Compléments de calcul intégral.pdf

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dit le 26 fvrier 2012 Enoncs 1

Complments de calcul intgralIntgrale double sur un compact

Exercice 1 [ 00085 ] [correction]Calculer

I =D

sin(x+ y)dxdy

o D = {(x, y) R2 | x, y > 0 et x+ y 6 pi}.Exercice 2 [ 00089 ] [correction]Calculer

I =Dx2y2dxdy

o D est lintrieur de la boucle de la lemniscate dquation polaire r = cos 2obtenue pour [pi/4, pi/4].


I =Dyx2 dxdy

o D = {(x, y) R2 | x 6 1, y > 0 et y2 6 x}.Exercice 4 [ 00090 ] [correction]Calculer

D(x+ y)2dxdy

o D = {(x, y)/x2 + y2 x 6 0, x2 + y2 y > 0, y > 0}.Exercice 5 [ 00091 ] [correction]Soient 1 < a < b. En calculant de deux manires pi

0

ba

dxx cos t dt

dterminer pi0

ln b cos ta cos t dt

Exercice 6 [ 00092 ] [correction]Observer que pour tout x [0, 1],

ln(1 + x) = 1

0

xdy1 + xy

En dduire la valeur deI =

10

ln(1 + x)dx1 + x2

Exercice 7 [ 00093 ] [correction]Soit r > 0. On note

Ar = [0, r] [0, r] et Br ={

(x, y) R+2/0 6 x2 + y2 6 r2}On pose

f(r) =

Ar

exp((x2 + y2))dxdy et g(r) =

Br

exp((x2 + y2))dxdy

a) Montrer que g(r) 6 f(r) 6 g(r

2).b) En dduire la valeur de +

0et

2dt

Exercice 8 Centrale MP [ 00095 ] [correction]Calculer

D

dxdy(1 + x2 + y2)2

o D est donn par |x| 6 x2 + y2 6 1.


(x3 2y)dxdy

avec =

{(x, y) R2/x > 0, y > 0, x

2

a2+ y

2

b26 1}

On pourra utiliser le changement de variable x = au cos et y = bu sin .

Diffusion autorise titre entirement gratuit uniquement - dD


Exercice 10 [ 00097 ] [correction]a) Justifier la convergence de +

0cos(u2) du et

+ 0

sin(u2) du

b) Soit f : [0, pi/2[ R+? une application continue. Pour t > 0 on noteDt = {(r cos , r sin )/ [0, pi/2] , r [0, tf()]},

(t) =

Dt

sin(x2 + y2) dxdy et (t) =

Dt

cos(x2 + y2) dxdy

Dterminer les limites, quand T tend vers + de

1T

T0 et 1

T

T0

c) On choisit f pour que D1 = [0, 1]2. On pose

C(t) = t

0cos(u2) du et S(t) =

t0

sin(u2) du

Montrer que (t) = 2C(t)S(t) et (t) = C(t)2 S(t)2.d) En dduire les valeurs des intgrales de Fresnel +

0cos(u2) du et

+ 0

sin(u2) du

Exercice 11 Mines-Ponts MP [ 02914 ] [correction]Soit

In =

[0,1]2

dxdy1 + xn + yn

Dterminer la limite de In quand n +.

Exercice 12 [ 03200 ] [correction]D dsigne le demi-disque suprieur de centre (1, 0) et de rayon 1. Calculer

I =

D

y

1 + x2 + y2 dxdy

Intgrale double sur un produit dintervalles


[0,+[2y

(1 + x2 + y2)2 dx dy

Exercice 14 [ 00098 ] [correction]En calculant de deux faons

]0,1]2xy dxdy

dterminer la valeur de 10

t 1ln t dt


[0,pi][0,1[

11 + y cosx dxdy

dterminer la valeur de pi0

ln(1 + cos t)cos t dt


[0,+[2e(x

2+y2) dx dy

dterminer la valeur de +0

et2

dt



Exercice 17 [ 00101 ] [correction]On pose

I =

]0,+[2e(x

2+y2) dxdy

a) Justifier lexistence de I et tablir

I = +x=0

( +u=0

xe(1+u2)x2 du

)dx

b) En dduire la valeur de +0

et2

dt

Exercice 18 Centrale MP [ 00102 ] [correction]Que dire de lintgrale double

D

x y(x+ y)3 dx dy

o D = ]0, 1] [0, 1] ?


R+R+dxdy

(1 + x2)(1 + y2)

En dduire pi/20

ln(tan )cos 2 d et

+0

ln tt2 1 dt

Exercice 20 [ 00270 ] [correction]Soit A M2(R) une matrice symtrique dfinie positive. Calculer

I =

R2exp(tXAX) dxdy

ou X dsigne le vecteur de coordonnes (x, y).

Formes diffrentielles

Exercice 21 [ 00258 ] [correction]a) Montrer que la forme diffrentielle = (x+ y) dx+ (x y) dy est exacte etdterminer une primitive de .b) Rsoudre alors lquation diffrentielle

x+ y + (x y)y = 0

dont linconnue est la fonction y de la variable relle x.

Exercice 22 CCP MP [ 03368 ] [correction]a) Montrer que la forme diffrentielle

(x, y) = (xy y2 + 1) dx+ (x2 xy 1)dy

nest pas ferme.b) Dterminer les fonctions f : R R drivable telle que la forme diffrentielle

(x, y)f(xy)

soit exacte et dterminer ses primitives.

Intgrales curvilignes

Exercice 23 [ 00106 ] [correction]On considre la forme diffrentielle

(x, y) = xdy y dxx2 + y2

dfinie sur R2\ {(0, 0)}.a) La forme diffrentielle est-elle ferme ?b) Calculer lintgrale de le long du cercle de centre O, de rayon 1 parcourudans le sens direct.c) La forme diffrentielle est-elle exacte ?

Exercice 24 [ 00107 ] [correction]Soit n N?.



a) Montrer que la forme diffrentielle suivante est ferme :

(x, y) = ey

x2 + y2 ((x sin x y cosx) dx+ (x cosx+ y sin x) dy)

b) Calculer la circulation de le long de larc figur direct ci-dessous

c) En passant la limite quand n + dterminer la valeur de +0

sin xx

dx

Exercice 25 Mines-Ponts MP [ 00109 ] [correction]Soient O,A,B les points daffixes respectives 0, r, r exp(ipi/4) avec r > 0. Soit rlarc paramtr de C constitu du segment [O,A], orient de O vers A, de larc Crdu cercle de centre O et de rayon r dorigine A et dextrmit B et du segment[B,O] orient de B vers O.a) Calculer

Ir =

re(x+iy)

2( dx+ idy)

b) Que dire de la limite, quand r +, de

Jr =Cr

e(x+iy)2( dx+ idy)?

c) Quen dduire ?

Formule de Green Riemann

Exercice 26 [ 00269 ] [correction]Soit la courbe oriente dans le sens trigonomtrique, constitue des deuxportions de courbes, comprises entre les points dintersection, de la droitedquation y = x et de la parabole dquation y = x2.

a) CalculerI =

(y + xy) dx

b) En utilisant la formule de Green-Riemann, retrouver la valeur de cetteintgrale.

Exercice 27 [ 00111 ] [correction]Calculer laire de la portion borne du plan dlimite par lellipse donne par{

x(t) = a cos ty(t) = b sin t

(avec a, b > 0)

Exercice 28 [ 00079 ] [correction]Calculer laire de la portion borne du plan dlimite par lastrode donne par{

x(t) = a cos3 ty(t) = a sin3 t

(avec a > 0)

Exercice 29 [ 00606 ] [correction]Calculer laire de la portion borne du plan dlimite par larche de la cyclode{

x(t) = t sin ty(t) = 1 cos t

obtenue pour t [0, 2pi] et laxe des abscisses.

Exercice 30 [ 02462 ] [correction]Calculer laire de la portion borne du plan dlimite par la courbe dfinie par{

x(t) = cos2 ty(t) = (1 + sin t) cos t

Exercice 31 [ 00112 ] [correction]Calculer laire de la portion borne du plan dlimite par la cardiode dquationpolaire

r = 1 + cos



Exercice 32 [ 00069 ] [correction]Calculer laire de la portion borne du plan dlimite par la lemniscate dquationpolaire

r =

cos 2

Exercice 33 [ 00062 ] [correction]Calculer laire de la boucle de la strophode droite dquation polaire

r = cos 2cos

Exercice 34 [ 00108 ] [correction]On considre f : R2 R de classe C2 vrifiant :

2f

x2+

2f

y2= 0

Soit : R+ R dfinie par

(r) = 2pi

0f(r cos , r sin ) d

a) Montrer que la fonction est drivable.b) Calculer et en dduire une expression . On pourra interprter r(r)comme la circulation dune forme diffrentielle sur un contour simple.c) Soit D le disque de centre 0 et de rayon R. Quelle est la valeur de

Df(x, y) dxdy?

Exercice 35 Centrale MP [ 00110 ] [correction][Ingalit isoprimtrique]Soit une application de classe C1 et 2pi-priodique de R vers C telle que

s R, |(s)| = 1

On note S laire oriente dlimite par [0,2pi].a) Exprimer S laide des coefficients de Fourier exponentiels de .b) Montrer S 6 pi et prciser le cas dgalit.

Exercice 36 CCP MP [ 03364 ] [correction]Soit (a, b) R2, a > 0, b > 0. On note lellipse dquation

x2

a2+ y

2

b2 1 = 0

et D la partie de R2 dfinie par

x2

a2+ y

2

b2 1 6 0

a) Calculer lintgrale double

I =

D

(x2 + y2)dxdy

(on posera x = ar cos et y = br sin )b) Calculer lintgrale curviligne

J =

(y3 dx x3 dy)

c) Quelle relation existe-t-il entre I et J ?


[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dit le 26 fvrier 2012 Corrections 6

Corrections

Exercice 1 : [nonc]On peut dcrire D sous la forme

D = {(x, y) R2/0 6 x 6 pi et 0 6 y 6 pi x}et ainsi exprimer lintgrale tudie

I = pix=0

pixy=0

sin(x+ y)dydx = pix=0

cos(x) + 1dx = pi

Exercice 2 : [nonc]En passant en coordonnes polaires

I = pi/4=pi/4

cos 2r=0

r5 cos2 sin2 dr d = pi/4pi/4

124 sin

2 2 cos3 2 d = 1180

Exercice 3 : [nonc]On peut dcrire D sous la forme

D = {(x, y) R2/0 6 x 6 1 et 0 6 y 6 x}et ainsi exprimer lintgrale tudie

I = 1

0

x0

yx2dydx = 1

0

12x

3dx = 18

Exercice 4 : [nonc]On peut dcrire le domaine dintgration en coordonnes polaires sous la forme

D = {M(r cos , r sin )/ [0, pi/4] / sin 6 r 6 cos }En passant aux coordonnes polaires

D(x+ y)2 dx dy =

pi/40

( cos sin

r3(cos + sin )2 dr)

d

doncD

(x+ y)2 dxdy = 14

pi/40

(cos4 sin4 )(cos + sin )2 d = 14 pi/4

0cos 2(1 + sin 2) d = 316

Exercice 5 : [nonc]Dune part pi

0

ba

dxx cos t dt =

pi0

ln b cos ta cos t dt

Dautre part pi0

ba

dxx cos t dt =

ba

pi0

dtx cos t dx

et pi0

dtx cos t =u=tan t2

+0

2 du(1 + x)u2 + x 1 =

pix2 1

On en dduit pi0

ln b cos ta cos t dt =

ba

pix2 1 dx = pi [argchx]

ba = pi ln

b+b2 1

a+a2 1

Exercice 6 : [nonc]Par simple dtermination de primitive 1

0

xdy1 + xy = [ln(1 + xy)]

10 = ln(1 + x)

On aI =

10

ln(1 + x)dx1 + x2 =

10

10

x

(1 + xy)(1 + x2) dydx

Or

x

(1 + xy)(1 + x2) =a

1 + xy +bx+ c1 + x2 avec a =

y

1 + y2 , b =1

1 + y2 , c =y

1 + y2

donc

I = 1

0

10

y(1 + xy)(1 + y2) +

x+ y(1 + x2)(1 + y2) dxdy = I+

10

10

x+ y(1 + x2)(1 + y2) dxdy

puis

I = 1

0

10

y

(1 + y2)(1 + x2) dxdy = 1

0

y

(1 + y2) dy 1

0

dx1 + x2 =

pi ln 28



Exercice 7 : [nonc]a) Br Ar Br2 et exp((x2 + y2) > 0 donc

g(r) 6 f(r) 6 g(r

2)

b) En passant aux coordonnes polaires

g(r) = pi/2

0

r0e

2dd = pi4 (1 e

r2) r+

pi

4Par encadrement, on obtient

f(r) r+

pi

4Or

f(r) =( r

0et

2dt)2r+

( +0

et2dt)2

et +

0 et2 dt > 0 donc +

0et

2dt =

pi

2

Exercice 8 : [nonc]En visualisant le domaine comme le complmentaire de la runion de deux cerclesdans le cercle unit et par des considrations de symtrie, on obtient en passantaux coordonnes polairesD

dxdy(1 + x2 + y2)2 = 4

pi/20

( 1cos

r

(1 + r2)2 dr)

d = 2 pi/2

0

11 + cos2

12 d

Or pi/20

d1 + cos2 =

+0

dtt2 + 2 =

pi

2

2donc

D

dxdy(1 + x2 + y2)2 =

pi2 pi2 =

(

2 1)pi2

Exercice 9 : [nonc] : (u, ) 7 (au cos , bu sin ) ralise une bijection de [0, 1] [0, pi/2] vers dejacobien : abu.Par changement de variable

(x3 2y) dxdy =

pi/20

( 10

(a3u3 cos3 2bu sin )abudu)

d = 215ab(a3 5b)

Exercice 10 : [nonc]a) Pour A R+ A

0cos(u2) du =

10

cos(u2) du+ A

1cos(u2) du

Par intgration par parties : A1

u

ucos(u2) du =

[1

2u sin(u2)]A

1+ 12

A1

sin(u2)u2

du A+

` R

On procde de mme pour + 0 sin(u

2) du.b) En passant aux coordonnes polaires

(t) =

Dt

sin(x2 + y2) dx dy = pi/2=0

( tf()r=0

r sin(r2) dr)

d

donc(t) =

pi/2=0

12(1 cos(t2f2())) d

puis1T

T0(t) dt = pi4

1T

pi/20

( T0

cos(t2f2()) dt)

d

Par changement de variable affine, sachant f() > 0, on a T0

cos(f()t2) dt = 1f()

f()T0

cos(u2) du

Or A 7 A0 cos(u2) du est continue sur R+ et admet une limite finie en + doncelle est borne par un certain M . On a alors pi/2

0

( T0

cos(t2f2()) dt)

d 6

pi/20

T

0cos(t2f2()) dt

d 6 pi/2

0

M

f() d = Cte

puis1T

pi/20

( T0

cos(t2f2()) dt)

d 0

Finalement1T

T0(t) dt pi4Diffusion autorise titre entirement gratuit uniquement - dD


De manire semblable, on obtient

1T

T0(t) dt 0

c) On a

(t) = tx=0

( ty=0

sin(x2 + y2) dy)

dx

orsin(x2 + y2) = sin(x2) cos(y2) + sin(y2) cos(x2)

En sparant,

(t) = t

0sin(x2) dx

t0

cos(y2) dy + t

0sin(y2) dy

t0

cos(x2) dx

puis(t) = 2S(t)C(t)

De mme(t) = C(t)2 S(t)2

d) Lorsquune fonction g : [0,+[ R continue tend vers ` en + il est connuque

1T

T0g(t) dt

T+`

On a donc(t)

t+ 2CS et (t) t+ C2 S2

en notantC =

+0

cos(u2) du et S = +

0sin(u2) du

On en dduit C2 = S2 et 2CS = pi/2. Il ne reste plus qu dterminer les signes deC et S pour conclure leur valeur. +

0cos(u2) du =

+n=0

In

avec

In = (n+1)pinpi

cos(u2) du = (n+1)pinpi

cos t2t

dt = (1)n pi

0

cos s2s+ npi

ds

On a alors In = (1)n |In|, (|In|)n>0 dcroissante et In 0 donc le critre spcialsapplique et assure que la somme

+n=0

In est du signe de son premier terme, savoir I0 > 0. Ainsi C > 0. De plus CS > 0 donc S > 0 puis

C = S =pi

2

2

Exercice 11 : [nonc]

|In 1| =

[0,1]2

xn + yn1 + xn + yn dxdy 6

[0,1]2

(xn + yn) dxdy = 2n+ 1 0

donc In 1.

Exercice 12 : [nonc]Le cercle dlimitant le disque tudi a pour quation polaire

r = 2 cos

En passant en coordonnes polaires

I = pi/2=0

2 cos r=0

r sin 1 + r2 r dr d

On obtient

I = pi/2=0

sin [r arctan r]2 cos r=0 d

donc

I = 2 pi/2=0

cos sin d pi/2

0sin arctan(2 cos ) d

La premire intgrale est immdiate et la seconde sobtient par changement devariable puis intgration par parties

I = 1 12 2

0arctan x dx = 1 arctan 2 + 14 ln 5



Exercice 13 : [nonc]Considrons

f : (x, y) 7 y(1 + x2 + y2)2

f est dfinie et continue sur [0,+[2.Pour x > 0, y 7 f(x, y) est intgrable sur R+ car y(1+x2+y2)2 1y3 quandy +. +

0

y

(1 + x2 + y2)2 dy =[12

11 + x2 + y2

]+y=0

= 12(1 + x2)

De plus x 7 +0 f(x, y) dy est intgrable sur R+ car 12(1+x2) 1x2 quandx +. +

0

12

dx1 + x2 =

pi

4

Puisque f est positive, on en dduit que f est intgrable sur [0,+[2 et par lethorme de Fubini,

[0,+[2y

(1 + x2 + y2)2 dxdy = +

0

( +0

y

(1 + x2 + y2)2 dy)

dx = pi4

Exercice 14 : [nonc]Soit f(x, y) = xy continue et positive sur ]0, 1[2.Dune part 1

y=0

( 1x=0

xy dx)

dy = 1y=0

1y + 1 dy = ln 2

Dautre part 1x=0

( 1y=0

xy dy)

dx = 1x=0

x 1ln x dx

avec x 7 x1ln x intgrable sur ]0, 1[.Par le thorme de Fubini (avec ici f > 0), ces deux intgrales sont gales et donc 1

0

t 1ln t dt = ln 2

Exercice 15 : [nonc]Soit f(x, y) = 11+y cos x continue et positive sur [0, pi] [0, 1[.

Dune part : pi0

( 10

dy1 + y cosx

)dx =

pi0

ln(1 + cosx)cosx dx

et cette intgrale est bien dfinie.Dautre part : pi

0

dx1 + y cosx

=t=tan x2

+0

2dt(1 + y) + (1 y)t2 =

pi1 y2

et 10

( pi0

dx1 + y cosx

)dy =

10

pi dy1 y2 =

pi2

2

Par le thorme de Fubini (avec ici f > 0), ces deux intgrales sont gales et donc pi0

ln(1 + cos t)cos t dt =

pi2

2

Exercice 16 : [nonc]Sous rserve dintgrabilit on a : +

x=0

( +y=0

e(x2+y2) dy

)dx =

pi/2=0

( +r=0

rer2

dr)

d

Dune part, la fonction y 7 e(x2+y2) est intgrable sur R+ et la fonctionx 7 +

y=0 e(x2+y2) dy = Cex2 est intgrable sur R+.

Dautre part, la fonction r 7 rer2 est intgrable sur R+ et la fonction 7 +0 rer2 dr est intgrable sur [0, pi/2].La relation prcdente est donc valide.Dune part, en sparant les variables : +

x=0

( +y=0

e(x2+y2) dy

)dx =

( +0

et2

dt)2

Dautre part, pi/2=0

( +r=0

rer2

dr)

d = pi2

[12e

r2]+r=0

= pi4

On peut conclure +0

et2

dt =pi

2



Exercice 17 : [nonc]a) Pour tout x ]0,+[, y 7 e(x2+y2) est intgrable sur ]0,+[ et lapplicationx 7 +

y=0 e(x2+y2) dy = Cex2 est continue et intgrable sur ]0,+[ donc

(x, y) 7 e(x2+y2) est intgrable sur ]0,+[2 et

I = +x=0

( +y=0

e(x2+y2) dy

)dx

Ralisons le changement de variable y = ux +y=0

e(x2+y2) dy =

+u=0

xex2(1+u2) du

puis

I = +x=0

( +u=0

xe(1+u2)x2 du

)dx

b) Compte tenu des calculs prcdents (x, u) 7 xe(1+u2)x2 est intgrable sur]0,+[2 et donc

I =

]0,+[2xe(1+u

2)x2 dx du

Puisque x 7 xe(1+u2)x2 est intgrable sur ]0,+[ et queu 7 +0 xe(1+u2)x2dx = 12 11+u2 est intgrable sur ]0,+[ on a aussi

I = +u=0

( +x=0

xe(1+u2)x2 dx

)du =

+0

du1 + u2 =

pi

2

Or par sparation des variables

I = +x=0

( +y=0

e(x2+y2) dy

)dx =

( +t=0

et2

dt)2

donc +0

et2

dt =pi

2car cette dernire intgrale est positive.

Exercice 18 : [nonc]Lintgrale a la mme nature que sur ]0, 1]2.

x 7 xy(x+y)3 est intgrable sur ]0, 1] et 10

x y(x+ y)3 dx =

1(1 + y)2

y 7 1(1+y)2 est intgrable sur ]0, 1] et 10 dy(1 + y)2 =

12

Ainsi 1

0 1

0xy

(x+y)3 dxdy = 12 .Par une dmarche symtrique 1

0

10

x y(x+ y)3 dy dx =

12

On peut donc dire que la fonction (x, y) 7 xy(x+y)3 nest pas intgrable sur D.

Exercice 19 : [nonc]Posons f : R+ R+ R dfinie par

f(x, y) = 1(1 + x2)(1 + y2)

La fonction f est continue et positive.Pour y R+, la fonction x 7 f(x, y) est intgrable sur R+ ety 7 +0 f(x, y) dx = pi2(1+y2) est intgrable sur R+.On en dduit que f est intgrable sur R+ R+ et

R+R+dxdy

(1 + x2)(1 + y2) = +

0

( +0

dx(1 + x2)(1 + y2)

)dy = pi

2

4

Posons g : R+ ]0, pi/2[ R dfinie par

g(r, ) = f(r cos , r sin )r = r(1 + r2 cos2 )(1 + r2 sin2 )

La fonction g est continue et positive.Pour ]0, pi/2[, la fonction r 7 g(r, ) est intgrable sur R+ et +

0g(r, ) dr =

u=r212

+0

du(1 + u cos2 )(1 + u sin2 )

= ln tan cos 2



Pour 6= pi/4,

1(1 + u cos2 )(1 + u sin2 )

= 1cos 2

(cos2

1 + u cos2 sin2

1 + u sin2

)et on en dduit +

0

du(1 + u cos2 )(1 + u sin2 )

= 1cos 2

[ln 1 + u cos

2

1 + u sin2

]+0

= 2 ln tan cos 2puis +

0g(r, ) dr = ln tan cos 2

De plus, pour [a, b] ]0, pi/2[, on a

|g(r, )| 6 r(1 + r2 cos2 b)(1 + r2 sin2 a)

= (r)

avec intgrable sur [0,+[ donc, par domination sur tout segment, on peutaffirmer que 7 +0 g(r, ) d est continue sur ]0, pi/2[. Par cet argument, ilnest pas ncessaire de calculer lintgrale pour = pi/4.La fonction h : 7 +0 g(r, ) d est intgrable sur ]0, pi/4] car quand 0+,

h() =

ln(tan )cos 2

ln 0

De plus, h(pi/2 ) = h() donc h est aussi intgrable sur [pi/4, pi/2[.Par le thorme dintgration en coordonnes polaires, on a alors

R+R+f(x, y) dxdy =

pi/20

( +0

g(r, ) dr)

d

do lon tire pi/20

ln tan cos 2 d =

pi2

4En posant t = tan , on a dt = (1 + t2) d et

cos 2 = 1 t2

1 + t2

et on obtient +0

ln tt2 1 dt =

pi2

4

Exercice 20 : [nonc]Commenons par le cas o

A =( 00

)avec , > 0

On tudie alorsI =

R2

exp((x2 + y2)) dx dy

Posons f : R2 R dfinie parf(x, y) = exp

((x2 + y2))La fonction f est dfinie, continue et positive sur R2.Pour x R, la fonction y 7 f(x, y) est intgrable sur R et

Rf(x, y) dy = ex

2 +

ey2

dy = Cteex2

La fonction x 7 R f(x, y) dy est intgrable sur R et par consquent f estintgrable sur R2 avec

I =R

(Rf(x, y) dy

)dx =

( +

ex2

dx)( +

ey

2dy)

Sachant +

et2

dt =pi

on obtient par un changement de variable affine

I = pi

= pidetA

Passons au cas gnral.Notons , > 0 les deux valeurs propres de la matrice A. Il existe une baseorthonorme (~e1, ~e2) telle que si X = u~e1 + v~e2 alors

tXAX = u2 + v2

Considrons alors lapplication : R2 R2 qui (x, y) associe (u, v) de sorte que(x, y) = u~e1 + v~e2

est une isomtrie de lespace vectoriel R2, la valeur absolue de son jacobien vaut1 et transforme le disque

D(0, R) ={

(x, y) R2/x2 + y2 6 R2}Diffusion autorise titre entirement gratuit uniquement - dD


en lui-mme. Par le changement de variable (u, v) = (x, y)D(0,R)

exp(tXAX) dxdy =

D(0,R)exp

((u2 + v2)) dudvQuand R +, ltude dintgrabilit du cas initial donne

D(0,R)exp

((u2 + v2)) dudv R2

exp((u2 + v2)) dudv = pi

On en dduit D(0,R)

exp(tXAX) dxdy R+

pi

Tout pav [a, b] [c, d] tant inclus dans un disque D(0, R) pour R assez grand etinversement tout disque D(0, R) tant inclus dans un pav assez grand, on peutaffirmer que la fonction continue positive (x, y) 7 exp(tXAX) est intgrable surR2 et

I = sup[a,b][c,d]R2

[a,b][c,d]

exp(tXAX) dx dy = limR+

D(0,R)

exp(tXAX) dx dy = pi

= pidetA

Exercice 21 : [nonc]a) Aprs tude du systme diffrentiel

f

x(x, y) = x+ y

f

y(x, y) = x y

on vrifie aisment quef(x, y) = 12x

2 + xy 12y2

est une primitive de la forme diffrentielle .b) Soit y une solution sur I de lquation diffrentielle tudie.Pour tout x I, on a

ddx (f(x, y(x)) = 0

donc x 7 f(x, y(x)) est une fonction constante. En posant la valeur de cetteconstante, on obtient

x I, y2 2xy x2 + 2 = 0puis

x I, x2 > 0 et y(x) = x+ (x)

2x2 2 avec (x) = 1

Pour < 0, la quantit x2 est strictement positive sur R. Puisque la fonction

: x 7 (x) = y(x) x2x2 2

est continue et ne prend que les valeurs 1 ou 1, elle est constante et donc

x I, y(x) = x+

2x2 2 ou x I, y(x) = x

2x2 2

Pour > 0, quand la quantit x2 sannule, elle change de signe et ce ne peutdonc qutre en une extrmit de lintervalle I. Par un argument de continuitsemblable au prcdent, on obtient encore

x I, y(x) = x+

2x2 2 ou x I, y(x) = x

2x2 2

et puisque la fonction y est drivable sur I, on a ncessairement x2 > 0 sur I.Pour = 0.Si I R+ ou I R alors comme pour ce qui prcde on obtient

x I, y(x) = (1 +

2)x ou x I, y(x) = (1

2)x

Sinon, par drivabilit dun raccord en 0 dune solution sur I R+ et sur I R,on obtient encore

x I, y(x) = (1 +

2)x ou x I, y(x) = (1

2)x

Inversement, les fonctions proposes sont bien solutions en vertu des calculs quiprcdent.Pour rsumer, les solutions maximales de lquation diffrentielle tudie sont x 7 (1 +2)x et x 7 (12)x sur R ; x 7 x+2x2 + 2 et x 7 x+2x2 2 sur R pour < 0 ; x 7 x+2x2 + 2 et x 7 x+2x2 2 sur

],

[et]

,+[pour

> 0.

Exercice 22 : [nonc]a) Posons

P (x, y) = xy y2 + 1 et Q(x, y) = x2 xy 1Puisque

Q

x6= P

y

la forme diffrentielle nest pas ferme.



b) La forme diffrentielle(x, y) = (x, y)f(xy)

est de classe C1 sur louvert toil R2, elle est donc exacte si, et seulement si, elleest ferme. Cela quivaut la satisfaction pour tout (x, y) R2 de lquation

(2x y)f(xy) + y(x2 xy 1)f (xy) = (2y x)f(xy) + x(xy y2 + 1)f (xy)Aprs simplification, on obtient

(x+ y) (f(xy) f (xy)) = 0Par suite f est solution du problme pos si, et seulement si, f est solution delquation diffrentielle

y(t) = y(t)

Aprs rsolution de cette quation diffrentielle linaire dordre 1, on obtient lasolution gnrale

f(t) = et avec ROn obtient alors une primitive U de la fonction forme diffrentielle tudie enrsolvant le systme

U

x(x, y) = exy(xy y2 + 1)

U

y(x, y) = exy(x2 xy 1)

Au terme des calculs, on obtient

U(x, y) = (x y)exy + C

Exercice 23 : [nonc]a) Oui, on vrifie par le calcul

Q

x= P

y

b) On paramtre le cercle par x = cos t, y = sin t, t [0, 2pi]. On obtient =

2pi0

1 dt = 2pi

c) Non car si tait exacte on aurait = 0

Exercice 24 : [nonc]a) Par calculs (pnibles).b) C peut tre inclus dans un ouvert toil o est exacte et alors

C = 0.

c) On peut dcomposer =

n1/n

sin xx

dx+Cn

1/nn

sin xx

dx+C1/n

avec Cn et C1/n les demi-cercles de rayon n et 1/n. n1/n

sin xx

dx 1/nn

sin xx

dx = 2 n

1/n

sin xx

dx 2 +

0

sin xx

dx

La convergence de cette dernire intgrale est considre comme bien connue.Etudions

Cn

= pi

0en sin cos(n cos ) d

Puisqueen sin cos(n cos ) 6 1 et en sin cos(n cos )

n+ 0 pour tout ]0, pi[, par convergence domine on obtient

Cn

n+ 0

Etudions C1/n

= pi

0e 1n sin cos

(1n

cos )

d

Puisquee 1n sin cos ( 1n cos ) 6 1 et e 1n sin cos( 1n cos ) n+ 1 pour tout

[0, pi], par convergence domine on obtientC1/n

n+ pi

Finalement2 +

0

sin xx

dx = pi

puis +0

sin xx

dx = pi2



Exercice 25 : [nonc]a)

re(x+iy)

2( dx+ idy) =

rP (x, y) dx+Q(x, y) dy avec P (x, y) = iQ(x, y) = e(x+iy)

2

OrP

y(x, y) = 2i(x+ iy)e(x+iy)2 = Q

x(x, y)

donc r

e(x+iy)2( dx+ i dy) = 0

car la forme diffrentielle est ferme donc exacte sur louvert toile C.b)

Jr =Cr

e(x+iy)2( dx+ i dy) =

pi/40

rer2(cos t+i sin t)2(sin t i cos t) dt

donc

|Jr| 6 pi/4

0rer

2 cos 2t dt = pi/4

0rer

2 sin 2u du 6sin t> 2pi t

pi/40

re 4piur2

du =[

4pir

e 4piur2]pi/4

0 0

c) On a [O,A]

e(x+iy)2( dx+ i dy) =

r0

et2

dt

et [B,O]

e(x+iy)2( dx+ idy) =

r0

eit2 1 + i

2dt

Sachant +0

et2dt =

pi

2on obtient

limr+

r0

cos t2 + sin t2 dt =pi/2

etlim

r+

r0

cos t2 sin t2 dt = 0

On peut alors conclure

limr+

+0

cos t2 dt = limr+

+0

sin t2 dt =pi

2

2

Exercice 26 : [nonc]a) En paramtrant les deux courbes constituant

I = 1

0x2 + x3 dx

10x+ x2 dx = 14

b) Par la formule de Green-Riemann

I = D

(1 + x) dxdy

avec D = {(x, y) R2/0 6 x 6 1, x2 6 y 6 x}.On en dduit

I = 1

0

( xx2

(1 + x) dy)

dx = 1

0(1 + x)(x x2) dx = 14

Exercice 27 : [nonc]Le domaine limit tant parcouru dans le sens direct, on peut calculer son aire parlintgrale curviligne

A =xdy

On obtientA =

2pi0

ab cos2 tdt = piab


A =xdy

On obtientA =

2pi0

3a2 cos4 t sin2 tdt = 3pi8 a2

Exercice 29 : [nonc]On calcule laire tudie par lintgrale curviligne

A =xdy



le long dun pourtour direct du domaine limit. Le pourtour est ici form par larunion de deux arcs, larche de cyclode (parcouru dans le sens indirect) et unsegment de laxe (Ox). On obtient

A = 2pi

0(t sin t) sin tdt+

2pi0

0 dt = 3pi

Exercice 30 : [nonc]La courbe tudie est intgralement obtenue pour t [0, 2pi] et le domaine limitest parcouru dans le sens direct. On peut calculer son aire par lintgrale curviligne

A =xdy

On obtientA =

2pi0

cos4 t cos2 t(1 + sin t) sin tdt = pi2


A = 12r2 d

On obtientA = 12

pipi

(1 + 2 cos + cos2 )d = 3pi2

Exercice 32 : [nonc]Laire voulue se calcule par une intgrale curviligne le long dun pourtour directdu domaine

A = 12r2 d

Pour variant de pi/4 pi/4, on parcourt une boucle de lemniscate dans le sensdirect, on obtient par considration de symtrie

A = pi/4pi/4

cos 2d = 1

Exercice 33 : [nonc]La boucle de la courbe considre est obtenue pour [pi/4, pi/4] et elle estparcourue dans le sens direct.Laire voulue se calcule par lintgrale curviligne

A = 12r2 d

On obtient par considration de symtrie

A = pi/4

04 cos2 4 + 1cos2 d = 2

pi

2

Exercice 34 : [nonc]a) g : (r, t) 7 f(r cos t, r sin t) est C1 donc g et gr sont continues sur R [0, 2pi] et est C1 sur R.b) La fonction (r, ) 7 f(r cos , r sin ) admet une drive partielle en la variabler et celle-ci est continue sur R [0, 2pi]. Par intgration sur un segment, estdrivable et

(r) = 2pi

0cos f

x(r cos , r sin ) + sin f

y(r cos , r sin ) d

En notant le cercle de centre O et de rayon r parcouru dans le sens direct et Dle disque correspondant,

r(r) =

f

x(x, y) dy f

y(x, y) dx =

D

2f

x2(x, y) +

2f

y2(x, y) dxdy = 0

On en dduit (r) = 0 pour r 6= 0, puis par continuit pour tout r R.Par suite la fonction est constante gale

(0) = 2pif(0, 0)

c) En passant aux coordonnes polairesDf(x, y) dx dy =

R0

2pi0

f(r cos , r sin )r d dr = piR2f(0, 0)

Exercice 35 : [nonc]a) Posons x = Re(), y = Im().

S =

12 (xdy y dx) =

12

2pi0

(x(s)y(s) y(x)x(s)) ds



doncS = 12

2pi0

Im((s)(s)) ds = piIm( | )

en notant (. | .) le produit scalaire usuel.Par la formule polarise de Parseval

( | ) =nZ

cn()cn() =nZ

in |cn()|2

car cn() = incn() et donc

S =nZ

n |cn()|2

b) Par la formule de Parseval on a :n

|incn|2 = 12pi 2pi

0|(s)|2 ds = 1

donc n

n2 |cn|2 = 1

puisS = pi

nZ

n |cn|2 6 pinZ

n2 |cn|2 6 pi

avec galit si, et seulement si, cn = 0 pour tout n Z tel que |n| > 1.On a alors (s) = c0 + c1eis avec |c1| = 1 car |(s)| = 1. est un paramtrage direct dun cercle de diamtre 1.

Exercice 36 : [nonc]a) Le changement de variables propos a pour jacobien

D(x, y)D(r, ) =

a cos ar sin b sin br cos = abr

Ce changement de variable donne

I = 2pi

0

1r=0

(a2r2 cos2 + b2r2 sin2

) |abr| dr det donc

I = piab(a2 + b2)4

b) Par le paramtrage direct{x(t) = a cos ty(t) = b sin t

avec t [0, 2pi]

on obtientJ =

2pi0

ab3 sin4 + a3b cos4 d

puis au terme des calculs

J = 3piab(a2 + b2)4

c) On observeJ = 3I

ce qui est conforme la formule de Green Riemann puisque

y3 dx x3 dy = P (x, y)dx+Q(x, y)dy

avecQ

x(x, y) P

y(x, y) = 3(x2 + y2)


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