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Comment utiliser les modèles mathématiques pour concevoir

les stress tests?

Idriss Tchapda-Djamen

18 décembre 2015

1. Les stress tests ont pris une importance depuis la dernière crise financière sous l’impulsion des régulateurs qui souhaitent l’impose r comme outil de pilotage de la stratégie des banques et de surveillance du risque systémique

2. Les modèles de stress test reçoivent de plus en plu s d’attention de la part de la recherche académique et opérationnelle. Nous présen tons quelques éléments de formalisation mathématique et de modélisation en di stinguant le risque de crédit et les risques de marché

3. Dans la troisième partie, nous portons notre attent ion sur les effets d’atténuation et les effets de second d’ordre et montrons comment ce s derniers impactent la modélisation des stress tests. Nous terminons avec les reverses stress tests et des principes qui permettent une hiérarchisation des sc énarios macroéconomiques

Sommaire Exécutif

2

3

� Stress tests point de vue des régulateurs

� Outil de gestion des risques à travers lequel la santé financière d’une banque ou d’un groupe de banques est évaluée par un scénario de stress/chocs adverses et l’impact de ces chocs est quantifié

� L’objectif principal est d’évaluer la capacité des banques à respecter les niv eaux minimum de solvabilité, de liquidité et de levier sous ces scénarios adverses

� Trois types de scénarios � Des scénarios macroéconomiques définis par des hypothèses sur les variables macroéconomiques et financières � Des scénarios historiques souvent basés sur des réalisations extrêmes/des événements extrêmes dans le passé. � Des scénarios hypothétiques définis de manière adhoc.

� A quoi pourraient servir les stress tests dans une banque?...� En support de la prise de décision � Révélateur du risque de concentration� Formuler un capital planning en prenant en compte une vue ex-ante

� A condition ?� Que les scénarios soient plausibles� d’avoir l’adhésion du management � de l’insérer dans la gouvernance interne des risques � de réfléchir à des mesures correctrices qui permettrait d’atténuer l’impact du stress test � de prendre en compte des effets de second ordre

1. Vue d’ensemble des stress tests pour les banques

4

� Niveaux de stress implémentés par les banques …

� Les stress tests mis en place par la banque pour ses propres usages

� Les stress tests réglementaires demandés par les superviseurs

� Les stress tests simultanément appliqués à un ensemble d’institutions bancaire

� Avec deux niveaux inter liés d’analyse….

� Niveau micro-prudentiel d’analyse qui va s’intéresser sur les impacts spécifiques à une institution

� Niveau macro-prudentiel d’analyse� Dimension systémique qui contribue à sensibiliser les différentes parties sur le risque systémique � Instrument utilisé par les banques centrales et les autorités de supervision bancaires pour analyser des impacts

simultanés sur un ensemble de banques et des effets possible de second niveau causés par effets idiosyncratiques de réputation et/ou des réponses collectives apportées par les banques

� …et des activités supportant le programme de stress tests

� Gouvernance

� Conception des scénarios

� Traduction des scénarios en paramètres de risque

� Agrégation des impacts


5

� capital planning est un exercice dynamique dont l’o bjectif est de minimiser la probabilité que le coussin de capital ne s’érode sur un horizon de tem ps

� L’approche va consister à examiner la performance et l’interaction entre les prévisions de capital réglementaire “demande” decapital et les prévisions de fonds propres “offre de capital” lorsque l’on passe d’une situation normale à une situation destress

� Le coussin de capital est la différence entre le fonds propres disponible et les fonds propres réglementaires

� Les stress test dans le contexte du capital planning permet de répondre à la question suivante:“la banque sera-t-elle en mesure de maintenir un co ussin acceptable même en situation de stress”?

� Les scénarios doivent être cohérent avec l’appétit au risque et la stratégie de l’organisation telle que définie par la direction générale

� L’horizon de temps du capital planning: entre 3 et 5 ans

� Demande de capital: fonction des risques � Offre de capital: fonction des profits, dividendes,

capacité à créer de la valeur et des levées de capital


6

Impact net Impact net

Risques Liquidité Revenues P&L Cout du risque

Conception des mesures d’adaptation et prise en compte des effets de second ordre Conception des mesures d’adaptation et prise en compte des effets de second ordre

vente ? Arrêt ? couverture? e-orientation stratégique?

Impact brut Impact brut

Risques Liquidité Revenues P&L Cout du risque

Scénario macro économique stresséScénario macro économique stressé

Hypothèse de volume

Hypothèses d’entrée et de sortie de cash Risque de marché Risque de migration

et de défautRisque liés aux

matières premières

� Les différentes étapes du processus :� Traduction des scénarios macroéconomiques en impact en terme de facteurs de risques

� Mesure l’impact sur des indicateurs financiers majeurs

� Conception de mesures d’adaptation


Conditions pour une intégration stratégique

� Pertinence des scénarios économiques

� Cohérence entre les différents indicateurs � Par exemple: quelles sont les interaction entre les risques et la liquidité, quelles sont les interactions entre les risques

et le besoin de liquidité, quelles sont les interactions entre les pertes et profits et les risques

� Valider les résultats, les actions d’atténuation et la cohérence entre les métiers

7

RisquesRisques

Besoin de

liquidité

Besoin de

liquidité

pertes et profits

pertes et profits


8

� Ensemble de techniques utilisées pour évaluer la vulnérabilité d’une institution financière à des chocs macroéconomiques exceptionnels mais plausibles

� Mathématiquement c’est la transformation d’un système macroscopique �, �, � en un nouveau système macroscopique �, �, � , � correspond à la probabilité a priori tandis que� est la probabilité a posteriori

� � � �, �, … , �� est l’ensemble des scénarios, � � , , … , � est l’ensemble des facteurs de risques et � � ∑ ��

�� est la probabilité associée au système

� Un scénario �� est la réalisation conjointe d’événements sur les facteurs de risques qui influencent le système. Formellement, ��

� , �� , … , ��

� .

� La probabilité a posteriori peut être construite par l’expert, le stress test est alors un état subjectif sur la réalisation des différents scenarios et les facteurs de risque peuvent être supposés connectés par un réseau bayésien de causalité. On parle alors de modèle de stress test d’experts

2. Modèles de stress tests

2.1. Vue d’ensemble

� Déplacement de la perte moyenne vers les pertes les plus importantes� Élargissement de la queue des distributions

9

� Approche par morceaux, la distribution a posteriori est une masse de Dirac: � � �� !"#$

� Le stress test à l’évaluation d’une espérance conditionnelle à la réalisation d’un choc macroéconomique exceptionnel mais plausible %&' ≥ )

� Mélange d’approche par morceaux, la distribution a posteriori est discrète, somme de masses de Dirac � � � × � � !"#$

+ , × � � !"-$

� A posteriori il y a 2 régimes, un régime de stress qui a une probabilité d’occurrence égale à p et un régime non stressé qui a une probabilité d’occurrence égale à q

� Approche intégrée, on évalue la distribution de probabilité a posteriori et on extrait les mesures de risques les plus pertinentes. La probabilité de réalisation du scénario �� passe de �� à ,� . Toutes les situations sont envisageables:

� ,� > �� , le modèle traduit (l’expert juge) que la probabilité du scénario �� va augmenter tout en restant probable

� ,� < �� , le modèle traduit (l’expert juge) que la probabilité du scénario �� va baisser tout en restant probable

� ,� � 0, le modèle traduit (l’expert juge) que le scénario �� n’est plus probable.


2.1. Différentes approches

10

L’approche par morceaux consiste à représenter l’impact d’un stress test comme une espérance conditionnelle

1 2&'|%&' ≥ ) � ℎ %&, 5&

qui mesure un indicateur de santé financière. Le choc macroéconomique est défini %&' ≥ )

Toute la démarche consiste à identifier les facteurs macroéconomiques pertinents et à calibrer la fonction h

Exemples d’indicateurs de santé financière: Key Ri sk Indicators (KRI)

� Probabilité de défaut

� Matrice de transition : la dynamique du système de notation est représentée par une matrice de notation qui représente un système de probabilité de migration d’une notation donnée vers une autre

� Le besoin de fonds propres réglementaires d’un portefeuille

� Les provisions d’un portefeuille


2.2. L’approche par morceaux: le cas du risque de c rédit

11

� Risque de crédit: risque de perte lié au

� défaut de l’emprunteur/émetteur

� Variation des marges de crédit

� Restructuration de la dette

� Dégradation de la qualité de crédit

� Notation de crédit

� Évaluation de la qualité de crédit d’un emprunteur/émetteur, une entreprise ou un état

� Évaluation émise par une agence de notation ou une banque dans le cadre de son approche de notation interne

� Matrice des migrations

� La dynamique du système de notation est représentée par une matrice de notation qui représente un système de probabilité de migration d’une notation donnée vers une autre

� Principal outil de simulation de l’évolution d’un portefeuille de crédit

� Passage d’estimations faites à travers le cycle (TTC) à des estimations faites en PIT

� La notation de certaines contreparties est en général TTC


Le risque de crédit

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 95.12% 4.88% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00%

2 0.00% 94.62% 4.04% 1.35% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00%

3 0.00% 0.36% 96.75% 2.89% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00%

4 0.00% 0.71% 0.71% 95.37% 2.85% 0.36% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00%

5 0.00% 0.32% 0.00% 3.51% 92.97% 3.19% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00%

6 0.00% 0.00% 0.00% 0.18% 2.33% 91.76% 4.66% 0.54% 0.54% 0.00% 0.00%

7 0.00% 0.00% 0.00% 0.22% 0.00% 2.44% 91.57% 4.88% 0.22% 0.22% 0.44%

8 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 1.99% 90.73% 4.64% 0.66% 1.99%

9 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 75.00% 15.38% 9.62%

10 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 66.07% 33.93%

11 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 100.00%

Variable aléatoire déclenchant le défaut et les mig rations: approche structurelle

ii ZMU 21 ββ −+=

Risque de la firmeVariation de la valeur de la firme

Risque idiosyncratiqueSpécifique à chaque firme

Risque systématiquecommun à toutes les firmes

Processus de défaut

� Le risque d’une entreprise dépend à la fois d’une part systématique et d’une part idiosyncratique� Le défaut survient lorsque la variation de la valeur de la firme passe en dessous d’un certain seuil

iZM ⊥Hypothèse supplémentaire


Sensibilité du risque de la firme au risque systématique

de la PD TTC à la PD PIT

( )

PIT

TTCU

Z

Z

ii

PD

MPDFF

MDF

MMD

UPMDUP

i

i

i

=

−

−=

−−=

−−≤=≤

−

2

1

2

2

1

)(

1

1

β

β

ββ

ββ


� Le seuil du défaut et la probabilité de défaut TTC sont liées par la loi inverse du risque de la firme� La probabilité de défaut PIT est une probabilité de défaut conditionnelle au facteur M, elle dépend aussi

� de la sensibilité du risque de la firme par rapport au facteur systématique M � de la loi inverse du risque spécifique de la firme� de la probabilité de défaut TTC

( )( )TTC

U

iTTC

PDFD

DUPPD

i

1−=

≤=

Lien entre la PD et le seuil de défaut

Loi inverse


−−ΦΦ==

−

2

1

1

)(

ββMPD

MPDPDTTC

PIT


� Probabilité de défaut conditionnellement au facteur M � Probabilité de défaut conditionnellement aux valeurs de M � Tout l’objet des modèles est de lier un scénario économique et l’objet mathématique représenté par M


À lier avec le cycle économique

PD PIT dans le cadre du modèle gaussien


15

Probabilitéde défaut

� Utiliser les probabilités de défaut PIT pour faire des stress tests � Le facteur M permet de positionner le portefeuille à un moment donné du cycle économique: cycle haut ou

cycle bas

PD TTC -1 -0.875 -0.75 -0.625 -0.5 -0.375 -0.25 -0.125 0 0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875 11 0.01% 0.00103% 0.00058% 0.00033% 0.00018% 0.00010% 0.00005% 0.00003% 0.00001% 0.00001% 0.00000% 0.00000% 0.00000% 0.00000% 0.00000% 0.00000% 0.00000% 0.00000%2 0.02% 0.00308% 0.00180% 0.00104% 0.00059% 0.00033% 0.00018% 0.00010% 0.00005% 0.00003% 0.00001% 0.00001% 0.00000% 0.00000% 0.00000% 0.00000% 0.00000% 0.00000%3 0.08% 0.02670% 0.01666% 0.01024% 0.00620% 0.00370% 0.00218% 0.00126% 0.00072% 0.00040% 0.00022% 0.00012% 0.00007% 0.00003% 0.00002% 0.00001% 0.00000% 0.00000%4 0.16% 0.07652% 0.04941% 0.03144% 0.01972% 0.01218% 0.00742% 0.00445% 0.00263% 0.00153% 0.00088% 0.00050% 0.00028% 0.00015% 0.00008% 0.00004% 0.00002% 0.00001%5 0.48% 0.38759% 0.26542% 0.17917% 0.11920% 0.07816% 0.05051% 0.03217% 0.02019% 0.01248% 0.00760% 0.00457% 0.00270% 0.00157% 0.00090% 0.00051% 0.00028% 0.00016%6 1.00% 1.10117% 0.78684% 0.55433% 0.38499% 0.26358% 0.17787% 0.11831% 0.07756% 0.05011% 0.03190% 0.02001% 0.01237% 0.00754% 0.00452% 0.00267% 0.00156% 0.00089%7 3.07% 4.99392% 3.83266% 2.90168% 2.16687% 1.59587% 1.15903% 0.83002% 0.58604% 0.40793% 0.27991% 0.18932% 0.12621% 0.08292% 0.05370% 0.03426% 0.02155% 0.01335%8 6.82% 13.43105% 10.91159% 8.75109% 6.92708% 5.41102% 4.17041% 3.17094% 2.37819% 1.75916% 1.28325% 0.92304% 0.65463% 0.45771% 0.31549% 0.21435% 0.14355% 0.09475%9 11.27% 23.74738% 20.06077% 16.74095% 13.79772% 11.22875% 9.02117% 7.15352% 5.59791% 4.32228% 3.29243% 2.47388% 1.83335% 1.33988% 0.96560% 0.68612% 0.48065% 0.33193%10 18.62% 39.68668% 34.95753% 30.45115% 26.22352% 22.31882% 18.76821% 15.58957% 12.78799% 10.35698% 8.28017% 6.53344% 5.08706% 3.90794% 2.96158% 2.21379% 1.63205% 1.18651%

Downgrade Upgrade

Defaullt

CCCB

BB

BBB

A

AAAAA

La firme conserve sa

Notation BBB

Φ1(0.15%) Φ1(98%)


−

−

Φ

Φ−

−

−

Φ

Φ==∑∑

+=

−

=

−

2

1

1

2

1

11 β

β

β

β MPMMPM

MPMPM

Default

jk

TTCik

Default

jk

TTCik

ikPITij

Processusde migration

� A un rating i donné, on calcule la probabilité PIT de migration vers un état de rating j� Les probabilités de migration sont données conditionnellement à la réalisation de la variable aléatoire M

qui représente une position dans le cycle de crédit � Tout l’objet des modèles est de lier un scénario économique et l’objet mathématique représenté par M


Probabilité de migration conditionnelle Sensibilité du portefeuille au risque systématique

−

−

Φ

Φ−==∑

=

−

2

2

1

11

1β

βMPM

MPMPM

Default

k

TTCik

ikPITi

18


1 2 2 4 5 6 7 8 9 10 11

1 88% 6% 2% 0% 4% 1% 0% 0% 0% 0% 0.00%

2 1% 95% 3% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0.00%

3 0% 8% 87% 4% 1% 0% 0% 0% 0% 0% 0.01%

4 0% 1% 8% 86% 4% 1% 0% 0% 0% 0% 0.03%

5 0% 0% 1% 11% 80% 6% 1% 0% 0% 0% 0.09%

6 0% 0% 0% 1% 7% 85% 5% 1% 0% 0% 0.22%

7 0% 0% 0% 0% 1% 10% 84% 3% 0% 0% 0.64%

8 0% 0% 0% 0% 1% 3% 10% 83% 1% 1% 1.79%

9 0% 0% 0% 1% 2% 2% 12% 24% 49% 5% 4.89%

10 0% 0% 0% 0% 1% 1% 2% 10% 5% 68% 12.52%

11 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 100.00%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 85% 7% 2% 0% 5% 1% 0% 0% 0% 0% 0.01%

2 1% 95% 4% 1% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0.01%

3 0% 6% 87% 5% 1% 1% 0% 0% 0% 0% 0.02%

4 0% 1% 7% 86% 5% 1% 0% 0% 0% 0% 0.07%

5 0% 0% 1% 9% 80% 8% 1% 1% 0% 0% 0.19%

6 0% 0% 0% 1% 6% 85% 6% 1% 0% 0% 0.47%

7 0% 0% 0% 0% 1% 8% 84% 5% 1% 0% 1.22%

8 0% 0% 0% 0% 0% 2% 7% 86% 1% 1% 3.15%

9 0% 0% 0% 0% 1% 2% 8% 20% 53% 8% 7.85%

10 0% 0% 0% 0% 0% 0% 1% 7% 4% 69% 18.16%

11 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 100.00%

Scenario 1

Scenario 2

19

� Le score comme indicateur du risque économique

� KRI de quantification du risque économique

� Le score est une fonction des principales variables macroéconomiques/financières qui permet de quantifier l’impact de

la macroéconomie sur l’économie réelle

� L‘objectif de l’exercice de calibration est de déterminer la sensibilité de chacune des variables macroéconomiques sur l’économie

� La détermination des sensibilités est effectuée en utilisant un modèle de régression

� L’approche statistique retenue est une régression logistique pour laquelle on a besoin d’un indicateur qualitatif

� Les scores réalisés et les scores hypothétiques sont une fonction affine des variations des variables macroéconomiques et financières.

Score Evolution Eurozone

2,5 2,5 1,6

-0,2

-5,6 -4,7

-7,9

-18,6

-13,5

-7,8

-4,1

-0,9

0,32,6 3,3 2,6 1,9 2,1

-1,3 -1,8-4,1 -3,1

-0,6

-10,9 -11,1 -11,1 -11,1 -11,1

1Q07

2Q07

3Q07

4Q07

1Q08

2Q08

3Q08

4Q08

1Q09

2Q09

3Q09

4Q09

1Q10

2Q10

3Q10

4Q10

1Q11

2Q11

3Q11

4Q11

1Q12

2Q12

3Q12

4Q12

1Q13

2Q13

3Q13

4Q13

Quarters

Sco

res

hypothetical scores


Traduire un scénario macroéconomique en facteur de risque

20

� Utilise le même moteur de calcul que la VaR mais avec des matrices de corrélations qui sont calibrés sur une période suffisamment stressée (période 2008-2009)

� Mesure des risques de marchés dont l’objectif est d’atténuer le caractère pro-cyclique des risques de marchés

� Les métriques de risques sont extraites de distribution de Pertes et Profits du portefeuille de négociation de la banque

2. Les modèles des stress tests

Matrice des variances covariances estimées avec des données courantes

),,,( Σℑ= DPfVaR

),,,( Σℑ= stressedDPfRstressedVa

Matrice des variances covariances estimées sur une période stressée

� La stressed VaR représente l’estimation d’une perte extrême qui aurait générée par le portefeuille de trading si celui-ci faisait face à une crise similaire à celle de la période utilisée pour calibrer les matrices de variance-covariance.

� Difficile à comparer avec la VaR ordinaire

Traduire un scénario macroéconomique en facteur de risque

21

PkVaR σ×=PstressedkRstressedVa σ×=

2. Les modèles de stress tests

ρσσ )1(1( −+= nnP ρσσ stressednnstressedstressed P )1(1( −+=

ρρ

σσ

))1(1(

))1(1(

−+−+

×=nn

stressednnstressed

VaR

RstressedVa

� Le ratio de VaR dépend à la fois du ratio de

� Volatilité stressée et volatilité ordinaire

� Corrélation stréssé et corrélation ordinaire

� Du nombre de facteur de risques

Portefeuille homogène en facteurs de risques en var iance et en corrélation

Business as usual Stressed Case

22

PkVaR σ×=PstressedkRstressedVa σ×=

2. Les modèles de stress tests

TP ωωσ ×Σ×= T

P stressedstressed ωωσ ×Σ×=

T

Tstressed

VaR

RstressedVa

ωωωω

×Σ××Σ×=

� Le ratio de VaR dépend à la fois du ratio de

� Des variances covariances en situation normale et en situation stressée

� De la composition actuelle du portefeuille

Portefeuille hétérogène

Business as usual Stressed Case

23

� La valeur d’un portefeuille est

� Une fonction de la combinaison des actifs détenus

� de la valeur des actifs détenus dans le portefeuilles qui dépend de la réalisation d’un ensemble de facteurs de risques

3. Enjeux de la modélisation

PV t � F&(G X(t) )

PV t PV t + 1 PV t + 2 PV t + 2

F&(G X(t) ) F&'(G X t + dx(t) ) F&'(G X t + dx(t) ) F&'(G X t + dx t + dy(t) )

A l’instant t A l’instant t+1, intégration du stress test

A l’instant t+2, actions d’atténuation mis en place

A l’instant t+2, prise en compte du feedback après une action d’atténuation

combinaison des actifs Valeur du portefeuille exprimée comme une fonction d’un ensemble de facteurs de risques

F&' � F&

� En général les modèles de stress tests supposent qu’il n y a pas de changement dans la composition des portefeuilles entre t et t+1

� La fonction G est En général les modèles de stress tests supposent qu’il n y a pas de changement dans la composition des portefeuilles entre t et t+1

Mesures d’atténuation et effets de second ordre

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� Effets feedback lié à l’horizon des scénarios : act ion -réaction

� Une sorte d’action – réaction

� Tenir compte de la modification de la distribution à l’horizon du stress test qui prend en compte

� Un horizon intermédiaire au cours duquel la composition du portefeuille initial est modifiée suite à la mise en place des actions d’atténuation

� Modifier la fonction F& à la date t + 2

� La Combinaison du choc du stress test et le choc du feedback


25

� Les reverses stress tests

� Raisonner en terme d’application surjective: « il s’agit d’identifier le/les scénarios qui remettent en cause la viabilité de la banque »

� Sans arriver jusqu’à la viabilité de la banque, il suffit pour la banque de définir un niveau seuil d’impacts non acceptable

� La banque n’accepte pas de perdre plus de X unités monétaires

� Construction des reverses stress tests: application aux portefeuilles de crédit en utilisant les matrices de migrations


CDéFGHII Position dans le cycle de crédit

JKLMNOPQPRNSMKLNTU

OTUQNLNTUUPVVP

WNXLMNYZLNTUQPXXOéUKMNTX

RKOMTéOTUTRN[ZPX

\ M � m MatricePIT1 On classe les matrices PIT en fonction de leur impact sur le portefeuille de la banque.

\ M � m MatricePIT2

� On en déduit les scénarios qui ont un impact supérieur au seuil acceptable et ceux qui ont un impact inférieurs aux seuils acceptables

26

� Les reverses stress tests

� Définition: on dira que le scénario \ ≤�&gh�� \ l’impact de la matrice de migration conditionnelle au scénario 1 sur le portefeuille est inférieur à l’impact de la matrice de migration conditionnelle au scénario 2 sur le portefeuille

� Cette relation ≤�&gh�� permet d’hiérarchiser les scénarios (conditionnellement à un portefeuille )

� On peut en déduire la distribution des scénarios

� définir les reverses stress tests


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