Cont Ddl05b Chine

7/25/2019 Cont Ddl05b Chine

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FacultdesSciencesetdIngnierieDpartementdeMcanique

Alain

Berlioz

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Une membrane peut tre vue comme lextension dune corde deux dimensions car elle neprsente aucune rsistance la flexion. Comme pour une corde au repos, il doit exister un tatde contrainte initiale. La membrane est tendue de manire isotrope avec une tension T0(parunit de longueur : N/m). Il sagit dun tat de contraintes planes.

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Ce problme non linaire peu tre trait comme linaire partir de certaines conditions :

La membrane est ensuite charge par des efforts transversaux (ou des effort dynamiques).

On sintresse principalement aux dplacements aux dplacements w(x,y,t)dans la directiontransversale z.

Ltat des contraintes rsultant est la superposition des contraintes initiales et de cellesgnres par le dplacement transverse.

- les contraintes sont supposes non influences par le chargement et calculablesindpendamment de la flche w.

- les contraintes sont supposes constantes dans lpaisseur.

Vibrations des Membranes

zy

x

To

dxdy

To

To

To


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Equilibre en x : (pas de mouvement longitudinal selon x)

Equilibre en y : (pas de mouvement longitudinal selon y)

Pour un tronon isol :

Equilibre en z :

z

x

y+dy

y

z

y

x+dx

x


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Equilibre en z :

En utilisant loprateur Laplacien:


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- Fixe,

- libre (ou glissant),

Cependant, la membrane doit tre sous tension ce qui limite les combinaisons possibles pourles conditions aux limites.

Les conditions aux limites sur le contour peuvent tre de trois types (comme pour les cordes):

Pour un bord glissant ou libre, la condition aux limites est donne par lannulation de leffortselon la direction z(drive de wpar rapport la normale nau contour).

Exemple : pour un bord libre

nTo


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Les solutions sont cherches par une mthode de sparation des variables despace et dutemps :

qui peut se noter :

ou encore :

RECHERCHE DES SOLUTIONS : Calcul des Frquences et Modes

Sparation des variables despace et du temps :

En reportant cette expression dans l'quation diffrentielle du mouvement :

Cas des MEMBRANES CARREES (RECTANGULAIRES)


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Variable fonction du temps

Variable fonction de lespace en x

Variable fonction de lespace en y

Il est possible dcrire les trois quations :

Avec :

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et donc:

Equation fonction du temps

Pour que la solution soit stable dans le temps, la constante doit tre ngative. Il faut

poser : Cte = -2 .

De la sorte, la solution pour la variable fonction du temps est de la forme :

Note : Prendre ici la Cte = +2 conduirait des solutions en f(t) =Asht Bcht , ce qui necorrespondrait pas un mouvement vibratoire.

Aet Bsont dtermines par les conditions aux limites

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Les solutions, pour cette quation, sont du type :

o Cet Dsont des constantes dtermines par les conditions aux limites.

Equation de la variable fonction de lespace en x


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Les solutions sont :

Equation de la variable fonction de lespace en y

o Eet Fsont des constantes dtermines par les conditions aux limites.


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Cas dune MEMBRANE RECTANGULAIRE

Une membrane rectangulaire de dimensions a b hest appuye (ou encastre) sur tousses bords. Elle est soumise une tension uniforme T0. Il est suppos que ce chargementninfluence pas les contraintes de membrane et que ces dernires sont constantes lors desmouvements selon z.

x

y

z

a

b

Les conditions aux limites pour les bords (qui sont parallles aux axes) sont ici imposes surles dplacements.

Application des conditions aux limites :

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Pour x= 0 y [0,b]

Pour y= 0 x [0,a]

Pour x= a y [0,b]

Pour y= b x [0,a]

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Comme :

Lapplication des conditions aux limites conduit (t) :

- Si x= 0 y [0,b]

- Si y= 0 x [0,a]

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Cependant les solutions C= 0 et/ou E= 0 ne sont pas satisfaisantes, il reste :

comme

Si x= ay [0,b]

Si y= b x [0,a]

et

il vient

m,n= 1,2,

Remarque : En posant b=. a, les pulsations peuvent se mettre sous une forme plus gnrale :

et le mode est :


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Il est possible de retrouver des quations semblables aux prcdentes, mais crites encoordonnes cylindriques, en crivant l'quilibre d'un morceau de membrane de la forme

suivante, les contraintes sont alors notes rr, r et .

Avec des hypothses et une dmarche identiques aux prcdentes mais avecloprateur Laplacien :

Lquation du mouvement est :

r

r

rrr

Cas d'une membrane de forme CIRCULAIRE


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ou encore :

RECHERCHE DES SOLUTIONS : Calcul des Frquences et Modes

Sparation des variables despace et du temps :

En reportant cette expression dans l'quation diffrentielle du mouvement en w :

qui peut se noter :

Cas d'une membrane circulaire

Les solutions sont cherches par sparation des variables despace, exprimes dans unrepre cylindrique, et du temps :

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Variable fonction du temps

Variable fonction de lespace en

Variable fonction de lespace en r

Il est possible dcrire deux quations :

Equation fonction du temps

Pour que la solution soit stable dans le temps, la constante doit tre ngative. Il faut

poser : Cte = -2 .

De la sorte, la solution pour la variable fonction du temps est de la forme :

o Aet Bsont dtermines par les conditions aux limites FacultdesSciencese


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Equations des variables fonction de lespace en r et en

Variable fonction de lespace en

Variable fonction de lespace en r

Il est possible dcrire deux quations :


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Physiquement, lquation en reprsente le nombre de lobes sur une circonfrence. Elle doittre priodique.

Les solutions sont de la forme :

avec entier tel que n2 = -Kte

Equation de la variable fonction de lespace en

y

x

A2

w

A



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Lquation (en r) peut se modifier avec le changement de variable :

pour prendre la forme dune quation de Bessel en x:

Equation de la variable fonction de lespace en r

avec

que lon peut crire aussi de faon plus gnrale :

avec ici et

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Lordre vde cette quation de Bessel est donn par :

Avec la solution en yde la forme :

Les solutions Zv, de l quation diffrentielle du deuxime ordre sont la combinaison de deuxfonctions linairement indpendantes : une fonction de Bessel de premire espce Jvet unefonction de Bessel de deuxime espce Yv:

De plus, lapplication immdiate de la condition qui impose un dplacement fini au centre dela membrane, cest--dire pour r= 0, conduit B= 0, do :

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m= 1 ,2 , nombre de cercles

Fonctions de Bessel de 1 espce

2.4045.5218.653

11.7914.93

3.8317.01510.1713.3219.61

5.1358.41711.6114.7917.95

Ordre 0 Ordre 2Ordre 1

0

3

12

0D 1D 2D

Lautre condition aux limites impose que le dplacement wsoit nul la priphrie (en r= a),ce qui revient chercher les solutions de Jv(a)= 0:

MEMBRANE CIRCULAIRE appuye sa priphrie


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0 1 2 3 4

0 2.405 5.521 8.653 11.79 14.93

1 3.832 7.016 10.17 13.23 16.47

2 5.136 8.417 11.62 14.79 17.96

3 6.380 9.761 13.02 16.22 19.41

4 7.588 11.06 14.37 17.62 20.83

Les premires valeurs numriques des coefficients pour diffrentes valeurs de n(nombre dediamtres) et m(nombres de cercles) sont regroupes dans le tableau suivant :

nombredediamtres

m = 0, 1 ,2 , nombre d e cercles

Xnmpour les zros des fonctions de Bessel

Cas d'une MEMBRANE CIRCULAIRE

n=0,

1,2,

(O

rdredesFonctionsdeBessel)



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Mode 0 Cercle 0 Diamtre Mode 0 Cercle 1 Diamtre Mode 0 Cercle 2 Diamtres

Mode 1 Cercle 0 Diamtre Mode 0 Cercle 3 Diamtres Mode 1 Cercle 1 Diamtre

Mode 0 Cercle 4 Diamtres Mode 1 Cercle 2 Diamtres Mode 2 Cercles 0 Diamtre

MEMBRANE CIRCULAIRE appuye sa priphrie

w- 0 +


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Symtrie de rvolution : axi-symtrie

Loprateur Laplacien :

se ramne

et lquation du mouvement est alors :

Lorsque la membrane circulaire possde des proprits de symtrie de rvolution pour lagomtrie et pour le chargement (et donc pour les conditions aux limites), la dforme possdeles mmes proprits et il est possible de se ramener un problme o la coordonnes en estlimine de lquation.


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