CONSIDÉRATIONS SUR LE CALCUL DU BÉTON ARMÉ A LA …

CONSIDÉRATIONS SUR LE CALCUL DU BÉTON ARMÉ

A LA FLEXION SIMPLE

P A R

A n d r é P A D U A R T ,

Ingénieur Civil A. I. Br, Agrégé de l 'Enseignement Supérieur.

75 i3h (Met samenvatting in 't Nederlands)

EXTRAIT DES

A N N A L E S D E S T R A V A U X P U B L I C S D E B E L G I Q U E

DECEMBRE 1949.

B R U X E L L E S

I M P R I M E R I E G. L G. 61, avenue de la Liberté

1949

sur le a V

Considérations calcul du béton armé la flexion simple.

A n d r é P A D U A R T .

Ingénieur Civil A. I. Br, Agrégé de l'Enseignement Supérieur.

P R E A M B U L E (*)

L a r é d a c t i o n d e ce m é m o i r e f u t t e r m i n é e e n n o v e m b r e 1948 m a i s d e s r a i s o n s p a r t i c u l i è r e s e n o n t r e t a r d é l a p u b l i c a t i o n .

D e p u i s c e t t e d a t e , d e u x n o u v e l l e s c o n t r i b u t i o n s o n t é t é a p p o r t é e s r e s p e c t i v e m e n t p a r M . R . C h a m b a u d e t p a r M . A . G u e r r i n .

A p r è s a v o i r , d a n s l ' e n t r e t e m p s , p r i s c o n n a i s s a n c e d e ces d o c u m e n t s , n o u s a v o n s m a i n t e n u n o s c o n c l u s i o n s e t a u c u n e r e t o u c h e d u t e x t e n e n o u s a p a r u n é c e s s a i r e .

L o r s q u e l ' o n a sous les y e u x l a l i s t e d e s p u b l i c a t i o n s q u i o n t é t é c o n s a c r é e s à la r é s i s t a n c e à la f l e x i o n d u b é t o n a r m é e t à l ' i n f l u e n c e d e l a p l a s t i c i t é d u b é t o n s u r la r é s i s t a n c e l i m i t e , i l p e u t p a r a î t r e p r é s o m p t u e u x , s i n o n i n u t i l e , d e v o u l o i r e n c o r e l ' a l l o n g e r . E t p o u r t a n t , la d i v e r s i t é d e s

(*) N O T E D U SECRETARIAT. — Ainsi que l'auteur le signale dans son Introduction, le calcul du béton armé à la f l ex ion fait toujours l'objet de discussions dans plusieurs pays.

La publicat ion dans les Annales des Travaux Publics de Belgique du mémoire de M. P A D U A R T doit être considérée c o m m e un honnnage à la compétence de son auteur dans tous les problèmes relatifs au calcul du béton armé.

C'est en vue d'apporter un é lément à la question controversée du calcul du béton arnté à la f l ex ion que les Annales des Travaux Publics publient volontiers le présent travail. Cependant, la Commiss ion Directrice des Annales des Travaux Publics rappelle qu'elle n'entend jamais par une insertion, assumer la responsabilité des théories qui y sont émises.

1. — I N T R O D U C T I O N .

9

a u t e u r s e t des p o i n t s d e v u e q u i s ' a f f r o n t e n t , le g r a n d n o m b r e d ' a r t i c l e s se r a p p o r t a n t à ce s u j e t q u e l ' o n r e n c o n t r e d a n s la p r e s s e t e c h n i q u e e t e n f i n la q u a n t i t é d ' e s sa i s d e l a b o r a t o i r e q u i o n t é t é e f f e c t u é s p l u s o u m o i n s r é c e m m e n t d a n s p l u s i e u r s p a y s s e m b l e n t p r o u v e r q u e l a q u e s t i o n n ' e s t p a s é p u i s é e e t q u e le p r o b l è m e d e l a r é s i s t a n c e à la f l e x i o n d u b é t o n a r m é n ' a p a s e n c o r e t r o u v é sa s o l u t i o n d é f i n i t i v e .

C ' e s t p o u r q u o i i l n o u s a p a r u i n t é r e s s a n t , a p r è s a v o i r essayé d e r a m e n e r le p r o b l è m e à ses axes , d e r a s s e m b l e r u n c e r t a i n n o m b r e d e c o n s i d é r a t i o n s c o n c e r n a n t les d i v e r s e s h y p o t h è s e s d e b a s e q u i o n t é t é p r o p o s é e s çà e t l à e t d e d é v e l o p p e r u n e m é t h o d e d e c a l c u l q u i , t o u t e n é t a n t s u f f i s a m m e n t s i m p l e , n e s ' é c a r t e j a m a i s , o u t r e m e s u r e , d e ces h y p o t h è s e s .

C e t t e n o t e p r é s e n t e d o n c u n c a r a c t è r e p r o v i s o i r e ; e l l e se r a p p o r t e u n i q u e m e n t a u f o n d d e la q u e s t i o n e t n e c o n t i e n t p a s l ' e n s e m b l e d e t a b l e a u x e t d ' a b a q u e s q u i s e r a i e n t n é c e s s a i r e s p o u r la r é s o l u t i o n des p r o b l è m e s v a r i é s q u e l ' o n r e n c o n t r e e n p r a t i q u e .

N o u s e x a m i n e r o n s s u c c e s s i v e m e n t les p r i n c i p a l e s m é t h o d e s q u i o n t é t é p r o p o s é e s p o u r le c a l c u l d e la r é s i s t a n c e e n f l e x i o n s i m p l e s a n s c e p e n d a n t e n t r e r d a n s les d é t a i l s . U n e a n a l y s e c o m p a r a t i v e f o r t d é v e l o p p é e d e ces m é t h o d e s a é t é f a i t e p a r M . A . G u e r r i n (1 ) e t , t o u t r é c e m m e n t , M . P . M o e n a e r t (2 ) a p u b l i é u n e é t u d e a n a l o g u e q u i , p o u r ê t r e p l u s s u c c i n c t e q u e la p r é c é d e n t e , n ' e n e s t p a s m o i n s i n t é r e s s a n t e . Ce s e r a i t d o n c a l l o n g e r i n u t i l e m e n t ce m é m o i r e q u e d e r e f a i r e , à n o t r e t o u r , u n e d e s c r i p t i o n c o m p l è t e des n o m b r e u s e s m é t h o d e s d e c a l c u l e x i s t a n t e s .

N o t r e b u t es t d e r e c h e r c h e r les g r a n d e s a n a l o g i e s o u les g r a n d e s o p p o s i t i o n s e n t r e g r o u p e s d e m é t h o d e s a f i n d e d é c o u v r i r les r a i s o n s p o u r l e s q u e l l e s a u c u n e d e s f o r m u l e s a c t u e l l e s n e d o n n e e n t i è r e sa t i s fac t i o n .

2. — A N A L Y S E D E S P R I N C I P A L E S F O R M U L E S .

T r o i s c a r a c t é r i s t i q u e s d e la s e c t i o n é t u d i é e i n t e r v i e n n e n t d a n s t o u t e s les f o r m u l e s . C e s o n t :

— la h a u t e u r u t i l e d e l a p o u t r e h

— la l a r g e u r d e la p o u t r e b

(1) A. Guerrin. — Les théories nouve l les de la f lex ion dans les pièces en béton. (Essais et calculs — D u n o d 1941).

(2) P. Moenaert. — Etude critique des méthodes de calcul du béton armé en nex ion . (Bul l . Sté Royale des Ing. et Ind. Série A. n° 3 - 1948).

— 3 —

Lia

— la p r o p o r t i o n d ' a r m a t u r e s X = • b h

P o u r l e s u r p l u s , c e r t a i n e s f o r m u l e s t i e n n e n t c o m p t e des t e n s i o n s

a d m i s s i b l e s R ' i , e t R» d u b é t o n c o m p r i m é e t d e l ' a c i e r é t e n d u ; les a u t r e s ,

a u c o n t r a i r e , se b a s e n t s u r les r é s i s t a n c e s l i m i t e s R'br — t e n s i o n d e r u p t u r e p a r é c r a s e m e n t d u b é t o n , v a l e u r g é n é r a l e m e n t d é t e r m i n é e s u r c u b e ,

— e t Rai — l i m i t e é l a s t i q u e d e l ' a c i e r . Q u e l q u e s r a r e s f o r m u l e s f o n t m ê m e i n t e r v e n i r l a r é s i s t a n c e l i m i t e R t d u b é t o n s o u m i s à t r a c t i o n .

D ' a u t r e p a r t , c e r t a i n e s f o r m u l e s c o n t i e n n e n t l e r a p p o r t m d e s m o d u

les d ' é l a s t i c i t é d e l ' a c i e r e t d u b é t o n c o m p r i m é ; les a u t r e s se s o n t a f f r a n

c h i e s d e ce c o e f f i c i e n t .

C e t t e b r è v e a n a l y s e f a i t i m m é d i a t e m e n t a p p a r a î t r e u n m o d e d e c las

s e m e n t r a t i o n n e l d e s m é t h o d e s d e c a l c u l e n u t i l i s a n t d e s f o r m e s c a n o n i q u e s .

a ) Méthodes du l"' groupe.

E l l e s c o n d u i s e n t à u n e e x p r e s s i o n d e l a f o r m e :

M r =r= R'b,. bh2.X.[x ( 1 — K.X.(ii)

e t d o n n e n t l e m o m e n t d e r u p t u r e M r d e l a p i è c e é t u d i é e e n f o n c t i o n d e

l a r é s i s t a n c e R'br, d u r a p p o r t y. = Rai/R'br e t d ' u n c o e f f i c i e n t K q u i d é p e n d d e la f o r m e d u d i a g r a m m e d e s t e n s i o n s d e c o m p r e s s i o n d u b é t o n

e t q u i v a r i e s u i v a n t les a u t e u r s , c o m m e l e m o n t r e l e t a b l e a u s u i v a n t :

N o m des auteurs Valeur de K

Hajnal-Konyi, Jenssen, R. Coppée 0,5 0,54 0,589 0,625 0,6275 0,67

L e s f o r m u l e s a p p a r t e n a n t à c e g r o u p e d o n n e n t l e m o m e n t d e r u p t u r e e n f o n c t i o n d e s r é s i s t a n c e s l i m i t e s d u b é t o n e t d e l ' a c i e r . E l l e s s o n t é t a b l i e s e n s u p p o s a n t q u ' a u m o m e n t d e l a r u p t u r e , ces d e u x r é s i s t a n c e s l i m i t e s s o n t a t t e i n t e s s i m u l t a n é m e n t e t e n n é g l i g e a n t l a r é s i s t a n c e à l a

t r a c t i o n d u b é t o n ( f i g . 1 ) .

4

— 4

Jbr E l l e s c o n d u i s e n t à u n d i a g r a m m e p a r a b o l i q u e d e l a f o n c t i o n M r / R ' b r b h » . > v

C e t t e f o n c t i o n p a s s e p a r u n

m a x i m u m a n a l y t i q u e ( f i g . 2 ) p o u r

l a v a l e u r c r i t i q u e (X ii.)er d e l a

v a r i a b l e X n é g a l e à

1 (X lJ.)er —

1 + K

A u d e l à d e c e t t e v a l e u r , l a f o n c

t i o n M r / R ' b r b h ^ r e s t e c o n s t a n t e , l a r é s i s t a n c e d u b é t o n e s t c o m p l è t e m e n t e x p l o i t é e e t u n acc ro i s se

m e n t d e X fi. d e v i e n t s a n s e f f e t . C e t t e f o n c t i o n r e s t e é g a l e a u m a x i m u m

1 M r / R ' b r bh2 =

1 + K

N o u s p o u v o n s r a n g e r d a n s ce m ê m e g r o u p e l a f o r m u l e d e G E B A U E R

q u i , t o u t e n a d o p t a n t u n e v a l e u r d u c o e f f i c i e n t K é g a l e à 0 ,5 e s t é t a b l i e e n t e n a n t c o m p t e d e l a r é s i s t a n c e d u b é t o n à l a t r a c t i o n . D e ce f a i t ,

l ' e x p r e s s i o n X \i. q u i f i g u r e d e v a n t l es p a r e n t h è s e s e t e n t r e ce l les -c i s e

t r o u v e ê t r e r e m p l a c é e p a r l e t e r m e

X t / 2 e

e r e p r é s e n t a n t l a d i s t a n c e e n t r e l ' a r m a t u r e e t l a f i b r e e x t é r i e u r e t e n d u e

d e l a p o u t r e e t t é t a n t le r a p p o r t d e l a r é s i s t a n c e l i m i t e d u b é t o n e n t r a c t i o n à l a r é s i s t a n

c e l i m i t e R'br e n c o m p r e s s i o n .

I l c o n v i e n t égal e m e n t d e s i g n a l e r l a

f o r m u l e d e M A I L -L A R T , q u i a é t é é t a b l i e s a n s a u c u n e

h y p o t h è s e s u r l a rép a r t i t i o n d e s t e n s i o n s e t e n v e i l l a n t s eu l e m e n t à ce q u e l a

/ 7 ^ . 2

— 5 —

c o u r b e r e p r é s e n t a t i v e sa t i s fa s se le m i e u x p o s s i b l e à u n e n s e m b l e d e ré su l t a t s e x p é r i m e n t a u x . B i e n q u e t r o u v é e d ' u n e f a ç o n t o u t e spéc ia l e , c e t t e f o r m u l e p e u t c e p e n d a n t se r a t t a c h e r a u l''"' g r o u p e à c o n d i t i o n d e r e m p l a c e r l ' e x p r e s s i o n e n t r e p a r e n t h è s e s (1 — KX [x) p a r

h) Méthodes du 2™" groupe.

Les f o r m e s c a n o n i q u e s s o n t :

M ^ b h 2 x l l ~ \ e t M ^ R ' b b h 2 a / l V k J ], \

Les m é t h o d e s a p p a r t e n a n t à ce g r o u p e c o n d u i s e n t à d e u x v a l e u r s d u m o m e n t f l é c h i s s a n t a d m i s s i b l e , l ' u n d é p e n d a n t d e l a t e n s i o n l i m i t e p e r m i s e d a n s l ' a c i e r e t l ' a u t r e n e f a i s a n t i n t e r v e n i r q u e la c o m p r e s s i o n a d m i s s i b l e d u b é t o n . L a v a l e u r d e M à p r e n d r e e n c o n s i d é r a t i o n est é v i d e m m e n t le p l u s p e t i t des d e u x m o m e n t s f l é c h i s s a n t s .

L e c o e f f i c i e n t a, r a p p o r t d e la h a u t e u r v ' d e la z o n e c o m p r i m é e à la h a u t e u r u t i l e h d e la p o u t r e , d é p e n d des d é f o r m a t i o n s de l ' a c i e r e t d u b é t o n e t es t d o n c u n e f o n c t i o n d u r a p p o r t m d e s m o d u l e s d ' é l a s t i c i t é d e s d e u x m a t é r i a u x .

Les f o r m u l e s d e ce g r o u p e f o n t a p p a r a î t r e d e u x p a r a m è t r e s K i e t Ko q u i , e n c o r e u n e fo i s , v a r i e n t d ' u n a u t e u r à l ' a u t r e s e lon la f o r m e d u d i a g r a m m e d e s t e n s i o n s s u p p o s é . L e t a b l e a u c i - a p r è s i n d i q u e q u e l q u e s v a l e u r s p a r t i c u l i è r e s .

Méthodes K l Observations

Classique . . . . 3 3

von Eniperger 3 2,37 Multiplier }i\ par 0,71

Kazincki et Lyse. 2 2

Elasl ico-plasl ique. 3 2

c) Méthodes particulières.

Q u e l q u e s f o r m u l e s , q u i n e p e u v e n t ê t r e r a n g é e s dans ces d e u x g r o u p e s , m é r i t e n t d ' ê t r e s igna lées . E l l e s se p r é s e n t e n t sous u n e f o r m e

— 6 —

p l u s c o m p l i q u é e q u e les f o r m e s c a n o n i q u e s p r é c é d e n t e s e t o n t é t é é t a b l i e s e n f a i s a n t i n t e r v e n i r c e r t a i n e s c o n s i d é r a t i o n s a r t i f i c i e l l e s d a n s le b u t d ' a d a p t e r les r é s u l t a t s t h é o r i q u e s a u x c o n s t a t a t i o n s e x p é r i m e n t a l e s .

P a r m i ces f o r m u l e s n o u s c i t e r o n s ce l l e d u P r o f e s s e u r P a r i s , ce l le d e S t e u e r m a n n e t ce l l e d e M r G u e r r i n .

B i e n q u e ces f o r m u l e s s o i e n t i n t é r e s s a n t e s , e l les o n t l ' i n c o n v é n i e n t d ' ê t r e i r r a t i o n n e l l e s e t d e n e p a s p o u v o i r se r a t t a c h e r a u x p r i n c i p e s génér a u x d e la r é s i s t a n c e des m a t é r i a u x , p r é c i s é m e n t à c a u s e d e s a r t i f i c e s a u x q u e l s e l les f o n t a p p e l . D e p l u s , e l l e s s o n t i n u t i l e m e n t c o m p l i q u é e s p u i s q u ' e l l e s n e c o n d u i s e n t p a s à d e s c o n c o r d a n c e s m e i l l e u r e s q u e cert a i n e s f o r m u l e s d e s d e u x p r e m i e r s g r o u p e s .

3. — C R I T I Q U E D E L A M E T H O D E C L A S S I Q U E .

L a m é t h o d e c l a s s i q u e , q u i a p p a r t i e n t a u d e u x i è m e g r o u p e , es t la

m é t h o d e a d m i s e o f f i c i e l l e m e n t e n B e l g i q u e .

I l r é s u l t e d e la c o m p a r a i s o n des v a l e u r s c a l c u l é e s p a r c e t t e m é t h o d e a v e c les r é s u l t a t s d ' e s sa i s d e l a b o r a t o i r e q u e la v a l e u r d u m o m e n t a d m i s s i b l e d o n n é e e n f o n c t i o n d e R'b, c ' e s t - à -d i r e l a v a l e u r à c o n s i d é r e r d a n s l e cas d e r u p t u r e p a r i n s u f f i s a n c e d e b é t o n p o s s è d e u n c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é excess i f , d é p a s s a n t t r è s s e n s i b l e m e n t c e l u i q u e l ' o n o b s e r v e p o u r le cas d e la r u p t u r e p a r i n s u f f i s a n c e d ' a c i e r . I l s ' en s u i t u n m a n q u e d ' h o m o g é n é i t é e n t r e les d e u x f o r m u l e s q u i c a r a c t é r i s e n t la m é t h o d e c l a s s i q u e e t u n c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é e f f e c t i f q u i d é p e n d d e s v a l e u r s d e X e t d e |x.

M . M o e n a e r t , a p r è s a v o i r m o n t r é q u ' a u c u n e des m é t h o d e s n e d o n n a i t e n t i è r e s a t i s f a c t i o n , a c o n s t a t é q u ' i l é t a i t p o s s i b l e d ' é l i m i n e r ce m a n q u e d e c o n c o r d a n c e d ' u n e f a ç o n t r è s s a t i s f a i s a n t e , p o u r les p o u t r e s so l l i c i t ée s p a r f l e x i o n s i m p l e e t s a n s a r m a t u r e s c o m p r i m é e s , en augm e n t a n t d a n s les c a l c u l s la t e n s i o n a d m i s s i b l e d u b é t o n d e 30 % . U n r é s u l t a t c o m p a r a b l e a é t é t r o u v é t o u t r é c e m m e n t e n F r a n c e p a r M M . R . C h a m b a u d , P . L e b e l l e e t R . P a s c a l ( 1 ) .

U n e m a j o r a t i o n d e s t e n s i o n s a d m i s s i b l e s d u b é t o n a é t é a d m i s e p a r q u e l q u e s r è g l e m e n t s é t r a n g e r s , n o t a m m e n t d é j à e n 1932 p a r l es p r e s c r i p t i o n s a l l e m a n d e s D I N 1045. Ces r è g l e m e n t s a d m e t t e n t d e s m a j o r a t i o n s a l l a n t d e 15 % à 30 % .

( I ) R. Chambaud, P. Lebe l l e et R. Pascal. Etude expérimentale de la rupture dans les pièces en béton armé à section rectangulaire soumises à la f lex ion. (Trois ième congrès de l 'Association Internationale des Ponts et Charpentes, Liège 1948.)

— 7 —

L ' a d o p t i o n p u r e e t s i m p l e d ' u n c o e f f i c i e n t d e m a j o r a t i o n n o u s p a r a î t c e p e n d a n t u n e s o l u t i o n e m p i r i q u e à é v i t e r . E n e f f e t , une t e l l e f a ç o n d e f a i r e n e s e r a j a m a i s v a l a b l e q u e d a n s les l i m i t e s d e s c o n d i t i o n s d a n s l e s q u e l l e s o n t é t é f a i t e s les e x p é r i e n c e s d e l a b o r a t o i r e e t e l l e s ' o p p o s e à t o u t e g é n é r a l i s a t i o n . L e c o e f f i c i e n t p r o p o s é p a r M . M o e n a e r t c o n c e r n e , n o u s l ' a v o n s d é j à s i g n a l é , la f l e x i o n s i m p l e s a n s a r m a t u r e s c o m p r i m é e s . I l s e r a i t i m p r u d e n t d ' a p p l i q u e r sans p l u s ce m ê m e c o e f f i c i e n t a u x p i è c e s a r m é e s e n c o m p r e s s i o n , a u x p i èce s so l l i c i t ée s p a r f l e x i o n

c o m p o s é e e t a u b é t o n p r é c o n t r a i n t .

D ' a u t r e p a r t , l a m a j o r a t i o n d e l a t e n s i o n d e c o m p r e s s i o n a d m i s s i b l e p e u t c o n d u i r e à u n e i n t e r p r é t a t i o n e r r o n é e c h e z les p e r s o n n e s q u i n e s o n t p a s s u f f i s a m m e n t f a m i l i a r i s é e s avec le c a l c u l d u b é t o n a r m é e t l a i sser c r o i r e q u e la s é c u r i t é d e la c o n s t r u c t i o n es t r é e l l e m e n t d i m i n u é e .

N o u s a v o n s d o n c p r é f é r é r e c h e r c h e r les causes d e l a m a j o r a t i o n d u m o m e n t a d m i s s i b l e , t r a d u i r e cel les-c i auss i f i d è l e m e n t e t auss i s i m p l e m e n t q u e p o s s i b l e d a n s n o s f o r m u l e s e t v é r i f i e r , a posteriori, s i , d a n s les cas particuliers r é a l i s é s p a r les essais d e l a b o r a t o i r e , l a c o n c o r d a n c e es t s a t i s f a i s a n t e .

A v a n t c e l a , e t p o u r é v i t e r les écue i l s q u e l ' o n r e n c o n t r e d a n s l a p l u p a r t des m é t h o d e s q u e n o u s a v o n s d é c r i t e s p l u s h a u t , i l es t n é c e s s a i r e d ' a n a l y s e r la s i g n i f i c a t i o n d u c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é e t l ' i m p o r t a n c e d u r a p p o r t m d e s m o d u l e s d ' é l a s t i c i t é d e l ' a c i e r e t d u b é t o n .

4. — C O E F F I C I E N T S D E S E C U R I T E .

L e b é t o n a r m é é t a n t u n m a t é r i a u h y b r i d e , l a n o t i o n d e c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é n ' a p a s l a m ê m e c l a r t é q u e p o u r les m a t é r i a u x h o m o g è n e s , t e l s q u e l ' a c i e r , p a r e x e m p l e .

L a d i f f i c u l t é p r o v i e n t d e ce q u e la r é s i s t a n c e d ' u n e p i è c e e n b é t o n a r m é es t f o n c t i o n d e ce l l e s d e d e u x m a t é r i a u x auss i d i f f é r e n t s l ' u n d e l ' a u t r e q u e l e b é t o n e t l ' a c i e r . O n c o n s t a t e d o n c q u e l e c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é à la r u p t u r e d ' u n e p o u t r e e n b é t o n a r m é d é p e n d à la f o i s d e l a t e n s i o n a d m i s e p o u r l ' a c i e r e t d e l a t e n s i o n a d m i s e p o u r l e b é t o n , c 'es t -à - d i r e des c o e f f i c i e n t s d e s é c u r i t é d e s d e u x m a t é r i a u x e n p r é s e n c e .

I l y a l i e u d e c o n s i d é r e r l es f a c t e u r s s u i v a n t s :

a ) Plasticité de l'acier.

L ' a c i e r d o u x o u d e m i - d u r , q u i es t e m p l o y é c o m m e a r m a t u r e d u b é t o n , p r é s e n t e , à p a r t i r d e sa l i m i t e é l a s t i q u e , u n e c a p a c i t é d ' a l l o n -

g e m e n t sous t e n s i o n c o n s t a n t e t r è s i m p o r t a n t e . I l e n r é s u l t e q u e l e c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é q u i es t a f f e c t é à la l i m i t e é l a s t i q u e n ' a a u c u n e s i g n i f i c a t i o n q u a n t a u x d é f o r m a t i o n s ; e n d ' a u t r e s m o t s , si o n l i m i t e les t e n s i o n s a d m i s s i b l e s à la m o i t i é d e la l i m i t e é l a s t i q u e c o m m e o n le f a i t g é n é r a l e m e n t , l ' a c i e r p o u r r a s u b i r des d é f o r m a t i o n s d é p a s s a n t d e b e a u c o u p l e d o u b l e d e la d é f o r m a t i o n d e s e rv i ce sans q u e c e t t e l i m i t e é l a s t i q u e n e so i t d é p a s s é e . I l e n r é s u l t e i m p h é n o m è n e d ' a d a p t a t i o n q u e l ' o n c o m m e n c e à e x p l o i t e r s é r i e u s e m e n t d a n s les c o n s t r u c t i o n s m é t a l l i q u e s f l é c h i e s .

Si l ' o n d o n n e à u n e p o u t r e e n b é t o n a r m é , n o r m a l e m e n t c o n d i t i o n n é e , u n e d é f o r m a t i o n p a r f l e x i o n s u p é r i e u r e a u d o u b l e d e la d é f o r m a t i o n d e se rv i ce , les a r m a t u r e s c o n s e r v e n t t o u t e l e u r e f f i c a c i t é p u i s q u ' e l l e s t r a v a i l l e n t e n c o r e à l e u r l i m i t e é l a s t i q u e .

b ) Plasticité du béton.

L o r s q u ' o n e f f e c t u e u n essai d e c o m p r e s s i o n s u r u n p r i s m e d e b é t o n , o n c o n s t a t e dès le d é b u t d e la m i s e e n c h a r g e , à c o n d i t i o n q u e l ' e ssa i soi t f a i t assez l e n t e m e n t , q u e les d é f o r m a t i o n s n e r e s t e n t p a s p r o p o r t i o n n e l l e s a u x t e n s i o n s a p p l i q u é e s à l ' é p r o u v e t t e e t q u e le r a p p o r t d e s a c c r o i s s e m e n t s d e t e n s i o n e t d e d é f o r m a t i o n v a e n d i m i n u a n t . L e d i a g r a m m e r e p r é s e n t a t i f n ' e s t p a s r e c t i l i g n e , m a i s est c o n s t i t u é p a r u n e c o u r b e q u i t e n d à d e v e n i r p a r a l l è l e à l ' a x e des d é f o r m a t i o n s q u a n d la s o l l i c i t a t i o n a u g m e n t e . L e m o d u l e d ' é l a s t i c i t é m o y e n d u b é t o n — r a p p o r t d e la t e n s i o n à la d é f o r m a t i o n t o t a l e — d i m i n u e d o n c a u c o u r s d e l ' e ssa i d e c o m p r e s s i o n e t le r a p p o r t m a u g m e n t e q u a n d la c o n t r a i n t e a p p l i q u é e

a u b é t o n s ' é lève .

D a n s u n e p i è c e f l é c h i e , les t e n s i o n s d e c o m p r e s s i o n d u b é t o n n e s o n t d o n c p a s p r o p o r t i o n n e l l e s à la d i s t a n c e d e la f i b r e n e u t r e , m a i s a u g m e n t e n t m o i n s r a p i d e m e n t l o r s q u e l ' o n s ' é l o i g n e d e cel le-c i . C 'es t c e t t e p r o p r i é t é q u e d e n o m b r e u x a u t e u r s o n t e ssayé d ' e x p l o i t e r e n c o n s i d é r a n t p o u r l e d i a g r a m m e d e s t e n s i o n s d e c o m p r e s s i o n , n o n nn d i a g r a m m e t r i a n g u l a i r e ( m é t h o d e c l a s s i q u e ) , m a i s i m d i a g r a m m e e n f o r m e d e :

t r a p è z e ( v o n E m p e r g e r , J e n s s e n , G u e r r i n ) ;

r e c t a n g l e ( W i t h n e y , C o p p é e , G e b a u e r , K a z i n c k i e t Lyse ) ;

r e c t a n g l e e t p a r a b o l e ( B i t t n e r ) ;

c o u r b e s p é c i a l e ( S a l i g e r ) ;

q u a r t d ' e l l i p s e ( D y s o n ) ;

p a r a b o l e c u b i q u e ( M e n s c h ) .

c) Hétérogénéité du béton.

U n f a c t e u r q u i v i e n t s i n g u l i è r e m e n t c o m p l i q u e r la d é t e r m i n a t i o n d u c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é d ' u n e p i è c e e n b é t o n a r m é , f a c t e u r d o n t l a p l u p a r t des a u t e u r s n e p a r a i s s e n t c e p e n d a n t p a s s ' ê t r e souc iés , r é s i d e d a n s l e f a i t q u e la d i s p e r s i o n d e s r é s i s t a n c e s d ' u n b é t o n d e c o m p o s i t i o n d o n n é e est b e a u c o u p p l u s é t e n d u e q u e ce l l e d ' u n ac ie r . C e t t e d i f f é r e n c e es t i n h é r e n t e à la n a t u r e m ê m e d e ces d e u x m a t é r i a u x e t t i e n t a u t a n t à l e u r s m o d e s d ' é l a b o r a t i o n q u ' à l e u r s t r u c t u r e p r o p r e m e n t d i t e . E l l e s ' a f f i r m e e n p r a t i q u e p a r l ' a p p l i c a t i o n d ' u n p l u s g r a n d c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é a u b é t o n : g é n é r a l e m e n t 4 p o u r le b é t o n p a r r a p p o r t à 1^ r é s i s t a n c e su r c u b e a u m o m e n t d e l a m i s e e n se rv ice e t 2 p o u r l ' a c i e r p a r r a p p o r t à l a l i m i t e é l a s t i q u e .

S a c h a n t q u e les t e n s i o n s a d m i s s i b l e s d e l ' a c i e r e t d u b é t o n s o n t l i m i t é e s d e la so r t e , q u e l e s t l e c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é q u i e n résvilte d a n s le c o m p l e x e « b é t o n a r m é ». Es t - i l éga l à 2 o u 4, o u b i e n es t - i l c o m p r i s e n t r e ces d e u x v a l e u r s ? I l es t i m p o s s i b l e d e r é p o n d r e a priori à c e t t e q u e s t i o n . A u s s i est- i l i l l o g i q u e d e v o u l o i r u t i l i s e r u n e f o r m u l e d e r é s i s t a n c e f a i s a n t i n t e r v e n i r le r a p p o r t p. d e ces t e n s i o n s d e r u p t u r e . N o u s a v o n s c e p e n d a n t vu q u e la p l u p a r t des a u t e u r s y f o n t a p p e l , n o t a m m e n t d a n s les m é t h o d e s a p p a r t e n a n t a u p r e m i e r g r o u p e .

C 'es t ce q u i e x p l i q u e p o u r q u o i ces a u t e u r s p a r l e n t d e « c a l c u l à la r u p t u r e » e t d é f i n i s s e n t u n « m o m e n t d e r u p t u r e », l a i s s a n t à l ' a u t e u r d e p r o j e t la d i f f i c u l t é d e c h o i s i r l u i - m ê m e le c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é o p p o r t u n . E n r é a l i t é , les c a l c u l s son t t o u j o u r s f a i t s à la r u p t u r e p u i s q u e c 'es t c o n t r e la r u p t u r e q u e l ' o n se c o u v r e e n c a l c u l a n t l es s e c t i o n s d e l a p o u t r e . L a d i f f é r e n c e e n t r e les d e u x c o n c e p t i o n s se t r o u v e u n i q u e m e n t d a n s la f o r m e d u d i a g r a m m e des t e n s i o n s de c o m p r e s s i o n q u e l ' o n c o n s i d è r e ; les i m s e n v i s a g e n t l ' a l l u r e d u d i a g r a m m e c o r r e s p o n d a n t à la

r u p t u r e , les a u t r e s c o n s i d è r e n t le d i a g r a m m e des t e n s i o n s r é e l l e s d a n s la p o u t r e e n se rv ice .

5. — R O L E D U R A P P O R T m D E S M O D U L E S D ' E L A S T I C I T E .

Les f o r m u l e s d u p r e m i e r g r o u p e n e f o n t a u c u n e a l l u s i o n a u r a p p o r t d e s m o d u l e s d ' é l a s t i c i t é e t s u p p o s e n t q u ' a u m o m e n t d e la r u p t u r e d e la p i è c e e s sayée , la r é p a r t i t i o n d e s t e n s i o n s est i n d é p e n d a n t e d e s r a i d e u r s r e l a t i v e s des d e u x m a t é r i a u x associés . Ce te f a ç o n d e f a i r e c h o q u e le b o n sens , c a r e l le es t o p p o s é e a u x p r i n c i p e s é l é m e n t a i r e s d e la r é s i s t a n c e d e s m a t é r i a u x , à s a v o i r q u e les t e n s i o n s n e p e u v e n t ê t r e p r o d u i t e s q u e p a r d e s d é f o r m a t i o n s e t q u e la r é p a r t i t i o n des t ens ions est l i ée à la lo i d e s d é f o r m a t i o n s , q u e cel les-c i s o i e n t é l a s t i q u e s o u p a r t i e l l e m e n t p l a s t i q u e s .

— 10 —

I l e s t f a u x d e s u p p o s e r q u e , q u e l l e s q u e s o i e n t les q u a l i t é s d u b é t o n e t d e l ' a c i e r e t q u e l q u e soi t l e p o u r c e n t a g e d ' a r m a t u r e s , la r u p t u r e n e se p r o d u i t q u e l o r s q u e l ' a r m a t u r e e t l a s e c t i o n c o m p r i m é e d e b é t o n s o n t e n t r é e s t o u t e s d e u x d a n s la z o n e p l a s t i q u e e t q u e les d é f o r m a t i o n s n ' o n t p l u s a u c u n e f f e t . Ce r a i s o n n e m e n t est p a r t i c u l i è r e m e n t e n d é f a u t p o u r les f a i b l e s p o u r c e n t a g e s d ' a r m a t u r e s . E n e f f e t , i l es t des cas o ù l ' é t a t d e t e n s i o n l i m i t e n e se r é a l i s e q u ' a p r è s u n a l l o n g e m e n t p l a s t i q u e d e l ' a c i e r t r è s é l e v é e t i n c o m p a t i b l e avec u n c o m p o r t e m e n t n o r m a l d e l ' o u v r a g e et o ù l e s c revasses q u i a p p a r a i s s e n t e n t r a î n e n t l a r u i n e l o n g t e m p s a v a n t la r u p t u r e p r o p r e m e n t d i t e .

D ' a u t r e p a r t , q u a n d i l s ' ag i t d e p i è c e s c o m p o r t a n t u n e a r m a t u r e d e c o m p r e s s i o n , les a d e p t e s d u p r e m i e r g r o u p e d e f o r m u l e s s o n t ob l i gé s d e r e v e n i r a u x h y p o t h è s e s c l a s s i q u e s d e d é f o r m a t i o n s des s ec t i ons t r a n s v e r s a l e s e t d o i v e n t a b a n d o n n e r les c o n c e p t i o n s q u ' i l s d é f e n d e n t à p r o p o s d e la f l e x i o n s a n s a r m a t u r e d e c o m p r e s s i o n .

O n p e u t e n c o n c l u r e q u e ces c o n c e p t i o n s m a n q u e n t d e g é n é r a l i t é et q u e l e s m é t h o d e s a p p a r t e n a n t a u p r e m i e r g r o u p e n e p o u r r o n t j a m a i s c o n d u i r e à i m e s o l u t i o n é l é g a n t e d u p r o b l è m e d e la f l e x i o n d u b é t o n a r m é .

6. — E S S A I S D E R A P P R O C H E M E N T E N T R E L E S G R O U P E S D E M E T H O D E S .

L e s d i v e r s e s c o n s i d é r a t i o n s q u i p r é c è d e n t f a c i l i t e n t l ' é t a b l i s s e m e n t d ' u n e m é t h o d e d e c a l c u l é c h a p p a n t , d a n s l a m e s u r e d u p o s s i b l e , a u x o b j e c t i o n s q u e l ' o n p e u t f o r m u l e r , a v e c r a i s o n , a u s u j e t d e c h a c u n des g r o u p e s d e m é t h o d e s d e c a l c u l q u e n o u s a v o n s d é f i n i s p l u s h a u t .

V o i c i q u e l l e s s o n t l es b a s e s d e ce r a p p r o c h e m e n t :

a) Diagramme des tensions de compression du béton.

I l e s t c u r i e u x d e c o n s t a t e r q u e t o u s les a u t e u r s , à p a r t v o n E m p e r g e r , s u p p o s e n t q u e l e d i a g r a m m e d e s t e n s i o n s , a u m o m e n t d e la r u p t u r e d ' u n e p o u t r e e n b é t o n a r m é , a u n e f o r m e b i e n d é t e r m i n é e n e d é p e n d a n t e n r i e n d e s q u a l i t é s r e s p e c t i v e s d e s m a t é r i a u x , n i d u p o u r c e n t a g e d ' a c i e r . E t e n c o r e , v o n E m p e r g e r n e cons idè re - t - i l q u e d e u x d i a g r a m m e s b i e n d é f i n i s , s a n s i n t e r m é d i a i r e s : u n d i a g r a m m e t r i a n g u l a i r e si la r u p t u r e a l i e u p a r i n s u f f i s a n c e d ' a c i e r e t u n d i a g r a m m e t r a p é z o ï d a l si l a r u p t u r e se p r o d u i t p a r i n s u f f i s a n c e d u b é t o n . O r , l ' o n c o n ç o i t q u e l e d i a g r a m m e t r i a n g u l a i r e , b i e n j u s t i f i é l o r s q u e le b é t o n es t d e b o n n e q u a l i t é e t q u e le p o u r c e n t a g e d ' a r m a t u r e est t r è s f a i b l e , se d é f o r m e progressivement d e

— 11 —

f a ç o n à t e n d r e ve r s u n d i a g r a m m e q u a s i r e c t a n g u l a i r e l o r s q u e la q u a l i t é d u b é t o n d e v i e n t m é d i o c r e e t q u e la q u a n t i t é d ' a c i e r a u g m e n t e . I l e n r é s u l t e q u e la m é t h o d e c l a s s i q u e e s t auss i i n d i q u é e d a n s c e r t a i n s cas q u e les m é t h o d e s d e W i t h n e y o u d e C o p p é e d a n s d ' a u t r e s cas, m a i s q u ' a u c u n e d e cel les-ci n ' e s t c e p e n d a n t g é n é r a l e .

N o u s m o n t r e r o n s p l u s l o i n c o m m e n t à l ' a i d e d ' u n diagramme variable i l es t p o s s i b l e d e p a s s e r s a n s s o l u t i o n d e c o n t i n u i t é d 'vm e x t r ê m e à l ' a u t r e .

b ) Rapport des modules d'élasticité.

C o m m e n o u s l ' a v o n s e x p l i q u é p l u s h a u t , ce r a p p o r t d o i t , à n o t r e avis , i n t e r v e n i r d a n s u n e f o r m u l e g é n é r a l e . Son i n f l u e n c e p e u t c e p e n d a n t ê t r e v a r i a b l e e t m ê m e d i s p a r a î t r e c o m p l è t e m e n t l o r s q u e l a p l a s t i c i t é es t a t t e i n t e d a n s l ' e n t i è r e t é d e la s e c t i o n r é s i s t a n t e .

N o u s f e r o n s i n t e r v e n i r le r a p p o r t m d a n s le c h o i x d e l ' i n c l i n a i s o n d e l a t a n g e n t e à l ' o r i g i n e d u d i a g r a m m e v a r i a b l e des t e n s i o n s d e c o m p r e s s i o n .

P o u r é v i t e r l ' é c u e i l q u e n o u s a v o n s s i g n a l é à p r o p o s d e s m é t h o d e s d u p r e m i e r g r o u p e , n o u s a d m e t t r o n s q u e l a r u p t u r e d o i v e ê t r e c o n s i d é r é e c o m m e a c q u i s e d è s q u e la l i m i t e é l a s t i q u e d e l ' a c i e r é t e n d u est e l l e - m ê m e a t t e i n t e e t ce la q u e l l e q u e so i t , à ce m o m e n t , la f o r m e d u d i a g r a m m e d e s t e n s i o n s . T o u t e a u g m e n t a t i o n d u m o m e n t f l é c h i s s a n t n e p o u r r a i t , e n e f f e t , ê t r e o b t e n u e q u e m o y e n n a n t l ' a p p a r i t i o n d e f i s s u r a t i o n s i m p o r t a n t e s c a u s a n t v r a i s e m b l a b l e m e n t la m i s e h o r s se rv ice d e la c o n s t r u c t i o n .

c) Coefficients de sécurité de F acier et du béton.

N o u s a v o n s m o n t r é p l u s h a u t q u e l l e s son t les d i f f i c u l t é s q u e susc i t e l ' a p p l i c a t i o n d e c o e f f i c i e n t s d e s é c u r i t é d i f f é r e n t s à l ' a c i e r e t a u b é t o n . E t c e p e n d a n t , ces c o e f f i c i e n t s s o n t j u s t i f i é s p a r l ' e x p é r i e n c e e t d o i v e n t ê t r e conse rvés . N o u s p o u v o n s n é a n m o i n s r e v e n i r a u c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é

u n i q u e e n r a i s o n n a n t d ' u n e f a ç o n t r è s s i m p l e . U n c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é a d e u x f o n c t i o n s essen t i e l l e s b i e n d i s t i n c t e s : 1° t e n i r c o m p t e d e l ' i n d é t e r m i n a t i o n des s u r c h a r g e s q u i p o u r r o n t

r é e l l e m e n t ê t r e a p p l i q u é e s à l ' o u v r a g e a u c o u r s d e son e x p l o i t a t i o n , e t d e s e f f e t s s e c o n d a i r e s , t e l s q u e les so l l i c i t a t i ons d y n a m i q u e s o u r é p é t é e s e t l e v i e i l l i s s e m e n t d e l a c o n s t r u c t i o n ;

2° t e n i r c o m p t e des d é f i c i e n c e s a c c i d e n t e l l e s d e la q u a l i t é d e s m a t é r i a u x e n t r a n t d a n s la c o n s t r u c t i o n .

Les c a r a c t é r i s t i q u e s d e l ' a c i e r d o u x é t a n t a c t u e l l e m e n t b i e n c o n n u e s e t d ' u n e r é g u l a r i t é v r a i m e n t r e m a r q u a b l e , g r âce à l ' é v o l u t i o n d e l a s i d é r u r g i e , le c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é c o r r e s p o n d a n t a e s s e n t i e l l e m e n t t r a i t à l ' i n d é t e r m i n a t i o n d e s t e n s i o n s a p p l i q u é e s .

— 12 —

L e b é t o n , a n c o n t r a i r e , es t u n m a t é r i a u f a b r i q u é d a n s d e s c o n d i t i o n s b e a u c o u p m o i n s f a v o r a b l e s q u e l ' a c i e r e t p r é s e n t e des c a r a c t é r i s t i q u e s t r è s i r é g u l i è r e s . A u s s i f a u t - i l ê t r e b e a u c o u p p lu s p r u d e n t d a n s la d é t e r m i n a t i o n des t e n s i o n s a d m i s s i b l e s e t u n c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é é g a l à 4 es t - i l r e c o m m a n d é . Cec i r e v i e n t e n s o m m e à p r e n d r e u n e double sécurité c a r a c t é r i s é e p a r u n c o e f f i c i e n t 2 vis-à-vis des s o l l i c i t a t i o n s e t p a r u n c o e f f i c i e n t 2 vis-à-vis d e la q u a l i t é d e s m a t é r i a u x .

N o u s a d o p t e r o n s d o n c p o u r le c a l c u l d u m o m e n t a d m i s s i b l e u n

c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é éga l à 2 p a r r a p p o r t a u m o m e n t d e r u p t u r e , q u e ce l le -c i se p r o d u i s e p a r a p p a r i t i o n d e la l i m i t e é l a s t i q u e d e l ' a c i e r o u p a r é c r a s e m e n t d u b é t o n , m a i s n o u s i n t r o d u i r o n s d a n s l e c a l c u l l a v a l e u r d e la résistance possible d u b é t o n , r é s i s t a n c e q u i es t éga le , p a r d é f i n i t i o n , à la m o i t i é d e la r é s i s t a n c e m o y e n n e s u r c u b e s R'br.

d ) Résistance du béton à la traction.

Q u e l q u e s r a r e s m é t h o d e s d e c a l c u l t i e n n e n t c o m p t e d e la r é s i s t a n c e d u b é t o n à la t r a c t i o n d a n s la d é t e r m i n a t i o n d u m o m e n t d e r u p t u r e . N o u s j u g e o n s p r é f é r a b l e d e s u i v r e la p r a t i q u e c o u r a n t e e t d ' e n f a i r e a b s t r a c t i o n .

B i e n s o u v e n t les essais d e l a b o r a t o i r e s o n t e f f e c t u é s s u r des é p r o u -ve t t e s s a i n e s n e p r é s e n t a n t a u c u n e f i s s u r a t i o n i n i t i a l e . 11 n ' e n es t p a s d e m ê m e des é l é m e n t s d e c o n s t r u c t i o n q u i p e u v e n t p r é s e n t e r des f i s su re s , m ê m e a v a n t l ' a p p l i c a t i o n des s u r c h a r g e s , r i e n q u e p a r l ' a c t i o n d u r e t r a i t e t d e s v a r i a t i o n s t h e r m i q u e s s u r des é l é m e n t s n o n l i b r e m e n t d i l a t a b l e s .

N o t o n s q u e les a u t e u r s q u i t i e n n e n t c o m p t e d a n s l e u r f o r m u l e d e la r é s i s t a n c e e n t r a c t i o n d u b é t o n r e c o n n a i s s e n t e n g é n é r a l q u ' i l n e s ' ag i t là q u e d ' u n artifice a y a n t p o u r b u t d ' a m é l i o r e r la c o n c o r d a n c e d e s d o n n é e s t h é o r i q u e s a v e c l ' e x p é r i e n c e e t q u e le d i a g r a m m e d e r é p a r t i t i o n des t e n s i o n s q u ' i l s e n v i s a g e n t n e c o r r e s p o n d b i e n s û r p a s à la r é a l i t é .

e ) Simplicité de la méthode.

A v a n t d ' e s s a y e r d e t r o u v e r i m e m é t h o d e d e c a l c u l , i l es t n é c e s s a i r e d ' e x a m i n e r i m e n s e m b l e d e r é s u l t a t s e x p é r i m e n t a u x e t d e se r e n d r e c o m p t e d e l ' é n o r m e d i s p e r s i o n q u e l ' o n y d é c o u v r e .

L e c a l c u l d u b é t o n a r m é n ' e s t p a s u n e s c i ence e x a c t e . A u s s i est- i l i n u t i l e d e s ' e n f o n c e r d a n s t r o p d e c o n s i d é r a t i o n s s p é c u l a t i v e s c o n d u i s a n t à d e s f o r m u l e s q u i s ' é t e n d e n t s u r d e u x l i gnes d ' i m p r i m e r i e e t q u i f o n t i n t e r v e n i r des c o e f f i c i e n t s a u x q u e l s le c a l c u l a t e u r s e r a s o u v e n t b i e n e n p e i n e d e f i x e r u n e v a l e u r r a i s o n n a b l e .

— 13 —

7. — M E T H O D E D E C A L C U L P R O P O S E E ,

a ) Bases de la méthode.

N o u s a d m e t t o n s q u e le d i a g r a m m e « t e n s i o n - d é f o r m a t i o n » d u b é t o n c o n s t i t u a n t la z o n e c o m p r i m é e des p o u t r e s f l é c h i e s se c o m p o s e d ' u n t r o n ç o n d e p a r a b o l e d u s e c o n d d e g r é s u i v i d ' u n e d r o i t e p a r a l l è l e à l ' a x e des absc isses ( f ig . 3 ) .

L e t r o n ç o n d e p a r a b o l e p a r t d e l ' o r i g i n e d e s axes c o o r d o n n é s avec E ,

u n e t a n g e n t e Eb = . I l a t t e i n t a u s o m m e t la v a l e u r l,^ R'br r e p r é

s e n t a n t , c o m i n e e x p l i q u é p l u s h a u t , la r é s i s t a n c e p o s s i b l e d u b é t o n s u r c u b e . C e t t e v a l e u r m a x i m u m c o r r e s p o n d à u n e d é f o r m a t i o n c r i t i q u e

R 'br Se - .

N o u s s u p p o s o n s q u ' a u d e l à d e c e t t e d é f o r m a t i o n , la t e n s i o n d e v i e n t c o n s t a n t e e t é g a l e à la v a l e u r d e la r é s i s t a n c e p o s s i b l e d u b é t o n s u r

p r i s m e l/^ R'pr- D a n s l ' é t u d e q u i su i t , n o u s a v o n s p r i s m = 15 e t n o u s a v o n s d o n n é a u r a p p o r t R'pr/R'br la v a l e u r 0,8, cel le-ci v a r i a n t d ' a p r è s les a u t e u r s d e 0 ,75 à 0,85.

E n t r e les p o i n t s O e t C, la t e n s i o n d e c o m p r e s s i o n d u b é t o n p e u t s ' é c r i r e ;

E b S Eb. S ( 1

2 R'b,

— 14 —

A d r o i t e d u p o i n t C, l a v a l e u r z es t c o n s t a n t e p a r h y p o t h è s e e t

R'br é g a l e à (T = 0 ,8 X —

2

A u c o u r s d e l ' é t u d e d ' u n e s e c t i o n f l é c h i e e n b é t o n a r m é , n o u s d e v o n s d o n c c o n s i d é r e r d e u x p h a s e s d i f f é r e n t e s : la p h a s e élastique c o r r e s p o n d a n t a u cas où la d é f o r m a t i o n S c n ' e s t p a s a t t e i n t e a u m o m e n t d e la r u p t u r e e t la p h a s e plastique c o r r e s p o n d a n t a u cas o ù c e t t e d é f o r m a t i o n c r i t i q u e est a t t e i n t e a v a n t q u e n e se p r o d u i s e l a r u p t u r e . D a n s l e p r e m i e r cas, l e d i a g r a m m e d e s t e n s i o n s s u r b é t o n a u m o m e n t d e l a r u p t u r e s e r a u n f r a g m e n t d e p a r a b o l e ; d a n s l e d e u x i è m e cas , u n e r é g i o n

p l a s t i q u e avec t e n s i o n c o n s t a n t e a p p a r a î t r a . N o u s l i m i t e r o n s p o u r l ' i n s t a n t n o t r e e x p o s é a u cas d ' u n e s ec t i on

r e c t a n g u l a i r e sans a r m a t u r e c o m p r i m é e .

b ) Phase élastique.

L a r é s i s t a n c e p o s s i b l e d u b é t o n n ' é t a n t p a s a t t e i n t e , la r u p t u r e se p r o d u i t p a r i n s u f f i s a n c e d ' a c i e r t e n d u , d e s o r t e q u e n o u s s avons q u e l a t e n s i o n d e l ' a r m a t u r e , à ce m o m e n t , a t t e i n t la l i m i t e é l a s t i q u e .

D é s i g n o n s p a r A le n i v e a u d e la f i b r e n e u t r e , v ' e t v é t a n t les d i s t a n c e s d e cel le-ci r e s p e c t i v e m e n t à la f i b r e e x t é r i e u r e c o m p r i m é e e t à l ' a r m a t u r e ( f ig . 4 ) .

So i t S s le r a c c o u r c i s s e m e n t d e la f i b r e s u p é r i e u r e .

P a r h y p o t h è s e 5 s < 5 c

1 5

L a r é s u l t a n t e d e s c o m p r e s s i o n s est é g a l e à :

f v ' f v ' / E b S N b = \ b j d y = b E b 8 1

Jq Jo \ 2 R'br

d y

O r S = — 8 a V

D ' o ù N h b E b 8 a v'2

2 V

!ib ô a V

3 V R 'b

N o u s o b t e n o n s d e l a m ê m e f a ç o n le m o m e n t s t a t i q u e d e s c o m p r e s s i o n s p a r r a p p o r t a u p o i n t A :

b E, Sb =

b ô a V 3 E b 8 a v ' 1

3 V \ 8 V R'br

E n ce q u i c o n c e r n e l ' a c i e r t e n d u , n o u s a v o n s i m m é d i a t e m e n t

N a = Qa • Rai e t Sa = • Ral " V

La c o n d i t i o n d ' é q u i l i b r e d e t r a n s l a t i o n c o n d u i t à :

N a = N b

b E b s a v '2 / E b 8 a v ' o u Qa Ral — I 1

2 V 3 V R 'b ( 1 )

M a i s Qa = X b h e t v ' = a h

N o u s s a v o n s e n o u t r e q u e 8a es t l ' a l l o n g e m e n t d e l ' a c i e r à la f i n d e l a p é r i o d e é l a s t i q u e . D o n c :

E b R a l Eb . 8a = • Ra l =

E a m

( 1 ) (2 )

L e m o m e n t d e r u p t u r e s ' o b t i e n t c o m m e s u i t :

M , = Sa + Sb

b E b 8 a v'3 / 3 E b 8 a v ' = Qa «Ta v H ( 1

3 v 8 v R 'b

— 16 —

A p r è s t r a n s f o r m a t i o n s , n o u s t r o u v o n s :

a 3 X (1 — a ) + .

3 m (1 — a )

3 a

8 m (1 — a ) R 'h ( 3 )

L a t e n s i o n m a x i m u m s u p p o r t é e e f f e c t i v e m e n t p a r l e

b é t o n p e u t se c a l c u l e r à p a r t i r d e l a d é f o r m a t i o n S s e t v a u t :

Ral * / * I^al \ a s = • ( 1 • ( 4 )

1 — a 2 m R ' b , /

L e d o m a i n e d ' a p p l i c a t i o n d e s f o r m u l e s ( 2 ) , (3) e t

( 4 ) es t d é f i n i p a r l a c o n d i t i o n S s ^ S c.

Ral R 'b

m E b E b

o u e n c o r e

( 5 )

c ) Phase plastique.

T a n t q u e l a r é s i s t a n c e

t o t a l e d u b é t o n c o m p r i m é n ' e s t p a s é p u i s é e , la r u p

t u r e se p r o d u i t e n c o r e a u m o m e n t o ù l a t e n s i o n d a n s

l ' a r m a t u r e a t t e i n t l a l i m i t e é l a s t i q u e .

^ ^ L a r é g i o n c o m p r i s e e n -t r e l es o r d o n n é e s w e t v '

( f i g . 5) es t e n t r é e d a n s l a p h a s e p l a s t i q u e e t s u b i t u n e c o m p r e s s i o n c o n s t a n t e éga

l e à 0 ,8 . R 'br /2 .

F i g . 5.

— 1 7 —

L a r é s u l t a n t e Nb s ' é c r i t c e t t e f o i s

= b . 5 d y + ( v ' — w ) b . 0 ,4 R V

= b E K 8 1

O r S =

E h 8

2 R' , br

d y + 0,4 ( v ' — w ) b R\

R 'h e t

E b °a

b R 'b .2 V / R'br V

D ' o ù N b = + 0 ,4 v ' 1 b R'br

3 E b 8a y E b Sa

L e m o m e n t s t a t i q u e d e s c o m p r e s s i o n s p a r r a p p o r t a u p o i n t A s ' é c r i t R'br V \ 2 5 b R'br« V2

Sb = h 0,2 2 4 ( E b Sa)2

^'2

E b b R 'b

E n ce q u i c o n c e r n e l ' a c i e r , n o u s t r o u v o n s e n c o r e :

N a = Qa Ral e t Sa = Ral ' V

E n é g a l a n t Na e t Nb, n o u s o b t e n o n s :

b R 'b,^ V / R'br V

Q a R a l = + 0 , 4 v ' ] b R ' b r 3 E b 3 a E b S ,

D ' o ù R 'br m (1 — a ) R'br^

X = 0 ,4 a 0 ,267 R a

( 6 )

L e m o m e n t d e r u p t u r e e s t é g a l à :

M , - b h 2 R u .

X (1 — a ) + 0 ,4 R'br R'br^

0,067 ( 1 — a )2 m2 Ral 8 R a , «

( 7 )

L e s f o r m u l e s ( 6 ) e t (7 ) c o r r e s p o n d e n t à l a c o n d i t i o n :

( 8 )

— 1 8 —

8. — F O R M U L E S P A R T I C U L I E R E S .

a ) Notations.

A p r è s a v o i r e x p o s é l a m é t h o d e q u e n o u s p r o p o s o n s , n o u s g r o u p o n s

c i - d e s s o u s les f o r m u l e s d é f i n i t i v e s v a l a b l e s p o u r l a s e c t i o n r e c t a n g u l a i r e

a r m é e e n t r a c t i o n s e u l e m e n t . Ces f o r m u l e s s o n t p r é s e n t é e s d e f a ç o n à

d o n n e r d i r e c t e m e n t l e m o m e n t a d m i s s i b l e M e n f o n c t i o n d e s t e n s i o n s

a d m i s s i b l e s R'b e t Rg.

N o u s i n t r o d u i s o n s l e r a p p o r t d e s r é s i s t a n c e s r é g a l a u q u o t i e n t d e

la t e n s i o n a d m i s s i b l e d e l ' a c i e r p a r c e l l e d u b é t o n .

N o u s a v o n s d o n c p a r d é f i n i t i o n :

R a Ral r = - 2 = 2 [i

R 'b R '

R a p p e l o n s q u e n o u s a v o n s p o s é

v ' D a E a a = X = m = = 15

h b h E b

b ) Phase élastique. 30

a < 30 + r

X = 1 a r

30 (1 — a) \ 90 (1 — a )

1 R ' b 15 1 — a \ 60

M a 3 r / a r = X ( l - « ) r + ^ 1

b h ^ R ' b 4 5 (1 — o() \ 80 (1 — a )

c) Phase plastique.

3 0 a ^

30 + r

— 2 0 —

9. — A B A Q U E .

L e s f o r m u l e s q u e n o u s v e n o n s d e d o n n e r s o n t d ' u n u s a g e c o m m o d e l o r s q u e l ' o n c o n n a î t l a v a l e u r d e a. O r , e n p r a t i q u e , c e t t e v a l e u r n ' e s t

c o n n u e , a p r i o r i , n i d a n s les p r o b l è m e s d ' é t a b l i s s e m e n t , n i d a n s les p r o b l è m e s d e c o n t r ô l e . I l f a u d r a i t d o n c so i t p r o c é d e r p a r t â t o n n e m e n t s , so i t é l i m i n e r a e t e x p r i m e r d i r e c t e m e n t M e n f o n c t i o n d e X o u X e n f o n c t i o n

d e M . M a l h e u r e u s e m e n t , ce s r e l a t i o n s d e v i e n n e n t f o r t c o m p l i q u é e s e t l e u r u t i l i s a t i o n s e r a i t p r a t i q u e m e n t i m p o s s i b l e . N o u s a v o n s p r é f é r é r e m p l a c e r

les f o r m u l e s p a r u n a b a q u e q u e n o u s a v o n s o b t e n u e n d o n n a n t u n e s é r i e

d e v a l e u r s p a r t i c u l i è r e s à l a v a r i a b l e p a r a m é t r i q u e a e t e n c a l c u l a n t les

e x p r e s s i o n s M / b h ^ R ' b e t X p o u r d i f f é r e n t e s v a l e u r s d u r a p p o r t r .

N o u s a v o n s a i n s i é t a b l i l ' a b a q u e I s u r l e q u e l f i g u r e n t é g a l e m e n t les

c o u r b e s d ' é g a l e v a l e u r d e a ' s /R 'b . ( V o i r p a g e 32. )

R a p p e l o n s q u e r es t l e r a p p o r t d e s t e n s i o n s a d m i s s i b l e s e t n o n c e l u i

d e s t e n s i o n s d e r u p t u r e q u i i n t e r v i e n t d a n s l es f o r m u l e s d u 1''"' g r o u p e .

10. — E X E M P L E S D E D I A G R A M M E S D E S T E N S I O N S .

L a f i g u r e 6 r e p r o d u i t u n e n s e m b l e d e d i a g r a m m e s d e s t e n s i o n s p o u r l e cas oiî r = 30. D e s v a l e u r s d e a c r o i s s a n t d e 0 ,1 e n 0 ,1 o n t é t é c h o i s i e s e t c h a q u e f o i s l a v a l e u r d e >. a é t é i n d i q u é e . O n r e t r o u v e d a n s l e s d i a g r a m

m e s l ' a l l u r e i n d i q u é e à l a f i g u r e 3 e t l ' o n r e m a r q u e q u e l a p h a s e p l a s

t i q u e e s t a t t e i n t e p o u r X = 1 ,11 % . L a f i g u r e 6 m o n t r e c o m m e n t l e d i a g r a m m e d e s t e n s i o n s d e c o m p r e s s i o n d u b é t o n é v o l u e p r o g r e s s i v e m e n t

d e l a f o r m e t r i a n g u l a i r e à l a f o r m e r e c t a n g u l a i r e ' e n p a s s a n t p a r u n e

f o r m e p a r a b o l i q u e , d e s o r t e q u ' i l n ' y a a u c u n e d i s c o n t i n u i t é d a n s l a m é t h o d e .

11. — I N F L U E N C E D E L A V A L E U R P A R T I C U L I E R E

D O N N E E A U R A P P O R T m .

N o u s a v o n s v o l o n t a i r e m e n t c o n s e r v é l a v a l e u r m = 15 q u i es t r e c o n

n u e p a r les n o r m e s b e l g e s a f i n d e n o u s r a c c r o c h e r à la m é t h o d e r é g l e m e n

t a i r e l o r s q u e l e p o u r c e n t a g e d ' a c i e r d e v i e n t t r è s f a i b l e e t q u e l e d i a g r a m m e des t e n s i o n s d e c o m p r e s s i o n d u b é t o n t e n d v e r s l a f o r m e t r i a n g u l a i r e .

N o u s a v o n s r e t r a c é q u e l q u e s c o u r b e s d e l ' a b a q u e I e n d o n n a n t c e t t e f o i s à m les v a l e u r s 10 e t 6 ; l a f i g u r e 7 m o n t r e les v a r i a t i o n s q u i e n r é s u l t e n t .

— 2 1 —

L ' o n c o n s t a t e q u e l e s c o u r b e s r e p r é s e n t a t i v e s d e l ' e x p r e s s i o n M / b h ^ R ' b e n f o n c t i o n d e X se m o d i f i e n t t r è s p e u q u a n d m v a r i e d e s o r t e q u e le c a l c u l d u m o m e n t a d m i s s i b l e n ' e s t p r a t i q u e m e n t p a s i n f l u e n c é p a r

la v a l e u r q u e l ' o n a t t r i b u e à c e r a p p o r t . A u c o n t r a i r e , l a c o u r b e

a 'b /R 'b = 1 se d é p l a c e f o r t e m e n t , c e q u i i n d i q u e q u e le c h o i x d e l a v a l e u r d e m a u n e g ros se i n f l u e n c e s u r l a f o r m e d u d i a g r a m m e d e s t e n s i o n s . C e c i n ' a q u ' u n e i m p o r t a n c e s e c o n d a i r e p u i s q u e ce q u e l ' o n

d é s i r e c o n n a î t r e , a v a n t t o u t , ce n ' e s t p a s l a r é p a r t i t i o n des c o n t r a i n t e s ,

m a i s b i e n l e m o m e n t f l é c h i s s a n t q u e l a s e c t i o n p e u t s u p p o r t e r a v e c u n e

s é c u r i t é n o r m a l e .

12. — I N F L U E N C E D E L A Q U A L I T E D U B E T O N

S U R L A R E P A R T I T I O N D E S T E N S I O N S E T E X E M P L E D E C A L C U L

D E S T E N S I O N S M A X I M A .

S o i t u n e p o u t r e e n b é t o n a r m é c a r a c t é r i s é e p a r :

b = 60 c m h = 8 5 c m Qa = 5 3 cra^ M = 44 ,7

O n d e m a n d e d e c a l c u l e r l es t e n s i o n s m a x i m a p o u r d i f f é r e n t e s v a l e u r s

d u r a p p o r t r d e s t e n s i o n s a d m i s s i b l e s .

N o u s d é d u i s o n s d e s d o n n é e s :

5 3 M 4 .470 .000 k g c m X = = 0 ,0104 e t = = 10,3 k g / c m »

60 X 8 5 b h ^ 60 X 852 ^ ^ s

N o u s c o n s i d é r o n s q u e l q u e s v a l e u r s p a r t i c u l i è r e s d u r a p p o r t r e t , p o u r

c h a c u n e d ' e l l e s , n o u s r e p r o d u i s o n s d a n s l e t a b l e a u c i -dessous l e c a l c u l d e s

t e n s i o n s m a x i m a c'b e t a».

1 2 3 4 5 6

r M (j'b

Ta r R'b

Ta

10 0,089 0,45 116 52,1 1160 20 0,173 0,81 59,5 48,0 1190 30 0,253 0,98 40,7 40,0 1220 40 0,310 33,2 33,2 1330

L e s c o l o n n e s 2 e t 3 s o n t d é d u i t e s d e l ' a b a q u e I . L e s t r o i s d e r n i è r e s c o l o n n e s s o n t e x p r i m é e s e n k g / c m ^ .

M L a c o l o n n e 4 s ' o b t i e n t e n d i v i s a n t 10,3 r e p r é s e n t a n t p a r la

b h ^ c o l o n n e 2. L a c o l o n n e 5 es t le p r o d u i t d e s c o l o n n e s 3 e t 4. L a c o l o n n e 6 est le p r o d u i t des c o l o n n e s 1 e t 4.

L e s v a l e u r s d e R'b, a'b e t (Ta s o n t p o r t é e s e n d i a g r a m m e à la f i g u r e 8. Les v a l e u r s c r o i s s a n t e s d e r c o r r e s p o n d e n t , p o u r u n a c i e r d o n n é , à u n e q u a l i t é p l u s m é d i o c r e d u b é t o n . O n c o n s t a t e q u e la t e n s i o n m a x i m u m d u b é t o n , t o u t e s choses éga l e s d ' a i l l e u r s , c r o î t l é g è r e m e n t q u a n d sa q u a l i t é a u g m e n t e , ce q u i s ' e x p l i q u e p a r l e f a i t q u e le d i a g r a m m e des t e n s i o n s se r a p p r o c h e d e la lo i t r i a n g u l a i r e . S i m u l t a n é m e n t la t e n s i o n d e t r a c t i o n d a n s l ' a c i e r d i m i n u e f a i b l e m e n t p a r s u i t e d e l ' a u g m e n t a t i o n d u b r a s d e l e v i e r d u c o u p l e des f o r c e s é l a s t i q u e s .

D a n s l ' e x e m p l e c o n s i d é r é , a u d e l à d e r = 31, les c o u r b e s r e p r é s e n

t a t i v e s d e R'b e t d e a'b s o n t c o n f o n d u e s d u f a i t q u e l a t e n s i o n a d m i s s i b l e

es t a t t e i n t e e t q u e l ' o n p é n è t r e d a n s l a p h a s e p l a s t i q u e .

13. — P O U R C E N T A G E C R I T I Q U E D ' A R M A T U R E .

N o u s a v o n s v u q u e les m é t h o d e s d u d e u x i è m e g r o u p e c o n d u i s e n t à u n g r o u p e d e d e u x f o r m u l e s , l ' u n e se r a t t a c h a n t à l a t e n s i o n a d m i s s i b l e d e l ' a c i e r , l ' a u t r e à la t e n s i o n a d m i s s i b l e d u b é t o n . Ces m é t h o d e s i n t r o -

— 2 3 —

d u i s e n t l a n o t i o n d e p o u r c e n t a g e c r i t i q u e V.„ p o u r c e n t a g e p o u r l e q u e l l es d e u x f o r m u l e s d o n n e n t l e m ê m e m o m e n t f l é c h i s s a n t . C e t t e v a l e u r c o r r e s p o n d à l a m e i l l e u r e u t i l i s a t i o n d e s d e u x m a t é r i a u x e n p r é s e n c e , p u i s q u e les d e u x t e n s i o n s a d m i s s i b l e s s o n t a t t e i n t e s s i m u l t a n é m e n t . L a v a l e u r Xc d é p e n d é v i d e m m e n t d u r a p p o r t r de s t e n s i o n s a d m i s s i b l e s e t

n o u s r e p r o d u i s o n s à l a f i g u r e 9 l es c o u r b e s r e l a t i v e s à la m é t h o d e r é g l e m e n t a i r e e t à l a m é t h o d e d e v o n E m p e r g e r , a i n s i q u e l a c o u r b e

e x p é r i m e n t a l e i n d i q u é e p a r M . M o e n a e r t .

D a n s l a m é t h o d e ''° q u e n o u s a v o n s e x p o s é e ,

n n e n o t i o n a n a l o g u e

e x i s t e à l a f r o n t i è r e d e s p h a s e s é l a s t i q u e e t p l a s - j „

t i q u e . N o u s a p p e l l e r o n s ^ p o u r c e n t a g e c r i t i q u e l a ^ v a l e u r d e Xc q u i , p o u r i u n r a p p o r t r d o n n é , cor - 1 r e s p o n d à l a c o u r b e

j 'b /R 'b = 1 d e l ' a b a q u e I . C e t t e f o n c t i o n e s t dess i n é e à l a f i g u r e 9 e t n o u s c o n s t a t o n s q u e l a 'o n o t i o n d e p o u r c e n t a g e c r i t i q u e , t e l l e q u e n o u s

1 1 1-,.. . ° <"•' '"^ °" v e n o n s d e l a d é f i n i r , m~Xor

c o n c o r d e a v e c c e l l e q u i a p p a r t i e n t a u x m é t h o d e s d u d e u x i è m e g r o u p e .

14. — C O M P A R A I S O N A V E C Q U E L Q U E S A U T R E S F O R M U L E S .

N o u s a v o n s r e p r o d u i t à l a f i g u r e 10 ( p a g e 2 1 ) les c o u r b e s d o n n a n t M / b h ^ R 'b e n f o n c t i o n d e X p o u r r = 15 e t r = 30, a f i n d e l es c o m p a r e r

a v e c l e s c o u r b e s r e p r é s e n t a t i v e s d e l a m ê m e f o n c t i o n c a l c u l é e s u i v a n t

d ' a u t r e s f o r m u l e s , à s a v o i r :

— la f o r m u l e d e R o s e t d e B i t t n e r , c o n s i d é r é e c o m m e e x e m p l e d e s

m é t h o d e s d e c a l c u l d u p r e m i e r g r o u p e ;

— la f o r m u l e d e v o n E m p e r g e r , c o r r e s p o n d a n t à l a r u p t u r e p a r i n s u f f i s a n c e d u b é t o n ;

— la m é t h o d e c l a s s i q u e b a s é e s u r m = 15, c o r r e s p o n d a n t à l a r u p t u r e p a r i n s u f f i s a n c e d u b é t o n ;

— 2 4 —

— la m ê m e m é t h o d e c l a s s i q u e a p p l i q u é e e n m a j o r a n t de 30 % la t e n s i o n a d m i s s i b l e d u b é t o n s u i v a n t la p r o p o s i t i o n d e M . M o e n a e r t .

N o u s avons , e n o u t r e , h a c h u r é la z o n e e x p é r i m e n t a l e d é d u i t e d u

d é p o u i l l e m e n t q u e M . M o e n a e r t a f a i t d e s 183 essais e f f e c t u é s d a n s

10 l a b o r a t o i r e s d i f f é r e n t s .

L ' e x a m e n d e la f i g u r e 10 m o n t r e t o u t d ' a b o r d q u e la d i s p e r s i o n des r é s u l t a t s e x p é r i m e n t a u x est é n o r m e e t q u ' i l es t a b s u r d e d e r e c h e r c h e r

u n e f o r m u l e a y a n t la p r é t e n t i o n d ' ê t r e t ou j o u r s e x a c t e à 10 % p r è s . I l m o n t r e éga le m e n t q u e les f o r m u l e s d u p r e m i e r g r o u p e , dit e s « c a l c u l à l a r u p t u r e » c o n d u i s e n t à d e u x i n t e r p r é t a t i o n s d i f f é r e n t e s , s e l o n q u e l ' o n c o n s i d è r e l e coef f i c i e n t d e s é c u r i t é 2 a f f e c t é à Rgi o u l e c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é 4 a f f e c t é à R'br- L e s f i g u r e s 11 ( c i - c o n t r e ) et 12 ( v o i r p a g e s u i v a n t e ) d o n n e n t les m o -

• X m e n t s a d m i s s i b l e s , t e l s q u ' i l s r é s u l t e n t d e s z o n e s e x p é r i m e n t a l e s d e M . M o e n a e r t c o r r e s p o n d a n t à l a r u p t u r e p a r i n s u f f i s a n c e d ' a c i e r a v e c u n c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é éga l

à 2 e t à l a r u p t u r e p a r i n s u f f i s a n c e d u b é t o n a v e c u n c o e f f i c i e n t éga l

à 4 ,e t e l l e s y s u p e r p o s e n t les c o u r b e s r e p r é s e n t a t i v e s d e la m é t h o d e

p r o p o s é e . O n r e m a r q u e qvie ces c o u r b e s se s i t u e n t d ' u n e f a ç o n t r è s sat is

f a i s a n t e p a r r a p p o r t à la z o n e h a c h u r é e e t d o n n e n t u n e p r é c i s i o n auss i

b o n n e q u e les m e i l l e u r e s des m é t h o d e s c o n n u e s t o u t e n é t a n t d ' u n e

j u s t i f i c a t i o n p l u s r a t i o n n e l l e e t p l u s s i m p l e .

P o u r la f i g u r e 11 — r u p t u r e p a r i n s u f f i s a n c e d ' a c i e r — la c o u r b e

t h é o r i q u e est assez v o i s i n e d e la l i m i t e i n f é r i e u r e d e l a z o n e e x p é r i

m e n t a l e ; p a r la f i g u r e 12 — r u p t u r e p a r i n s u f f i s a n c e d u b é t o n — les

c o u r b e s t h é o r i q u e s c h e v a u c h e n t a u c o n t r a i r e la l i m i t e s u p é r i e u r e d e la

— 25 —

z o n e e x p é r i m e n t a l e . C e t t e d i f f é r e n c e , q u i p a r a î t p a r a d o x a l e , se j u s t i f i e p a r le f a i t q u e les c o e f f i c i e n t s d e s é c u r i t é a p p l i q u é s à l ' a c i e r e t a u b é t o n n e son t pas les m ê m e s .

15. — C O M P A R A I S O N A V E C L ' E X P E R I E N C E .

P o u r p o u v o i r se f a i r e u n e o p i n i o n c o m p l è t e s u r la v a l e u r d ' u n e f o r m u l e d e c a l c u l , i l n e s u f f i t p a s d e la c o m p a r e r avec d ' a u t r e s f o r m u l e s , m a i s i l est e n c o r e n é c e s s a i r e d e l ' a p p l i q u e r à u n g r a n d n o m b r e d e cas , a f i n d e se r e n d r e c o m p t e d e la s é c u r i t é e f f e c t i v e à l a q u e l l e e l l e c o n d u i t . C e t e x a m e n est p a r t i c u l i è r e m e n t n é c e s s a i r e i c i p a r s u i t e d e la c o m p l i c a t i o n r é s u l t a n t des c o e f f i c i e n t s d e s é c u r i t é d i f f é r e n t s . I l i m p o r t e d o n c d e c o m p a r e r , p o u r u n e n s e m b l e d 'essa is auss i vas te q u e p o s s i b l e , les m o m e n t s d e r u p t u r e m e s u r é s e n l a b o r a t o i r e avec les m o m e n t s a d m i s s i b l e s t h é o r i q u e s a f i n d e c o n n a î t r e le c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é r é e l d e la p i è c e q u e l ' o n ca l cu l e .

C 'es t c e q u e n o u s avons f a i t e n c o n s i d é r a n t 142 essais. P o u r c h a c u n d ' e u x , c o n n a i s s a n t les v a l e u r s d e X e t d e r , n o u s a v o n s dét e r m i n é la f o n c t i o n M / b h 2 R ' b a u m o y e n

d e 1 a b a q u e 1, ce q u i — \ n o u s a d o n n é l e m o m e n t a d m i s s i b l e M. E n c o m p a r a n t c e m o m e n t a v e c le m o m e n t d e r u p t u r e M,-, m e s u r é e x p é r i m e n t a l e m e n t , n o u s o b t e n o n s l e c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é e f f e c t i f S vis-à-vis d e la r u p t u r e .

P o u r c h a c u n d e s e x p é r i m e n t a t e u r s a u x q u e l s n o u s n o u s s o m m e s r é f é r é s , n o u s a v o n s é t a b l i le d i a g r a m m e des c o e f f i c i e n t s d e s é c u r i t é S e n f o n c t i o n d u p r o d u i t X r . Novis d o n n o n s le t a b l e a u c o m p l e t des c a l c u l s e t les d i a g r a m m e s c o r r e s p o n d a n t s ( f ig . 13 à 17 ) . N o u s a v o n s c h a q u e f o i s a j o u t é la d r o i t e m o y e n n e t r a d u i s a n t le m i e u x p o s s i b l e l ' e n s e m b l e d e s r é s u l t a t s .

— 2 6 —

bu

1

I-

—\ * • •

\ • tQ.H — tQ.H —

1 1 yç/s -

—^ . + - / yç/s --*• 3

yç/s -

^ •-t

+

4 +

4

+

+ — 1 + •

+

7 -•r- t- i 1

- f t + K , + *̂—

1 , 1+ •(-

•

* H 4 — 1 1 1 1 —

f 1 1

1 1 r 0 jôo /oo /5o ^ 2 oc /" Â Z-^

— 2 7 —

N» b h X R'b Ra

cm cm % kg/cm2 kg/cm2

M

bh2RV M Mr S Xr

Kgm Kgm CL /c

232 665 2,86 37,4 ,221 764 3,45 48,1 244 800 3,28 31,7 284 830 2,92 16,5 222 800 3,60 35,4 233 835 3,58 36,7 255 835 3,27 22.0 260 890 3,42 13,7 334 1210 3,62 69,0 430 1400 3,25 59,2 320 1340 4,19 81,2 441 1340 3,04 51,7 282 1220 4,33 83,8 414 1320 3,19 56,0 537 1520 2,83 41,7 494 1365 2,76 41,4 573 1450 2,53 22,1 153 530 3.46 212,5 385 1460 3,84 84,6 439 1651 3,76 74,0 277 1240 4,47 117,6 544 1930 3,55 51,7 622 1860 2,99 45,1 656 2050 3,12 26,8 641 1930 3,01 31,8

321 1128 3,51 11,1 317 1128 3,56 8,3 559 1860 2,97 20,4 562 1970 3,50 12,6 440 1680 3,82 12,4 450 1730 3,85 9,9 604 2030 3,36 19,9 628 2140 3,41 12,5 912 2960 3,25 46,9 962 3480 3,62 40,7 845 2900 3,43 28,6 855 3080 3,60 15,5 925 3140 3,39 66,8

1275 3860 3,03 24,5 i loi) o / JU OJ,D 1860 5740 3,08 33,2 1300 4250 3,27 63,8 1695 5540 3,27 29,1 1220 3680 3,01 77,8 1750 5000 2,86 44,9 1175 5100 4,33 120,0 2460 7050 2,86 49,2 1280 4750 3,71 100,6 2400 7000 2,92 43,0

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 I I 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

10

20

Essais de M. Glanvil le (1) . 15,9 0,70

20

1,25

1,96

0,34

0,69

1,54

2,30

32,2 25,0 38,0 72,8 32,0 32,8 54,8 88,3 33,8 46,0 31,8 50,0 28,0 45,5 69,0 63,8

126,8 15,2 38,2 43,8 27,5 62,5 76,2

120,5 101,5

1720 >

1620 1720

1870 2185 2065

1875 2040 2300 2110 2245 1650

1750 1650

53,4 68,7 45,2 23,6 50,6 52,4 31,4 19,5 55,3 47,4 65,0 41,3 67,0 44,8 33,3 33,1 17,7

108,5 43,2 37,7 60,0 26,4 23,0 13,7 16,2

0,286 0,335 0,255 0,155 0,276 0,282 0,185 0,117 0,392 0,372 0,400 0,350 0.400 0,362 0,309 0,308 0,180 0,400 0,400 0,397 0,400 0,346 0,324 0,216 0,251

40,5 54,2 38,8 62,8 50,5 63,8 45,8 72,8 34,2 39,5 44,5 82,3 29,8 81,2 35,5 89,5 42,2 92,2 38,2 66,3 36,8 90,0 40,0 93,3

Essais de Gebauer (1).

1320

2325

1850 »

1320

2325

1850

1290 »

1925 »

1745 »

1290

1925 »

1745

32,6 24,3 60,0 37,0 36,6 29,0 28,8 18,1 68,0 59,0 41,5 22,4 43,3 15,9 54,2 21,5 41,4 18,9 33,8 19,5 52,2 21,4 43,6 18,7

0,099 0,073 0,180 0,112 0,109 0,088 0,165 0,108 0,334 0,305 0,237 0,130 0,388 0,196 0,400 0,260 0,385 0,230 0,400 0,330 0,400 0,342 0,400 0,322

(1) Voir A. Guerrin. La f l e x i o n dans les pièces en béton armé.

N o

50 10 17,4 51 » » 52 » » 53 » » 54 » » 55 » » 56 » » 57 » » 58 » » 59 » » 60 » » 61 « » 62 » » 63 » » 64 » » 65 » » 66 » » 67 » » 68 » » 69 » » 70 » » 71 » » 72 » » 73 » » 74 » » 75 » » 76 » » 77 » » 78 » » 79 » » 80 » » 81 » »

— 2 8 —

M A R ' b K r M Mr

% kg/cni2 kg/(*in2 kgm kgm %

Essais de M, Blévot (1) . 0,34 71 8 2385 33 2 0 1 nn 222 865 3,90 11,20 0,36 71 8 2485 34 6 n 111

u, 111 240 925 3.86 12,45

0,37 i J,U ^ ( o u 0 0 , 0 n 19n 272 1855 6,82 13,30 0,50 70 « n 1 ij. 275 1045 3,81 13,15

» » 1105 4,02 » » » 1105 4,02 »

0,51 fin 97^n ^4 9 n T^n U,l DU

364 1305 3,58 17,45 0,55 79 lO i u 1 S 0

10,7 n no^ 208 625 3,00 10,40

» 07 ^ 109"̂ 10 7 282 925 3,28 10,85 0,66 71 Q / l , o 352 1345 3,82 20,00 0,73 71 P ^1 n

5 l,U n 1QA 412 1465 3,56 22,60

0,87 yu,u l o , o U,1UU 272 1025 3,77 11,60 0,87 yu,U ZUUU 00 0 n 1 ^1 437 1585 3,63 19,30 0,95 /,i,U 0 0 , 0 n 9 7 0 617 2295 3,72 34,80 0,96 71 Q i l , o 01,4- 526 1945 3,70 30,20 1,17 / i oU A "ïnn 730 2065 2,83 40,00 1,19 71,8 2500 34,8 0,305 661 2455 3,72 41,40 1,37 9o!o 1200 13^3 o!l52 414 1645 3,98 18,20 1,37 90,0 2000 22,2 0,243 640 2185 3,41 30,40 1,60 75,0 2750 36,6 0,369 835 2125 2,54 58,6 1,84 74,5 1330 17,8 0,257 577 1855 3,22 32,8 1,84 70,0 1940 27,7 0,348 736 2485 3,38 51,0 2,00 64,0 2750 43,0 0,400 772 2875 3,73 86,0 2,10 64,0 2750 43,0 0,400 773 1945 2,52 90,4 2,24 70,0 1400 20,0 0,330 696 2065 2,96 44.8 2,54 71,5 1900 26,6 0,388 839 2985 3,56 67.5 2,70 72,5 2750 38,0 0,400 875 2185 2,50 102,4 3,00 74,5 1455 19.5 0,374 840 2745 3,27 58,5 3,00 70.0 1900 27,1 0.400 845 3085 3.65 81,3 3,08 90,0 1200 13.3 0,313 850 2760 3,24 41,0 3,08 90,0 2000 22,2 0,392 1065 3870 3,64 68,4 3,40 72,5 2750 38,0 0,400 875 1945 2,22 129,0

Essais de Griffel (2). 82 20 42 0,64 73 2100 28,8 0,155 3990 10100 2,52 18,4 83 » 0,64 75 2100 28,0 0.152 4020 10100 2.50 17,9 84 » » 0,64 78 2100 26,9 0,147 4040 10100 2,54 17,2 85 » 0,96 73 1335 18,3 0,145 3740 9450 2,52 17,6 86 0,96 75 1335 17,8 0,142 3760 9400 2,50 17,1 87 » » 0,96 78 1335 17,1 0,138 3800 9610 2,53 16,4

Essais de Evans (3) . 88 13.0 22,2 3,50 64,4 1330 20,7 0,397 1630 4730 2,90 72,5 89 13.5 22,4 3,36 95,5 3220 33,8 0,400 2590 8060 3,11 113,0 90 12,3 22,5 3,65 73,7 3220 43,7 0,400 1830 5150 2,81 159,5 91 13,3 23,8 2,70 46,2 3290 71,2 0,400 1395 4040 2,90 192,0 92 13.5 23,4 0,83 89,3 1330 14,9 0,106 700 1680 2,40 12,4 93 13,0 23,0 1,90 108,2 1330 12,3 0,191 1420 3305 2,32 23,4

(1) Résultats publiés dans les Annales de l'Institut Technique du Bâtiment et des Travaux Publics, de mars-avril 1937, et reproduits dans l'ouvrage de M. Guerrin.

(2) V o i r Béton und Eisen, du 20 mai 1938. Vcrgleichsversuche mit Rundeisen — und Griffelstahl — bewerkten Eisenbetonbalken.

(3) Voir Journal of the Institute of Civil Engineers, n° 21, décembre 1943. The plastic théories for the Ultimate strength of rcinforced concrète beams.

— 2 9 —

M TVTn b h R'b Ru r IVI Mr c 3

cm cm % kg/cm - k g / c m 2 kgm kgm %

Essais de Evans (Suite) . 94 12 7 22,2 1,79 73,7 1330 18,1 0,258 1190 2900 2.44 32,4 95 10,2 12,4 2,28 46,3 1330 28,7 0,386 281 735 2,62 65,5 96 10,4 12,3 4,55 46,3 1330 28,7 0,400 292 876 3,00 130,0 97 12 9 23,2 1,90 57,4 3226 56,0 0,400 1590 4690 2 94 106,4 98 12,9 23,2 1,90 103,0 3220 31,2 0,373 2665 6980 2,62 59,0 99 12,9 23,8 0,83 76,1 1330 17,5 0,124 689 1935 2,81 14,5

100 12 7 23 8 0,84 102,9 1330 12,9 0,093 688 1818 2,64 10,8 101 12 9 22 9 2 75 64,5 3220 50,0 0,400 1740 5070 2 91 137,5 102 13 0 23 6 5 07 80,6 3290 40,8 0,400 2335 6640 2,84 206,0 103 12 8 23 5 6 73 113,2 3270 34,6 0,400 3200 9690 3,02 233,0 104 13 1 23 5 6 an 87,3 2360 27,0 0,400 2520 7520 2,98 178,0 105 12 8 23 5 1 68 46,6 2350 50,5 0,400 1320 3880 2,94 85,0 106 13 3 ^0,0 'i 97 0,^ l 44,4 1350 30,4 0,400 1285 3860 o,uu 107 9^ n fi ÏÏ7 111,2 3310 29,8 0,400 3030 9040 2 98 205 0 108 13 2 99 7 o,oo 54,5 2330 42,7 0,400 1482 4240 2 86 144 0 109 13 0 22 6 0,10 88,4 3310 37,4 0,400 2340 7460 3 18 193 0 110 19 fi 99 ^ 1 70

1, / y 52,2 2280 43,6 0,400 1332 3820 2 86 78 0

111 13 5 9*1 îl 1 7ÎÏ 1, t o 44,8 2290 51,2 0,400 1368 4180 3 06 91 0 112 13 2 23 4 1 fil 30,0 2280 76,0 0,400 867 3020 3 48 125 0 113 12 4 22 8 1 7ÎÏ 1, j o 32,0 1350 42,2 0,400 825 2420 2 93 75,0 114 13l6 23^8 1,56 27,0 2290 85,0 0,400 832 2870 3 4 5 133^0 115 13,3 23,5 1,24 36,4 3240 89,0 0,400 1070 3460 3,23 111,0 l l o ion 23,3 0,95 21,2 3310 156,0 0,400 oVo ZUoU 0.40 14o,U 117 1

10,J 9*1 R 1 7^ 101,0 3310 32,8 0,400 3085 8840 2 86 155,0

11R J1 o 10,J 9^ fi ^0,D fi '^'^ U,00

136,0 3290 24,2 0,400 4090 12600 3 08 153 0 119 13 4 9^ 7 ^0, J 1 7ft 126,0 3310 26,2 0,400 3790 11750 3 10 125,0 120 12 8 23 4 o,oo 64,8 1350 20,8 0,394 1785 5090 2,84 70,0 121 12 7 23 2 1 ^9 1,0^ 27,0 1330 49,2 0,385 711 2220 3,12 65*0 122 12 9 23 0 3 43 73,4 1350 18,4 0,384 1920 4980 2,61 63'o 123 12 9 23 0 3 43 92,5 1330 14,4 0,351 2040 5300 2,42 49.4 124 12 9 23 0 1 92 63,7 1350 21,2 0,311 1350 3130 2,32 40,7

Essais de M. Ros (1). 125 43 16,5 0,44 83,2 2245 27,0 0,105 1025 2570 2.52 11,9 126 0,44 63,5 2245 35,3 0,133 990 2650 2,68 15,3 127 0 45 76,2 2070 27,2 0,108 962 2840 2 95 12,2 128 0 45 49,0 2070 42,2 0,167 957 2920 3,05 19,0 129 0 64 82,8 1530 18,5 0,103 998 2560 2,57 11,8 130 0 64 65,6 1530 23,3 0,126 966 2600 2,68 14 9 131 0 87 77,8 2260 29,1 0,210 1910 4720 2 48 25 3 132 » 0,87 46,9 2260 48,2 0,304 1665 4560 2'74 42^0 133 0,89 63,8 1920 30,1 0,221 1650 4900 2,97 26,8 134 0,89 50,0 1920 38,4 0,270 1580 4560 2,89 34,2 135 » 1,42 87,2 1625 18,6 0,215 2195 5520 2,52 26,4 136 » 1,42 57,2 1625 28,4 0,304 2035 5600 2,75 40,4 137 1,79 75.0 2185 29,1 0,353 3100 8480 2,74 52,2 138 » 1,79 53,1 2185 41,1 0,398 2475 8240 3,33 73,5 139 » 1,79 80,3 1440 18,0 0,254 2390 6000 2,52 32,2 MO » » 1,79 44,7 1440 32.2 0,368 1925 5360 2,79 57,7 141 » 1,83 74,4 1985 26,7 0,340 2950 8800 2,98 49,0 142 » 1,83 65,3 1985 30,4 0,365 2780 8320 3,00 55,6

(1) Festigkeit und Verformung von auf Biegung beanspruchten Eisenbeton-Balken (EMPA, Bericht n' 141, Zurich, 1941).

— 30 —

T o u t e s les d r o i t e s m o y e n n e s o n t é t é r e p r i s e s à la f i g u r e 18 q u i const i t u e l ' a b o u t i s s e m e n t d e c e t t e c o n f r o n t a t i o n e t q u e n o u s c o m m e n t o n s c i -dessous :

a ) N o u s r e t r o u v o n s l a f o r t e d i s p e r s i o n q u e n o u s a v o n s d é j à s i g n a l é e e t q u i p r o v i e n t d e la n a t u r e m ê m e d u m a t é r i a u ;

b ) Les r é s u l t a t s d i f f é r e n t assez b i e n d ' u n e x p é r i m e n t a t e u r à l ' a u t r e a u p o i n t q u e les d r o i t e s m o y e n n e s , q u i s o n t a s c e n d a n t e s c h e z c e r t a i n s , s o n t d e s c e n d a n t e s c h e z les a u t r e s . Ces d i s c o r d a n c e s s o n t i n é v i t a b l e s ; e l l e s p e u v e n t r é s u l t e r d u m o d e d e f a b r i c a t i o n des é p r o u v e t t e s , d e l a m a n i è r e d o n t les c h a r g e s s o n t a p p h q u é e s , d e l a v i tesse avec l a q u e l l e les essais s o n t c o n d u i t s , e t d e b i e n d ' a u t r e s causes e n c o r e ;

c) L e s essais d o n n e n t t o u s vme s é c u r i t é s u p é r i e u r e à 2 e t l e u r m o y e n n e se t r a d u i t g r a p h i q u e m e n t p a r i m e h o r i z o n t a l e d o n t l ' o r d o n n é e est p r a t i q u e m e n t é g a l e à 3.

C e l a s i g n i f i e q u e l e c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é q u e l ' o n o b t i e n t e n a p p l i q u a n t la m é t h o d e p r o p o s é e n e d é p e n d p a s d e X r , c ' e s t - à -d i r e n i d u p o u r c e n t a g e d ' a r m a t u r e , n i d u r a p p o r t des r é s i s t ance s e t q u e p o u r u n g r a n d n o m b r e d ' e s sa i s i l a t t e i n t u n e v a l e u r m o y e n n e d e 3 a v e c i m m i n i m u m t o u j o u r s s u p é r i e u r à 2.

16. — R E S O L U T I O N D U C A S G E N E R A L ,

a ) Exposé de la méthode.

C'es t v o l o n t a i r e m e n t q u e , j u s q u ' i c i , n o u s avons l i m i t é n o t r e e x p o s é a u x s e c t i o n s r e c t a n g u l a i r e s , so l l i c i t ées p a r f l e x i o n s i m p l e e t a r m é e s e n t r a c t i o n s e u l e m e n t . N o u s n e c o n s i d é r e r o n s p r o v i s o i r e m e n t p a s les cas p a r t i c u l i e r s d e p o u t r e s d o u b l e m e n t a r m é e s o u d e p o u t r e s e n T , n i l a f l e x i o n c o m p o s é e d e s e c t i o n s r e c t a n g u l a i r e s , c i r c u l a i r e s o u a u t r e s . .

A f i n d e l i m i t e r la l o n g u e u r d e la p r é s e n t e n o t e , n o u s e x p o s e r o n s imi -q u e m e n t la m é t h o d e g é n é r a l e d e r é s o l u t i o n b a s é e s u r l es c o n c e p t i o n s q u e n o u s a v o n s d é f i n i e s p r é c é d e m m e n t .

So i t ( f i g u r e 19) u n e s e c t i o n e n b é t o n d e f o r m e q u e l c o n q u e symét r i q u e p a r r a p p o r t a u p l a n u — u . C e t t e s ec t i on c o m p o r t e u n e a r m a t u r e d e t r a c t i o n Qa = r é p a r t i e e n p l u s i e u r s n a p p e s e t u n e a r m a t u r e d e c o m p r e s s i o n Sw 'a é g a l e m e n t r é p a r t i e e n p l u s i e u r s n a p p e s .

N o u s c o n n a i s s o n s , d ' a u t r e p a r t , la q u a l i t é , r é e l l e o u p r o b a b l e des m a t é r i a u x , c ' e s t - à -d i r e les t e n s i o n s a d m i s s i b l e s Ra e t R'b- C o n n a i s s a n t

— 3 1 —

l ' e f f o r t l o n g i t u d i n a l N q u i e s t a p p l i q u é à la s ec t ion , o n d e m a n d e d e d é t e r m i n e r le m o m e n t f l é c h i s s a n t M q u ' e l l e p o u r r a s u p p o r t e r s a n s q u e les t e n s i o n s a d m i s s i b l e s n e s o i e n t dépas sées .

O n p r o c è d e p a r t â t o n n e m e n t s e n c h o i s i s s a n t à p r i o r i u n e pos i

t i o n d e l a f i b r e n e u t r e n -— n .

S o i e n t Vg e t V les d i s t a n c e s d e c e t t e f i b r e resp e c t i v e m e n t à l ' a r m a t u r e é t en d u e la p l u s é loi g n é e e t a u c e n t r e d e g r a v i t é d e l ' en s e m b l e des a r m a t u r e s é t e n d u e s .

O n p e u t i m m é d i a t e m e n t c a l c u l e r la t e n s i o n a d m i s s i b l e m o y e n n e Ram d e l ' a c i e r é t e n d u d e t e l l e f a ç o n q u e la t e n s i o n a d m i s s i b l e R» n e soi t d é p a s s é e d a n s a u c u n e b a r r e :

V Ram ^ R a

O n c o n n a î t d o n c a i n s i l e r a p p o r t des r é s i s t ance s r :

•Ram

~ R'b

L a r é s u l t a n t e N'b d e s c o m p r e s s i o n s d u b é t o n est é g a l e à :

. v ' N ' b = \ ' 'b b d y

Les v a l e u r s des t e n s i o n s a'b s o n t d o n n é e s p a r l ' a b a q u e I I , oii

(Tb

R'b

e t 5 = 2 m

— 3 2 -

L ' i n t é g r a l e p r é c é d e n t e p e u t , d a n s u n cas g é n é r a l , ê t r e r e m p l a c é e p a r u n e s o m m a t i o n d e q u a n t i t é s f i n i e s :

R\ S b Y) A y

L o r s q u e b est c o n s t a n t e n t r e les n i v e a u x yi e t y2, o n o b t i e n t d i r ec t e m e n t l a v a l e u r c o r r e s p o n d a n t e d e 'N\ à l ' a i d e d e la f o r m u l e s u i v a n t e :

2 m N 'b = R'b v b {<ù2 — tùi)

(ùo e t « i é t a n t d o n n é s e n f o n c t i o n d e y p a r le m ê m e a b a q u e .

L ' e f f o r t r e p r i s p a r l es ar-— — ~ ' m a t u r e s p l a c é e s d a n s la z o n e

c o m p r i m é e v a u t :

N ' a = S Q ' a . is\

Si v'a ^ Ve, o n p e u t é c r i r e :

V a

s'a = R a Ve

Si v'a > Vc, o n d o i t p r e n d r e

a'a = R a

c a r l ' a r m a t u r e a t t e i n t d a n s ce cas sa l i m i t e é l a s t i q u e a v a n t la r u p t u r e d e la p o u t r e .

L a r é s u l t a n t e g é n é r a l e des e f f o r t s l o n g i t u d i n a u x s ' é c r i t p a r conséq u e n t :

N ' = N 'b + N 'a . R a

L a p o s i t i o n d e la f i b r e n e u t r e n — n q u e l ' o n a c h o i s i e n e s e r a c o r r e c t e q u e si c e t t e r é s u l t a n t e est é g a l e à l ' e f f o r t l o n g i t u d i n a l ex té r i e u r N . I l s e r a d o n c n é c e s s a i r e d e t â t o n n e r j u s q u ' à ce q u ' o n a i t :

N ' = N

o u , d a n s le cas d e l a f l e x i o n s i m p l e ,

N ' = O

A y a n t a i n s i r e p é r é le n i v e a u e x a c t d e n — n , o n d é t e r m i n e le m o m e n t f l é c h i s s a n t a d m i s s i b l e e n a d d i t i o n n a n t les m o m e n t s s u i v a n t s c a l c u l é s p a r r a p p o r t à la f i b r e n e u t r e :

1) — moment des aciers étendus :

Ma = . Ram • V

— 33 —

2 ) — moment des aciers comprimés

M ' = S Q 'a V' 2 t a n t q u e v \ < Ve

M'a = Ra S Q'a v'a si v'a dépaSSC Vg.

3) — moment du béton comprimé :

M'b = a'b- b y d y

q u e l ' o n p e u t é c r i r e d a n s le cas g é n é r a l

2 m V

Si b es t c o n s t a n t e n t r e les n i v e a u x y i e t y2, o n a auss i

/ 2 m \ 2

R ' , j v 2 b ( S , Si )

les t e r m e s S2 e t Si é t a n t l ' ourn i s p a r l ' a b a q u e I I ci-c o n t r e .

O n p e u t d o n c é c r i r e :

M = Ma + M'a + M'b

b ) Exemple.

O n d o n n e l a s e c t i o n e n T , r e p r é s e n t é e à la f i g u r e 21, a r m é e e n t r a c t i o n d e 4 l i ts d e b a r r e s c o n t e n a n t c h a c u n 114 cm^ d ' a c i e r ; l ' a r m a t u

r e c o m p r i m é e est é g a l e à 4,5 c m - . Les t e n s i o n s a d m i s s ib l e s s o n t d e 65 k g / c m ^ p o u r le b é t o n c o m p r i m é e t d e 1250 k g / c m ^ p o u r l ' a c i e r . O n d e m a n d e l e m o m e n t f lé -

— V \ b r j Ç A y r o

10

o.3o o 6 0 > 3o-

4 .5<

r/ç.z/

h, 11-1 odî' cJci^

/

tic

— 3 4 —

c h i s s a n t q u e l a s e c t i o n p e u t s u p p o r t e r , e n l ' a b s e n c e d ' e f f o r t l o n g i

t u d i n a l .

N o u s a p p l i q u o n s l a m é t h o d e g é n é r a l e q u e n o u s v e n o n s d e d é c r i r e . A p r è s q u e l q u e s t â t o n n e m e n t s , q u e n o u s n e r e p r o d u i s o n s p a s ic i , o n

t r o u v e q u e l a p o s i t i o n d e l a f i b r e n e u t r e es t d é f i n i e p a r Ve = 105 c m ,

c e q u i d o n n e v = 9 3 c m e t v ' = 139 c m .

O n e n d é d u i t s u c c e s s i v e m e n t :

9 3 Ram — X 1 2 5 0 k g / c m 2 - 1 1 0 8 k g / W

1 0 5

1 1 0 8 r = = 1 7 , 0

6 5

1 3 9 1 7 8 9 1 7 • — = 0 , 8 4 6 e t = — • — = 0 , 5 4 1

9 3 3 0 9 3 3 0

« A = 0 , 5 1 2 SA = 0 , 2 8 0 e t UB = 0 , 2 4 0 SB = 0 , 0 8 5

3 0

N 'b = 6 5 — 9 3 ( 0 , 5 1 2 X 1 2 0 — 0 , 2 4 0 X 6 0 ) = 5 0 2 . 0 0 0 k g , 1 7

N ' a = 1 2 5 0 X 4 , 5 = 5 . 6 0 0 k g .

N a = — 1 1 0 8 X 4 5 6 = — 5 0 6 . 0 0 0 k g .

N = 1 . 7 0 0 k g .

N e s t d o n c p r a t i q u e m e n t n u l , c e q u i c o n f i r m e l a p o s i t i o n d e l a f i b r e n e u t r e .

L e m o m e n t f l é c h i s s a n t s ' o b t i e n t e n a d d i t i o n n a n t les t r o i s c o m p o s a n t e s :

/ 3 0 X 9 3 x 2 M ' b = 6 5 / \ ( 0 , 2 8 0 X 1 2 0 — 0 , 0 8 5 X 6 0 ) = 4 9 . 9 0 0 . 0 0 0 k g c m .

M'a — 1250 X 4,5 X 1 3 3 = 750 .000 k g c m .

M , = 1108 X 4 5 6 X 9 3 = 47 .000 .000 k g c m .

M = 97 .650 .000 k g c m .

— 35 —

L a s e c t i o n d o n n é e p e u t d o n c s u p p o r t e r , avec u n e s é c u r i t é n o r m a l e , u n m o m e n t d e 976,5 T m .

L ' a p p l i c a t i o n d e l a m é t h o d e c l a s s ique a u r a i t m o n t r é q u e l e p o u r c e n t a g e d ' a r m a t u r e s d é p a s s e le p o u r c e n t a g e c r i t i q u e e t a u r a i t c o n d u i t à i m m o m e n t a d m i s s i b l e d e 794 T m , so i t les 0,815 d e la v a l e u r p r é c é d e n t e .

17. _ C O N C L U S I O N S .

a ) L a m é t h o d e c l a s s i q u e c o n d u i t à u n m o m e n t f l é c h i s s a n t q u i p r é s e n t e u n c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é excessif p a r r a p p o r t a u m o m e n t d e •

r u p t u r e p a r i n s u f f i s a n c e d u b é t o n .

b ) D e n o m b r e u s e s m é t h o d e s o n t é t é p r o p o s é e s p o u r c o r r i g e r ce t é c a r t , les u n e s i n t r o d u i s a n t les v a l e u r s des t e n s i o n s d e r u p t u r e , les a u t r e s ce l les d e s t e n s i o n s a d m i s s i b l e s des m a t é r i a u x ; c e r t a i n e s d ' e n t r e e l les t i e n n e n t c o m p t e d u r a p p o r t m des m o d u l e s d ' é l a s t i c i t é .

c) Q u e l q u e s m é t h o d e s f o n t a p p e l à des a r t i f i c e s d e r a i s o n n e m e n t q u i s ' é c a r t e n t c o m p l è t e m e n t d e la r é a l i t é des p h é n o m è n e s .

d ) L ' e x a m e n d ' u n g r a n d n o m b r e d 'essa i s d e l a b o r a t o i r e m o n t r e q u e la d i s p e r s i o n d e s r é s u l t a t s es t t r è s g r a n d e e t i l e s t i m p o s s i b l e d e concev o i r u n e f o r m u l e a y a n t u n e p r é c i s i o n m a t h é m a t i q u e p o u r le c a l c u l d e s s ec t i ons e n b é t o n a r m é .

e ) I l est d é s i r a b l e q u e la f o r m u l e u t i l i s é e p o u r l e c a l c u l d o n n e e n m o y e n n e la m ê m e s é c u r i t é p a r r a p p o r t à la r u p t u r e q u e l s q u e s o i e n t le p o u r c e n t a g e d ' a r m a t u r e s e t les q u a l i t é s d u b é t o n e t d e l ' ac ie r .

f ) J u s q u ' à p r é s e n t , c h a q u e f o r m u l e a é t é é t a b l i e e n s u p p o s a n t q u e le d i a g r a m m e d e s t e n s i o n s s u r b é t o n a v a i t u n e f o r m e i n v a r i a b l e .

g) L ' u t i h s a t i o n d e c o e f f i c i e n t s d e s é c u r i t é d i f f é r e n t s p o u r l e b é t o n e t p o u r l ' a c i e r c o m p l i q u e la d é t e r m i n a t i o n t h é o r i q u e d u c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é d e la p i è c e e n b é t o n a r m é .

h ) L a m é t h o d e p r o p o s é e s u p p o s e q u e le d i a g r a m m e des t e n s i o n s s u r b é t o n est v a r i a b l e e t q u ' i l s ' é t e n d d e la f o r m e t r i a n g u l a i r e p o u r les p i è c e s t r è s p e u a r m é e s à la f o r m e r e c t a n g u l a i r e p o u r les p i èces a r m é e s à l ' excès , e n p a s s a n t p a r la f o r m e p a r a b o l i q u e .

i ) L a m é t h o d e p r o p o s é e s c i n d e le c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é a p p l i q u é a u b é t o n e t i n t r o d u i t la n o t i o n d e « r é s i s t a n c e p o s s i b l e » d e ce lu i -c i , vis-à-vîs d e l a q u e l l e o n p r e n d la m ê m e s é c u r i t é q u e p o u r l ' a c i e r .

— 36 —

j ) P o u r les p i èce s t r è s p e u a r m é e s , la m é t h o d e p r o p o s é e se c o n f o n d avec la m é t h o d e c l a s s i q u e .

k ) L a c o m p a r a i s o n d e s r é s u l t a t s o b t e n u s p a r l a m é t h o d e p r o p o s é e avec c e u x q u i o n t é t é t r o u v é s e x p é r i m e n t a l e m e n t m o n t r e q u e l e coe f f i c i e n t d e s é c u r i t é m o y e n vis-à-vis d e la r u p t u r e est c o n s t a n t e t n e d é p e n d n i d u p o u r c e n t a g e d ' a c i e r , n i d u r a p p o r t d e s r é s i s t a n c e s des m a t é r i a u x associés .

SAMENVATTING :

Enkele beschouwingen aangaande de berekening van het gewapend béton

tegen enkelvoudige doorbuiging.

De studie van de weerstand van het gewapend béton tegen doorbuiging heejt reeds het voorwerp uitgemaakt van talrijke publicaties, en menigvuldige berekeningsmethcdcs wcrden hierbij voorgesteld.

Een vergelijkende analyse van deze méthodes werd in België uitge-voerd door de heer P. Moenaert en in Frankrijk door de heer A. Guerrin.

Over 'f algemeen beschouwd, voeren deze méthodes : — hetzij tôt een formule van de vorm :

M , - R ' b . . b h 2 X ;A (1 — KX [A)

loaarin X het wapeningspercentage voorstelt, [). de verhouding Ra/R\r en K een coëfficient waarvan de waarde, volgens de auteurs, schommelt tussen 0,5 en 0,67;

— hetzij tôt een dubbele formule van de vorm :

M ^ R a b h 2 X (1 ) e n M ^ R'b b h ^ a ( 1 ) Kl Kj

— 3 7 —

welke de waarde beperkt van het toelaathaar moment, im functie van de

Vit de vergelijking van de volgens deze miethode berekende waarden met de resultaten van laboratoriumproeven, blijkt dat de waarde van het toelaatbaar moment, uitgedrukt in functie van R'b, eera overdreven veiligheidscoëfficient behelst, welke deze vastgesteld bij de breuk door ontoereikendheid aan staal aanzienlijk te boven gaat.

De heer Moenaert stelde voor de toelaatbare spanningen voor het béton, in de berekeningen met 30 % te verhogen. Steller is echter van oordeel dat de aanwending, zonder meer, van een dergelijke verho-gingscoëfficient een empirische oplossing uitmaakt en dient venvorpen.

De definitie van de veiligheidscoëfficient bij gewapend béton stuit op grote moeilijkheden, omdat deze coefficient afhangt van twee mate-rialen met uiterst verschillende eigenschappen en voor dewelke de opgelegde veiligheidscoëfficienten geenszins de zelfde zijn.

Aile tôt nu toe gekende formules berusten op de veronderstelling dat het spanningsdiagram in het béton een onveranderlijke vorm ver-toont bij de breuk. De door steller uiteengezette méthode veronderstelt, daarentegen, dat de vorm van het spanningsdiagram, op het ogenblik van de breuk, afhangt van het staalpercentage en dat hij wisselt van de driehoeksvorm voor zeer weinig bewapende elementen, tôt de recht-hoekige vorm voor overvloedig bewapende elementen, met de daartussen liggende parabolische vorm, zoals aangeduid op figuur 6.

De voorgestelde méthode splitst, daarenboven, de op het béton toe-gepaste veiligheidscoëfficient in een eerste coëfficient, rekening houdend met de onbepaaldheid van de belastingen welke op de constructie inwer-ken, alsmede met de secundaire invloeden, — zoals dynamische of her-haalde sollicitaties, — en in een tweede coëfficient, rekening houdend met de mogelijke tekortkomingen in de kwaliteit van het materiaal.

Dit komt er op neer, voor het béton een minimum breukweerstand te beschouwen, waarop dan de zelfde veiligheidscoëfficient wordt toe-gepast als voor het staal, hetgeen het probleem aanzienlijk vergemak-

tœlaatbare spanningen in het staal en in het béton.

De klassieke méthode voert tôt de dubbele formule :

e n

kelijkt.

— 3 8 —

Voor licht bewapende stukken, stemt de voorgestelde méthode vol-komen overeen met de klassieke méthode.

De vergelijking tussen de resultaten verkregen door de voorgestelde méthode met deze opgeleverd door 142 proeven, die door verschillende auteurs werden uitgevoerd, toont aan dut de gemiddelde veiligheids-coefficient ten opzichte van de breuk constant is en geenszins afhangt, noch van het staalpercentage, noch van de verhouding tussen de respec-tieve weerstanden van de samenstellende materialen.

CONSIDÉRATIONS SUR LE CALCUL DU BÉTON ARMÉ A LA …

Documents

Transcript of CONSIDÉRATIONS SUR LE CALCUL DU BÉTON ARMÉ A LA …