgrès l’étude présentée dans ce rapport, la modélisation du contact en utilisant les éléments finis reste délicate. Il faut bien suivre les points clés mis en évidence, et conserver à l’esprit quel est la nature du résultat recherché (pression de contact? Contraintes internes? déformation?), ce qui permet d’établir un modèle cohérent rapidement, et ainsi gagner du temps pour l’optimisation.

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