Compactification des champs de Chtoucas et théorie … · 2019-05-10 · Classification...

Astérisque

TUAN NGO DACCompactification des champs de Chtoucas et théoriegéométrique des invariants

Astérisque, tome 313 (2007)<http://www.numdam.org/item?id=AST_2007__313__1_0>

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A S T É R I S Q U E 313

C O M P A C T I F I C A T I O N D E S C H A M P S

D E C H T O U C A S E T T H É O R I E

G É O M É T R I Q U E D E S I N V A R I A N T S

T u a n N g o D a c

Société Mathématique de F r a n c e 2007 Publié avec le concours du Centre National de la Recherche Scientifique

Tuan Ngo Dac CNRS - Université de Paris Nord, LAGA - Département de Mathématiques, 99 avenue Jean-Baptiste Clément, 93430 Villetaneuse, France. E-mail : ngodac(9math.univ-paris l3 . fr

Classification mathématique par sujets (2000). — 11R58, 11G09, 14G35, 14D20, 14L24. Mots clefs. — Chtoucas - Variétés modulaires de Drinfeld - Modules des fibres sur les courbes - Corps de fonctions - Théorie géométrique des invariants.

C O M P A C T I F I C A T I O N D E S C H A M P S D E C H T O U C A S E T T H É O R I E G É O M É T R I Q U E D E S I N V A R I A N T S

T u a n Ngo D a c

Résumé. — Dans la preuve de Drinfeld et Lafforgue de la correspondance de Lan-glands pour G L r sur les corps de fonctions, l'étape la plus difficile consiste à construire des compactifications des espaces de module (ou plutôt des champs) de chtoucas de Drinfeld. Pour vérifier la propreté, Lafforgue a utilisé la réduction semistable à la Langton et une analyse détaillée des propriétés modulaires qui définissent les compactifications. Si l'on espère démontrer la correspondance de Langlands sur les corps de fonctions pour d'autres groupes réductifs, une des questions naturelles est de généraliser les compactifications de Lafforgue dans le contexte d'un groupe réductif arbitraire. Dans ce cas, l'approche de Lafforgue semble difficile à mettre en œuvre.

Ce texte présente une façon de construire des compactifications des champs de chtoucas à modifications multiples qui généralisent celle des champs de chtoucas de Drinfeld. Notre approche repose sur une méthode plus générale : la théorie géométrique des invariants. Dans le cas des champs de chtoucas de Drinfeld, nous retrouvons les compactifications de Lafforgue et découvrons de nouvelles compactifications, entre autres des compactifications qui sont duales de celles de Lafforgue. De plus, notre méthode est susceptible de produire des compactifications des champs de G-chtoucas pour un groupe réductif quelconque G.

Abstract (Compactification of the stacks of shtukas and geometric invariant theory) In the proof of Drinfeld and Lafforgue of the Langlands correspondence for G L r

over function fields, the most difficult part is to construct compactifications of moduli spaces (or stacks) classifying Drinfeld's shtukas. I f one hopes to prove the Langlands correspondence over function fields for other reductive groups G, it is natural to generalize the above constructions for the stacks of G-shtukas. However, the approach of Lafforgue based on the semistable reduction due to Langton seems difficult to carry out.

In this article, we use the geometric invariant theory to give a new method to construct compactifications of moduli spaces of Drinfeld's shtukas. This rediscovers not only the compactications constructed by Drinfeld and Lafforgue, but also gives rise to new families of compactications.

© Astérisque 313, SMF 2007

T A B L E D E S M A T I È R E S

Introduction 7 Champs de chtoucas de Drinfeld et leurs compactifications 7 La théorie géométrique des invariants 8 Notre apport 9 L'organisation de ce texte 11 Remerciements 12

I . Chtoucas de Drinfeld : rappels 13 1.1. Notations 13 1.2. Chtoucas de Drinfeld 13 1.3. Chtoucas dégénérés. Chtoucas itérés 17 1.4. Le théorème de compactification de Lafforgue 25

I I . Variation des quotients 27 I I . 1. La valuation standard 27 11.2. Structures de niveau 29 11.3. Construction du fourre-tout 31 11.4. Les quotients par le groupe multiplicatif G7^1 35 11.5. Choix des paramètres 36 11.6. Énoncé du théorème principal 37

I I I . Semistabilité 39 I I I . 1. Introduction 39 111.2. Critère numérique de Hilbert-Mumford 39 111.3. Calculs des points semistables et des points stables 44

I V . Compactification des champs de chtoucas de Drinfeld 57 IV. 1. Notations 57 IV.2. Construction du fourre-tout 57 IV.3. Les quotients par le groupe multiplicatif G7^1 60 IV.4. Énoncé du théorème principal. Application 61

6 TABLE DES MATIÈRES

IV. 5. Semistabilité 63

V . Propreté 71 V. l . Préliminaires 71 V.2. Étape a 75 V.3. Étape b 78 V.4. Étape c - Introduction 80 V.5. Étape c - Préliminaires 81 V.6. Étape c - Début de la preuve 89 V.7. Étape c - Fin de la preuve 98 V. 8. Étape d 100

V I . Nouvelles compactifications des champs de chtoucas de Drinfeld 103

V I . 1. Compactifications de Lafforgue 103 VI.2. Compactifications duales 109 V I . 3. D'autres compactifications 111

V I I . Compactifications des champs de chtoucas à modifications multiples 113

V I I . 1. Chtoucas à modifications multiples 113 VII .2 . Chtoucas dégénérés à modifications multiples 116 VII .3 . Compactification des champs de chtoucas à modifications multiples . . . 119

Bibliographie 123

ASTÉRISQUE 313

I N T R O D U C T I O N

Champs de chtoucas de Drinfeld et leurs compactifications

Soit X une courbe algébrique projective, lisse et géométriquement connexe sur un corps fini ¥ q à q éléments. Soit k = ¥q une clôture algébrique de ¥ q ; on notera

X = X x¥q k.

D'après Drinfeld, un chtouca (à droite) de rang r et de degré d sur la courbe X consiste en un fibre vectoriel £ de rang r et de degré d sur X et une modification de £ par son transformé de Frobenius (Idx x Frobfc)*£ = £ a :

£ £' £h Eo

telle que les quotients £ ' / £ et £ ' / £ " soient de longueur 1, et supportés par deux points oc et 0 de X. On peut mettre les chtoucas de rang r et de degré d en famille et définir leur champ classifiant C h t r , d . Ce champ est algébrique au sens de Deligne-Mumford et muni d'un morphisme naturel

(oo,0) : C h t r ' d X x X

qui est lisse de dimension relative 2r — 2. Une des difficultés majeures dans les travaux de Drinfeld et Lafforgue réside dans

le fait que ce champ n'est pas de type fini et a fortiori n'est pas propre. Pour la surmonter, d'abord (cf. [8]), à tout polygone p : [0,r] —* R assez convexe qui joue le rôle d'un paramètre de troncature, Lafforgue associe un sous-champ ouvert de type fini Chtr^p de C h t r ' d , qui classifie les chtoucas de rang r et de degré <i, dont le polygone canonique de Harder-Narasimhan du fibre vectoriel sous-jacent £ est majoré par p.

Ensuite, dans [9], i l propose une compactification Chtryd,p de cet ouvert qui est défini comme solution d'un problème de module. On introduit d'abord les pseudo-homomorphismes complets - une notion qui généralise celle d'isomorphisme - et définit les chtoucas dégénérés. Essentiellement, un chtouca dégénéré de rang r et de degré d sur la courbe X consiste en un fibre vectoriel £ de rang r et de degré une

8 INTRODUCTION

modification de £ par un fibre vectoriel £ " de même rang £ £' £"

telle que les quotients £ ' / £ et £ ' / £ " soient de longueur 1, et un pseudo-homomorphisme complet

£a E''

qui vérifie certaines conditions supplémentaires. On montre l'existence d'un champ algébrique au sens d 'Art in ChtDeg r , d classifiant

les chtoucas dégénérés de rang r et de degré d. Puis i l définit le champ de chtoucas itérés Chtr,d en imposant une liste de conditions ouvertes. I l est muni encore d'un morphisme vers X x X et d'un morphisme vers le champ Ar~1 /Q7^1. Ce dernier a une stratification évidente indexée par les familles r = ( r i , r2, · . . , r^) vérifiant 0 < ri < r2 < · - • < rk — r. Cette stratification induit une stratification { C h t p d } r

sur Chtr,d et chaque strate Cht^d admet une description modulaire : elle classifie essentiellement les familles de chtoucas de rang ri,r2 — r i , . . . , r& — r & _ i . La strate ouverte qui correspond à la famille triviale (0 < r ) est le champ Cht r ' . Et le champ C h t r ' d vérifie la partie d'existence (mais non d'unicité) du critère valuatif de propreté. Puis Lafforgue définit des conditions de troncature de type combinatoire pour obtenir C h t r , d , p et analyse ces conditions sur les strates ChtJ?d. Par la réduction semistable à la Langton, i l prouve :

Théorème (Lafforgue). — Supposons que le polygone p est assez convexe. Alors le morphisme

Chtr'd'p X x X

est propre.

Pour le prouver, i l utilise le critère valuatif de propreté. I l se place sur la fibre générique du chtouca qu'il s'agit de faire dégénérer ; cette fibre a une structure de cp-espace et i l définit la notion de ^-réseau itéré dans un ^-espace. Chaque tel réseau définit un chtouca dégénéré. La réduction semistable à la Langton consiste à transformer un réseau itéré en un autre et, par une série de telles transformations, Lafforgue réussit à trouver un unique 92-réseau itéré tel que le chtouca dégénéré associé est un chtouca itéré et qu'il vérifie les conditions de troncature.

L a théorie géométrique des invariants

On renvoie le lecteur au livre [13] pour plus de détails de cette théorie. Etant donné un schéma quasi-projectif Y muni d'une action d'un groupe réductif G, la théorie géométrique des invariants produit des ouverts U de Y invariants par l'action de G tels que le quotient U//G existe. Le théorème fondamental de cette théorie est le suivant. Soit Y un schéma quasi-projectif muni d'une action d'un groupe réductif G. Supposons que cette action se relève en une linéarisation sur un fibre inversible ample C de Y.

ASTÉRISQUE 313

NOTRE APPORT 9

On peut associer à cette linéarisation l'ouvert Ys des points stables et l'ouvert des points semistables Yss de Y :

ys c yss c y

Alors le quotient Yss//G existe; i l est quasi-projectif. Les points géométriques du quotient Ys//G sont en bijection avec les orbites de G dans Ys. De plus, si Y est projectif, alors Yss//G est projectif.

Si Y est projectif, i l existe un critère numérique, dit de Hilbert-Mumford, pour déterminer les ensembles des points stables et semistables. Soit A : G m —» G un sous-groupe à un paramètre et soit x un point de Y ; comme Y est projective, donc propre, on peut définir

xo — l im X(t)x.

Ce point xo est un point fixe de Y sous l'action du groupe multiplicatif G m via À. Cela implique que l'action de G m sur la fibre de C en XQ est donnée par un caractère

t t r , r G Z .

On pose fjb(x,X) = -r.

Le critère numérique de Hilbert-Mumford dit que x est semistable (resp. stable) si et seulement si, pour tout sous-groupe à un paramètre non trivial À, on a /JL(X, à) > 0 (resp. [j,(x, à) > 0).

Récemment, Thaddeus, Dolgachev et Hu ont étudié comment varient les différents quotients lorsque l'on fait varier la linéarisation. L'espace des linéarisations possibles est divisé en un nombre fini de polyèdres ou « chambres ». Le quotient ne change pas à l'intérieur d'une chambre mais, lorsque l'on franchit un mur qui sépare deux chambres, les quotients sont reliés par une transformation birationnelle qui, sous certaines hypothèses supplémentaires, est un flip au sens de Mori, c'est-à-dire le composé d'un éclatement et d'une contraction. On renvoie aux articles [2], [18], [20] pour plus de détails. I l y a plusieurs applications de ce principe de variation des quotients, par exemple, [16], [15].

Notre apport Venons-en à notre contribution. Dans ce travail, nous commençons par appliquer

la théorie géométrique des invariants pour trouver des compactifications des champs de chtoucas de Drinfeld. Nous travaillons avec les champs C h t D e g ^ de chtoucas dégénérés munis d'une structure de niveau en un sous-schéma fermé fini iV de X . I l est muni d'un morphisme représentable et fini sur C h t D e g r d Xxxx(X — N)2 et d'une action du groupe fini Ghr(Ojs[) ; le quotient de son espace grossier associé par ce groupe fini est l'espace grossier associé à ChtDeg r ' d Xxxx(X — N)2.

Fixons un polygone po assez convexe en fonction de X et de r . Nous in troduisons un champ y qui est un PGL^ xGJ^ _ 1-torseur au-dessus de l'ouvert ChtDeg^° Xvecr-,d \ecr,d,Po de ChtDeg^, où h dépend du degré d. Nous construisons

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2007

10 INTRODUCTION

un morphisme quasi-projectif, PGL^ xGJ^-équivariant ip de y vers un espace projectif Z. Ce dernier est muni d'un fibre inversible ample C qui est équivariant par rapport à l'action de PGL^, mais admet plusieurs G7^1 -linéarisations. Sur Z, on a ainsi une famille de PGL^ x G ^ - 1 -linéarisations de C indexée par les polygones q : [0, r] R, avec q(0) = q(r) = 0.

Nous montrons d'abord (cf. théorème II.6.1) :

Théorème A. — Soit p : [0, r] —• R im polygone de troncature assez convexe en fonction de X et de r. On choisit un polygone q : [0, r] —» R tel que, pour tout entier 0 < s < r, on ait p(s) < q(s) < p(s) + 1 et sur Z, on considère la linéarisation associée à q.

Alors, pour un point géométrique y de y, dont le chtouca dégénéré sous-jacent est de type r, les conditions suivantes sont équivalentes :

i) ip(y) est semistable (resp. stable) ; ii) pour tout sous-fibré vectoriel non trivial T de S, on a l'inégalité

degJ7 rgJF

r d

s E r (q(s +rgTs-/Fs) - q{s )) (resp. < ) ,

où 8 est le fibre vectoriel sous-jacent au chtouca dégénéré défini par y.

La stratégie de la preuve est la suivante. Nous utilisons le critère numérique de Hilbert-Mumford pour déterminer l'ensemble des points semistables et stables et puis l'ensemble des points ip~1(Zss) et ip~1(Zs). Remarquons que y admet une stratification induite par celle de ChtDeg r ' d . Sur chaque strate, nous trouvons les conditions de semistabilité ii) qui sont explicites et de type combinatoire. Notons aussi que la condition combinatoire ii) définit un champ ouvert Cht^ , Q de ChtDeg r ' d .

Puis nous montrons (cf. théorème IV.4.1, corollaire IV.4.4) :

Théorème B. — On conserve les notations du théorème précédent. Supposons que q = card(Fç) est assez grand par rapport à r. De plus, supposons que le polygone q vérifie que ip~1(Zss) — ip~1(Zs). Alors le morphisme

Cht r ' d ' * X x X est propre.

(Notons que nous pouvons supprimer l'hypothèse sur q = card(F g) pour r < 4.) Pour le démontrer, nous modifions légèrement l'espace projectif Z ainsi que le

morphisme i\) : y > Z. Nous prouvons une version analogue du théorème A. Puis nous utilisons le critère valuatif de propreté. Nous nous plaçons sur la fibre générique du chtouca sous-jacent. Contrairement à la preuve de Lafforgue où l'on part d'un (p-réseau itéré et le transforme en un autre pour que les conditions de troncature soient vérifiées, le réseau nous est donné dès le départ. Par conséquent, sur la fibre spéciale, nous disposons d'un « pré-chtouca dégénéré » qui vérifie les conditions de semistabilité. I l s'agit de prouver qu'il est un chtouca dégénéré et qu'il vérifie les conditions de troncatures. Par conséquent, la preuve est divisée en plusieurs étapes

ASTÉRISQUE 313

L'ORGANISATION DE CE TEXTE 11

(étapes a) — d)) : chaque étape correspond essentiellement à une condition dans la liste. L'étape la plus longue et la plus difficile est l'étape c). I l s'agit de vérifier que le réseau donné est un (^-réseau itéré. Notons que la condition technique sur q n'apparaît que dans cette étape.

Puis dans le chapitre V I , nous montrons qu'avec différents choix du polygone q qui vérifie l'hypothèse du théorème précédent, nous trouvons les compactifications de Lafforgue, ainsi que les compactifications dites duales. I l apparaît d'autres compactifications Cht r ' , Q qui peuvent se voir comme des intermédiaires entre ces deux familles de compactifications.

Dans le dernier chapitre, nous étendons notre méthode pour compactifier les champs de chtoucas à modifications multiples considérés par Ngo Bao Chau [14] et Y. Varshavsky [22]. Rappelons que le champ Cht r de chtoucas de Drinfeld de rang r classifie les fibres vectoriels de rang r sur la courbe X , qui sont reliés à leur transformé de Frobenius par une modification élémentaire. Si l'on remplace la modification élémentaire par une modification quelconque, on obtient une généralisation des champs de chtoucas de Drinfeld, que l'on appelle les champs de chtoucas à modifications multiples.

On note Zr { ( À i , À 2 , . . . , A r ) e Zr ; Ai > A 2 > > A r } .

À toute collection admissible A = (A 1, A 2 , . . ., A n ) d'éléments de Z + , on associe le champ algébrique de chtoucas à modifications multiples Cht^. Lorsque r > 2, i l n'est pas propre, ni même de type fini, donc on a besoin aussi de le compactifier. Nous introduisons la notion de chtouca dégénéré à modifications multiples qui généralise celle de chtouca dégénéré (de Drinfeld). Le champ classifiant ces objets admet aussi une stratification indexée par les familles r .

La méthode de Lafforgue ainsi que ses conditions de troncature sur chaque strate semblent difficiles à généraliser. Par contre, notre méthode se généralise avec quelques petites modifications. En particulier, nos conditions de semistabilité restent les mêmes. Ainsi nous obtenons différentes compactifications ChtDeg^ ' 9 de Cht^ indexées par les polygones q : [0, r] —• M.

L'organisation de ce texte Ce texte rassemble la thèse de l'auteur à l'Université de Paris 11 (chapitres I - V I )

et un travail ultérieur (chapitre V I I ) . Ce texte est composée de sept chapitres : sauf le premier chapitre qui est un résumé du problème de compactification, les six chapitres qui suivent sont consacrés à démontrer les résultats énoncés précédemment.

Le chapitre I consiste en une introduction au problème de compactification des champs de chtoucas. I l contient la définition des chtoucas de Drinfeld et de leurs structures de niveau, les propriétés de leurs champs classifiants et le procédé de troncatures par le polygone canonique de Harder-Narasimhan. Puis i l introduit le schéma des pseudo-homomorphismes complets, la définition des chtoucas dégénérés et des chtoucas itérés, de leurs champs classifiants et la description modulaire de leurs strates


12 INTRODUCTION

naturelles. Enfin, i l analyse les conditions de troncature sur chaque strate et énonce le théorème de compactification de Lafforgue.

Les chapitres I I et I I I appliquent la théorie géométrique des invariants (cf. théorème II.6.1). I l introduit d'abord le fourre-tout y muni d'un morphisme équivariant -0 vers un espace projectif Z. Ce dernier est muni d'une PGL^ xG7^1 -linéarisation d'un fibre inversible ample. Puis i l applique le critère numérique de Hilbert-Mumford pour déterminer les points semistables (resp. stables) et les points de ip~1(Zss) (resp. de /ip~1(Zs)) et analyse en détails les conditions de semistabilité sur chaque strate.

Le chapitre IV et V donnent une démonstration du théorème B (cf. corollaire IV.4.4). I l introduit un morphisme PGL^ xG7^1 -équivariant du même fourre-tout y dans un nouveau espace projectif Z (qui diffère légèrement de celui construit dans le chapitre I I ) . Cet espace Z est muni aussi d'une PGL^ xGll^1 -linéarisation d'un fibre inversible ample. Puis i l détermine les points de ip~l(Zss) (resp. de ip~1(Zs)) et analyse en détails les conditions de semistabilité sur chaque strate. Enfin, sous l'hypothèse que q est très grand par rapport à r , i l vérifie que le morphisme ip~1(Zss) —> Zss x (X — N)2 est propre, ce qui permet de conclure.

Le chapitre V I analyse les différentes compactifications des champs de chtoucas pour différents choix du polygone q. Parmi eux, nous retrouvons les compactifications définies par Lafforgue, et nous découvrons les compactifications duales.

Le chapitre V étend la méthode précédente pour construire des compactifications des champs de chtoucas à modifications multiples. I l contient la définition des chtoucas à modifications multiples et de leurs structures de niveau, les propriétés de leurs champs classifiants et le procédé de troncature par le polygone canonique de Harder-Narasimhan. Puis i l introduit la notion de chtouca dégénéré à modifications multiples et de leurs champs classifiants. Enfin, i l construit des compactifications en utilisant la méthode développée dans les chapitres précédents.

Remerciements Tout d'abord, je tiens à exprimer ma très profonde gratitude envers mon directeur

de thèse Laurent Lafforgue pour ce qu'il m'a appris durant ces dernières années, pour sa disponibilité, pour son encouragement permanent, pour son soutien moral dans les moments difficiles et pour sa patience de lire les textes que je lui soumettais.

Je remercie aussi Vladimir Drinfeld, Michel Brion et Ngô Bao Châu pour leur aide et leur encouragement.

Enfin, je remercie profondément les rapporteurs pour leur patience, leurs relectures attentives et leurs très nombreuses remarques, critiques et corrections. Ils m'ont permis de corriger plusieurs erreurs et d'améliorer la rédaction de ce texte.

ASTÉRISQUE 313

C H A P I T R E I

C H T O U C A S D E D R I N F E L D : R A P P E L S

Ce chapitre consiste en une introduction au problème de compactification des champs (et des espaces de module) de chtoucas. On renvoie le lecteur aux articles de Drinfeld [3], [4], et de Lafforgue [8], [9], [10] pour les démonstrations.

1.1. Notations On fixe une fois pour toutes un entier r > 2. Une famille r est une suite croissante

d'entiers r = ( r i , r<2, · · · , Tfc), avec 0 < r\ < r2 < · · · < r& = r . Soit s un entier, avec 1 < s < r ; on notera s" le plus grand élément t G r U {0} tel que t < s et s+ le plus petit élément t G r tel que t > s. On les appelle le prédécesseur et le successeur de s dans r .

Fixons une fois pour toutes une courbe algébrique projective lisse géométriquement connexe X sur un corps fini Fq à q éléments. On fixe aussi une clôture algébrique k = Fq de Fq ; on notera X le produit fibre

X = X x¥q k. Tous les schémas et tous les champs considérés seront définis sur Fq. Soient Y et Z

deux tels objets; Y x Z désignera le produit fibre Y XspecFq Z. Soit S un schéma (sur SpecF^) ; on notera Frobs : S —> S le morphisme de Fro-

benius sur S qui est l'identité sur l'ensemble sous-jacent et qui sur le faisceau de structure Os est l'élévation à la puissance q. Si S est un fibre vectoriel sur le produit I x 5 ; o n notera £ a le fibre vectoriel (Idx x Frobs)*£ sur X x S.

1.2. Chtoucas de Drinfeld

1.2.1. Définition. — On note Vec r le champ algébrique classifiant les fibres vectoriels de rang r sur la courbe X. Puis on définit :

Définition 1.2.1. — Le champ Hecker associe à tout schéma S les données formées de i) un fibre vectoriel £ de rang r sur X x S,

14 CHAPITRE I. CHTOUCAS DE DRINFELD : RAPPELS

ii) deux morphismes oc : S —> X et 0 : S —> X, iii) une modification £ c—> £' <—3 de £ par deux fibres vectoriels £' et £" de rang r

sur X x S, dont les conoyaux sont supportés par les graphes des morphismes oc et 0 respectivement et sont localement libres de rang 1 sur Os.

Le champ Hecker est algébrique, muni d'un morphisme représentable et projectif vers le champ Vec r

Hecker X2 x Vec r, (£,£<-+£'<->£") (00,0,5). Drinfeld a défini (cf. [8, déf. 1.1]) :

Définition 1.2.2. — Soit S un schéma; on appelle chtouca à droite (resp. à gauche) de rang r sur S la donnée formée de

i) un fibre vectoriel £ de rang r sur X x S ; ii) deux morphismes oc : S » X et 0 : S • X ; iii) une modification £ £' £" {resp. £*-*£' £rr) de £ par deux fibres

vectoriels £' et £" de rang r sur X x S, dont les conoyaux sont supportés par les graphes des morphismes oc et 0 respectivement et sont localement libres de rang 1 sur Os /

iv) un isomorphisme ( Idx x Frobs)*£ = £ a ^ £ " . Dans la suite et sauf mention explicite du contraire, les chtoucas seront tous à

droite et on dira simplement chtouca pour chtouca à droite. Le champ Cht r classifiant les chtoucas est un champ algébrique au sens de Deligne-

Mumford (cf. [8, section 1.21) ; i l s'inscrit dans un diagramme cartésien de champs Cht r Vec r

Hecker Vec r x Vec r, dont les morphismes horizontaux sont

(£ ^ £' £" ^~ £a) £, (5 ^ s' ^ £") (ε, ε"), et dont les morphismes verticaux sont

(£ ^ £' £" £a) (ε^ε' ^ε"), £ (£,£*)• En associant à un chtouca son pôle oo et son zéro 0, on définit un morphisme

(oo,0) : Cht r X x X qui est lisse, purement de dimension relative 2r — 2 (cf. [8, section 1.2, th . 9]).

On décompose Cht r en Cht r

l E Z C h t r ' d ,

où le champ C h t r , d classifie les chtoucas £ = (£ c—• £ ' <-> £ " £ a ) avec deg£ = d. Chaque sous-champ C h t r ' d a un nombre fini de composantes connexes et est localement de type fini puisque lisse sur X x X ; par contre, i l n'est pas de type fini.

ASTÉRISQUE 313

1.2. CHTOUCAS DE DRINFELD 15

1.2.2. Structures de niveau Définition 1.2.3. — Soit N un niveau de X, autrement dit un sous-schéma fermé fini de X et soit S un schéma. Une structure de niveau N d'un chtouca

£ S E' S" Eo

de rang r sur S, dont le zéro et le pôle évitent le niveau N consiste en un isomorphisme

u : S n x S CNxS,

qui fait commuter le diagramme

£nxs £nxS °NxS °NxS

u U

^NxS ^NxS'

On notera Cht^y le champ classifiant les chtoucas munis d'une structure de n i veau N ; le morphisme d'oubli de structure de niveau

Cht^ Cht r x x x i ( I — N) x ( X - A O

est représentable, fini, étale, galoisien de groupe de Galois GL r((9/v) (cf. [8, section 1.3, prop. 5]).

1.2.3. Filtration de Harder-Narasimhan Définition 1.2.4. — a) Appelons polygone une application

p : [0, r] R

telle que p(0) = p(r) — 0 et p soit affine sur tout intervalle [i — l,i], avec 1 < i < r. b) Un polygone p est dit rationnel si tous les nombres {p(i)}o<i<r sont rationnels. c) Un polygone p est dit convexe si, pour tout entier i, avec 0 < i < r, on a

-p(i + 1) + 2p(i) - p{i - 1) 0. d) Un polygone p est dit assez convexe par rapport à un réel ¡1 si tous les termes

—p(i — 1) + 2p(i) — p(i + 1), avec 0 < i < r, sont assez grands par rapport à \i. e) Soit d un entier ; un polygone p est dit entier par rapport k d si tous les termes

p(i) + id/r, avec 0 < i < r, sont entiers.

Remarquons que se donner un polygone p est équivalent à se donner une suite de réels {p(i)}o<i<r- La définition suivante sera utilisée par la suite.

Définition 1.2.5. — Soient p, q deux polygones ; on dit que q est compris strictement entre p et p + 1 et on notera q G ]p,p + 1[, si l'on a l'inégalité stricte

p(i) φ) P(i) + 1, pour tout entier i, avec 0 i r.

Rappelons maintenant la notion de fibre vectoriel semistable sur X.

Définition 1.2.6. — Étant donné £ un fibre vectoriel de rang r sur X, on appelle pente de £ et on note n(£) le quotient deg£/rg£ ; puis on pose

/ i + (£ ) = sup |/i(^ r) ; J 7 est un sous-fibré maximal non trivial de £}, /JL~(£) — ini {/LI(£/ J 7 ) ; J 7 est un sous-fibré maximal non trivial de <f}.

Définition 1.2.7. — Avec les notations ci-dessus, un fibre vectoriel £ de rang r sur X est semistable (resp. stable) si, pour tout sous-fibré vectoriel non trivial T de £, on a l'inégalité ^ ( J 7 ) < n(£) (resp. ^ ( J 7 ) < JJL(£)).

Dans [6], Harder et Narasimhan prouvent :

Proposition 1.2.8. — Soit £ un fibre vectoriel de rang r sur X ; il existe alors une unique filtration de £ par des sous-fibrés maximaux

0 - £o £ £i Ç • - - Ç £k = £

qui vérifie les conditions suivantes : i) Les fibres vectoriels £\,£<il£\,... ,£k/£k-i sont semistables. ii) fjb(£i) > fi(£2/£i) > - > fi(£k/£k-i).

On l'appelle la filtration canonique de Harder-Narasimhan de £. On associe à cette filtration le polygone p : [0, r] —> M, dont les seules ruptures de

pente sont en les entiers rg£i et qui, en ces entiers, vaut

P(rgf i ) deg£i rg£i r

deg£.

On l'appelle le polygone canonique de Harder-Narasimhan associé h £ et on le note p(£) ; il vérifie les propriétés suivantes :

i) il est convexe (cf. définition 1.2.4 c)) / ii) soit J 7 un sous-fibré vectoriel de £ ; alors

degj7 rgJ7

r deg£ + p^gJ7).

Voici une conséquence immédiate de l'unicité de la filtration de Harder-Narasimhan (cf. [6]).

Proposition 1.2.9. — Soit £ un fibre vectoriel de rang r sur X et soit T un sous-fibré vectoriel maximal non trivial de £ avec fi^ (£/J7) < ^ ( J 7 ) . La filtration de Harder-Narasimhan de £ est alors un raffinement de la filtration 0 Ç J 7 Ç. £.

1.2.4. Troncature. — On sait (cf. section 1.2.1) que tout sous-champ C h t r ' d , avec d G Z , n'est pas de type fini ; on va définir les différents ouverts de type fini de Cht r , r f

grâce à la filtration de Harder-Narasimhan.

Définition 1.2.10. — Soit £ £ £' £" £a un chtouca sur Spec k ; on appelle sous-objet de £ la donnée de deux sous-fibrés maximaux vectoriels T,Tl de £,£' de même rang telle que les plongements £ c—> £' et £a £' envoient J 7 , J 7 ^ dans T'. On associe à ce sous-objet son rang r g ^ 7 = rgJ7 et son degré degJ 7 — deg^7.

ASTÉRISQUE 313

1.3. CHTOUCAS DÉGÉNÉRÉS. CHTOUCAS ITÉRÉS 17

Soit 0 = F0 $± F\ Çz · ' ' Ç = £ une filtration de £ par des sous-objets ; on peut lui associer un polygone p : [0, r] —> R, dont les seules ruptures de pente sont en les entiers rgjF^ et qui, en ces entiers, vaut

P ( r g ^ ) degJF^ r g ^ i r

deg£.

On montre (cf. [8, section II .2 , th . 5]) que, parmi les polygones associés aux nitrations de £, i l y a un polygone qui est plus grand que tous les autres ; ce polygone est appelé le polygone canonique de Harder-Narasimhan de £, on le note p(£) ; la filtration la moins fine, qui le définit, est appelée la filtration canonique de Harder-Narasimhan de £.

Lafforgue prouve (cf. [9, th . II.8]) :

Proposition 1.2.11. — Soit p : [0,r] —• R un polygone convexe; dans le champ C h t r ' d;

il existe alors un unique ouvert Chtr,d,p tel qu'un point géométrique £ appartienne à cet ouvert si et seulement si le polygone canonique de Harder-Narasimhan associé à £ soit majoré par p. Le champ Chtr,d,p est de type fini. De plus, Chtr,d est la réunion filtrante des ouverts Chtr,d'p.

Le polygone canonique de Harder-Narasimhan de £ est majoré a priori par celui de £. Sous certaines hypothèses, on prouve la réciproque (cf. [8, section II .2 , lemme 10]) : Proposition 1.2.12. — Soit p : [0, r] —-> R un polygone assez convexe en fonction de X et de r ; alors un point géométrique £ appartient à l'ouvert C h t r ' d , p si et seulement si le polygone canonique de Harder-Narasimhan du fibre vectoriel sous-jacent £ est majoré par p.

1.3. Chtoucas dégénérés. Chtoucas itérés 1.3.1. Pseudo-homomorphismes complets. Homomorphismes complets. — On considère le foncteur H qui à tout anneau A associe l'ensemble

l<.s<r-l Horn Ar, A Ar

Isom r r f\Ar^Ar

Ar-1

i l est représentable par un schéma que l'on note encore H. On note H r l'ouvert dense de H défini en demandant que tous les morphismes us G Hom(/\ s Ar, f\s Ar), avec 1 < s < r , soient partout non-nuls. Puis on définit M(r) comme le sous-schéma localement fermé de H r formé des uplets

{UUU2, . . . ,1XR, ¿1 ,^2 , · · · ,£r-l) tels que

i) les {^i}i<i<r-i sont partout inversibles, ii) u\ est un isomorphisme, iii) on a /\s u\ = £l~1£2~2 * * * £s-ius, pour 1 < s < r.

On note Qr (resp. Q) l'adhérence schématique de M(r) dans H r (resp. H) ; on voit bien que ft H H r = Çtr. Le schéma Çtr (resp. Q) est appelé le schéma des homomor-phismes complets de rang r (resp. le schéma des pseudo-homomorphismes complets de rang r). Le schéma O est exactement le semi-groupe de Vinberg de G L r , cf. [23] et [1].

La proposition suivante est due à Lafforgue et Vinberg, cf. [23], [9, section la] et [1, chap. 6] :

Proposition 1.3.1. — a) Le schéma des homomorphismes complets Qr (resp. le schéma des pseudo-homomorphismes complets fl) contient G L r xG7^1 comme ouvert dense et il est muni de deux actions à droite et à gauche de G L r x G J ^ 1 .

b) Le schéma Q est normal. c) Le schéma Qr est lisse et son bord est un diviseur à croisements normaux. d) Les strates de bord £2£ de flr sont indexées par les familles r ; elles ont la

description modulaire suivante. Soit r= (r\, r2,..., r&) une famille qui vérifie 0 < r i < r2 < · · · < r/c = r ; on note Q7^ le sous-schéma localement fermé défini en demandant que £s = 0 pour tout s G r et que les autres soient partout inversibles. Alors ce schéma représente le fondeur qui à tout anneau A associe l'ensemble des uplets

(u\, VL2 •>·''•) Ur > -^1 ) · · · ? ^RI —15 £-r\ + 15 * * · ? ^2 — 1 ? r2 + l ? · · · ) vérifiant les conditions suivantes :

i) les £i sont partout inversibles, ii) ui : Ar —> Ar est un homomorphisme de rang partout égal à r\, iii) u2 ' ker i / i —> Ar/Imui est un homomorphisme de rang partout égal à

r 2 - r l y

iv) us : kevu2 —• (Ar/Imui)/Imu2 est un homomorphisme de rang partout égal à r3 - r2,

v) etc.

Comme G L r agit à droite et à gauche sur le schéma Qr (resp. Q), on peut parler de la notion d'homomorphisme complet (resp. la notion de pseudo-homomorphisme complet) T =4> G entre deux fibres vectoriels T', Q de rang r sur un schéma S.

Définition 1.3.2. — Soit S un schéma et soient (Ci, £i)i<i<r-i des couples où Ci est un fibre inversible sur le schéma S et £i est une section globale de Ci ; un homomorphisme complet (resp. un pseudo-homomorphisme complet) de type (Ci, £i)\<i<r-\

F G entre deux fibres vectoriels T, G de rang r sur S consiste en un ensemble d'homomor-phismes

s us : A F ®

O

l<i<s ~(g>(s — i)

KG, 1 < s < r,

vérifiant les conditions suivantes : i) On a f\s ui = £\ 1£s

2 2 · · · £s-\us, pour 1 < s < r.

ASTÉRISQUE 313

ii) Pour un (et donc pour tout) choix de trivialisations de T', Q et des Ci localement sur S, la famille (u\,.. . , uri £\,. . . , ^ r _ i ) appartient au schéma Ctr (resp. Q).

Soit r — ( r i , r2, . . . , r&) une famille ; un homomorphisme complet (resp. un pseudo-homomorphisme complet) est dit de type r si l'on a

ls

0 si s G r , inversible si s £ r.

On peut donc identifier les fibres inversibles (Cs)sgr munis d'une section globale inversible £ s avec le couple (Os, 1) ; d'après la proposition 1.3.1, cet homomorphisme complet consiste en :

i) une filtration décroissante J 7 2 2 ' ' * 2 ^s- 2 F s 2 " ' ' 2 ^> f e = 0 (s G r ) de T par des sous-fibrés maximaux de corangs respectifs r i , . . . , s - , s,. . ., ;

ii) une filtration croissante 0 <2 <?n £ · · · Ç £s- £ &s Ç ' ' ' Ç £rk = £ (s £ Zl) de £ par des sous-fibrés maximaux de rang r\,. .., s~, s,. . ., r& respectivement ;

iii) des isomorphismes F8- I?* ® O

iEr i<s

Ci Es*/Es-1 «s G r .

(On renvoie le lecteur à la section 1.1 pour la notation s .)

1.3.2. Chtoucas dégénérés Définition L3.3. — Le champ algébrique ChtDeg r de chtoucas dégénérés est le fonc-teur qui à tout schéma S associe les données formées :

i) d'un fibre vectoriel £ de rang r sur X x S ; ii) deux morphismes 00 : S —» X et 0 : S —• X ; iii) d'une modification £ £' <^> £" de £ par deux fibres vectoriels £' et £" de

rang r sur X x S, dont les quotients £'/£ et £'/'£" sont supportés par les graphes des morphismes 00 et 0 respectivement et sont localement libres de rang 1 sur Os ;

iv) des couples (Ci, £i)i<i<r-i, où Ci est un fibre inversible sur S et £i est une section globale de Ci ;

v) d'un p s eudo-homomorphisme complet £a => £" de type (Ci, £i) 0 ( 9 - 1 ) l<i<r-l> ce qui

veut dire, une famille d'homomorphismes ls A£a ®

l<i<s

£<8>q(s — i) ks"® O l<i<s

p®(s — i) 1 < s < r,

ou s

us: l\Sa ® O

l<i<s r<8>(g-l)(a-¿)

he", 1 < s < r,

vérifiant les deux conditions suivantes : a) pour un (et donc pour tout) choix de trivialisations de £", £a et des Ci

localement sur X x S, la famille (u±,. .., ur, £([~1,.. . ,£^Z\) appartient au schéma fl (cf. section 1.3.1)]

b) génériquement au-dessus de tout point géométrique de S, aucun us qui peut se voir sous la forme

us Λ£<8> <8> l<i<s

£<8)(s — i) a Α£® O ±<i<s

~®(s — i) 1 < s < r,

n'est nilpotent.

Le champ ChtDeg r est algébrique au sens d 'Art in et localement de type fini (cf. [9, prop. 1.5]).

Soit d un entier et soit r une famille ; on notera ChtDeg r , d le sous-champ de ChtDeg r

classifiant les chtoucas dégénérés £ de degré d, c'est-à-dire deg£ = d ; et ChtDegp d le sous-champ de ChtDeg r classifiant les chtoucas dégénérés de degré d et de type r .

1.3.3. Strates. Dégénérateurs. — On conserve les notations de la section précédente. Soit £ un point géométrique de ChtDeg r , d de type r = ( r i , r2, . . . , r&). Comme tous les morphismes us, avec 1 < s < r , ne sont pas nilpotents génériquement, ils ne s'annulent pas génériquement. I l existe donc un ouvert non vide U de X tel qu'en tout point géométrique de [/, tous les homomorphismes us, avec 1 < s < r , ne s'annulent pas. Cela implique que la restriction du pseudo-homomorphisme complet £ a => £ " à U est un homomorphisme complet. On dispose donc

> d'une filtration décroissante £a = £ 2 · • · 2 *'* 2 ^ par des sous-fibrés vectoriels maximaux de £ a de corangs r i , r2,..., rk ;

> d'une filtration croissante 0 Ç. · · · Ç £'J Ç. · · · Ç £" par des sous-fibrés vectoriels maximaux de £ " de rangs r i , r^,..., r& ;

> des isomorphismes sur l'ouvert U £s-/£s £"/£"_, «s G r , où s~ est le prédécesseur de s dans r , (cf. section 1.1).

Soit s un entier, avec 1 < s < r. La restriction de us sur l'ouvert U est alors le composé de trois morphismes :

> la restriction h U de la surjection A E0

<8> tEr t<s

det(£t-/£t)®/\£s-/£s+,

t> l'isomorphisme sur U

O ter t<s

det(£t-/£t)®/\£s-/£s+ <8> ter t<s

det{£'t!/£'t'.)®f\£':+/£':.,

> la restriction à U de l'injection

O ter t<s

det(£l'/£?-)®Àe'a'+/£'s'- f\£".

ASTÉRISQUE 313

Comme le morphisme us Α3εσ As E'' est défini partout, le morphisme que

I o n note ws,

O ter t<s

det(£t-/£t) ®l\£a-/£s+ <8> ter t<s

det(£l'/£í'-)®AS'a'+/£'¿-

est alors un plongement partout bien défini. Puis le morphisme us est le composé de la surjection précédente, de ce plongement et de l'injection précédente.

La filtration précédente de £ " et les modifications £ ^ £ ' ^ £ " induisent des nitrations

0Ç'--Ç£sÇ'"Ç£, 0 £ · · · £ £'s ç · · · ç S'

de £ et £ ' par des sous-fibrés vectoriels maximaux de rangs r\, r2, ·.., r&. Comme génériquement, tous les morphismes us (1 < s < r) ne sont jamais n i l -

potents, £° D £s = 0 pour tout entier s G r , donc £^ 0 £ s est un sous-fibré vectoriel de rang r de £ = £a. En particulier, les quotients £/£$ (B £s (s G r ) sont de torsion.

Définition 1.3.4. — Un point x de X est appelé dégénérateur du chtouca dégénéré £ si une des conditions suivantes est vérifiée :

a) il appartient au support de £/££ 0 £s pour un certain s £ r ; b) il appartient au support du plongement ws défini précédemment pour un certain

1 < s < r.

En général, on ne peut rien dire sur le nombre de dégénérateurs d'un chtouca dégénéré. Par contre, on prouve :

Proposition 1.3.5. — Soit £ un chtouca dégénéré. Supposons que le polygone canonique de Harder-Narasimhan du fibre vectoriel sous-jacent £ est majoré par un polygone po. Alors le nombre de dégénérateurs de £ est borné par une fonction Deg(r,po) qui n^ dépend que de r et de po.

Démonstration. — Soit s un entier, avec s G r . Le plongement

ws + 1 (8) ter

t<s~

det(£t-/£t)®£s~/£s O ter

t<s~

det(£?/£?- )<8> £':/£':-

est un plongement entre deux fibres vectoriels de même rang ; on a ainsi deg £ / £ s < deg£^, donc d < deg£s + deg £ " . Comme deg£^ < deg£s + 1, on en déduit que le quotient £j£% 0 £s est de longueur au plus 1. On conclut alors que la réunion des supports des £/£$ 0 £s (s £ t) e s ^ P o u r cardinal majoré par r — 1.

Pour conclure, i l suffit de prouver que la réunion des supports des plongement s ws

(1 < s < r) est pour cardinal majoré en fonction de r et po. En effet, soit s un entier, avec s G r ; le cardinal du support du plongement ws-+i est borné par deg£s + deg£^ — d qui est majoré en fonction de PQ. D'où la conclusion.

Définition 13.6. — Avec les notations précédentes, si T est un sous-fibré vectoriel de £ (resp. £a), pour tout entier s £ r, on définit Ts le sous-fibré vectoriel J7*7 D £ S

(resp. FC\£S) de £ = £a.

1.3.4. Chtoucas itérés. — Soit S un schéma et soit r = ( r i , r2,.. . , r&) une famille. Soit £ un chtouca dégénéré sur S de rang r et de type r . Donc

ls

o si s G r ,

inversible si s £ r.

On peut identifier les fibres inversibles (Cs)s^r munis d'une section globale inversible £ s avec le couple (Os, 1)·

Définition 1.3.7. — Le champ Cht£ de chtoucas itérés de type r est le sous-champ ouvert de ChtDeg^ soumis aux conditions ouvertes suivantes :

a) Le p scudo-homomorphisme £(T =^> £" est un homomorphisme complet. D'après la section 1.3.1, on dispose donc

> d'une filtration croissante 0 Ç £"1 Ç · · · Ç £"k = £" de £" par des sous-fibrés maximaux de rangs r\,. . . , r^ respectivement,

> d'une filtration décroissante £ — £a 2 £r± 2 * * * 2 &rk = 0 de £a par des sous-fibrés maximaux de corangs v\,.. . , r& respectivement,

> des isomorphismes £s- /£s <g> O iErJC^®^-1^ £"/£"_ , s E r, où £Q = £A. i<s

b) £i Fon note £j = £'J pour tout s G r, alors tous les quotients £'I£'s sont sans torsion, donc localement libres sur X x S.

c) Pour tout s E r, le morphisme £'s —» £'/£ est surjectif; alors le noyau £s de ce morphisme est localement libre sur X x S.

d) Pour tout s G r , on a £s- -h £f — £a.

Puis le champ Cht r de chtoucas itérés est l'unique sous-champ ouvert de ChtDeg r , dont pour toute famille r , la trace dans ChtDeg^ est Cht^. Soit r une famille; on notera Chtp d le sous-champ de la strate Cht£ classifiant les chtoucas itérés de type r , dont deg£ = d.

Soit S un schéma et soit £ un chtouca itéré de type r = ( r i , r2,. . · , r&) sur S ; on lui associe de vrais chtoucas (dont certains sont des chtoucas à gauche) de la manière suivante (cf. [9, p. 1009-1010]).

t> D'abord, pour s = r\ = 0 + , on pose Eri = £ri et E'ri = £fr — £"x ; on montre

que Eri = (Eri ^ Er «- ^Vi) e s ^ u n chtouca à droite de rang r\ dont le pôle est le pôle oc du chtouca itéré £. En effet, le plongement Eri ^ E'ri est le plongement canonique ; le plongement E^ <^-> E'ri est le composé

Er, £a £A/SRI £" £r E'3

ASTÉRISQUE 313

Ces plongements définissent bien un chtouca à droite Eri. De plus, on a un isomor-phisme canonique E ' r i / E r i —> £'/£> le pôle du chtouca Eri coïncide donc avec le pôle du chtouca initial £.

> Pour tout s G r et s > r± = 0 + , on pose

Es £s/£s- ® <8>

i<s

r E's ( £ s - n f f ) ® <8>

i<s On prouve que Es = (Es <-^> E's 2£J) est un chtouca à gauche. En effet, le plongement E'8 Es est le composé

E's (εβ- η f / ) ® <8> i E s

j = 1

£ 9 (£a-/£,)® <8> l E f i<s

i

( C / O ® <8> j E o

l E s

LE (C/O® <8)

i E X i<s

C% — Es,

et le plongement E'8 ^ i£J est le composé E's (£s- n£°)® <8>

iEr i<.s

l (C/O® (8) i E x j = 1

¿ 1 = EZ.

Ces plongements définissent un chtouca à gauche Ës. De plus, on peut montrer que le pôle de Es coïncide avec le zéro de son prédécesseur Es- et que le zéro du dernier chtouca Èr- coïncide avec le zéro 0 du chtouca itéré initial £. Les zéros et les pôles des chtoucas És (s € r) autres que 0 et oo sont exactement les dégénérateurs du chtouca itéré £.

1.3.5. Troncature. — Soit p : [0, r] —> R un polygone convexe et r = ( r i , r2, • . · , Tk) une famille. On considère un point géométrique du champ Cht£ ; d'après la section 1.3.4, on dispose :

> d'une filtration décroissante £a — £ 2 2 * * * 2 £rk — 0 de £ par des sous-fibrés maximaux de corangs r i , . . . , r& respectivement,

> d'une filtration croissante 0 £"± Ç, · · · Ç £"k = £" de £ " par des sous-fibrés maximaux de rangs r i , . . . ,r& respectivement ; elle induit, via la modification £ £ ' deux filtrations de £ et de £ ' par des sous-fibrés maximaux

0 £ £ri Ç · • • £ £rk £ et 0 Ç £'ri Ç • • • £ £'rk £',

> des isomorphismes £ s - / £ s s1: i?:-, s G r. D'après Lafforgue [9, déf. 1.8], on définit :

Définition L3.8. — i) Un sous-objet d'un chtouca itéré £ de type r consiste en deux sous-fibrés T et T' de £ et £' ayant même rang et tels que le plongement £<—>£' envoie T dans J7' et que, pour tout s G r, le plongement £s-/£s £"/£"_ c—> £'s/£'s^ envoie F* Pi £s-1T° Pi £s dans F' H £'SIT' Pi £'s_ .

ii) Un sous-objet (T^T1) est bon si J 7 et T' sont maximaux et s'il existe un entier s G r tel que £s~ Ç T Ç £s et £'s_ Ç P Ç £' s.

iii) Un bon sous-objet est de type I si s — r\ — 0 + ou bien si s > n = o + et d e g ( ^ H S8-) < deg(T/£s-).

Un bon sous-objet est de type I I si s > n = 0 + et d e g ( ^ n £ - ) = d e g ( J 7 £ s - ) .

Lafforgue prouve (cf. [9, prop. 1.9]) :

Proposition 1.3.9. — II existe dans le champ Chtp d de chtoucas itérés de type r un unique ouvert Cht^,d,p tel que, pour tout point géométrique de Cht^,d, ce point soit dans Chtp p si et seulement si :

> pour tout s G r, on ait l'inégalité

p(s) - 1 < deg£ s s r

deg£ < p(s),

> pour tout bon sous-objet ( J r1 J r r ) de type I, on ait l'inégalité

deg T rgj7

r deg£ < _p(rgj^),

> pour tout bon sous-objet ( J r , J r / ) de type II, on ait l'inégalité

degT vgT r

deg£ < p ( r g T ) - 1.

Signalons une autre interprétation du champ C h t p d , p (cf. [10, prop. III .3] ) , à savoir : Proposition 1.3.10. — Supposons que le polygone p soit assez convexe en fonction de la courbe X et de r. On associe à tout entier 0 < s < r l'unique nombre entier d(s) tel que

p(s) - 1 < d(s) < p(s).

Alors un point géométrique £ du champ Chtp appartient à Chtp , p si et seulement si : > Pour s — r~i = 0 +

7 le chtouca à droite Eri = (Eri ^ E'ri <-^> E ^ ) défini dans la section I.3.4 a la propriété : soit T un sous-fibré maximal de Eri = £ri ; alors deg T est majoré par

degT rg J 7

r d d(rg^)

avec égalité si T = £ri. > Pour s G r et s > v\ = 0 + , le chtouca à gauche Es = (Es «s—3 E's E%)

défini dans la section 1.3.4 a ^a propriété : soit T un sous-fibré maximal non nul de E's = £° H £s- ; alors degjF est majoré par

deg T r

d d(s + r g j F ) d(s~) 1

avec égalité si T = £f D £s- .

ASTÉRISQUE 313

1.4. LE THÉORÈME DE COMPACTIFICATION DE LAFFORGUE 25

Puis Lafforgue prouve (cf. [9, cor. 1.11]) : Proposition 1.3.11. — Soit p un polygone assez convexe en fonction de X et de r ; il existe alors un champ ouvert Chtr'd'p du champ C h t r ' d , dont la trace dans le sous-champ localement fermé Chtp d est ChtJ? d ' p.

1.4. L e théorème de compactification de Lafforgue Le résultat principal de l'article [9] est le théorème suivant.

Théorème 1.4.1 (cf. [9, th. 1.12]). — Soit p un polygone assez convexe en fonction de X et de r ; le morphisme

C h t r,d,p > X x X

est alors propre. On renvoie le lecteur aux articles [9], [7] pour une preuve complète de ce théorème.


C H A P I T R E I I

V A R I A T I O N D E S Q U O T I E N T S

I I . 1. L a valuation standard Soit A un anneau de valuation discrète sur ¥ q ; on notera K son corps de fractions,

v sa valuation et a : K —> K l'élévation à la puissance q.

Définition IL1.1. — On appelle valuation deg sur un K-espace vectoriel V de dimension r une application

deg : V R U {00}

qui satisfait les conditions suivantes : i) Pour tous x et y dans V', deg(x + y) > min{deg(x), deg(y)}. ii) Pour tout a G K et pour tout x G V, deg(ax) = v(a) + deg(x). iii) Pour une (et donc pour toute) base {e\, e2l. .., er} de V, il existe une cons

tante C qui dépend de cette base telle que, pour tous a i , a2j. . . , ar dans K, on ait

deg l<i<r

d'i θ<ϊ min \<%<r

Vidi) C.

Le résultat suivant est classique (cf. [24]).

Proposition IL 1.2. — Soit deg une valuation sur un K-espace vectoriel V de dimension r ; il existe alors une base { e i , e2,. .. , er} deV et une suite de réels (ci , c2,.. ., cr) telles que l'on ait

deg l<i<r

d'i θ<ϊ min l<i<r

Ci v(ai)

Drinfeld montre (cf. [3]) :

Proposition 11.1.3. — Soit V un K-espace vectoriel de dimension r et soit (p : Va —> V un isomorphisme linéaire, ou de façon équivalente, : V —> V une application a-linéaire injectif. Alors il existe une unique valuation deg^ sur V vérifiant que, pour

28 CHAPITRE II. VARIATION DES QUOTIENTS

tout e G V, deg^ (<p(e)) = qdeg^ie).

Cette valuation sera appelée la valuation standard associée à <p.

Démonstration. — Soit deg une valuation quelconque sur V et soit { e i , . . . , e r } une base de V ; la définition d'une valuation entraîne qu'il existe une constante C telle que, pour tous les éléments a i , a 2 , . . . , a r de X , on ait l'inégalité

deg l<i<r

d'i θ<ϊ min l<i<r

V(a,i) C.

Prouvons d'abord l'unicité de la valuation standard si elle existe. Supposons qu'une telle valuation deg^ existe ; l'inégalité précédente implique qu'il existe une constante C telle que, pour tout e dans V, on ait l'inégalité

deg^(e) - deg(e) C1

Donc | deg^((pn(e)) — deg(cpn(e))\ < C pour tout entier positif n ; comme deg^c// 1^)) = qn deg^(e), on en déduit

deg^(e) deg(^(e)) q"

C qn

Ve G F, Vn G N .

On obtient ainsi

deg^(e) l im deg(^(e)) qn

ce qui démontre l'unicité de la valuation standard si elle existe. Démontrons l'existence : on choisit une valuation quelconque deg sur V ; la défini

tion d'une valuation montre qu'il existe une constante Co telle que, pour tout e G V, on ait

degO(e)) çdeg(e) CQ,

ce qui montre que la limite lim^^oo deg(cpn(e))/qn existe. Posons

deg (e) l im n—>oo

deg(^(e)) qn

C'est une valuation sur V et on a la relation

deg<pO(e)) l im n—>oo

deg(c^ + 1(e)) qn

q l im ri —> oc

d e g ^ + ^ e ) ) qn+l

qdeg (e),

ce qui achève la démonstration de la proposition I I . 1.3

Proposition ILI.4. — Soit V un K-espace vectoriel de dimension r et soit (p : Va —» V un isomorphisme linéaire. Supposons que u : V —• Kr un isomorphisme linéaire tel que ua — uo ip. Alors, pour tout e dans V, on a la relation

deg^(e) = deg 0 (u(e)),

où deg 0 désigne la valuation canonique sur Kr.

ASTÉRISQUE 313

II.2. STRUCTURES DE NIVEAU 29

Démonstration. — Cette proposition résulte immédiatement de l'unicité de la valuation standard (cf. proposition I I . 1.3).

I I . 2 . Structures de niveau Fixons N un niveau de X, autrement dit un sous-schéma fermé fini de X ; le

champ Cr'N associe à tout schéma S le groupoïde des familles formées : i) d'un fibre vectoriel T de rang r sur N x S, ii) des couples (Ci, £i)i<i<r-i, où Ci est un fibre inversible sur S et £i est une

section globale de Ci, iii) d'un pseudo-homomorphisme complet de type (Ci,£i) ®(ς-ΐ)

l<i<r - l Fo

(IdA/ x Frob 5 )*.F F, ce qui est équivalent à donner une famille d'homomorphismes

Us,N Â^®<8>A0(S_Î)

i<s

(J AT®<g>cf{s-z\ i<s

1 < s <r,

qui satisfait les conditions définies dans la section 1.3.1. On a les morphismes canoniques

Chtr>egr>dxXxX(X-N)2 Cr>N, Chtr'd xXxX(X-N)2 Cr'N.

Puis on considère le champ C défini au-dessus Cr'N en ajoutant un pseudo-homomorphisme complet entre J 7 et Or

NxS de type (d, ii)i<i<r-i, ce qui veut dire, une famille d'homomorphismes

^ : Â ^ ® < 8 > A 0 ( S _ Î )

i<s

s A ONxS 1 < s < r,

qui satisfait les conditions de la définition 1.3.2 et on demande de plus qu'ils vérifient

"In vs,N ° us,N i 1 < s < r.

Dans Cr,N, on note C0N l'ouvert dense dont toutes les sections globales £i (où

on suppose 1 < i < r — 1) sont inversibles. I l associe à tout schéma S le groupoïde des fibres vectoriels T de rang r sur N x S munis d'un isomorphisme

= (IdA/ x F r o b 5 ) * ^ ^ T. Alors ce champ est le quotient G L ^ /a/ GL* de la restriction à la Weil G L ^ de G L r à N par l'action de lui-même par conjugaison tordue (u, g) i—• (5 r C 7 ) - 1 o u o g (cf. [10, section III .3] ) .

Puis on considère le classifiant CrN 0 = Spec ¥ q = G L ^ / G L ^ qui associe à tout

schéma S le groupoïde des fibres vectoriels T de rang r sur N x S munis d'un isomorphisme T —Or

VxS. Puis on considère l'isogénie de Lang CrN 0 —> C0

N :

G L ^ G L f , 9 o~(g) Xog. On note l'adhérence de 0 dans C ; l'action du groupe fini G L r (On) sur CR

N 0

s'étend en une action sur CrN.

Proposition 11.2A. — Le morphisme CrN —• Cr,N est fini.

30 CHAPITRE I I . VARIATION DES QUOTIENTS

Démonstration. — Puisque le morphisme CrN —> Cr,N est affine, i l suffit de vérifier

qu'il est propre. Une preuve de cette assertion se trouve dans [10, prop. III.11]. I l s'agit de vérifier le critère valuatif de propreté pour le morphisme Cr

N —• Cr,N qui est de type fini des schémas noethériens.

Soit A un anneau de valuation discrète sur ¥ q et soit K son corps des fractions. Rappelons qu'un point de Cr,N à valeurs dans S = Spec A consiste en :

i) un fibre vectoriel T de rang r sur A" x Spec A, ii) des couples (Ci, £i)i<i<r-i, dont Ci est un fibre inversible sur Spec A et £i est

une section globale de Ci, iii) un pseudo-homomorphisme complet J7*7 T de type (Ci, ti) ®(<z-i)

l<i<r—1> donc on dispose d'une famille d'homomorphismes

US,N ( Â ^ < g > £ f ( s " T i<s Â^®<8>A0(S_Î)

i<s

1 < s < r.

On suppose que la générisation de ce point est dans C0N, autrement dit que sur

N x Specie, tous les USîn (1 < s < r) sont des isomorphismes et qu'elle se relève dans 0 . Ce relèvement consiste en des isomorphismes

USN : Â^®<8>A0(S_Î)

i<s

S A ^iVxSpec K-> 1 < s <r,

qui vérifient en particulier les relations Vs,N = vs,N ° U8în, 1 < s < r.

I l s'agit de prouver que les vs,n sont bien définis en tant qu'homomorphismes sur N x Spec A et que vr^N est bien un isomorphisme.

Soit s un entier, avec 1 < s < r ; on note encore uSiw l'endomorphisme cr-linéaire de l'espace ( f\s T <g> (&i<s Cf^s~^) (8>A K induit par U S,JV. D'après la proposition II.1.3, i l existe une unique valuation degUs N qui vérifie

degus,N (us,N(e)) q degus,N (e),

pour tout e G ( /\s T (g) ® i < s Cf ^s ^) 0 A K. Puis la proposition II.1.4 montre que, pour tout e G ( A* F ® <8>i<s Cf {s~i)) <8u K, on a l'égalité

deSt*«,jv(e) deg 0 (vS:N(e)),

où deg 0 désigne la valuation canonique sur /\s OrVxS K .

Comme Us,n stabilise le réseau /\s Jr®ÇQi<s £f^s *\ o n e n déduit que, pour tout e dans ce réseau,

deg U o J V (e) > 0 . D'où deg0(vS:jy(e)) > 0, autrement dit tous les vS:n (1 < s < r) sont bien définis en tant qu'homomorphismes sur N x Spec A.

Reste à prouver que vr,N e s t un isomorphisme. En effet, on prouve un résultat plus fort qui sera utilisé dans la preuve du lemme II.3.4. Soit s un entier, avec 1 < s < r,

ASTÉRISQUE 313

II.3. CONSTRUCTION DU FOURRE-TOUT 31

et soit N' un sous-niveau de N. Supposons que la restriction US,N' de US,N au sous-niveau N' a la propriété suivante : (*) ker^ S 5 jv ' et (Imi6S}jv')°" sont en somme directe. Alors, en tout point fermé x de N' x Spec A, i l existe un élément e du réseau /\s Tx 0 <8>i<s

t e l < l u e degus,N(e) = 0; donc deg 0 (v s , jv( e )) = deg^s ^(e) = 0, ce qui implique qu'en ce point, la réduction de VS,N ne s'annule pas. On conclut que la restriction VS^N' de VS,N au sous-niveau N' ne s'annule en aucun point géométrique de N' x Spec A.

Remarquons que ur,N : (/\r T ® ® . < r £ f ( r " ° ) t T > /\r T <g> ® . < r £ f ( r ~ ° est un isomorphisme, donc vérifie la propriété (*). Ainsi IV,JV n e s'annule en aucun point géométrique de N x Spec A, ce qui prouve bien que vR,N est un isomorphisme, et achève la démonstration.

Puis on note ChtDeg^ d comme produit fibre de ChtDeg r , d xXxx(X-N)2 et de CrN

au-dessus de Cr,N : ChtDeg^ nr

ChtT>egr'dxXxX(X-N)2 çr,N

Le morphisme C h t D e g ^ C h t D e g r ' d X x x X ( X - 7 V ) 2

est représentable et fini ; le champ ChtDeg^ d est muni d'une action du groupe fini GLr(0]sr) et le quotient de l'espace grossier associé à ChtDeg^ d par ce groupe fini est celui associé à ChtDeg r ' d Xxxx(X — N)2.

I I . 3 . Construction du fourre-tout I I .3 .1 . Notations. — Dans la suite de ce chapitre, on fixe un polygone po : [0, r] —*R assez convexe en fonction de la courbe X et de r (cf. définition 1.2.4). On choisit un entier positif e très grand par rapport à po> X et r . Puis on choisit un entier positif w et un niveau TV sans multiplicités de X qui vérifient les conditions suivantes :

a) Tout point géométrique x de N est supporté par un point fermé de corps résiduel FqW.

b) Le terme |iV| — Deg(r,po)^ est très grand par rapport à £, po, X et r où |7V| est la longueur de N, et la fonction Deg(r,po) est définie dans la proposition 1.3.5.

Ensuite, on choisit un entier ko assez négatif en fonction de \N\, e, po-> X et r et aussi un entier positif d assez grand en fonction de ko, |iV|, e, po, X et r . Enfin, posons h = d + (1 — #)r, où g désigne le genre de la courbe X.

Remarque II.3.1. — La condition b) intervient uniquement dans les dernières lignes de la preuve du lemme III .3.11.

II .3 .2 . Lemmes préparatoires. — Avec ce choix des paramètres, on énonce quelques lemmes préparatoires (cf. [10, lemmes V.6 et V.10]) qui vont nous servir par la suite.

Lemme II.3.2. — Soit £ un fibre vectoriel sur X de rang r, de degré d et de polygone canonique de Harder-Narasimhan majoré par p$. Alors :

a) H 1 ( X , f ) = 0 et £ est engendré par ses sections globales H°(X,£), on a donc

dimH°(X,£) = h.

b) Pour tout sous-fibré non nul T de £, dont le degré vérifie

deg .F k0

rgJF rg£

deg£,

le polygone canonique de Harder-Narasimhan de T et deg .F — (rg T jvg £) deg £ sont bornés par des constantes qui ne dépendent que de po, r et &o-

c) Sous les hypothèses précédentes, H 1 ( X , T) — 0 et T est engendré par ses sections globales Y^(X,T), on a donc Végalité

dim H°(X,j^) degJ^+ (1 - g) rgjF.

Lemme IL3.3. — a) Soit £ un fibre vectoriel sur X et soit F un sous-espace vectoriel de H° (X ,£ ) engendrant £ génériquement. Alors le nombre de points x dans X {avec multiplicités) tel que F n'engendre pas £x est majoré par deg<£\

b) Sous les mêmes hypothèses, on a l'inégalité

dim H°(X,£) deg£ + rg£.

I I .3 .3 . Espace de Gieseker. — Soit Picd(X) la composante de degré d du schéma de Picard Pic(X) de X ; on note

p : X x Picd(X) • Picd(X)

la projection naturelle et A4 le fibre inversible universel sur X x Picd(X). L espace de Gieseker (cf. [5]) est défini comme

Z0 : = P ( H o m ( Ä o £ i c < , ( J C ) , p . A < ) ) .

Soit s un point géométrique de Picd(X) et soit C le fibre inversible correspondant sur X ; la fibre de Zo en s est alors l'espace projectif

P ( H o m ( A f c \ H ° ( X , £ ) ) ) .

ASTÉRISQUE 313

II.3. CONSTRUCTION DU FOURRE-TOUT 33

I I .3 . 4 . Le fourre-tout. — Le champ A r - 1 / G J ^ 1 associe à tout schéma S les familles de couples (Ci,ii)i<i<r-i> où Ci est un fibre inversible sur S et ^ est une section globale de Ci ; on dispose alors un morphisme

ChtDeg£ d Ar-1 /Gm

On note Vec r d le champ classifiant les fibres vectoriels sur la courbe X de rang r et de degré d ; Vecr,d,Po l'ouvert de Vec r ' d, qui classifie les fibres vectoriels sur la courbe X de rang r , de degré c?, et dont le polygone canonique de Harder-Narasimhan est majoré par le polygone po (cf. section 1.2.3) ; on a ainsi un morphisme

ChtDeg^ Vec r ' d

qui à tout chtouca dégénéré S muni d'une structure de niveau N associe le fibre vectoriel sous-jacent E.

Puis on considère y le champ défini au-dessus de l'ouvert

C h t D e g ^ xvec-" Vec r> d ' P 0 x ^ . ^ - i A 1 - 1

de ChtDeg^ d x^r - i /G^r l j ^ r 1 e n ajoutant un homomorphisme surjectif (défini modulo l'action de G m )

Ohx £

pour lequel le morphisme induit H°(X, Ox) —• H°(X, £) est un isomorphisme; le champ y est un PGL^ xGJ^~1-torseur au-dessus du champ

C h t D e g ^ x V E C M Vec r ' d^° . I l résulte de la construction par Grothendieck des Schemas de Hilbert que y est un schèma quasi-projectif.

Puis on note Z1 F e ©

1 <s<r xGA/ Horn Λ * Λ , λ σ ; ) β Γ , / "

et on définit Z comme l'espace produit Z ZQ x ZX.

Le groupe PGL^ xGJ^ 1 x GL r((9jv) agit de la manière évidente sur 3 et Z. L'action du groupe multiplicatif GJ^ 1 sur Z est comme suit. Ce groupe agit trivialement sur l'espace Z $ . Sur le facteur Z\ de Z, soit 7r = {nf7^', 7rf^2,.. . , irf,x^r)xeN un point de l'espace vectoriel de dimension finie

W e © l<s<rx£N

Horn ( Λ * Λ Λ σ ; ) β Γ , / β ·

Le groupe GJ^ 1 agit sur W de la manière suivante :

(£= (e1J2,...,er-1);ir) TT' //(gir! /®r!/2 /(g)r!/r\

OÙ

ΠΊ,χ II1,x, II2,x ¿1 17T2,x, 7r'3tX ¿1 17T2,x, 7r'3tX …, IIr,x pl-rp2-r p-1

On va construire un morphisme PGL^ xCJ^ 1 x GL r((9N)-équivariant : ^ —-> JET. Soit ^ un point géométrique de 3 ; dans la donnée de y, on dispose :

i) d'un fibre vectoriel £ sur X de rang r et de degré d, ii) d'un morphisme surjectif O1^ —» £, pour lequel le morphisme induit

H°(X,(9^) H° (Z ,£ ) est un isomorphisme, iii) d'un pseudo-homomorphisme complet au niveau TV, qui consiste en des homo-

morphismes linéaires s

VS,N • A £v korN, 1 < s < r.

Soit 5 un entier, avec 1 < s < r et soit x un point géométrique dans TV ; on notera vS:X : /\s £x > /\s Ox la restriction de vSjpj à x.

On obtient un point géométrique z — ip(y) de Z k partir de cette donnée de la manière suivante :

i) Pour obtenir un élément TTQ G Z0, on compose le morphisme induit A kh

A H 0 ( X , O | ) Â H 0 ( X , f ) avec le morphisme naturel

A H ° ( X , 5 ) H° (X,A£). ii) Soit s un entier, avec 1 < s < r et soit x un point dans TV ; le composé

f\kh /\H°{X,Ox) Â H ° ( X , 5 ) f\kh xs, x horx

définit un élément de irs^x G Hom(/\ s kh, f\s Ox).

Lemme IL3.4. — Soit s un entier avec 1 < s < r. Alors, Vêlement suivant n'est pas nul :

e x<EiV

KS,X G e x£N

H o m ( A ^ , Â ^ ) -

Démonstration. — On note TV' le plus grand sous-niveau de TV qui ne contient aucun dégénérateur du chtouca dégénéré associé au point y G y. La proposition 1.3.5 et l'hypothèse sur le niveau TV (cf. section IL3.1) impliquent que TV' 7 0.

La restriction ÎX S IJV (1 < s < r) de US:N au sous-niveau TV vérifie la condition : kerUs^w et ( I m u s ^ ' ) a sont en somme directe. D'après la preuve de la proposition II .2 .1 , la restriction VS^N' n'est nulle en aucun point géométrique, c'est-à-dire pour tout x G TV7, v3jX ^ 0. Donc l'élément @xeN^s,x <E ® x e N Hom(/\ S kh, f\s Or

x) n'est pas nul, c.q.f.d

Proposition IL3.1. — Le morphisme vb : y —» Z est quasi-projectif.

Démonstration. — I l résulte du fait que y est un schéma quasi-projectif et que Z est un schéma projectif, c.q.f.d.

ASTÉRISQUE 313

II.4. LES QUOTIENTS PAR LE GROUPE MULTIPLICATIF G7^1 35

I I . 4 . Les quotients par le groupe multiplicatif G7^ 1

Comme le groupe multiplicatif G7^1 agit trivialement sur l'espace iT 0 , on a Z //Gm Z0 x Z!//GR-\

Soit s un entier, avec 1 < s < r et soit Ws = ® x € J V Hom(A s kh, f\s Orx)®r-/s ; alors

i<s<r Ws et GJ^ 1 agit sur Ws via le caractère

(l4, …,lr-1 çdi(s) pdr-i(s)

avec

di(s) T ( ¿ - * ) si 1 < i < s — 1, 0 s i s < z < r — 1.

L'action de G7^1 sur = P(W) est induite par celle de GJ^"1 sur W; elle fournit naturellement une GJ^-1-linéarisâtion À du fibre ample 0(1) . On peut fabriquer d'autres linéarisations via les deux procédures suivantes :

a) Soit k un entier positif; la puissance symétrique de À induit une GJ^ - 1-linéarisation Xh du fibre ample 0{k).

b) Soit d — (d i , d<i,..., dr—i) une suite d'entiers positifs ou nuls ; la multiplication de Xh avec le caractère

Gr-1

G m, (£l,*2,. . . ,*r-l) /jdl çd<2 pdr—i ^1^2 ' ' ' *-r-l

induit une G7^1 -linéarisation du fibre ample 0(k). L'ensemble des points semistables, l'ensemble des points stables et le quotient de

la linéarisation ne dépendent que de la suite d/k — (di/k, c^/fc,..., dr—i/k) ; on peut alors parler de la G7^1 -linéarisation du fibre ample 0(1) associée à une suite d = d2, · - · , dr—i) de rationnels positifs ou nuls.

Explicitement, le fibre ample 0(1) de P(W) peut être regardé comme

Y x%Vj — XjUi 5 (Χΐ,Χ2, .··) GW, (yi : 2/2 : • • · ) e F(W)

et le morphisme Y —> P(W) est la projection naturelle. Alors la G7^1 -linéarisation naturelle du fibre 0(1) associée à une suite d = (c?i,.. ., d r _ i ) de rationnels positifs ou nuls correspond à l'action suivante de G7^1 sur Y :

((h, £2, (xi,X2, ··· 5 2/1 : 2/2 : · · · ) ) (#15 x2> · · · ' Vl ' V2 : ' ' ' )Î

où xi

çdr-\{s)-sfd1—i 1 ' ^r— 1 si Xi € W s ,

y- M ' ' ' V - l i/i SI 2/i G Ws.

Pour terminer cette section, on va définir quelques nouvelles notations qui seront utilisées par la suite. Soit d = ( d l 5 d 2 , · · · , c?r-i) u n e suite de rationnels ; on définit une

suite a = ( a i , . . . , a r ) de rationnels de somme r s = l

as = 1 de la façon suivante :

OJi 1 2<s<r

x

OL2 2 r!

(di — 2d 2 + d 3 ) , . . . , a r _ i r - 1 r!

( d r _ 2 — 2 d r _ i ) ,

x r r!

d r _ i .

Observons que la suite a détermine la suite d ; de plus, si tous les { a s } i < s < r sont strictement compris entre 0 et 1, alors les { d i } i < ^ < r _ i correspondants sont positifs.

Désormais, si a = ( a i , . . . , a r ) et d = ( d i , . . . , d r _ i ) correspondent, on dira que la GJ^-1-linéarisation du fibre 0(1) est associée à a au lieu de celle associée à d.

I I . 5 . Choix des paramètres

Soit a — ( a i , . . . , a r ) une suite de rationnels positifs de somme 1 et soit s un entier, avec 0 < s < r ; on définit

(A) q(s)

l<t<s atE

s<t<r

S

t ate s r

e

(Rappelons que V entier positif e est donné au début de ce chapitre (cf. section II.3.1).)

Remarque IL5.1. — a) On voit immédiatement que q(0) = q(r) = 0 ; on obtient alors un polygone rationnel q : [0, r] -—> R au sens de la définition 1.2.4.

b) Le polygone q détermine la suite a = ( a i , . . . , a r ) . En effet, pour tout entier s, avec 1 < s < r , on a ass/s = —q(s + 1) + 2g(s) — q(s — 1), ce qui détermine as ; reste à écrire

ar 1 l<s<r

as.

c) En général, étant donné un polygone rationnel q, la suite de rationnels a associée à q ne vérifie pas l'inégalité as > 0 pour tout entier 1 < s < r.

On va prouver que, sous certaines conditions du polygone q, la suite a correspondante est une suite de rationnels positifs.

Lemme ILS.2. — Soitp est un polygone assez convexe en fonction de X et de r, entier par rapport à d et majoré par po et soit q un polygone rationnel, avec q G ]p, p + 1 [ (cf. définition 1.2.5). Alors la suite a associée à q est une suite de rationnels positifs.

Démonstration. — Puisque p est un polygone assez convexe en fonction de X et de r, q l'est aussi, ce qui implique

as

s e

- q(s + 1) + 2q(s) - q(s - 1)) 0, Vs, 1 < s < r.

ASTÉRISQUE 313

II.6. ÉNONCÉ DU THÉORÈME PRINCIPAL 37

Puis comme le polygone p est majoré par po et r et po sont négligables devant e,

ar 1 l<s<r

as

est aussi positif, ce qui achève la démonstration.

I I . 6 . Énoncé du théorème principal

On peut énoncer le théorème principal de ce chapitre. Théorème IL6.1. — On utilise les notations des sections précédentes. Soient eo, S\ deux entiers positifs tels que

rs0

e h — e r! si.

Soit p un polygone assez convexe en fonction de X et de r, entier par rapport à d et majoré par po. On choisit un polygone rationnel q tel que q E ]p,p -\- 1[, ce qui veut dire, pour tout entier s, avec 0 < s < r, on a p(s) < q(s) < p(s) - f 1.

Soit a — ( a i , . . . , a r ) la suite de rationnels positifs de somme 1 qui correspond à q (cf. section IL5); on considère la PGL^ xQ7^1 -linéarisation associée à a du fibre 0(60)^0(8^ de Z .

Alors, pour un point géométrique y E y, dont le chtouca dégénéré sous-jacent E est de type r = ( r i , . ·. , r^), les conditions suivantes sont équivalentes :

i) 4*(y) est semistable (resp. stable). ii) Pour tout sous-fibré vectoriel non trivial T de 8, on a l'inégalité

(B) deg J?7 rgJT

r d

s E r q(s + rgTs-Z^s) ~ q(s ) resp. <

où les fibres vectoriels Ts (s E r) sont définis dans la définition 1.3.6. La démonstration de ce théorème sera présentée dans le chapitre suivant.

C H A P I T R E I I I

SEMISTABILITÉ

I I I . l . Introduction Ce chapitre démontre le théorème II .6 .1 . La section III .2 utilise le critère numérique

de Hilbert-Mumford pour déterminer les points semistables et stables de Z. Lorsque l'on restreint aux points dans îp(y), le critère numérique se simplifie notablement (cf. proposition III.2.2).

Puis la section III .3 donne une preuve du théorème II.6.1 : un point ip(y) de la strate de y indexée par une famille r est semistable si et seulement si le chtouca dégénéré sous-jacent vérifie une condition de semistabilité explicite et de type combinatoire. Le fait que l'on a « peu de dégénérateurs » joue un rôle important dans cette preuve.

La section III .3 .1 démontre l'implication : un point ip(y) de la strate de y indexée par une famille r est semistable implique que le chtouca dégénéré sous-jacent vérifie une condition de semistabilité. La preuve se repose sur une majoration de certains entiers ps^x (x G N) qui interviennent dans le critère numérique (cf. proposition III.3.8).

La section III.3.2 démontre l'implication réciproque : un point ip(y) de la strate de y indexée par une famille r est semistable si le chtouca dégénéré sous-jacent vérifie une condition de semistabilité. I l s'agit de montrer qu'au moins en un point x G AT, l'inégalité obtenue dans la proposition III.3.8 devient une égalité (cf. proposition III.3.10).

I I I . 2 . Critère numérique de Hilbert-Mumford

I I I . 2 . 1 . Critère numérique de Hilbert-Mumford pour un point général de Z. — On considère la SL^ xGJ^ - 1 -linéarisation du fibre 0(SQ) Kl 0(e\) associée à la suite a = («1,^2, · · ·, ocr). On note d = (d\,d<2,. . . , d r - i ) la suite de rationnels associée à la suite a (cf. section II .4) .

Soit À : G m —• SLfr x G J ^ 1 un sous-groupe à un paramètre non trivial ; i l existe une base { e i , e2,...,e^} qui diagonalise l'action induite de G m sur SL^ en

A(t)e, tnie-

40 CHAPITRE III. SEMISTABILITÉ

où n = ( n i , 7i2, · · · , rth) est une suite (non nulle) décroissante d'entiers, dont la somme vaut zéro et ( m i , ra2,. . ., rar_i) est une suite d'entiers telle que l'action induite de G m

sur G7^1 soit t h-» ( t m i , t m 25 . . . , t m ^ - 1 ) .

Soit 2: un point géométrique de Z ; la donnée de z contient en particulier i) un fibre inversible C sur X , ii) un homomorphisme linéaire 7To : A r kh > H° (X ,£ ) , iii) pour tout entier s, avec 1 < s < r et pour tout point x E N, un homomorphisme

linéaire TT S ? X : /\s kh > /\S Orx.

L'espace Hom(/\ r kh, H°(X, C)) se décompose en

Uom(/\kh,U°(X,£)) e |/|=r

Hom(A e i ,H° (X,£ ) ) ,

et le groupe Gm agit sur H o m ( / \ i G / e , H°(X, £)) via le caractère t h—» i ¡6/ L'espace W = © ! < s < r © i e i v Hom(A s A* OJ)® H / s se décompose en

W e l<s<r

e S e Hom( A e „ A ^ ) ^ ! / S , Vs, 1 < s < r.

Le groupe multiplicatif G m agit sur © x G i V H o m ( / \ i G / e*' C^)® r ! / S via le caractère

t £-T ^Zieis ni+^Zl<i<r di(s)mi ^

(Les entiers di(s) sont définis dans la section II.4-) On définit :

μο(ζ,η) max i i E I ni \I\ = r, πο(Λ ei) φ O

i€l

μ3ιΧ(ζ,η) — oo T M A X ^ •ieis η ί

Is 5, 7TSiX(/\ieIs Ci) ^ 0 SÌ 7TS ; 2 C 0

SÌ 7TS;2C 0

μ3ιΧ(ζ,η) max XEN

fJ>s,x(z,n)

μ3ιΧ(ζ,η) / i s ( z , n ) r !

!<£<s (s - t)mt

l<t<r dtmt.

ji(z, A) £oMo(£,n) £i max l<s<r

Ms ( z , A)

Pour tout entier s, avec 1 < s < r , posons

hMs

1<*<s-1 (s - t)mt,

avec la convention M\ = 0 ; on en déduit m\ = /1M2, ra2 = h(Ms — 2 M 2 ) ,

m 3 / i ( M 4 - 2 M 3 + M 2 ) , . . . , mr-i h(Mr - 2 M r _ i + M r _ 2 ) ,

ASTÉRISQUE 313

III.2. CRITÈRE NUMÉRIQUE DE HILBERT-MUMFORD 41

puis on obtient

l<t<r dtmt

2<t<r

hrl t

OLtMt.

Avec ces notations, on a alors

/ i s (z ,A) fis(z,n) rl s l<t<s

(s - t)mt

l<t<r dtmt

Hs(z,n) hrl s

Ms

2<t<r

hrl t

atMt.

Le critère numérique de Hilbert-Mumford implique Proposition IIL2.1. — Avec les notations ci-dessus, un point géométrique z G Z est semistable (resp. stable) par rapport à la PGL^ xG7^1 -linéarisation associée à a du fibre O(SQ) IE1 O(si) si et seulement si

(C) JLL(Z, A) eop,o(z,n) + S\ max Ks<r

ßs(z,\)} (resp. > 0 ) ,

pour tout sous-groupe à un paramètre non trivial A.

I I I . 2 . 2 . Critère numérique de Mumford-Hilbert pour un point z — ip(y) de Z. — Soit z = tp(y) un point géométrique Z qui est l'image par i/; d'un point y de y ; d'après le lemme II.3.4, toutes les applications Q}xeN 7rs,x (1 < s < r ) ne s'annulent pas, ce qui implique

ßs(z,n) r\ s

max max xeN is ieis

ni \Is\ = s, *s,x( A ei) ^ 0 } . ieis

Déterminons maintenant la valeur minimale de la fonction f(M1 = 0 , M 2 , . . . , A f r _ i ) max

l<s<r μ* {ζ,Χ)

max l<s<r

Hs(z,n) hrl s

Ms

2<t<r

hrl t

atMt

Posons

M max l<s<r

Hs(z,n) hrl s

Ms

Pour tout entier s, avec 2 < s < r , on a alors (hrl/s)Ms < M — \is(z,n) et, compte tenu du fait M i = 0,

M Hi(z,n) p.i(z,n) + hrlMi,

ces inégalités entraînent

max l<s<r

Vs(z,\) M 2<t<r

hrl t

OLtMt M 2<t<r

at(M - fJLt(z,n))

ctxM -2<t<r

OLt¡it(z,n) l<s<r

asns(z,n),

et l'égalité est atteinte si, pour tout 2 < s < r , hr\

s Ms μι (ζ, η) - μ3(ζ,η).

Le critère numérique de Hilbert-Mumford pour le point z = ip(y) se simplifie notablement.

Proposition IIL2.2. — Un point géométrique z = ip(y) est semistable (resp. stable) par rapport à la PGL^ xGJ^" 1 -linéarisation associée à a du fibre O(so) Kl 0(s\) si et seulement si, pour tout sous-groupe à un paramètre non trivial À de SL^, on a l'inégalité

(D) £0ILLo(zjn) + £± l<s<r

asfis(z,n) 0 (resp. > 0),

ou de façon équivalente,

£o max i E I

ni \I\ = r, A e<

iei 0

Si l<s<r

r\as

s max max xeN is tels

ni \I*\ = s, ^s,x A ei

ieis

0 0

(resp. > 0).

Soit n = (ni, 77-2,..., nh) une famille décroissante d'entiers de somme 0; elle est alors dans le cône engendré par les familles nt (1 < t < h)

nt,i = rit,2 = ' · ' = nt,t = h - t, nt,t+i = nt,t+2 = · · · = rit,h = —t-

Pour tout entier t , avec 0 < t < h, on note Ft le sous-espace vectoriel de kh

engendré par les vecteurs ei, e 2 , . . . , et et Tt le sous-fibré maximal de 8 engendré par l'image de Ft dans H°(X,£ ) . On dispose ainsi de deux nitrations

0 = F0 Ç F i £ · · · Ç Fh_! ÇFh = kh, 0 = j r 0 ç j r x ç . . . ç g Th = 8.

Puis pour tout entier 0 < t < h, pour tout entier 1 < s < r et pour tout point x G N, posons

Ps,x(Ft) —oo k m a x 7 s { | { l , 2 , . . . , t } n / a | ; \IS\ = s, KsAAiei, ei) + 0

si 7r8yX = 0, si ns,x ^ 0;

ces entiers vérifient

Ps,x(Ft) min{s ,rg Tt}.

Plus généralement, soit F un sous-espace vectoriel de H°(X, O^) et soit J 7 le sous-fibré maximal de 8 engendré par F. Soit {e^}i<i</ une base de F ; on peut alors

ASTÉRISQUE 313

III.2. CRITÈRE NUMÉRIQUE DE HILBERT-MUMFORD 43

compléter cette base pour obtenir une base {ei}i<i<h de H°(X, O^) ; puis pour tout entier 1 < s < r et pour tout point x G AT, on définit

psAF) — oo max/ s l , 2 , . . . , / } n J a | ; Is

55 7rS,x(/\i£js &i) 0 ]

SÌ 7TS,X 0,

SÌ 7T8X 0.

On vérifie sans difficultés que ces entiers ne dépendent pas de la base {ei}i<i</ choisie et satisfont les inégalités

Ps,x(F) < min{s ,rg jF} , Vs, 1 < s < r, Vx G iV.

Lemme III.2.3. — Soient s un entier, avec 1 < s < r, x un point de N, et F Ç. F' deux sous-espaces vectoriels emboîtés de kh = H ° ( X , C ^ ) . On a alors

PsAF) PsAF')'

Démonstration. — C'est évident.

Avec les notations que l'on vient de définir, on a les formules suivantes :

SÌ 7TS;2C r h r

r g ^ i dim Ft

PsAz^t) ri h s

psAFt) dim Ft

Ps(z,nt) r! h s

max xeN

psAFt) dim Ft

La condition de semistablité (D) de la proposition III.2.2 implique

0 ε0μο{ζ,ηι) + εχ l<s<r

asßs{z,nt)

re0

h r

rg Ft — dim Ft - ri si l<s<r

as

h S

max xEN

psAFt) dim Ft

On remplace r£0e/(h — e) = rlei dans l'équation précédente et utilise le fait que ' 1 < s<r as 1 pour obtenir

(h-e) rg r l<s<r

OÍs e maxxeN{ps,x(Ft)}

s dim Ft 0.

On peut énoncer :

Proposition HI.2.4. — Pour qu'un point géométrique z = ^(y) soit semistable (resp. stable) par rapport à la PGL^ xG7^1 -linéarisation associée à a du fibre O(eo)^0(si), il faut que tout sous-espace vectoriel non trivial F de R0(X,O^) vérifie

(E) (h-s) rgJF

r l<s<r a s e Ul3^xeN{psAF)

s dim F 0 (resp. > 0 ) ,

où J 7 désigne le sous-fibré maximal de £ engendré par F.

44 CHAPITRE I I I . SEMISTABILITÉ

Plus généralement, si l'on écrit

n t

(3tnt,

avec des pondérations { A } positives ou nulles de somme positive, on peut prouver (cf. [5]) que l'expression fio(z,n) est linéaire en fonction de n ; on a donc

Ho(z,n) : r h r t

forget t

β dim F t

Par contre, en général, les expressions fjLs,x(z,n) (avec 1 < s < r , x G N) ne sont pas linéaires en fonction de n ; néanmoins, on prouve :

Lemme IIL2.5. — Ces fonctions sont concaves en fonction de n, autrement dit si n = ^2t (3t nt, pour tout entier s, avec 1 < s < r et pour tout point x G N, on a alors

p>3,x(z,n) t

fit l*s,x(z,nt)'

Démonstration. — Fixons un entier s, avec 1 < s < r et un point x G N. Supposons que, pour un certain sous-ensemble I s de { 1 , 2 , . . . , h\ de cardinal s,

7t s.x A a ieis

0, et Vs,x(z,n) i E Is

ni.

Comme 7rS:X(/\ieIs e{) ^ 0, on en déduit tis,x(z,nt) > J2ieis A i n s i

fjL8,x(z,n) ieis

ni t

Bt

ieis

nt,i t

(3t Vs,x(z,nt),

ce qui achève la démonstration.

I I I . 3 . Calculs des points semistables et des points stables I I I . 3 . 1 . Preuve du théorème II .6 .1 : première partie. — On montre d'abord : Proposition 1113A. — Soit y un point géométrique de y, dont le chtouca dégénéré sous-jacent £ est de type r = ( r i , r2, . . . , r^). Suppsosons que ip(y) est semistable (resp. stable) par rapport à la PGL^ xG7^1 -linéarisation associée à a du fibre 0(EQ)MO(E\). Alors, pour tout sous-fibré vectoriel non trivial T de £, on a Vinéqalité

deg^ 7 rgJF

r d

s E r [q(s +rgJT _/JT s) _ q(s ) resp. <

où les fibres vectoriels Ts (s G r) sont définis dans la définition 1.3.6.

La preuve de cette proposition se trouve à la fin de cette section.

Lemme IIL3.2. — Rappelons (cf. section IL5) que

Q(t) l<s<t

as E t<s<r

t S

as E t r e 0 <t <r.

ASTÉRISQUE 313

III.3. CALCULS DES POINTS SEMISTABLES ET DES POINTS STABLES 45

On a alors

l<s<r

as£

s min rg T/Ts+ , rg T/Ts- + S - S -

rgj= r £

s E r q(s + rgTs-/Ts+ q(s-)

Démonstration. — Le terme libre dans l'expression ^2sEr(q(s + rgTs-/ Ts) — q(s )) vaut

s E r

£ r

s + rgTs-/Ts £ r s

s E r

£ r

TgTs-/Ts

£

r rgJF

Soit s un entier, avec 1 < s < r ; le coefficient de as£ dans l'expression

ter q(t + rgTt-/Tt <?(0

vaut

ter t<s~

1 s

t~ + rgTt-/Tt ~ t~ 1 s

min{s -h rgTs-/Ts+, s} — s

1 s

min{rg jF / jF s + , rgJ^ / :^ - + s - s } .

En combinant tous ces calculs, on obtient igT

r £ ser

q(s +rgJF s _ /Ts+ q(s-)

l<s<r

as£ s

min rg T/Ts+, rg TIT s- + s - s

ce qu'on voulait. La démonstration est donc terminée.

Soit £ le chtouca dégénéré sous-jacent au point géométrique y G y ; i l est de type r ; ainsi on sait (cf. section 1.3.3) qu'il y a deux nitrations de £ " et de S = £a par des sous-fibrés vectoriels maximaux

o ç 5;; Ç • • • Ç S", £ 2 £rx 2 · · · 2 0,

et des isomorphismes en dehors des dégénérateurs £s~ I £s c / c s E r.

Soit s un entier, avec 1 < s < r ; le morphisme us : /\s £ —> /\s £" est alors le composé de trois morphismes :

> la surjection f\ £ f \ X £/£ri <8> r ± £ri /£r2 <S> · · · <8> A* * , > l'injection A " 1 S/SRX ® · • · ® A*"* ^ A " 1 ^ ® · · · ® A ^ X " / C - qui

est un isomorphisme en dehors des dégénérateurs et > l'injection A r i S " ® · - · ® A*"* ^ A " £ " Par conséquent, la restriction us^ de us au niveau iV est le composé des restrictions

de ces trois morphismes à N. Puisqu'en dehors de 0 et 00, on a l'isomorphisme £ " £,

on peut donc remplacer les £ " par les £ s dans les formules ci-dessus. En particulier, la restriction US,N peut être considérée comme un homomorphisme linéaire

us,N A EN A EN

L'homomorphisme linéaire VSJN A EN l\ ^ N vérifie

Vs,N VS,N ° USIN.

On a aussi deux applications naturelles

^:kkh A EN 4>a : kkh

A EN

Soit x un point géométrique de N; on notera us^x (resp. vs,x) la restriction de US,N (resp. VS,N) à x ; puis on notera ipx (resp. 1/;%) le composé de l'application i/; (resp. ^ a ) avec la projection £j^ —» £x (resp. £ ^ —» £ x ) . L'homomorphisme linéaire KS,X · kh —» /\ s (9£ est alors le composé irs,x — ^s,x °

On note <JS x le composé

Os, x UsìX ο φσχ : kh A s

soit F un sous-espace vectoriel de H 0 ( X , O ^ ) et soit {e^}i<i</ une base de F; on peut le compléter pour obtenir une base {ei}i<i<h de H°(X, O^) ; puis pour tout entier s, avec 1 < s < r et pour tout point x G N, on définit

9S AF) max '1,2,...,f Is Is «5 0~S,X Aie/ . < 0

On vérifie sans difficulté que ces entiers ne dépendent pas de la base {^i}\<i<h choisie.

Lemme 11133. — Pour tout entier s, avec 1 < s < r et pour tout point x G N, on a l'inégalité

Ps,x{F) < 0,tX(F).

Démonstration. — Fixons un entier s, avec 1 < s < r et un point x G N. D'après la définition de ps^x (cf. section I I I . 2 . 2 ) , i l existe un ensemble I s à s éléments de { 1 , 2 , . . . , h} tel que 7rs,x(/\ieIs e^) ^ 0 et

P*AF) 1 , 2 , . . . , / Is

La condition 7Ts^x(/\ieIs ei) 0 est équivalente à vs^x o i^x(/\ieIs e ) ^ 0, donc vs,x ° ^xiAieis e i ) ^ 0 ; comme v°x = v8jX o us,x, on obtient

vs,x o us,x o ^£(Ai6Js e ^ 0,

donc us^xotpxr(/\ieIs e^ ^ 0, ce qui revient au même, o~s,x(/\ieis

eù 7 0· On en déduit

0s,x (F) i , 2 , . . . , / ; Is psAF)i ce qui achève la preuve.

ASTÉRISQUE 313

Remarque III.3.4. — On notera N' le plus grand sous-niveau de N qui ne contient aucun dégénérateur; alors toutes les restrictions US,N' (1 < s < r ) de US,N au sous-niveau Nf vérifient la condition : ker-u^jv' et ( I m i i S ) ] v ) a sont en somme directe. D'après la preuve de la proposition II .2 .1 , toutes les restrictions VS,N' ne sont nulles en aucun point géométrique, c'est-à-dire pour tout x G Nf, vs^x ^ 0. De plus, d'après [?, section III .3b] , pour tout point x G N', us,x(e) ^ 0 si et seulement si vs,x ous,x(e) ^ 0.

Cette remarque combinée à la preuve du lemme III.3.3 montre :

Lemme IIL3.5. — Avec les notations ci-dessus, pour tout entier 1 < s < r et pour tout point x G N', on a

ps,x (F) = 0s,x (F).

Dans la suite de cette section, si G est un fibre vectoriel sur X , Qx désignera alors le germe de G en un point x G X ; en particulier, Ox est le germe du fibre trivial ; c'est un anneau de valuation discrète ; on notera vx sa valuation.

Soit F un sous-espace vectoriel de kh et soit T le sous-fibré maximal de £ engendré par F ; on notera Mx le sous-C^-module de £ x engendré par F. Pour tout entier s, avec s G r , rappelons (cf. définition 1.3.6) que Ts — Ta D £s (avec la convention

T — Ta ) ; posons alors

£(s)=rgT/Ts.

Lemme IIL3.6. — Avec les notations ci-dessus, il existe i) une base {ei}i<i<r de £x comme Ox-module, ii) une base {fi} de Mx comme Ox-module et des éléments {ai} de Ox, où les

indices i parcourent Vensemble A = {s~ + j \ s G r , 1 < j < £(s) — £(s~)}, ces bases étant telles que :

> pour tout entier s, avec s G r, l'ensemble {ei}s<i<r forme une base de £SyX

comme Ox-module ; > pour tout entier s, avec s G r et pour tout entier j , avec 1 < j < £(s) — £(s~),

l'élément fs-+j ~ as-+jes-+j soit dans le sous-module £s,x-

Démonstration. — On applique le théorème des diviseurs élémentaires au sous-module Mx H £S-^X/MX D £SiX du (9 x-module libre £s-,x/£s,x ' i l existe donc une base { e i } s - + 1 < i < s de £ s - , x / £ s , x et des éléments {a 5 -+j } i<j<£( s ) -^( 5 - ) tels que {as~ +jes- +j}i<j<£(s)-£(s~) forme une base de Mx D £S-X/MX D £s,x- Pour conclure, i l suffit de tout relever dans £ x , c.q.f.d.

Lemme IIL3.7. — Pour tout entier s, avec 1 < s < r et pour tout point x G N, on a alors Vinégalité

0s,x (F) min rgJT/ jF s + , rgJT/JFs_ + s - s

48 CHAPITRE III. SEMISTABILITE

Démonstration. — Soit s entier, avec 1 < s < r et soit x nn point de N ; la discussion suivant le lemme III.3.2 et le lemme précédent entraînent immédiatement que

OsAF) ter

t<s~

(£(t) -£{t~)) + min £(s+) -£(s-),s-s-

min £(s+),£(s~) + 5 - 5 - min rgJF/JT s + 7 rgjr/JF^- + s - s

ce qui achève la démonstration.

Proposition IIL3.8. — Pour tout entier s, avec 1 < s < r et pour tout point x G N, on a alors

PsAF) min rg TjTs+, rg TjT3- + s - s

Démonstration. — Elle résulte directement des lemmes III.3.3 et III.3.7.

On est armé pour démontrer la proposition I I I . 3 .1 .

Preuve de la proposition III. 3.1. — Soit T un sous-fibré maximal de £. Si

degj7 rgJT rg£ deg £ + fc0,

le choix de fco (cf. section II.3.1) implique

degJT rgJF rg£

deg£ s E r

q(s +rgJ7s-/J7

s φ-)

Désormais, on peut supposer que degj7 > ( r g ^ / r g £) deg £ + fc0. Le lemme II.3.2 implique que H 1 ( X , ^ r ) = 0 et que J 7 est engendré par ses sections

globales F. D'après le théorème de Riemann-Roch, dim F = deg J 7 -h (1 — g) rg T.

Le lemme III.3.2 et la proposition III.3.8 impliquent

l<s<r OLse max X GAT psAF)

s l<s<r

ase s

min rg J 7 / J 7S + , rg T/Ts- + s - s

r g ^ r e

s E r q(s +rgJr

s-/Ts « ( O

Puisque ip(y) est semistable, la proposition III.2.4 est applicable ; on l'applique à F pour obtenir l'inégalité voulue

0 (h-e) mJ7

r l<s<r as E maxx(E7v PsAF)

s dim F

rgJF r

d s E r

q(s +rgJT s _ /JT s ; q(s-) deg T.

La preuve est terminée.

ASTÉRISQUE 313

I I I . 3 . 2 . Preuve du théorème II .6 .1 : deuxième partie. — Cette section est consacrée à démontrer l'assertion réciproque de la proposition III .3 .1 .

Proposition 1113.9. — Soit y un point géométrique de y, dont le chtouca dégénéré sous-jacent E est de type r. Supposons que tout sous-fibré vectoriel non trivial T de E vérifie

degJF rgjF r

d s E r

q(s +TgJrs-/Jr

a q(s-) (resp. < ) .

Alors le point tp(y) est semistable (resp. stable).

Soit {Ft}i<t<h une filtration maximale croissante par des sous-espaces vectoriels de H°(X, Ojç) ; on notera Tt le sous-fibré maximal de E engendré par Ft ; on obtient ainsi une filtration croissante

J7? 2 • · · Ώ Tt,.

Puis pour tout entier £, avec 1 < t < / i , on a une filtration décroissante Ft J7? 2 • · · Ώ Tt,. F? n Es D ·. - D Tt,r 0

de Tt par des sous-fibrés maximaux {Jrt,s}ser induite par la filtration

£ £ a 2 · · · 2 £s 2 · · · 2 £r 0.

Proposition 1113.10. — Avec les notations ci-dessus, on considère Vensemble

A t ; dim Ft h — e

r rg Ft

Alors, pour tout entier s, avec 1 < s < r, on a

Hs(z,n) r\ h s t E A

ßt min rg J7t/^rt,s+ , r g Ft/ft.s- + s - s t

ßt dim Ft

Démonstration. — On note B i ; 3 t G A tel que r g ^ = i il < ¿2 < * ' ' < ig

et pour tout élément ij G B, on pose tj min te A; xgTt tj

Soit s un entier, avec 1 < s < r ; la filtration ^Ftl Ç. Tt2 · · · Çz Jrte induit une filtration

J~ti,s~/J~ti,s Q J~t2,s~ /3~t2,s Q: ' ' ' Q J~te,s-IJ~tt,s

du fibre £ s - / £ s par des sous-fibrés vectoriels (pas nécessairement maximaux) ; à son tour, cette dernière filtration induit une filtration par des sous-fibrés maximaux de £ :

Es Ç Atl,s Q At2,s Q Atè,s Q £s->

telle que, pour tout entier tj, le sous-fibré AtjlS/£s a r t I e même rang que FtjjS-/'Ft^s et le contienne.

À nouveau, si Q est un fibre vectoriel sur X, alors Qx désigne le germe de Q en un point x G X ; Ox est ainsi le germe du fibre trivial ; c'est un anneau de valuation discrète et on note vx sa valuation.

On note aussi MtjiX le sous-O x-module de Sx engendré par Ftj ; on a ainsi une suite croissante de sous-(9^-modules de £ x

MtltX Ç Mt2tX Ç ··· Ç MUtX,

et pour tout entier s, avec «s G r, une suite croissante de sous-0X-modules

(MtltXnEa-ìX)/{MtXìXn£sìX) c ··· ç (MUtXn£a-ìX)/(Mu,xn£sìX)

de £s-,x/£s,x ; enfin, posons

£(j,s) = TgAtj,s/£S'

I l existe alors une base { e s - + i , es-+2i ·.., e s } de £s- x/£s,x comme 0 x -module telle que, pour tout entier tj, l'ensemble { e s - + 1 , e s - + 2 > · · · > e s -+£0» } f ° r m e u n e base de Atj,s,x/£s,x comme C^-module.

Puisque (MtjtX H £3- ^x)/(MtjyX Pi £ S ) X ) est contenu dans At3,,s,x/£s,x et de même rang, i l existe une base

. /s-+l,jj /s~+2,jî · · · 7 fs-+£(j,s),j

de (MtjyX H £ s - ) a ; ) / ( M t j ) X Pi comme 0 x -module de la forme

fs~+l¿ (χ) a

s- +i(j,s)jes- +£(j,s) 7 as-+2,jes-+2

fs~+2,j (x) as-+2,jes-+2 H *" * e s -+*0»>

fs-+£(j,s),j (x) a

s - +i(j,s)jes- +£(j,s) 7 où tous les * et tous les éléments a* sont dans O^.

On relève tout dans f^, i l existe donc une base { e i , e2, ·. ., e r } de £ x telle que pour tout entier s, avec s G r , { e s + i , e s +2, . . . ,e r } forme une base de £ s , x ,

ii) pour tout entier 1 < j < £, i l existe une base {fs-+ij, - · · > fs-+£(j,s),j}ser de Mtj,x, avec

fs-+i,j o>aX-+ljea-+1 + * e 5 - + 2 H h * e s - + £ W j S ) (mod £ S j X ) ,

fs~+2,j o>aX-+ljea-+1 + *e5-+2 (mod £ 8 ì X ) ,

fs-+£(j1s)J (x) as-+£(j,s),jes-+HJ,s)

(mod £ 8 ì X ) ,

où tous les * et tous les éléments af^ sont dans Ox.

ASTÉRISQUE 313

Lemme III.3.11. — II existe un point x dans le sous-niveau Nf (défini dans la remarque III. 3.4) de N et où on a

1<j<l sEr

vx(as

(x)

+1,j) + vx(as

(x)

+2,j) ( O ) • V*\a3-+i(j,s),j.

0.

Démonstration du lemme III. 3.11. — Pour tout entier tj, notons J*t le sous-fibré de £ engendré par le sous-espace vectoriel Ftj ; i l est contenu dans Ttù = T% et de même rang; son germe en x est MtjlX et le germe de J = 1

t . n £s-l^tù ^ &s (s £ z) en x est donc (Mt.,x Pi £s-?x)/(Mt iX C\£SiX). La somme

Maffi+u) + fx(aí-+2,¿) + · · · + vx(aíX-+e{j,s)¿)

est la longueur du quotient de At s x/£s x par le sous-module

(Mtj,x n ea-tX)/(MtjiX n £ S i X ) .

On a donc

degAti,s/£s - deg(J?u n £a-)/(Fu n £ s )

xeN'

vx(as

(x)

+1,j) + vx(as

(x)

+2,j) + … + ( W v*yas-+e(j,s)j-

ce qui implique

sEr deg Atj,s/£s — degP^

sEr deg Atj,s/£8 - deg(^ t i n £ s - Ptj n £ 8

sEr xEN

vx(as

(x)

+1,j) + vx(as

(x)

+2,j) + … + Vx(aí-+£(j,s),j)

Pour tout entier 5, avec s G r , le polygone canonique de Harder-Narasimhan de £ est majoré par le polygone p0, donc

deg(Atj,a/£a) deg Au,s - deg£s

deg Atj ,s + deg £s - d + 1 d r

r g - 4 i j ) Ä + po(rgAtj,s) d

r rg£ s + p 0 ( r g i s ) - d + 1

d

r r g C ^ . , * - / ^ , * ) p 0 ( r g A J 5 S ) + Po(rg£ s) + 1,

ce qui implique

sEr

deg Atj,s £s

sEr

d

r rgi Ftj,s- Ftj,s Po rg Atj,s p0 rg Es 11

d

r rg Ftj

sEr

po rg AtjiS -Po- rg £ s 1

D'autre part, comme Ftj engendre T't. génériquement, on sait (cf. lemme IL3.3) que

d e g ^ dimFt r g ^ d

r rg ^t, 9

£

r rg^t,

En combinant les trois inégalités, on obtient

sEr xEN' vx a X

s~ -1J Vx a x s-+2J … Vx a

(x) s l(j,s) , j

9 £ r

rg Ftj

sEr [PO r g Atj,s, PO rg£ s

1

Supposons par l'absurde que, pour tout point x dans TV', on ait

l<j<£ sEr Vx a

X s 1,7 Vx a

(x) S' -2J … Vx a X

s l(j,s) ,j 1.

On déduirait alors

xEN' l<j<£ sEr Vx a X

s 1,7 Vx a X S" 2,j … Vx a X

s l(j, s) j N'

Les deux dernières inégalités impliquaient

N' xEN' l<j<£ sEr

Vx a X

s~ 1,3 vx\ a x s -2,7 … Vx a x

s l(j,s) ,j

l<j<£ 9

£

r r g ^

sEr PO r g -Atj,s Po rg^s 1

Le terme à droite est borné par e, po, X et r tandis que le terme à droite est minoré par N — Deg(r,po)w (cf. proposition 1.3.5). Comme \N\ — Deg(r,po)w est supposé assez grand par rapport à e, po> X et r (cf. section II.3.1), on obtenait ainsi une contradiction.

La preuve est donc achevée. •

Revenons à la démonstration de la proposition III.3.10. On fixe un point x G N' tel que

(*) l<j<£ sEr

Vx a X s,j 1,7 Vx a X

s,j -2,7 … Vx a [x

s l(j,s) ,j 0.

ASTÉRISQUE 313

Pour un élément x dans le germe £ x , on notera x son image dans la fibre de £ en x, que l'on note encore £ x . On définit une suite {gi}i<i<r d'éléments de la fibre £ x comme suit : soit i un entier, avec 1 < i < r ; on définit

9i fi,l si i — i rg Atlii+/£i+,

fi, 3 si TgAti_1,i+/£i+ i — i rgAtjii+/£i+ et j 1, ei,j si rg At£yi+/£i+ i — i

L'égalité (*) implique :

Corollaire III.3.12. — Pour tout s G r 7 £s,x désignera la fibre de £s en x. Alors, pour tout entier s, avec 1 < s < r, l'image du produit /\i<i<s 9i Par ^A projection

A Ex ri _ _ A £x I£r\ ,x (g) · · · &

s —s _ _ ' A ^s~,x/^s+,x

n'est pas nulle.

On peut relever les éléments {gi}i<i<r en des éléments {hi}i<i<r de kh tels que, pour tout entier i = t~ + k avec t = i + et k < rgAtj,t/£t, l'élément hi appartienne à Ftj. Avec ce choix, la remarque II I .3 .4 et le corollaire I I I . 3 . 1 2 entraînent que, pour tout entier 1 < s < r ,

7Ts,x( A hi) l<i<s

0.

Rappelons (cf. section I I I . 2 . 2 ) que

Lis{z,n) r\ s

max is ieis

rii Is s, IIs,x A a ieis

0

i l en résulte

µs (z, n) r! h s teA

ßt min r g j r t / J F M , r g J ^ / J F M _ + t

ßt dim Ft

La preuve de la proposition I I I . 3 . 1 0 est donc terminée.

On est armé pour donner une preuve de la proposition I I I . 3 . 9 .

Preuve de la proposition III. 3.9. — On conserve les notations utilisées précédemment. D'après la proposition I I I . 2 . 2 , pour que ip(y) soit semistable (resp. stable), i l faut vérifier

SoiJLo(z,n) + £1 l<s<r

α3μ3(ζ,η) 0 (resp. > 0 ) .

En effet, la proposition III.3.10 implique

e0po(z,n) + e\ l<s<r

OLs¡JLs(z,n)

re0

h r t

for g Ft t

A dim i l

l<s<r r! assi

h . s teA

Pt min TgFt/FtiS+,rgFt/Ft^- + s - s

t \ßt dim Ft

Pour conclure, i l suffit de montrer que

0 re0

h r t

> r g ^ t

t A d i m F t

l<s<r for g Ft

h s teA

] Pt min rgFt/Ft,s+,rgFt/Ft,s- +S-S

t Pt dim Ft

En remplaçant reoe/(h — e) = r\e\ dans la formule et utilisant le fait que ^ 1 < s < r a s = 1, rinégalité ci-dessus est équivalente à

t PtàxniFt h — s

r t PtrgFt

l<s<r OLs£

S teA

Pt min rgFt/FtyS+,rgFt/FtyS- + s - s

Pour tout t £ A, par définition de l'ensemble A (cf. proposition III.3.10), on a la minoration (h — e)/rrgFt > dim i*t, d'où

h — s r tEA

for g Ft t£A

Pt d i m F t .

Pour tout £ E A, comme Ft engendre Ft génériquement, d'après le lemme II.3.3, dim Ft

h0(X, Ft) deg Ft + TgTt,

ce qui montre

degJF^ dim Ft - rg Ft

d r rg 9 £

r rgJ 7 *;

le sous-fibré vectoriel Ft satisfait donc l'hypothèse du lemme II.3.2, car ko est choisi très négatif en fonction de e, po, X et r (cf. section II.3.1) ; le lemme II.3.2 appliqué à Ft montre que H 1 ( X , ^ r

t ) = 0 et que Ft est engendré par ses sections globales; alors :

h°{X,Ft) degFt + (1 - g) rg . F t .

ASTÉRISQUE 313

On a donc h — e

r rgTt

l<s<r

OÍ s ε s

min rg Ft/Ft,s+ , rgFt/Ft,s + s - s

h r

rgTt

sEr q(s + r g J T M _ / j F M ) - q(s ) (cf. lemme III.3.2)

(1-g) r g ^ i rg^*t r

d sEr

[q(s + rg Ft,s-/ft,s q(s-)

(1 rgft + degJFt h°(X,Tt) dim i<V D'où

sEA ; / 3 t dimF t

h — e r teA

ßt^gTt

l<s<r

a s s s teA

ßt min rg Jrt/^rt,s+ , rg J ^ / ^ t , s - + 5 - s

En résumé, on obtient l'inégalité

x A d i m F t

h — e r t

ßt rgFt

\<s<r

as£ s teA

ßt min rg Jrt/Tt13+ , r g FtlFt,s- + s - s

ce qu'on voulait. La preuve de la proposition III.3.9 est achevée.

C H A P I T R E I V

C O M P A C T I F I C A T I O N D E S C H A M P S D E C H T O U C A S D E D R I N F E L D

I V . 1 . Notations Dans ce chapitre, on fixe un polygone po assez convexe en fonction de la courbe X

et de r (cf. définition 1.2.4). On choisit un entier positif e très grand par rapport à po, X et r . Puis on choisit un entier positif w et m niveaux {A^} i<^< m disjoints sans multiplicités de même longueur M tels que

a) Tout point géométrique x de I I 1 o) est définie dans la proposition 1.3.5.

c) m est assez grand par rapport à e, po, X et r. On notera N

l<i<m Ni.

Enfin, on choisit un entier d très grand par rapport à m, M, e, po, X et r ; on pose h = d + (1 — g)r, où g est le genre de la courbe X.

I V . 2 . Construction du fourre-tout IV .2 .1 . On reprend la même construction du fourre-tout que celle du chapitre I I (cf. section II.3.4) : y est le champ défini au-dessus de l'ouvert

ChtDeg^ d x V e c . , r f Vec r ' d ' P 0 x A r _ t ^r-iÂ' 1

de C h t D e g ^ x A r , _ 1 / / ( G r - i A R 1 en ajoutant un homomorphisme surjectif 0\ —» £ (défini modulo l'action de G m ) pour lequel le morphisme induit H°(X, Oh

x) -> H°(X,£) est un isomorphisme; i l est un PGL^ xGJ^~1-torseur au-dessus du champ

C h t D e g ^ x V e c M Vec r ' d ' P 0 ;

i l est un schéma quasi-projectif et muni d'une action naturelle du groupe PGL^ xGJ^ 1 x GLr(0N).

58 CHAPITRE IV. COMPACTIFICATION DE CHTOUCAS DE DRINFELD

IV .2 .2 . La construction de l'espace projectif Z sera légèrement modifiée : rappelons (cf. section I I . 3 . 3 ) que Z§ est l'espace de Gieseker ; puis on note

Zi : P l<s<r x^Ni

Horn Λ * * , Λ σ ; ) * Γ , / · 1 Z qui est PGL^ x G ^ 1 x GLr((9/v)-équivariant. Soit y un point géométrique de y ; la donnée de y contient :

i) un fibre vectoriel S sur X de rang r et de degré d, ii) un morphisme surjectif 0% —» £ , pour lequel le morphisme induit

H ° ( X , ö | ) H°(X,£) est un isomorphisme,

iii) un pseudo-homomorphisme complet au niveau TV, qui consiste en des homo-morphismes linéaires

Vs,N Λ £Ν KorN, 1 < s < r.

Soit s un entier, avec 1 < s < r et soit x un point de TV ; on notera

Vs,x Λ £X ko: la restriction de vSijy à, x.

A partir de cette donnée, on obtient un point géométrique z = ip(y) de Z de la façon suivante :

i) Pour obtenir un élément TTQ de ZQ, on compose le morphisme induit r A kh

A H 0 ( X , O ^ ) AH°(X,£)

avec le morphisme naturel ArU°(X,£) n°(x,Ar£). ii) Pour tout entier s, avec 1 < s < r , pour tout entier i, avec 1 < i < m et pour

tout point x G N, le composé

^s,x Akh Ä H ° ( x , e ^ ) Ή°(χ,ε) Λ £X vs x ko:

définit un élément de Hom(/\ s kh, /\s OX). L'hypothèse sur Ni (cf. section IV . 1 ) et le lemme I I . 3 . 4 impliquent que l'élément Ç&xeN. TTS^X G ÇBxeN. Hom(/\ s kh, /\S OX) est non nul.

Lemme IV.2.1. — // existe un fibre inversible A4 relativement ample par rapport au morphisme

y •Z x (X - AO 2 , qui est muni d'une PGL^ xGJ„ 1 -linéarisation.

ASTÉRISQUE 313

IV.2. CONSTRUCTION DU FOURRE-TOUT 59

Démonstration. — On note 3 2 le champ qui à tout schéma S associe le groupoïde des familles constituées :

i) d'un fibre vectoriel £ sur X x S de rang r , de degré d vérifiant qu'en tout point géométrique s G S, le polygone canonique de Harder-Narasimhan de £ s est majoré par po,

ii) d'un morphisme surjectif 0 ^ x 5 —» £ tel qu'en tout point géométrique s G S, la restriction H 0 ( X s , O ^ ) > H°(XS,£S) soit un isomorphisme,

iii) d'une famille d'éléments {£i}i<i<r-i de H°(5', Os), iv) d'un pseudo-homomorphisme complet £NXS => Or

Ny,s de type (Os, £i)i<s<r-i (cf. définition 1.3.2), c'est-à-dire un ensemble d'homomorphismes linéaires

Vs,N s A^NxS

s Λ ®NxSi

1 < s < r, vérifiant en particulier les conditions suivantes :

> on a /\S VI,N l1

-1 l2

-2 … ls-1 vs,N, 1 < s < r , > vriN est toujours un isomorphisme.

On note 3 3 le champ qui à tout schéma S associe le groupoïde des familles constituées :

i) d'un fibre vectoriel £ sur X x S de rang r , de degré d vérifiant qu'en tout point géométrique s G S, le polygone canonique de Harder-Narasimhan de £ s est majoré par p0,

ii) d'un morphisme surjectif 0 ^ x 5 —» £ tel qu'en tout point géométrique s G 5, la restriction H°(Xs,Ox ) • H°(X S , £ s ) soit un isomorphisme,

iii) d'une famille d'homomorphismes linéaires VSJN : /\S £NXS —> A* &NxS> a v e c

1 < s < r , vérifiant que vr^ est toujours un isomorphisme. On définit le champ 3^i au-dessus de 3 2 en ajoutant une modification £ ^ £ ; ^ £ "

de £ telle que les quotients £'/ '£ et £ / ; / £ ' soient de longueur 1, et supportés par deux points oo et 0 dans X — TV.

On note Φο-.y^yi, tl>i : yi —* ^2 x ( X - i V ) 2 , ^2 : 3^ > ys

les morphismes canoniques. En imitant la construction du morphisme ip : y —> Z, on obtient un morphisme ^3 : 3 3 —> Z. Tous les champs 3^ (i = 1,2,3) sont munis d'une action de PGL^ xGJ^ - 1 et les morphismes ipi (i = 0,1, 2,3) sont PGL^ xGJ^ - 1 -équivariants. De plus, on voit bien que le morphisme y —• Z x ( X — i V ) 2 est le composé de ^0, ^1, ^2 x i d ( x _ 7 V ) 2 et ^3 x i d ( x _ 7 V ) 2 .

On vérifie aisément que les morphismes d'oubli canoniques ^0 et ^2 sont quasi-affines. Pour conclure, i l nous suffit de démontrer les lemmes IV.2.2 et IV.2.3. Lemme IV.2.2. — 77 existe un fibre inversible relativement ample par rapport au morphisme

Φι :3>ι y2 x (x - N)2,

qui est muni d'une PGL^ x G ^ 1 -linéarisation.

Preuve du lemme IV.2.2. — On a un diagramme cartésien : 3 i f Hecker x(XxX)(X -N)2

y2 x (X - N)2 Vec r x(X -N)2. Comme Hecker x (xxx)(X — N)2 —» Vec r x (X — N)2 est un morphisme projectif,

i l existe un fibre inversible J\f qui est relativement ample par rapport à ce morphisme. Alors le pull-back f*Af est un fibre inversible relativement ample par rapport au morphisme

yx y2 χ (χ - Nf,

et i l est muni naturellement d'une PGL^ x G ^ ^linéarisation, c.q.f.d.

Lemme IV.2.3. — Le morphisme ips : 3 3 —» Z est quasi-affine.

—— r Preuve du lemme IV. 2.3. — On considère le champ Vec qui associe à tout schéma S le groupoïde des données constituées :

D> d'un fibre vectoriel £ sur X x S de rang r , de degré d et de polygone canonique de Harder-Narasimhan majoré par po,

> d'un morphisme surjectif 0 X x S —» £ tel qu'en tout point géométrique s G S, la restriction H°(Xs,Ox ) —» H°(XSJ £s) soit un isomorphisme.

On sait d'une part que le morphisme naturel Vec —* ZQ est une immersion localement fermée, voir par exemple [?, prop. 7.1]. D'autre part, la partie discrète de 3 3, ce qui veut dire, la famille d'homomorphismes linéaires £N => Or

N se plonge dans l'espace

z1

i Zi e Ψ

i l<s<r xeNt

Horn A kh, A Ox ®r! j s zi 0

Par conséquent, 3 3 Z$ x Z' est quasi-affine. Rappelons que Z — ZQ X \\i Zi ; le morphisme canonique Z§ x Z' Z est affine car Z' —» Y\tZi est affine. Etant le composé de 3 3 —• Z$ x Z' et Z$ x Z' —» Z, ips est donc quasi-affine, c.q.f.d.

La preuve du lemme IV.2.1 est achevée.

I V . 3 . Les quotients par le groupe multiplicatif G ^ 1

Posons Wi

l<s<r xGN; H o m ( A ^ , A O J ) ® r ! / s , 1 < /' < m;

l'action de G J ^ - 1 sur W{ est décrite dans la section II.4 ; celles-ci induisent donc une action de G ^ - 1 sur rii<2<m ^ = Ili<i<m P(W^) à son tour, la dernière action nous fournit une G r

r ^ 1 -linéarisâtion À du fibre ample Ai = IEIi<^<m(9(l). On peut fabriquer d'autres linéarisations via les deux procédures suivantes :

ASTÉRISQUE 313

IV.4. ÉNONCÉ DU THÉORÈME PRINCIPAL. APPLICATION 61

a) Soit k un entier positif; la puissance symétrique de À induit une Gll^1-linéarisation Xk du fibre ample A4®k.

b) Soit d = (c?i,c?2,. .. , d r _ i ) une famille d'entiers positifs ou nuls ; la multiplication de Xk avec le caractère

Gm

-1

Gm (e1,e2,...,er-1) fdi çd-2 fdr-!

induit une Gl^ 1-linéarisation du fibre ample A4®k. L'ensemble des points semistables, l'ensemble des points stables et le quotient de

la linéarisation ne dépendent que des nombres d/k = (di/fc, d^jk,.. . , dr-i/k) ; on peut donc parler de la G7^1 -linéarisation du fibre ample Ai = M1<i<rnO(l) associée à une suite de rationnels d = (d\, d*},. · . , dr—\).

Soit d = (d i , . . . , dr-i) une suite de rationnels ; on peut lui associer une suite de rationnels a — ( a i , «2, · · . , a r ) de somme 1 (cf. section II.4) ; de plus, la suite a détermine d.

Dans la suite de ce chapitre, si deux suites a et d correspondent, on dira que la G7^1 -linéarisation du fibre Kl i<^< m O(l ) est associée à a au lieu de celle associée à d.

I V . 4 . Énoncé du théorème principal. Application

I V . 4 . 1 . On peut énoncer le théorème principal de ce chapitre. Théorème IK4.1. — a) Soient £Q, e\ deux nombres entiers positifs tels que

re0 £

h-e r\ me\.

Soit p un polygone assez convexe en fonction de X et de r, entier par rapport à d (cf. définition 1.2.4) e~t niajoré par po- On choisit un polygone rationnel q tel que, pour tout entier s, avec 0 < s < r, on ait p(s) < q(s) < p(s) H- 1. Soit a = ( a i , . . . , a r ) la suite de rationnels positifs de somme 1 qui correspond à q (cf. section ILS). On considère la PGL^ xG7^1 -linéarisation associée à a du fibre 0(EQ) Kl (^i<i<mO(si)) de Z.

Alors, pour un point géométrique y G y, dont le chtouca dégénéré sous-jacent S est de type r = ( r i , r2 , . · . , r^), les conditions suivantes sont équivalentes :

i) tp(y) est semistable (resp. stable). ii) Pour tout sous-fibré vectoriel non trivial J 7 de £, on a l'inégalité

degj7 rgT

r d

sEr q(s + rgFs-/Ts) - q(s ) (resp. < ) .

b) Supposons q est assez grand par rapport à r. Alors le morphisme suivant est propre :

w-1 (Zss) (X - N)2 x Zss.

La preuve de la première partie de ce théorème se repose essentiellement sur celle du théorème II.6.1 et elle se trouve plus loin dans ce chapitre. La deuxième partie qui est plus technique sera démontrée dans le chapitre suivant.

I V . 4 . 2 . Donnons une application de ce théorème. On conserve les notations et les hypothèses du théorème IV.4.1.

Proposition IK4.2. — // existe un sous-champ ouvert Chtrdq dans le champ de chtoucas dégénérés tel qu'un point géométrique (£ £' £" <= £a) de type r appartienne à ce sous-champ si et seulement si, pour tout sous-fibré vectoriel non trivial J- de £, on a l'inégalité

degj7 rgjF

r m

sEr q(s + r g j F s _ / J F s ) - q ( s )

Hypothèse IV.4.3. — Soit q un polygone rationnel tel que, pour tout entier s, avec 0 < s < r , on ait p(s) < q(s) < p(s) -h 1 et que les deux conditions suivantes soient équivalentes :

i) Pour tout sous-fibré vectoriel non trivial J de ^, on a l'inégalité

degj7 rgJF

r d

sEr q(s + *gFs-/Fs) ~ q(s )

ii) Pour tout sous-fibré vectoriel non trivial T de £, on a l'inégalité

deg rgJF r

d sEr

q(s + rgJT s_/JT s) - q(s )

Soit q un polygone rationnel qui vérifie l'hypothèse précédente, le théorème IV.4.1 entraîne que i/j(y) est semistable si et seulement si îp(y) est stable.

Corollaire IV.4.4. — On conserve les hypothèses du théorème IV.4.1. On suppose de plus que le polygone q vérifie l'hypothèse IV.4.3. Alors le morphisme suivant est propre :

C h t r ' ^ X x x X ( X - N ) 2 (X - N)2.

Démonstration. — D'après le lemme IV.2.1, i l existe un fibre inversible A4 relativement ample par rapport au morphisme

- y Z x (X - N)2,

qui est muni d'une PGL^ xG7^1 -linéarisâtion. On note C le fibre inversible très ample O(SQ) IE (E3i<i<m0(£i)) sur Z. Pour un

entier positif no assez grand, le fibre inversible ip^C710 (g) Ai est ample sur y. Puis i l existe une immersion

y pn

telle que P n soit muni d'une action de PGL^ xG7^1 qui étend celle de y ; de plus, i l existe une PGL^ xGJ^-1-linéarisation du fibre 0(1) sur P n qui étend la linéarisation de ipiCn° 0 A4. On considère l'immersion

y Fn x Z x (X - N)2.

ASTÉRISQUE 313

IV.5. SEMISTABILITÉ 63

On note y0 la fermeture de y dans P n x Z x (X — AT)2, ip0 le morphisme

Y0 Z x (X - N)2,

et M\ l'image réciproque du fibre 0(1) sur 3V Puisque ^~1(ZSS) = ^X(ZSS x (X - N)2) -> Zss x (X - N)2 est propre (cf.

théorème IV.4.1 b)), l'immersion ouverte

^X(ZSS x (X -N)2) ^\ZSS x (X-N)2)

est propre. Comme ^X(ZSS x (X - N)2) est dense dans ^ X { Z S A x (X - N)2), on obtient

^\ZSS x (X-N)2) ^\ZSS x (X-N)2).

D'après la proposition 5.1 de [?], pour n assez grand, on a

3 T O 0 * £ " ® M{) C Vo"1 {Z** x {X ~ Nf) 4>ïl{Zss x (X-Nf),

ys0(%cn ® D x ( X - iV) 2 ) V i " 1 ^ x (X-Nf).

D'après le théorème IV.4.1 a), ^X(ZSS x (X - Nf) et ^l(Zs x (X - Nf) sont égaux, d'où

y ^ i c n 0 Mi) y^icn 0 Mi) ^ f 1 ^ " x (X — N)2).

Par conséquent, le quotient ip1 1 (Zss x (X — V ) 2 ) / / P G L ^ xGJ^ 1 existe et i l est

propre sur (X — A^) 2. Ce quotient n'est rien d'autre que la préimage de Cht r ' , Q dans ChtDeg^ d ; on obtient donc le résultat voulu en formant le quotient de ce dernier par le groupe fini GL r ( (9w). La preuve est terminée.

Corollaire TVA.5. — On conserve les hypothèses du théorème IV.4.1. On suppose de plus que le polygone q vérifie Vhypothèse IV.Jf.,3. Alors le morphisme suivant est propre :

C h t r ' d ' 9 X x X.

Démonstration. — I l résulte du corollaire précédant en faisant varier le niveau A/", c.q.f.d.

On renvoie le lecteur au chapitre V I pour des examples de tels polygones q.

I V . 5 . Semistabilité

Dans cette section, on donne une preuve de l'assertion a) du théorème IV.4 .1 .


I V . 5 . 1 . Critère numérique de Mumford-Hilbert pour un point géométrique de Z, I . — On considère la SL^ x G ^ - 1 -linéarisation du fibre O{so) Kl (^i<i<mO(ei)) associée à la suite a = ( a i , a 2 , . . . , a r ) . On notera (c/i, d2,..., dr-\) la suite des rationnels positifs associée à la suite a = ( a i , «2, . . . , o;r) (cf. section II.4).

Soit À : G m —> SL^ x G ^ - 1 un sous-groupe à un paramètre quelconque ; i l existe une base { e i , e2,. . . , e^} qui diagonalise le sous-groupe à un paramètre induit G m —•> SL^ en

A(*)e* = t n i e i 5

où n = ( n i , n 2 , . . . , n^) est une suite décroissante d'entiers dont la somme vaut zéro et une suite d'entiers ( m i , m 2 , . . . , m r _ i ) telle que l'action induite de G m sur G7^1

s'écrive

t ( t m i , t m 2 , . . . , t m - 1 ) .

Soit z un point géométrique de Z ; dans la donnée de 2;, on a : i) un fibre inversible C sur X de degré d, ii) un homomorphisme linéaire 7T0 : A r kh > H°(X, £ ) , iii) pour tout point x dans Af, des homomorphismes linéaires

7t s,x Kkh Aorx, 1 < s < r.

Avec ces notations, on définit

Mo(*3rç) max 1 tei

Ui \I\ = r, *"o( A e») ¿€7

0

µs,x (z, n) — 00 r! max/ s ieis

rii Is si 7Ts,x(Aie/s 0 SI 7rSia; 0,

SI 7rSia; 0,

fjLSii(z,n) max xeNi

jJLs,x^,rk)}

//?(*, A) jJLs,x^,rk)} r\ s l<t<s-l

(s — t)mt

l < t < r - l dtmu

μ(ζ,λ) e0fi0(z,n) Si 1 <i<m

max l<s<r

^•(*,AV

Comme dans la section I I I . 2 . 1 , pour tout entier s, avec 1 < s < r , on pose

hMs

l<t<s (s - t)mu

avec la convention M\ — 0 ; on sait (cf. section I I I . 2 . 1 ) que

l < t < r - l dtmt

2<t<r

hrl t

atMt.

ASTÉRISQUE 313

Avec ces notations, on obtient r!

pt(z,X) = iia,i(z,n) + — - t)mt ~ d , , tmt

l<t<s l<t<r

2<t<r Le critère numérique de Hilbert-Mumford implique :

Proposition IK5.1. — Avec les notations ci-dessus, un point géométrique z de Z est semistable (resp. stable) par rapport à la PGL^ xG7^1 -linéarisation associée à ex du fibre O(so) Kl (^i<i<mO(£i)) si et seulement si on a (F) p(z, A) = eo/JLo(z,n) + £ i max {pl(z, À)} > 0 (resp. > 0 ) , — 1 < s<r 1 <i<m pour tout sous-groupe à un paramètre non trivial À.

IV .5 .2 . Critère numérique de Mumford-Hilbert pour un point général, I I Soit F un sous-espace vectoriel de kh et soit { / i}i<KdimF une base quelconque

de F ; on peut compléter cette base pour obtenir une base {fi}i<i<h de kh ; puis pour tout entier s, avec 1 < s < r et pour tout point x G iV, on définit

p0(F) = m a x { | { l , 2 , . . . , d i m F } n / | ; |/| = r, T T 0 ( A / 0 ^ 0 } , iei

/T^X f-OO Si 7TSX = 0, [ m a x / s { | { 1 , 2 , . . . , d i m F } n I 8 \ ; \I3\ = s, 7rs,x(/\ieIs fi) / 0 } si TTS,X ^ 0.

Ces entiers ne dépendent pas de la base {fi}i<i<h choisie et satisfont les inégalités évidentes po(F) < r et

Ps,x(F) < m i n { s , d i m F } , Vs, 1 < s < r , Vx G iV. Lemme IV.5.2. — Soient s un entier, avec 1 < s < r, x un point dans N, et F Ç. Ff

deux sous-espaces vectoriels emboîtés de kh. On a alors Po(F) < p0(F') et ps,x(F) < ps,x(F').

Démonstration. — C'est évident. • Soit n = (ni ,n2 , . . . ,n^) une suite décroissante d'entiers de somme 0 ; elle appar

tient alors au cône engendré par les familles nt ( 1 < t < h)

ntyi = nt,2 = - · · = nt,t = h - t, nt,t+i = nt,t+2 = · · · = nt,h = -t. On peut donc écrire

t avec des pondérations {fit} positives ou nulles de somme positive. En général, les expressions Po(z,n), ps,x(z,n) ( 1 < «s < r , x G N) ne sont pas linéaires en fonction de n ; néanmoins, elles sont concaves, (cf. lemme III.2.5).

Grâce à cette propriété, on prouve :

Proposition IV.5.3. — Pour qu'un point géométrique z de Z soit semistable (resp. stable) par rapport à la PGL^ xG7^1 -linéarisation associée à a du fibre 0(EQ) M (IEli<^<mO(si)), il faut que, pour toute filtration non triviale de kh par des sous-espace vectoriel {Ft}, pour toute suite {f3t} de pondérations positives ou nulles de somme positive et pour toute suite de rationnels (M\ = 0, M2,... ,Mr), on ait l'inégalité

t PtdimFt h — s

r t ßtPo{Ft)

S

m 1 < i < 1 n max l<s<r xeNi

J2tPtPs,x(Ft) + Ms

s

- e 2<s<r

a*Ms

s (resp. <).

En particulier, pour tout sous-espace vectoriel non trivial F de kh et pour toute suite de rationnels (M\ = 0, M2 , . · . , Mr), on a l'inégalité

(G) dim F h — E

r Po(F) S

m l<i<m max l<5<r xeNi

Ps,x(F) + Ms

s

e 2<s<r

aSMS

s (resp. <).

Démonstration. — On choisit une base {e^}i<i< r de kh telle que chaque sous-espace vectoriel Ft soit engendré par les vecteurs {e^}i<^<dimFT · Puis on considère la famille n — Y2t Ptlkt associée aux pondérations {j3t}. Enfin, on considère le sous-groupe à un paramètre À : G m —> G7^1 x SL^ associé à la suite (Mi = 0, M2, . . . , M r ) , la base {ei}i<i<r et la famille n. Si n — n t , on sait (cf. section I I I . 2 . 2 ) que

Po(z,nt) r h > r Po(Ft) - dimFt ps,x(z,nt) r\

'h s

Ps,x(Ft) - d i m F t

La concativité des fonctions //Q E^ ps,x implique

Po(z,n) t

(3tpo(z,nt) r h r t

PtPo(Ft) t

A dim F*

Vs,x(z,n) t

f3tjjLs,x(z,nt) rl h s t

PtPsAFt) t

PtàïmFt

Donc, pour tout entier i , avec 1 < i < m, on a

fjLa,i(z,n) : max* xENi

Vs,x(z,n) r\ h s

max xeNi t

PtPsAFt) t

PtàimFt

donc

Pi(z,n) r\ h max x^Ni

J2t PtPsAFt) + M S

S t

Pt dim Ft

2<t<r

hrl t

OLTMT.

ASTÉRISQUE 313

On remplace ces inégalités dans la condition de semistabilité (F) de la proposition IV.5 .1 pour obtenir

0 ε0μο(ζ,η) + ει l<i<m

max l<s<r

µi,s (z, A)

re0

h r t

ßtPo(Ft) t

ßt dim Ft

r\ s\ l<i<m

h max l<s<r xeNi

Y,tßtPsAFt) + Ms

s t ßt dim Ft

mE1

2<t<r

hrl t

atMt.

Enfin, compte tenu de la relation rsoe/(h — ε) = rl πιει, on obtient alors

t ßt dim Ft

h — ε r t

ßtPo(Ft)

ε πι 1 <i<m

max l<s<r xeNi

Y,fßtPsAFt) + Ms

s ε 2<s<r

OisMs

s

ce qui achève la preuve.

I V . 5 . 3 . Critère numérique de Mumford-Hilbert pour un point géométrique z — i}j(y) de Z. — Soit z = î/j(y) un point géométrique de Z, qui est l'image d'un point géométrique y de y ; la fonction JIQ(Z,U) est alors linéaire en fonction de n et on a

μ0(ζ,ηί) r h r

rg Ft - dim Ft

où Tt désigne le sous-fibré maximal de S engendré par Ft. Si l'on écrit

n t

ßtUf

avec des pondérations positives ou nulles de somme positive, on a alors

μο(ζ,η) r h r t

ßtrgft t

ßt dim Ft

La proposition IV.5 .3 devient donc plus simple.

Proposition IK5.4. — Pour qu'un point géométrique z = ip(y) soit semistable (resp. stable) par rapport à la PGL^ xG7^1 -linéarisation associée à a du fibre O(so) IE1 (Mi<i<rnO(£i)), il faut que, pour toute filtration non triviale de kh par des sous-espace vectoriel {Ft}, pour toute suite {/3t} de pondérations positives ou nulles de somme

positive et pour toute suite de rationnels (M\ = 0, A / 2 , · . · , Mr), on ait l'inégalité

t ßt dim Ft

h — e r t

ßtrgFt s m 1 <2<m

max l<s<r xeNi

T.tßtpsAFt) + Ms

s

e 2<s<r

asMs

s (resp. <),

où Ft désigne le sous-fibré maximal de £ engendré par Ft. En particulier, pour tout sous-espace vectoriel non trivial F de kh, notons F le sous-fibré maximal de £ engendré par F et pour toute suite de rationnels ( M i = 0, M 2 , . . . , Mr), on a alors l'inégalité

dim F h — e r

vgF e m 1 < 2 < m

max l<s<r x<ENi

psJF) + Ms

s

e 2<s<r

asMs

s (resp. <).

I V . 5 . 4 . Calcul des points semistables et des points stables. — Dans cette section, on va déterminer l'ensemble des points semistables et stables de type z — ?p(y). Soit y un point géométrique de y, dont le chtouca dégénéré sous-jacent S est de type r = ( n , r 2 , . . . , rfc) ; on dispose alors d'une filtration décroissante

£a £ 2 £ri 2 £r2 2 " ' ' 2 £rk 0

de sous-fibrés maximaux de corangs r i , r 2 , . . . , r ^ = r de £. Soit F un sous-fibré vectoriel de £ et soit s un entier, avec s € r U 0 ; on rappelle (cf. définition 1.3.6) que Fs est le sous-fibré vectoriel Fa H £s de £ ; en particulier, on notera ^"ou JF0 le fibre vectoriel F°'.

Théorème IV.5.5. — Soit y un point géométrique de y, dont le chtouca itéré sous-jacent £ est de type r. Alors le point géométrique ip(y) est semistable (resp. stable) par rapport à la PGL^ xG^"" 1 -linéarisation associée à a du fibre 0(EQ) M (Ë3i<i<mC?(£i)) si et seulement si, pour tout sous-fibré vectoriel non trivial F de £, on a l'inégalité

deg F xgF r

d sEr

q(s +rgFs-/Fs) - q(s ) (resp. <).

Démonstration du théorème IV.5.5. — On montre d'abord :

Proposition IK5.6. — Soit y un point géométrique de y, dont le chtouca dégénéré sous-jacent £ est de type r. Supposons que ij)(y) soit semistable (resp. stable) par rapport à la PGL^ x G J ^ - 1 -linéarisation associée à a du fibre 0(€Q) (^i<i< m 0 (£i) ) . Alors pour tout sous-fibré vectoriel non trivial F de £, on a l'inégalité

deg F rgF r

d sEr

[q(s + rgFs-/Fs) - q(s ) (resp. <).

ASTÉRISQUE 313

Démonstration. — Soit J 7 un sous-fibré non trivial de £. Si deg T xgT

rg£ deg £ + k0i

le choix de ko (cf. section IV. 1) implique

deg JF - rg JF rg£

deg£ sEr

q(s + xgTs-lTs) - ç(s ) '

On peut désormais supposer que deg .F* > (rg.F/rg£) deg£ + /c0. Le lemme II.3.2 implique que H 1 ( X , JF) = 0, et que .F est engendré par ses sections

globales F . D'après le théorème de Riemann-Roch, dim F d e g ^ + (1 -g)rgT.

Puisque i/j(y) est semistable, on peut appliquer la proposition IV.5.4 : pour toute suite de rationnels (M1 = 0, M 2 , . . . , M r ) , on a l'inégalité

dim F h — e r

rg T e m 1 < i < rn

max l<s<r

p S j X ( F ) + M s

s e 2<s<r

asMs

s

On sait (cf. proposition III.3.8) que

psAF) min rg JF/JFs+ , rg JF/JFS_ + s - s d'où

£ m l<i<m

max l<s<r xeNi

PsAF) + Ms

s e 2<s<r

asMs

s

s max l<s<r

m i n { r g ^ / J F s + , rgJF/JTs_ + s - s~} + Ms

s s 2<s<r

asMs

s

Le dernier terme est une fonction de (M\ — 0, M2,. . . , Mr) ; on sait (cf. section III.2.2) qu'elle atteint la valeur minimum quand

Ms s min rgJF/ jF 1 + , 1 min r g J F / ^ s + , r g J F / ^ s _ + s - s 1 < s < r, et en ce point, elle vaut

l<s<r ase

minirg Jr/F3+ , rg JF/J^_ + 5 - 5 } s

En combinant tous ces résultats et en tenant compte du lemme III.3.2, on obtient

deg JF h — e r

rgJF l<s<r

asE minjrgJF/jF s + , r gJF/JF s _ + s _ s j

s TgJ7

r d

ser q(s + r g J r

3 - / J rs ) - q(s )


Pour terminer la preuve du théorème IV.5.5, on démontre la réciproque.

Proposition IV.5.7. — Soit y un point géométrique de y, dont le chtouca dégénéré sous-jacent £ est de type r. Supposons que, pour tout sous-fibré vectoriel non trivial T de £, on a l'inégalité

degJ7 rgj7

r d

sEr [q(s + rg^* s - / jF s ) - q(s ) (resp. <).

Alors le point îp(y) est semistable (resp. stable) par rapport à la PGL^ x G ^ 1-linéarisation associée à a du fibre 0(EQ) IEI (MO(ei)).

Démonstration. — D'après le critère numérique de Hilbert-Mumford, on sait (cf. proposition I V . 5 . 1 ) que le point z = ip(y) est semistable (resp. stable) si et seulement si, pour tout sous-groupe à un paramètre non trivial À, on a

/x(z, A) £o/jL0(z,n) E1

1 ) .

Fixons un entier i , avec 1 < i < m. Le théorème I I . 6 . 1 et la proposition I I I . 2 . 1 montrent déjà que, si pour tout sous-fibré vectoriel non trivial T de £ , on a l'inégalité

àegF rg F r

d sEr

q(s + TgTs-/Fs) - q(s ) (resp. < ) ,

on a alors E0

m μο(ζ,η) £I max

l<s<r Pt(z,n) 0 (resp. >)

pour tout sous-groupe à un paramètre non trivial A. En sommant toutes ces inégalités, on obtient l'inégalité voulue

A) £0Po(z,n) E1

l<z<m max l<5<r

^{^(z.n) 0 (resp. > ) .


Le théorème IV.5 .5 est donc démontré. Démonstration du théorème IV.4-1 a)- — Cette assertion résulte directement du théorème IV.5 .5 que l'on vient de démontrer et du théorème V I . 1 . 1 , c.q.f.d.

ASTÉRISQUE 313

C H A P I T R E V

P R O P R E T É

Ce chapitre démontre la deuxième partie du théorème IV.4.1.

V . 1. Préliminaires On utilisera le critère valuatif de propreté pour un morphisme de type fini des

schémas noethériens. Soit A un anneau de valuation discrète sur Fq ; on notera K son corps des fractions, K son corps résiduel, n une uniformisante, et v sa valuation. On se donne un diagramme commutatif

SpecK ^ " 1 ( Z S S )

Spec A Zss x (X - AT)2, dont le chtouca itéré sous-jacent à la flèche Spec(i^) —> (Zss) est un chtouca; on cherche alors à montrer qu'il existe un prolongement Spec(A) —* 2p~1(Zss) tel que le diagramme complété reste encore commutatif.

V . l . l . Notations. — On note X A = X x Spec A, X K = X x Spec K , X K = X x Spec K.

On notera aussi Ax l'anneau local du schéma XA en le point générique de la fibre spéciale X K ; i l est un anneau de valuation discrète, dont TT est également une uniformisante. Soit F le corps de fonctions de la courbe X ; alors le corps de fractions Kx de Ax s'identifie au corps de fractions de F^q K et le corps résiduel de Ax s'identifie au corps de fractions de F ®Fg K-

On notera aussi a les endomorphismes de Ax et Kx qui sont induits par Idp x Frob^ et I d ^ x Frob^, respectivement.

V.1 .2 . L a donnée générique. — La flèche SpecK —* ip 1(ZSS) consiste en une famille formée :

72 CHAPITRE V. PROPRETÉ

i) d'un fibre vectoriel £ sur XK de rang r , de degré d et de polygone canonique de Harder-Narasimhan majoré par p,

ii) d'une modification £ c—> £ ' £ " de £, dont le zéro 0 et le pôle oo évitent le niveau iV x SpeciC,

iii) d'un morphisme surjectif 0[\k —» £, (défini modulo l'action de Gm(K)) pour lequel le morphisme induit H°(XK, &XK) —> H° (Xx ,£ ) est un isomorphisme,

iv) des sections globales inversibles £2, • · ·, £r-i de OxK, c'est-à-dire des éléments non nuls de K,

v) d'un isomorphisme u\ : £a £h'; on notera u1,N : ENxSpec k iVxSpec K

le composé de la restriction de k N x Spec avec l'isomorphisme £jvxSpec —• îVxSpecK-

vi) d'un isomorphisme V\ N TVxSpec K îVxSpec K qui vérifie la relation VI,N ° î,iv ; o n notera

v1, Ni îVj xSpec K uiV,xSpecK (resp. : 4xS P ecK ^ïxSpecx) â restriction de au niveau (resp. x).

Rappelons (cf. section IV.2.2) que Z est le produit de l'espace de Gieseker Z® et les espaces projectifs Zi définis comme suit :

Zi P l<s<r xeNi

Horn : Â * \ Â 0 x ) ® r , / s 1 Zi donne un point de Zi(K), noté (7rs,x)i<s<r· Explicitement, l'application linéaire xeNi

^s,x AKh s A ^ïxSpecK

est le composé de l'homomorphisme surjectif

AKh f\ïl0(XK,£) s A ^xxSpec K ·

avec l'isomorphisme l1-(s-1) l2

-(s-2) … ls-1 A v1,x s A fx

X Spec K

s A ^ïxSpecK*

On notera (7r S ) X ) i< s < r le relèvement Spechi xeNi

Zi du point (7r s , x ) 1 < s < r . G Zi(K). xeNi

V .1 .3 . On rappelle le lemme classique suivant (cf. [11]) :

Lemme VA A. — Le joncteur qui à tout fibre vectoriel sur XA associe d'une part sa restriction à la fibre générique XK et d'autre part sa fibre au-dessus de Spec .Ax est une équivalence de catégories, autrement dit, admet un fondeur quasi-inverse

{S, M) £(M). Avec ces notations, on notera £M la restriction de £(M) à la fibre spéciale XK.

ASTÉRISQUE 313

V.l. PRÉLIMINAIRES 73

Soit V la fibre générique de £ ; elle est un Kx-espace vectoriel de dimension r. L'isomorphisme £ a £ " et la modification £ <—> £ ' <-> £ " induisent un homomorphisme cr-linéaire injectif cp : V —• V, autrement dit, pour tout élément v dans V et pour tout élément t dans Kx,

tp(tv) = <r(t)<p(v).

Soit M le réseau de V engendré par l'image de Ah via l'application Ah Kh K0(XK,OXK) K°(XK,£).

Puisque le morphisme OX —» £ est défini modulo l'action de G m ( i ; C) , après une extension finie de K, on peut supposer que le réseau M est stable par (p, autrement dit <p(M) C M et que la réduction

(p : M/TTM M/IÏM

ne s'annule pas. D'après le lemme V . l . l , on peut donc associer à ce réseau M la donnée suivante : i) un fibre vectoriel S (M) sur XA de rang r et de degré d, ii) une modification £(M) ^ £r(M) <-> £" (M) de £(M), dont le zéro et le pôle

évitent N x Spec A, iii) un morphisme OX —» £ ( M ) dont la restriction en la fibre spéciale X K est

génériquement surjective, iv) des éléments non nuls ^,¿2» · · · >^r-i de ^> v) d'une famille d'homomorphismes partout bien définis sur XA

us : K(£{M)Y he" (M), 1 < s < r,

qui restent non nuls après réduction à X K et qui vérifient les conditions suivantes : a) le morphisme U\ : (£(M))a —» £"(M) étend l'isomorphisme ?ii : £ a —>· £ "

donné plus haut ; b) on a [\s u\ — £/^q'~1^s~1^£/

(^q~1^s~2^ .. -i'J^Ï^Us pour tout entier s, avec 1 < s < r ;

c) le morphisme ur est toujours un isomorphisme. La restriction des homomorphismes {us}i<s<r au niveau TV x Spec^4 induit une

famille d'homomorphismes linéaires

uw,N Â ( £ ( M ) ) ^ X S P E C A s /\ £ (M) ]\j x Spec A1

1 < s < r,

qui vérifient a) A 5 «i.AT = l'^-^s-lh'2

(q-1){s-2) • • • C-7l)us,N, pour tout entier 1 < s < r, b) ur AT est un isomorphisme.

Définition Kl.2. — On appellera r= (ri , r 2 , . . . , r/~) £?/pe réseau M la famille d'entiers telle que r& = r et pour tout 1 < s < r,

s € r v(0 0.

Puis on dispose des nitrations (cf. [9, § 2b]) 0 £0

M2---2£sM2---2£r

M £"M,

0 £0M2---2£s

M2---2£rM £"M,

0 : ç,,M ç,,M ç.,,M c-0 ^ ' ' * >t C s ^ ' ' * >t & r £"M,

(£MY £0M2---2£s

M2---2£rM o, s e r,

de£M,£'M,£"M et S par des sous-fibrés maximaux telles que l'on ait des isomorphismes

pu M/pu M °s l°s-

pu M/pu M °s l°s- î

s G r ,

sur un ouvert non vide de la fibre spéciale XK. De plus, pour tout entier 1 < s < r , ces isomorphismes induisent des plongements

partout bien définis sur XK entre les fibres vectoriels de même rang

pu M/pu M °s l°s- O

pu M/pu M °s l°s-

/\S£"M

S A £':+M/£R:-M,

et la réduction de l'homomorphisme us se décompose

A s ê M us /\S£"M

A s ~ £M/C ® A " ~ * " / # A s ® /\S£"M pu M/pu M

Pour terminer cette section, rappelons ce qu'est un réseau itéré (cf. [9, déf. 2.1]). Définition VA 3. — Un réseau M est dit réseau itéré si, pour tout entier s, avec s G r et s r, on a

pu M/pu M 0.

V.1.4 . I l nous faut montrer que la donnée associée au réseau M définit bien un point y de ip~1(Zss) et que la flèche Spec A —> /ip~1(2ss) fait commuter le diagramme complété. La démonstration se divise donc en plusieurs étapes :

a) Montrer d'abord que le morphisme Ox —> £(M) est surjectif en la fibre spéciale XK et que l'application induite H0(XK,O% ) R°(XK,£M) est un isomorphisme.

b) Donner une description plus explicite du relèvement

Spec K l<i<m ^

Spec A l<i<m ^l · c) Montrer que le réseau M est un réseau itéré au sens de la définition V.1.3. d) Montrer que v(£s) = v(£'s), pour tout 1 < s < r — 1.

ASTÉRISQUE 313

V.2. ÉTAPE A 75

V . 2 . Étape a

V.2 .1 . On considère le diagramme SpecK ip~1(Zss)

Spec A Zss x (X-N)2. Le morphisme Spec K —• Z0 est le composé

AKH hn°(xK,ohXK) /\B°(XK,£) n°(xK,/\£).

Comme le morphisme 0 X a —> £(M) est génériquement surjectif en la fibre spéciale, le relèvement Spec A —» Z$ est donc le composé

AAh AK°(XA,OXA) AH° (XA,£(M)) H° (XA,A£(M)). On obtient ainsi la formule suivante pour le terme po défini dans la section IV.5.2.

Soit F un sous-espace vectoriel de nh ; on notera T le sous-fibré maximal de SM

engendré par l'image de F dans H°(X^,£M) via l'application kh

H°(XK,OhxJ R°(XK,£M);

on a alors po(F) = r g ^ 7 .

V .2 .2 . On sait que le morphisme Spec K 2 se factorise à travers Zss ; on peut donc appliquer la proposition IV.5.3 ; ainsi, pour tout sous-espace vectoriel F de ^ , on a l'inégalité :

dim F h — e r

Po(F) £ rn 1 < i < m

max l<s<r xeNi

ps,x(F)-hMs

s £ 2<s<r

OLsMs

S

Proposition V.2.1. — application suivante est bijective : kh

H°(XK,OxJ B°(XK,£M).

Démonstration. — On commence par quelques lemmes préparatoires. Notons FQ le noyau de l'application

KH H°(XK,OxJ K°(XK,£M).

Lemme V.2.2. — On a la majoration dim.Fo < s.

Démonstration du lemme V.2.2. — On applique l'inégalité (*) ci-dessus à Fo et à la suite M i = M2 = · · · = Mr = 0. La formule de po implique que po(Fo) = 0. De plus, on sait (cf. section IV.5.2) que, pour tout point x € N et pour tout entier 1 < s < r , ps x(Fo) < 5. On obtient ainsi la majoration

dim FQ £ m l<i<m

max l<s<r xeNi

Ps,x(F0) s

E

ce qui achève la preuve du lemme V.2.2.

Lemme K2.3. — Pour tout 1 < i < m, l'application suivante est surjective : H°(XK,£M) çM

Démonstration du lemme V.2.3. — On va prouver que H 1 (XK, £M (—Ni)) — 0. Supposons par l'absurde que H 1 (XK,£M(—Ni)) ^ 0; la dualité de Serre implique qu'il existe un morphisme non nul

£M(-Nt) MXk.

On note T = ker(£M (—Ni) —• QXK); alors la codimension de H0(XK, J 7 ) dans H°(XK, £M) est majorée par g + r\Ni\ = g + rM. On note F la préimage de H°(XK,F) dans KH via l'application

kh U°{XK,OXJ ÏÏ°(XK,£M). Alors dim F > h — (g + rM). En appliquant l'inégalité (*) au sous-espace vectoriel F, et à M i = M 2 = • • • = Mr = 0, on obtient

dim F h — e r •MF)

e m l<i<m

max l<s<r xeNi

Ps,x (F0) s

On sait (cf. section IV.5.2) que po(F) < rgj7 = r — 1 et que, pour tout point x G iV et pour tout entier 1 < s < r , ps^x(F) < s. Le terme à droite est donc majoré par

h — s r

V - 1 • e.

Par conséquent, on a l'inégalité h — (g H- rM) < dim F < (h — e)/r(r — 1) + e ou d e 4- r(2g - 1 + r M ) ;

c'est une contradiction car on a supposé (cf. section IV. 1) que d est très grand par rapport à M , e, X et r . La preuve du lemme V.2.3 est achevée.

La même preuve prouve : Lemme V.2.4. — On a

K1(X^£M) = 0 et donc d i m H ° ( X K , £ M ) = h.

De plus, le fibre vectoriel £M est engendré par ses sections globales.

Démonstration du lemme V.2.4- — Supposons d'abord que H1 (XK, £M) ^ 0. Les arguments utilisés dans la preuve du lemme V.2.3 impliquent d < e 4- r(2g — 1). C'est une contradiction car on a supposé (cf. section IV. 1) que d est très grand par rapport à £, X et r. Ainsi H 1 (XK, £M) = 0 et d'après le théorème de Riemann-Roch, on a

d i m H ° ( X „ , £ M ) h.

De même, on peut prouver que, pour tout point x de XK1

H1(XK,£M(-x)) 0, ce qui entraîne que £ M est engendré par ses sections globales et achève la démonstration du lemme V.2.4.

ASTÉRISQUE 313

V.2. ÉTAPE A 77

Lemme V.2.5. — Soient Nilf A^ 2 , . . . , Ni£+1 des niveaux contenus dans N. Alors l'application suivante est surjective :

R°(XK,£M) <r('-1)^('-2)-"C-1iÂ«i,x

Démonstration du lemme V.2.5. — Supposons que l'application ci-dessus n'est pas surjective. Les mêmes arguments dans la preuve du lemme V.2.3 prouvent

d e + r(2g - 1 + (e + l ) r M ) , c'est une contradiction car on a supposé (cf. section IV. 1) que d est très grand par rapport à M , s, X et r. La preuve du lemme V.2.5 est terminée.

Lemme K2.6. — Sauf pour au plus e valeurs i dans { 1 , 2,. . . , m}, l'application kh

H°(XK,OXJ çM

est surjective.

Démonstration du lemme V.2.6. — Cela résulte du lemme V.2.5 et du fait (cf. lemme V.2.2) que l'image de U°(XK, OX ) dans H°(X^, £M) est de codimension au plus e.

Revenons à la démonstration de la proposition V.2.1. Soit i un entier, 1 < i < m, tel que l'application

kh :B.0(XK,OXJ çM

soit surjective. On va étudier les composantes {iTs,x) l<s<r (cf. section V.1.2). Pour

tout entier 1 < s < r , génériquement, l'application TTSjX (X G Ni) est le composé du homomorphisme surjectif

f\Kh AK°(XK,£) s A x Spec K ·

avec l'isomorphisme

< r ( ' - 1 ) ^ ( ' - 2 ) - " C - 1 i Â « i , x f\ £x x Spec K s A ^xxSpecK-

Or le relèvement A ah AÏÏ°(XA,£(M)) s

/\£(M)NiXsPecA est surjectif, ce qui implique que le relèvement de TTS:X se factorise à travers de

AAh /\a°(xA,£(M)) s

A ^xxSpec A' Cela montre bien que l'on a Ps^Fo) = 0? pour tout entier 1 < s < r et pour tout point x E Ni.

Compte tenu de cette inégalité et du lemme V.2.6, l'inégalité (*) (cf. début de la section V.2.2) entraîne

dim FQ e m 1 <i<m

max l<s<r xeNi

Ps,x(F0) s

€ m

E e2

m

Comme m est très grand par rapport à e, on conclut que dimjPo = 0· L'application linéaire

kh

H°(XK,OHXJ H0(Xk, EM)

est donc injective. Or on sait (cf. lemme V.2.4) que dimH°(XK,£M) = h,

ce qui montre que l'application précédente est en fait bijective et achève la preuve de la proposition V.2.1.

V . 3 . Étape b

V.3 .1 . Dans cette section, on cherche à donner une description plus explicite des applications (7rs,x)i<s<r (1 < * < m). La discussion suivant le lemme V.2.6 montre

xeNi que, pour tout entier s, avec 1 < s < r et pour tout point x E Ni, l'application TTSJX

est le composé de l'homorphisme surjectif AAh ÂH° (XA,£(M))

S A£(M)

x x Spec A avec un homomorphisme linéaire

Vs,x s /\£(M) x XSpecA

s xxSpec Ai

dont la réduction de (vs,x)i<s<r n e s'annule pas. xeNi

Remarque V.3.1. — Cela implique immédiatement que, pour tout entier 1 < s < r , pour tout point x E N et pour tout sous-espace vectoriel F de on a l'inégalité

PsAF) min{s ,rg T},

où T désigne le sous-fibré maximal de £ M engendré par F.

V.3 .2 . I l reste à déterminer comment construire ce dernier homomorphisme linéaire

(vs,x s A£{M)X X Spec A

s A ^xSpecA)l<s<r-

xeNi Fixons un entier 1 < s < r. Génériquement, on a une famille d'isomorphismes

linéaires l1-(s-1) l2

-(s-2) … ls-1 A v1,Ni s /\£(M)NiXSpecK

s A or

N. x S p e c K , où l'isomorphisme ^I ,A^ s'inscrit dans le diagramme commutatif

£{M) Ni xSpec K

Ul,Ni £(M)NiXSpecK

O1, Ni Vl,Ni

^ N, x Spec K ^Ni x Spec K ·

ASTÉRISQUE 313

V.3. ÉTAPE B 79

On considère maintenant l'application

s ul,Ni

s (£(M)NixSpecA a

s /\£{M)NI Spec A-

Génériauement, on a un diagramme commutatif

AS€(M) rr Ni SpecK

s

u1,Ni

ASS(M)NI SpecK

AS vltN. cr As Or

Ni

Asor

Ni SpecK As or

Ni : SpecK'

on sait (cf. proposition II. 1.3) qu'il existe une valuation standard deg^s U l N sur

/\S £(M)NiXSpecK telle que, pour tout e e /\s £{M)NIxSpecK,

d e ë A s « i , N i

s . A ^ i . j v ^ e ) qdegAs Ul,Ni

e

De plus, si l'on note deg 0 la valuation canonique sur / \ 0'jSr.xSpecK, on a alors

d eSA'«i.Jv ( e deg 0

s vl,Ni e

pour tout e G /\S S(M)NïXSpecK (cf. proposition II.1.4).

Puisque /\s uiyNi stabilise le réseau /\S £(M)NiXSpec A, l'application

s /\vl,Ni

s A£{M)NI SpecK

s AOr

Ni SpecK

envoie le réseau /\S £(M)NiXspecA dans le réseau A * 0 ^ i X S p e c A on peut donc écrire

.s Vl,x lxeNi ndeë(/\

s uliNi) vs,x xeNi 5

où on note

deg s

u1, Ni min xGNi

min e€A s f(M) x x S p ec^

deg Aa ui, Ni e

et où v's,x AS£(M)X : Spec A Asoi Spec A ]xeNi est une application non nulle même après réduction.

En résumé, on sait comment relever les différentes applications (/\s vi,x)xeNi (1 < s < r). Par conséquent, on doit savoir comment relever l'application

-(s-l) î

l 1 s-l

s Vl,x. l<s<r xeNi

en effet, il suffit d'écrire

p-(s-l) p-(8-2) l î s-l

s Vl,x xeNi

IIdeg(As u1, Ni)

l1

s-1 … ls-1

vs,x xeNi

Notons

MI min l<s<r

deg s ul,Ni V l1

s-1 …ls-1

s

Alors v's,x

IIsMi

l<s<r xeNi

est le relèvement de Vs,x 1<S<T xeNi

on s'autorise ici à considérer

des extensions finies ramifiées de K).

Remarque V.3.2. — La réduction de l'application (v's x / T T s M Z )xejv. est non nulle si et seulement si

deg(/\s U l ^ ) - v(£{-

s min

l<£<r

d e g C A ^ i , ^ ) - ^ - 1 - - - ^ - ! ) t

Cette remarque sera utilisée dans la preuve de l'étape d.

V . 4 . Étape c — Introduction

V.4 .1 . Le but des quatres sections qui suivent (cf. sections V.4-V.7) est de démontrer la proposition suivante.

Proposition V.4.1. — Supposons que q est assez grand par rapport à r. Alors le réseau M est un cp-réseau itéré {cf. définition V.l.S).

V.4 .2 . Stratégie de la preuve. — On présente dans cette section la stratégie de la preuve. La démonstration complète se trouve dans les sections qui suivent.

Comme le morphisme Spec K —> Z se factorise à travers l'ouvert Zss, la proposition IV .5 .3 est applicable :

Pour toute filtration non triviale de nh par des sous-espaces vectoriels {Ft}, pour toute suite {/3t} de pondérations positives ou nulles de somme positive et pour toute suite de rationnels (M\ = 0, M2, . . ., Mr), on ait l'inégalité

t PtdimFt h — e

r t PtrgFt

€ m 1 <i<.m

max l<s<r xeNi

Y,tßtPsAFt) + Ms

s e 2<s<r

CtsMs

S

où on note Ft le sous-fibré maximal de £M engendré par Ft. On dispose de deux nitrations : une filtration croissante { £ ^ } s ^ r de £ M et une

filtration décroissante { £ ^ } s e r de £ M . On notera {Es}ser et {Es}ser les sections globales des fibres { £ ^ } s e r et { £ ^ } s e r , respectivement.

On applique la condition de semistabilité à la réunion de {Es}ser et de {Es}ser

avec les pondérations (3ES = /% = f3s (le fait que la réunion de deux nitrations n'est pas une filtration n'est pas un problème sérieux). Après un petit calcul, on obtient

ter A ( d - i ) (d-e)

ter Bt

e m ser

max l<s<r xeNi

E t e r Pt(Ps,x(Et) + Ps,x(Et)) + Ms S

e 2<s<r

asMs

s

Maintenant, supposons par l'absurde que M n'est pas un (^-réseau itéré. Sous l'hypothèse que q est assez grand par rapport à r , on peut choisir des pondérations entières {/3s}ser bornées en fonction de r , et un entier Sj0 G r avec la propriété suivante :

ASTÉRISQUE 313

V.5. ÉTAPE C - PRÉLIMINAIRES 81

Si Ni est un niveau M-regulier (cf. definition V.5.3), pour tout point x de Ni et pour tout entier 1 < s < r , on a l'inegalite

(*) ter

Pt(PsAEt) + psAEt)) s ter

fit,

et de plus, pour s = s J O, on a l'inégalité plus stricte (**)

ter (3t(pSjo,x(Et) +pajo,x(Et)) SJ0

ter A - i .

Notons que la notion de niveau M-régulier remplace la condition que Ni ne contient aucun dégénérateur. On prouve que, sauf au plus un ensemble dont le cardinal est borné en fonction de po et de r , tous les niveaux Ni sont M -réguliers.

En remplaçant ces majorations dans la condition de semistabilité et en choisissant un choix convenable des {Ms}2<s<ri on en déduit

-Q(sjo - ! ) + 2<l(S3o) ~ <l(S3o + 1) asj0 E

S30 ter fit

O(p0,r,e) m

Le terme à droite est majoré en fonction de r car les pondérations ¡3 sont majorées en fonctions de r et m est très grand par rapport à s, po et r . Comme p est assez convexe par rapport à r , le terme à gauche est grand par rapport à r . On obtient ainsi une contradiction, ce qui permet de conclure que M est un (p-réseau itéré.

V . 5 . Étape c — Préliminaires

V.5 .1 . On prouve d'abord que le polygone canonique de Harder-Narasimhan du fibre SM est en fait majoré par p, donc par p0.

Lemme V.5.1. — Le polygone canonique de Harder-Narasimhan de £M est majoré par p7 donc par po.

Démonstration. — Soit T un sous-fibré maximal non trivial de £ M et soit F le sous-espace de nh des sections globales de T \ on applique la proposition IV.5.3 au sous-espace vectoriel F : pour tous les paramètres (M2, M 3 , . . . , Mr) (et M\ = 0 toujours),

dim F h — e r

Po(F) e m l<.i<m

max l<s<r xeNi

Ps,x(F) + Ms

s e 2<s<r

asMs

s

On sait (cf. section IV.5.2 et remarque V.3.1) que i) p0(F) < r g ^ , ii) Ps,x(F) < m i n { 5 , r g ^ 7 } pour tout entier 5, avec 1 < s < r et pour tout point

x e N. On en déduit

dim F h — e r

rg T + e max l<s<r

minis , rg J 7 } + Ms

s e 2<s<r

asMs

s

On choisit Ms = s — min s.vgT 1 s r, et on les remplace dans l'inégalité ci-dessus pour obtenir (cf. définition de q(t) dans la section II.5)

dim F h-R

r TgJ7

E l<s<r

0¿s

min s.rgF

s

h r

rgF - Q YgT

D'autre part, la formule de Riemann-Roch implique

dim F dimH 0 Xk, F

dim H° Xk, F dimH 1 Xk, F àegT 'Х-9 rg T.

On combine les deux inégalités et un petit calcul nous donne

deg.77 d

r xgT Q rgj7

d

r YgT V YgT Q rg F V vgT

Comme (d/r) rg p(rg J7) est un entier et le terme q(rg T) — p(rg'F) est strictement compris entre 0 et 1, on déduit

àegJ7 d

r YgT V xgT

ce qui montre bien que le polygone canonique de Harder-Narasimhan de £ M est majoré par p, donc par p 0 , c.q.f.d. •

Lemme V.5.2. — En tout point x de N sauf un sous-ensemble dont le cardinal est majoré en fonction de r et po, les applications

us,x

s £ M X

s £ M x

1 s t

se décomposent en

£ M x

s £ M X

s £ M x

'£ M s ,X

s —s t M S ,X

£ M vw,x

s £ M s ,x

s —s £ M s+ ,x

£ M s ,x '

Démonstration. — Il suffit de montrer qu'en dehors un ensemble dont le cardinal est majoré en fonction de r et po7 les plongements (cf. section V.1.3)

s £ M £ M

s ~ £ M s £ M

s

s £ M s

£ S

M £ M 's s E r,

deviennent des isomorphismes. Comme les deux fibres vectoriels de deux côtés ont les mêmes rangs, il suffit de montrer que la différence de leurs degrés est majorée en fonction de r et po, ce qui résulte directement du lemme précédent. La preuve est donc terminée. •

ASTÉRISQUE 313

V.5.2. Niveaux M-réguliers

Définition V.5.3. — Un niveau Ni (1 < i < m) est dit M-régulier si les conditions suivantes sont vérifiées :

a) Tout point géométrique x G Ni admet les décompositions du lemme V.5.2.

b) Pour tout entier s G r, avec £ M s

<7 e -M

's 0 Ni ne contient aucun point dans

le support de £ £ M s

a £ M 's

Remarque V.5.4. — a) La condition « Ni est M-régulier » remplace la condition « Ni ne contient aucun dégénérateur ».

b) Les lemmes V.5.1 et V.5.2 entraînent que tout niveau Ni sauf un ensemble dont le cardinal est majoré en fonction de po et r est M-régulier.

V.5 .3 . Dans la suite de cette section V.5, fixons un niveau M-régulier Ni ; on considère l'application cr-linéaire

ul,Ni £{M)N. Spec A £ M rr Ni Spec A £{M)Nt <Spec A

cette application s'inscrit dans le diagramme commutatif

£{M)Ni : Spec A x1, Ni S{M)Ni Spec A

v1, Ni v1, Ni

O r Ni Spec A

Frob O r Ni <Spec A

On écrira £(M)X (respectivement £(M)AT. , Ox, Or

N.) au lieu de £(M)xXspec A (resp. £(M)NiXSpecA, O x x S p e c A , Or

Ni xSpecA) Pour alléger les notations. Quitte à remplacer A par une extension finie, il existe toujours des bases

e1,x, e2,x, …, er,x et fl,Xl fi,Xi · ' · 1 fr,x de £(M)X (x e Ni) telles que

U1, Ni e1,x IIn1 Jl,Frob(cc)

U1, Ni C2,x In2 /2,Frob(aO

U1, Ni &r,x 7 r U r fr,Frob(x)

où les entiers {ns} sont donnés par les formules

ni 0.

n2 q-1 v(l'1)

nr q-1 V P' P' . · · P'

Rappelons que les éléments £'s G A 1 s r sont donnés dans la section V.1.3.)

Remarque V.5.5. — a) Le fait que le réseau M est de type r >· Ι ,Γ 2 , . . . ,rk] cf. définition V.1.2) implique

0 ni … nri n r i + i … nr2

…

b) Pour tout entier s G r, comme le niveau Ni est M-régulier, on a la décomposition du lemme V.5.2 en x. d'où

E M s,x

est engendré par f1,x f2,x fs,xi les réductions modulo 7r de f1,x,

f2,x, fs,x ?

Ee M s,x est engendré par E CT

s + l,x ' e er x-2,x e CT r,x

les réductions modulo 7r de e r s-1x,x e er s+2,x e <7 s,x

V.5.4. On rappelle maintenant les notations et les résultats de la section V.3. Rappelons qu'il existe une valuation standard degy\s U i ^ sur /\s £{M)JV* xSpec K vérifiant que, pour tout e e /\s £ (M) N . xsPec K,

deg u1,Ni

s u1,Ni e qdeg 3 ul,Ni

e deg u1,Ni e d e g o

.s u1,Ni e

où deg 0 désigne la valuation canonique sur s O r Ni xSpec K Grâce à cette valuation, on

montre que l'application s u1,Ni envoie le réseau s £ M Ni dans le réseau s o ir Ni

on a ainsi le diagramme commutatif

s E M Ni u1,Ni .S E(M) Ni

u1,Ni

S VI,Ni

.S O r Ni Frob

s o x Ni

Rappelons que v\ x : £{M)X O r X

désigne la restriction de v\^i à x Spec A ; on peut écrire

s v1,x xeNi 7T & * Ul,Ni vs,x x<=Ni

OÙ vs,x s £{M)X

s O \r X xeNi est une application non nulle après réduction. Pour tout point x € Ni, on notera

v'stx s

£ M x

s o r X

la réduction de v's . {Rappelons {cf. section V.3) que

deg s

ul,Ni min xeNi

min e E E(M)X

deg 3 ulyN. e

Revenons à l'application v\^x : £{M)X —> D'après le théorème des diviseurs élémentaires, il existe une base {«i , x }i<z<r de Ox et une suite croissante d'entiers {mi,x}i<i<r telles que { 7 r m i ' x a ^ x } i i 5 X (£(M) x ) . On notera Wi x}i<i<r la base de £{M)X induite par {TT™*'* ai^x}i<i<r.

Proposition V.5.6. — Avec les notations précédentes, si un élément e de As £(M)X

s7écrit sous la forme e i s aI iei e'i' a/ G A, alors

deg u1,Ni e min

I s v{ai)

tel mi,x

ASTÉRISQUE 313

En particulier, on a min deg A S ^ T (e) mljX + m 2,x + h mSyX.

Démonstration. — I l résulte directement de la discussion qui précède et de l'égalité

deg A . t t l i J V i (e) s deg 0 ( Aî.JViCe)).

V . 5 .5 . Soit s un entier, avec 0 < s < r ; on notera Ms,x I e sous-espace vectoriel de £ x

v r engendré par ë's+lx, ë's+2,xj · · · ? ë!rx. Introduisons encore une nouvelle notion. Définition K5.7. — Soit s un entier, avec 1 < s < r et soit x un point de Ni. Soit F un sous-espace vectoriel de £^ et soit {ei}i<i<dim F une base de F ; on peut donc la compléter en une base {ei}i<i<r de £X

X1 et on définit Qs,x(F) max

Is 1 , . . . , d i m F Is Is s> v'sA A ei)

tels 0

Cet entier est indépendant de la base choisie et vérifie

QsAF) min s, dim F L'intérêt de cette notion réside dans la proposition suivante. Proposition V.5.8. — Soit F un sous-fibré vectoriel de £M et soit F l'espace des sections globales de F. Alors pour tout entier s, avec 1 < s < r et pour tout point x E Ni,

psAF) Qs,x(3~r)-

Démonstration. — On sait (cf. section V.3) que l'homomorphisme linéaire /\S KH —> Ox se décompose en deux morphismes : l'application surjective /\S KH —> £^f et un multiple de vf

sx. Compte tenu des défintions des termes ps^x et QSJX (cf. section IV.5.2 et définition V.5.7), on en déduit aussitôt l'inégalité voulue, c.q.f.d.

Si v's x est l'application nulle ou, ce qui revient au même,

min deg A s (e) s deg(Aî,JvJ,

on a alors gs,x(F) = 0, pour tout sous-espace vectoriel F de £ xv [ .

Dans le cas contraire v's x ^ 0, ce qui veut dire,

min deg A s 7. jvr (e) s deg(Aî,ArJ,

alors v's x(e\ A e 2 A * · · A es) ^ 0 si et seulement si, pour un (donc pour tout) choix de relèvements {e^}i<^< s dans f\s £(M)X de {ë^}i<^< s, on a

d e gA s î , i v , (ei A - - - A e s ) s

deg(/\uljNi). On a ainsi la formule suivante pour gs^x : pour tout sous-espace vectoriel F de £ x

i î ,

QaAF) min dim F / F n Ms++yX,dim F / F Ms—iX + s - s où

> s est le plus grand entier t < s tel que mtìX < mt-\-iiX, v> s + + est le plus petit entier t > s tel que mtiX < mt+\yX.

Remarque K5.9. — a) Les entiers positifs fTti^x et les éléments e1^ x sont définis dans la discussion précédant la proposition V.5.6. Les sous-espaces vectoriels - M s + + ? x , Ms--,x de £!/f sont définis dans la début de cette section,

b) Les entiers s , s + + dépendent du point x.

Proposition K5.10. — Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de £XXI. Pour tout

entier 1 < s < r, on a alors Qs,x(F D G) H- Qs,x(F + G) QS,X(F) + QSÎX(G).

Démonstration. — Fixons un entier s, avec 1 < s < r. Si v'sx est l'application nulle, tous les termes dans l'inégalité sont nuls, l'inégalité voulue est évidente. On peut supposer donc que v's x ne s'annule pas ; en particulier, on a la formule explicite plus haut. On distingue trois cas et démontre l'inégalité voulue dans chaque cas.

Cas 1. — On suppose dim F / F Ms++,x

dim F / F H M s— ,x + s — s ce qui est équivalent à

dim F M8—tX/F Ms++iX s — s

Le quotient F D M8—ìX/F f i M8++iX se plonge dans (F + G) H M8—iX/(F + G ) Pi Ms++^x, d'où d im(F + G ) H Ms—,X/(F + G ) D Ms++iX > s - s ou

dim(F + G)/(F + G ) H M 8 + + t X > d im(F + G)/(F + G ) n M 8 — i X + s - s—. Par conséquent,

Qs,x(F) dim F / F H M 8 — i X -h s - s ,

QsAF + G) dim(F + G)/{F + G ) M8—~ + s - s

Si QsAG) dim G /G n Ais-- x + s — s , alors Q,AF) - QsAF + G) dim F / F n Ms--iX + s - s

+ d i m G / G n . M s - - ; X + s - s dim(F + G)/(F + G) Ms--.x + s - s

+ d i m ( F n G ) / ( F n G ) M s — t X + s - s QS,X{F + G ) + Qs,x(FnG).

Sinon, on doit avoir QS,X{G) dim G/G Ais++ x, alors Q,AF) - QsAF + G ) dim(F + G) M8—,x/F \Ma—,x - d i m ( F + G ) / F

d im(F + G) M,++tX/F Ms++ x - d im(F + G)/F d i m ( F n G ) / ( F n G ) Ms++,x dim G /G n Ms++^x

gStX(FnG) - gs,x(G),

ASTÉRISQUE 313


autrement dit ,

QsAF) + Q*AG) QsAF + G) + ôsAF^G)-Cas 2. — On suppose

dim G/G f i Ms++,x dim G/G Ma—ìX + s — s

Un argument similaire montre aussi

QsAF) + Q*AG) QsAF + G) + QsAF n G ) -Cas 3. — I l nous reste à traiter le cas où on a simutanément

dim F / F Ms++,x dim F / F M8—iX + s - s

dim G/G Ms++iX dim G/G Ms--,x + s-s

Cela implique gSiX(F) dim F / F Ms++,x et QsAG) dim G/G 1 M>s++iX, d'où

QsAF) + Q*AG) dim F / F •Ms++,x + dim G/G dim(F + G)/{F + G) Ms++ x + d im(F H G)/(F H G) Ms++,x

: QsAF' + + Qs,x(FnG).

En résumé, dans tous les cas, on obtient l'inégalité voulue. La preuve de la proposition V.5.10 est achevée.

V.5 .6 .

Lemme K5.ll. — Supposons que

d e ê A ^ i AT ( A ejtX) z jei

1 M>s++iX,s

pour un certain point x E Ni et un certain ensemble I à s éléments. On a alors

s deg(A«i,ivJ

E j e / ni q-1

Et puis pour tout point y G Ni, on a l'inégalité

rai,!, + fn2,y + · · · + mSty Eje/ ni

q-1

Démonstration. — Compte tenu du fait que deg(/\s î / i ,^) est la valuation standard pour /\s uliNi, on a

s qdeg(/\ultNi) ïdeg A . t t l i J V i A ej,x. deg(A«i,ivJ s

Α^Ι,ΝΛ Λ ej,x) dei

jEI Uj+degAsUlNi A fj ,Frob(x)

jei

s \UJ + deg(A^i, ivJ



On obtient ainsi deg(/\s U\î) > ^2jînj/(Q~ 1)· La première assertion est donc démontrée. Puis pour tout point y G Ni, la proposition V.5.6 entraîne

mliy + m2,y H h mSiy min eeAsS(M)y

deg A » « a , N i ( e ) s

deg(/\uliN.) >iei n J q-1

La preuve du lemme V.5.11 est donc terminée.

Corollaire V.5.12. — On a toujours

s deg(/\uliNi)

ni + n2 + · · · + ns

q-1 En particulier, pour tout point y G Ni, on a toujours l'inégalité

mliy + m2iy + · · · + mSiy n i + n2 + · · · -h ns

q-1

Démonstration. — I l existe toujours un point x G Ni et un ensemble I k s éléments tels que deg^s U i n

ej,x) = deg(A* ^1,^)· D'après le lemme précédent, on a

s deg(f\uliNi)

tjei nò q-1

n\ + ri2 + · · · + ns

q-1 En particulier, pour tout point y G A^, on a l'inégalité

m1:V + 7712,2/ + · · · + rnSiy s deg(/\uliNi)

ni + n2 + · · · + ns

q-1 La preuve est terminée.

Lemme V.5.13. — Supposons que

deg(/\uliN.) A fj,x jei

s : deg(Aî,7vJ,

pour un certain point x G Ni et un certain ensemble I à s éléments. On a alors

s deg(/\uliN.)

jei n J q-1

Démonstration. — Compte tenu du fait que deg(A* ^ i , a O est la valuation standard pour /\s u 1,jsii, on a

jEI

s rij + deg(A«i,JvJ JEi

+deg A . „ 1 > A r . jei

degA"«i,iv4

s A ej,Fvob-1(x)) jei

9 d e g A . U l i J V i A ej,Froh-1(x) iei

s qdeg(/\ui,Ni

On obtient ainsi deg(A* ui,Ni ) "ÏZJÎ nj/(Q — 1)· La preuve est terminée.

ASTÉRISQUE 313

V.6. ÉTAPE C - DÉBUT DE LA PREUVE 89

V . 6 . Étape c — Début de la preuve

Supposons par l'absurde que le réseau M n'est pas un réseau itéré (cf. définition V.1.3). I l existe donc un élément SQ G r tel que

(£frnéf=o, pour tout entier «s G r , avec s < SQ et (£™)M (£™) 0.

Soit Ni un réseau M-régulier. Rappelons (cf. remarque V.5.5) que, pour tout point x G Ni, £^x est le sous-espace vectoriel de £ X

V [ engendré par les réductions fi,x,

/2,x, · · · » fs,x et £1fx est le sous-espace vectoriel de £ ^ engendré par les réductions s+i xi x-> - · - > x- P a r a bus de langage, on notera aussi £^fx le sous-espace de £ X

V [

engendré par les réductions ë s + i 5 X , êS+2,x> · · · ? ërtX.

V.6 .1 . On conserve les notations des sections V.4 et V.5 ; en particulier, on travaille toujours avec un niveau Ni qui est M-régulier.

Proposition V.6.1. — Soit s un entier, avec s E r, tel que (£™)an£s =0. Pour tout point x E Ni :

a) On a

s deg(Aî,ArJ

E1<js nj

q-1 et mliX + m 2,x H h ms,x

ni H- n2 + l· ns

q-1

b) On a s = e£ A4 = £s x ; autrement dit, il est le sous-espace vectoriel engendré par ës+\,x, ës+2,x, · · · ? ë r 5 X . De p/us, powr sous-espace vectoriel F de £x

Xd, on a la formule

Qs,x(F) dim F / F H £™.

c) Si l'on écrit Ai<j<s fj,x = J2\i\=8 ai AjGi ej,x> ai € A a l o r s ^0{i,2,...,*}) = 0.

Démonstration. — a) Soit deg la valuation canonique sur le réseau /\ s£(M)at. ; d'après la preuve de la proposition II.1.3, pour tout e G /\ s £(M)wi, on a la formule

D E

6A - " l f J v . (e ) l im deg((Aî , ;v ,r(e))

4 n

Puisque (£^)an£^ = 0 et Ni est M-régulier (cf. définition V.5.3), les sous-espaces vectoriels £j^v. et £ s ^ i de £ ^ ont pour l'intersection 0. Par conséquent, pour tout entier n et pour tout point x E Ni,

d e g ( ( A n 1 , 7 V J n ( A ejtX)) l<j<s l<j<n

qj-1

l<j<s nj,

donc

s deg(Aî,ArJ

A ej,x l<j<s

l im n—>- + oo

<l<j<n V E1<js nj

qn <^<3<s n3 q-1

On sait (cf. corollaire V.5.12) que deg(/\s u±^Ni) > JZ1<j<s rij/(q - 1). Compte tenu du fait que deg(A* uljN.) < deg A* Ui N_ (Ai<j<s

o n e n déduit

(*) deg(Aî,ArJ A ej,x l<j<s

s deg(Aî,ArJ

1<j<s nj

q-1 ce qui montre déjà la première assertion.

b) L'égalité (*) montre que v'sx ^ 0 : on peut donc appliquer la formule précédant la remarque V.5.9 pour calculer QSÎX.

La première assertion combinée au lemme V.5.11 implique que, pour tout point x € Ni et pour tout ensemble I k s éléments de { 1 , 2, . . . , r } , avec / ^ { 1 , 2,. . . , s}, on a l'inégalité deg A* u±>JV_ (Ajei e j > ) > d e g ( A * ultNi), ce qui entraîne QSjx(£s,x) = 0. D'après la formule explicite pour gSjX, on a

min dl™£s,x/£s,x Ms++:X,dim£™x/£™x Ms—iX + s - s 0

a m S 1 £s,x = £s,x Ms++iX. Comme dim£s x = r — s > dim A4S++ j a ; = r — on en déduit que s = s + + et = Ms++,x^ c e Qui démontre la deuxième assertion,

c) Finalement, on a

de&Asu1N( A fj,x) s deg(Aî,ArJ A ej,Frob-1(x) l<j<s l<j<s

s rij = deg(Aî,7vJ,

et la dernière assertion en résulte aussitôt. La preuve est donc achevée.

Corollaire K6.2. — Soit s un entier, avec s E r e t l < s < s o . Pour tout point x e Ni :

a) On a s

deg(/\uliN.) l<j<s 71J q-1

En particulier, m\^x + m2^x -h · · · + rnSiX (n i + n2 H h ns)/(q - 1). b) Pour tout sous-espace vectoriel F de £^f, on a la formule

Qs,x(F) min dim F / F f j ^ , dim F / F EM

s,x + s - s-

Démonstration. — I l résulte de la proposition V.6.1.

Lemme V.6.3. — Soit s un entier dans r tel que ( i ^ ) * 7 H £SM = 0. Pour tout point

x G Ni, on a alors

7Tls,x ns

q-1

Démonstration. — En effet, comme ( £ SM ) ( J —M

£ s = 0, la proposition V.6.1 montre miiX + m2,x H h ms,x

n i -h n2 + · · · -h ns

q-1

ASTÉRISQUE 313

Ainsi on a

Q l<j<s Tlj nQ+ — n s

q-1 qdeg

s u1, Ni

qdeg s u i. /v¿ l<j<s Ej,x

l<j<s

Tlj deg s u1, Ni 1<j<s fj,Froh(x)

l<j<s

Tlj 1<j<s0 Tlj s - s0

nsl+1

q - l

ce qui revient au même,

so + l j s Tlj — n + Q ns+ — ns s - s0

nS£ + i s0

ce qui implique

ns+ — ns s - So nsl+1 n S0 q r n sl+1

ns0 q

ce qu'on voulait, c.q.f.d.

Lemme V.6.8. — Pour tout entier 0 < j < £, on a alors

nSj + 1 ' n 4 r2

nS£+l Ns0 q-

Démonstration. — Le choix des Sj (cf. la discussion après la définition V.6.5) montre que tout entier s E r, avec Sj < s < Sj+i, n'est pas spécial et donc vérifie l'hypothèse du lemme V.6 .7 ; on en déduit

nsj+1 nsj

sEr sj ; s sj+1

ns+ — ns

sEr j s '•SJ + 1

r nse+i ns0 q r2

nsl+1 ns2 q

ce qui démontre le lemme.

V . 6 . 3 .

Lemme V.6.9. — / / existe des entiers non négatifs n, mo, . . . , me tels que :

a) 0 < n < (2r2)£+1 < (2r2)r, qui est donc borné en fonction de r ;

b) la suite {rrij} est croissante, avec mo = 0 et me = n ;

c) on a la majoration

max 0<j<£

n n S j + 1 6 o nS£ + l Ao

m3

1

2r 2

Démonstration. — Soit x un réel ; on note [x] la partie entière de x et {x} — x — [x].

On considère (2r2)£ + 1 nombres a 718 3 + 1-ns0

Пз£+1 ns0 0<j<£, avec 0 a (2r2)i+l ils

appartiennent tous au cube d'unité [0, 1] + 1 . Donc au moins deux d'entre eux, disons

a ns3 + i - ns + ns3 + i - ns + et b

ns3 + i - ns + nse+1 ~n

s + avec 0 < a < b < (2r2)i+1, appartiennent au même petit

cube [c / (2r 2 ) , (c + l ) / ( 2 r 2 ) ] ^ + 1 pour un certain entier 0 < c < 2r2. On pose

n = b — a et m3 b ns3 + i - ns + ns3 + i - ns + a

ns3 + i - ns + ns3 + i - ns +

0 < j < £,

ainsi on démontre déjà toutes les assertions sauf l'assertion que vn\ = 0. Reste à la prouver. En effet, le lemme V.6.8 appliquée à j — 0 montre

nSl - n + ns3 + i - ns +

r Q

On choisit q assez grand par rapport à r de telle sorte que l'on peut choisir rai = 0, c.q.f.d.

Dans la suite, on notera (3j = rrij — m j _ i , pour 1 < j < £\ les entiers (3j sont positifs ou nuls de somme n.

Proposition V.6.10. — Soit Ni un niveau M-régulier. Pour tout point x <G Ni et pour tout entier s, avec 1 < s < r, on a alors

1<J<£

bJQsAZslx)) QsAZslx)) s l<j<£

Bj.

Démonstration. — Remarquons que si vfs = 0, tous les termes à gauche sont nuls,

l'inégalité est alors évidente. On peut donc supposer que v's x 0. On distingue quatre cas : 1 < s < so, s = s^+i, s^+i < s < r e t s o < 5 < s^+i-

Cas 1 : 1 < s < SQ-Soit j un entier, avec 1 < j < £ ; on applique le corollaire V.6.2 b) à «s et à S^1

x, i r · ^ A/ . 4 ~M —M ,

compte tenu du lait que cs. x C Ms+,x — x C Ms-^x = t s - x (cl. proposition V.6.1 b)) :

QsA£slx) = °;

de plus, Qs,x(£^,x) < s5 c e °xin entraîne que Qs,x(£s^x) + Qs,x{£^ìX) < s. On a alors

l<j<£ / ^ ( ^ , x ( < x ) + ^ ( < x ) ) s

i<j<l Bj.

Cas 2 : s = S£+\. Soit j un entier, avec 1 < j < £ ; on applique la proposition V.6.1 b) à s — s^+i et

a t s , compte tenu du lait que A 4 S £ + l 7 X = £ S £ + 1 > a ; C C S J . J X ·'

Qs£ + 1,x\&Sj .x) sl+1 - Sj:

ASTÉRISQUE 313

Ainsi on a

q i<j<snJ + n *+ -ns

q-1 s

qdeg(f\uhNi) s qdeg(f\uhNi l<j<s

l<j<s rij; + degAs U 1 A fj,Froh{x)

l<j<s nó

<i<j<s0nJ + ( s - so)nS£+1

q-1

ce qui revient au même,

s0 + l<j< s (s-s0)(nSi+1 -ns+)/q (s - s0)(ns¿+1 - ns+),

ce qui implique ns+ — ns (s-s0)(nSi+1 -ns+)/q r(nSe+1 -na+)/q

ce qu'on voulait, c.f.q.d.

Lemme K6.8. — Pour tout entier 0 < j < £, on a alors

nSj+1 - ns+ r2(nS£+1 -ns+)/q.

Démonstration. — Le choix des Sj (cf. la discussion après la définition V.6.5) montre que tout entier s G r , avec Sj < s < S j+i , n'est pas spécial et donc vérifie l'hypothèse du lemme V.6.7 ; on en déduit

nSj+1 - ns+

8j<8<Sj + l

(ns+ - n3) sEr

Sj<S<Sj + i

r(nSl+1 ~ns+)/q r2(nse+1 -n8+)/q,

ce qui démontre le lemme.

V.6 .3 .

Lemme V.6.9. — II existe des entiers non négatifs n, mo,. . ., mg tels que : a) 0 < n < (2r2Y+1 < {2r2)r, qui est donc borné en fonction de r ; b) la suite {m^} est croissante, avec mo = 0 et rri£ — n ; c) on a la majoration

max o<j<£

n nSj+1 - ns+ nSj+1 - ns+

mj

1 2r2

Démonstration. — Soit x un réel ; on note [x] la partie entière de x et {x} = x — [x]. On considère (2r2)e + 1 nombres a nSj+1 - ns+

nSj+1 - ns+ o<j<£, avec 0 < a < {2r2)l+1 ; ils

appartiennent tous au cube d'unité [0, Donc au moins deux d'entre eux, disons

a ns . . 1 — n 4. nSj+1 - ns+

et b nSj+1 - ns+ nSj+1 - ns+

avec 0 < a < b < ( 2 r 2 ) ^ + 1 , appartiennent au même petit

cube [c / (2r 2 ) , (c + l ) / ( 2 r 2 ) ] ^ + 1 pour un certain entier 0 < c < 2r 2 . On pose

n = b — a et rrij b nSj+1 - ns+

nSj+1 - ns+ a nSj+1 - ns+ nSj+1 - ns+

o < j < £,

ainsi on démontre déjà toutes les assertions sauf l'assertion que m\ = 0. Reste à la prouver. En effet, le lemme V.6.8 appliquée à j = 0 montre

nSl - n +

nSj+1 - ns+ r Q

On choisit q assez grand par rapport à r de telle sorte que l'on peut choisir m i = 0, c.f.q.d.

Dans la suite, on notera f3j = rrij — m ^ - i , pour 1 < j < £ ; les entiers f3j sont positifs ou nuls de somme n.

Proposition V.6.10. — Soit Ni un niveau M-régulier. Pour tout point x G Ni et pour tout entier s, avec 1 < s < r, on a alors

i<j<£

Bj((QsA£8óìx) QsA£8óìx) s l<j<£

0j.

Démonstration. — Remarquons que si v~'sx — 0, tous les termes à gauche sont nuls, l'inégalité est alors évidente. On peut donc supposer que v's ^ 0. On distingue quatre cas : 1 < s < SQ, s = s^+i, S £ + \ < s < r e t s 0 < 5 < S£+i-

Cas 1 : 1 < s < so. —M

Soit j un entier, avec 1 < j < £ ; on applique le corollaire V.6.2 b) à s et à £ S j ^ x , compte tenu du fait que £^^x C Ais+,x = ,x C Ms-iX = £^ ,x (cf. proposition V.6.1 b)) :

QsA£8óìx) 0;

de plus, Qs,x(£HfiX) < s, ce qui entraîne que QsA^s^A + Qs^x(£^x) < s. On a alors

l<j<£ QsA£Sj,x) QsA£8óìx) s

l<j<£ Cas 2 : 5 = s^+i. Soit j un entier, avec 1 < j < £ ; on applique la proposition V.6.1 b) à s = S £ + 1 et

à £8j,xi compte tenu du fait que MSe+1,x = £3e+1,x C £ s . j X :

(FM \ Qse + 1,x\£sj,x)

S£+1 - SJ;

ASTÉRISQUE 313

de plus, gs,+1A£Â < d™£™,x = « j } d o n c Qse+1A£™x) + °st+iA£™x) ^ °n

a alors

1<j<l Qse+1 ,X (£Sj ,x) Qse+1 ,X (£Sj ,x) sl+1 Bj.

Cas 3 : S£+i < s < r. On utilise la formule précédant la remarque V.5.9 pour calculer gSiX. Soit j un

entier, avec 1 < j < £ ; compte tenu du fait que Ais++,x C A 1 S - - } X C AiS£+1,x — =M =M u+- 4.

c o n obtient Qs,x\t-Sj ,x) ~ S Sji

de plus, Qs,x(£3*f,x) ^ d i m ^ , x = c e Q u i entraîne que Qs,x(£^x) + QsAÂ < s. On a alors

i<j<e Pj(Qs,x(£™x) QsAÂ) s

l<j<£ Cas 4 : SQ < s < s^+i. Calculons d'abord QsA£t?x) e t QsA£t%)i a v e c * G Z!> 1 ^ * ^ so- Compte tenu du

fait que Ms++,x C Ms—,x C - M S o , * = f j ^ C £™x et que £ ^ H £££ = 0, on obtient

Pj(Qs,x(£™x) QsAÂ)

Calculons maintenant gs,x(£!^+1A e t Qs,x(££f+1A' Compte tenu du fait que £ ^ + 1 , x = Mse+1,x C .M s ++ , x C Ma—iX et que + £™ + 1 , x = £™\ on obtient

gs,x\&se+1,x) 0,gs,x(£s^+1,x) S.

I l existe un ensemble / (resp. J) à s éléments de { 1 , 2, . . . , r } vérifiant les conditions suivantes :

i) Pour tout entier t G r , l'ensemble / D { t ~ + 1 , t ~ +2 , . . . , £ } (resp. Jn{£~ + 1, t ~ + 2,. . . , t}) est pour cardinal g8ix(£t-tx) ~ QsA£t,x) (resp. gsA£tA ~ QsA£t-,x))-

ii) degAsUitNi(/\j£lejiX) = deg(f\s u1:Ni) (respectivement deg^s Uin^ (/\jeI fjA = deg(A S ui,Ni)).

Remarquons que gs,x(£^+1,x) ~ 0· Le lemme V.5.11 implique donc

s deg(/\uljN.) • d e g A s ^ i , i v , ( A ^ )

jeinJ q-1

•ter nt(gsA£t- A - gsA£tA)

ter t<s0

nt(t-t-) '0<j<£ ns+ (°s,x(£SjA gs,x (£SJ+1,X)

q-1

Remarquons que Qs,x(£^+1:X) = s = Qs^iE^) et le lemme V.5.13 implique donc

s deg(/\uljN.) de&A*u1N.( A fj,x)

' z jei jeJ NJ

q-1 ter nt(Qs,x(£t,x) Qs,x(£t-,x))

q-1 • ter t<s0

nt(t-t-) '®<j<£ ^^i + i {QS,X(£Sj + 1 ,X) Qs,X (£Sj ,x))

q-1 En combinant ces deux inégalités, on déduit

0<j<£ ns+ (QS,X(£SJ,X) Qs,X ( Sj_)_i ,x )

0<j<l Us3 + i Qs,x (£Sj + \ ,x ) QS,X(£SJ ,cc)

Posons dj = £ s , x (£ S j ,x ) - ^ s , a ;(5 S j . + 1 , a :) et b3 = £ s , x ( £ S j + 1 , x ) - Qs,x(£Sj,x) (0 < j < £) ; donc 0 < a j < r , 0 < b3 < r et

0<j<l QS,X(£SQ,X) Qs,x (£s£+i ,x) S 5 0 ,

0<j<£ bj Qs,x (£s¿+1 ,x) Qs,x (^Sq ,x ) «S - S0,

ainsi 0<j<€ aj 0<j<l Bj On en déduit

0<j<£ (n + — n +)aj

o<j<£ (nSj+1 -ns+)bj,

ou, ce qui revient au même,

0 0<j<l

(bj - a 7) nae+1 - ns+ nae+1 - ns+ 0<j<i

a3

ns3 +

i - ris+

nae+1 - ns+

On en déduit

0<j<l (b3 -a3)mj

0<j<l (bj - aj) rrij — n

ns ... — n + nae+1 - ns+

n 0<j<£

a3

nSj+1 - ns+

nae+1 - ns+

D'après les choix de rrij et n (cf. lemme V.6.9), le premier terme à droite est minoré par

0<j<l b3 - aj rrij — n

SJ + 1 Sç, nae+1 - ns+ 0<j<l

r 2r2

r 2

2r 2

1 2

et d'après le lemme V.6.8, le deuxième terme à droite est minoré par

—n 0<j<£

aj r2

Q n

r 4

q

ASTÉRISQUE 313

Le terme à droite est ainsi minoré par —\— nr4/q > — 1 , car q est supposé assez grand par rapport à r. Par conséquent,

0<j<£ (bj - a3)m3 0.

En remplaçant a3 = gSjX(£SjA - Qs,x(£sj+1,x)' bj = gs,x(£sj+1A ~ QsA£sjix)> Pj =

rrij — rn3-\ dans la formule, on obtient l'inégalité voulue

l<j<£

mi(QsìX(£™+lìx) QsA^,x))

mi(QsìX(£™+lìx) + QsA£™+1,x)) mi(QsìX(£™+lìx) + QsA£™+1,x))

s(mt - m0) s l<j<£

Bj,

ce qui achève la démonstration de la proposition V.6.10.

Proposition V.6.11. — Soit Ni un niveau M-régulier et soit jo un entier, avec 1 < jo < ^ et Pjo > 0· Pour tout point x G Ni, et pour tout entier s, avec 1 < s < r, on a alors une inégalité plus forte

l<j<£ P3\gSj0A£sM

3,x) QaJoA£™x)) sjo 1<3<£

Pj - 1 .

Démonstration. — La proposition est évidente si vrs. x = 0. On peut donc supposer

que v's. x 0. La proposition V.6.6 fournit la formule

Qs30AF) dim F / F £M

SjQ ,x Alors : i) Pour 0 < j < jo, on a QsJQA£

Sj,x) = SJO ~ sj e t QsJ0A£^x)) ^ d i m ^ , x = sj^ ce qui implique

e*j0A£™x) + esj0A£™x) ^ SJO-

ii) Pour j = jo, on a gSj0A£™A = 0 ; comme {£^Y n£^Q * 0, S^nS^ ± 0

et donc QsJoA£™x)) ^ dìm£™0ìx/£™0>* n£sj0,x < «io ~ c e implique

QsjQA£s30A + °sj0,x(£s^0A sJo - 1-

iii) Pour j 0 < j < £, on a gSjQiX(£^x) = 0 et gSjQyX(£^x)) < s3o, ce qui implique

QsiQA£^x) + 0sjoA£™x) sJo ' Mettons ces inégalités ensemble pour obtenir l'inégalité voulue

1<3<£ PAQS^A^A + ^ A ^ A ) Sj0

l<j<£ Pj - PJO SJo

1<J<£ : PJ - 1 ,

ce qui achève la preuve de la proposition V.6.11.

V . 7 . Étape c — F i n de la preuve

V.7 .1 . On commence par la définition suivante.

Définition V.7.1. — Soient F i , . . . , Fa et Gi,..., Gb des sous-fibrés vectoriels maximaux de £M. L'écriture

F1 +… + Fa Gi + · · · + Gb + C signifiera :

i) deg(^L) + --.deg(:F a) deg(0i) + .-- + deg(e6) + C , ii) rg (^ i ) + --- + rg(^ a ) rg(0i) + --- + rg(&), i i i) en tout niveau Ni sauf un ensemble dont le cardinal est majoré en fonction

de r et de po, on a, pour tout entier 1 < s < r et pour tout point x E Ni, Qs,x(3~l,x) "h * * " H- Qs,x(J~a,x) Qs,x(Gl,x) + * ' ' + Qs,x(Gb,x)-

Lemme V.7.2. — Soient T et G deux sous-fibrés maximaux de £M tels que les entiers deg.77 — (vgF/^d et deg<5 — (vgG/r)d soient minorés en fonction de r et p$. On a alors l'écriture

F + G^FvG + FnG, où J 7 \/ G désigne la somme maximalisée de T et G dans £M.

Démonstration. — I l est évident que l'on a rg T + rg G = rgGF V G) + rg(F H G),

deg T + deg G deg(.Fv£)+deg(.Fn£). Comme le polygone canonique de Harder-Narasimhan de 6M est majoré par p,

donc par p0 (cf. lemme V.5.1), l'hypothèse du lemme entraîne qu'en tout point x du niveau N sauf un ensemble dont le cardinal est majoré en fonction de r et po, on a les relations suivantes dans £ ^ :

Fx + Gx (FV G)x,xFxOGx (FC\G)X. En un tel point, la proposition V.5.10 montre

Qs,x(fx) -h Qs,x(Gx) Qs^i^x + Gx) + ^s,x((^ rn G)x) Qs,x (( v G)x) + Qs,x (( n G)x),

pour tout entier 1 < s < r. La preuve est donc terminée.

Proposition V.7.3. — On conserve les notations de la section précédente. On a alors l'écriture

l<j<£ f33£M

l<j<£

Bj(EM

sj + Esj

M + 1).

Démonstration. — On vérifie les conditions de la définition V.7.1. La condition i) résulte de l'inégalité deg £™-fdeg £ s — deg £ ' S ' M — 1+deg ^ > d— 1. La condition ii) est évidente. Finalement, iii) résulte de la remarque V.5.4 et la proposition V.6.10.

ASTÉRISQUE 313

V.7. ÉTAPE C - FIN DE LA PREUVE 99

Revenons maintenant à la preuve de la proposition V.4.1. Observons que tous les fibres vectoriels {£3 }i<j<£ et {£^}i<j<£ vérifient l'hypothèse du lemme V.7.2. En effet, pour tout entier 1 < j < r ,

degf^ + degf™ d-1.

Puisque le polygone canonique de Harder-Narasimhan de £ M est majoré par p, donc par po, on en déduit que deg£^ — (rg£^/r)d et deg£s. — (?g£Sj /r)d s o n ^ minorés en fonction de r et de po-

Partant de la famille constituée de tous les fibres vectoriels {£s. }i<j<£ (où £ s . est compté (3j fois) et {£^f}i<j<£ ( o u e s t compté f3j fois), on remplace deux fibres vectoriels par leur somme maximalisée et leur intersection autant de fois que nécessaire pour obtenir une filtration croissante T\ Ç · · · C Tk de sous-fibrés maximaux de £ M , avec k = 2 ^ ] 1 < j < £ pj.

D'après le lemme V.7.2 et la proposition V.7.3, on a l'écriture

l<j<£ pj£M

l<j<£ Bj(EM

sj + Esj

M + 1)

1<j<k Fj

1<j<l fa.

On notera F3- le sous-espace des sections globales de T3- (1 < j < k). On applique la condition de semistabilité de la proposition IV. 5.3 à la filtration F\ Ç · · · C F g avec des pondérations valant 1 partout ; on obtient ainsi

l<j<k deg F, h — e

r 1<j<k rg Fj

£ m l<i<m

max l<5<r xeNi

l<j<k Ps,x

(Fj) + Ms S e 2<t<r

OLtMt

t

Comme h = d H- r ( l — g) et dim Fj > degFj + (1 — g) r g ^ - , on en déduit

(*) l<j<k

deg d — e r 1<j<k

rg Fj

6 m Ki<m

max l<s<r xeNi

l<j<k P^,x {F3) + Ms

S £ 2<t<r

OLtMt

t

L'écriture J2KJ<£ Pj£M > J2i<j<k^j + J2i<j<iPj implique une minoration du membre à gauche

l<j<£ pj(d-l)

1<j<k deg T3.

D'autre part, l'écriture Y^1<3<PJ{£^ + > E I < J < / J implique qu'en tout niveau Ni sauf un ensemble dont le cardinal est majoré en fonction de r et po, on a

l<j<£ Pj(gs,x{£™x) QsA^A)

1<j<k gs,x {J~j,x) t

pour tout point x G et pour tout entier 1 < s < r.

Pour un tel point x qui est de plus dans un niveau M-régulier, on sait (cf. proposition V.6.10) que

1<j<k PSAFJ)

1<j<k Qs,x j,x ) (cf. proposition V.5.8)

i<j<e

Bj mi(QsìX(£™+lìx) + QsA£™+1,x))

Ps s 1<3<£ fij si s SJQ '

P'io Sj0 1<j<l Bj - 1 si s sjo -Pour un point x quelconque, on a toujours

1<j<k psAFj) sk = 2s

l<j<£ (33.

On choisit maintenant Ms = spi — p s , 1 < s < r. Compte tenu de ce choix et des inégalité ci-dessus, l'inégalité (*) entraîne que

l<j<£ Pj(d-l) d — e

r 1<3<£ (53r e max

l<s<r

Ps + Ms

s e 2<t<r

OLtMt

t O(p0,r,s)

m

l<j<£ (33d Oís, ^

S3o O(po,r,e)

m

ce qui implique OÎs e

S3o l<j<£ ?3

O(p0,r,e) m

O(r) O(p0,r,e) m

Comme aSjoe/sj0 = —q(s3o + 1) + 2q(s3o) — q(s3o — 1) est assez grand par rapport à r et que m est très grand par rapport à e, po et r , on obtient ainsi une contradiction. La preuve de la proposition V.4.1 est donc achevée.

V . 8 . Étape d

D'après l'étape c, le réseau M est un ^-réseau itéré. On donne dans cette section une preuve de la proposition suivante :

Proposition V.8A. — Pour tout entier 1 < s < r — 1, on a les égalités v(ls) = v(l's).

Démonstration. — Comme M est un (^-réseau itéré, en tout niveau M-régulier Ni, on sait (cf. corollaire V.6.2) que

s deg(A^i, ivJ

ni -f · · · + ns

q-1 v i e ? - 1 . . . l ' s - 1 V I < s < r.

ASTÉRISQUE 313

V.8. ÉTAPE D 101

Supposons qu'il existe un indice 1 < s < r tel que

« « • - ' • • • ^ - l / T 1 " - * . - ! ) S

min l<t<r

^ - W î " 1 - ' * - ! ) t

D'après la remarque V.3.2, la réduction de (vFSX/-KsMX)xeNi est nulle si Ni est un

niveau M-régulier, ce qui implique que, pour tout sous-espace vectoriel non nul F de KH et pour tout a; G A^, on a

Ps,x(F) = -oo. Soit F un sous-espace vectoriel arbitraire de nh ; on applique à .F la proposition IV.5.3 pour obtenir

dim F h — e r

Po(F) € m l<i<m

max l<t<r xeNi

Pt,x(F) + Mt

t e 2<t<r

OLtMt

t

On distingue deux cas : s — 1 et s > 1. > s = 1. — On choisit un entier T assez négatif et on pose Mt = tT — t, pour tout

entier 2 < t < r. Comme pt,x(F) < t , on a

max l<t<r xeNi

Pt,x(F) + Mt

t T si le niveau Ni est M-régulier 1 sinon,

d'où

dim F h — e r

MF) e m l<i<m

max l<t<r xeNi

Pt,n(F) + Mt

t e 2<t<r

OLtMt

t

h — e r

Po (F) e OL\T O(po,r)

m ( T - l )

2<t<r Oit

On obtient une contradiction en faisant tendre T vers — oo car

a i O(po,r) m

1 e

q{2) + 2q{l) - q(0) O(P0,0 m

0

puisque m est très grand par rapport à e, po et r (cf. section IV. 1). > s > 1. — On choisit un entier T assez positif, on pose M 2 = · · · = M 5 _ i =

M 5 + i = · · · = Mr = 0 et Ms = sT. Alors

max l<t<r xeNi

pt,x(F) + Mt

t 1 si le niveau Ni est M-régulier, T + 1 sinon.

Donc

dim F h — e r

Po(F) e m l<i<m

max l<t<r xeNi

Pt,x(F) + Mt

t £ 2<t<r

OLtMt

t

h — e r

Po(F) £ 1 O(po,r) rn

as

O(po,r) m

T

On obtient une contradiction en faisant tendre T vers +00 car as — O(po, r)/m > 0. En effet, si s ^ r , on utilise la formule

as

O(po,r) m

s e

-q(s + l) + 2q(s)-q(s-l) O(po,r) m

0

puisque m est très grand par rapport à e, p0 et r (cf. section IV. 1). Si s = r , on utilise la formule

ar

O(po,r) m

1 l<s<r—l

as

O ( p 0 , r ) m

1 l<s<r - l

s E

q(s + 1) + 2ç(s) - q(s - 1) O(po,r) m

puisque e est très grand par rapport à r et po, et m est très grand par rapport à £, Po et r (cf. section IV. 1).

Par conséquent, pour tout entier 1 < s < r , on doit avoir v(e'1

s-1---e'1/er1--.es_1) s min

l<t<r

v(e,ít-1---et-jt\-í---et-i)

t Pour s = 1, on a ^ ( / 1

S ~ 1 · · · ^ - î / ^ ï " 1 · · • ^ 0, donc, pour tout 1 < s < r , on obtient

v(e'1s-1---e'1/er1--.es_1)

S 0.

Cela implique v(£s) = v ( ^ ) , pour tout entier 1 < s < r — 1.

ASTÉRISQUE 313

C H A P I T R E V I

N O U V E L L E S C O M P A C T I F I C A T I O N S D E S C H A M P S D E C H T O U C A S D E D R I N F E L D

Dans ce chapitre, on donne plusieurs examples des polygones rationnels q qui vérifient l'hypothèse IV.4.3 et en déduit de nouvelles compactifications des champs de chtoucas de Drinfeld.

Fixons un entier d et un polygone p : [0, r] —• R qui est assez convexe par rapport à X et r et entier par rapport à d. On suppose que tous les polygones rationnels q considérés dans ce chapitre vérifient p{s) < q{s) < p(s) + l, pour tout entier 0 < s < r.

V I . 1. Compactifications de Lafforgue On considère un polygone rationnel q qui vérifient la condition suivante : pour tout

entier 0 < s < r , la suite q(s) — p(s) est strictement décroissante. On va montrer que q vérife l'hypothèse IV.4.3 et la compactification Chtr,d,q n'est rien d'autres que la compactification Chtr,d,p définie par Lafforgue dans la section 1.3.5.

Théorème VI. 1.1. — Soit £ un chtouca dégénéré sur Spec k de rang r, de degré d et de type r. Alors les conditions suivantes sont équivalentes :

a) Tout sous-fibré vectoriel non trivial J 7 de S vérifie Vinégalité

degj7 rgJF

r d

sEr q(s + r g ^ * s - / j r s ) - q(s )

b) Tout sous-fibré vectoriel non trivial J 7 de £ vérifie l'inégalité stricte

deg rg T r

d sEr

q(s + r g J F s - / j F s ) - q(s )

c) Le chtouca dégénéré £ est en fait un chtouca itéré et appartient à Chtr,d,p, ce qui veut dire :

i) Pour tout entier s, avec s G r, on a les égalités

deg£s : rg Es

r d + p(s), deg £ s

rg Es

r d-p(s) - 1.

104 CHAPITRE VI. NOUVELLES COMPACTIFICATIONS

En particulier, > pour tout entier s, avec s G r et s < r, on a £'s = £'J, > pour tout entier s, avec s E r, l'homomorphisme £'s —> £'/£ est surjectif.

ii) Pour tout entier s, avec s G r, on a £°_ - f £s = é^. ii i ) Pour tout sous-fibré vectoriel T de £ri, on a l'inégalité

deg T xgT r

d + p(rg T).

iv) Pour tout entier s, avec s G r et s > r± et pour tout sous-fibré vectoriel J 7 non nul de £s- n £°, on a l'inégalité

degT vgj7

r d-\-p(s -^rgjr)—p(s ) — 1.

Démonstration. — On va montrer que b) a) => c) =>· b). I l est évident que b) a). Montrons maintenant que a) => c). On va appliquer la condition a) aux différents

sous-fibrés vectoriels de £ . > On applique a) à £ s ; on a alors

deg£ s rg£ s

r ter > ( * - + r g (£7 n f t _ ) / ( £ : - n £ ) ) - q(t-))

rg£> r

d q(s) (car <?(0) = 0) rg Es

r -p(s) 4- <?(s) - p(s).

Comme (rg £s/r)d -f- est un entier et la différence g(s) — p(s) est strictement comprise entre 0 et 1, on en déduit

deg£s rg£*

r d + p(s).

t> On applique a) à £ s ; on a alors

deg£ s rg£*

r d

xEr + rg(£s H H Et)) - q(t~)

rg ^ r

d - q(s) (car q(r) = 0)

rg£* r

- - 1 + p(s) + 1 - ç(s).

Comme (rg£s/r)d — p(s) — 1 est un entier et la différence q(s) — p(s) est strictement comprise entre 0 et 1, on en déduit

deg£s

rg£ s

r d-p(s) - 1.

ASTÉRISQUE 313

VI.1. COMPACTIFICATIONS DE LAFFORGUE 105

On a donc deg£s d — deg S s — 1 ^r^d - f p(s), ce qui implique

deg£ s

rg Es

r d + p(s), deg£s

rg Es

r d-p(s) - 1 .

Comme deg £ s + deg £s = d — 1 , £ est un chtouca itéré (cf. [9, prop. 8, § 2 ] ) . Reste à prouver qu'il appartient à C h t r , d , p . Soit s un entier, avec s G r et r\ < s < r et soit J 7

un sous-fibré vectoriel non trivial de £s- D £° ; observons que

rg Ft

0 si t G r et t > s, rgj7 si t G r et t < s .

E> On applique a) à J 7 ; on a alors

deg T rgj7

r d

ter q(t +rgTt-ITt

q(t-)

r g F r

d + q(s -hrgj7) - q(s ) rgJF

r d-r£>(s -r-rgJT)— p(s )

g(s + r g F ) - p ( s + rgJF)) - ( q ( s - ) - p(s )

Comme (rg J7/r)d+p(s ~\-rgJ7)—p(s ) est un entier, et la suite q{t)—p{i) ( 1 < t < r) est strictement décroissante, on en déduit

deg T TgJ7

r d + p(s - h r g F ) - p ( s ) - 1 .

Reste à prouver que tout sous-fibré vectoriel non trivial J 7 de £ r i vérifie

deg rgJ7

r d + p(rg J 7 ) .

Observons

rg Ft

0 si t G r et t > r i , rgjF si t = 0.

o On applique a) à J 7 \ on a alors

deg F rgjF r tEr

q(t- + rg Ft-/Ft) - q(t-))

r g F r

ci q(rg F)

r g F r

d + p(rgjF) + ç(rgF) - p ( r g F ) .

Comme (rg J7/r)d + p ( rgF) est un entier et la différence g(rgF) — p^gj7) est strictement comprise entre 0 et 1 , on en déduit

deg T rgJ7

r d + p(rg J 7 ) .

Reste à montrer que c) =>· b). On va utiliser les notations et les résultats des sections 1.2.3 et 1.3. On commence par montrer les lemmes suivants.

Lemme VL1.2. — Soit s un entier, avec s E r et s > r± = 0 + . Alors la filtration de Harder-Narasimhan de £s- est un raffinement de la filtration

0Ç£S- n£° <Z£S-.

En particulier, soit T un sous-fibré vectoriel non nul de £s-, de rang

rgJF rg(£ s - n f f ) . On a alors la majoration

deg T rgJF r

d + p(s + r g ^ 7 ) — p(s ) — 1.

Démonstration du lemme VI. 1.2. — Prouvons ce lemme par la récurrence descendante. Pour s = r , la première assertion est évidente. La deuxième assertion résulte du fait que £ appartient à Chtr,d,p (cf. condition c) iii) appliquée à s = r).

Supposons que l'on a montré ce lemme pour s + G r. On va montrer ce lemme pour s E r. Pour la première assertion, d'après la proposition 1.2.9, i l suffit de vérifier que

μ+(ε8-/εβ- η ε^) µεβ- η ε^

Rappelons (cf. section L3.4) que, pour s E r et s > r\ = 0 + , on a un chtouca à gauche Es = (£s-/£s £s- Pi £f (£s-/£s)a). Comme £ appartient à C h t r , d ' p , tout sous-fibré non nul J 7 de £s~ D £° vérifie

deg rg J 7

r d + p(s -\-vgJ7)-p(s ) — 1

avec égalité si J 7 = £s~ D £f ; comme p est convexe, on a l'estimation

μ-{ε,- η εξ) d r

p(s) -p(s - 1).

Le fibre vectoriel £ s se plonge dans £S- /£3- n £° et le quotient est de longueur 1 ; cela entraîne que JJL^(£s-/£s- C\£°) < p,+ (£s) L'hypothèse de récurrence implique

µ+ (Es) + 1 d r

+ p(s + 1) -p(s),

donc

μ+(ε3-/ε3- η f f ) d r

•p(s + 1) -p(s).

Puisque le polygone p est assez convexe en fonction de X et de r , on obtient

μ+(ε3-/εβ- η ε:)

d r

p(s + 1) -p(s)

d r

•p(s) -p(s - 1) //-(£,- nsas).

ASTÉRISQUE 313

VI. 1. COMPACTIFICATIONS DE LAFFORGUE 107

D'après la proposition 1.2.9, la filtration de Harder-Narasimhan de £ s est un raffinement de la filtration 0 Ç, £s- D £° Ç £s-. La deuxième assertion résulte de la première et du fait que £ appartient à Chtr,d,p (cf. condition c).

La preuve du lemme V I . 1.2 est ainsi achevée. Lemme VL1.3. — Soit s un entier, avec s E r et s > r\ = 0 + et soit F un sous-fibré vectoriel de £, dont F s = 0 et Ts~ ^ 0. On a alors

d e g F s - r g F s -r

d + p(s + r g F s - ) p(s-)-l.

Démonstration du lemme VI. 1.3. — Puisque F s - est un sous-fibré de £ s - et que l'on a F s - H £s — J - s = 0, on en déduit

r g F 5 - rg£s~/£s rg(£s-n£ï).

Reste à appliquer le lemme V I . 1.2 à Ts- pour obtenir l'inégalité voulue, c.q.f.d. Revenons à la preuve du fait que c) => b). On considère le quotient Tt-/Tt ' i) Si t = 0 + , ce quotient est un sous-fibré de £ t - / £ t = on a alors

d e g F t - / F * rg F t - / F t

r d + p ( r g F i - / ^ ) + l -

ii) Si r i = 0 + < t < r , ce quotient est un sous-fibré de £t-/£t = Et ; d'après la proposition 1.3.10, on a l'inégalité

deg F t - / F t

xgTt-lTt r

d + p(t- + r g F t - / F * ) - P ( t ~ ) .

iii) Si t = r , ce quotient est un sous-fibré de £t-/£t = E[\ d'après la proposition 1.3.10, et sauf si Tt- = Ft = 0, on a l'inégalité

deg Ft-/Ft xgTt-jTt

r d + p{t~ +TzFt-/Tt)-p(t-) - 1.

Posons ô(t) q(t)-p(t), 0 < t < r.

Les nombres {S(t)}o<t<r sont compris entre 0 et 1 ; on a £(0) = S(r) = 0 et la suite {S(t)}i<t<r est strictement décroissante.

Supposons que F s = 0 ^ F s - pour un certain entier s, avec s G r et r\ = 0+ < s. Si r g F / F r i 7 0, alors :

deg F ter t<s

deg F * - / F * deg F / F r i

ter rx<t<s

d e g F t - / F t + d e g F s -

rg F / F r i

r d p ( r g F / F r i ) + l

ter r!<t<s

rg F f - / F t

r d + p{t~ + r g F t - / F t ) - p { t ~ )

rg Fs-

r d + p(s + rgFs~) - p(s ) - l

(d'après la discussion ci-dessus et le lemme V I . 1.3) rg F

r d

t£r,t<s p(t- + rg F t - / F t ) -p(t~)

rzF r

d ter

q(t- +TzTt-/Ft)-q(t-)\

ter,t<s S(t~ + vgTt-/Ft • s(t-)

re F r

d tEr

[q(t- + rgFt-/Ft) -q(t~)

car

ter t<s

ô(t~ +vgFt-/ft)-ô(t-) ter

t<s~

S(t~ + rgft-/Ft) - S(t)) + S(s~ + r g j r _

est une somme des termes positifs ou nuls, avec au moins un terme strictement positif : pour les termes dans la somme, c'est grâce à l'hypothèse que rg F/Fri ^ 0 et que S(i) est décroissante pour 1 0 pour 0 < i < r ; de plus, au moins un terme est strictement positif car le sous-fibré vectoriel F n'est pas trivial .

Si rgF/Fri = 0, on a alors

deg F ter t<s

deg Ft- /Ft ter

r!<t<s

deg Ft-/Ft + degFs-

ter r±<t<s

vgFt-/Ft

r d + p(t~ +TgFt-/Ft) -p(t~)

rgFs-r

d + p(s +rgFs-) -p(s ) - l (d'après la discussion ci-dessus et le lemme V I . 1.3)

rgF r

d ter

n <t<s

[p(t~ +rgFt-/Ft) - p ( t - ) - 1

rgF r

d ter

q(t~ +rgft-/Ft) -q(t~))

ter r!<t<s

6{t~ +vgFt-/Ft)-6{t-) - 1

rgF r

d ter

q(t~ + r g J S - I F t ) -q(t~)

ASTÉRISQUE 313

VI.2. COMPACTIFICATIONS DUALES 109

car

ter ri t s

6 t' rg Ft Ft Ô t~ 1

ter n <t<s

t~ rg Ft Ft S [t 6 's rg Fs 1 S Ti

est une somme des termes positifs ou nuls, dont le dernier terme es strictement positif : pour les termes dans la somme, c'est grâce à l'hypothèse que 5(i) est décroissante pour 1 0 pour 0 < i < r ; et pour le dernier terme, c'est parce que ô(i) < 1 pour 0 < i < r.

Reste à considérer le cas Tri — 0. Il nous faut vérifier degT < (rg JF/r)d + q(rg JF), ce qui est évident car tout sous-fibré vectoriel T de £ vérifie

degJF rgJF

r d V rgjF rg T

r d q rg F

La preuve du théorème VI. 1.1 est terminée.

Grâce au théorème VI. 1.1 et au corollaire IV.4.4, on retrouve le théorème de Laf-forgue :

Corollaire VIA A. — Supposons que q est assez grand par rapport à r. Alors le mor-

phisme Cht r ' d ' p —•> X x X est propre.

VI.2. Compactifîcations duales

VI.2.1. On étudie une autre classe de polygones rationnels q. On considère un polygone rationnel q vérifie la condition suivante : pour tout entier 0 < s < r, la suite q (s) — p(s) est strictement croissante. On laisse au lecteur de vérifier l'analogue du théorème VI. 1.1.

Théorème VI.2.1. — Soit E E' E" E° un chtouca dégénéré géométrique de

type r. Les conditions suivantes sont équivalentes : a) Pour tout sous-fibré vectoriel non trivial J7 de £7 on a Vinégalité

deg F rgJT

r d

ser Q s rg Fs Fs Q 's"

b) Pour tout sous-fibré vectoriel non trivial de E, on a l'inégalité

deg T rgJF r

d

ser

q s •rg^s- Fs Q s

c) On a :

degJ7 rg F r d p(jg T) pour tout sous-fibré vectoriel JF de £ :

pour tout s G r, les égalités

deg £s

rg£ s

r d p(s) deg £s

rg£ s

r d-p(s) - 1

en particulier, si s E r et s < r, on a £'Q = £'J, et pour tout s E r, Vhomomor-phisme £^ —> £'/£ est surjectif ;

D> pour tout s E r, le fibre vectoriel £°_ ® £s est maximal dans £ ; > pour tout s E r et pour tout sous-fibré vectoriel £°_ ® £s Ç T Ç. £, on a les

inégalités deg .F < (rg F/r)d 4- p^gT — r - f s) — p(s) — 1.

V I . 2 . 2 . Le théorème V I . 1.1 et le corollaire IV.4.4 impliquent

Théorème VL2.2. — Si q assez grand par rapport à r, alors le champ Cht r ' ,Q est propre au-dessus de X x X. On Vappelle la compactification duale et on le note aussi Chtr,dp

Remarque VL2.3. — a) On sait (cf. [8, chap. I . ld] et [9]) que, sur les champs de chtoucas dégénérés de rang r , i l y a un opérateur de passage aux duaux qui transforme un chtouca à droite en un chtouca à gauche et un chtouca à gauche en un chtouca à droite. Or la compactification introduite par Lafforgue n'est pas stable par cet opérateur dès que r > 2. Plus précisément, la condition que, pour tout s E r , la somme £° + assoit égale à £ n'est pas stable par dualité. La duale de cette condition est exactement la condition que, pour tout «s G r, le fibre £°L 4- £s soit maximal dans £. Donc la nouvelle compactification que l'on vient de définir est la compactification duale de celle de Lafforgue.

b) Dans le cas r = 2, la compactification de Drinfeld est autoduale car les conditions précédentes ne paraissent pas.

V I . 2 . 3 . On peut donner une description des différentes strates de la compactification duale C h t J ^ e qui est semblable à celle des champs de chtoucas itérés dans la section 1.3.4.

Soit £ un chtouca dégénéré de type r = ( r i , r 2 , . . . , r^) dans C h t ^ ^ e ; à partir de ce chtouca itéré, on peut construire des vrais chtoucas (mais certains sont des chtoucas à gauche).

D'abord, pour tout entier s E r, avec s < r , on note Es £s/£s- O O

iEr i<s

r. E's (£a/£s e Eo

s- O O tEr i<s

I

On peut montrer que Es = (Es c—> Ef

s <—3 E°) est un chtouca à droite. En effet, le plongement Es <^-> Er

s est le composé

Es (£s/£s-) ® (g) iEr i<s

Ci ( i v o <8> (g) iEr i<s

Ci

(£s-/£s) <g> (g) iEr i<s

L+ E's (£°l£s © Eo

s ® (g)

i<s

cq. t

ASTÉRISQUE 313

VI.3. D'AUTRES COMPACTIFICATIONS 111

Le plongement E' E° est le plongement naturel Eo

s

V I I ε°Β-) O O iEr i<s

Ll (£a/£a O Eo

s ® (g) iEr i<s

Li

q E(s

Ces plongements définissent bien un chtouca à droite Es. De plus, on peut montrer que le pôle de Éri coïncide avec le pôle oo de £ et le pôle de És coïncide avec le zéro de son prédécesseur Es- .

Si s — r , on note Es = £/£r- et Efs — £"/£"_. Alors on montre que Es = (Es <^

E's c—• E ^ ) est un chtouca à gauche de rang r i , dont le zéro est le zéro 0 du chtouca

dégénéré £. En effet, le plongement E''/Er — £' /£ ' r _ = £ / £ r - est le plongement naturel. Le plongement £ " /£ "_ < -> £ a / '£*_ est le composé

E'' / E''r Er- £a εσ/ε^.

Ces plongements définissent bien un chtouca à gauche Eri. De plus, on peut montrer que le zéro du chtouca Ér coïncide avec le zéro du £.

V I . 3 . D'autres compactifications Dans cette section, on montre que, sous certaines conditions supplémentaires, le

polygone q vérifie l'hypothèse IV.4.3.

Proposition VI.3.1. — Soit q : [0, r] —• R un polygone rationnel qui vérifie la condition : pour toute famille r et pour tout {ds}ser tel que 0 < ds < s — s~ et 0 < ]Cser ds < le nombre

sEr S(s~ +ds) ~ ô(s~)

n'est pas un entier, où S(t) = q(t) — p(t) pour 0 < t < r. Alors ce polygone vérifie l'hypothèse IV.4.3.

Démonstration. — Soit J 7 un sous-fibré vectoriel non trivial de £ tel qu'on ait l ' in égalité

deg T r g F r

d s£.r

q(s + r g J F s - / F s ) - q(s )

L'hypothèse sur le polygone q implique que le nombre r g F

r d

sEr q(s -h r g F 5 - / F s ) - q(s ))

n'est pas un entier. On a donc une inégalité stricte

deg T r g F r

d sGr

q(s +rgTs-/Ts) - q(s )

Par conséquent, le polygone q vérifie l'hypothèse IV.4.3, c.q.f.d.


Cette proposition combinée au corollaire IV.4.4 nous permet de construire d'autres compactifications qui sont en quelque sorte des intermédiaires entre les compactifications de Lafforgue et les compactifications duales. Théorème VI.3A. — Sous les hypothèses précédentes et supposons que q est assez grand par rapport à ry alors le morphisme

C h t r ' ^ X x X est propre.

Remarque Vl.3.2. — D'après Dolgachev-Hu [2] et Thaddeus [20], l'espace des linéarisations possible est divisé en un nombre fini de chambres. A l'intérieur d'une chambre, l'ensemble des points semistables et l'ensemble des points stables sont égaux et le quotient ne change pas. Les chambres sont séparés par des murs. Dans le cas général, certains murs peuvent être de codimensions 0, (cf. [17]).

Dans notre cas, la propriété t/j(y) est semistable 4=> ip(y) est stable implique que l'ensemble des points semistables et l'ensemble des points stables sont égaux, autrement dit la linéarisation associée est dans une certaine chambre. Les murs sont contenus dans l'ensemble des polygones q qui ne vérifient pas les deux conditions du théorème VI.3.1. En particulier, les murs sont tous de codimensions positives.

ASTÉRISQUE 313

C H A P I T R E V I I

C O M P A C T I F I C A T I O N S D E S C H A M P S D E C H T O U C A S À M O D I F I C A T I O N S M U L T I P L E S

On étend notre méthode pour trouver des compactifications des champs de chtoucas à modifications multiples considérés par Ngo Bao Chau [14] et Yakov Varshavsky [22].

V I L I . Chtoucas à modifications multiples On rappelle la notion de chtouca à modifications multiples. On utilise les notations

dans l'article de Ngo Bao Chau [14]. On renvoie le lecteur à [14] et [22] pour les démonstrations.

V I I . 1.1. Modifications des fibres vectoriels. Modifications itérées Définition VII.1.1. — Soit T un sous-schéma fermé fini de X et soient £', £' deux fibres vectoriels de rang r sur la courbe X ; une T-modification de £ dans £' est un isomorphisme entre les fibres vectoriels

p : EX-T E X - T '

Soit x un point géométrique dans T ; on note Ox le complété de Ox en x et Fx son corps des fractions. Étant donnée une modification

φ : 8χ_ψ °X-T entre deux fibres vectoriels £ et £ ' de rang r sur X: on en déduit un isomorphisme V V entre les fibres génériques de £ et de £ ' q u i à son tour induit un isomorphisme Vx V^. Le complété de £ en x définit un réseau dans Vx, celui de £ ' en x définit un réseau dans V£. Si l'on identifie Vx avec V^, d'après le théorème des divi seurs élémentaires, la position relative de ces deux réseaux est donnée par une suite croissante d'entiers

Yx (Ai > À2 > ··· > A R ) .

On pose irrv(x) = Xx.

114 CHAPITRE VII. CHTOUCAS À MODIFICATIONS MULTIPLES

On note Z+

r

(Ai , A2,. . . , A r ) G Z r Ai > A 2 > · · · > A r

On peut donc associer à toute T-modification £ x _ ^ £ ' x _ ^ u n e fonction

inv : \T\ Z+

r

x inv(x). Sur Z+ , on définit un ordre partiel : A < A' si et seulement si

Ai < A;,

A I + A 2 ^1 + 2?

Ai + A2 + * · · + A r _ i A'1 + A

2 + ..- + A;_

1,

Ai + A 2 + h A r A; + A2 + ... + A;.

Définition VIL1.2. — Etant donné un élément A G Z!j_, le champ Hecke^ associe à tout schéma S les données formées :

i) d'un points x de X à valeurs dans S, ii) deux fibres vectoriels £ et £' de rang r sur X x S, i i i) d'un isomorphisme cp : £\xxs_graphe(x) ~• £'|XxS-graPhe(x) ^ / gu'era tout point

géométrique s de S, la x (s)-modification induite vérifie l'inégalité inv(x(s)) < A.

Proposition VII. 1.3. — Le morphisme

Hecke^ X x Vec r

qui associe à (x, £, £', (p) le couple (x,£) est un morphisme représentable et projectif. En particulier, le champ Hecke^ est algébrique.

On aura besoin aussi des modifications itérées.

Définition VII.1.4. — Etant donnée une suite A = ( A 1 , . . . , A7 1) G (ZIj_) n , le champ Hecke^ associe à tout schéma S les données :

i) de n points x\, x<i,..., xn de X à valeurs dans S, ii) de (n + 1) fibres vectoriels £0, £1,..., £n de rang r sur X x S, iii) pour tout entier 1 < i < n, d'un isomorphisme

<Pi · £i-l |XxS-graphe(x¿) £i \XxS — graphe(cc¿)' tel qu'en tout point géométrique s de S, la X{(s)-modification induite vérifie l'inégalité inv(a^(s)) < A2.

On voit bien que ce champ est le produit fibre Hecke^ Hecke^ Xvecr Hecke^2 Xvecr * · * ><Vecr Hecke^ .

La proposition V I I . 1.3 implique alors

ASTÉRISQUE 313

VILI. CHTOUCAS À MODIFICATIONS MULTIPLES 115

Proposition VILI.5. — Le morphisme Hecke^ Xn x Vec r

qui associe à (xll..., xn, £ U 5 . . ., £ n , cpi) la donnée (#1, x2,. . ., Xn, £o) es~t u n morphisme représentable et projectif. En particulier, le champ Hecke^ est algébrique.

V I I . 1 . 2 . Chtoucas à modifications multiples. — On dit que À = (À 1 , . . . , À n ) G (Z+)n est admissible si si

n

i=l

r

j=1 Yj • 0.

Dans la suite, nous fixons une suite admissible À = (À 1 , . . . , À n ) G (ZIj_) n .

Définition VILI.6. — Le champ Chtrx associe à tout schéma S les données :

i) de n points X i , x 2 , . .. ,xn de X à valeurs dans S, ii) de (n + 1) fibres vectoriels £0, £1?..., £n de rang r sur X x S, iii) pour tout entier 1 tel qu'en tout point géométrique s de S, la Xi (s)-modification induite vérifie l'inégalité inv(xi(s)) < À%

iv) d'un isomorphisme ( Idx x Frobs)*^ = ££ —> £n-

Ce champ s'inscrit dans un diagramme cartésien de champs : Cht^ Vec r

Hecke^ Vec r x Vec r, dont les morphismes horizontaux sont

,..., xn, £Q , . . . , £N, £Q > £N ) £o7 (jX\ , . . . , Xn, £Q , . . . , £N ) (£Q, £N),

et les morphismes verticaux sont {x\, . . . , XN, £Q^TT,, £Q > £n) [X\ , . . . , Xn, £o5 · · · -> £n) 5 E0 (£ 0 , )· On montre que le champ Cht^ de chtoucas à modifications multiples est algébrique

au sens de Deligne-Mumford.

Définition VIL1.7. — Le morphisme naturel Chtrx —» Xn est appelé morphisme ca

ractéristique.

Si l'on note p, = (1, 0 , . . . , 0) et fiy = (0, 0 , . . . , —1), alors le champ Cht^^v) est le champ Cht r de chtoucas de Drinfeld considéré par Drinfeld et Lafforgue (cf. chap. I ) .

Soit d un entier ; on notera Cht^' d le sous-champ classifiant des chtoucas à modifications multiples À de rang r et de degré d, c'est-à-dire deg £Q — d.

V I I . 1.3. Structures de niveau. Troncature Définition VII.1.8. — Étant donné un sous-schéma fermé fini N de X, une structure de niveau N sur un chtouca E de rang r sur un schéma S , dont les points associés xi,X2, - -. ,xn évitent N consiste en un isomorphisme

U : £O\NXS ^NxS qui fait commuter le diagramme

£o\NxS £\ \NxS £n\NxS £Q \NXS

u uo

^NxS ^NxS'

On introduit les conditions de troncature grâce au polygone canonique de Harder-Narasimhan qui généralisent celles des champs de chtoucas de Drinfeld (cf. section 1.2.4).

Proposition VILL9. — Étant donné un polygone p : [ 0 , r ] —• M assez convexe en fonction de la courbe X, de r, de n et de X, il existe dans le champ Cht^' d un unique sous-champ ouvert Cht^' d ' p tel qu'un point géométrique E appartienne à cet ouvert si et seulement si le polygone canonique de Harder-Narasimhan du fibre vectoriel sous-jacent EQ soit majoré par p.

Le champ Chtr^d'p est de type fini, séparé mais il n'est pas propre. De plus, Chtr^d

est la réunion filtrante des ouverts Chtr^d,p.

V I I . 2 . Chtoucas dégénérés à modifications multiples V I I . 2 . 1 . Définition Définition VIL2A. — Le champ ChtDeg^ de chtoucas dégénérés à modifications multiples associe à tout schéma S les données :

i) de n points x\, X2,... , xn de X à valeurs dans S , ii) de (n + 1) fibres vectoriels £Q, £\,..., E N de rang r sur X x S , iii) pour tout entier 1 < i < n, d'un isomorphisme

Vi '· £i-l \XxS-gr&phe(Xi) £%\X X S — graphe(xi)5

tel qu'en tout point géométrique s de S , la Xi (s)-modification induite vérifie l'inégalité iirv(xi(s)) < À2,

iv) d'un pseudo-homomorphisme complet EQ => £n de type (Hi, O(q-51) l<i<r-l> autre

ment dit une famille d'homomorphismes

us : Λ ίο <g> (g) l<i<s

£<8>q(s — i) A£n 0 (g) l<i<s

f>®(s — i) 1 < s < r,

ASTÉRISQUE 313

VII.2. CHTOUCAS DÉGÉNÉRÉS À MODIFICATIONS MULTIPLES 117

OU us : Λ ίο

(8) (g) l<i<s

r®(g-l)(s-¿) f\£n, 1 < s < r,

vérifiant les deux conditions suivantes : o Pour un {et donc pour tout) choix de trivialisations de £Q , £n et des Ci

localement sur S, la famille ( ^ i , . . . , ur, 1,.. . , lr-1q appartient au schéma des

pseudo-homomorphismes complets fl (cf. section 1.3.1). > Génériquement au-dessus de tout point géométrique de S, chaque us qui

peut se voir sous la forme

us : f\£n, (8) <g) l<i<s

f<8>(s — i) f\£n, ® (g) l<i<s

r®(g-l) 1 < s < r,

n'est pas nilpotent.

On a la décomposition ChtDeg^

dez ChtDeg£ d,

où le champ ChtDeg^' classifie les chtoucas dégénérés à modifications multiples de degré d, autrement dit deg £o = d.

Pour toute famille r , on dispose aussi de la notion de chtouca dégénéré à modifications multiples de type r. On notera ChtDeg^' r le sous-champ classifiant les chtoucas dégénérés à modifications multiples de rang r , de degré d et de type r.

V I I . 2 . 2 . Strates. Dégénérateurs. — On conserve les notations de la section précédente. Soit £un point géométrique de ChtDeg^'d de type r = ( r i , r 2 , . . . , r^) . Comme tous les morphismes us, avec 1 < s < r , ne sont pas nilpotent s génériquement, ils ne s'annulent pas génériquement. I l existe donc un ouvert non vide U de X tel qu'en tout point géométrique de U1 tous les homomorphismes us, avec 1 < s < r , ne s'annulent pas. Cela implique que la restriction du pseudo-homomorphisme complet £Q £N

à U est un homomorphisme complet. On dispose : > d'une filtration décroissante £Q = £Q 2 ' ' ' 2 £o,s 2 * * ' 2 0 P a r des sous-fibrés

vectoriels maximaux de £Q de corang r i , r 2 , . . ., r^, t> d'une filtration croissante 0 Ç. · · · Ç £n,s £ · · · Ç £n par des sous-fibrés vectoriels

maximaux de £ n de rang v\, r 2 , . . . , r&, > des isomorphismes sur l'ouvert U E0,s-/E0,s £n s/£n s - , s G r , où s est le

prédécesseur de s dans r (cf. section 1.1). Soit s un entier, avec 1 < s < r. La restriction de us sur l'ouvert U est alors le

composé de trois morphismes : l> la restriction à U de la surjection

Ms O ter t<s

det(£ 0,t-/£o,t) (8) s —s _ _ A £o,s-/£o,s+5

> l'isomorphisme sur U

<8> ter t<s

det(£0,t-/£o,t) 0 s —s _ _ Λ £Q,S-/£Q,S+

O

ter t<s

det(£ n ,t/£ n j t-) 0 A £n,s+ I£n,s~ 5

> la restriction à U de l'injection

O tEr t<5

det(£nit/£n,t-) 0 s —s ' A £n,s+ /£n,s~

A £n,s

Comme le morphisme w s : /\S £Q —• /\ s £ n est défini partout, le morphisme que l'on note ws,

<8> ter t<s

det(£o jt-/fo,t) 0 s —s _ _ 1 A £Q,S-/£Q,S+

O ter t<s

det(£nit/£n,t-) 0 s —s 1 A £n,s+/£n,s-

est alors un plongement partout bien défini. Puis le morphisme us est le composé de la surjection précédente, de ce plongement et de l'injection précédente.

La filtration de £ n et les modifications £i £¿+1 (0 < z < n — 1) induisent des filtrations

0Ç--Ç£i,sÇ-'Ç£i

de £ i par des sous-fibrés vectoriels maximaux de rang r\, r 2 , . . . , Tk · Comme génériquement, les morphismes us (1 < s < r ) ne sont jamais nilpotents,

£QS D £o,s = 0 pour tout entier s G r , donc £g' 0 £Q,S e s ^ un sous-fibré vectoriel de rang r de £Q = £Q .

Définition VIL2.2. — Un point x de X est un dégénérateur du chtouca dégénéré à modifications multiples £ si une des conditions suivantes est vérifiée :

a) il appartient au support de £O/£Q S 0 £o,s pour un certain s G r ; b) il appartient au support du plongement ws défini précédemment pour un certain

1 < s < r .

On prouve aisément une version analogue de la proposition 1.3.5 :

Proposition VIL2.3. — Soit £ un chtouca dégénéré à modifications multiples. Supposons que le polygone canonique de Harder-Narasimham du fibre vectoriel sous-jacent £ est majoré par un polygone pç>. Alors le nombre de dégénérateurs de £ est borné par une fonction Deg(À, n, r,po) qui ne dépend que de \, de n, de r et de po.

Définition VII.2.4. — Avec ces notations, si T est un sous-fibré vectoriel de £Q, pour tout entier s E r, on définit !FS le sous-fibré vectoriel Ta D £Q,S de £Q = £Q .

ASTÉRISQUE 313

VII.3. COMPACTIFICATION 119

V I I . 3 . Compactification des champs de chtoucas à modifications multiples Notre construction est calquée avec quelques petites adaptations de celles des cha

pitres précédents.

V I I . 3 . 1 . Notations. — Dans ce chapitre, on fixe un polygone po assez convexe en fonction de la courbe X et de r (cf. définition 1.2.4). On choisit un entier positif e très grand par rapport à po, X et r . Puis on choisit un entier positif w et m niveaux {Ni}i<i<m disjoints sans multiplicités de même longueur M tels que :

a) Tout point géométrique x de U 1 < i < m Ni est supporté par un point fermé de corps résiduel ¥q-w.

b) M — Deg(À, n, r, po)w est assez grand par rapport à e, po, X, r , n et À où la fonction Deg(À, n, r, p0) est définie dans la proposition VII.2.3.

c) m est assez grand par rapport à £, po, X , r , n et À. On notera

N = 1 <.i<m

Ni.

On choisit enfin un entier d très grand par rapport à m, M , w, e, po, X et r ; on pose h = d + (1 — g)r, où g est le genre de la courbe X.

V I I . 3 . 2 . Structures de niveau. — Rappelons qu'on a déjà défini les champs Cr

N et Cr,N dans la section II .2 . On note ChtDeg^'^ comme produit fibre de ChtDeg£ d X x » ( X - A 0 n et de Cr

N au-dessus de Cr>N :

C h t D e g ^ pr

ChtDeg£ d xXn(X - N)ri çr,N

Le morphisme C h t D e g ^ C h t D e g £ d X x - ( X - 7 V ) n

est représentable et fini ; le champ ChtDeg^ , c^ est muni d'une action du groupe fini GL r((9jv) et le quotient de l'espace grossier associé à ChtDeg^'^ par ce groupe fini est celui associé à ChtDeg^'d xXn(X — N)n.

V I I . 3 . 3 . On va construire le fourre-tout yx ; c'est le champ défini au-dessus de l'ouvert

C h t D e g ^ x V e c „ d V e c ^ 0 x A - i / G S r i A ^ " 1

de ChtDeg^' N x A R ~ 1 /GR~1^R 1 e n ajoutant un homomorphisme surjectif (défini mo

dulo l'action de G m ) Oh

X £o5

pour lequel le morphisme induit H°(X, Ox) —> H°(X, £0) est un isomorphisme. On voit bien que le champ 3^ e s t un schéma quasi-projectif et, qu'il est un PGL^ xGJ^" 1-torseur au-dessus du champ

C h t D e g ^ x V e c ^ Vec r ' d ' P o .

V I I . 3 . 4 . On reprend l'espace projectif Z de la section IV.2.2. On peut définir de la même manière un morphisme PGL^ x G ^ " 1 x G L r ( (9 AT)-èqui variant ip : y>\ —> Z qui généralise le morphisme ip : y —> Z du chapitre V I .

V I I . 3 . 5 . On rappelle aussi qu'étant donnée une suite de rationnels positifs a = (ai,Oi2, · . · ,oj r) de somme 1, on peut lui associer une PGL^ xG^ 1-linéarisation du fibre O(SQ) Kl (OO(E1)) de Z pour chaque couple d'entiers (eo,€i) (cf. section IV.3).

V I I . 3 . 6 . Variations des quotients. — On peut énoncer le théorème principal qui généralise le lemme IV.2.1 et le théorème IV.4.1.

Théorème VII.3.I. — a) Il existe un fibre inversible A4 sur y\ relativement ample par rapport à W : y\ —> Z ; il est muni d'une PGL^ xG7^1 -linéarisation.

b) Soient EQ, E\ deux nombres entiers positifs tels que

rs0

e h — e

r! mei.

Soit p un polygone assez convexe en fonction de X, r, n et \, entier par rapport à d et majoré par p0. On choisit un polygone rationnel q : [0, r] —> M tel que p(s) < q(s) < p(s) + 1 pour tout entier 0 < s < r. Soit a = (c*i, . . . , cvr) la suite de rationnels positifs de somme 1 associée à q; on considère la PGL^ xGJ^ - 1 -linéarisation associée à a du fibre 0(SQ) M (MO(si)) de Z.

Alors, pour un point géométrique y de y\, dont le chtouca dégénéré à modifications multiples sous-jacent £ = (£Q, . . . , £NY £Q => £N) est de type r, les conditions suivantes sont équivalentes :

i) ip(y) est semistable (resp. stable) ; ii) pour tout sous-fibré vectoriel non trivial T de £Q, on a l'inégalité

deg JF rgJT r

d sEr

q(s + r g Ts-lTs) - q(s ) (resp. <),

où les fibres Ts sont définis dans la définition VII. 2.4-c) Supposons que q est assez grand par rapport à r. Alors le morphisme

^-\zss) (X - N)n x Zss

est propre.

Démonstration. — Compte tenu de la proposition VII.2.3 et de la discussion dans la preuve du théorème VII .3 .1 , la preuve de ce théorème est similaire à celle du théorème IV.4.1.

ASTÉRISQUE 313

VII.3. COMPACTIFICATION 121

V I I . 3 . 7 . Différentes compactifications. — Sous certaines conditions supplémentaires sur le polygone g, on peut démontrer une version plus forte du théorème VII.3.1 b), c'est-à-dire ^(y) est semistable si et seulement si ip(y) est stable.

Théorème VII.3.2. — Soit p un polygone assez convexe en fonction de X, r, n et X, entier par rapport à d. On choisit un polygone rationnel q : [0, r] —* R qui vérifient les conditions suivantes :

> pour tout entier 0 < s < r, on a p(s) < q(s) < p(s) + 1 ; > pour tout type r et pour tout uplet {ds}s^r qui vérifie que 0 < ds < s — s~ et

que 0 < J 2 s G r ds < r, le nombre X ] s G r (£ ( s~ + ds) — ô(s~)) n'est pas un entier, où ô(t) = q(t) - p(t) pour 0 < t < r.

Alors les conditions suivantes sont équivalentes : i) Pour tout sous-fibré vectoriel non trivial T de £Q, on a l'inégalité

deg F rg r

d sEr

q(s + r g T S - I T S ) - q(s ) (resp. <).

ii) Pour tout sous-fibré vectoriel non trivial T de £Q, on a l'inégalité

deg J 7 rg

r d

sEr q(s + rgTs-/Ts) - q(s ) (resp. <).

Démonstration. — La preuve suit de près celle de la proposition VI.3.1, c.q.f.d.

La propriété î/j(y) est semistable <^ ip(y) est stable nous permet de déduire les compactifications des champs de chtoucas à modifications multiples.

Théorème VII.3.3. — Soit p un polygone assez convexe en fonction de X, r, n et X, entier par rapport à d et majoré par po. On choisit un polygone rationnel q : [0, r] —• R qui vérifient les conditions suivantes :

> pour tout entier 0 < s < r, on a p(s) < q(s) < p(s) + 1 ; > pour tout type r et pout tout uplet {ds}ser qui vérifie que 0 < ds < s — s~ et

que 0 < X ^ s G r ds < r, le nombre J2ser(^(s~ + ds) — à(s~)) n'est pas un entier, où ô(t) = q(t) - p(t) pour 0 <t <r.

Alors : a) Il existe dans le champ ChtDeg^'d un sous-champ ouvert ChtDeg^ ' 9 tel qu'un

point géométrique £ de type r appartienne à cet ouvert si et seulement s'il vérifie la condition suivante : pour tout sous-fibré vectoriel T de £Q, on ait l'inégalité :

deg T rg F

r d

sEr q(s~ + rg(^ C T n <?o,s- IF7 n Eo,s) lis-)

La strate ouvert de ChtDeg^ ' 9 qui correspond à la partition triviale (0 < r) est exactement le champ de chtoucas à modifications multiples Cht^ , d , p .

b) De plus, si q est assez grand par rapport à r, le morphisme caractéristique C h t D e g ^ 9

Xn

est propre. En particulier, le champ ChtDeg^'0 1'9 lui-même est propre.

Dans le cas r = 2, on obtient le corollaire suivant qui était déjà connu de Varshav-sky [21] :

Corollaire VIL3.4. — Soit d un entier et p : [0,2] —» R un polygone assez convexe en fonction de X, r, n et X, entier par rapport à d. Alors il existe dans le champ ChtDeg^ , d un sous-champ ouvert ChtDeg^' d ' p tel que :

> un point géométrique £ de type (0 < 2), autrement dit un chtouca à modifications multiples appartienne à cet ouvert si et seulement si, pour tout sous-fibré vectoriel inversible T de £Q, on ait l'inégalité :

degJ7 d 2 -P ( l ) ,

> un point géométrique £ de type (0 < 1 < 2) appartienne à cet ouvert si et seulement si les fibres inversibles £Q,I (de £Q) et £"o,i (de ££) vérifient les inégalités :

deg £ 0 j i d 2

p(1) deg£ 0,i d 2 p ( l ) - l .

La strate ouvert de ChtDeg^' d ' p qui correspond à la partition triviale (0 < 2) est exactement le champ de chtoucas à modifications multiples Cht^ ' d ' p .

De plus, le morphisme caractéristique C h t D e g ^ Xn

est propre. En particulier, le champ ChtDeg^' d ' p lui-même est propre.

ASTÉRISQUE 313

B I B L I O G R A P H I E

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ASTÉRISQUE 313

Compactification des champs de Chtoucas et théorie … · 2019-05-10 · Classification...

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