Conjuntos numéricos mari

CONJUNTOS

CONJUNTOS NUMÉRICOS

1. Conjunto dos números naturais –

É o conjunto = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }.

É o conjunto = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }Um subconjunto importante do conjunto dos números naturais é o conjunto dos números naturais não nulos, ou seja, exclui-se o zero do conjunto dos números naturais.

É o conjunto = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }Um subconjunto importante do conjunto dos números naturais é o conjunto dos números naturais não nulos, ou seja, exclui-se o zero do conjunto dos números naturais.Para representar que o zero foi excluído do conjunto, colocamos um asterisco ao lado direito do símbolo do conjunto, como se fosse um expoente deste.

Assim, a representação fica: * = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }

Observe que ao lado direito são colocadas reticências para indicar que sempre é possível colocar um número a mais nessa sequência. Tal representação indica que o conjunto é infinito.

Podemos também falar dos conceitos de antecessor e de sucessor de um número.

Todo número natural, inclusive o zero, tem um sucessor, que é o número que vem imediatamente depois do número em questão.

Todo número natural, inclusive o zero, tem um sucessor, que é o número que vem imediatamente depois do número em questão.Assim:• o sucessor do número 0 é o

número 1;• o sucessor do número 3 é o

número 4;• o sucessor do número “n” é o

número “n + 1”.

Todo número natural, inclusive o zero, tem um sucessor, que é o número que vem imediatamente depois do número em questão.Assim:• o sucessor do número 0 é o

número 1;• o sucessor do número 3 é o

número 4;• o sucessor do número “n” é o

número “n + 1”.

Todo número natural, com exceção do número zero, tem um antecessor, que é o número que vem imediatamente antes do número em questão. Portanto:• o antecessor do número 1 é o

número 0;• o antecessor do número 3 é o

número 2;• o antecessor do número “n” é o

número “n - 1”.Não se esqueça de que o número zero não possui antecessor.

Podemos considerar o conjunto dos números naturais ordenados associados a pontos sobre uma reta orientada.

Podemos considerar o conjunto dos números naturais ordenados associados a pontos sobre uma reta orientada.Dessa forma, teremos a seguinte representação gráfica:

2. Conjunto dos números naturais – Observação:A letra “ ” utilizada para representar o conjunto dos números inteiros provém da palavra alemã “Zahl”, que significa número ou algarismo.

2. Conjunto dos números naturais – O conjunto dos números inteiros é uma ampliação do conjunto dos número naturais, com a junção dos números opostos aos números positivos.

2. Conjunto dos números naturais – O conjunto dos números inteiros é uma ampliação do conjunto dos número naturais, com a junção dos números opostos aos números positivos.Os números opostos são aqueles que estão à mesma distância do zero, na representação gráfica, um para o lado direito e outro para o lado esquerdo do número zero.

Assim:

1 e – 1 são números opostos.

Assim:

Portanto:

• os números inteiros 1 e – 1 são opostos;

• os números inteiros “n” e “– n” são opostos.

Portanto:

• os números inteiros “n” e “– n” são opostos.

Dessa maneira, podemos representar o conjunto dos números inteiros como: = { ... , – 4 , – 3 , – 2 , – 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... }

Dessa maneira, podemos representar o conjunto dos números inteiros como: = { ... , – 4 , – 3 , – 2 , – 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... }Observe que os números negativos, obrigatoriamente, são acompanhados do sinal negativo à sua frente.

Dessa maneira, podemos representar o conjunto dos números inteiros como: = { ... , – 4 , – 3 , – 2 , – 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... }Observe que os números negativos, obrigatoriamente, são acompanhados do sinal negativo à sua frente.Já os números positivos podem ser acompanhados do sinal positivo ou podem vir sem sinal nenhum.

Subconjuntos do conjunto dos números inteirosa) Se retirarmos o número zero do conjunto dos números inteiros, teremos o conjunto dos números inteiros não nulos.

Subconjuntos do conjunto dos números inteiros

A representação é feita colocando-se um asterisco ao lado do símbolo do conjunto, como se fosse um expoente. Observe:

a) Se retirarmos o número zero do conjunto dos números inteiros, teremos o conjunto dos números inteiros não nulos.

* = { ... , – 4 , – 3 , – 2 , – 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... }

Subconjuntos do conjunto dos números inteirosb) Se retirarmos os números positivos, teremos o conjunto dos números inteiros não positivos.

A representação desse conjunto é o símbolo do conjunto acompanhado de um sinal negativo como índice.

Subconjuntos do conjunto dos números inteirosb) Se retirarmos os números positivos, teremos o conjunto dos números inteiros não positivos.

– = { 0 , – 1 , – 2 , – 3 , – 4 , – 5 , ...}

b) Se retirarmos os números positivos, teremos o conjunto dos números inteiros não positivos.

– = { 0 , – 1 , – 2 , – 3 , – 4 , – 5 , ...}

b) Se retirarmos os números positivos, teremos o conjunto dos números inteiros não positivos.

Subconjuntos do conjunto dos números inteirosc) Se retirarmos os números negativos, teremos o conjunto dos números inteiros não negativos.

A representação desse conjunto é o símbolo do conjunto acompanhado de um sinal positivo como índice.

Subconjuntos do conjunto dos números inteirosc) Se retirarmos os números negativos, teremos o conjunto dos números inteiros não negativos.

+ = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }

c) Se retirarmos os números negativos, teremos o conjunto dos números inteiros não negativos.

+ = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }

c) Se retirarmos os números negativos, teremos o conjunto dos números inteiros não negativos.

Subconjuntos do conjunto dos números inteirosd) Se retirarmos os números negativos e o número zero, teremos o conjunto dos números inteiros positivos.

Subconjuntos do conjunto dos números inteirosd) Se retirarmos os números negativos e o número zero, teremos o conjunto dos números inteiros positivos.A representação desse conjunto é o símbolo do conjunto acompanhado de um sinal positivo como índice e do asterisco como expoente.

= { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }

d) Se retirarmos os números negativos e o número zero, teremos o conjunto dos números inteiros positivos.A representação desse conjunto é o símbolo do conjunto acompanhado de um sinal positivo como índice e do asterisco como expoente.

= { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }

d) Se retirarmos os números negativos e o número zero, teremos o conjunto dos números inteiros positivos.A representação desse conjunto é o símbolo do conjunto acompanhado de um sinal positivo como índice e do asterisco como expoente.

Subconjuntos do conjunto dos números inteirose) Se retirarmos os números positivos e o número zero, teremos o conjunto dos números inteiros negativos.

Subconjuntos do conjunto dos números inteirose) Se retirarmos os números positivos e o número zero, teremos o conjunto dos números inteiros negativos.A representação desse conjunto é o símbolo do conjunto acompanhado de um sinal negativo como índice e do asterisco como expoente.

*– = { – 1 , – 2 , – 3 , – 4 , –

5 , ... }

e) Se retirarmos os números positivos e o número zero, teremos o conjunto dos números inteiros negativos..A representação desse conjunto é o símbolo do conjunto acompanhado de um sinal negativo como índice e do asterisco como expoente.

*– = { – 1 , – 2 , – 3 , – 4 , –

5 , ... }

e) Se retirarmos os números positivos e o número zero, teremos o conjunto dos números inteiros negativos.A representação desse conjunto é o símbolo do conjunto acompanhado de um sinal negativo como índice e do asterisco como expoente.

Resumindo:

* = { ... , – 4 , – 3 , – 2 , – 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... }

Resumindo:

* = { ... , – 4 , – 3 , – 2 , – 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... }

Resumindo:

* = { ... , – 4 , – 3 , – 2 , – 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... } – = { 0 , – 1 , – 2 , – 3 , – 4 , – 5 , ...}

Resumindo:

* = { ... , – 4 , – 3 , – 2 , – 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... } – = { 0 , – 1 , – 2 , – 3 , – 4 , – 5 , ...}

Resumindo:

* = { ... , – 4 , – 3 , – 2 , – 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... } – = { 0 , – 1 , – 2 , – 3 , – 4 , – 5 , ...} +

= { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }

Resumindo:

* = { ... , – 4 , – 3 , – 2 , – 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... } – = { 0 , – 1 , – 2 , – 3 , – 4 , – 5 , ...} +

= { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }

Resumindo:

* = { ... , – 4 , – 3 , – 2 , – 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... } – = { 0 , – 1 , – 2 , – 3 , – 4 , – 5 , ...} +

= { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }

= { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }

Resumindo:

* = { ... , – 4 , – 3 , – 2 , – 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... } – = { 0 , – 1 , – 2 , – 3 , – 4 , – 5 , ...} +

= { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }

= { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }

Resumindo:

*– = { – 1 , – 2 , – 3 , – 4 , –

5 , ... }

* = { ... , – 4 , – 3 , – 2 , – 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... } – = { 0 , – 1 , – 2 , – 3 , – 4 , – 5 , ...} +

= { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }

= { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }

Resumindo:

*– = { – 1 , – 2 , – 3 , – 4 , –

5 , ... }

* = { ... , – 4 , – 3 , – 2 , – 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... } – = { 0 , – 1 , – 2 , – 3 , – 4 , – 5 , ...} +

= { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }

= { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }

Resumindo:

*– = { – 1 , – 2 , – 3 , – 4 , –

5 , ... }

* = { ... , – 4 , – 3 , – 2 , – 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... } – = { 0 , – 1 , – 2 , – 3 , – 4 , – 5 , ...} +

= { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }

= { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }

Observe que *+ =

Resumindo:

*– = { – 1 , – 2 , – 3 , – 4 , –

5 , ... }

* = { ... , – 4 , – 3 , – 2 , – 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... } – = { 0 , – 1 , – 2 , – 3 , – 4 , – 5 , ...} +

= { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }

= { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }

Observe que *+ =

3. Conjunto dos números racionais –

3. Conjunto dos números racionais – Observação:A letra “ ” utilizada para representar o conjunto dos números racionais provém do termo inglês “quotient”, que significa razão, divisão ou quociente.

3. Conjunto dos números racionais – Os números racionais são todos os números que podem ser colocados em forma de fração, em que o numerador pertence ao conjunto e o denominador pertence ao conjunto *.

3. Conjunto dos números racionais – Os números racionais são todos os números que podem ser colocados em forma de fração, em que o numerador pertence ao conjunto e o denominador pertence ao conjunto *.Portanto, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com todas as frações, positivas e negativas.

Fazem parte do conjunto dos números racionais:

Fazem parte do conjunto dos números racionais:• todos os números naturais;

Fazem parte do conjunto dos números racionais:• todos os números naturais;• todos os números inteiros;

Fazem parte do conjunto dos números racionais:• todos os números naturais;• todos os números inteiros;• todas as frações, negativas e

positivas;

positivas;• todos os números decimais

exatos;

exatos;• todos os números decimais

infinitos e periódicos.

Os dois últimos tipos de números podem ser transformados em frações.

A maneira de representar o conjunto dos números racionais é:

= { x | x = , com a e b * }

Exemplos de números racionais:

= { x | x = , com a e b * }

Exemplos de números racionais:

= { x | x = , com a e b * }

Exemplos de números racionais:12

= { x | x = , com a e b * }

= o,5 54– = –

= { x | x = , com a e b * }

= o,5 54– = –

= { x | x = , com a e b * }

= o,5 54– = –

1,25 13

= o,3333...

= { x | x = , com a e b * }

= o,5 54– = –

1,25 13

= o,3333...

= { x | x = , com a e b * }

= o,5 54– = –

1,25 13

= o,3333...

= o,8571428571...

= { x | x = , com a e b * }

= o,5 54– = –

1,25 13

= o,3333...

= o,8571428571...

Subconjuntos do conjunto dos números racionais:

Subconjuntos do conjunto dos números racionais:a) Conjunto dos números racionais diferentes de zero: *.

Subconjuntos do conjunto dos números racionais:a) Conjunto dos números racionais diferentes de zero: *.b) Conjunto dos números racionais não negativos: + .

Subconjuntos do conjunto dos números racionais:a) Conjunto dos números racionais diferentes de zero: *.b) Conjunto dos números racionais não negativos: + .c) Conjunto dos números racionais não positivos: – .

Subconjuntos do conjunto dos números racionais:a) Conjunto dos números racionais diferentes de zero: *.b) Conjunto dos números racionais não negativos: + .c) Conjunto dos números racionais não positivos: – .d) Conjunto dos números racionais positivos:

+*e) Conjunto dos números racionais

negativos:

4. Conjunto dos números irracionais

4. Conjunto dos números irracionaisOs números irracionais são os números decimais infinitos não periódicos, ou seja, números que não podem ser expressos em formato de uma fração, seja positiva ou negativa.

4. Conjunto dos números irracionais

4. Conjunto dos números irracionais –

Os números irracionais são os números decimais infinitos não periódicos, ou seja, números que não podem ser expressos em formato de uma fração, seja positiva ou negativa.

Os números irracionais são os números decimais infinitos não periódicos, ou seja, números que não podem ser expressos em formato de uma fração, seja positiva ou negativa.Exemplos:

5. Conjunto dos números reais –

5. Conjunto dos números reais – Dados os conjuntos dos números racionais e o conjunto dos números irracionais, descrevemos o conjunto dos números reais como sendo a união desses dois conjuntos.

Portanto, os números naturais, os números inteiros, os números racionais e os números irracionais são todos números reais.

Assim, podemos escrever:

Assim, podemos escrever:•

Assim, podemos escrever:• • =

Assim, podemos escrever:• • = • = ϕ

Como subconjuntos do conjunto dos números reais, temos:

Como subconjuntos do conjunto dos números reais, temos: * = – { 0 } ;

Como subconjuntos do conjunto dos números reais, temos: * = – { 0 } ; + = conjunto dos números reais não negativos;

Como subconjuntos do conjunto dos números reais, temos: * = – { 0 } ; + = conjunto dos números reais não negativos; – = conjunto dos números reais não positivos.

Agora, volte ao texto do Guia de Estudos da Unidade para continuar seus estudos sobre conjuntos.

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