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Louvain-la-NeuveLouvain-la-Neuve

Présentation Présentation Laurent Annaert, François Rottenberg et Alexis Laurent Annaert, François Rottenberg et Alexis Dubois pour le Collège Saint-Michel (Bruxelles)Dubois pour le Collège Saint-Michel (Bruxelles)

Sous la direction de M. BollySous la direction de M. Bolly

,...,,, )()( )( aaa aaa aaaa

CONTENUCONTENU

1.1. Introduction et présentation du problèmeIntroduction et présentation du problème

2.2. Premiers calculs et premières Premiers calculs et premières observationsobservations

3.3. Etude de la suiteEtude de la suite

4.4. Méthodes du point fixeMéthodes du point fixe

5.5. Preuve de la convergence de la suitePreuve de la convergence de la suite

6.6. ConclusionConclusion

1.1. Introduction et présentation Introduction et présentation du problèmedu problème

Avec la touche ^ et un nombre a, on Avec la touche ^ et un nombre a, on peut fabriquer une suite de nombres peut fabriquer une suite de nombres de la forme ... de la forme ... Croyez-nous, en prenant différentes Croyez-nous, en prenant différentes valeurs positives de a, on observe valeurs positives de a, on observe des choses étonnantes!des choses étonnantes!

)()( )(

,,,aaa aaa aaaa

2. 2. Premiers calculs et premières Premiers calculs et premières observationsobservations

Essais avec quelques valeurs entières :Essais avec quelques valeurs entières :

1 nUn aU

a = 2 a = 3 a = 4

0 2 3 4

1 4 27 256

2 16 7,62. 10^12 1,34.10^154

3 65536 Ma ERROR Ma ERROR

4 Ma ERROR Ma ERROR Ma ERROR

7 Ma ERROR Ma ERROR Ma ERROR

… inf. inf. inf.

nU

Essais avec valeurs décimalesEssais avec valeurs décimales

a = 0,5 a = 0,25 a = 0,1

0 0,5 0,25 0,1

1 0,7071… 0,7071... 0,7943...

2 0,6125… 0,3752... 0,1605...

3 0,654… 0,5944... 0,6909...

4 0,6354... 0,4386... 0,2037...

5 0,6437... 0,5443... 0,6255...

20,60,100 0,6411... 0,5... 0,3989...

… 0,6411... 0,5... 0,399...

nU

Approximation d’une valeur de Approximation d’une valeur de a a limite :limite :

a = 1,4 a = 1,4142 = a = 1,4422 = a = 1,5

0 1,4 1,4142 1,4422 1,5

1 1,6016... 1,6325... 1,6958... 1,8371...

2 1,7141... 1,7608... 1,8608... 2,8608...

3 1,7802... 1,8409... 1,967... 2,967...

12,20,60,100 1,8866... 2 2,478 1,4. 10^15

… 1,8866... 2 2,478 inf.

nU 2 3

ConjecturesConjectures

Valeur pivot entre 1,4 et 1,5Valeur pivot entre 1,4 et 1,5

Si o < a < 1,44.. Convergence vers Si o < a < 1,44.. Convergence vers une constanteune constante

Si a > 1,44.. Divergence, suite Si a > 1,44.. Divergence, suite tendant vers l’infinitendant vers l’infini

3.3. Etude de la suite : Etude de la suite : 3.1. 3.1. première approche :première approche :

Ecriture générale de la suite :Ecriture générale de la suite :

Condition de convergence :Condition de convergence :

D’où, équation du type :D’où, équation du type :

1 nUn aU

nn

n

U

nn UaU n limlimlim 1

1

xax

Etude graphique de l’équation :Etude graphique de l’équation :xax

A) A) Cas trivial : Cas trivial : a a == 1, une solution : 1, une solution : x x =1=1

B)B) Pour 0 < Pour 0 < aa < 1 : exponentielle décroissante, < 1 : exponentielle décroissante, une solution une solution

C)C) Pour 1 < Pour 1 < aa < 1,44 : exponentielle croissante, < 1,44 : exponentielle croissante, deux solutionsdeux solutions

D)D) Pour a = 1,44 : exponentielle croissante Pour a = 1,44 : exponentielle croissante tangente à x, une solutiontangente à x, une solution

E)E) Pour Pour a a > 1,44> 1,44, exponentielle croissante, , exponentielle croissante, aucune solution aucune solution

Premières conclusionsPremières conclusions Si 0 < Si 0 < aa < 1,44.., une solution à l’équation. < 1,44.., une solution à l’équation.

Si 1 < Si 1 < aa < 1,44.., 2 solutions. < 1,44.., 2 solutions.

Si Si a a == 1,44…, une solution.1,44…, une solution.

Si Si aa > 1,44.., aucune solution. Donc, aucune > 1,44.., aucune solution. Donc, aucune convergence possible pour un convergence possible pour un aa supérieur au point supérieur au point pivot.pivot.

NB : 1 solution à l’équation est une condition nécessaire NB : 1 solution à l’équation est une condition nécessaire mais pas suffisante de la convergencemais pas suffisante de la convergence

3.2. 3.2. Etudes périphériquesEtudes périphériques

xx xaax1

0 xax

1) 1) Premier problème auxiliaire : Premier problème auxiliaire : xxa1

Conclusion de cette étude de fonctionConclusion de cette étude de fonction

Abscisse : solutions de l’équation.Abscisse : solutions de l’équation.

Ordonnée : valeurs de a possibles pour qu’il y ait Ordonnée : valeurs de a possibles pour qu’il y ait une ou plusieurs solutions.une ou plusieurs solutions.

VValeur du point pivot = maximum de la fonction =aleur du point pivot = maximum de la fonction =

Si 0 < Si 0 < aa < , il y a toujours au moins une solution < , il y a toujours au moins une solution (soit une en bleu, soit deux en mauve soit 1 en (soit une en bleu, soit deux en mauve soit 1 en rouge sur le graphe).rouge sur le graphe).

Si a est plus grand que le point pivot, aucune Si a est plus grand que le point pivot, aucune solution.solution.

Vérification de la valeur du point pivot : Vérification de la valeur du point pivot :

Lorsque Lorsque aa = , tangent au graphe de = , tangent au graphe de xx

Nous avons donc une double équation :

2) 2) Second problème auxiliaire : Second problème auxiliaire :

Si 0 < Si 0 < a a < 1 :< 1 :

Si 1 < Si 1 < a a < :< :

Si Si a a = := :

Si < Si < a a ::

4. 4. Méthode du point fixeMéthode du point fixe

Formule générale :Formule générale :

  ex :ex : racines de : racines de :

Simple factorisation ne peut fonctionner carSimple factorisation ne peut fonctionner carelle nécessite une racine.elle nécessite une racine.

Méthode du point fixe : Méthode du point fixe :

On approxime la racine à On approxime la racine à 0,7 et on remplace dans 0,7 et on remplace dans l’équation :l’équation :

Et on recommence Et on recommence l’opération avec le résultat l’opération avec le résultat obtenu :obtenu :

Différence entre chaque terme de la suite est de plus en plus petite :Différence entre chaque terme de la suite est de plus en plus petite : On se rapproche de la racineOn se rapproche de la racine

Ne fonctionne pas dans tous Ne fonctionne pas dans tous les cas de figure les cas de figure ! ! L’algorithme L’algorithme doit converger !doit converger !

Si l’algorithme diverge, la Si l’algorithme diverge, la méthode nous éloignera de la méthode nous éloignera de la racine.racine.

Ex : si l’équation était :Ex : si l’équation était :

On s’éloigne de la racine, l’algorithme diverge.On s’éloigne de la racine, l’algorithme diverge.

← ← SSuite qui diverge.uite qui diverge.

← ← Suite qui piétine. En Suite qui piétine. En effectuant la méthode du effectuant la méthode du point fixe, on tourne en point fixe, on tourne en rond.rond.

Pour que la suite converge, il faut Pour que la suite converge, il faut s’assurer qu’aux alentours de la racine :s’assurer qu’aux alentours de la racine :

Par ailleurs, la méthode du point fixe Par ailleurs, la méthode du point fixe peut expliquer un autre phénomène de la peut expliquer un autre phénomène de la suite :suite :

Le fait que la suite oscille entre 0 et 1 et Le fait que la suite oscille entre 0 et 1 et le fait que la suite est monotone entre 1 le fait que la suite est monotone entre 1 et .et .

a = 0,5

0 0,5

1 0,7071…

2 0,6125…

3 0,654…

4 0,6354...

5 0,6437...

20 0,6411...

… 0,6411...

nU

a = 1,4

0 1,4

1 1,6016…

2 1,7141…

3 1,7802…

4 1,8203…

5 1,8450…

20 1,8866...

… 1,8866...

nU

5.5. Preuve de convergence de la Preuve de convergence de la suitesuite

Par la méthode du point fixe, convergence Par la méthode du point fixe, convergence si :si :

Si , la convergenceSi , la convergence est facile à est facile à prouver.prouver.

Si 0 Si 0 < < aa < 1 < 1 ::

toujours vérifié.toujours vérifié.

toujours vérifié ?toujours vérifié ?

La suite ne converge donc pas si La suite ne converge donc pas si

Attention, cela ne signifie pas que pour ces Attention, cela ne signifie pas que pour ces valeurs de valeurs de aa, n’a pas de solutions, n’a pas de solutions

Cela signifie que la suite oscille puis piétine Cela signifie que la suite oscille puis piétine et donc ne se stabilise jamais vers une et donc ne se stabilise jamais vers une valeur.valeur.

Ex: si Ex: si a a = 0,05= 0,05n a =

0,05 n a = 0,05

0 0,860891 6 0,734866

1 0,075850 7 0,110641

2 0,796741 8 0,717881

3 0,091921 9 0,116416

4 0,759290 10 0,705567

5 0,102834 11 0,129791

Divergence. Pourtant, 0,3502 vérifie l’équation :

6)6) Conclusion :Conclusion :

Si Si , la suite diverge puis piétine. , la suite diverge puis piétine.

Si Si , converge et est oscillante. , converge et est oscillante.

Si Si , la suite converge., la suite converge.

Si Si , la suite converge et est monotone., la suite converge et est monotone.

SiSi , la suite diverge., la suite diverge.

SourcesSources

Calculus « A complete course », Robert A. Calculus « A complete course », Robert A. Adams, sixth edition; Adams, sixth edition;

NUMERICAL METHODS WITH FORTRAN IV NUMERICAL METHODS WITH FORTRAN IV CASE STUDIES, William S.Dorn, Daniel CASE STUDIES, William S.Dorn, Daniel D.McCracken;D.McCracken;

Syllabi de M. Bolly, professeur à Saint-Syllabi de M. Bolly, professeur à Saint-Michel;Michel;

Cours de Mme Lambotte, professeur à Cours de Mme Lambotte, professeur à Saint-Michel.Saint-Michel.