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Année universitaire 2015 - 2016 Construction de probabilités de défaut lifetime à partir de matrices de transition Anthony MAPAISANKIT Elève en 3 ème année à l’ENSEIRB-MATMECA Elève en master Ingénierie des Risques Economiques et Financiers à l’Université de Bordeaux Tuteur à l’université : Olivier Brandouy Maîtres de stage : Oliver Moudoulaud, Cédric Naud Stage fin d’études du 15/02/2016 au 12/08/2016 chez EY

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Annéeuniversitaire2015-2016

Constructiondeprobabilitésdedéfaut

lifetimeàpartirdematricesdetransition

AnthonyMAPAISANKIT

Elèveen3èmeannéeàl’ENSEIRB-MATMECA

ElèveenmasterIngénieriedesRisquesEconomiquesetFinanciersàl’UniversitédeBordeaux

Tuteuràl’université:OlivierBrandouy

Maîtresdestage:OliverMoudoulaud,CédricNaud

Stagefind’étudesdu15/02/2016au12/08/2016chezEY

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SOMMAIRE 1 Introductionetprésentationducontexted’étude 4

2 Présentationdel’environnementdestageetdesondéroulement 6

3 Présentationdesdonnéesdisponibles 7

3.1 Lesmatricesdetransitions............................................................................................................7

3.2 Etudedunombred’émetteurs......................................................................................................9

3.3 Etudedestauxdedéfautdel’historique.....................................................................................11

4 Méthodologies 13

4.1 ThéoriesurleschaînesdeMarkov..............................................................................................13

4.2 Déterminationdelamatricegénératrice....................................................................................15

4.2.1 La problématique d’approximation des matrices génératrices ..................................................... 154.2.2 Méthode 1 : l’approximation de Jarrow et al. ............................................................................... 16

4.2.3 Méthode 2 : ajustement diagonal .................................................................................................. 164.2.4 Méthode 3 : ajustement pondéré ................................................................................................... 17

4.2.5 Méthode 4 : quasi optimisation de la génératrice ......................................................................... 174.2.6 Comparaison des méthodes de calcul de génératrice ................................................................... 17

4.3 MéthodesdecalculdePDlifetime..............................................................................................17

4.3.1 Méthode simple ............................................................................................................................ 184.3.2 Méthode homogène ...................................................................................................................... 18

4.3.3 Méthode inhomogène ................................................................................................................... 194.3.4 Méthode mixte .............................................................................................................................. 21

4.3.5 Méthode simple-mixte .................................................................................................................. 224.3.6 Méthode du cycle de crédit ........................................................................................................... 23

4.3.7 Méthode facteur de convergence .................................................................................................. 274.3.8 Méthodes de correction ................................................................................................................ 29

5 Plandetestetmodeopératoire 30

5.1 Testdeprécisionetdestabilité...................................................................................................30

5.2 Testdevalidité............................................................................................................................32

5.3 Comparatif...................................................................................................................................32

6 Résultats 33

7 Bilan 35

8 Bibliographie 36

9 Annexes 37

9.1 Méthodologiederégressionlinéaire...........................................................................................37

9.2 FonctionsRutiliséespourl’étude...............................................................................................38

9.3 FiguresillustrativesdecourbedePDcumulée............................................................................46

9.4 Tableauxd’erreurs.......................................................................................................................47

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Résumé Ce rapport présente l’environnement et les missions effectuées au cours de mon stage de fin d’étude au sein de l’équipe quantitative du cabinet de conseil et d’audit EY (équipe QAS). Une étude principale et clairement définie m’a été confiée pendant ces 6 mois. Ce rapport a aussi pour but de laisser une trace de mes travaux à l’équipe QAS et par conséquent son ossature se base exclusivement sur cette étude et son contenu est technique. En outre, j’ai pu participer et apporter mon soutien sur quelques missions annexes qui ne sont pas référencées dans ce rapport.

Mon étude principale se porte sur les extrapolations de probabilités de défaut dans le domaine corporate à partir de matrices de transition issues de Standard & Poor’s (S&P). Cette étude fait réponse à la nouvelle norme comptable IFRS 9 – phase 2. Par rapport à la norme précédente (IAS 39), elle modifie les méthodes de calculs de provision des banques pour se couvrir des éventuelles pertes liées au risque de crédit en définissant 3 régimes de calcul (appelés Bucket 1, Bucket 2 et Bucket 3). Pour cela, les banques doivent faire des provisions proportionnellement au risque des actifs détenus. Ces 3 différents régimes se démarquent par la qualité de crédit des différents contrats détenus :

• Le bucket 1 : ensemble des actifs financiers n’ayant pas subi de variation significative de la qualité de crédit depuis l’origine des contrats,

• Le bucket 2 : ensemble des actifs financiers ayant subi une variation significative de la qualité de crédit depuis l’origine des contrats,

• Le bucket 3 : actif financier ayant fait défaut.

Les provisions relatives aux contrats classés en bucket 1 seront évaluées via des pertes attendues sur un horizon de 1 an tandis que celles associées au bucket 2 seront calculées via des pertes attendues sur la maturité des contrats (on parle ici de lifetime). De ce fait, pour déterminer ces pertes, une probabilité de défaut lifetime devra être calculée. La variation de la qualité de crédit est en général mesurée via les variations relatives des probabilités de défaut annuelles des actifs entre 2 instants. Par ailleurs un nouvel indicateur propose de calculer la variation de la moyenne sur la maturité résiduelle du contrat des probabilités de défaut annuelle forward.

Après avoir réalisé une étude sur les matrices de transition S&P, les différentes méthodes de calcul de probabilité de défaut lifetime sont présentées. Ces dernières sont issues de recherches bibliographiques reflétant les pratiques de place et les publications scientifiques dans le domaine du risque de crédit. Ces dernières sont comparées en mesurant la précision et la stabilité de la construction des probabilités de défaut cumulées. Enfin un bilan du stage permet de souligner l’adéquation de ma formation avec les besoins de l’équipe.

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1 Introduction et présentation du contexte d’étude

Ce rapport de stage a pour but de décrire l’environnement et les missions effectuées au cours de mon stage de fin d’étude au sein de l’équipe quantitative du cabinet de conseil et d’audit EY. Une étude principale et clairement définie m’a été confiée pendant ces 6 mois. Cette dernière constituera l’ossature de ce rapport et permettra de laisser une trace de mes travaux à mes superviseurs de stage. Compte tenu de mon intégration dans une équipe quantitative, ce rapport est avant tout technique visant à répondre aux besoins de mes superviseurs.

Mon étude principale se porte sur les extrapolations de probabilités de défaut dans le domaine corporate à partir de matrices de transition dans le cadre de la nouvelle norme comptable IFRS 9. Par rapport à la norme précédente (IAS 39), elle modifie les méthodes de calculs de provision des banques pour se couvrir des éventuelles pertes liées au risque de crédit en définissant 3 régimes de calcul (appelés Bucket 1, Bucket 2 et Bucket 3). Pour cela, les banques doivent faire des provisions proportionnellement au risque des actifs détenus. Ces 3 différents régimes se démarquent par la qualité de crédit des différents contrats détenus :

• Le bucket 1 : ensemble des actifs financiers n’ayant pas subi de variation significative de la qualité de crédit depuis l’origine des contrats,

• Le bucket 2 : ensemble des actifs financiers ayant subi une variation significative de la qualité de crédit depuis l’origine des contrats,

• Le bucket 3 : actif financier ayant fait défaut.

Les provisions sont calculées à partir des pertes attendues déterminées à partir des formules ci-dessous.

Figure 1 : les 3 niveaux d’IFRS 9

Comme nous pouvons le voir sur la figure 1, les provisions relatives aux contrats classés en bucket 1 seront évaluées via des pertes attendues sur un horizon de 12 mois tandis que celles associées au bucket 2 seront calculées via des pertes attendues sur la maturité des contrats notée N (on parle ici de perte attendue lifetime). De ce fait, pour déterminer ces pertes, une probabilité de défaut cumulée (PDC) lifetime et une probabilité de défaut marginale (PDM) devront être calculées. La probabilité de défaut cumulée lifetime en T correspond à la probabilité de faire défaut sur la maturité T. La probabilité de défaut marginale en T correspond à la probabilité de faire défaut entre l’instant T-1 et T vue à l’instant du calcul. La probabilité de défaut marginale est reliée à la probabilité de défaut cumulée par :

𝑃𝐷𝑀(𝑡) = )*+(,)–)*+(,./)/.)*+(,./)

lorsque 𝑡 ≥ 1

Expected credit losses 12 months

=> ECL = EAD x PD12m x LGD

Bucket1 Bucket2 Bucket3

Lifetime expected credit losses

Lifetime ECL(𝟏)

= 3EADi*LGDi*(1-PDCi-1)*PDMi

(1+r)i-1

N

i=1

Lifetime expected credit losses

=> lifetime ECL = EAD x LGD

Amélioration Détérioration Evolutiondurisquedecrédit

r correspond au taux d’actualisation

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Et PDM(0) = PDC(0)

Nous ne nous intéresserons pas au modèle EAD (Exposure at Default) et de LGD (Loss Given Default). Dans la suite de ce document, la probabilité de défaut sera notée PD. En outre, un indicateur de dégradation de la qualité crédit devra être judicieusement choisi pour décider du transfert d’un actif du bucket 1 vers bucket 2. La variation de la qualité de crédit peut être mesurée via les variations relatives des probabilités de défaut annuelles des actifs entre 2 instants. Un nouvel indicateur propose de calculer la variation de la moyenne sur la maturité résiduelle du contrat des probabilités de défaut annuelle forward. Pour remarque, le bucket 3 contenant des actifs financiers ayant fait défaut a PD est de 1.

Dans ce cadre, nous nous intéresserons aux méthodes de détermination de PD lifetime (cumulée et marginale) à partir de matrices de transition d’agences de notation. Nous restreindrons notre étude aux portefeuilles corporate. Pour cela, nous construirons nos modèles à partir de données externes en provenance de Standard & Poor’s (S&P). Etant donné que les matrices de transitions ne sont données que pour des maturités de 1 an, la problématique posée par cette réglementation consiste en la mise en place d’un modèle extrapolant ces probabilités de défaut pour des horizons multiples. Il est important de noter que les PD dans le cadre d’IFRS 9 doivent être PiT (Point in Time) et non TTC (Through the cycle, qui sont utilisées pour la norme Bâle III).

Une PD PiT décrit la situation des contreparties sur une courte période de temps (typiquement 1 an) et va varier selon le cycle économique : elle sera élevée en période de récession et faible en période d’expansion. A l’inverse, une PD TTC a pour but de présenter les probabilités de défaut sur l’ensemble d’un cycle économique et donc reste constante sur cette période (nous pouvons tout de même avoir une tendance). De manière simple nous pouvons la présenter comme une moyenne des PD sur un cycle économique.

Figure 2 : illustration d’un cycle économique

Notre objectif est alors de déterminer des PD lifetime à partir de matrices de maturité 1 an fournies par S&P (allant de 1981 à 2014).

Dans un premier temps, une brève présentation du cabinet EY et de l’équipe au sein de laquelle mon stage s’est déroulé sera réalisée. Dans un deuxième temps, nous présenterons les différentes étapes qui nous ont permis d’aboutir à différentes méthodes d’extrapolation de PD à partir de matrices de transition

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ainsi que leurs fondements théoriques. Par la suite, ces différentes méthodes seront comparées et les résultats seront commentés pour pouvoir extraire la méthode la plus adaptée aux calculs de PD lifetime. Enfin, un bilan sur le stage et son adéquation avec ma formation sera réalisée.

2 Présentation de l’environnement de stage et de son déroulement

Mon stage s’est déroulé au sein du cabinet d’audit et de conseil EY anciennement Ernst & Young à Paris La Défense.

Figure 3 : Locaux d’EY

Plus précisément j’ai travaillé avec l’équipe QAS (Quantitative Advisory Service) dirigée par Anne Le Henaff et comptant une quinzaine de personnes. Cette équipe est experte en problématique de modélisations mathématiques dans le domaine financier. De ce fait, ce stage était en parfaite adéquation avec mon souhait de faire de l’analyse quantitative pour mon stage de fin d’études.

La section QAS est intégrée au sein de la division FS RISK (environ 100 personnes) comprise dans la branche FSO (Financial Service Office).

Figure 4 : Descriptions des différents services lines d’EY

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FSO est le leader en France dans les domaines de l’audit, de la gestion des risques, de l’optimisation des performances et de l’accompagnement des transactions pour l’industrie financière et compte plus de 700 personnes.

Mes superviseurs de stage m’ont confié une étude clairement définie sur la construction des PD lifetime. Dans un premier temps, une recherche bibliographique m’a permis de répertorier les différentes pratiques de place concernant les extrapolations de probabilité de défaut. Dans un deuxième temps, les différentes méthodes retenues ont été implémentées sur R. Enfin, un plan de test nous a permis de comparer chacune des méthodes retenues et des retenir la plus robuste et fiable en générant des fichiers d’erreurs via des fonctions R. En parallèle de cette étude, j’ai participé à plusieurs missions et formations qui ont permis d’enrichir et solidifier mes connaissances en valorisation de produits complexes, réglementation bancaire et risque de crédit.

3 Présentation des données disponibles

Pour réaliser cette étude, nous avons utilisé un historique de 34 ans de matrices de transition PIT d’horizon 1 an fournies par Standard & Poors. Cet historique s’étend de 1981 à 2014. Ces matrices ont été construites à partir de notations d’industries de différents secteurs (aéronautique, automobile, secteur des services, télécommunication, assurance …) au niveau mondial. Il est à noter qu’avant le début des années 90, les notations étaient concentrées sur des entreprises Américaines. Nous disposons à la fois des matrices de transitions en échelle simple (de AAA à CCC) mais aussi de celle en échelle détaillée (AAA, AA+, AA, AA- à CCC). Enfin, nous avons également le nombre d’entreprises émettrices de chaque année. Cet historique nous servira de base pour pouvoir déterminer des probabilités de défaut lifetime.

3.1 Les matrices de transitions

Dans un premier temps nous allons faire une introduction sur les matrices de transitions. Ces matrices indiquent la probabilité de transition d’un état à un autre selon la note des entreprises. La plupart des matrices de transitions données par les agences de notation sont calculées par la méthode des cohortes c’est-à-dire que chaque élément de la matrice de transition correspond à :

𝑝9:(𝑡) =𝑛9:(∆𝑡)𝑁9(𝑡)

• 𝑛9:(∆𝑡)désigne le nombre d’entreprises passant de i à j sur la période comprise entre t-∆𝑡 et t, • 𝑁9(𝑡)désigne le nombre d’entreprises notées i à t-∆𝑡.

Une deuxième approche appelée méthode de duration permet de prendre l’évolution des notes des entreprises de manière continue au cours de la période étudiée, à condition d’avoir un nombre suffisant de données sur cette période de temps :

𝜆9: =𝑛9:(𝑇)

𝑁9 𝑠 𝑑𝑠BC

D’un point de vue théorique, ces matrices de transitions peuvent être modélisées comme les probabilités de transition d’une chaîne de Markov. Soit (𝑋E)EFC une famille de variables aléatoires à valeur dans un espace E (dans notre cas il est fini et correspond à l’ensemble des notes). C’est une chaîne de Markov si:

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∀𝑖, 𝑗𝜖𝐸: 𝑝9,: = ℙ 𝑋EO/ = 𝑗 𝑋C = 𝑖C,𝑋/ = 𝑖/, … , 𝑋𝑛 = 𝑖 = ℙ 𝑋EO/ = 𝑗 𝑋𝑛 = 𝑖

Où 𝑝9,: sont les éléments de cette matrice de transition. On parle d’absence de mémoire car la probabilité de passage dans l’état futur dépend uniquement du présent et est indépendant du passé.

Dans le cas continu, on parlera de processus de Markov. Soit (𝑋,),∈ℝO∗ un processus aléatoire à valeur dans un espace E. C’est un processus de Markov si ∀𝑡 > 0𝑒𝑡𝑠 > 0:

∀i, j𝜖𝐸: 𝑝9,: = ℙ 𝑋,OY = 𝑗 𝑋Z = 𝑖Z,∀𝑐 ≤ 𝑡 = ℙ 𝑋,OY = 𝑗 𝑋𝑡 = 𝑖

Dans la suite nous noterons P(t) la matrice de transition markovienne de maturité t ans. C’est une matrice stochastique, c’est-à-dire que la somme de leur ligne est égale à 1. Elle vérifie:

∀𝑖𝜖𝐸 𝑝9:(𝑡)E:]/ = 1 et ∀𝑖, 𝑗𝜖𝐸, 𝑝9: 𝑡 ≥ 0𝑒𝑡𝑃 0 = 𝐼𝑑

Tableau 1 : exemple de matrice de transition S&P 2003

Dans le domaine du risque de crédit, elles doivent en plus vérifier les critères suivants :

• critère de monotonie ligne/colonne : les probabilités de migration (hors défaut) sont décroissantes au fur et à mesure qu’on s’éloigne de la diagonale,

• monotonie de la probabilité de défaut : les probabilités de défaut sont croissantes en fonction de la notation (ces probabilités sont situées sur la colonne D),

• critère de Jarrow : Une notation de moins bonne qualité devra présenter un risque de crédit plus important. Ce critère peut se formuler mathématiquement comme :

𝒑𝒊𝒋𝒋F𝒌 est une fonction non décroissante de i pour tout k fixé.

On observe dans certaines situations des incohérences de monotonie de PD. Toutefois, si l’on calcule les PD sous un mode « Through-the-Cycle » (i.e TTC) en déterminant la matrice moyenne sur les 34 années disponibles, le critère de monotonie est respecté ; ce qui ne sera pas forcément le cas pour des PD calculées dans un mode « Point-in-Time » (i.e PiT). Ces effets indésirables ont été réduits en utilisant une échelle simple (en lieu et place d’une échelle détaillée). C’est pourquoi, notre étude a été réalisée sur des matrices sur une échelle de notation simple : AAA, AA, A, BBB, BB, B, CCC.

Nous avons ensuite vérifié si les matrices de S&P en échelle simple respectaient les critères énoncés ci-dessus. L’étude a montré que :

• Seulement 4 matrices respectent le critère de monotonie ligne/colonne, • Aucune ne respectent le critère de Jarrow,

Probabilitédedéfauten%

AAA AA A BBB BB B CCC D

AAA 89 10 1 0 0 0 0 0AA 0,46 86,98 11,86 0,7 0 0 0 0A 0 1,07 91,44 7,31 0,18 0 0 0BBB 0 0 1,44 92,55 5,6 0,24 0 0,16BB 0 0 0 3,18 84,63 10,93 0,64 0,63B 0 0 0 0,31 7,61 83,08 4,5 4,5

CCC 0 0 0 0 0,69 13,2 51,39 34,72

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• 9 matrices ne respectent pas le critère de monotonie de la probabilité de défaut, celles de 2012, 2011, 2008, 2004, 2001, 1997, 1994, 1982 et 1981 ce qui représente 26% de nos données.

Par ailleurs, le non-respect du critère de monotonie de probabilité de défaut et de monotonie ligne/colonne engendre des résultats incohérents (comme des croisements de courbes PD pour différentes notes). Ce pourcentage de données incohérentes étant non négligeables, nous avons proposé des correctifs pour pallier au non-respect de la monotonie de probabilité de défaut en échelle simple (cf. 4.3.8). En outre ces incohérences auraient aussi pu être corrigées via l’utilisation d’une échelle encore moins détaillée comme l’utilisation des classes Investment grade (regroupant les notes de AAA à BBB) et Speculative grade (regroupant les notes de BB à CCC).

3.2 Etude du nombre d’émetteurs

Dans un deuxième temps, une étude sur les variations des taux de défaut et sur le nombre d’émetteurs notés a été réalisée pour évaluer la qualité des données.

Figure 5 : évolution du taux de défaut annuel au cours des 34 années d’historique pour les notes BB, B, CCC

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 2009 2011 2013

TAUXDE

DÉFAU

TEN

%

ANNÉE

tauxdedéfautannuel

CCC

B

BB

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Figure 6 : évolution du taux de défaut annuel au cours des 34 années d’historique pour les notes AAA, AA, A,

BBB

Le critère de monotonie de probabilité de défaut imposerait que chaque courbe soit l’une en dessus de l’autre. Comme nous pouvons le constater sur les figures 5 et 6, il arrive des situations pour lesquelles les taux de défaut de firmes moins bien notées soient en dessous de ceux de firmes mieux notées (par exemple entre B, CCC en 1981 et A et BBB en 1994, 2003, 2005).

Figure 7: évolution du nombre de sociétés émettrices au cours des 34 années d’historique pour chaque note

0,00%

0,20%

0,40%

0,60%

0,80%

1,00%

1,20%

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

TAUXDE

DÉFAU

TEN

%

ANNÉE

tauxdedéfautannuel

A

BBB

AA

AAA

0100200300400500600700800900

10001100120013001400150016001700180019002000

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

NOMBR

ED'ÉM

ETTEUR

S

ANNÉE

Evolutiondunombredesociétésémettricesparnote

AAA AA A BBB BB B CCC

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Nous pouvons expliquer ces incohérences en supposant que les modèles de score de S&P sont calibrés sous un mode TTC. De ce fait, les PD TTC respectent le critère de monotonie de probabilité de défaut, ce qui n’est forcément le cas pour des PD PiT. Par exemple la note d’une entreprise peut être erronée sur des périodes de crise.

D’autre part, nous pouvons remarquer sur la figure 3 que le nombre d’émetteurs progressent très lentement jusqu’en 1992. En effet avant le début des années 1990, S&P se concentrait que sur des entreprises américaines pour ensuite prendre en compte l’Europe et les marchés émergeants. Par conséquent, les 10 premières années vont être mises à l’écart pour effectuer nos calculs et tests puisqu’ils ne reflètent pas la situation actuelle et qu’elles introduiraient une information biaisée.

Pour la suite de notre étude, nous prendrons donc seulement 24 ans d’historique allant de 1990 à 2014. Bien que les infractions soient relativement faibles, nous essayerons de voir par la suite l’impact qu’elles ont sur la cohérence de nos résultats.

3.3 Etude des taux de défaut de l’historique

Dans un troisième temps nous allons étudier la variation des taux de défauts pour nous donner une vision du cycle économique. Cette étude nous permettra de comprendre les résultats présentés dans la partie 4 mais aussi de prendre connaissance des données sur lesquelles nous avons travaillé. Pour remarque, nous ferons la distinction entre le taux de défaut correspondant aux taux de défaut qui se sont réalisés sur des périodes passées et probabilité de défaut correspondant taux de défaut prévu pour les périodes futures.

Figure 8 : comparaison taux de défaut annuel et taux de défaut moyen au cours des 24 ans

0,00%0,20%0,40%0,60%0,80%1,00%1,20%1,40%1,60%1,80%2,00%2,20%2,40%2,60%2,80%3,00%3,20%3,40%3,60%3,80%4,00%4,20%4,40%4,60%

TAUXDE

DEFAU

TEN

%

ANNÉE

Evolutiontauxdedefautannuel

RatioDéfauts/Emetteurs moyennesur24ans

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La courbe orange est obtenue en déterminant le taux de défaut annuel observé toutes notes confondues. Elle représente le taux de défaut annuel mesuré sur l’ensemble des émetteurs et se calcule de la manière suivante :

𝑡𝑎𝑢𝑥𝑑𝑒𝑑𝑒𝑓𝑎𝑢𝑡 𝑡 =𝑑é𝑓𝑎𝑢𝑡(𝑡, 𝑡 + 1)

𝑛(𝑡)

La courbe jaune représente la moyenne des taux défaut annuel. Elle est obtenue en calculant le taux de défaut total sur les 24 ans :

𝑡𝑎𝑢𝑥𝑑𝑒𝑑𝑒𝑓𝑎𝑢𝑡𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 = lémno,(,,,O/)pE(,)p

= /qrsrqs/t

= 1,5%

avec défaut(t, t+1) le nombre de défauts observé sur la période comprise entre t et t+1, n(t) le nombre de firmes notées à la date t. Dans le tableau suivant nous allons regarder la répartition des données par rapport à la moyenne. Outre la variance, nous allons étudier l’écart absolu entre le taux de défaut marginal et le taux de défaut moyen sur les 24 années d’historique pour chaque note mais aussi de manière globale. Nous avons aussi calculé le coefficient de variation défini par :

𝐶𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 = 𝑒𝑐𝑎𝑟𝑡𝑡𝑦𝑝𝑒𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛𝑛𝑒

Tableau 2 : étude des variations pour chaque note

Pour chaque note, le taux de défaut moyen a été calculé de la même manière que précédemment. Au regard du tableau 2, nous pouvons constater que la variance des taux de défaut CCC (égale à 1,67%) est plus élevée que celle autres notes (proche de 0%), ce qui se retrouve évidemment sur l’écart moyen.

Le coefficient de variation exprime l’écart type en pourcentage de la moyenne. Contrairement à l’écart type, le coefficient de variation nous permettra de comparer la répartition de données ayant des moyennes différentes. Il permet de souligner la sensibilité des taux de défaut au cycle économique. Ainsi les probabilités de défauts des notes AA et BB (coefficient de variation respectivement égal à 156% et 124%) sont plus sensibles aux variations du cycle économique que les autres notes (coefficient de variation compris entre 53% et 81%).

Nous ne pouvons pas tirer de relation entre la qualité de la note et la sensibilité aux variations du cycle économique donné par le coefficient de variation. Au regard du tableau 2 et des figures 8, 5 et 6, nous pouvons dire que les fluctuations de la courbe de taux de défaut dépendent fortement des fluctuations des courbes de taux de défaut des notes de mauvaise qualité (B et CCC).

Note Variancetauxdedéfaut ecartmoyen écarttypedesécartscoefficientvariationdes

écarts

AAA 0,00% 0,00% 0,00%AA 0,00% 0,05% 0,07% 156,13%A 0,00% 0,10% 0,08% 78,55%

BBB 0,00% 0,26% 0,15% 57,27%BB 0,01% 0,68% 0,84% 124,00%B 0,16% 3,12% 2,54% 81,42%

CCC 1,67% 10,20% 7,99% 79,46%global 0,01% 0,95% 0,69% 72,98%

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Après 1995 nous pouvons observer un cycle économique durant une dizaine d’année (de 1997 à 2007). Au vu de ces courbes et du coefficient de variation, nous constatons que les matrices de S&P nous fournissent bien une PD de caractère PiT.

Dans la suite nous allons nous concentrer sur les données de 1990 à 2014. Les variations des taux de défaut de la figure 8 nous permettrons d’interpréter les résultats présentés dans la partie 4.

4 Méthodologies

Après avoir choisi les données sur lesquelles nous appliquerons et testerons nos modèles, nous allons présenter la théorie des chaînes de Markov qui nous permettra de comprendre le fonctionnement de 3 des méthodes d’extrapolation de PD cumulée présentées par la suite.

4.1 Théorie sur les chaînes de Markov

Nous avons abordé brièvement les chaînes de Markov dans la partie 2. A des fins pédagogiques nous allons présenter quelques définitions, propriétés et notions sur les chaînes de Markov pour pouvoir aborder les différentes méthodes d’extrapolation de matrices de transitions basées sur cette théorie. Dans cette partie P correspond à une matrice génératrice.

• Chaîne de Markov homogène :

Une chaîne de Markov est homogène au temps lorsque :

𝕡 𝑋EO/ = 𝑗 𝑋𝑛 = 𝑖 est indépendant de n

Ceci implique que les matrices de transitions de même maturité ne varient pas au cours du temps ce qui n’est pas le cas au vu des variations de la PD de la figure 8.

• Chaîne de Markov est dite régulière :

Une chaîne de Markov est dite régulière s’il existe un entier k tel que 𝑃z n’a que des termes strictement positifs.

• Une chaîne de Markov ergodique :

Une chaîne de Markov est dite ergodique ou irréductible si chaque état est atteignable avec un certain nombre de pas. Une chaîne de Markov régulière est forcément ergodique.

• Etat atteignable :

On dit qu’un état j est atteignable par l’état i lorsqu’il existe un nombre de pas fini pour aller de l’état i à j.

• Période d’une chaîne de Markov :

On appelle période d’un état j et on note d(j) le PGCD de tous les entiers n ≥ 1 pour lesquels 𝑝::E > 0. Si d(j) = 1, on dit que j est apériodique. On dit que la chaîne de Markov est apériodique lorsque tous les états sont apériodiques.

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• Etat absorbant :

On dit qu’un état i est absorbant si 𝑝99 = 1et donc nécessairement 𝑝9: = 0 pour i≠ 𝑗. Pour les matrices de transitions, D (le défaut) est l’état absorbant.

• Convergence :

Si P est associée à une chaîne de Markov chaîne régulière, alors P converge vers la distribution stationnaire suivante (théorème 1.4.5 de [10]) :

limE→�

𝑃E =

𝜋/ 𝜋t ⋯ 𝜋E⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝜋/ 𝜋t … 𝜋E𝜋/ 𝜋t ⋯ 𝜋E

Où 𝜋 = (𝜋/, … , 𝜋E) est l’unique vecteur propre de la transposée P associé à la valeur propre 1 :

𝑃B𝜋 = 𝜋

Il est aussi appelé distribution stationnaire ou invariante.

La forme canonique d’une matrice de transition P associée à une chaîne de Markov absorbante se note sous la forme :

P = Q 𝑅0 I

Soit P une matrice de taille n * n possédant r états absorbants, R est un vecteur colonne de taille (n-r) * r, Q une matrice de taille (n-r) * (n-r), I la matrice identité de taille r. Dans le cas où la matrice de transition P est associée à une chaîne de Markov absorbante, on appelle la matrice fondamentale N définie par :

𝑁 = 𝐼 − 𝑄 ./

Nous avons alors :

limE→�

𝑃E = 0 𝑁𝑅0 𝐼

Dans le cas où P a un seul état absorbant D et que D est atteignable pour chaque état (Proposition 1.3.3. de [10]) alors P converge vers la distribution stationnaire suivante:

limE→�

𝑃E =

0 0 ⋯ 1⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 … 10 0 ⋯ 1

• Matrice génératrice :

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On note Q la matrice génératrice correspondant à la dérivée en 0 de la matrice de transition P(t):

Q =ddtP(t)|�]C

Pour ∆t proche de 0, on a alors P ∆t ≈ Id + Q ∗ ∆t

Soit λ�� les éléments de la matrice génératrice, on obtient :

𝕡 X�O∆� = i Xt = j ≈ λ�� ∗ Δtet𝕡 X�O∆� = i Xt = i ≈ 1 + λ�� ∗ Δt

P étant une matrice stochastique (somme de chaque ligne est égale à 1), nous en déduisons les 2 conditions de validité des matrices génératrices :

o λ�� ≥ 0pouri ≠ j o λ�� = − λ�����

Autrement dit, la diagonale est négative et les éléments hors diagonale sont positifs. En effet, supposons que nous sommes dans un état i, la probabilité de rester dans ce même état ne peut que diminuer au cours du temps, d’où une diagonale négative. C’est le raisonnement inverse pour le passage vers un état j.

• Les équations de Chapman-Kolmogorov : P’(t) = P(t) * Q = Q * P(t)

⇒ P(t) = 𝑒,�

On appelle alors exponentielle de matrice l’application de 𝔐E ℂ dans𝔐E(ℂ) définie pour tout Q ∈ 𝔐E ℂ par :

exp(Q) = � 

E!EFC

Cette série converge normalement pour toute partie bornée de 𝔐E ℂ . Dans le cadre de notre étude, les matrices de transition ne sont ni régulières ni irréductibles et possèdent un unique état absorbant.

4.2 Détermination de la matrice génératrice

Dans le cadre des chaînes de Markov, la première étape pour calculer une PD de maturité lifetime est la détermination d’une matrice génératrice. La qualité des résultats dépend fortement de la précision du calcul de cette matrice. Dans cette partie nous présentons les différentes méthodes de calcul de matrice génératrice.

4.2.1 La problématique d’approximation des matrices génératrices

Les équations de Chapman-Kolmogorov nous montrent qu’il suffit de calculer une matrice génératrice Q tel que P(t) = exp(Qt) pour pouvoir extrapoler nos matrices de transition. La matrice de maturité 1 an

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étant connue, nous pourrions trouver la matrice génératrice en résolvant l’équation : P(1) = exp(Q). Cependant il est impossible la plupart du temps de trouver une matrice génératrice valide exacte tel que P(t) = exp(Qt). Ce problème s’appelle le « embedded problem ». Par conséquent nous devrons nous contenter d’une matrice génératrice Q où exp(Q) approxime P.

Dans [2], B. Israel et al. propose une condition sous laquelle une matrice génératrice exacte associée à une matrice de transition P n’existe pas :

S’il existe un état j atteignable de i mais que 𝒑𝒊𝒋 = 𝟎 alors P n’a pas de matrice génératrice exacte

Dans [6], Rickard Gunnvald ajoute que ce problème est récurrent dans le domaine du risque de crédit. Son affirmation est appuyée par l’étude de notre historique de 34 ans où, au sein de chaque matrice, il existe un état j atteignable de i mais avec 𝑝9: = 0. Par conséquent, les méthodes que nous présenterons par la suite auront pour but de trouver une matrice génératrice valide approximant P.

4.2.2 Méthode 1 : l’approximation de Jarrow et al.

Jarrow et al. proposent une formule générale pour approximer la matrice génératrice de P en faisant l’hypothèse qu’il n’y a pas plus de 1 transition par an.

𝑞99 = log 𝑝99 𝑒𝑡𝑞9: = 𝑝9:log(𝑝99)(𝑝99 − 1)

𝑝𝑜𝑢𝑟𝑖 ≠ 𝑗

L’hypothèse de Jarrow et al. concernant P n’est pas respectée pour nos matrices de transitions et nous verrons dans la partie résultat que cette méthode n’est pas la plus performante.

4.2.3 Méthode 2 : ajustement diagonal

D’après les équations de Chapman-Kolmogorov nous avons Q = log(P) qui est définie par le logarithme matriciel :

𝑄 = log(𝑃) = −1zO/𝑃 − 𝐼𝑘

z]/

Néanmoins, les deux conditions citées ci-dessus dans la définition de la matrice génératrice ne sont pas forcément garanties. Par conséquent, cette méthode va appliquer un correctif sur les diagonales de la matrice génératrice afin de la rendre valide.

Etape 1 : on met à 0 les éléments négatifs hors diagonale

𝑞′9: = max 𝑞9:, 0 , 𝑖 ≠ 𝑗

Etape 2 : on définit la diagonale comme l’opposé de la somme des éléments non diagonaux

𝑞′99 = − 𝑞′9::�9

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4.2.4 Méthode 3 : ajustement pondéré

Comme précédemment, cette méthode vise à corriger les matrices génératrices non valides en modifiant cette fois chacun de ses éléments non nuls.

Etape 1 : Comme précédemment on met à 0 les éléments négatifs hors diagonal

𝑞′9: = max 𝑞9:, 0 , 𝑖 ≠ 𝑗

Etape 2 : on ajuste les éléments non nul par

𝑞′9: = 𝑞′9: − 𝑞′9:𝑞′9::�9

𝑞′9::�9

4.2.5 Méthode 4 : quasi optimisation de la génératrice

Cette méthode corrige les éléments de Q en résolvant le problème suivant :

min�

𝑄 − log(𝑃)

Ce problème se résout aisément avec l’algorithme de Kreinin and Sidelnikova [9].

4.2.6 Comparaison des méthodes de calcul de génératrice

Le niveau d’efficacité des 4 méthodes de calcul de matrice génératrice a été comparé en calculant l’erreur par exp(𝑄) − 𝑃 pour chacune de nos 34 matrices allant de 1981 à 2014. Les résultats sont comparés dans le tableau ci-dessous :

Tableau 3 : récapitulatif de la moyenne et de la variance des erreurs pour chaque méthode

Nous pouvons remarquer que la méthode 3 donne la meilleure approximation de la matrice génératrice suivie de près par la méthode 2. En outre la méthode 3 donne à chaque fois la meilleure approximation sur l’ensemble des 34 matrices.

4.3 Méthodes de calcul de PD lifetime

Les différentes méthodes présentées dans la suite permettent de construire une PD cumulée lifetime. La PD marginale lifetime sera déduite de la PD cumulée via la formule présentée en introduction. Dans la suite la notation PDC(t) correspondra à la probabilité de défaut cumulée de maturité t. La notation X8

correspondra à la dernière colonne de la matrice X.

Méthode1 Méthode2 Méthode3 Méthode4erreurmoyenne 0,117 0,033 0,031 0,748

variancedeserreurs 0,002 0,0005 0,0004 0,036

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4.3.1 Méthode simple

Cette méthode consiste à ne pas prendre en compte les transitions intermédiaires et à utiliser une PD de maturité 1 an PIT (c’est-à-dire un vecteur). Cette méthode n’est pas basée sur la théorie des chaînes de Markov et aucun calcul de matrice génératrice n’est nécessaire. De ce fait, sa prise en main et sa compréhension est facile.

𝑃𝐷𝐶 𝑡 = 1 − (1 − 𝑃𝐷9E9,9n¨(1𝑎𝑛)),

Où 𝑃𝐷9E9,9n¨ correspond à la dernière colonne de la matrice de transition initiale

Figure 9 : étapes de calcul de la méthode simple

4.3.2 Méthode homogène

Cette méthode est basée sur la théorie des chaînes de Markov. Pour rappel, l’hypothèse d’homogénéité stipule que la matrice de transition utilisée pour le calcul est constante au cours du temps, ce qui ne permet pas de modéliser son caractère PIT. Nous utiliserons l’équation de Chapman-Kolmogorov en ayant pris soin de déterminer une matrice génératrice Q :

PDC(t) = exp(Qt)8

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Figure 10 : étape de calcul de la méthode homogène

4.3.3 Méthode inhomogène

Dans le cas d’une chaîne de Markov inhomogène, les probabilités de défaut des matrices de transition vont varier au cours du temps, nous permettant de modéliser le caractère PIT des matrices de transition. Pour traduire ces variations, une matrice génératrice variable dans le temps est utilisée. On la note Q(t) = Γ t *Q avecΓ t une matrice diagonale définie par :

Γ�� t =0sii ≠ j

(1 − e.¬­�)t®­1 − e.∝­

sinon

Où t >2, 𝛼et𝛽 sont 2 vecteurs dont la taille est égale au nombre de notes. De plus 𝛼𝑒𝑡𝛽𝜖 0,1 E. Q correspond à la matrice génératrice obtenue dans le cas homogène. A t = 1, = Γ 1 est la matrice identité. Par conséquent les méthodes homogène et inhomogène nous donneront les mêmes résultats pour t = 1. 𝜑9: est une fonction strictement croissante. Le terme 1 − 𝑒³, est la fonction de répartition d’une loi exponentielle de paramètre 𝛼 et 𝑡´ correspond à un terme d’ajustement de la convexité/concavité.

Les paramètres de la méthode inhomogène sont calibrés sur la courbe de PD cumulée observée. La détermination de 𝛼𝑒𝑡𝛽 est issue de la résolution d’un problème de minimisation non linéaire à 16 paramètres dans notre cas (2 vecteurs de taille 8 correspondant à chaque note). Pour résoudre ce problème nous utilisons l’algorithme d’optimisation avec contraintes de problèmes non linéaires de Nelder-Mead. Ci-dessous sont présentées les différentes étapes pour calibrer le modèle inhomogène :

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• Détermination de la PD cumulée observée à partir des matrices de transition de l’historique disponible :

𝑃𝐷𝐶µ¶Y 𝑡 = ( 𝑃9 1𝑎𝑛 )·

,

9]/

Où ( 𝑃9 1𝑎𝑛 )·,9]/ correspond à la dernière colonne de ce produit maticiel

• Détermination αetβminimisant l’erreur déterminée par :

𝜔 𝑡 ∗B

,]/

|PDC¼½¾ t, r − exp Q t·,¿|

+++

À]ÁÁÁ

Sous contrainte que 𝛼𝑒𝑡𝛽𝜖 0,1 E. exp(Q(t))·,À correspond à la 8ème colonne et ligne r de la matrice (c’est-à-dire la PD associée à la note r), 𝜔 est une fonction constante par morceau de pondération nous permettant d’accorder davantage d’importance aux PD de faible maturité. En effet, la majorité des actifs sortent du portefeuille à des maturités supérieures à 5 ans, il est donc important de se focaliser sur des maturités courtes où tous les actifs sont présents. Cette fonction est définie de la manière suivante :

𝜔 𝑡 = 1 −𝑖7𝑝𝑜𝑢𝑟𝑡𝜖 1 + 3𝑖, 3 + 3𝑖 , 𝑖𝑒𝑠𝑡𝑢𝑛𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟𝑎𝑙𝑙𝑎𝑛𝑡𝑑𝑒0à7

Enfin, la PD cumulée sera obtenue en calculant :

PDC(t) = exp(t*Q(t))8

Contrairement à la méthode homogène et simple, la méthode inhomogène pourra prendre en compte les variations passées du cycle économique pour les injecter la PD cumulée. Par conséquent, cette méthode suppose que l’évolution de l’économie est parfaitement cyclique et que les périodes passées caractériseront l’évolution future des taux de défaut.

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Figure 11 : étapes de calcul de la méthode inhomogène

4.3.4 Méthode mixte

Cette méthode propose de modéliser l’inhomogénéité de la chaîne de Markov en combinant 2 matrices génératrices constantes. La première matrice Qg permettra de prendre en compte les périodes de prospérité économique et la seconde matrice génératrice Qb aura pour rôle de prendre en compte les périodes de récession économique. La pondération entre ces deux génératrices sera gouvernée par le paramètre qt, vecteur mémorisant l’évolution du cycle économique passé. La matrice de transition de maturité t ans est alors donné par :

PDC(t) = exp(qt * Qb + (1 – qt) * Qg)8

Pour cela on définit d’abord une plage historique pour calibrer ces deux génératrices et le vecteur de pondération. On détermine une période de crise (respectivement de prospérité) sur cette plage comme étant l’année associée au taux de défaut le plus élevé (respectivement le plus faible). Le vecteur de pondération nous sera donné par :

𝑞, =𝑡𝑎𝑢𝑥𝑑𝑒𝑓𝑎𝑢𝑡 𝑡 − 𝑡𝑎𝑢𝑥𝑑𝑒𝑓𝑎𝑢𝑡𝑚𝑖𝑛𝑡𝑎𝑢𝑥𝑑𝑒𝑓𝑎𝑢𝑡 max−𝑡𝑎𝑢𝑥𝑑𝑒𝑓𝑎𝑢𝑡𝑚𝑖𝑛

, 𝑡 ∈ 𝑝𝑙𝑎𝑔𝑒ℎ𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒

Malheureusement, du fait du manque de données macroéconomiques, le vecteur de pondération n’a pas pu être projeté via un modèle de régression (profondeur des données trop courte et coefficient de détermination faible). Par conséquent, nous avons supposé que l’évolution de l’économie est parfaitement cyclique et que les périodes passées caractériseront l’évolution future des taux de défaut.

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Figure 12 : étapes de calcul de la méthode mixte

4.3.5 Méthode simple-mixte

La méthode simple mixte consiste à utiliser la méthode simple tout en injectant une dynamique aux PD pour les rendre PIT. A l’image de la méthode mixte, nous allons combiner 2 matrices de transition. La première matrice Pg permettra de prendre en compte les périodes de prospérité économique et la seconde matrice génératrice Pb aura pour rôle de prendre en compte les périodes de crise économique. La pondération entre ces deux génératrices sera gouvernée par le paramètre qt, vecteur mémorisant l’évolution du cycle économique passé. La probabilité de défaut cumulée est donnée par :

𝑃𝐷𝐶 𝑡 = 1 − (1 − 𝑃𝐷,(1𝑎𝑛)),

Avec PDt = qt * PDb + (1 – qt) * PDg

Où la notation PDb et PDg désigne la dernière colonne des matrices Pg et Pb. On définit d’abord une plage historique pour calibrer ces deux génératrices et le vecteur de pondération. On détermine une période de crise (respectivement de prospérité) sur cette plage comme étant l’année associée au taux de défaut le plus élevé (respectivement le plus faible). Le vecteur de pondération nous sera donné par :

𝑞, =𝑡𝑎𝑢𝑥𝑑𝑒𝑓𝑎𝑢𝑡 𝑡 − 𝑡𝑎𝑢𝑥𝑑𝑒𝑓𝑎𝑢𝑡𝑚𝑖𝑛𝑡𝑎𝑢𝑥𝑑𝑒𝑓𝑎𝑢𝑡 max−𝑡𝑎𝑢𝑥𝑑𝑒𝑓𝑎𝑢𝑡𝑚𝑖𝑛

, 𝑡 ∈ 𝑝𝑙𝑎𝑔𝑒ℎ𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒

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Figure 13 : étapes de calcul de la méthode simple mixte

Malheureusement, du fait du manque de données macroéconomiques, le vecteur de pondération n’a pas pu être projeté via un modèle de régression (profondeur des données trop courte et coefficient de détermination faible). Par conséquent, nous avons supposé que l’évolution de l’économie est parfaitement cyclique et que les périodes passées caractériseront l’évolution future des taux de défaut.

4.3.6 Méthode du cycle de crédit

Cette méthode base ses fondements théoriques sur le modèle de Merton. On suppose que les rendements 𝑅, des firmes sont donnés par :

𝑅, = 𝜌𝐹, + 1 − 𝜌𝜖,

Où 𝐹, est le facteur de risque systémique qui va mesurer le cycle de crédit (c’est-à-dire les fluctuations des taux de défaut); 𝜖, le facteur idiosyncratique ; 𝜌 la corrélation entre les firmes émettrices.

Par ailleurs, on suppose que ces rendements suivent une distribution normale. Dès lors, les probabilités de transition nous sont données par :

𝑃9: = 𝑃 𝑟9,: < 𝑅, < 𝑟9,:./ = 𝛷 𝑟9,: − 𝛷 𝑟9,:./

Où 𝑟9,: = 𝛷./ 𝑃9,:ZoÌ sont des barrières de rentabilité. Les probabilités de transition conditionnellement au risque systémique et à la corrélation 𝜌sont données par :

𝑃9,:,Í,Î = 𝛷𝛷./ 𝑃9,:ZoÌ − 𝜌 ∗ 𝐹,

1 − 𝜌− 𝛷

𝛷./ 𝑃9,:./ZoÌ − 𝜌 ∗ 𝐹,1 − 𝜌

𝑃9,:ZoÌ désigne la probabilité cumulée du rating AAA à j. Le risque systémique va permettre de traduire les fluctuations du cycle économique au travers des matrices de transition pour leur donner un caractère PIT.

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Figure 14 : comparaison des distributions selon l’évolution du facteur systémique

La PD lifetime est ensuite construite de manière à ce que les PD à court terme (en deçà de 3 ans) sont PiT et les PD à long terme sont TTC. Ceci permet de prendre en compte l’incertitude concernant les prévisions des fluctuations de PD. La PD cumulée est donnée par la dernière colonne de la matrice suivante :

MC t =

𝑀)ÏB�

�]/

sit ≤ 3

𝑀)ÏB 𝑀BB+sinon�

Ð

s

�]/

MPIT est une matrice de transition 1 an PIT déterminée à partir des facteurs systémiques et du coefficient de corrélation calibrés sur une période choisie et MTTC est une matrice de transition TTC calculée comme la moyenne des matrices de transition sur un historique choisi. Malheureusement, du fait du manque de données sur les prévisions économiques, les facteurs systémiques n’ont pas pu être projetés via un modèle de régression. De ce fait, les matrices PiT seront obtenues à partir des facteurs systémiques passés en supposant qu’ils caractérisent les évènements futurs.

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Figure 15 : étapes de calcul de la méthode du cycle de crédit

4.3.6.1 Calibration des paramètres

Deux méthodes de calibrations des facteurs systémiques et de la corrélation 𝜌 sont proposées. Toutes les deux utilisent les migrations historiques.

La première méthode de calibration utilise le maximum de vraisemblance :

𝐿𝑖𝑘𝑒𝑙𝑖ℎ𝑜𝑜𝑑(𝜌, 𝐹/, … , 𝐹B) = 𝛥 𝑟9,:, 𝑟9,:./, 𝐹,EÓ,Ô,p

B

,]/

Õ

:]/

Õ./

9]/

Avec 𝛥 𝑟9,:, 𝑟9,:./, 𝐹, = 𝛷Ö×Ø )Ó,Ô

ÙÚÛ . Î∗Í

/.Î− 𝛷

Ö×Ø )Ó,ÔÙÚÛ . Î∗Í

/.Î;

Où ni,j,t représente le nombre de transitions entre la note i et j à l’instant t, R désigne le nombre de note utilisé (8 dans notre cas, allant de AAA à D) La deuxième méthode de calibration utilise une minimisation des moindres carrés pondérés. Cette calibration se déroule en 2 étapes :

• On fixe arbitrairement 𝜌 puis on détermine les facteurs systémiques 𝐹, par la formule suivante :

minÍ,

𝑛9,:,, 𝑃9,:,,.𝛥 𝑟9,:, 𝑟9,:./, 𝐹,t

𝛥 𝑟9,:, 𝑟9,:./, 𝐹, (1 − 𝛥 𝑟9,:, 𝑟9,:./, 𝐹, ):9

Avec 𝛥 𝑟9,:, 𝑟9,:./, 𝐹, = 𝛷Ö×Ø )Ó,Ô

ÙÚÛ . Î∗Í

/.Î− 𝛷

Ö×Ø )Ó,ÔÙÚÛ . Î∗Í

/.Î

• On cherche 𝜌 tel que Var(𝐹/, … , 𝐹B) = 1

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4.3.6.2 Comparaison des méthodes de calibration

Nous avons comparé dans un premier temps les 2 méthodes de calibration présentées ci-dessus dans le but de choisir la plus précise et robuste. Pour cela nous avons calibré les facteurs systémiques et le facteur de corrélation sur les 34 années d’historique de matrice de transition 1 an S&P. Dès lors, nous avons reconstruit les différentes matrices de transition en utilisant les paramètres calibrés en suivant la méthode du cycle de crédit. Ensuite, nous avons mesuré l’erreur obtenue en calculant :

𝐸𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟 = |𝑃9,: 𝑡 µ¶YÜÀÝéÜ– 𝑃9,: 𝑡 ÜY,9ÌéÜ|9,:,

Tableau 4 : comparaison des erreurs entre les 2 méthodes de calibration

Les 2 méthodes donnent des erreurs très proches. On peut remarquer que ces erreurs sont non négligeables soulignant que la méthode du cycle de crédit ne parvient pas à reproduire à l’identique les matrices de l’historique.

Figure 16 : comparaison des facteurs systémiques centrés et réduits avec les taux de défaut

La comparaison graphique des 2 méthodes nous montrent que les facteurs systémiques arrivent bien à capter les fluctuations du cycle économique représentées par les variations des taux de défaut. Par ailleurs les courbes obtenues avec les 2 méthodes sont très proches.

Dans un second temps nous avons mesuré la sensibilité des méthodes de calibrations. Pour cela nous avons appliqué un choc de 0.1% sur les probabilités de défaut des matrices de transition S&P. Les sensibilités des facteurs systémiques et du facteur de corrélation sont mesurés en calculant l’indicateur suivant :

Méthodeparétape méthodeMaxvraissemblanceerreur 26,10 26,21

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

maxvraissemblance méthodeparétape tauxdedéfaut

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𝑠𝑒𝑛𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡éÍ = ||𝐹(𝑡)ZßµZ| − 𝐹 𝑡,,

𝐹 𝑡,|

𝑠𝑒𝑛𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡éÎ = |𝜌ZßµZ − 𝜌|

|𝜌|

Tableau 5 : comparaison des sensibilités entre les 2 méthodes de calibration

Les paramètres issus de la méthode de calibration par étape sont plus robustes que ceux issus de la méthode du maximum de vraisemblance. La méthode par étape génère des données plus fiables et donc plus adaptées pour effectuer des projections via des modèles de régression. Par ailleurs, la méthode de maximum de vraisemblance demande plus de ressources calculatoires étant donné que tous les paramètres sont calibrés simultanément. Par conséquent, la méthode de calibration par étape sera utilisée pour la suite.

4.3.7 Méthode facteur de convergence

Cette méthode consiste à faire converger la PD PIT initiale vers une PD reflétant ses éventuelles évolutions futures. Cette technique nous permet d’ajouter une dynamique aux PD et ainsi leur donner un aspect PIT. Dans un premier temps les PD sont déterminées par :

𝑃𝐼𝑇𝑃𝐷 𝑡 = 𝑃𝐼𝑇𝑃𝐷(0) + 𝑃𝐷mo,oÀÜ − 𝑃𝐼𝑇𝑃𝐷(0) ∗ 1 − 𝑒.à ,./

Où la vitesse de convergence est déterminée par 𝜆 = −á¼â( ãäåÙÓæÓç 

èéêÚpÚäå×èëìèé(í))

B./.

Ici la précision utilisée est de 1 bp. T définit la période de variation et sera fixée à 5 ans pour être en cohérence avec les pratiques de l’industrie bancaire. Malheureusement, du fait du manque de données sur les prévisions économiques, les PD n’ont pas pu être projetées via un modèle de régression. De ce fait, la PD future est obtenue en supposant que les fluctuations passées caractérisent les fluctuations futures. Ainsi, la PDfuture va être caractérisée par la tendance évolutive des PD passées (haussière/baissière) et la position actuelle dans le cycle économique. Elle sera déterminée de la manière suivante en distinguant 4 cas.

Méthodeparétape méthodeMaxvraissemblancesensibilitéRho 1,43% 100,00%sensibilitéF 0,23% 69,66%

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Figure 17 : Choix de la PDfuture

PDg permettra de prendre en compte les périodes de prospérité économique et PDb aura pour rôle de prendre en compte les périodes de récession économique. Dans un deuxième temps, des matrices de transition PIT vont être construites à partir des PD PIT que nous venons de calculer. Pour un instant donnée, la matrice de transition PIT est construite de la manière suivante :

• 𝑀)ÏB(𝑡) = 𝑀BB+ • Substitution de la dernière colonne de 𝑀)ÏB(𝑡) par la PIT PD(t) • Les éléments de la matrice 𝑀)ÏB(𝑡) sont obtenus par :

𝑀)ÏB9,: 𝑡 =𝑀)ÏB9,: 𝑡 + îèëìÓ,Ô ,

îèëìÓ,Ô ,ÔïðåêñÚp∗ ∆𝑃𝐷9

Où ∆𝑃𝐷9 = 𝑇𝑇𝐶𝑃𝐷 − 𝑃𝐼𝑇𝑃𝐷

La PD lifetime est ensuite construite de manière à ce que les PD à court terme (en deçà de 5 ans) sont PiT et les PD à long terme sont TTC. La PD cumulée est donnée par la dernière colonne de la matrice suivante:

MC t

𝑀)ÏB�

�]/

sit ≤ 5

𝑀)ÏB 𝑀BB+sinon�

Ð

s

�]/

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Figure 18 : étapes de calcul de la méthode du facteur de convergence

4.3.8 Méthodes de correction

• Le premier correctif proposé vise à corriger les matrices de transitions et les PD cumulées obtenues pour chacune des méthodes ci-dessus en utilisant une simple interpolation linéaire. Pour illustrer ce correctif nous allons nous placer dans l’échelle de notation S&P (AAA, AA, A, BBB, BB, B, CCC). Supposons que la note A est incohérente (elle possède une PD supérieure que la note BBB), on aura alors PD(A) = (PD(AA) + PD(BBB))/2

• Le deuxième correctif a pour but de gommer les incohérences en utilisant une fonction logistique. Soit r une note compris entre 1 et 7, la PD lissée est obtenue par :

𝑃𝐷À¨9YYéÜ =1

1 + 𝑒𝑥𝑝 𝑎 + 𝑏𝑟

Où a et b sont déterminés en minimisant l’erreur quadratique entre la PD corrigée et brute.

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𝑎, 𝑏 = 𝑎𝑟𝑔𝑚𝑖𝑛 𝑃𝐷À¶Ào,Ü − 𝑃𝐷À¨9YYéÜ 𝑎, 𝑏t

ò.

À]/

De plus il faut veiller à ce que les PD restent croissantes au cours du temps pour une note fixée:

𝑃𝐷À,,ó̵µ,ßÜl 𝑎, 𝑏 > 𝑃𝐷À,,./ó̵µ,ßÜl 𝑎, 𝑏 , ∀𝑟

L’étude des matrices de transition nous a révélé que le non-respect du critère de monotonie de défaut est causé à chaque fois par une seule note. Ainsi, le premier correctif permet de corriger uniquement cet élément sans dénaturer le reste des probabilités de défaut. La méthode 2 va quant à elle modifier l’ensemble des probabilités de défaut. Par conséquent, le premier correctif sera utilisé en pré traitement sur les matrices de transition utilisées pour calculer des PD lifetime. Le second correctif sera utilisé en post traitement sur les courbes de PD obtenues.

5 Plan de test et mode opératoire

Les différentes méthodes retenues ont été implémentées sur R. Suite à l’étude de l’historique S&P (cf. partie 3), nous allons utiliser des données d’une profondeur de 24 ans (1990 à 2014). L’objectif de ce plan de test est de répondre à différentes questions nous permettant de déterminer la meilleure méthode de construction de PD lifetime. Pour cela, nous allons déterminer la méthode la plus précise et stable en proposant différents modèles opératoires.

5.1 Test de précision et de stabilité

Le but de ce test est de déterminer la méthode la plus précise et stable pour déterminer une PD cumulée lifetime quel que soit la note. Ce test nous permettra aussi de déterminer les paramètres de calibration optimaux. Pour tester ce critère, nous allons mesurer la précision du calcul de la PD cumulée mais aussi de la PD marginale qui, pour rappel, est définie par :

𝑃𝐷𝑀(𝑡) = )*+(,)–)*+(,./)/.)*+(,./)

lorsque 𝑡 ≥ 1

Et PDM(0) = PDC(0)

La PD marginale à l’instant t correspond à la probabilité de faire défaut entre l’instant t-1 et t.

Pour chacune des méthodes nous allons réaliser les étapes suivantes :

• Sélection de l’année courante de calibration Y. • Calibration de la matrice génératrice en choisissant une matrice de transition initiale de maturité

n. Pour remarque, une matrice de transition de maturité n sera obtenue par le produit matriciel de n matrices de maturité 1 an comprises entre Y et Y – n - 1. Cette calibration n’est nécessaire que pour la méthode homogène, inhomogène.

• Choix d’une période historique de calibration de longueur p comprise entre Y et Y – p (cette étape n’a pas lieu pour la méthode homogène et simple).

• Backtest de la PD cumulée et marginale obtenue sur la période s’étalant de Y + 1 à 2014 en déterminant les erreurs suivantes :

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𝑒𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙é𝑒(𝑡) = 𝜔 𝑟 ∗ 𝑒𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙é𝑒À 𝑡+++

À]ÁÁÁ

𝑒𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙é𝑒(𝑡) = 𝜔 𝑟 ∗ |𝑃𝐷𝐶µ¶Y 𝑡, 𝑟 − 𝑃𝐷𝐶Zn¨Z(𝑡, 𝑟)|+++

À]ÁÁÁ

𝑒𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒(𝑡) = 𝜔 𝑟 ∗ 𝑒𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒À 𝑡+++

À]ÁÁÁ

𝑒𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒(𝑡) = 𝜔 𝑟 ∗ |𝑃𝐷𝑀µ¶Y 𝑡, 𝑟 − 𝑃𝐷𝑀Zn¨Z(𝑡, 𝑟)|+++

À]ÁÁÁ

Où 𝜔 est un vecteur de poids permettant de mettre l’accent sur certaines notes, en fonction des actifs présents dans le portefeuille de crédit de la banque. Lors de notre test, nous avons pris une pondération uniforme. 𝑃𝐷𝐶Zn¨Z(𝑡, 𝑟) désigne la PD cumulée en t pour la note r, et 𝑃𝐷𝐶µ¶Y(𝑡, 𝑟) désigne la PD cumulée observée en t, de même pour 𝑃𝐷𝑀Zn¨Z(𝑡, 𝑟) et 𝑃𝐷𝑀µ¶Y(𝑡, 𝑟). Pour rappel la PD cumulée observée est calculée à partir des matrices de transition de l’historique disponible :

𝑃𝐷𝐶µ¶Y 𝑡 = ( 𝑃9 1𝑎𝑛 )·

,

9]/

• On recommence l’opération de manière glissante en décrémentant l’année courante Y pour

parcourir la totalité de l’historique. Ainsi Y ira de 2014 à 1990 + max(n,p).

Figure 19 : méthodologie du test

La deuxième étape consiste à calculer, pour chaque maturité de PD cumulée et marginale, un indicateur de précision :

𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛(𝑡) = 𝑒𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟ô 𝑡 t

𝑁

/rrCOõö÷(ø,ù)

ô]tC/ú

Où erreurY(t) désigne l’erreur marginale ou cumulée, relative ou non, obtenue pour une maturité t et pour l’année courante de Y. L’utilisation de la moyenne quadratique permet de mettre l’accent sur les fortes erreurs. La stabilité sera mesurée par :

𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡é 𝑡 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑐𝑒(𝑒𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟 𝑡 ) Où erreur(t) désigne l’ensemble des erreurs marginales ou cumulées obtenue pour la maturité t.

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5.2 Test de validité

Nous vérifierons que les courbes de PD cumulée obtenues pour chacune des méthodes ne se croisent pas. De plus nous regarderons si les périodes de calibrations (que ce soit la matrice de transition ou la période de calibration historique) sont valides pour déterminer l’impact de données incohérentes sur le calcul de PD lifetime. Dans le cas où les résultats obtenus ne sont pas valides, une méthode de correction peut être employée (cf. 4.3.8).

5.3 Comparatif

Compte tenu des différentes profondeurs de période de calibration, nous fixerons la comparaison des erreurs de PD pour des maturités allant de 2 ans à 16 ans. Nous ne regarderons pas l’erreur pour une PD cumulée maturité de 1 an puisque celle-ci est issue de la matrice de transition initialisant le calcul. Nous grouperons ensuite les maturités de PD en 4 groupes :

• l’ensemble des PD cumulée allant de 2 ans à 16 ans, • les PD cumulée court terme allant de 2 ans à 6 ans, • les PD cumulée moyen terme allant de 7 ans à 11 ans, • les PD cumulée long terme allant de 11 ans à 16 ans.

Pour chaque groupe, nous ferons la somme des indicateurs stabilité et précision sur leur maturité respective. En outre, pour chaque méthode, nous ne garderons que les paramètres de calibration qui lui sont optimaux.

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6 Résultats

Figure 20 : classement des méthodes sur la PD marginale (à droite) et valeurs des erreurs associées (à gauche)

MaturitéPDn°1

n°2n°3

n°4n°5

n°6n°7

globale1,832175218

1,8553784761,89414419

2,6329894185,083281104

5,78215260321,29633381

courtterme0,869743291

0,8935354760,901704964

1,0929548961,293914489

1,558846156,86437766

moyenterme0,592763945

0,6313960160,643845501

0,8004613081,730295117

1,87400061510,53136722

longterme0,29479424

0,361043210,392871239

0,7396363512,059071497

2,3493058383,900588929

MaturitéPDn°1

n°2n°3

n°4n°5

n°6n°7

globale0,045181505

0,0674561260,137661352

0,1071357780,247053923

0,27459754425,18399684

courtterme0,034966175

0,0522317070,066175728

0,0790469530,11114437

0,1291834536,377648038

moyenterme0,007234091

0,010444520,034563564

0,0400233620,117228355

0,12050102814,46917945

longterme0,000936687

0,0029812380,01044452

0,0186811980,024050835

0,0249130634,337169343

classementdesméthodesselonleurprécision

classementdesméthodesselonleurstabilité

MaturitéPDn°1

n°2n°3

n°4n°5

n°6n°7

globaleinhomogene(n=3,p=2)

méthodecyclecrédit(p=10)méthodefacteurconvergence(p=10)

homogene(n=3)simplemixte(p=10)

simplemixte(p=10)

courttermeméthodecyclecrédit(p=10)

inhomogene(n=3,p=2)méthodefacteurconvergence(p=10)

homogene(n=3)simplemixte(p=10)

simplemixte(p=10)

moyentermeméthodecyclecrédit(p=10)

méthodefacteurconvergence(p=10)inhomogene(n=3,p=2)

homogene(n=3)simplemixte(p=10)

simplemixte(p=10)

longtermeinhomogene(n=3,p=2)

méthodefacteurconvergence(p=10)méthodecyclecrédit(p=10)

homogene(n=3)simplemixte(p=10)

simplemixte(p=10)

MaturitéPDn°1

n°2n°3

n°4n°5

n°6n°7

globaleméthodecyclecrédit(p=10)

méthodefacteurconvergence(p=10)homogene(n=3)

inhomogene(n=3,p=2)simplemixte(p=10)

simplemixte(p=10)

courttermeméthodecyclecrédit(p=10)

méthodefacteurconvergence(p=10)inhomogene(n=3,p=2)

homogene(n=3)simplemixte(p=10)

simplemixte(p=10)

moyentermeméthodecyclecrédit(p=10)

méthodefacteurconvergence(p=10)homogene(n=3)

inhomogene(n=1,p=10)simplemixte(p=10)

simplemixte(p=10)

longtermeinhomogene(n=3,p=2)

méthodecyclecrédit(p=10)méthodefacteurconvergence(p=10)

simplemixte(p=10)homogene(n=3)

simplemixte(p=10)

classementdesméthodesselonleurprécision

classementdesméthodesselonleurstabilité

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Figure 21 : classement des méthodes sur la PD cumulée (à droite) et valeurs des erreurs associées (à gauche)

MaturitéPDn°1

n°2n°3

n°4n°5

n°6n°7

globale4,002409533

4,1793070326,534016174

6,9934506567,278124485

7,64022633415,49725417

courtterme1,219226231

1,2817112451,428585895

1,4562627891,846663103

1,9639304036,051388009

moyenterme1,48606314

1,5479859852,147767181

2,3535398322,60441392

3,1616323675,693340536

longterme1,234635148

1,4120948162,514663564

2,7242135532,960450841

3,2836942013,752525624

MaturitéPDn°1

n°2n°3

n°4n°5

n°6n°7

globale0,133278762

0,2634516860,285443514

0,2528407570,556588758

1,2689756844,015548765

courtterme0,04895485

0,1677535890,09633194

0,0867132380,090268759

0,1903780652,248837999

moyenterme0,050578334

0,0935367330,090268759

0,1551601080,194152569

0,5423547061,253269985

longterme0,017135482

0,0337455780,073583013

0,1071425410,1946826

0,5134407810,536242912

classementdesméthodesselonleurprécision

classementdesméthodesselonleurstabilité

MaturitéPDn°1

n°2n°3

n°4n°5

n°6n°7

globaleméthodecyclecrédit(p=10)

méthodefacteurconvergence(p=10)simple

simplemixte(p=10)inhomogene(n=3,p=2)

homogene(n=3)mixte(p=10)

courttermeméthodefacteurconvergence(p=10)

méthodecyclecrédit(p=10)simplemixte(p=10)

simpleinhomogene(n=3,p=2)

homogene(n=3)mixte(p=10)

moyentermeméthodecyclecrédit(p=10)

méthodefacteurconvergence(p=10)inhomogene(n=3,p=2)

simplesimplemixte(p=10)

homogene(n=3)mixte(p=10)

longtermeméthodecyclecrédit(p=10)

méthodefacteurconvergence(p=10)homogene(n=3)

simplesimplemixte(p=10)

inhomogene(n=3,p=2)mixte(p=10)

MaturitéPDn°1

n°2n°3

n°4n°5

n°6n°7

globalesimple

méthodecyclecrédit(p=10)méthodefacteurconvergence(p=10)

simplemixte(p=10)inhomogene(n=3,p=2)

homogene(n=3)mixte(p=10)

courttermesimple

méthodecyclecrédit(p=10)simplemixte(p=10)

méthodefacteurconvergence(p=10)inhomogene(n=3,p=2)

homogene(n=3)mixte(p=10)

moyentermesimple

méthodecyclecrédit(p=10)méthodefacteurconvergence(p=10)

simplemixte(p=10)inhomogene(n=3,p=2)

homogene(n=3)mixte(p=10)

longtermesimplemixte(p=10)

simpleméthodecyclecrédit(p=10)

méthodefacteurconvergence(p=10)inhomogene(n=3,p=2)

mixte(p=10)homogene(n=3)

classementdesméthodesselonleurprécision

classementdesméthodesselonleurstabilité

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Les résultats ci-dessus ont été obtenus en classant les méthodes selon leur précision et leur stabilité. Nous pouvons remarquer que les résultats obtenus pour la PD cumulée et la PD marginales sont différents.

• Les résultats en PD cumulée :

Les méthodes du cycle de crédit et de facteur de convergence sont les plus précises pour déterminer une PD cumulée sur tous les niveaux de maturité. Ces 2 méthodes donnent d’ailleurs des résultats proches (la méthode du cycle de crédit est 2,7% plus précise que la méthode au facteur de convergence sur l’ensemble des maturités). La méthode homogène, ne prenant pas en compte le caractère PIT des matrices de transitions, arrivent en queue de classement tandis que la méthode simple arrive en milieu de classement (de manière surprenante). La méthode inhomogène, mixte et simple-mixte induisent des fluctuations sur l’ensemble de la courbe PD contrairement aux méthodes du cycle de crédit et de facteur de convergence introduisant un aspect PIT uniquement sur de courtes maturités (respectivement 5 ans et 3 ans). Dans le cas où les fluctuations passées ne traduisent pas les fluctuations futures, ces méthodes risquent d’augmenter les erreurs obtenues et donc sont pénalisées par leur calibration. La méthode simple est la plus stable sur l’ensemble des maturités. Les méthodes du cycle de crédit et de facteur de convergence sont situées dans le milieu du classement concernant la stabilité.

• Les résultats en PD marginale :

La méthode inhomogène occupe la première place concernant la précision sur l’ensemble des maturités. Elle est suivie de près par la méthode du cycle de crédit (1,25% moins précise) et du facteur de convergence (2,1% moins précise). Cette fois ci, la méthode simple se retrouve en fin de classement et la méthode homogène en milieu de classement. Les méthodes du cycle de crédit et du facteur de convergence sont les plus stables sur l’ensemble des maturités et notamment sur les maturités court terme.

L’analyse de ces tableaux nous montre que la méthode du cycle de crédit est la plus intéressante pour déterminer des PD cumulées et des PD marginales. En effet elle fait le compromis entre la stabilité et la précision pour la détermination de la PD cumulée et marginale. Nous nous sommes places dans un cas où le portefeuille est composé uniformément d’actifs de différentes notes. L’utilisateur devra recalculer les erreurs en utilisant une pondération reflétant la composition de son propre portefeuille afin de déterminer la méthode la plus appropriée à son utilisation.

7 Bilan

Ce stage a répondu à mes attentes en termes de compétences techniques mises en pratique. Ces 6 mois ont surtout mis en jeu mes connaissances en mathématiques financières et langages numériques (VBA, R, Matlab) acquises au cours du master IREF et à l’ENSEIRB-MATMECA. Mon parcours scientifique a naturellement guidé mon orientation vers un stage en analyse quantitative valorisant mes goûts pour les mathématiques.

L’intégration au sein de l’équipe fut rapide et l’accueil chaleureux, ce qui a permis de m’immerger totalement dans ce monde professionnel. Les managers m’ont délivré un suivi de nos travaux rigoureux et une formation de qualité. Mon sujet de stage est un thème d’actualité constituant un atout majeur permettant de me valoriser dans le domaine du risque de crédit.

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8 Bibliographie

[1] Lando, D., Skodeberg M., « Analyzing rating transitions and rating drift with continuous observations », Journal of Banking and Finance, 26, 423-444 (2002).

[2] Robert B. Israel, Jeffrey S. Rosenthal, and Jason Z. Wei, « Finding Generators for Markov chains via Empirical transition matrices, with applications to credit ratings », Mathematical Finance 11 242-265, 2001.

[3] R. A. Jarrow, D. Lando, and S. M. Turnbull, « A Markov Model for the term structure of credit spreads », Review of Financial Studies 10, 481-523, 1997.

[4] A. M. Berd, « Dynamic Estimation of Credit Rating Transition Probabilities », General Quantitative, LLC ; The Journal of Investment Strategies, janvier 2005

[5] Christian Bluhm , « Calibration of PD term structures: to be Markov or not to be » novembre 2007

[6] Rickard Gunnvald, « Estimating Probability of Default Using Rating Migrations in Discrete and Continuous Time », septembre 2014

[7] Christian Bluhm, Ludger Overbeck, Christoph Wagner, « An Introduction to credit risk modeling », (2002)

[8] David Lando, « Credit risk modeling theory and applications », 2004

[9] Yasunari Inamura, « Estimating Continuous Time Transition », avril 2006

[10] Nils Berglund, Chaînes de Markov », Université d’Orléan, 2007

[11] Felix Bogren, « Estimating the term structure of default probabilities for heterogeneous credit portfolios », 8 juin 2015 [12] Arthur Charpentier, , ENSAI, « Chaîne de Markov » [13] Denis Surzhko, « Multi-period PD Calibration Framework for LDP Portfolios », 2015 [14] Srikant Jayaraman, « Predicting defaults and Transition Matrices in Credit Risk », juin 2014 [15] Jonas Berglund, Faculty of Engineering, Lund University Centre for Mathematical Sciences, « Estimating expected lifetime of revolving credit facilities in an IFRS 9 framework », 6 janvier, 2016 [16] Jean-Jacques Ruch, Marie-Line Chabanol, Université de Bordeaux, « Chaîne de Markov », 2012 [17] Andreas Andersson, « Credit Migration Derivatives », 2007 [18] AndreasAndersson,PaoloVanini, « Credit Migration Risk Modelling », juin 2009 [19] Volodymyr Perederiy, « Endogenous Derivation and Forecast of Lifetime Pds », juillet 2015

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[20] Arthur Charpentier, ENSAI, « Metrics for Comparing Credit Migration Matrices » [21] Malte Kleindiek, « Rating migration », juin 2005 [22] Dr. Barry Belkin, Dr. Stephan Suchower, Dr. Lawrence R. Forest, « A one-parameter representation of credit risk and transition matrices », 1998

9 Annexes

9.1 Méthodologie de régression linéaire

Cette méthode a été utilisée pour déterminer une relation linéaire entre la variable expliquée (les facteurs systémiques) et les variables macroéconomiques explicatives de la forme :

𝑦 = 𝑐 + 𝑎9 ∗ 𝑥9 + 𝜀

Avec y la variable expliquée, xi les variables explicatives, 𝜀 les résidus de la régression.

Compte tenu de l’aspect international des données S&P, les données macroéconomiques utilisées ont été le PIB monde, l’inflation monde, les taux court, les taux longs. Elles ont été récupérées sur le site de l’OCDE.

1. Transformation des variables La première étape consiste à calculer les variations relatives pour chaque variable :

∆𝑥9 𝑡 = 𝑥9 𝑡 + 1 − 𝑥9 𝑡

𝑥9 𝑡𝑒𝑡∆𝑦 𝑡 =

𝑦(𝑡 + 1) − 𝑦 𝑡𝑦 𝑡

Certaines variables macroéconomiques sont déjà données en variation relative (par exemple le PIB et l’inflation). Dans ces cas-là, cette transformation ne doit pas être appliquée. Par la suite, chaque variable doit être centrée et réduite :

∆𝑥9~ = ∆þÓ.ÌÓÿÓ

et ∆𝑦~ = ∆!.Ìÿ

2. ACP Le but de l’ACP est de réduire nombre de variables explicatives afin de rendre l’information moins redondante mais aussi d’obtenir des variables décorrélées afin de combattre le problème de colinéarité au sein de la régression linéaire. L’ACP consiste à diagonaliser la matrice de corrélation des variables explicatives afin d’extraire ses vecteurs et valeurs propres. Son application sur les variables macroéconomiques va nous permettre de déterminer les axes représentant la majorité de l’information (nous avons décidé de prendre un nombre d’axe expliquant 80% de l’information). Ces axes sont les vecteurs propres de la matrice de corrélation des variables explicatives. Le pourcentage d’informations nous est donné par la valeur propre associée à chaque vecteur. On obtient alors les axes par :

𝑎𝑥𝑒9 = 𝛽9: ∗ ∆𝑥:~

:

Où les 𝛽9: sont les coefficients issus de la matrice de transition permettant la diagonalisation de la matrice

de corrélation. Une analyse graphique de la variable expliquée avec les axes de l’ACP peut nous permettre de déterminer l’application d’un retard sur cette dernière dans le but d’améliorer la qualité de la régression.

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3. Régression linéaire On applique une régression linéaire multiple de manière à trouver une relation entre la variable expliquée ∆𝑦~ et les vecteurs propres sélectionnés de l’ACP 𝛾9:

∆𝑦~ = 𝑐 + 𝛼9 ∗ 𝑎𝑥𝑒9 + 𝜀

Une analyse statistique de la régression doit être réalisée. Tous les facteurs de la régression linéaire (c et les𝛼9) doivent être significatifs (leur p-value est inférieur à 5%). Par ailleurs le coefficient de détermination (R2) doit être proche de 1 (ce coefficient traduit la qualité de la régression linéaire).

4. Retour aux formes initiales Les coefficients trouvés devront être convertis pour faire apparaitre les variables macroéconomiques initiales :

𝑎𝑥𝑒9 = 𝛽:9 ∗ 𝛥𝑥:~

:

⟹ 𝛥𝑦~ = 𝑐 + 𝛼9 ∗ 𝑎𝑥𝑒99

= 𝑐 + 𝛼9 ∗ 𝛽:9

9

∗ 𝛥𝑥:~

:

= 𝑐 + 𝛾: ∗ 𝛥𝑥:~

:

avec𝛾: = 𝛼9 ∗ 𝛽:9

9

Ladernièreétapeconsisteàinverserlecentrageetlaréduction:

Δ𝑦~ = 𝑐 + 𝛾9×Δ𝑥�~

9

⇔Δ𝑦 − 𝑚

𝜎= 𝑐 + 𝛾9×

Δ𝑥� − 𝑚9

𝜎99

⇔ Δ𝑦 = 𝑐:' + 𝜁:9×Δ𝑥�9

avec𝜁:9 = 𝛾9×𝜎𝜎9

et𝑐:' = 𝑚 + 𝑐 ∗ 𝜎 − 𝜁:9×𝑚99

Enfin la variable expliquée peut être déduite de ses variations relatives par : 𝑦 𝑡 = 𝑦 𝑡 − 1 ∗ Δ𝑦 𝑡 𝑝𝑜𝑢𝑟𝑡 > 0

𝑦 0 = 𝑦 0 La relation linéaire obtenue peut nous permettre de projeter la variable expliquée grâce aux projections des variables macroéconomiques explicatives.

9.2 Fonctions R utilisées pour l’étude

Cette partie décrit les scripts R développés au cours du stage.

mes fonctions.r : Ce fichier contient l’ensemble des fonctions utilisées au cours du stage permettant la construction de PD cumulée lifetime et leurs tests.

• generator(P,method) Cette fonction calcule la matrice génératrice associée à la matrice P selon la méthode choisie.

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Input : P : matrice de transition method : méthode choisie pour le calcul de la matrice génératrice (1: méthode de Jarrow, 2 : méthode diagonal adjustement, 3: weighted adjustment, 4: quasi optimization) Output : Q : matrice génératrice

• pdCumul(start, end) La fonction pdCumul calcule la PD cumulée historique comme le produit matriciel de matrice de transition PIT 1 an S&P. Input : start: année du début de l'historique end : année de fin de l'historique Output : Probabilité de défaut cumulée historique

• abCalibration(par, cumul, Q, step) Cette fonction est utilisée pour calibrer les paramètres alpha et beta de la méthode inhomogène. Input : par : paramètre alpha et beta à déterminer cumul : PD cumulée historique step: pas de calcul. Par exemple, si Q est associée à une matrice de transition de maturité 3 ans, le pas serait de 3 Q : Matrice génératrice Output : Retourne w(t) * ||PDhist - exp(Q(t))||

• rechercheCycle(w) Cette fonction cherche un cycle économique au sein de fluctuations passées. Input : w : indicateur traduisant les fluctuations économiques Output : Cycle économique

• zCalibration(z, P, TTC, rho, ntrans) Cette fonction est utilisée pour calibrer les facteurs systémiques dans le modèle à cycle de crédit. Input : Z: facteurs systémiques P: matrice de transition PIT TTC: matrice de transition TTC rho: facteur de corrélation ntrans: nombre de transitions d'une note à l'autre

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Output : Erreur observée entre la matrice calculée et observée

• rhoCalibration(rho, TTC, start, end) Cette fonction est utilisée pour calibrer le facteur de corrélation du modèle à cycle de crédit. Input : TTC : matrice de transition TTC rho : facteur de corrélation start: année début de l'historique End : année de fin de l'historique Output : |var(z) - 1|. On veut que la variance de z soit égale à 1. Pour cela on minimisera |var(z) - 1|

• pdLifetime(P, start, end, t, step, methodG, methodPD) Cette fonction calcule une PD lifetime suivant la méthode indiquée. Elle fait appel aux fonctions generator(), abCalibration(), rhoCalibration(), zCalibration(), rechercheCycle(). Input : methodPD: est un entier indiquant la méthode de calcul de la PD lifetime

1 : méthode homogene 2 : methode simple 3 : methode inhomogene 4 : methode mixte 5 : methode HSBC 6 : methode simple mixte 7 : ma methode 1 (méthode non présentée) 8 : ma methode 2 (méthode non présentée) 9 : methode 3 : facteur de convergence 10 : methode 4 : méthode cycle de crédit (SG) methodG: entier entre 1 et 4 indiquant la méthode de calcul de la matrice génératrice (si une matrice génératrice est utilisée) P : matrice de transition t : maturité de la PD start: année de début de l'historique de calibration end : année de fin de l'historique de calibration step: pas de calcul Output : PD cumulée calculée

• homogeneity(alpha,start,end) Fonction de test statistique détectant la présence d'une homogénéité dans la chaîne de Markov (qui est ici l'historique S&P). Input : alpha : niveau de significativité start: année de début de l'historique à tester end : année de fin de l'historique à tester

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Output : Retourne un booléen TRUE si la chaîne est homogène, FALSE sinon

• monotony(P) Cette fonction teste la monotonie ligne/colonne d'une matrice de transition. Input : P : Matrice de transition Output : TRUE si la monotonie est respectée, FALSE sinon

• jarrow(P) Cette fonction teste le critère de Jarrow. Input : P : matrice de transition Output : Booléen TRUE si le critère est respecté, FALSE sinon

• Default (P) Cette fonction teste la monotonie de probabilité de défaut d'une matrice de transition ou d'un vecteur de probabilité de défaut. Input : P : Matrice de transition ou vecteur de probabilité de défaut Output : TRUE si la monotonie est respectée, FALSE sinon

• validity(PD) Cette fonction teste la validité de la PD cumulée en vérifiant que les PD cumulées entre différente note ne se croisent pas. Input : PD : courbe de PD cumulée Output : TRUE si les courbes sont valides, FALSE sinon

• validityQ(Q) Cette fonction teste la validité de la matrice génératrice : négativité de la diagonale et positivité des éléments non diagonaux. Input : Q : matrice génératrice Output : TRUE si la matrice est valide, FALSE sinon

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• testCumul(n, p, h, poids)

Cette fonction génère les erreurs entre la PD cumulée observée et calculée pour la méthode de calcul de PD lifetime choisie. Le but est de comparer la précision et la stabilité de chaque méthode. Input : n : maturité de la matrice de transition P utilisée pour déterminer la PD lifetime p : longueur de la période de calibration h : méthode utilisée pour calculer la PD lifetime poids : vecteur de ponderation permettant de mettre des poids sur les erreurs associées à certaines notes pour calculer l'erreur globale Output : Liste contenant des tableaux indiquant les erreurs cumulées obtenues pour chaque note, de manière globale (c'est à dire pour l'ensemble des notes) ainsi que des tableaux indiquant la validités des PD calculées et des matrices de transition utilisées pour le calcul. L'erreur globale est égale à la somme des erreurs pour chaque note pondérée par le vecteur poids

• testMarg(n, p, h, poids) Cette fonction génère les erreurs entre la forward PD PIT observée et calculée pour la méthode de calcul de PD lifetime choisie. La Forward PD PIT est aussi appelée PD marginale. Elle est définie par : PDM(t) = [PDC(t) - PDC(t-1)]/(1-PDC(t-1)) avec PDC la PD cumulée. Input : n : maturité de matrice de transition P utilisée pour déterminer la PD lifetime p : longueur de la période de calibration h : méthode utilisée pour calculer la PD lifetime poids : vecteur de ponderation permettant de mettre des poids sur les erreurs associées à certaines notes pour calculer l'erreur globale Output : Liste contenant des tableaux indiquant les erreurs marginales obtenue pour chaque note, de manière globale (c'est à dire pour l'ensemble des notes) ainsi que des tableaux indiquant la validités des PD calculées et des matrices de transition utilisées pour le calcul. L'erreur globale est égale à la somme des erreurs marginales pour chaque note pondérée par le vecteur poids.

• generationCumul(n, p, h) Cette fonction génère les PD cumulées calculées pour chaque année de l'historique et pour une méthode donnée. Input : n : maturité de matrice de transition P utilisée pour déterminer la PD lifetime p : longueur de la période de calibration h : méthode utilisée pour calculer la PD lifetime Output : Liste contenant des tableaux de PD cumulées calculées pour chaque note et pour chaque année.

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• generationMarg(n, p, h) Cette fonction génère les PD marginales calculées pour chaque année de l'historique et pour une méthode donnée. Input : n : maturité de matrice de transition P utilisée pour déterminer la PD lifetime p : longueur de la période de calibration h : méthode utilisée pour calculer la PD lifetime Output : Liste contenant des tableaux de PD marginales calculées pour chaque note

• calculCumul(poids) Cette fonction génère un tableau contenant les PD cumulées observées obtenues pour chaque année de l'historique. Input : poids : vecteur de pondération permettant de mettre des poids sur les erreurs associées à certaines notes pour calculer la PD cumulée globale. Output : Liste contenant des tableaux de PD cumulées observées pour chaque note et de manière globale (c'est à dire pour l'ensemble des notes). La PD cumulée globale est égale à la somme des PD cumulée observée pour chaque note pondérée par le vecteur poids. Attention, cette PD cumulée globale n'est pas une probabilité mais un indicateur caractérisant les évolutions de la PD cumulée.

• calculMarginal(poids) Cette fonction génère un tableau contenant les PD marginales observées obtenues pour chaque année de l'historique. La PD marginale est définie par : PDM(t) = [PDC(t) - PDC(t-1)]/(1-PDC(t-1)) avec PDC la PD cumulée. Input : poids : vecteur de pondération permettant de mettre des poids sur les erreurs associées à certaines notes pour calculer la PD cumulée globale. Output : Liste contenant des tableaux de PD marginales observées pour chaque note, de manière globale (c'est à dire pour l'ensemble des notes). La PD marginale globale est égale à la somme des PD marginales observée pour chaque note pondérée par le vecteur poids. Attention, cette PD marginale globale n'est pas une probabilité mais un indicateur caractérisant les évolutions de la PD marginale.

• save.xlsx = (file, ...) Cette fonction sauvegarde des données R dans un fichier xlsx. Input : file : nom du fichier xlsx dans lequel les données seront sauvegardées ... : nom des données R à sauvegarder Output : Fichier xlsx

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• indicateur(pdc0, pdct, t, ponderation) Cette fonction calcule l'indicateur RAT FPD. Input : pdc0: PD cumulée vue à date d'octroi pdct: PD cumulée vue à la date de reporting t : nombre d'année entre la date d'octroi et de reporting ponderation: booléen déterminant l'utilisation de la pondération par la probabilité de survie dans la formule de la RAT FPD. TRUE -> pondération utilisée, FALSE -> non utilisée Output : Indicateur RAT FPD

• TTCcalculation(start,t) Cette fonction calcule une matrice de transition TTC comme la matrice de transition moyenne sur une période de matrice de transition PIT 1 an S&P. Input : start: année de début de l'historique t: longueur de la période historique Output : Matrice TTC

• correction (P) Cette fonction corrige les matrices de transition ne respectant pas la monotonie de probabilité de défaut. L'historique S&P nous a montré que le non-respect de la monotonie n'est due qu'à une seule note La correction consiste en une simple interpolation linéaire. Supposons que la note A est incohérence, on aura alors PD(A) = (PD(AA) + PD(BBB))/2 Input : P : matrice de transition non monotone Output : Matrice de transition monotone

• LMS(param, PD) Least Mean Sqare. Fonction utilisée dans le lissage des courbes PD.

• smooth(PD) Cette fonction lisse les courbes PD pour les rendre valides et monotones. Input : PD : courbe PD brute Output : Courbe PD lissée

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test.r : Ce fichier permet de tester chaque méthode de construction de PD lifetime pour chaque paramètre de calibration. Ces tests sont réalisés avec les fonctions testMarg() et testCumul(). Les fichiers d’erreurs générés sont ensuite analysés et les résultats sont présentés dans ce rapport.

calibration facteur systemique.r : Ce fichier réalise la calibration des facteurs systémiques et du coefficient de corrélation ρ suivant la méthode par étape et la méthode du maximum de vraisemblance. Il permet de déterminer l’erreur obtenue pour chaque méthode. De plus leur sensibilité a été mesurée en appliquant un choc de 0.1% sur les PD.

regression.r : Ce fichier implémente la méthode de régression décrite en annexe avec les facteurs systémiques choisis comme variable expliquée, le PIB monde, l’inflation monde, les taux courts et longs comme variables explicatives. Le coefficient de détermination obtenu est très faible, ce qui traduit la mauvaise qualité de la régression. Par manque de données macroéconomique, aucune projection de facteurs systémiques n’a pu aboutir.

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9.3 Figures illustratives de courbes de PD cumulée

Figure 1 : comparaison des PD cumulées pour la note CCC sur une maturité de 10 ans calculée à partir 2004 avec

différentes méthodes.

Figure 2 : comparaison des PD cumulées pour la note CCC sur une maturité de 10 ans calculée à partir 2004 avec

différentes méthodes.

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9.4 Tableaux d’erreurs

Chaque fichier Excel d’erreur obtenus via les fonction testCumul() et testMarg() est composé de 2 tableaux. Ces tableaux sont mis en forme via des macros VBA.

Tableau 1 : tableaux des erreurs cumulée pour la méthode simple

Le premier tableau représente le tableau d’erreur utilisé pour mesurer la précision et la stabilité de chaque méthode (cf. 5.1). Les colonnes représentent la maturité de la PD cumulée (ou marginale) calculée. Les lignes représentent l’année de la matrice de transition utilisée pour les calculs.

Pour chaque année (de 1999 à 2014) une PD cumulée (ou marginale) est calculée. La maturité de cette PD cumulée (ou marginale) est égale à la profondeur de l’historique disponible pour le backtest. Par exemple, pour un calcul initialisé en 1999, nous possédons 16 années d’historique S&P disponible (de 1999 à 2014) pour réaliser le backtest.

Pour chaque maturité, deux indicateurs nommés précision et stabilité sont calculés par (cf. 5.1):

𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛(𝑡) = 𝑒𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟ô 𝑡 t

𝑁

/rrCOõö÷(ø,ù)

ô]tC/ú

𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡é 𝑡 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑐𝑒(𝑒𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟ô 𝑡 )

Enfin, un tableau récapitulatif va nous permettre de comparer ces 2 indicateurs sur des plages de maturités de PD différentes :

• l’ensemble des PD allant de 2 ans à 16 ans, • les PD court terme allant de 2 ans à 6 ans, • les PD moyen terme allant de 7 ans à 11 ans, • les PD long terme allant de 11 ans à 16 ans.

écart 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 162014 5,37764E-172013 6,657E-17 0,0769341722012 1,7434E-16 0,089688513 0,189698252011 1,63931E-16 0,038947009 0,043405623 0,119968122010 8,50015E-17 0,140382797 0,242596652 0,323559379 0,3876232009 1,58944E-16 0,226452636 0,367715711 0,434772711 0,48181 0,5260962008 1,70003E-16 0,264318699 0,181934736 0,209972985 0,266763 0,308298 0,3305552007 6,28837E-17 0,102483559 0,402966253 0,385225199 0,360355 0,44026 0,51256 0,5675342006 7,50268E-17 0,021677964 0,124953972 0,411435304 0,406984 0,391072 0,396292 0,397975 0,4451562005 9,7795E-17 0,023692149 0,034387816 0,047432779 0,300908 0,296255 0,282104 0,323615 0,367386 0,4008562004 6,04985E-17 0,093847151 0,170782084 0,22741646 0,26805 0,377175 0,429125 0,479352 0,528395 0,555178 0,5700042003 1,49403E-16 0,154945329 0,2865616 0,379890057 0,441001 0,46119 0,420293 0,444358 0,479989 0,509299 0,525393 0,5420342002 8,1532E-17 0,146415822 0,303564966 0,427416805 0,524048 0,598785 0,617707 0,522858 0,556679 0,593187 0,617497 0,647877 0,6853172001 1,13191E-16 0,05511596 0,133641392 0,26199781 0,384094 0,488434 0,575329 0,603847 0,531829 0,575638 0,615917 0,643015 0,679434 0,7216572000 1,09288E-16 0,151660448 0,229877632 0,224116994 0,237216 0,222516 0,26793 0,309398 0,345292 0,382725 0,40833 0,439761 0,470116 0,485887 0,4977831999 1,20997E-16 0,048664368 0,145259534 0,253663963 0,301401 0,301402 0,280815 0,282129 0,316073 0,352704 0,396465 0,423835 0,454529 0,48425 0,503119 0,518313199819971996199519941993199219911990précision 1,16499E-16 0,129235242 0,229822192 0,308103733 0,37363 0,415472 0,428091 0,450404 0,454779 0,490248 0,530018 0,54773 0,582858 0,574855 0,500458 0,518313stabilité 1,70223E-33 0,004817455 0,011162998 0,01362096 0,007573 0,01178 0,014118 0,012082 0,007595 0,008627 0,008156 0,009159 0,012141 0,012439 7,12E-06 0

2ans-16ans 2ans-6ans 7ans-11ans 12ans-16ansprécision 6,534016174 1,456262789 2,353539832 2,724213553stabilité 0,133278762 0,04895485 0,050578334 0,033745578

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La valeur des indicateurs par groupe de maturité est obtenue par :

𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛)Àµo*Ü(𝑡) = 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛(𝑡),∈)Àµo*Ü

𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡é)Àµo*Ü 𝑡 = 𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡é(𝑡),∈)Àµo*Ü

Un second tableau indique l’erreur relative. Pour l’ensemble des notes, l’erreur relative est calculée par :

𝑒𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒(𝑡) = 𝜔 𝑟 ∗ |𝑃𝐷Zn¨Z 𝑡, 𝑟 − 𝑃𝐷µ¶Y(𝑡, 𝑟)|+++

À]ÁÁÁ

𝜔 𝑟 ∗ 𝑃𝐷µ¶Y 𝑡, 𝑟+++À]ÁÁÁ

Pour chaque note r, elle est obtenue par :

𝑒𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒(𝑡, 𝑟) = |𝑃𝐷Zn¨Z 𝑡, 𝑟 − 𝑃𝐷µ¶Y 𝑡, 𝑟 |

𝑃𝐷µ¶Y 𝑡, 𝑟

L’erreur relative n’a pas été analysée. Le nom des fichiers générés se composent de la manière suivante :

erreurABC D.xlsx Chaque lettre a la signification suivante :

• A correspond à un chiffre compris entre 1 et 10 selon la méthode testée. o A = 1 : méthode homogène o A= 2 : méthode simple o A = 3 : méthode inhomogène o A = 4 : méthode mixte o A = 5 : méthode HSBC (non présenté dans ce rapport) o A = 6 : méthode simple mixte o A = 7 : ma méthode 1 (non présenté dans ce rapport) o A = 8 : ma méthode 2 (non présenté dans ce rapport) o A = 9 : méthode facteur de convergence o A = 10 : méthode cycle de crédit

• B est un chiffre apportant des informations sur la méthode homogène et inhomogène. Il est compris entre 1 et 3 et indique la maturité de la matrice de transition utilisée pour calibrer la matrice génératrice (1 an à 3 ans). Il n’est pas présent pour les autres méthodes

• C est une indication présente pour les méthodes utilisant une période de calibration historique. Il faut le multiplier par 2 pour déterminer la profondeur de cette période de calibration. Il n’est pas présent pour les méthodes n’utilisant pas de période de calibration historique.

• D indique si l’erreur est calculée sur la PD cumulée (D = « cumul ») ou la PD marginale (D = « marg »).

Par exemple, la méthode simple ne nécessite pas de calibration. Elle sera donc nommée « error2.xlsx ». « erreur323.xlsx » va correspondre aux erreurs obtenues avec la méthode inhomogène (A =3), calculées avec une maturité de matrices de transition de 2 ans (B = 2) et un historique de calibration de profondeur 6 ans (C = 3).