Comportement m´ecanique des composites -...

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Comportement m´ ecanique des composites Les composites, m´ elanges de mat´ eriaux aux propri´ et´ es souvent tr` es diff´ erentes, permettent de r´ ealiser de remarquables compromis entre les propri´ et´ es de mat´ eriaux rigides mais fragiles et de mat´ eriaux ductiles mais trop souples. Lorsqu’on m´ elange deux mat´ eriaux de masses volumiques diff´ erentes, la masse volumique du composite est la moyenne des masses volumiques pond´ er´ ee par la fraction volumique des constituants. Il n’en va pas de mˆ eme des propri´ et´ es de conduction thermique ou d’´ elasticit´ e car ces propri´ et´ es physiques ne sont pas repr´ esent´ ees par des scalaires mais par des tenseurs d’ordre 2 et 4 respectivement. L’objectif du probl` eme est de montrer que la loi de m´ elange des propri´ et´ es ´ elastiques d´ epend de l’arrangement dans l’espace des diff´ erents constituants du composite. Cette propri´ et´ e essentielle est illustr´ ee dans le cas de deux morphologies typiques de composites biphas´ es, ` a savoir les composites stratifi´ es et les composites ` a fibres longues unidirectionnelles. Dans la pratique, le choix d’arrangements judicieux permet d’ailleurs d’optimiser les propri´ et´ es des m´ elanges de mat´ eriaux. On va montrer en particulier que, mˆ eme si les constituants pr´ esentent un comportement ´ elastique isotrope, la r´ eponse du composite est en g´ en´ eral anisotrope. Il n’est pas possible dans la pratique du dimensionnement des structures composites de prendre en compte le d´ etail de l’arrangement des constituants dans la mod´ elisation globale. Le mat´ eriau h´ et´ erog` ene doit ˆ etre remplac´ e par un milieu homog` ene ´ equivalent poss´ edant des propri´ et´ es ´ elastiques effectives. Dans les exemples propos´ es, ces propri´ et´ es effectives sont etermin´ ees ou estim´ ees en fonction des propri´ et´ es des constituants et des caract´ eristiques de l’arrangement. Dans l’ensemble du probl` eme, on travaille dans le cadre de l’hypoth` ese des petites perturbations, en ´ elasticit´ e lin´ earis´ ee. Les efforts dus ` a la gravit´ e ne sont pas consid´ er´ es. 1 Composite stratifi´ e Un composite stratifi´ e biphas´ e est constitu´ e de l’empilement p´ eriodique de couches de mat´ eriaux a et b comme sur la figure 1. Les couches s’´ etendent ` a l’infini dans les directions 1 et 3. La direction 2 est la direction de l’empilement. Les ´ epaisseurs des couches ´ el´ ementaires sont respectivement e a et e b . Il en r´ esulte que les fractions volumiques de phases a et b sont respectivement : f = e a e a + e b , 1 - f = e b e a + e b (1) Le comportement ´ elastique des deux constituants est caract´ eris´ e par les modules de Young, E a et E b , et les coefficients de Poisson, ν a et ν b , respectivement. 1.1 Module de Young selon une direction perpendiculaire ` a la direction de l’empilement On se propose d’abord de calculer la r´ eponse du composite lorsqu’il est sollicit´ e en traction simple dans la direction 1 de la figure 1. Pour cela, on consid` ere un ´ echantillon cubique de stratifi´ e, de volume l 3 , o` u la longueur l est suppos´ ee suffisamment grande par rapport ` a e a + e b pour que les effets de bords puissent ˆ etre n´ eglig´ es. 1

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Comportement mecanique des composites

Les composites, melanges de materiaux aux proprietes souvent tres differentes, permettentde realiser de remarquables compromis entre les proprietes de materiaux rigides mais fragileset de materiaux ductiles mais trop souples.

Lorsqu’on melange deux materiaux de masses volumiques differentes, la masse volumiquedu composite est la moyenne des masses volumiques ponderee par la fraction volumique desconstituants. Il n’en va pas de meme des proprietes de conduction thermique ou d’elasticite carces proprietes physiques ne sont pas representees par des scalaires mais par des tenseurs d’ordre2 et 4 respectivement. L’objectif du probleme est de montrer que la loi de melange des proprieteselastiques depend de l’arrangement dans l’espace des differents constituants du composite. Cettepropriete essentielle est illustree dans le cas de deux morphologies typiques de compositesbiphases, a savoir les composites stratifies et les composites a fibres longues unidirectionnelles.Dans la pratique, le choix d’arrangements judicieux permet d’ailleurs d’optimiser les proprietesdes melanges de materiaux.

On va montrer en particulier que, meme si les constituants presentent un comportementelastique isotrope, la reponse du composite est en general anisotrope.

Il n’est pas possible dans la pratique du dimensionnement des structures composites deprendre en compte le detail de l’arrangement des constituants dans la modelisation globale.Le materiau heterogene doit etre remplace par un milieu homogene equivalent possedantdes proprietes elastiques effectives. Dans les exemples proposes, ces proprietes effectives sontdeterminees ou estimees en fonction des proprietes des constituants et des caracteristiques del’arrangement.

Dans l’ensemble du probleme, on travaille dans le cadre de l’hypothese des petitesperturbations, en elasticite linearisee. Les efforts dus a la gravite ne sont pas consideres.

1 Composite stratifie

Un composite stratifie biphase est constitue de l’empilement periodique de couches demateriaux a et b comme sur la figure 1. Les couches s’etendent a l’infini dans les directions1 et 3. La direction 2 est la direction de l’empilement. Les epaisseurs des couches elementairessont respectivement ea et eb. Il en resulte que les fractions volumiques de phases a et b sontrespectivement :

f =ea

ea + eb

, 1− f =eb

ea + eb

(1)

Le comportement elastique des deux constituants est caracterise par les modules de Young, Ea

et Eb, et les coefficients de Poisson, νa et νb, respectivement.

1.1 Module de Young selon une direction perpendiculaire a ladirection de l’empilement

On se propose d’abord de calculer la reponse du composite lorsqu’il est sollicite en tractionsimple dans la direction 1 de la figure 1. Pour cela, on considere un echantillon cubique destratifie, de volume l3, ou la longueur l est supposee suffisamment grande par rapport a ea + eb

pour que les effets de bords puissent etre negliges.

1

a

b

a

b

X1

X2

eb

ea

Fig. 1 – Composite stratifie constitue d’un empilement periodique de couches de materiau aet b selon la direction 2. Les couches de materiau a (resp. b) ont pour epaisseur ea (resp. eb).Les couches sont illimitees selon les directions 1 et 3.

A la cote X1 = 0 le deplacement longitudinal u1(X1 = 0) = 0, tandis qu’il est impose au1(X1 = l) = δ a la cote X1 = l. Les autres composantes de deplacements sont laissees libres,sans effort applique selon les directions correspondantes. De meme, toutes les faces lateralessont libres d’effort.

Les couches sont collees les unes aux autres de sorte qu’aucun glissement relatif ni ouvertureentre les couches ne soit possible. Il s’agit donc d’interfaces parfaites.

Les contraintes et deformations recherchees sont homogenes dans chaque couche et prennentrespectivement la forme suivante : σa,b

11 0 0

0 σa,b22 0

0 0 σa,b33

,

εa,b11 0 0

0 εa,b22 0

0 0 εa,b33

(2)

Justifier cette forme ainsi que les quatre conditions requises suivantes :

• εa11 = εb

11 =δ

l=: ε0.

• σa22 = σb

22 = 0.• εa

33 = εb33.

• fσa33 + (1− f)σb

33 = 0.Dans le cas particulier ou les deux materiaux possedent le meme coefficient de Poisson, i.e.νa = νb = ν, montrer que l’on peut definir une contrainte moyenne

σ11 := fσa11 + (1− f)σb

11 (3)

2

ainsi qu’un module de Young effectif

E := fEa + (1− f)Eb (4)

de telle sorte que la reponse du composite en traction simple soit donnee par la loi de Hookeeffective :

σ11 = E ε0 (5)

Pour cela, on commencera par exprimer les relations qui lient la deformation ε0 aux contraintesdans les couches. On evaluera ensuite les efforts de traction a appliquer pour imposer ladeformation ε0.

La relation (5) montre que le module longitudinal du composite est la moyenne arithmetiquedes modules des constituants ponderee par les fractions volumiques correspondantes. Ce resultatne subsiste pas lorsque ν1 6= ν2. Le module effectif peut etre determine aisement mais sonexpression est plus complexe. Elle n’est pas demandee ici.

Lors de l’essai de traction, les couches a et b subissent la meme deformation longitudinaleimposee, εa

11 = εb22 = δ/l. La continuite du deplacement a l’interface

ua3(X1, X3) = ub

3(X1, X3) =⇒ ua3,3 = ub

3,3

exige que εa33 = εb

33. La frontiere normale a la direction 2 est libre d’effort, de sorte que σ22 = 0 ala surface. L’homogeneite de la solution en contraintes et deformations et l’existence d’interfacesparfaites impliquent la transmission de cette composante aux autres couches.Enfin, la condition de bord libre ne peut etre verifiee point par point sur les faces normales ala direction 3. Elle l’est en terme de resultante, au sens de Saint–Venant, et se traduit par

σa33eal + σb

33ebl = 0 (6)

d’ou le resultat annonce.La loi d’elasticite, ecrite dans chaque couche, indique que

ε0 =σa

11

Ea

− νa

Ea

σa33 =⇒ νσa

33 = σa11 − Eaε0 (7)

ε0 =σb

11

Eb

− νb

Eb

σb33 =⇒ νσb

33 = σb11 − Ebεb (8)

Ces resultats inseres dans la condition (6) conduisent a la relation

fσa11 + (1− f)σb

11 = (fEa + (1− f)Eb)ε0 (9)

Le premier membre est la moyenne des contraintes longitudinales. Elle s’interprete comme lacontrainte effective appliquee, definie comme le rapport entre la force totale de traction diviseepar la section du composite et la deformation imposee :

σ11 =F

S=

σa33eal + σb

33ebl

(ea + eb)l= fσa

11 + (1− f)σb11 = Eε0 (10)

3

1.2 Module de Young dans la direction de l’empilement

Cette fois–ci, le composite est sollicite en traction selon la direction 2 en imposant lesconditions aux limites suivantes :• En X2 = l, on donne t = t d = σ0e 2 ;• En X2 = 0, on donne t = t d = −σ0e 2 ;

Les autres faces sont libres d’effort. Les contraintes et deformations attendues sont homogenespar couche et de la forme (2).Justifier que, pour le chargement indique, les conditions suivantes sont requises :• σa

22 = σb22 = σ0 ;

• εa11 = εb

11 = εa33 = εb

33.• σa

11 = σa33, σb

11 = σb33.

Montrer alors qu’il est possible de definir un module de Young effectif, dans la directiond’empilement, ainsi qu’une loi de Hooke effective :

σ0 = Eeff ε, avec ε = fεa22 + (1− f)εb

22 (11)

Donner l’expression de Eeff en fonction des proprietes elastiques des couches et de f . Dansquel cas particulier le module de Young effectif est–il egal a la moyenne harmonique

1

Eeff=

f

Ea

+1− f

Eb

(12)

des modules du composite ?On verifie enfin que Eeff 6= E des que Ea 6= Eb. Le composite stratifie a donc un

comportement elastique anisotrope puisque sa rigidite en traction n’est pas la meme dansla direction de l’empilement que selon une direction perpendiculaire.

On part de la loi de Hooke dans chaque couche pour la composante :

ε11 =1− νa

Ea

σa11 −

νa

Ea

σ0 (13)

ε11 =1− νb

Eb

σb11 −

νb

Eb

σ0 (14)

dont on tire1− νa

Ea

σa11 −

1− νb

Eb

σb11 = (

νa

Ea

− νb

Eb

)σ0 (15)

qui, ajoutee a la condition de resultante nulle sur la face normale a 1,

fσa11 + (1− f)σb

11 = 0 (16)

constituent un systeme d’equations permettant de determiner σa,b11 :

σa11

(1− νa

Ea

(1− f) +1− νb

Eb

f

)= (1− f)

(νa

Ea

− νb

Eb

)σ0 (17)

−σb11

(1− νa

Ea

(1− f) +1− νb

Eb

f

)= f

(νa

Ea

− νb

Eb

)σ0 (18)

Par ailleurs,

εa22 =

σ0

Ea

− 2νa

Ea

σa11, εb

22 =σ0

Eb

− 2νb

Eb

σb11 (19)

4

et finalement,

ε22 =

(f

Ea

+1− f

Eb

− 2f(1− f)

(νa

Ea

− νb

Eb

)2(1− νa

Ea

(1− f) +1− νb

Eb

f

)−1)

σ0 (20)

Le module de Young effectif dans la direction de l’empilement vaut donc

1

Eeff=

f

Ea

+1− f

Eb

− 2f(1− f)

(νa

Ea

− νb

Eb

)2(1− νa

Ea

(1− f) +1− νb

Eb

f

)−1

(21)

Il coıncide avec la moyenne harmonique des modules de Young des constituants uniquementdans le cas tres particulier ou

νa

Ea

=νb

Eb

(22)

2 Composite a fibres longues unidirectionnelles

Une autre variete de composites dont l’interet technologique est considerable, est obtenue enincluant des fibres longues paralleles d’un materiau donne f dans une matrice de materiau m,comme sur la figure 2(a). Lorsque la rigidite des fibres est plus grande que celle de la matrice,la matrice est ainsi renforcee par les fibres. L’arrangement des fibres paralleles est le plussouvent aleatoire mais la repartition periodique en quinconce ou en nid d’abeille de la figure2(b) reste tres pertinente pour decrire le comportement du composite. Les fibres forment unreseau hexagonal. Le triangle elementaire indique en pointilles sur la figure 2(b) est equilateral.

Les fibres sont considerees comme des cylindres de section circulaire, de rayon rf , et delongueur infinie. Elles sont constituees d’un materiau elastique isotrope de coefficients de Lameλf et µf . La matrice, quant a elle, est egalement elastique isotrope de coefficients de Lame λm

et µm. Soit 2rm la distance entre les centres des fibres. L’interface fibre–matrice est parfaite,sans glissement ni ouverture possible.

On aborde dans cette partie la question de la reponse mecanique d’un tel composite a fibreslongues avec la repartition idealisee en nid d’abeille. Contrairement au cas du composite stratifiede la premiere partie, il n’est pas possible de donner une expression explicite des moduleseffectifs en raison de la complexite de la solution. On va proposer plusieurs estimations de cettesolution. On jugera a la fin de leur qualite en les comparant a la solution exacte approcheenumeriquement d’aussi pres qu’on le souhaite.

Pour cela, on decoupe le domaine Ω occupe par le composite de la figure 2(b) en deux zones :• le domaine ouvert Ω1 reunit les motifs constitues du cylindre de rayon rf et d’une couronne

cylindrique de matrice entourant chaque fibre et d’epaisseur rm − rf ; dans la suite, onappelle cylindre composite un tel motif cylindrique de rayon rm, compose d’une fibre etd’une couronne cylindriques ;

• le domaine ouvert Ω2, entierement constitue de matrice, reunit les portions de matricesituees dans les zones interstitielles entre les cylindres composites ; une telle zoneinterstitielle est peinte en noir sur la figure 2(b).

Noter que Ω1 et Ω2 constituent un recouvrement de Ω sans chevauchement : Ω = Ω1∪Ω2, Ω1∩Ω2 = . La frontiere des cylindres composites, marquee d’un trait noir sur la figure 2(b), estimmaterielle puisqu’entierement contenue dans la matrice.

5

Les fibres sont paralleles a l’axe e z et on adopte un systeme de coordonnees cylindriques,d’axe z, ayant pour origine le centre d’un cylindre composite. Dans toute l’etude des compositesa fibres longues, on se place dans des conditions de deformations planes :

uz(X ) = 0, ∀X ∈ Ω (23)

(a) (b)

r f

rm

Fig. 2 – (a) Vue au microscope optique d’un echantillon de composite a matrice metalliqueet a fibres en carbure de silicium (diametre des fibres : 140 µm) ; (b) motif elementaire en nidd’abeille modelisant un composite a fibres longues unidirectionnelles. Le composite completest obtenu par replication et translation de ce motif dans le plan. Les sections presentees sontperpendiculaires a la direction e z commune des fibres.

2.1 Considerations geometriques sur la structure en nid d’abeille

On appelle Ωf la portion de l’espace occupee par les fibres et Ωm celle occupee par la matrice.A nouveau, on a Ω = Ωf ∪ Ωm, Ωf ∩ Ωm = . Comme la structure est periodique, elle estentierement determinee par replication et translation d’un motif elementaire tel que l’hexagonede la figure 2(b). On appelle Vf et Vm les volumes de fibre et de matrice contenus dans un telmotif elementaire. La fraction volumique de fibres dans le composite est alors

f =Vf

Vf + Vm

(24)

On appelle ensuite V1 le volume de cylindres composites dans le motif elementaire, appartenantdonc a Ω1, et V2 le volume de matrice interstitiel, inclus dans Ω2. On appelle alors f1 la fractionvolumique de cylindres composites au sein du composite complet :

f1 =V1

V1 + V2

(25)

6

Calculer f1.Calculer f en fonction du rapport

β =rf

rm

(26)

Calculer enfin la fraction volumique maximale fmax de fibres, sans recouvrement, que peutcontenir un composite avec une telle repartition hexagonale de fibres.

On considere le triangle de cote 2rm dessine sur la figure 2(b), qui suffit a reconstituerl’ensemble du composite par symetrie par rapport a ses cotes. Son aire est

√3r2

m. La surface defibre contenue dans ce triangle est πr2

f/2. On en deduit la fraction volumique de fibres :

f =π

2√

3β2 (27)

La surface du cylindre composite, au sein du triangle, vaut πr2m/2. La fraction volumique de

cylindres composites vaut donc

f1 =π

2√

3(28)

La fraction maximale de fibres est obtenue lorsque β = 1 de sorte que

fmax = f1 =π

2√

3' 0.907 (29)

On obtient alors un reseau hexagonal dense de fibres.

2.2 Definition des conditions de sollicitation homogenes au contour

On considere un domaine fini de composite delimite par les faces superieures z = 0 et z = l etpar la surface cylindrique laterale ∂Ω parallele a e z. On s’interesse a deux types de sollicitationsappliquees au composite :• Conditions en deplacement lineaire au contour :

ur(X ) = ε0r, uθ = uz = 0, ∀X ∈ ∂Ω (30)

ou ε0 est la deformation imposee au bord ∂Ω du composite.• Conditions en effort impose au contour :

t = t d = σ0n , avec n · e z = 0 (31)

ou σ0 est la contrainte appliquee sur le bord ∂Ω.Dans le cas ou le milieu est homogene, i.e. si λm = λf = λ0 et µm = µf = µ0, montrer que lechamp de deformation homogene

ε∼ = ε0(e r ⊗ e r + e θ ⊗ e θ) (32)

est solution du probleme avec les conditions en deplacements (30).Calculer les contraintes correspondantes.Montrer que la densite d’energie elastique est

w0 = 2k0ε2, avec k0 = λ0 + µ0 (33)

7

ou k0 est le module de compressibilite dans le plan perpendiculaire aux fibres.A nouveau, dans le cas ou le milieu est homogene, montrer que le champ de contraintes

homogeneσ∼ = σ0(e r ⊗ e r + e θ ⊗ e θ) + σzze z ⊗ e z (34)

est solution du probleme avec les conditions en efforts (31).Calculer les deformations correspondantes et determiner la composante σzz necessaire a lasatisfaction de la condition de deformation plane.Montrer que la densite d’energie elastique est

w0 =σ2

0

2k0

(35)

Lorsque la deformation vaut ε∼ = ε0(e r ⊗ e r + e θ ⊗ e θ), les contraintes valent :

σ∼ = λ0(trace ε∼)1∼ + 2µ0ε∼ = 2k0(e r ⊗ e r + e θ ⊗ e θ) + 2λ0e z ⊗ e z (36)

La densite volumique d’energie elastique correspondante vaut :

w0 =1

2σ∼ : ε∼ = 2k0ε

20 (37)

Lorsque la contrainte est donnee par (34), les deformations valent

ε∼ =σ0

2k0

(e r ⊗ e r + e θ ⊗ e θ) (38)

Par suite la densite d’energie elastique est bien donnee par (35).

2.3 Premiere famille d’estimations du module effectif de compressi-bilite dans le plan

On considere le probleme en deplacements imposes (30) au bord du composite non homogene.Montrer que le champ de deformation homogene (32) est une solution cinematiquementadmissible1 de ce probleme.Calculer les contraintes correspondantes dans la fibre et dans la matrice. On introduira lesnotations suivantes pour les modules de compressibilite dans le plan de chacun des constituants :

kf = λf + µf , km = λm + µm (39)

Expliquer pourquoi ces contraintes ne correspondent pas a une solution acceptable du problemepose. On va les considerer comme une premiere estimation grossiere des contraintes reelles,labellisee avec l’exposant V dans la suite2.A l’aide des deformations et contraintes precedentes, montrer que la densite d’energie elastiquecorrespondante vaut :

wV = 2(fkf + (1− f)km)ε20 (40)

1On appelle champ de deformations cinematiquement admissible un champ de tenseurs symetriquescompatible et conduisant a un champ de deplacements qui verifient les conditions aux limites en deplacementsdu probleme.

2En reference a Woldemar Voigt (1850–1919) qui a introduit ce type d’approximations homogenes endeformation.

8

En identifiant cette energie avec celle, donnee par (33), d’un milieu homogene equivalent, onen deduit qu’une estimation du module de compressibilite dans le plan du composite est

kV = fkf + (1− f)km (41)

Il s’agit de la moyenne arithmetique des modules correspondants des constituants.On considere ensuite le probleme en efforts imposes (31) au bord du composite non homogene.

Montrer que le champ de contrainte homogene3 (34), est une solution statiquement admissible4

de ce probleme.Calculer les deformations correspondantes dans les fibres et dans la matrice.Expliquer pourquoi ces deformations ne correspondent pas a une solution acceptable duprobleme pose. On va les considerer comme une seconde estimation grossiere des deformationsreelles, labellisee avec l’exposant R dans la suite5.A l’aide des deformations et contraintes precedentes, montrer que la densite d’energie elastiquecorrespondante vaut :

wR =1

2(

f

kf

+1− f

km

)σ20 (42)

En identifiant cette energie avec celle, donnee par (35), d’un milieu homogene equivalent, endeduire qu’une estimation du module de compressibilite dans le plan du composite est

1

kR=

f

kf

+1− f

km

(43)

Il s’agit de la moyenne harmonique des modules correspondants des constituants.Montrer que kR ≤ kV .

Si l’on suppose que les deformations sont homogenes au sein du composite entier et egales a(32), alors les contraintes sont homogenes par phase et valent

σ∼f = 2kf (e r⊗e r +e θ⊗e θ)+2λfe z⊗e z, σ∼

m = 2km(e r⊗e r +e θ⊗e θ)+2λme z⊗e z (44)

Le champ de deformations homogene propose est cinematiquement admissible car il estcompatible et verifie identiquement les conditions aux limites du cylindre composite (30). Lescomposantes radiales des contraintes different alors a l’interface entre la fibre et la matrice :σm

rr(r = rf ) 6= σfrr(r = rf). Cela represente une violation de la condition de continuite requise du

vecteur–contrainte a la traversee d’une interface parfaite. Le champ de contrainte ainsi construitn’est donc pas la solution du probleme recherchee.La densite d’energie elastique correspondante est

wV =1

2(Vfσ∼

f : ε∼f + Vmσ∼

m : ε∼m)/(Vm + Vf ) = 2fkfε

20 + 2(1− f)kmε2

0 = 2kV ε20 (45)

Si maintenant les contraintes sont supposees homogenes dans tout le composite de la forme(34), les deformations sont homogenes par phase et valent :

ε∼f =

σ0

2kf

(e r ⊗ e r + e θ ⊗ e θ), ε∼m =

σ0

2km

(e r ⊗ e r + e θ ⊗ e θ) (46)

3avec toutefois des valeurs differentes σf,mzz dans les deux phases necessaires a la satisfaction des conditions de

deformation plane. Ces valeurs de σzz n’importent pas pour l’estimation recherchee car, en deformation plane,elles ne contribuent pas a l’energie elastique.

4On appelle champ de contraintes statiquement admissible un champ de tenseurs symetriques a divergencenulle qui verifie les conditions aux limites en efforts du probleme.

5En l’honneur de Endre Reuss (1901–1968) qui a introduit ce type d’approximation homogene en contraintes.

9

Les contraintes (34) sont statiquement admissibles parce qu’elles sont a divergence nulle etqu’elles remplissent les conditions aux limites du cylindre composite (31). Par contre, lesdeformations precedentes conduisent a des champs de deplacements affines qui ne remplissentpas la condition de continuite a l’interface fibre–matrice. Par consequent, elles ne sont passolutions du probleme pose.Les estimations de l’energie elastique dans le composite et du module de compressibilite s’endeduisent.Le module kV est plus grand que kR car

1

kR− 1

kV= f(1− f)

(kf − km)2

kV kmkf

≥ 0 (47)

2.4 Estimation a l’aide d’un champ cinematiquement admissible nonhomogene

On essaie maintenant d’ameliorer l’estimation precedente de la solution en deplacementsimposes (30) en construisant un champ de deformation admissible non homogene plus realiste.Ce champ est defini de la maniere suivante :• La deformation est homogene dans Ω2 :

ur(X ) = ε0r, uθ = uz = 0, ∀X ∈ Ω2 (48)

• Le deplacement dans Ω1 est obtenu en resolvant le probleme sur un cylindre composite aubord duquel le deplacement est impose :

ur(r = rm) = ε0rm, uθ = uz = 0 (49)

Le champ de deformation correspondant n’est en general pas homogene dans le cylindrecomposite.

Justifier que le champ de deplacement obtenu en reunissant les deux contributions constitue unesolution cinematiquement admissible sur l’ensemble du composite du probleme en deplacementsimposes.

On resout maintenant le probleme (49) pour un cylindre composite. Montrer que le champde deplacements dans la fibre et dans la matrice se met sous la forme :

ufr (r) = afr +

bf

r, um(r) = amr +

bm

r(50)

ou af , bf , am, bm sont des constantes a determiner. Justifier que bf = 0.Donner les 3 conditions permettant de determiner af , am, bm. On ne demande pas de resoudrele systeme d’equations obtenu.Montrer que l’energie elastique contenue dans le cylindre composite, par unite d’epaisseur decomposite selon z, vaut

W1 = πr2mσm

rr(r = rm)ε0 (51)

ou σmrr(r = rm) est la valeur des contraintes au bord du cylindre composite. On en donne

l’expression qu’on ne demande pas d’etablir :

σmrr(r = rm) = 2kmam − 2µm

bm

r2m

= 2αkmε0 (52)

10

avec

α =φ +

µm

km

+ β2µm

km

(φ− 1)

β2(1− φ) + φ +µm

km

(53)

ou φ = kf/km est le contraste de propriete entre les deux phases.Calculer ensuite l’energie elastique W2 par unite d’epaisseur dans le volume V2.

Calculer enfin la densite volumique d’energie pour l’ensemble du composite a l’aide des deuxcontributions precedentes.

En identifiant la densite volumique d’energie obtenue avec celle d’un milieu homogene (33),montrer que la solution ainsi construite fournit l’estimation suivante6 pour le module decompressibilite dans le plan :

kHR+ = km(αf1 + 1− f1) (54)

Verifier que le resultat donne par cette formule est plausible en l’evaluant pour φ = 1.Interpreter le resultat donne par cette formule lorsque β = 1.Terminer en indiquant pourquoi la reunion des champs calcules sur les domaines Ω1 et Ω2

ne constitue pas la solution du probleme pose. Il s’ensuit que le module kHR+ n’est qu’uneestimation du module reel du composite en nid d’abeille.

Le champ de deplacement propose est homogene dans Ω2 mais a priori heterogene dans lecylindre composite. La continuite en r = rm est toutefois garantie puisque la condition (49)coıncide avec le deplacement dans Ω2. C’est en ce sens que la reunion des deux champs dedeplacements constitue un champ cinematiquement admissible.La forme du champ de deplacement dans une portion de cylindre elastique est donnee dans latable ??. Une singularite en r = 0 dans la fibre n’est pas acceptable de sorte que bf = 0. Lechamp de deplacement doit satisfaire la condition de deplacement imposee (30) en r = rm :

amrm +bm

rm

= ε0rm (55)

Le deplacement est continu en r = rf :

afrf = amrf +bm

rf

(56)

Enfin, la contrainte radiale est continue en r = rf :

kfaf = kmam − µmbm

r2f

(57)

ou l’on a a nouveau utilise des resultats de la table ??. En eliminant af de (56) et (57), onobtient l’equation suivante :

amrf (1−km

kf

) +bm

rf

(1 +µm

kf

) = 0 (58)

6en l’honneur de (Hashin and Rosen, 1964) qui ont etabli cette estimation et montre en outre qu’il s’agitd’une approximation par exces.

11

qui, avec (55), permet de determiner

am = −ε0

1

rf

(1 +µm

kf

), bm =ε0

∆rf (1−

km

kf

) (59)

ou ∆ =rf

r2m

(1− km

kf

)− 1

rf

(1 +µm

kf

).

L’objectif est d’evaluer l’energie elastique dans le cylindre composite :

W1 =1

2

∫V1

σijui,j dV =1

2

∫V1

(σijui),j dV =1

2

∫∂V1

σijui dS = πrmσmrr(rm)ε0rm (60)

ou une epaisseur unitaire l = 1 de cylindre a ete consideree. Il faut donc calculer

σmrr(rm) = 2kmam − 2µm

bm

r2m

=2ε0

(−km

rf

(1 + µm)− rf

r2m

µm(1− km

kf

)

)

= 2ε0km

− 1

rf

(1 + µm)− rf

r2m

µm

km

(1− km

kf

)

rf

r2m

(1− km

kf

)− 1

r f(1 +

µm

kf

)

= 2kmε0α (61)

ou α est donne par (53). Une expression alternative de α est obtenue en remarquant queµm/km = 1− 2νm. L’expression ne depend donc que du coefficient de Poisson de la matrice7.L’energie dans Ω1 vaut donc W1 = 2kmαε2

0V1.L’energie dans les interstices vaut W2 = 1/2

∫Ω2

σ∼ : ε∼ dV = 2kmε20V2. La densite volumique

d’energie elastique dans l’ensemble du composite est

wHR+ =W1 + W2

V1 + V2

= 2km(αf1 + 1− f1)ε20 (62)

Le composite se comporte comme un milieu homogene equivalent dont le module decompressibilite dans le plan serait kHR+ defini par (54).Lorsque φ = 1, le composite est homogene du point de vue de son module de compressibilitedans le plan. On obtient α = 1 et kHR+ = km, c’est–a–dire que le module effectif du compositecoıncide avec celui des constituants, comme il se doit.Lorsque β = 1, le cylindre composite n’est constitue que d’une fibre de rayon rf = rm, sansmatrice. Les interstices seuls sont constitues de matrice. La fraction de fibres est donc f = fmax.On obtient α = φ et

kHR+ = km(φπ

2√

3+ 1− π

2√

3) =

π

2√

3kf + (1− π

2√

3)km = fmaxkf + (1− fmax)km = kV

Le module coıncide avec la moyenne des modules pour la fraction de fibres maximale ducomposite. Cela s’explique par le fait que lorsque le cylindre composite est compose d’un seulmateriau, alors la condition en deplacement (30) au bord du cylindre conduit a une solutionhomogene en deformation sur ce cylindre. On se retrouve alors dans le cadre de l’approximationde deformation homogene dans dans tout le composite etudiee au paragraphe 2.3.Enfin, la “solution” proposee souffre d’un probleme majeur. En effet, le deplacement est continuentre les domaines Ω1 et Ω2 en r = rm mais rien ne garantit la continuite du vecteur–contrainte au travers de cette interface. En ce sens, le champ de deplacement propose n’estqu’une estimation de la solution reelle et il en va du meme du module effectif ainsi determine.

7Noter que le resultat (53) differe de la formule (28) de (Hashin and Rosen, 1964) qui semble comporter unecoquille.

12

2.5 Estimation a l’aide d’un champ statiquement admissible nonhomogene

On cherche maintenant une estimation de la solution en contrainte imposee (31) enconstruisant un champ de contraintes admissible non homogene plus realiste qu’au paragraphe2.3. Ce champ est defini de la maniere suivante :• Les contraintes sont homogenes dans Ω2 de la forme (34).• Les contraintes dans Ω1 sont obtenues en resolvant le probleme sur un cylindre composite

au bord duquel la pression est imposee :

σmrr(r = rm) = σ0 (63)

Le champ de contraintes correspondant n’est en general pas homogene dans le cylindrecomposite.

Justifier que le champ de contraintes obtenu en reunissant ces deux contributions constitueune solution statiquement admissible sur l’ensemble du composite du probleme en contraintesimposees.

On resout maintenant le probleme (63) pour un cylindre composite. Montrer que le champde contraintes dans la fibre et dans la matrice se met sous la forme :

σmrr(r) = Am −

Bm

r2, σm

θθ(r) = Am +Bm

r2(64)

σfrr(r) = Af −

Bf

r2, σf

θθ(r) = Af +Bf

r2(65)

ou Af , Bf , Am, Bm sont des constantes a determiner.Donner les 3 conditions permettant de determiner Af , Am, Bm. On ne demande pas de resoudrele systeme d’equations obtenu.Montrer que l’energie elastique contenue dans le cylindre composite, par unite d’epaisseur decomposite selon z, vaut

W1 = πrmσ0umr (r = rm) (66)

ou umr (r = rm) est la valeur du deplacement radial au bord du cylindre composite. On en donne

l’expression qu’on ne demande pas d’etablir :

umr (r = rm) = amrm +

bm

rm

=σ0

2αrm (67)

ou α est toujours donne par (53).Calculer ensuite l’energie elastique W2 par unite d’epaisseur dans le volume V2.Calculer enfin la densite volumique d’energie pour l’ensemble du composite a l’aide des deux

contributions precedentes.En identifiant la densite volumique d’energie obtenue avec celle d’un milieu homogene

(35), montrer que la solution ainsi construite fournit l’estimation suivante pour le module decompressibilite dans le plan :

kHR− =km

f1

α+ 1− f1

(68)

Interpreter le resultat donne par cette formule lorsque β = 1.Terminer en indiquant pourquoi la reunion des champs calcules sur les domaines Ω1 et Ω2

13

ne constitue pas la solution du probleme pose. Il s’ensuit que le module kHR− n’est qu’uneestimation du module reel du composite en nid d’abeille.

Le champ de contraintes propose est homogene sur Ω2 et se transmet a l’interface avec Ω1

en r = rm grace a la condition (63). La divergence des contraintes est nulle sur chaque sous–domaine : c’est clair sur Ω2 et on va garantir cette condition sur le cylindre composite dans lasuite. En ce sens, la reunion des deux champs de contraintes constitue un champ statiquementadmissible.La forme des contraintes (64) et (65) est connue d’apres les resultats de l’etude des reservoirssous pression (cf. table ??). La singularite de contrainte est exclue en r = 0 au sein de la fibre :Bf = 0. La contrainte radiale est imposee par (63) au bord r = rm :

Am −Bm

r2m

= σ0 (69)

La contrainte radiale est continue au passage de l’interface r = rf :

Af = Am −Bm

r2f

(70)

Enfin le deplacement doit egalement etre continu a l’interface fibre–matrice :

Af

2kf

rf =Am

2km

rf +Bm

2µmrf

(71)

Les coefficients Af , Am peuvent etre elimines dans (71), ce qui fournit l’expression de

Bm = σ0

r2fr

2m(kf − km)

km(r2f − r2

m)− kf (r2f + r2

mkm

µm)

(72)

et ensuite

Am = −σ0

kmr2m(1 +

kf

µm)

km(r2f − r2

m)− kf (r2f + r2

mkm

µm)

(73)

Ces informations suffisent pour calculer l’energie elastique dans le cylindre composite enutilisant la propriete deja etablie (60) :

W1 =1

2

∫∂Ω2

σijuinj dS =1

2

∫∂Ω2

σ0ur dS = σ0umr (r = rm)πrm (74)

ou une epaisseur unitaire de composite a ete consideree. Il reste par consequent a calculer ledeplacement au bord du cylindre composite :

umr (r = rm) = amrm +

bm

rm

=Am

2km

rm +Bm

2µmrm

=σ0

2km

rm

−r2m(1 +

kf

µm) + r2

f1µm

(kf − km)

(r2f − r2

m)− kf

km(r2

f + km

µmr2m)

(75)

Quelques manipulations permettent de constater que le dernier facteur n’est autre que l’inversede α, determine precedemment, cf. (53).L’energie dans Ω1 vaut donc

W1 =σ2

0

2kmαV1 (76)

14

composite Ef (MPa) νf Em (MPa) νm

1 410 000 0.25 110 000 0.32 200 000 0.3 20 000 0.2

Tab. 1 – Proprietes des constituants de deux composites a fibres longues unidirectionnellesdont les proprietes effectives sont calculees sur la figure 3.

Quant a Ω2, on a W2 = σ0V2/(2km). La densite volumique d’energie elastique dans le composites’en deduit :

wHR− =W1 + W2

V1 + V2

=σ2

0

2km

(f1

α+ 1− f1) (77)

Le composite se comporte alors comme un milieu homogene equivalent dont le module decompressibilite est obtenu par identification de l’energie precedente et (35). Cette identificationfournit (68).Lorsque β = 1, i.e. lorsque la fraction de fibre est maximale, α = 1/φ et on trouve kHR− = kR,obtenu a l’aide de champs de contraintes homogenes par domaine Ω1 et Ω2.En fait, kHR− n’est qu’une estimation du module effectif du composite en nid d’abeille carla “solution” precedente, reunion des contributions proposees dans chaque sous–domaine,n’est pas la solution authentique du probleme pose. En effet, le champ de contraintesest certes statiquement admissible mais le champ de deplacement correspondant n’est pascinematiquement admissible. En effet, il ne verifie pas en general la condition de continuitea l’interface entre Ω1 et Ω2 en r = rm. Seule la transmission du vecteur–contrainte a etegarantie dans le travail precedent.

2.6 Hierarchie des estimations proposees

Les quatre estimations du module de compressibilite dans le plan transverse construites dansce probleme sont tracees sur la figure 3 en fonction de la fraction volumique de fibres. Pource trace, deux composites differents ont ete consideres. Le premier est le composite a matricemetallique de la figure 2(a) constitue de fibres de carbure de silicium dans une matrice detitane. Les proprietes elastiques des constituants sont donnees dans la table 1. Les applicationsvisees sont les disques de turbines de moteur d’avion. Le contraste de proprietes entre ces deuxphases n’est que de φ = 3.1. C’est pourquoi un second composite plus contraste est egalementconsidere.

Commenter les courbes des differentes estimations.On a egalement ajoute la solution exacte determinee numeriquement par la methode des

elefants minis pour trois fractions volumiques differentes. Ces solutions sont indiquees par despoints isoles. Commenter.Le champ de contraintes au sein d’un hexagone elementaire contenant une fibre et de cote rm,soumis a la contrainte equibiaxiale moyenne σ0 dans le plan, tel qu’obtenu numeriquement,est illustre sur la figure 4. Indiquer la difference fondamentale entre ce champ solution etl’estimation de ce champ proposee au paragraphe 2.5.

Une solution approchee n’a d’interet que si on est en mesure d’estimer l’erreur commise.Les theoremes de l’energie permettent en effet d’etablir des encadrements de la solution. Lesrelations d’ordre qui sont apparentes sur la figure 3 entre les differentes estimations peuvent etreetablies a l’aide du theoreme de l’energie potentielle et du theoreme de l’energie complementaire,

15

Elements finiskR

kHR−kHR+

kV

f

k 0/

k m

0.90.80.70.60.50.40.30.20.10

3

2.8

2.6

2.4

2.2

2

1.8

1.6

1.4

1.2

1

0.8

Elements finiskR

kHR−kHR+

kV

f

k 0/

k m

0.90.80.70.60.50.40.30.20.10

14

12

10

8

6

4

2

0

Fig. 3 – Comparaison entre les estimations proposees dans ce probleme et la solution numerique,obtenue par elements finis, du probleme du composite periodique : (a) composite 1 ayant uncontraste de proprietes φ = 3.1, (b) composite 2 ayant un contraste de proprietes φ = 13.9. Lescaracteristiques des deux composites sont donnees dans le tableau 1.

qui depassent helas le temps imparti pour ce cours. On montre en particulier que les estimationsdes modules effectifs basees sur des champs cinematiquement admissibles fournissent desapproximations par exces tandis que les champs statiquement admissibles servent a produiredes approximations par defaut.

Les estimations proposees sont rangees dans l’ordre suivante :

kR ≤ kHR− ≤ kHR+ ≤ kV

16

x

y

z

0.85 0.855 0.86 0.865 0.87 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Fig. 4 – Champ de contraintes calcule par la methode des elements finis sur une cellulehexagonale comportant une fibre centrale et d’arete de longueur rm, soumise a la contrainteσrr = σθθ = σ0 dans le plan : a gauche, le champ (σrr +σθθ)/2σ0 (la valeur correspondante dansl’inclusion est 1.32) ; a droite, le champ de contrainte equivalente de von Mises σeq/σ0. Il s’agitdu composite 2 dont les proprietes sont donnees dans le tableau 1. La fraction volumique defibre est 0.3.

Les estimations de Hashin et Rosen sont tres proches de la borne inferieure kR jusqu’a presde 50% de fibres. Cela est du au fait que ces estimations prennent en compte la notion dematrice entourant une fibre, ce qui n’est pas le cas de l’estimation de Voigt, independante dela morphologie. Lorsque la matrice est plus souple que les fibres, les estimations de Hashin etRosen sont par consequent plutot souples.Comme cela a ete etabli precedemment, on a kHR+(fmax) = kV (fmax) et kHR−(fmax) =kR(fmax).Les estimations de Hashin et Rosen coıncident quasiment parfaitement avec le resultat exactmalgre le caractere relativement frustre des hypotheses simplificatrices. Le champ de contraintereel est bien plus complexe que le champ d’essai utilise pour estimer le module effectif, commele montre la figure 4. En effet la distribution de contrainte supposee dans le cylindre compositede l’estimation de Hashin et Rosen est a symetrie cylindrique alors que la solution exacte esta symetrie hexagonale comme on le voit sur la figure 4. Remarquer enfin que les contraintessont quasi–homogenes dans la fibre centrale, ce qui est conforme a l’hypothese des estimationsproposees. Toutefois, dans la solution exacte, ces contraintes ne sont pas strictement homogenesdans la fibre, mais le choix de l’echelle de couleur ne permet pas de s’en rendre compte.

Pour terminer, on mentionne les bornes dites de Hashin–Shtrikmann pour les proprieteseffectives des composites dont le comportement est isotrope au niveau macroscopiques. Onrenvoie aux ouvrages (Bornert et al., 2001) pour l’etablissement de ces formules :

kHS+ =fkf + (1− f)km/(1 + αf (km − kf )/kf )

1− f + f/(1 + αf (km − kf )/kf ), avec αf =

3 + 4νf

8(1− νf )(78)

17

kHS− =(1− f)km + fkf/(1 + αm(kf − km)/km)

1− f + f/(1 + αm(kf − km)/km), avec αm =

3 + 4νm

8(1− νm)(79)

On les indique ici car elles fournissent une estimation encore meilleure de la reponse du nidd’abeille comme le montre la figure 5.

Des estimations et bornes similaires existent pour le module de cisaillement des composites.

Elements finiskR

kHS−kHR−kHR+

kHS+

kV

f

k 0/

k m

0.90.80.70.60.50.40.30.20.10

14

12

10

8

6

4

2

0

Fig. 5 – Comparaison entre les estimations proposees dans ce chapitre et la solution numerique,obtenue par elements finis, du probleme du composite periodique : composite 2 ayant uncontraste de proprietes φ = 13.9 (cf. tableau 1).

References

Bornert M., Bretheau T., and Gilormini P. (2001). Homogeneisation en mecanique desmateriaux. Hermes.

Hashin Z. and Rosen B.W. (1964). The elastic moduli of fiber–reinforced materials. Journal ofApplied Mechanics, vol. 31, pp 223–232.

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