Construction et utilisation de l'abaque de .Construction et utilisation de l'abaque de Smith Denis

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  • Denis Rabast 1/15 IUFM Aix Marseille

    Construction et utilisation de l'abaque de Smith

    L'abaque de Smith est l'outil graphique le plus utilis dans le domaine des hautes frquences. Des appareils de mesure comme les analyseurs de rseau donnent une reprsentation de leurs acquisitions dans ce type d'abaque (au choix avec un plan de Bode) ; les constructeurs de composants HFet micro-ondes prsentent galement souvent les caractristiques de leurs produits par le mme moyen. Il s'agit donc d'un outil dont la matrise est indispensable pour l'tude de circuit haute et hyper frquence. D'autre part, l'abaque de Smith donne une reprsentation graphique simple de phnomnes dcrits par des quations mathmatiques complexes ; elle permet une meilleure comprhension du comportement d'une ligne. Son application dpasse l'tude des phnomnes de propagation et permet en particulier de rsoudre les problmes d'adaptation d'impdance en gnral et ce qui en dcoule (gain, stabilit, bande passante et stabilit d'un amplificateur HF). Comme nous allons le voir, l'abaque de Smith n'est rien d'autre qu'une reprsentation du plan complexe avec une graduation permettant de lire la valeur d'impdance associe un coefficient de rflexion. Dans la premire partie nous introduirons quelques lments ncessaires sa construction et dans la seconde nous nous intresserons aux diffrentes utilisations. En troisime partie, on rsumera les principales notions connatre sur labaque. En annexe, on trouvera les lments ncessaires la construction logicielle d'un abaque, avec Scilab (la mthode tant facilement adaptable d'autres langages de programmation). L'intrt de cette construction est essentiellement d'ordre pdagogique, de nombreux logiciels ayant t dvelopps afin de permettre de travailler avec cet abaque.

    Elments de construction

    Considrons une ligne sans pertes d'impdance caractristique RC, charge par une impdance ZU. La rfrence de longueur x=0 est prise au niveau du gnrateur.

    VG

    R G

    Z UR C

    axe x0

    a) Coefficient de rflexion

    Rappeler l'expression du coefficient de rflexion (x) sur un point de la ligne situ une distance x du

    gnrateur, en fonction des modules des tensions incidente et rflchie, de z ainsi que de la longueur d'onde (voir exercice prcdent) Rappeler galement les proprits du module et de la phase de (x) pour une ligne sans perte.

  • Construction et utilisation de l'abaque de Smith

    Denis Rabast 2/15 IUFM Aix Marseille

    b) Tension le long de la ligne

    Exprimer maintenant la valeur complexe de la tension V(x) en un point de la ligne en fonction de la

    valeur de la tension incidente Vi (que nous prendrons comme origine des phases) et de (x)

    Donner une reprsentation graphique dans le plan complexe et dterminer comment volue cette reprsentation suivant que l'on se dplace sur la ligne vers le gnrateur ou vers la charge. A quoi correspond une distance de sur la ligne ? Afin d'adapter la reprsentation tous les cas particuliers, celle ci est normalise par rapport une tension incidente unitaire. Donner la nouvelle reprsentation graphique.

    c) Impdance le long de la ligne

    Rappeler l'expression du coefficient de rflexion (x) en fonction de RC et de l'impdance (x)Z en un

    point quelconque de la ligne. Afin de gnraliser cette expression, l aussi on normalise par rapport RC. Exprimer alors (x) en

    fonction de la nouvelle impdance normalise zZ xRC

    (x) =( )

    D'aprs l'quation qui prcde, chaque valeur de (x) , dont le module peut voluer entre 0 et 1, correspond une impdance normalise z(x). L'abaque de Smith est simplement une graduation du plan complexe par :

    - les lieux des points o la valeur relle de z(x) est constante, comme le montre la figure suivante :

    -0.56 1.00 2.56

    -1.0

    -0.5

    0.0

    0.5

    1.0

    r=0 r=0,2 r=0,5 r=1 r=2

    r=5

    - les lieux des points o la valeur imaginaire de z(x) est constante comme le montre la figure

    suivante:

  • Construction et utilisation de l'abaque de Smith

    Denis Rabast 3/15 IUFM Aix Marseille

    -0.53 1.01 2.55

    -1.0

    0.0

    1.0

    x=0

    x=0,2

    x=0,5

    x=1

    x=2

    x=5

    x=-0,2

    x=-0,5

    x=-1

    x=-2

    x=-5

    En assemblant les deux tracs prcdents on obtient alors l'abaque complte :

    r=0 r=0,2 r=0,5 r=1 r=2

    r=5

    x=0

    x=0,2

    x=0,5

    x=1

    x=2

    x=5

    x=-0,2

    x=-0,5

    x=-1

    x=-2

    x=-5

    inductance srie

    capacit srie

    Afin de se familiariser avec cet abaque, reprons quelques points. Pour cela, partons de graphe de Fresnel tabli pour les tensions aux questions prcdentes et reprsentons les vecteurs obtenus dans le cas dune impdance Z(x) infinie, puis nulle et gale RC . Vrifier la correspondance des points sur labaque de Smith.

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    Denis Rabast 4/15 IUFM Aix Marseille

    En repartant de lexpression du coefficient de rflexion en fonction de lendroit o on se trouve sur la ligne, dterminer comment se traduit un dplacement le long de la ligne, de la charge vers le gnrateur, puis dans le sens inverse. Que deviennent alors les points prcdents lorsque l'on se dplace de /4 sur la ligne ? Est ce le rsultat attendu ?

    Principe dutilisation

    Afin d'illustrer les principales proprits de l'abaque, nous prendrons comme exemple une ligne d'impdance caractristique 50 , alimente par un gnrateur adapt, une frquence de 2 GHz. La longueur relative de la ligne est 1,3 (si on appelle la longueur d'onde =10 cm 2 GHz avec une vitesse de propagation de 2 108 m/s sur la ligne). L'impdance de la charge vaut ZU=(25+10j). Les exercices suivants pourront tre faits sur un abaque "papier" ou l'aide d'un logiciel comme MMIP. Dans ce dernier cas, il est important afin de bien comprendre l'utilisation de l'abaque, d'avoir prvu sur un abaque papier, mme de manire grossire, les rsultats donns par le logiciel.

    a) Reprsentation de l'impdance

    Nous avons vu que la graduation de l'abaque est normalise par rapport l'impdance caractristique. Reprsenter alors le point correspondant zu=ZU/RC sur l'abaque. L'une des principales utilisations de l'abaque est le calcul de circuits d'adaptation d'impdance. Ceux-ci tant composs ventuellement d'association en srie et parallle d'lments ractifs, il est ncessaire de savoir raliser cette opration d'association sur l'abaque. Comment se dplace alors le point correspondant ZU si on lui ajoute une inductance en srie ? une capacit ?

    b) Lecture du coefficient de rflexion et de la tension

    Lire la valeur du coefficient de rflexion au niveau de la charge (module et phase) et vrifier par le calcul. Si l'amplitude crte du gnrateur vaut 5 V, lire sur l'abaque l'amplitude et la phase de la tension aux bornes de la charge. Vrifier par le calcul.

    c) Reprsentation d'un dplacement sur la ligne

    Nous avons vu la priodicit du coefficient de rflexion (x) tait de /2, en consquence de quoi une rotation complte sur l'abaque correspondait un dplacement de /2 (vers la charge dans le sens positif, vers le gnrateur dans le sens ngatif). Lire sur l'abaque l'impdance d'entre de la ligne. Vrifier par le calcul. Lire galement la tension l'entre de la ligne (en module et en phase). Vrifier par le calcul. Rappeler quelle tension est prise pour origine des phases.

    d) Lecture d'une admittance

    Rappeler l'expression liant le coefficient de rflexion (x) en fonction de l'impdance z(x) en un point de la ligne.

    Replaons z(x) par son admittance yz

    (x)(x)

    =1

    dans l'expression de (x) .

    Comment sont modifis la phase et le module de (x) ? Conclure sur la manire de lire l'admittance correspondant une admittance (et rciproquement) sur l'abaque. Lire sur l'abaque la valeur de l'admittance l'entre et la sortie de la ligne. Vrifier par le calcul.

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    Denis Rabast 5/15 IUFM Aix Marseille

    Suite la remarque concernant les circuits d'adaptation d'impdance, il est galement ncessaire de savoir ajouter une impdance en parallle sur l'abaque. Imaginons qu'une capacit CE se trouve l'entre de la ligne, c'est dire en parallle sur l'impdance d'entre ZE de celle-ci. Deux solutions sont possibles :

    - Aprs avoir dtermin le point de ZE puis de YE, d'aprs les calculs que nous venons de faire, l'ajout d'une susceptance (partie imaginaire d'une admittance) normalise YE RC se traduit par un dplacement positif (la partie imaginaire de l'admittance est positive) sur un cercle rsistance constante. - Certains abaques, dits abaque d'impdance et d'admittance prsentent deux graduations, une traditionnelle pour les impdances, l'autre symtrique par rapport au point (0,1) pour les admittances. La partie suprieure de cette dernire graduation correspondant aux susceptances ngatives, on peut donc lire directement l'admittance ou l'impdance suivant la graduation utilise. L'ajout d'une capacit se traduira alors par un dplacement, sur la graduation admittance, dans le sens ngatif (la susceptance est positive mais l'chelle de l'abaque est inverse), sur un cercle conductance constante. La figure suivante reprsente un abaque de Smith gradu en admittance uniquement (les conductances tant repres par la lettre g et les susceptances par la lettre b)

    g=5

    g=2 g=1 g=0,5g=0,2

    g=0 b=0

    b=-5

    b=-2

    b=-1

    b=-0,5

    b=-0,2

    b=5

    b=2

    b=1

    b=0,5

    b=0,2

    susceptance ngativeinductance parallle

    susceptance po sitivecapacit parallle

    Dterminer par les deux mthodes la nouvelle impdance vue par le gnrateur si on lui ajoute une capacit de 1,27 pF l'entre de la ligne.

    e) Lecture du taux d'onde stationna