Compléments sur les fractions égyptiennes

Cérémonie de remise des prix

des olympiades académiques

de mathématiques 25/05/2016

Richard BreheretIA-IPR de mathématiques

Académie de Créteil

Arithmétique égyptienneLes différents empires de la civilisation égyptienne débutent vers 3100 avant J.‐C. et se

terminent avec la conquête grecque d’Alexandre en 332 avant J.‐C.

La structure de l’arithmétique égyptienne repose sur deux principes opérationnels : la

multiplication ou division par 2, le calcul des 23 de n’importe quel nombre entier ou

fractionnaire.

Multiplication égyptienne

La multiplication de deux entiers s’obtenait généralement par des opérations succes‐

sives de dédoublement, en partant implicitement du fait que tout nombre entier peut

s’écrire comme somme de puissances de 2.

Out[52]=

a

b

A = 37 × 59A = 74 × 29 +37A = 148 × 14 +111A = 296 × 7 +111A = 592 × 3 +407A = 1184 × 1 +999A = 2183

Fractions égyptiennes

Papyrus Rhind

L’application des opérations usuelles aux fractions était difficile du fait que ces

dernières 23 peut‐être exceptée) étaient réduites en sommes de fractions unitaires.

Leur réduction était rendue possible par la construction de tables contenant des frac‐

tions de la forme 2n .

Le papyrus d’Ahmes débute par une table exprimant 2n (n ∈ 〚3; 101〛) comme somme de

fractions unitaires, obtenues essentiellement à l’aide du principe de dédoublement :

pour tout n ∈ ℕ*, 1n = 1

2 n + 12 n .

2 Presentation_fractions_egyptiennes.nb

Out[53]=

Papyrus Rhind d’Ahmes, British Museum, XVIe siècle avant J.‐C.

Exemples d’Ahmes27 = 1

7 + 17

27 = 1

14 + 114 + 1

7

27 = 1

28 + 128 + 1

14 + 17

27 = 1

28 + 17 1

4 + 12 + 1

27 = 1

28 + 14

Nous avons 13 = 8 + 4 + 1213 = 1

13 + 113

213 = 1

26+ 1

26+ 1

13

213 = 1

52 + 152 + 1

26+ 1

13

213 = 1

104 + 152 + 1

104 + 126

+ 113

213 = 1

104 + 152 + 1

13 ( 18 + 1

2 + 1)

213 = 1

104 + 152 + 1

8

Sur le même principe, on peut établir que 25 = 1

20 + 110 + 1

4 (en constatant que 5 = 4 + 1)

mais Ahmes affirme que 25 = 1

15 + 13 à partir de l’égalité 1

5 = 115 + 1

15 + 115 et en écrivant

25 = 1

15 + 115 + 1

15 + 15 .

Des décompositions multiples

Du fait que, pour tout entier a ≠ 0, 1a = 1

a+1 +1

a(a+1) , la décomposition d’un nombre

rationnel en fractions égyptiennes n’est pas unique.

On trouvera ci‐dessous différentes décompositions obtenues à partir d’algorithmes

variés.

Presentation_fractions_egyptiennes.nb 3

Out[99]=

numérateur 23

dénominateur 41

méthode glouton impair

premier dénominateur dans laméthode harmonique

2

autoriser le redimensionnement dynamique

23

41= 1

3+ 1

5+ 1

37+ 1

1627+

1

1609669+ 1

29796892720283+

1

1775709631568078282466479895

4 Presentation_fractions_egyptiennes.nb

Algorithme « glouton » de Fibonacci

Leonard de Pise, dit Fibonacci (1170 ‐ 1245)

Mise en œuvre

Soit x un nombre en écriture fractionnaire.

Une première démarche naturelle consiste à approcher x par une fraction unitaire aussi

proche de x que possible puis d’utiliser la même démarche pour le reste.

Soit (x, y) ∈ ℕ*2. Notons xy le plus petit entier tel que xy ≥

xy , y[x] le reste dans la

division euclidienne de y par x et montrons que, pour tout (x, y) ∈ ℕ*2,

x

y=

1

yx

+ (-y[x]) y y

x (ℛ)

Pour tout (x, y) ∈ ℕ*2, (ℛ) équivaut à x yx = y + (-y[x]).

Soit q et r les quotient et reste respectifs dans la division euclidienne de y par x.

Nous avons y = q x + r où r ∈ 〚0; x - 1〛 et yx = q si r = 0

q + 1 sinon soit

x yx = q x si r = 0

(q + 1) x sinon

D’autre part, -y = -q x - r.

Si r = 0, -y = -q x, -y[x] = 0 et y + (-y[x]) = q x donc xy = 1⌈yx ⌉

+-y[x]

y ⌈yx ⌉

lorsque r = 0.

Si r ≠ 0,

-y = -q x - r, r ∈〛 0; x - 1〛 donc -r ∈ 〚1 - x; 0〚

-y = -(q + 1) x + (x - r), x - r ∈ 〚1; x〚

donc -y[x] = x - r et y + (-y[x]) = q x + r + x - r soit y + (-y[x]) = (q + 1) x

Dans ce cas, on a bien xy = 1⌈yx ⌉

+-y[x]

y ⌈yx ⌉

.

Ce calcul réduit le numérateur de la fraction restante à développer -y[x]y ⌈

yx ⌉, donc son

itération est finie. On peut donc mettre en œuvre l’algorithme suivant :

❦ Choisir deux entier naturels non nuls x et y

❦ Calculer 1

xy

puis -y[x]y×

yx

que l’on associe à la fraction irréductible pq

Presentation_fractions_egyptiennes.nb 5

❦ Reproduire le calcul tant que le numérateur de la fraction résultante est différent de 1.

Exemple

Out[100]=

p

q

A = 23

41

A = 1

2+ 5

82

A = 1

2+ 1

17+ 3

1394

A = 1

2+ 1

17+ 1

465+ 1

648210

6 Presentation_fractions_egyptiennes.nb

Stan Wagon, Laurent Beeckmans (1991)

Pour tout entier k ∈ ℕ*, 1k+ 1

k= 1

k+ 1

k+1+ 1

k(k+1).

Toute fraction np ((n, p) ∈ ℕ*2) s’écrit naturellement sous la forme np =∑i=1

n 1p .

On peut donc mettre en œuvre l’algorithme suivant.

❦ choisir deux entiers naturels non nuls n et p et définir la liste L de n éléments tous égaux à

p.

❦ Tant que L contient deux éléments consécutifs égaux à un entier k, les remplacer par les

éléments k, k+ 1, k(k+ 1) dans L et ordonner L.

Out[110]=

n

p

{5, 5, 5, 5}4

5= 1

5+ 15+ 15+ 15

{5, 5, 5, 6, 30}4

5= 1

5+ 15+ 15+ 16+ 1

30

{5, 5, 6, 6, 30, 30}4

5= 1

5+ 15+ 16+ 16+ 1

30+ 1

30

{5, 6, 6, 6, 30, 30, 30}4

5= 1

5+ 16+ 16+ 16+ 1

30+ 1

30+ 1

30

{5, 6, 6, 7, 30, 30, 30, 42}4

5= 1

5+ 16+ 16+ 17+ 1

30+ 1

30+ 1

30+ 1

42

{5, 6, 7, 7, 30, 30, 30, 42, 42}4

5= 1

5+ 16+ 17+ 17+ 1

30+ 1

30+ 1

30+ 1

42+ 1

42

{5, 6, 7, 8, 30, 30, 30, 42, 42, 56}4

5= 1

5+ 16+ 17+ 18+ 1

30+ 1

30+ 1

30+ 1

42+ 1

42+ 1

56

{5, 6, 7, 8, 30, 30, 31, 42, 42, 56, 930}4

5= 1

5+ 16+ 17+ 18+ 1

30+ 1

30+ 1

31+ 1

42+ 1

42+ 1

56+ 1

930

{5, 6, 7, 8, 30, 31, 31, 42, 42, 56, 930, 930}4

5= 1

5+ 16+ 17+ 18+ 1

30+ 1

31+ 1

31+ 1

42+ 1

42+ 1

56+ 1

930+ 1

930

{5, 6, 7, 8, 30, 31, 32, 42, 42, 56, 930, 930, 992}4

5= 1

5+ 16+ 17+ 18+ 1

30+ 1

31+ 1

32+ 1

42+ 1

42+ 1

56+ 1

930+ 1

930+ 1

992

{5, 6, 7, 8, 30, 31, 32, 42, 43, 56, 930, 930, 992, 1806}4

5= 1

5+ 16+ 17+ 18+ 1

30+ 1

31+ 1

32+ 1

42+ 1

43+ 1

56+ 1

930+ 1

930+ 1

992+1 /1806

{5, 6, 7, 8, 30, 31, 32, 42, 43, 56, 930, 931, 992, 1806, 865830}4

5= 1

5+ 16+ 17+ 18+ 1

30+ 1

31+ 1

32+ 1

42+

1

43+ 1

56+ 1

930+ 1

931+ 1

992+1 /1806+1 /865830

Presentation_fractions_egyptiennes.nb 7

Deux résultats évidents

Le premier…

Pour tout entier n > 1, il existe trois entiers a, b et c (non nécessairement distincts) tels

que 2n = 1

a + 1b+ 1

c .

… Et le second, encore plus fort !

Pour tout entier n > 1, il existe trois entiers a, b et c (non nécessairement distincts) tels

que 3n = 1

a + 1b+ 1

c .

8 Presentation_fractions_egyptiennes.nb

Conjecture d’Erdös ‐ Straus (1948)Paul ERDÖS (1913 ‐ 1996)

Pour tout entier n > 1, il existe trois entiers a, b et c (non nécessairement distincts) tels

que 4n = 1

a + 1b+ 1

c .

La résolution formelle dans ℕ3 de l’équation n(a b + b c + c a) = 4 a b c pour des valeurs

de n données amène les résultats suivants (n ≤ 20).

Out[111]=

n

411 =

16+

16+

133

411 =

14 +

112 +

133

411 =

14 +

111 +

144

411 =

13 +

166

+1

66411 =

13 +

144 +

1132

411 =

13 +

142 +

1154

411 =

14 +

19 +

1396

411 =

13 +

136

+1

396411 =

13 +

134 +

11122

Les calculs sont longs (1776,66 secondes temps machine pour obtenir les 250 premiers

ensembles de solutions, soit plus de 29 minutes).

La représentation graphique ci‐dessous indique, pour chaque valeur entière de n, le

nombre de triplets (a, b, c) solutions de l’équation 4n = 1

a + 1b+ 1

c .

Presentation_fractions_egyptiennes.nb 9

Out[105]=

50 100 150 200 250

200

400

600

800

1000

1200

10 Presentation_fractions_egyptiennes.nb

Conjecture de Sierpiński (1956)Wacław Sierpiński (1882 ‐ 1969)

Pour tout entier n > 1, il existe trois entiers a, b et c (non nécessairement distincts) tels

que 5n = 1

a + 1b+ 1

c .

Out[112]=

n

512 =

16+

18+

18

512 =

16+

16+

112

512 =

14 +

112 +

112

512 =

14 +

110 +

115

512 =

14 +

19 +

118

512 =

15 +

16+

120

512 =

14 +

18+

124

512 =

13 +

124 +

124

512 =

13 +

121 +

128

512 =

13 +

120 +

130

512 =

13 +

118+

136

512 =

14 +

17 +

142

512 =

13 +

116+

148

512 =

15 +

15 +

160

512 =

13 +

115 +

160

512 =

13 +

114 +

184

512 =

13 +

113 +

1156

Les calculs sont moins longs (1413,22 secondes temps machine pour obtenir les 250

premiers ensembles de solutions, soit moins de 24 minutes).

La représentation graphique ci‐dessous indique, pour chaque valeur entière de n, le

nombre de triplets (a, b, c) solutions de l’équation 5n = 1

a + 1b+ 1

c .

Presentation_fractions_egyptiennes.nb 11

Out[108]=

50 100 150 200 250

100

200

300

400

500

600

700

12 Presentation_fractions_egyptiennes.nb