Cours de C M 21 - Calculs

Additions et soustractions avec virgules Pour poser une addition ou une soustraction avec des nombres dcimaux (nombres virgules), tu fais exactement comme si il n'y avait pas de virgule et tu abaisses la virgule la fin.

Multiplications avec virgules Pour poser une multiplication avec des nombres virgules, tu fais les calculs comme si il n'y avait pas de virgules, et tu places la virgule dans le rsultat final en comptant combien il y avait au total de chiffres apres la virgule dans les deux nombres du dpart. Dans l'exemple ci dessous, le premier nombre contient un chiffre apres la virgue et le deuxieme en contient 2 donc le rsultat contient 3 chiffres apres la virgule.

La division avec rsultat dcimal Lorsque tu arrives la fin d'une division, si le reste de la division est diffrent de zro, alors tu peux ajouter un zro dans le nombre en haut, abaisser ce zro et placer une virgule dans le rsultat et continuer le calcul. Tu rajoutes au nombre initial autant de zros que tu veux de nombres apres la virgule dans le rsultat final.

2 - Conversions

Convertir des longueurs Pour convertir des longueurs tu dois dj bien apprendre le tableau ci dessous avec les diffrentes units de longueurs. Dans l'odre du plus grand au petit, le kilomtre (km), l'hectomtre (hm), le dcamtre (dam), le mtre (m), le dcimtre (dm), le centimtre (cm), et le millimtre (mm).

Ensuite tu places le nombre convertir dans le tableau en crivant bien de dernier chiffre dans la colonne qui correspond l'unit de mesure dans lequel il est exprim. Par exemple si tu dois convertir 1673 dm, tu cris 1673 dans le tableau en crivant bien le chiffre 3 dans la colonne des dm.

Ensuite si tu doit obtenir des centimtres ou des millimtres tu compltes les colonnes manquantes avec des zros et tu lis le rsulat a partir de la colonne voulue. Ainsi, 1673 dm = 16730 cm. Si tu dois obtenir des kilomtres, alors tu places un zro et une virgule dans la colonne des kilomtres, et si besoin des zros dans les colonnes suivantes jusqu'au nombre que tu avais cris. Tu lis ensuite le nombre depuis la colonne des kilomtres. Ainsi, 1673 dm = 0,1274 km.

Tu peux faire pareil pour convertir des masses ou d'autres grandeurs. Convertir des aires Pour convertir des aires c'est le mme principe mais tu dois crire les units toutes les 2 colonnes comme ci dessous.

Ainsi, 3240 m = 0,00324 km = 324000 dm

3 - Fractions

Sur un dessin

Si on coupe un gateau en 8 et que Amlie mange 3 parts du gateau, on dit qu'elle a mang les 3 huitimes du gateau, c'est dire les du gateau. est une fraction. Le chiffre du haut s'appelle le numrateur et le chiffre du bas s'appelle le dnominateur. Une fraction est toujours gale un nombre :

Comparer des fractions simples

Evidemment, la fraction est plus petite que la fraction . Si deux fractions ont le mme dnominateur, alors la fraction la plus grande est celle qui possde le plus grand numrateur. Par contre, si deux fractions ont le mme numrateur, la fraction la plus grand est celle qui possde le plus petit dnominateur. Ainsi, la fraction est plus petite que la fraction

Cours de sixime1 - Nombres relatifsLes nombres qui sont gauche de 0 sont appells les nombres ngatifs. Les nombres qui sont droite de 0 sont sont appells les nombres positifs.

Pour additionner ou soustraire deux nombres positifs ou ngatifs : 1. On place le premier nombre sur le dessin ci dessus. 2. Ensuite si il y a un signe + on va vers la droite, si il y a un signe - on va vers la gauche. 3. On avance vers la droite ou vers la gauche du deuxime nombre. Exemples :

Pour calculer 1 + 3, on place d'abord (en vert sur le dessin) le nombre 1, ensuite comme il y a un plus on sait qu'il faudra aller vers la droite ensuite comme il y a un 3 on avance de 3 vers la droite. On tombe sur le 4 donc 3 + 1 = 4. On le savait dj mais cette mthode marche pour les nombres plus compliqus.

Pour calculer - 3 - 2 , on place d'abord le nombre - 3 puis comme c'est moins on sait qu'il faudra aller vers la gauche alors on se dplace de 2 vers la gauche on voit que l'on arrive sur le nombre - 5 donc - 3 - 2 = - 5.

Pour calculer 4 - 5 le rsultat n'est pas 1 car si on a 4 euros et que l'on en dpense 5 il ne peut pas nous en rester 1. On se place sur le 4 et on va de 5 vers la gauche car c'est un signe -. On arrive sur -1 donc 4 - 5 = -1.

Dernier exemple : pour faire - 5 + 3, on se place sur le - 5 et on avance de 3 vers la droite (signe +), on arrive sur -2 donc - 5 + 3 = -2.

Quand des signes se suivent : Si deux signes + se suivent c'est comme si il y a un seul + Si un signe - et un signe + se suivent ou inversement, c'est comme si il y a un signe Si deux signes - se suivent, c'est comme si il y a un signe +. Entre deux signes d'oprations qui se suivent il faut toujours mettre une parenthse. Exemples : 3 + (+3) = 3 + 3 4 - (+7) = 4 - 7 -2 + (-1) = - 2 - 1 - 5 - (-8) = - 5 + 8 5 - (+6) = 5 - 6 Tu peux effectuer la dernire tape des calculs en dessinant le calcul sur la droite des nombres avec les nombres avec la mthode du haut de la page. Dans l'ordre on trouve les rsultats suivants: 6, - 3, - 3, 3, -1.

4 - Pourcentages

Calculer un pourcentage : La formule suivante permet de calculer un pourcentage :

Si une classe compte 28 lves dont 12 garons et 16 filles, le pourcentage de filles vaut

On prend l'effectif des filles (16), on divise par l'effectif total (28) et on multiplie par 100. Le signe % se lit "pourcent". De mme, comme garons. , a veut dire que 42,9 % des lves de la classe sont des

Si un gteau pse 400 g et que Manon en mange 80g, comme qu'elle a mang 80% du gteau.

, cela veut dire

Inversement, si on sait qu'un gteau pse 500g et que Camille a mang 15% du gteau, pour savoir la quantit de gteau de Camille a mang, on fait :

Elle a mang 15% du gateau, en maths "de" ou "du" se transforme en signe fois.

Manon mang 75g de gteau. Exercices classique Un article cote 50 euros. Il est sold 20%. Calculer son nouveau prix. Il y a deux tapes, il faut d'abord calculer le montant de la rduction et ensuite le soustraire l'ancien prix. 1. On calcule le montant de la rduction. On veut calculer 20% de 50 euros donc on fait :

2. On soustrait : 50 - 10 = 40 donc le nouveau prix est de 40 euros.

Cours de cinquime1 - Nombres relatifsTu sais additionner et soustraire deux nombres relatifs (positifs ou ngatifs), voici maintenant la multiplication et la division. Pour savoir le signe du rsultat d'une multiplication : Si les deux nombres sont positifs, le rsultat est positif. Si un nombre est positif et que l'autre est ngatif, le rsultat est ngatif. Si les deux nombres sont ngatifs le rsultat est positif. Par exemple :

Pour la division, c'est exactement la mme chose :

2 - Calcul litteral

Priorits dans les calculs : Lors d'un long calcul avec des parenthses, des fois, et des plus, on ne calcule pas tout dans l'ordre que l'on veut. Par exemple si on veut calculer , le rsultat n'est pas le mme si on fait l'addition ou la multiplication en premier, si on commence par l'addition a donne et si on commence par la multiplication on trouve . Le rsultat n'est pas le mme. Dans un long calcul on ne calcule pas forcment de la gauche vers la doite, mais on respecte plutot les rgles suivantes :

1. On calcule en premier ce qui se trouve dans les parenthses si il y en a. 2. Quand il n'y a plus de parenthses, on calcule les multiplications et les divisions. 3. Quand il n'y a plus que des additions et des soustractions, on effectue la fin du calcul en allant bien de la gauche vers la droite. Le rsultat du calcul ci dessus tait donc 11 car il fallait faire la multiplication en premier. Voici quelques exemples de calculs bien comprendre et savoir refaire.

3 - Les fractions

Comparaison et simplification de fractions : Tout d'abord, remarquez un truc :

Si on multiplie le haut et le bas d'une fraction par un mme nombre, la fraction ne change pas de valeur. C'est pratique pour comparer des fractions (dire laquelle est plus grande que l'autre). Par exemple pour comparer et , comme et que , c'est qui est la plus petite. Inversement on a le droit de diviser le haut et le bas d'une fraction par un mme nombre. C'est pratique pour simplifier une fraction :

Addition de fractions :

On veut calculer . Pour additionner deux fractions et obtenir le rsultat sous la forme d'une fraction, il faut utiliser une technique un peu spciale. De la mme manire que l'on ne peut pas additionner des patates et des carottes (sauf pour faire une bonne soupe mais il nous manque tout de mme des poireaux), on ne peut pas additionner des tiers et des cinquimes. Pour additionner et , la technique consiste transformer l'criture des deux fractions pour qu'elles aient ,

toutes les deux le mme dnominateur. On a vu en haut de la page que et que en multipliant toujours le haut et le bas par un mme nombre. Maintenant on a le droit d'additionner des quinzimes et des quinzimes, et comme vingt quinzimes et vingt et un quinzimes a fait quarante et un quinzimes, on a :

Autre exemple : D'une manire gnrale, si a, b, c, d sont des nombres et que l'on doit calculer multiplier par d et par b. , il faut

Soustraction de fractions : Pour la soustraction c'est exactement la mme chose, on crit les deux fractions sous le mme dnominateur puis on effectue la soustraction :

4 - Proportionnalit

Produit en croix :

Si 3 trucs cotent 21 euros, combien cotent 5 trucs ? Pour le savoir on fait un produit en croix : on fait un petit dessin comme ci dessous et une flche en croix qui va vers la case que l'on cherche, on multiplie les deux premiers nombres en diagononale et on divise le rsultat par le troisime, on obtient le quatrime.

donc 5 trucs cotent 35 euros.

Une ferme de 27 vaches produit 300 L de lait, combien de lait produit une ferme de 15 vaches ?

donc 15 vaches produisent environ 166,7 L de lait.

3 bonbons cotent 14 centimes d'euros. Il nous reste 1,96 euro. Combien de bonbons peut-on acheter ?

Dans le tableau on doit toujours avoir les mmes units donc ici on doit convertir les 1,96 euro en centimes d'euros. donc on peut acheter 42 bonbons.

Tableau de proportionnalit : Le tableau ci dessous est un tableau de proportionnalit car on doit toujours multiplier par le mme nombre pour passer de la ligne des x la ligne des y. On dit que les grandeurs x et y sont proportionnelles. x y 2 6 7 21 9 27 15 100 150 151 45 300 450 453

Vitesse : La formule suivante permet de calculer une vitesse et est savoir par coeur :

On crit plus simplement :

Si on veut utiliser cette formule, il faut bien faire attention aux units, si on veut une vitesse en km/h, il faut mettre la distance en km et le temps en heures. Si on parcourt 270 kms en 3 heures, la vitesse moyenne est de km/h.

Si on parcourt 1700m en 5 minutes et que l'on veut calculer la vitesse en km/h, pour pouvoir utiliser la formule il faut d'abord convertir les mtres en kilomtres et les minutes en heures l'aide d'un produit en croix.

, donc la vitesse moyenne est de 20,4 km/h.

Cours de quatrime1 - Nombres relatifs (Calculs)Nous avons vu en 5eme les rgles pour faire des oprations avec des nombres positifs ou ngatifs. Et nous avons vu les priorits dans les calculs. Maintenant mlangons tout et crivons bien les tapes des calculs.

Il faut bien comprendre et savoir refaire des calculs comme ceux ci dessus.

2 - FractionsTu sais additionner et soustraire des fractions. Voyons maintenant la multiplication et la division. Multiplication de fractions : C'est trs simple. Pour multiplier deux fractions, il faut multiplier le haut et le bas des deux fractions.

Division de fractions : Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse. L'inverse d'une fraction, c'est quand on change son numrateur et on dnominateur (le haut et le bas).

Calcul avec des fractions :

A bien comprendre et savoir refaire !

3 - Puissances d'un nombre

"La puissance de ce site vous tonnera" (l'auteur) Deux puissance cinq est le nombre De mme, . Il vaut .

Si la puissance est un nombre ngatif, c'est assez trange mais il faut faire :

Maintenant, voyons un truc pratique : Ainsi, en regroupant les 3, on voit que : De mme :

En fait :

Sinon sachez qu'un nombre la puissance 0 vaut toujours 1.

Par contre,

n'existe pas, a n'a pas de sens. , sachez aussi que . Ainsi :

Maintenant que vous savez que

et que 2 puissance 3 puissance 4 a fait 2 puissance 12 : Du coup,

4 - Ecriture scientifique

, ,

, et

sont des critures scientifiques

, et 73 ne sont pas des critures scientifiques

L'criture scientifique est pratique lorsque l'on manipule les grands nombres. Par exemple pour la masse de la Terre, on n'crit pas m=6400000000000000000000000 kg, mais plutot m= kg. C'est une criture qui est beaucoup utilise en physique et en chimie. L'criture scientifique d'un nombre, c'est un chiffre compris entre 1 et 9, ventuellement suivi d'une virgule, puis un signe fois, puis une puissance de 10. En criture scientifique :

Si dans un exercice on vous demande d'crire en criture scientifique les nombres A, B, C suivants :

, Il faut faire :

, et

,

5 - Calcul litteral

Nombre x inconnu : Faire du calcul littral, c'est faire des calculs avec un nombre x que l'on ne connait pas. C'est pratique pour rsoudre un problme dont on ne connait pas la solution. x est un nombre inconnu. Distributivit :

Il y a deux manires de calculer

Pour calculer deuxime mthode :

, on ne peut pas calculer en premier la parenthse, alors on utilise la

(attention aux signes, moins par moins a fait plus) Nous avons vu la distributivit. Voyons maintenant la double distributivit. Double distributivit :

, mais aussi :

Si on ne connait pas un nombre on peut dvelopper l'expression avec la deuxime mthode.

Essayez de bien comprendre les signes. Il est important de bien s'entrainer faire du calcul litteral. C'est en faisant qu'on apprend faire et le calcul littral vous servira beaucoup par la suite.

6 - EquationsUne quation, c'est un truc du type : 2x + 4 = 12 ou -2x - 4 = 7x - 15. Il faut trouver x. 2x + 4 = 12 2x = 12 - 4 2x = 8 x=82 x=4 3x + 9 = 15 3x = 15 - 9 3x = 6 x=63 x=2 5x - 10 = 15 5x = 15 + 10 5x = 25 x = 25 5 x=5

Au fait, est-ce que vous savez bien vos tables? Pour le savoir, dessinez un cercle, crivez au centre un chiffre et sur le cercle 10 chiffres de 0 9 dans un grand dsordre. Exemple :

Si vous tes capables de faire le tour du cercle en donnant le rsultat des 10 multiplications en moins de 20 secondes, c'est que vous savez la table du 7. Si vous ne savez pas bien vos tables, c'est trs grave! Alors il faut vite les apprendre! Allez au boulot ! Sinon revenons aux quations. 2x + 4 = 12 Si on enlve 4 des deux cots, l'galit est toujours vraie. Donc 2x + 4 - 4 = 12 - 4. Finalement cela donne 2x = 12 - 4. Dans la pratique on n'crit jamais l'tape intermdiaire, on crit tout de

suite 2x = 12 - 4. En fait quand on passe un nombre de l'autre cot du signe =, on change son signe. Exemples : 4x - 12 = 2x + 4 4x - 2x = 4 + 12 2x = 16 x = 16 2 x=8 5x - 10 = 15x - 5 5x - 15 x = -5 + 10 -10x = 5 x = 5 (-10) x = -0,5 12x - 4 = 16x - 10 12x - 16x= -10 + 4 -4x = -6 x = -6 (-4) x = 1,5

Vous aurez remarqu qu' la dernire tape, on divise les deux cots par le nombre qui est devant x, mme si il est ngatif. C'est normal si vous avez 3x et que vous voulez x, vous avez 3 fois trop donc il faut diviser par 3, et pour que l'galit soit toujours vraie quand on divise gauche on divise aussi droite (si vous ne comprenez pas ce n'est pas trs grave mais sachez faire).

7 ProblmesPour rsoudre un problme, il y a 3 tapes : 1. On pose x = "la chose que l'on cherche". Exemple, on pose x = "le prix d'une place pour le concert de Lorie" (Quelle super chanteuse !) 2. On crit l'quation qui correspond au problme. Exemple, si deux places de concert coutent 5 euros de moins que 73 euros, pour trouver le prix d'une place, on crit 2x + 5 = 73 3. On rsoud l'quation avec la mthode du chapitre 5 : 2x + 5 = 73 2x = 73 - 5 2x = 68 x = 682 x = 34 On n'oublie pas de conclure avec une petite phrase "Un billet pour le concert de Lorie cote 34 euros".

9 - Thorme de PythagorePythagore est le nom d'un savant qui vivait il y a plus de 2000 ans en Grce et qui a dcouvert une propriet permettant de calculer des longueurs dans un triangle rectangle. Un triangle rectangle est un triangle qui possde un angle droit. Quand on connait la longueur de deux cots, on peut connatre la longueur du troisime. Il faut utiliser le thorme de Phytagore. Hypothnuse d'un triangle :

Dans un triangle rectangle, le plus grand cot s'appelle l'hypothnuse.

Thorme de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carr de l'hypothnuse est gal la somme des carrs des deux autres cots. Autrement dit :

Ou encore :

Exemples d'utilisation du thorme :

Calculer NU. Calculer SX. Calculer AD.

cm

cm cm

Si dans un exercice on vous demande de dmontrer qu'un triangle est un triangle rectangle et que vous connaissez la longueur des 3 cots, alors il faut utiliser la rciproque du thorme de Phytagore.

Rciproque du thorme de Pythagore : Si dans un triangle le carr de la longueur de plus grand cot est gal la somme des carrs des longueurs des deux autres cots, alors ce triangle est un triangle rectangle.

Pour dmontrer que le triangle ABC est rectangle, on calcule sparment

et

.

Donc Donc d'aprs la rciproque du thorme de Phytagore, le triangle ABC est rectangle en B.

10 - CosinusLe cosinus sert calculer des longueurs ou des angles dans un triangle rectangle. Il faut donc avoir un triange rectangle pour pouvoir parler de cosinus et il ne faut pas confondre le cot adjacent et l'hypothnuse. L'hypothnuse, c'est le nom que l'on donne au plus grand cot d'un triangle rectangle. Le cot adjacent, c'est le cot qui touche l'angle que l'on considre mais qui n'est pas l'hypothnuse.

Le cosinus d'un angle est un nombre qui est gal la longueur du cot adjacent divis par la longueur de l'hypothnuse.

A=50, AB=3cm, calculer AC.

PG=10cm, P=30, calculer PS.

PG=10cm, P=30, calculer PS.

cm

cm

Pour connatre la valeur de l'angle U, il faut ensuite chercher sur la calculatrice la touche cos-1 et rentrer cos1(2/3). Le rsultat donnera la valeur de l'angle U.

Dans le deuxime exemple, si crit cos(30)10, il faut faire attention ne pas rentrer cos(300) dans la calculatrice, 10cos(30) n'est pas gal cos(300). C'est tout ce qu'il faut savoir sur le cosinus. Pour mieux comprendre ce qu'est le cosinus vous pouvez vous reporter au programme de seconde dans la rubrique trigonomtrie. Savoir utiliser le cosinus permet de calculer tout plein de choses, par exemple si vous avez un peu de temps, essayez de calculer la hauteur de l'arbre (vous aurez besoin du cosinus et du thorme de Phytagore).

Emilie est 30 mtres de l'arbre, elle mesure 20 entre le pied et le sommet de l'arbre, elle aimerait savoir quelle est la hauteur de l'arbre. Si vous voulez vous pouvez continuer sans rsoudre ce problme (il n'est pas corrig ici) sinon c'est un bon exercice.

Cours de troisime1 - Calcul litteral, identits remarquablesFaire du calcul littral, c'est faire des calculs avec un nombre x dont on ne connait pas la valeur. Les identits remarquables sont des proprits qui permettent d'aller plus vite quand on fait du calcul littral. Avant de lire cette page, il faut bien maitriser la partie calcul littral du programme de 4e et bien savoir refaire tous les exemples du site. Vous savez tous dvelopper des expressions :

L'auteur (sympa) du site espre que vous savez bien vos tables. Si vous utilisez toujours la calculette pour faire , il est absolument urgent d'apprendre les tables avant de continuer ! Vous n'avez pas le droit de continuer lire ce site si vous faites encore plus de 25 secondes au test du chapitre "quations" du programme de 4me. Si on veut dvelopper , logiquement on a : , donc :

La premire identit remarquable va permettre de supprimer les tapes intermdiaires. En effet , d'une manire gnrale : L'galit On a aussi : est la premire identit remarquable. . L'galit Enfin : L'galit est la troisime identit remarquable. est la deuxime identit remarquable. .

Les 3 identits remarquables qui sont rcrites droite sont savoir par coeur.

Application au calcul littral :

Quelques exemples un peu plus longs :

Les maths, c'est comme le foot : pour y arriver, il faut s'entrainer. Si vous avez compris les exemples ci dessus (ce qui est dj bien), il faut maintenant vous entrainer en faire des autres. Quand vous arriverez dvelopper des expressions commes A, B, ou C, sans faire de faute et en allant assez vite, vous aurez le niveau en calcul littral pour avoir votre brevet.

2 - Factorisations, quations produits

Factoriser une expression : Vous savez que c'est partir de et crire , autrement dit que . . Factoriser,

Un peu plus long mais tout aussi important comprendre :

On peut aussi factoriser certaines expressions en utilisant la 3me identit remarquable " l'envers" :

C'est galement une factorisation car le rsultat est un produit.

Equations produits : Il n'existe pas de produit pour rsoudre les quations, mais un truc pour rsoudre les quations produits. Ce sont les quations du type Si le produit de deux nombres est nul alors forcment au moins un des deux nombres est nul. , alors a = 0 ou b = 0 (ou les deux). Dans les interros et au brevet, il faut Si vous avez savoir crire la phrase suivante "un produit de facteurs est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul". Donc quand on a ou ou ou ou ou ou , on crit la phrase, puis :

(l'auteur du site s'excuse si les "ou" ne sont pas parfaitement cot des galits).

Rsoudre C'est une quation produit. Un produit de facteurs est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul. Donc : ou ou ou

3 - InquationsUne inquation c'est comme une quation sauf qu' la place du signe =, il y a < ou >. On rsoud une inquation de la mme manire que l'on rsoud une quation. La seule diffrence se trouve dans le troisime exemple. 2x + 2 < 4 2x < 4 - 2 2x < 2 x