Comportement du solides déformable

Comportement du solides déformable

Résistance des matériaux (RDM)

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I But de la RDM La résistance des matériaux est l'étude de la résistance et de la déformation des solides (arbres de transmission, bâtiments, fusées). Cela permet donc de :

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• Déterminer les dimensions fonctionnelles de la pièce • Choisir le matériau constituant la pièce • Vérifier la résistance à la "casse" de la pièce :

(Dépassement de la limite à la résistance élastique du matériau) • Vérifier la résistance à la "déformation" de la pièce

• Vérifier la résistance à la "fatigue" de la pièce : (Rupture après un certain nombre de cycles de déformation)

• Optimiser le coût de la pièce par changement des formes, des dimensions, des matériaux, ...

I But de la RDM Suite

Contraintes subies par l’aile

d’avion

Déformations subies par l’aile

d’avion


Vérification de la résistance d’une aile d’avion


Répartition des contraintes dans la pièce sous charges

II Les hypothèses de la RDM Suite

1 La géométrie des pièces :

Pour tous les calculs RDM, on utilise le modèle « Poutre » (solides dont une dimension est très supérieure aux deux autres). Si la pièce à étudier ne peut pas être modélisée par une poutre, on utilise le calcul par éléments finis qui ne peut-être que logiciel.

II Les hypothèses de la RDM Suite

2 Les matériaux étudiées:

Ils doivent être :

Isotropes : on admet que les matériaux ont, en un même point, les mêmes propriétés mécaniques dans toutes les directions.. Elle n'est pas vérifiée pour les matériaux tels que le bois, les matériaux composites...etc.Homogènes : On admet que les matériaux ont les mêmes caractéristiques (composition) en tout point.

Continus : pas de fissure, pas de creux ...

3 Les charges appliquées:

Les charges sont contenues dans le plan de symétrie

Plan de symétrie

Elles sont concentrées ou réparties

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II Les hypothèses de la RDM

II Les hypothèses de la RDM 4 Les déformations :

- Au cours de la déformation, les sections droites restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne).

- Les déformations restent faibles comparativement aux dimensions de la poutre

Suite

III Torseur de cohésion 1 Principe de calcul:

Suite

III Torseur de cohésion

{𝑇 h𝑐𝑜 }= { ��𝐺

¿ ��𝐺}

𝐺

❑

Suite


Deux conventions d’écriture sont possibles.Conventions 1 : le torseur de cohésion modélise les actions

mécaniques de la partie (2) sur la partie (1) ;Conventions 2 : le torseur de cohésion modélise les actions

mécaniques de la partie (1) sur la partie (2).

Suite


Pour la suite, nous adopterons la CONVENTION 1 tout à fait arbitrairement.

Suite


Equilibre du tronçon (1).

Suite


Définition 1 :Le torseur de cohésion au centre de surface G d’une surface droite de poutre se défini en effectuant la somme des torseurs, au même point G, des actions mécaniques agissant à gauche de la section droite, somme précédée du signe -.


Suite



Suite

Rappel : principe des actions réciproques :

{𝑇 1 /2 }+ {𝑇 �� 2→ 2}+ {𝑇 �� 4 → 2 }= {0 }

− {𝑇2 /1 }+{𝑇 𝑒𝑥𝑡 /2 }={0 } − {𝑇 h𝑐𝑜 }=− {𝑇 𝑒𝑥𝑡 /2 }

{𝑇 h𝑐𝑜 }= {𝑇𝑒𝑥𝑡 /2 }



Suite

Définition 2 :Le torseur de cohésion au centre de surface G d’une surface droite de poutre se défini en effectuant la somme des torseurs, au même point G, des actions mécaniques agissant à droite de la section droite, somme précédée du signe +.

III Torseur de cohésion Suite

2 Exemple de calcul:Soit une poutre reposant sur 2 appuis et soumise à une force de longueur l = 4,2 m

Détermination du torseur de cohésion :On décompose la poutre en deux zones : [AC] et [CB].Zone [AC] : a = 1,2m Nous allons déterminer le torseur de

cohésion au centre de surface G1 d’une section de poutre située entre A et C, repérée par l’abscisse x.Le torseur de cohésion au point G1 se détermine en effectuant la somme des A.M. agissant à gauche de la coupure, somme précédée du signe « - »


2 Exemple de calcul:Zone [AC] : a = 1,2m


2 Exemple de calcul:Zone [CB] : b = 3 m

Pour la détermination de ce torseur de cohésion, il est préférable d’utiliser la définition 2


3 Composantes du torseur de cohésion

{𝑇 h𝑐𝑜 }= { ��𝐺

��𝐺}

𝐺

❑

(𝑥 , 𝑦 , 𝑧)

❑

= |𝑁 𝑀𝑡𝑇𝑦 𝑀𝑓𝑦𝑇𝑧 𝑀𝑓𝑧|𝐺

❑

(𝑥 , 𝑦 , 𝑧 )

❑

N : effort normal Mt : moment (ou couple) de torsion

Ty : Effort tranchant suivant y

Mfy : moment fléchissant ou moment de flexion suivant y

Tz : Effort tranchant suivant z

Mfz : moment fléchissant ou moment de flexion suivant z

III Les différentes sollicitations simples

Suite

Une poutre peut être soumise à plusieurs sollicitations qui dépendent de la nature et de la direction des actions mécaniques.


Suite

xy

RG

NcohT

,00000

:)(

Traction

Exemples:

TirantBiellette

Courroie

N

N

NN

N>0


Suite

RG

NcohT

,00000

:)(

Compression

Exemples:

TirantBielletteRessort

xy

NN

N<0

N

N


Suite

Cisaillement

Exemples:

AxeClavetteGoupille

Rivet

xy

T

T

T

T/2T/2

RG

TzTycohT

,0000

:)(


Suite

Torsion

Exemples:Arbre de

transmissionTuyauterie

RG

MtcohT

,0000

0:)(

x

y

MtMt

Mt

Mt


Suite

Flexion

Exemples:Arbre

AxePlongeoir

Aile d’avion

RG

MfzTycohT

,0

000

:)(

xy T

Td

IV TractionSuite

1 Essai de Traction: L’essai de traction est une expérimentation qui

a pour objet la détermination des caractéristiques de résistance du matériau testé.

IV TractionSuite

On applique progressivement et lentement à une éprouvette, de formes et de dimensions normalisées, un effort de traction croissant dont l’intensité varie de 0 à F jusqu’à la rupture..Le tableau ci-contre montre

l’évolution de la déformation de l’éprouvette en fonction de la charge appliquée

IV TractionSuite

2 Résultats de l’essai

Allongement en mm

F(N)

Zone de déformationélastique

Zone de déformation plastique

Point de ruptureF

Fe Charge limite élastique

e

rF

Fr : Charge limite à la rupture

Graphe de l’allongement en fonction de la charge appliquée

IV TractionSuite

Résistance élastique Re avec Re en MPa, Fe en N, So section de la pièce en mm2

o

ee S

FR

avec Rr en MPa, Fr en N, So section de la pièce en mm2.

o

rr S

FR

Résistance à la rupture Rr

IV TractionSuite

Coefficient d’allongement A%

avec Lu longueur ultime après rupture, Lo longueur initiale.

100%

Lo

LoLuA

avec L allongement total de la poutre; Lo longueur d’origine; L allongement relatif suivant l’axeo

L LL

Allongement relatif

IV TractionSuite

Coefficient de PoissonPour les matériaux élastiques, la diminution des sections droites est proportionnelle à l’allongement relatif, ce coefficient est noté et appelé coefficient de Poisson.

dod

LoL

Ce coefficient caractérise la déformation transversale.

ddod Ld en notant on obtient

V ContrainteSuite

1 Définition du vecteur contrainte :Une coupure est effectuée au niveau de la surface S (le plan de coupe peut ne pas être perpendiculaire à la ligne moyenne).Considérons un point M de cette surface et dS un élément de section droite aussi petit que possible entourant le point M.Soit l’effort élémentaire transmis par dS exercé par la matière de la partie droite sur la partie gauche de la poutre.On appelle vecteur contrainte au point M pour la coupure de normale le vecteur :

S

dFd

C EEnM

12),(

Unités : en MPa ou N/mm2. La contrainte est homogène à une pression.

V ContrainteSuite

2 Contrainte normale et contrainte tangentielle :Soit le repère local affecté à la coupure suivant la section droite S de normale .Projetons le vecteur contrainte Cm dans le repère (G x y z) :

MMxMC ),(

: Contrainte normale (projection du vecteur contrainte sur la normale à la coupure).

M

: Contrainte tangentielle (projection du vecteur contrainte dans le plan YZ).

M

V ContrainteSuite

3 Contrainte en traction:

SF

E

M MLorsqu’une poutre est sollicitée en traction la contrainte tangentielle est nulle et la contrainte normale vaux :

L’expérience montre qu’il y a proportionnalité dans la zone élastique entre la contrainte et l’allongement relatif .Loi de Hooke :

avec en N/mm²(MPa), F en N, S en mm².

avec E module de Young en N/mm². (aciers E = 210000Mpa)

V ContrainteSuite

4 Condition de résistancePendant toute la durée de son service, une pièce doit conserver un comportement élastique. Cette condition s'exprime par l'inégalité suivante :

Les problèmes d'incertitude sur la valeur de Re, de la contrainte, de la modélisation de l'étude…, nous amènent donc à exprimer la condition de résistance par :

ei Rmax

pee

i Rs

Rmax

avec Re: résistance limite élastique en MPas: coefficient de sécurité (s>1)Rpe: résistance pratique de limite élastique en Mpa

V ContrainteSuite

5 Coefficient de concentration de contraintes : KtLa plupart des pièces industrielles ne sont pas cylindriques, elles possèdent des singularités de formes (perçages, gorges, rainures, filetages…). On définit un coefficient de concentration de contrainte appelé Kt tel que :La contrainte maximale a pour valeur :

nomti K .max

Avec : = contrainte atteinte au voisinage de la singularité

= contrainte moyenne nominale calculée

imax

nom

V ContrainteSuite

5 Coefficient de concentration de contraintes : Kt

V ContrainteSuite

5 Coefficient de concentration de contraintes : Kt

Les valeurs de Kt sont expérimentales. Exemple 1 : Pour un filetage triangulaire ISO : Kt = 2.5Exemple 2 : Arbre de section circulaire épaulé.

V CisaillementSuite

1 Relation sollicitation - Contrainte

ST

xy

T : effort tranchant en NS : surface de la section en m2

La contrainte tangentielle engendrée est identique dans toute la section

2 Loi de comportement élastique

.GG : module de Coulomb en Pa

: glissement transversal relatif (sans unité)

V TorsionSuite

1 Relation sollicitation - Contrainte

Mt : moment de torsion en NmIG : moment quadratique

polaire de la section en m4

: distance au centre de la section en m

2 Moment quadratique polaire

G

Fibre neutre

M

GI

Mt

O (S)

SM

y

x

z

Le moment quadratique polaire de la surface (S) par

rapport au point O est :Io =

( )S 2 . S

V TorsionSuite

Quelques expressions usuelles


GIGMt G : module de Coulomb en Pa

x angle de torsion unitaire en rad/m

IG : moment quadratique polaire de la section en m4

x

V FlexionSuite

1 Relation sollicitation - ContrainteMfz : moment de flexion en NmIGz : moment quadratique de la

section par rapport à l’axe (Gz) en m4

y : distance par rapport à l’axe (Gz) en m

2 Moment quadratique par rapport à un axe

y

z

x

y M

G

yIMf

Gz

z

La contrainte normale engendrée est nulle le long de l’axe (Gz) (fibre neutre) et est de plus en plus élevée lorsqu’on s’en éloigne.

O(S)S

M

y

y

x

V FlexionFin

Quelques expressions usuelles


''fIEMf Gzz

Mfz : moment de flexion en NmE : module de Young en PaIGz : moment quadratique par

rapport à l’axe z de la section en m4

f : flèche (écart verticale par rapport à la position sans sollicitation) en m

f’’ : dérivée seconde de la flèche par rapport à l’abscisse x

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