Construction en béton Introduction à la norme SIA 262 ... · Construction en béton ......

Construction en béton Introduction à la norme SIA 262 Pièces comprimées Pascal Schertenleib, ing. dipl., Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne Prof. Dr Aurelio Muttoni, Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne Dr. Joseph Schwartz, Hochschule Technik und Architektur Luzern, Horw Extrait de la documentation D 0182, Société suisse des ingénieurs et des architectes, Zürich, 2003

67

6 Pièces comprimées

Pascal Schertenleib et Aurelio Muttoni, Lausanne, Joseph Schwartz, Lucerne

��

Pour la vérification de la stabilité des pièces comprimées, il est nécessaire de tenir compte des déformations (effets du 2ème ordre). Selon l’ancienne norme �� les déformations sont calculées sur la base des efforts intérieurs et de la rigidité flexionnelle �. Ce dernier paramètre est fortement influencé par le taux d’armature de l’élément comprimé et les effets d’action (comportement non linéaire à cause de la fissuration et des déformations plastiques des matériaux, voir figure 6.1). Cette méthode nécessitait généralement plusieurs itérations pour parvenir au taux d’armature optimal qui est à la fois un paramètre de calcul indispensa-ble à la méthode et le résultat recherché.

�

χ�

��

��

��

��

ρ��

ρ��

�

��

��

Figure 6.1 Diagrammes moment - courbure

La norme �� propose de s’affranchir de ce problème en se basant, non pas sur la rigidi-té de l’élément comprimé pour obtenir les dé-formations, mais sur la répartition de la cour-bure le long de l’élément comprimé. La mé-thode de la courbure consiste à définir un état limite ultime en imposant la courbure limite de dimensionnement maximale χ� au droit d’une section, généralement la plus sollicitée. Les déformations sont ensuite obtenues par une

double intégration de la courbure sur la lon-gueur de l’élément comprimé.

��

��

Le moment de flexion d’une pièce comprimée résulte des trois effets suivants :

- Flexion due à l’effort normal en combinai-son avec les imprécisions de l’élément de structure

- Effets d’action du premier ordre - Flexion due à l’effort normal en combinai-

son avec les déformations de l’élément de structure fléchi.

Pour des raisons pratiques, l’excentricité maximale �� entre la ligne d’action de la résul-tante des efforts intérieurs �� et l’axe de l’élément déformé est définie :

�� ⋅−= ��

L’excentricité maximale peut être décomposée selon les trois composantes évoquées (voir aussi figure 6.2):

�� 210 ++= ��

6 Pièces comprimées Introduction à la norme SIA 262

68

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

Figure 6.2 Résultante des efforts intérieurs, excentricités et répartition de la cour-bure

�� !��"�#��$�%��

On prendra pour excentricité �� due aux im-perfections de construction la plus grande des deux valeurs suivantes :

302 00�

��

��

��=α=

� ��

� Inclinaison du pied de l’élément compri-mé selon �� !��"��"

�cr Longueur de flambage de l’élément com-primé

� Hauteur statique

Cette excentricité non prévue peut être admise affine au mode de flambage de l’élément com-primé considéré.

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

��

��

��

��

��

Figure 6.3 Excentricité due aux imperfections pour différents systèmes statiques

�� &� ��!��$��

L’excentricité du premier ordre �� est due aux valeurs de calcul des différentes actions et dérive du fait que la résultante des efforts inté-rieurs ne passe pas par l’axe neutre de l’élément (voir figure 6.4):

�

�

� �

�

−= 1

1

�� #�

�

$

�

��

�

�

��%

�

�� Moment du premier ordre dû aux actions�

Figure 6.4 Répartition de l’excentricité du pre-mier ordre

Les effets d’action induits par des déforma-tions imposées dans les systèmes hyperstati-ques doivent également être pris en compte.

�� '� �� ##��%��%�"�$��$��

L’excentricité �� due aux effets du second ordre résulte de la déformation de l’élément fléchi. Elle correspond à la distance entre l’axe neutre de l’élément déformé et une droite pas-sant par les points d’inflexion ou par les articulations.

L’excentricité �� peut être calculée par le biais du théorème de la force unité (principe des travaux virtuels) en considérant un système représenté par une poutre simple de longueur &�� délimitée par les points d’inflexion (défor-mée due au flambage centré) :

��

�� ∫ ⋅⋅=�

0

2 χ ��

où est le moment virtuel dû à la force unité.

Le calcul de l’intégrale fournit le résultat sui-vant :

Introduction à la norme SIA 262 6 Pièces comprimées

69

�

&� ��

��

2

2 ⋅= χ ��

où�� est une constante qui dépend de la réparti-tion de la courbure le long de la poutre simple considérée.

�

�

�

�

��

�

� �

Figure 6.5 Définition de l’excentricité due aux effets du second ordre

La répartition de la courbure dépend de la rigi-dité et des efforts intérieurs. La norme �� préconise à &' ��!�"�� une valeur égale à :

2π=� ��

Cette valeur est exacte si la courbure varie sinusoïdalement, ce qui est le cas lorsque la rigidité est constante et lorsque les problèmes de stabilité sont importants (�� >>��). La va-leur �(π� est généralement conservative et peut être utilisée pour le calcul d’une solution approchée. Le calcul exact de la constante � au moyen du théorème de la force unité sera abordé au chapitre 6.6.

Il faut remarquer que les excentricités �� et �� calculées selon les �$�� et ��# repré-sentent les valeurs maximales au milieu de la poutre simple de longueur &�� considérée. Si la répartition de �� est sensiblement différente, il est possible que la section déterminante se trouve à un autre endroit. Cette section corres-pond alors au point où une droite parallèle à la résultante des efforts intérieurs �� est tangente à l’axe de l’élément déformé (effort tranchant nul, moment maximal). L’excentricité de di-mensionnement �� devra dans ce cas être adap-tée et on admettra généralement que l’excentricité �� suit approximativement une courbe affine à la déformée de flambage. La figure 6.6 définit les différentes excentricités de dimensionnement pour ce cas particulier.

Lors de grandes variations de l’excentricité de dimensionnement �� le long de l’élément com-primé, il est également possible de calculer l’armature nécessaire en plusieurs sections. La valeur de �� doit simplement être adaptée comme expliqué précédemment.

��&)�&�*��+��*�

��& ��,�&� ��&)�++��* &��

��

��

Figure 6.6 Définition de l’excentricité dans la section déterminante

��&� ��(��)��"��)��

Les �$�� et �� permet-tent d’établir la relation :

��

��

2

10�

⋅⋅−+⋅−= χ ��

Cette relation correspond à une droite dans le diagramme moment – courbure (voir figure 6.7). Le point d’intersection de cette droite représentant les effets d’action avec la courbe qui décrit le comportement de la section dé-terminante constitue le point d’équilibre.

χ χ

�

�

��

��

��

��

� ��

�

��

��

��

2

⋅⋅ χ

�� 11 ⋅=

�� 0⋅

��

�

Figure 6.7 Diagramme M-χ; courbe du compor-tement de la section et droite de la sollicitation


70

Une augmentation du moment de premier or-dre conduit à un déplacement vers la droite du point d’intersection (augmentation de la cour-bure). La limite d’une telle augmentation (ruine de l’élément comprimé) est atteinte quand la droite des effets d’action devient tan-gente à la courbe moment – courbure qui décrit le comportement de la section. Il s’agit dans ce cas d’un calcul sans réserve de résistance.

� �)

χ

� -�

��

��

d

Figure 6.8 Etats limites de dimensionnement pour différentes situations de charge et d’élancement

Trois situations possibles sont représentées à la figure 6.8:

- La droite � est caractérisée par une faible pente (c'est-à-dire un effort normal et un élancement petit) et de grandes valeurs de �� ou ��. Pour cette combinaison, le point de tangence correspond à la rupture par écrasement du béton dans la section dé-terminante.

- La droite - décrit le cas d’un effort normal et d’un élancement moyen. Le point de tangence correspond alors généralement à l’état où l’écoulement dans l’armature ten-due ou comprimée est atteint. Pour cet état, le diagramme de comportement .χ montre clairement une discontinuité de la rigidité tangente. La courbure χ� est donc clairement définie et peut être lue directe-ment sur le diagramme moment-courbure ou calculée avec l’équation :

’

’

��

� −−

=εεχ ��"��

ε�� Déformation de l’armature tendue

ε)�� Déformation de l’armature comprimée

� Hauteur statique de l’armature tendue

�' Hauteur statique de l’armature com-primée

avec �

��

��

+=ε ou

�

��

��

+−=’ε

�

��

�

��

��

��

� ��

Figure 6.9 Plan de déformation à courbure maximale

- La droite � de la figure 6.8 correspond à un effort normal élevé et à un très grand élancement. Dans ce cas, la section ne peut résister qu’à un faible moment de premier ordre (cas de la compression centrée). La rupture de l’élément comprimé résulte d’un flambage et la courbure χ n’atteint pas la courbure d’écoulement. La prise en compte de la courbure d’écoulement avec le mo-ment correspondant conduit à une solution conservative (droite �' dans la figure 6.8).

Pour le point de discontinuité, deux régimes sont possibles : l’un avec écoulement de l’armature tendue, l’autre avec écoulement de l’armature comprimée. Pour des efforts de compression faibles, c’est l’écoulement de l’armature tendue qui est déterminant ; pour des efforts de compression importants, c’est par contre l’armature comprimée qui atteint en premier l’écoulement (Figure 6.10).


71

��

ε�� ε�� = ��ε<

ε��

ε�� ε��

ε��

ε��

ε��

ε�� ε��= ��ε<

ε�� ε�� = ��ε=

χ�

Figure 6.10 Etats de déformation sous interaction ��.��

Une limite supérieure de la courbure de dimen-sionnement maximale est obtenue en admettant l’écoulement simultané des barres d’armature de traction et de compression.

)’(

2

��

+

��

��

� −⋅

≅χ ��

Cette valeur s’avère être une bonne approxima-tion pour effectuer un prédimensionnement de l’armature, pour vérifier si une analyse plus détaillée est nécessaire ou pour la recherche de solutions approchées. Il est à noter que l’influence du fluage et du retrait est déjà com-prise dans &'�$�� puisque la plastifica-tion de la section est effective dans ce cas.

��'� �*��+�+��"��

La méthode proposée dans la �� offre la possibilité d’atteindre différents degrés de précision qui s’adaptent bien aux phases de calcul d’un projet. Selon la précision voulue, le calcul de la courbure de dimensionnement χ� ainsi que sa répartition le long de l’élément (constante �) devront être affinés. Quatre pha-ses de calcul peuvent être clairement définies (Figure 6.11).

/��,��

�� &��&

��*0&�� &��&

IIIII

IV

I

Figure 6.11 Rapport précision-complexité du calcul

I Un premier calcul approximatif peut être effectué sur la base de la courbure de di-mensionnement χ� selon &'�$� �� et la constante �(π� selon &'�$� ��Cette méthode permet de calculer très ra-pidement le moment du second ordre :

��

��

2

2

�⋅⋅−= χ ��"�

L’importance de ce moment peut décider si un calcul plus détaillé est nécessaire.

II Sur la base de l’armature dimensionnée lors de la première phase, la courbure χ� peut être lue sur le diagramme .χ� cor-respondant ou obtenue par une analyse en section. La courbure est alors définie par la formule générale :

’

’

��

� −−

=εεχ ��"�

Cette deuxième phase permet de tenir compte de l’état plan de déformation cor-respondant aux efforts intérieurs. Généra-lement la courbure d’écoulement peut être admise (point de discontinuité dans le diagramme �1�χ, droites - et �’ dans la figure 6.8). Pour de grands élancements et de faibles excentricités ��, une courbure plus petite peut être admise (voir droite � dans la figure 6.8).


72

��

��χ

��

�

�

�

�

�

�

�

�

��

Figure 6.12 Etats de déformation sous interaction ��.��

L’excentricité due aux effets du second ordre se trouve réduite par rapport à la première phase. Par contre, il est généra-lement nécessaire de tenir compte des ef-fets différés (voir chapitre 6.5).

III Dans une troisième phase, la valeur de � peut être affinée sur la base de la réparti-tion des courbures comme indiqué au chapitre 6.6.

IV Dans une quatrième phase, la variation de rigidité due au comportement non linéaire suite à la fissuration et aux déformations plastiques des matériaux peut être consi-dérée par le biais d’une analyse numéri-que.

��,� ��+��"��

Les lois de matériaux utilisées pour le béton armé lors de la détermination des diagrammes .χ ne tiennent compte que très rarement des effets différés tels que le fluage et le retrait. Le fluage sous charges permanentes et le retrait conduisent à un état de déformation irréversi-ble. Lors d’un calcul à l’état limite ultime, ces déformations doivent être prises en compte. Pour la vérification de la stabilité des éléments comprimés, cela se traduit par une augmenta-tion de la courbure de dimensionnement et donc des effets du second ordre. La courbure totale est alors définie par :

�� ,, χ+χ=χ ��!�

χ� Courbure de dimensionnement définie à l’équation (��"�

χ�� Courbure irréversible due au fluage et au retrait de la zone comprimée au temps��

εε

ε

��

εε

ε

χ��

��

��

�∝ �∝

�

��

�� χ

��

Figure 6.13 Plan de déformation, section partici-pante du béton et définition de la courbure préalable χ��

La courbure irréversible de la section χ�� peut être approximée en admettant que les effets différés influencent uniquement la zone com-primée:

��

��

∞ε=χ , ��!��

ε�∞ Déformation spécifique maximale due au retrait et au fluage de la zone comprimée sous les actions permanentes en considé-rant l’effet du premier ordre.

�� +�+��+��(��

On a vu précédemment que la constante � dé-pend de la répartition de la courbure. Si un comportement M – χ linéaire est admis, cette répartition sera affine au diagramme des mo-ments. Le calcul de la constante � peut s’effectuer au moyen du théorème de la force unité qui découle du principe des travaux vir-tuels.

�

&��

�

�� 2

0

2 χ=⋅χ= ∫�

��

La figure 6.14 donne quelques exemples de la valeur de ��pour différents effets d’action� ��et systèmes statiques.


73

�

�

�

� �

��

�

� �

�

� �

�

�

��

� �

�

� �

�

�

�

��

�

� �

�

� �

�

��

�

�

� �

Figure 6.14 Valeurs de �� en fonction des effets d’action et du système statique

Comme les efforts intérieurs résultent de la superposition de plusieurs actions, un coeffi-cient � moyen tenant compte des différentes contributions doit être déterminé.

Dans les formules suivantes, les indices � pour les actions de dimensionnement ont été omis pour plus de clarté. L’excentricité du 2ème ordre est obtenue en appliquant le facteur d’amplification du second ordre à l’excentricité due aux déformations du premier ordre ��2 :

∑= −

⋅=−

⋅=�

�

��

�

�

��

�

��

�

��

��1

,222

1

1

1

1 ��

�� Charge critique de flambage d’Euler

L’excentricité �� due aux déformations du

premier ordre sous l’action i vaut :

�

��

� ��

�

2

,2

�⋅= ��

En substituant &'�$� �� dans &'�$. �� on obtient :

��

� ��

��

�

�

��

�

�

2

1

2

2

1

1 ��⋅χ=

−⋅⋅= ∑

=

��

��

��

� ��

�

�

� 21

2

2

�⋅

⋅+=

∑= ��

En substituant &'�$� �� dans &'�$. ��, et en tirant �, on obtient :

−⋅+=

∑

∑

=

=

��

�

� �

�

�

�

�

��

��

�

�� 1

1

12�

��#�

Enfin, en introduisant la valeur de la charge critique de flambage d’Euler on obtient :

−⋅+⋅π=

∑

∑

=

=

��

�

� �

�

�

�

�

��

�

��

� 1

1

12 ��

Cette dernière expression permet donc le calcul d’une constante � moyenne établie sur la base des contributions des différentes actions.

Il faut remarquer que la détermination de c se base sur un calcul linéaire. La �� utilise la même méthode basée sur le facteur d’amplification du second ordre. Les résultats ainsi obtenus sont donc tout à fait comparables.

��-� ��(��+�)(�.��

Pour les éléments de structure soumis à un effort de compression à peu près centré, il est utile d’utiliser les courbes de flambage. Les courbes de flambage présentées ci-contre ont été établies pour des sections rectangulaires sur la base de la méthode décrite précédemment (phases I et II).


74

��

ω = 1.2

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

� ��

��

��

��ε�∞��

��

��

��

��

��

��

ω = 1.2��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

� ��

��

��

��ε�∞��

��

Figure 6.15 Courbes de flambage pour une sec-tion rectangulaire

dh

�)��

b

d’=0

.1h

��

��

+

+

2�

��⋅

⋅+

=ω’

��/� ��+��0��+��

Le dimensionnement de la pile de pont de la figure 6.16 au stade de construction est présen-té ci-après.

&

��

$�

�

2

��

�)�

��)

3�

� �

Figure 6.16 Pile de pont au stade de construction

Les matériaux prévus sont : béton C35/45 et acier B500B.

L’excentricité �� due aux imperfections est donnée par ��et� ��:

*��

15.02

452

300

10 =⋅⋅=

Géométrie :

� = 45.0 m b = 5.0 m h = 1.50 m d = 1.43 m d’= 0.07 m

Actions :

Vent : qd = 4.8 kN/m2

��/�� 1 %��

La valeur de calcul du moment de est obtenu au moyen de la formule suivante :

)( 210 �� ++⋅−= ��

Afin d’obtenir une déformation comparable de la pile sous charge permanente, le poids propre est appliqué ponctuellement à raison de 1/3 en tête de pile et 2/3 à la base.


75

��

��

��

��

� ��

� ��

��

��

�

��

��

�

Figure 6.17 Effets d’action

4'�$� �� peut également s’écrire :

�� 120 )( ++⋅−= ��

Calcul de l’excentricité du second ordre ��, �� et� ��5�

*�

&

�

&�

*

��

+

�

��

�

��

��

�

��

��

�

44.2)452(

00312.0

00312.0)07.043.1(10205

4352

)’(

2

2

2

2

2

22

2

13

=⋅⋅=

⋅=⋅=

=−⋅

⋅=

−⋅⋅

=

−

π

πχχ

χ

χ

Calcul de ��et ��:

�*&

�$

�&2��

��

��

3.242

87.3)(3

1

2

1

,sup

=⋅⋅=

−=⋅⋅⋅⋅= γγ

En introduisant ces valeurs dans &'�$� �� :

�*�

8.343.24)87.3()44.215.0( =+⋅+=

L’armature est alors déterminée au moyen d’un diagramme d’interaction �.�: ρ�(��!�6�

ρ��

ρ��

��

ρ��

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

Figure 6.18 Diagramme d’interaction ��.�

��/� � �1 %��

Sur la base de la section d’armature dimen-sionnée dans la première phase, il est possible de calculer la courbure d’écoulement par le biais d’une analyse en section. Dans notre cas χ��(�#�##��

�*�� (voir aussi diagramme M – χ dans la figure 6.19)

ρ ��ρ��

ρ��

�

��

�

�

��

�

��

�

��

χ��

��

Figure 6.19 Diagramme .χ; ε�∞ (�#

L’excentricité due aux effets du second ordre �� et la valeur de calcul du moment � de-viennent :

�*

*�

�

�

5.313.24)87.3()72.115.0(

72.1)452(

0021.02

2

2

=+⋅+=

=⋅⋅=π

Le taux d’armature peut être adapté en consé-quence au moyen du diagramme d’interaction N-M�donné à la figure 6.18 : ρ�(��6�


76

��/�&� ��#2��%��##��%��##��%�

Les effets différés au stade de construction peuvent être négligés. Ce paragraphe illustre la démarche à suivre si on désire néanmoins les prendre en compte.

Selon ��!� on obtient avec ε�∞ (�.��#��7��:

1,

1,

0028.00007.00021.0

0007.043.1

001.0

−

−∞

=+=

=−

==

*

*�

��

�

��

χ

εχ

�*

*�

�

�

8.333.24)87.3()29.215.0(

29.2)452(

0028.02

2

2

=+⋅+=

=⋅⋅=π

Le calcul effectué en tenant compte du fluage de manière adéquate pour un moment de flexion ��(""��*,�fournit�une valeur de la courbure supplémentaire égale à χ�� =�#�###��*��

�

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

χ� ��

�� εc • = 1.0 ‰

εc • = 0

εc • = 2.0 ‰

χ �,irr

Figure 6.20 Diagramme .χ; ε�∞ (#��#��#�

�7��

ρ�(��!�6

La courbure irréversible χ�� calculée au moyen de &'�$� ��!� de la norme fournit une excellente approximation du comporte-ment en section tout en étant simple d’application.

��/�'� �1 %��3�� 2��2��

Le moment dû à l’imperfection initiale �� représente à peine 3 % du moment dû au vent ��. En première approximation, la répartition

de la courbure peut être choisie affine aux moments de flexion dus au vent.

22

22

0

2

16

14

1

��

�

�

�

�

��

�

�

�

⋅χ=

⋅χ=

⋅χ= ∫

&

$��

La valeur de � est donc égale à �� (� ��. L’excentricité due aux effets du second ordre �� et la valeur de calcul � deviennent :

�*

*�

�

�

293.24)87.3()06.115.0(

06.116

)452(0021.0

2

2

=+⋅+=

=⋅⋅=

Le taux d’armature pourrait encore faire l’objet d’une éventuelle réduction ρ�(��6��

ρ��

�

�

��

��

��

��

��

��

��

��

χ� ��

��

�

�

Figure 6.21 Diagramme .χ; ε�∞ (#�8�ρ�(��6�

Le calcul de la valeur moyenne de la constante � nécessite de connaître la charge critique de flambage élastique d’Euler :

2

2

��

�

��

��

�

⋅π−= ��"�

��

�*

�

��

�

��

�

18)452(

14800

1480000218.0

2.32

2

2

2

−=⋅⋅π−=

==χ

=

La constante � est calculé en utilisant la for-mule ��.


77

5.14

18

87.31

16

3.2415.087.33.2415.087.3

18

87.3

2

2

=⇒

−⋅

+π⋅

+⋅+⋅π=

�

�

La valeur obtenue n’induit que de faibles va-riations de la valeur de calcul du moment � et de l’excentricité de dimensionnement du 2ème

ordre �� par rapport au précédent calcul.

��/�,� �$!� � �%$�� 4��2 �!��1$��%�2$��

La pile de pont décrite auparavant est dimen-sionnée au moyen de la méthode de la rigidité.

1ère itération:

�*

�9

*�9

��

��

9.2487.315.03.24

15.0

0,

00

=⋅+=

⋅+=

==

Choix du taux d’armature dans le diagramme .χ : ρ�(��#�6 (voir figure 6.18).

��

�*

�

��

�

��

�

84.15)452(

13000

1300000218.0

2.28

2

2

2

−=⋅⋅π−=

==χ

=

Calcul de la déformation du 1er ordre 9�

��5

*9

��$�

�

�9

�

�

�

�

��

��

�

98.0130008

4558.415.0

84.15

87.3

84

4

0

=⋅

⋅+=

⋅⋅⋅+⋅= �

Calcul de la déformation du 2ème ordre 9��

��5

�*

�99

*

�

�99

�

�

��

��

��

�

�

�

��

�

9.2987.3)3.115.0(3.24

)(

30.1

87.15

87.31

198.0

1

1

01

=⋅++=⋅++=

=−

=−

=

Le taux d’armature doit être augmenté �:��

2ème itération :

Choix du taux d’armature ρ�(��6�

�*

*9

*9

��

�*�

�

��

�

�

�

��

�

2.2987.3)1.115.0(3.24

10.1

18

87.31

186.0

86.0148008

4552.35.115.0

18

87.3

18)452(

14800

1480000218.0

2.32

4

2

2

2

=⋅++=

=−

=

=⋅

⋅⋅+=

−=⋅⋅π−=

===

Le taux d’armature choisi est suffisant et peut même être diminué. Par interpolation entre les résultats des deux itérations, on trouve une valeur de ρ�(��#��6��

��5� ��+��

La valeur de calcul du moment �� et le taux d’armature obtenus avec la méthode de la rigi-dité �� sont comparables à ceux calcu-lés au moyen de la méthode de la courbure ��. Les avantages de la méthode de la courbure ressortent clairement de cette compa-raison puisque seule la valeur de la courbure de dimensionnement χ� doit être recalculée entre deux itérations. En outre la méthode proposée par la nouvelle norme facilite l’approche par phases.


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Construction en béton Introduction à la norme SIA 262 ... · Construction en béton ......

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