Olympiades de physique 2011/12

Comment dterminer la latitude de notre lyce ?

SARTON GaranceSECHAUD milePUFFAY Corentin

Lyce Jean Monnet - Annemasse

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Table des matiresRESUME :...................................................................................................3INTRODUCTION......................................................................................4I. Mouvements des astres dans le Ciel :....................................................4

1. La trajectoire du Soleil et des toiles dans le ciel........................................................................42. Comment change l'aspect du ciel, lorsqu'on change d'endroit sur Terre ?...................................73. Comment reprer un astre dans le ciel ?......................................................................................8

II. Dtermination de la latitude avec le Soleil :........................................91. Grce la hauteur midi (utilisation du gnomon)....................................................................102. Heure du lever et du coucher.....................................................................................................123. Azimut du lever et du coucher...................................................................................................15

III. Dtermination de la latitude avec des toiles :................................171. Culmination des toiles..............................................................................................................182. Observation de deux toiles la mme hauteur........................................................................19

IV. Comment faisaient les savants de l'Antiquit ?...............................201. Bref historique...........................................................................................................................202. Vrification des calculs avec nos relations modernes................................................................213. Comment faire toutes les dterminations prcdentes sans utiliser les relations trigonomtriques ?.........................................................................................................................22

CONCLUSION ........................................................................................23Annexe A : Panorama depuis la pointe de Miribel .......................................................................25Annexe B : Trouver la valeur d'un angle sans rapporteur..............................................................26Annexe C : Trouver la latitude partir de la dure du jour...........................................................27

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RESUME :Le but de notre travail a t de dterminer la latitude d'un lieu, notre lyce. Nous avons

utilis plusieurs mthodes, certaines avec le Soleil, d'autres avec les toiles. Pour le Soleil, avec un gnomon, nous avons dtermin la plus grande hauteur du Soleil au cours de la journe (lorsqu'il passe au sud), avec une montre, la dure du jour et avec un thodolite d'occasion, l'azimut du coucher. Cela nous a donn trois mthodes diffrentes pour dterminer la latitude d'un lieu. Nous connaissions dj la premire mthode avec la hauteur du Soleil, nous avons dcouvert les deux autres (avec la dure du jour et l'azimut du coucher), qui demandent une bonne reprsentation dans l'espace. Pour les toiles, nous avons mesur, toujours avec le thodolite, leur hauteur au moment o elles culminent et cela nous a donn de nouvelles mthodes. Malheureusement, une erreur systmatique dans les mesures du thodolite a perturb nos mesures.

Grce ce premier travail, nous avons pu comprendre comment les savants de l'Antiquit pouvaient dterminer la latitude d'un lieu avant l'invention de la trigonomtrie et des degrs.

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INTRODUCTIONComment connatre la latitude d'un lieu ? Aujourd'hui, il suffit d'allumer son GPS et la

valeur s'affiche immdiatement sur l'cran. Mais avant l'arrive du GPS, quelles taient les techniques possibles ? Dans notre travail, nous aurons une double interrogation : La premire interrogation est actuelle : comment, avec les moyens dont nous disposons, dterminer la latitude de notre lyce ? Quelles mesures faire et avec quel matriel ? Nous verrons qu'il existe des mthodes utilisant la course du Soleil dans le Ciel et d'autres utilisant la course des toiles. Pour le Soleil, avec un simple bton , nous pourrons dterminer la plus grande hauteur du Soleil au cours de la journe, avec une montre, la dure du jour et avec un thodolite d'occasion, l'azimut du coucher. Cela nous donnera trois techniques diffrentes pour dterminer la latitude d'un lieu. Pour les toiles, nous mesurerons, toujours avec le thodolite, leur hauteur au moment o elles culminent et cela nous donnera de nouvelles mthodes. Le but ici est d'essayer d'valuer la prcision des diffrentes mthodes mais aussi de prendre un peu d'exprience avant d'aborder notre deuxime interrogation.La deuxime interrogation est historique : on dit qu'une des toutes premires mesures de latitude est due Pythas de Marseille, qui vers 330 avant J.-C., aurait dtermin la latitude de Marseille ; on dit aussi que l'invention de la trigonomtrie et l'utilisation des degrs sont dues Hipparque, un des plus grand astronome de l'Antiquit, qui vcut au IIe sicle avant J.-C1. Comment avant Hipparque pouvait-on dterminer les latitudes ? Pouvait-on se passer de la trigonomtrie et des degrs ? C'est ce que nous essayerons de comprendre.

I. Mouvements des astres dans le Ciel :

1. La trajectoire du Soleil et des toiles dans le ciel

Au cours d'une journe ou d'une nuit :

Au cours de la journe, le Soleil dcrit une trajectoire circulaire dans le Ciel. Il se lve du ct de l'est, monte progressivement dans le Ciel pour culminer lorsqu'il est dans la direction du sud, puis redescend pour se coucher du ct de l'ouest. Au cours de la nuit, c'est au tour des toiles d'effectuer des mouvements similaires : elles se lvent du ct de l'est, culminent au sud et se couchent du ct de l'ouest. Il y a des particularits intressantes. Une toile, l'toile Polaire, reste immobile dans le Ciel. Toutes les autres toiles dcrivent des arcs de cercle autours d'elle, plus ou moins grands en fonction de leur loignement la Polaire. Les astres, les plus proches de la Polaire, restent constamment au-dessus de l'horizon au cours de la nuit : ils ne se couchent jamais et sont constamment visibles ; on les appelle les toiles circumpolaires.

Ce sont ces mouvements circulaires des toiles autour de la Polaire qui peuvent donner l'illusion que le Ciel est comme une vote sphrique tournant d'un mouvement circulaire. Aujourd'hui, on interprte ce mouvement des astres en disant que ce sont des trajectoires apparentes qui rsultent de la rotation de la Terre sur elle-mme en une journe. Si l'toile Polaire reste immobile, c'est parce qu'elle est dans le prolongement de l'axe de rotation de la Terre.

Au cours de l'anne :

Au cours de l'anne, ce ne sont pas toujours les mmes toiles qui sont visibles pendant la

1 Voir l'ouvrage de A. SZABO et E. MAULA, Les dbuts de l'astronomie, de la gographie et de la trigonomtrie chez les Grecs, Paris, Vrin, 1986.

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nuit. Et pendant la journe, la trajectoire du Soleil volue de jour en jour. On peut voir trois variations : le Soleil monte plus ou moins haut dans le ciel ; il se lve et se couche des endroits diffrents et le jour dure plus ou moins longtemps.

On dit souvent que le Soleil se lve l'est et qu'il se couche l'ouest, mais ce n'est pas exact. Il n'y a que deux jours dans l'anne o cela ce produit vraiment : le jour des quinoxes de printemps et d'automne. En t, lorsque les jours sont plus longs et que le Soleil monte plus haut dans le Ciel, il se lve au nord-est et se couche au nord-ouest. En hiver, lorsque les jours sont plus courts et que le Soleil reste bas sur l'horizon, il se lve vers le sud-est et se couche vers le sud-ouest.

Figure 1 : Mouvement du soleil a diffrentes poques de l'anne. Le mridien cleste d'un lieu passe par le znith du lieu et le ple cleste. Lorsque les astres passent au mridien du lieu, ils atteignent leur hauteur maximale au-dessus de l'horizon. La distance angulaire qui spare la

trajectoire du Soleil aux solstices de la trajectoire aux quinoxes est appele l'obliquit de l'cliptique et vaut 2326'.

La trajectoire du Soleil dans le Ciel change donc chaque jour. Mais toutes ses trajectoires sont parallles entre elles et perpendiculaires l'axe de rotation de la Terre . Sur la figure 2, nous avons reprsent le ciel comme une vote sphrique entourant la Terre. L'observateur est au centre de la sphre cleste. Cette ide est fausse, mais elle est commode pour reprsenter ce que nous voyons depuis la Terre.

Figure 2 : La vote cleste vue de l'extrieur . P est le ple cleste (approximativement l'toile polaire), intersection entre l'axe de rotation de la Terre et la vote cleste. Z est le znith du lieu,

c'est--dire le point la verticale. Le mridien du lieu est le cercle qui passe par P et Z, il indique la direction du sud ou du nord. Le Soleil (mais cela est vrai de tous les astres du ciel) semble

dcrire des grands arcs de cercle perpendiculaires l'axe de rotation de la Terre.

5

horizonsudest ouest

mridien du lieu

solstice

d't

quinox

es

solstic

e

d'hive

r

2326'

2326'

solstice d'hiver

Z

P

horizon

Sud

mr

idien

Nord

Ouest

Est

quinoxes

solstice d't

Le jour des quinoxes, le Soleil dcrit l'quateur cleste. Il se lve exactement l'est et se couche exactement l'ouest. Le jour et la nuit ont des dures gales de 12h sur toute la Terre. Le jour du solstice d't, le Soleil atteint sa plus grande hauteur dans le ciel et le jour du solstice d'hiver, c'est le moment o il reste le plus bas.

Pourquoi le Soleil a-t-il une trajectoire qui varie de jour en jour ?

La Terre tourne autour du Soleil en une anne et son plan de rvolution dfinit le plan de l'cliptique. L'lment dterminant est que l'axe de rotation de la Terre sur elle-mme, qui reste toujours parallle lui-mme, n'est pas perpendiculaire au plan de l'cliptique mais est inclin par rapport cette perpendiculaire d'un angle de = 2326'. Au cours de sa rvolution autour du Soleil, la Terre ne prsente donc pas toujours la mme configuration au Soleil : on dit que l'exposition solaire de la Terre change et c'est ce qui explique les saisons.

Figure 3 : Trajectoire de la Terre autour du Soleil. Au solstice d't, le ple nord est clair alors que le ple sud reste constamment dans l'ombre. C'est le contraire en hiver.

Figure 4 : Les figures sont ralises pour un point de 46 de latitude nord (Annemasse). Le jour du solstice d't, le Soleil est au dessus de l'quateur. A midi, il atteint sa plus grande hauteur dans

le Ciel. Le jour du solstice d'hiver, le Soleil est en dessous de l'quateur.

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Solstice d't Solstice d'hiver

Equinoxe d'automne

Soleil

Sens de rvolution

Equinoxe de printemps

Axe de rotation

Rayons solaires

quateur

67

verticale

horizon

Solstice d't

Rayons solairesquateur

20

horizon

verticale

Solstice d'hiver

2. Comment change l'aspect du ciel, lorsqu'on change d'endroit sur Terre ?

a) Comment reprer un point la surface de la Terre ?

Pour reprer un point la surface de la Terre, deux coordonnes sont ncessaires :

- la latitude : . La latitude astronomique est l'angle que fait la verticale du lieu avec le plan quatorial.

- la longitude : La longitude est l'cartement en degrs entre le point que nous recherchons et le mridien de Greenwich.

b) O retrouve-t-on la latitude d'un lieu sur la vote cleste ?

Sur la figure 5, on voit que la latitude d'un lieu, qui est l'angle entre la verticale et l'quateur, est aussi gale la hauteur du ple sur l'horizon. En effet, la verticale (le znith) est perpendiculaire l'horizon ; de mme, la direction de l'toile polaire est perpendiculaire l'quateur. Or, deux droites perpendiculaires deux autres droites, se coupent avec le mme angle. Donc l'angle entre l'quateur et le znith et l'angle entre l'horizon et la direction de l'toile polaire sont les mmes.

Figure 5: O retrouve-t-on la latitude d'un lieu sur la vote cleste ?

c) La trajectoire du Soleil pour les diffrents lieux de la Terre

Pour prvoir la trajectoire du Soleil en diffrents lieux, on procde ainsi :On place le ple sur la vote cleste (la hauteur du ple est gal la latitude du lieu).

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znith

Terre

quateur

ple nord

horizon

toile polaire

toile polaire

Z

P

horizon

quate

ur

Vote cleste

mr

idien

Ple Nord

Terre

M

mridien de Greenwich

mridien du lieu

quateur

On trace les trajectoires du Soleil perpendiculairement l'axe des ples : la trajectoire qui passe par l'est et l'ouest correspond la trajectoire lors des quinoxes.

A l'quateur :

La latitude est nulle, donc l'toile polaire est situe dans l'horizon. Les trajectoires du Soleil sont toujours perpendiculaires l'horizon. La dure du jour et de la nuit est toujours la mme et gale 12h. Le Soleil passe au znith au moment des quinoxes.

Sur le tropique du cancer :

La latitude est de 2326', ce qui est aussi la hauteur du ple. Le jour du solstice d't, le soleil passe au Znith .

Sur le cercle arctique :

La latitude est de 6634'. Au moment du solstice d't, le soleil touche l'horizon et remonte aussitt dans le ciel. Il y a du Soleil pendant 24h. Au moment du solstice d'hiver, le Soleil apparat un bref moment au sud avant de redisparatre.

Au ple nord :

La latitude est de 90 donc l'toile polaire est au znith. Aux quinoxes, on peut assister un lever de jour permanent. La trajectoire du soleil est toujours parallle l'horizon. En hiver, le Soleil disparat pendant six mois.

3. Comment reprer un astre dans le ciel ?

Il existe plusieurs systmes de coordonnes pour reprer une toile dans le Ciel. Nous ne prsentons que ceux qui nous serons utiles par la suite.

a) Les coordonnes horizontales ou locales :

8

quinoxes

P Z

horizon

SudSud

Sud

Sud

solstice d'hiverZ

Phorizon

Sud

mr

idien

Ouest

Est

quinoxessolstice d't

solstice d'hiver

Z

P

horizon

Sud23

26'

Nord

Ouest

Est

quinoxes

solstice d't

quinoxes

ZP

horizon

Sud

663

4'

Nord

Ouest

Est

solstice d't

L'astre est repr par sa hauteur h au-dessus de l'horizon (angle entre la direction de l'astre et le plan horizontal) et par son azimut A (angle entre la direction du mridien le sud et la direction de l'astre dans le plan horizontal).La hauteur h est comprise entre 0 (l'astre est dans l'horizon) et 90 (l'astre est au znith du lieu).L'azimut A est repr par rapport au sud. Il est compris entre -180 et 180.

Les coordonnes horizontales d'un astre sont diffrents en deux points de la Terre. Puisqu'un astre bouge dans le Ciel, ses coordonnes horizontales ne cessent de varier au cours de la journe.

b) Les coordonnes horaires :

L'astre est repr par sa dclinaison au-dessus de l'quateur cleste (angle entre la direction de l'astre et le plan quatorial) et par son angle horaire H, qui est la dure qui spare son passage au mridien de sa position actuelle.La dclinaison varie de -90 90 (le ple cleste). La dclinaison d'un astre ne dpend pas du lieu d'observation. Elle est fixe pour une toiles mais elle varie pour le Soleil de -23 26' (solstice d'hiver) +23 26' (solstice d't).L'angle horaire H varie de 0h 24h. H peut tre converti en degrs par une simple rgle de trois.

c) Si on reprsente les coordonnes horizontales et horaires sur une mme figure, voil ce qu'on obtient :

Il existe des relations entre les coordonnes horizontales et les coordonnes horaires, valables quelque soit la position de l'astre. Il faut pour cela utiliser les proprits de la trigonomtrie sphrique (trigonomtrie sur une sphre), ce que nous n'avons pas fait. Par la suite, nous avons juste essayer de mettre en vidence les relations entre les deux types de coordonnes lorsque l'on se place dans certains plans : soit le plan du mridien, soit le plan horizontal.

II. Dtermination de la latitude avec le Soleil :

9

ZP

SudNord

mr

idien

horizonh

A

Est

Ouest

Ah

ZP

SudNord

mr

idien

horizon

quateu

r clest

e

H

H

P'

ZP

quateu

r clest

e

SudNord

horizon

h

AH

Est

Ouest

mr

idien

On a vu que les trajectoires quotidiennes du Soleil sont toujours parallles les unes aux autres mais elles se dcalent progressivement. Le Soleil change constamment de dclinaison au dessus de l'quateur. On connat facilement sa dclinaison pour 4 jours : au solstice d't : Soleil=+=23 26' .au solstice d'hiver : Soleil==23 26 'aux quinoxes : Soleil=0

On essayera donc de privilgier les observations lors de ces quatre journes. Si on effectue des mesures un autre moment de l'anne, il faudra trouver la dclinaison du Soleil sur le site de l'IMCCE (Institut de Mcanique Cleste et de Calcul des phmrides : http://www.imcce.fr/).

1. Grce la hauteur midi (utilisation du gnomon)

Le gnomon est sans doute le plus vieil instrument astronomique. Il s'agit d'une tige verticale plante dans le sol, dont on tudie l'ombre au cours de la journe et au cours de l'anne. Le gnomon peut servir comme un cadran solaire : la direction de l'ombre de la tige peut donner l'heure. Mais il peut aussi servir pour dterminer la hauteur du Soleil : ce sera notre utilisation.

a) Principe

Pour n'importe quel jour de l'anne :

Le Soleil est repr par sa dclinaison .

On a : h+=90

donc =90+h .

Si on connat et si on mesure h avec l'ombre d'un gnomon, on peut trouver .

Au moment des solstices ou des quinoxes

Si on se place au moment particuliers des solstices et des quinoxes, on a : Au solstice d't : =90+htAux quinoxes : =90hquinoxesAu solstice d'hiver : =90hhiver

Pour dterminer la latitude d'un lieu on peut donc envisager plusieurs cas de figure en fonction de ce que l'on connat ou de ce qu'on ne connat pas : Si on ne connat pas : deux mthodes : On mesure l'ombre aux quinoxes et on calcule directement . Cependant, on ne peut pas connatre la date des quinoxes par nous mmes.On mesure l'ombre aux solstices d't et d'hiver :

=90+ht=90hhiver

donc 2=180(ht+hhiver) donc =90ht+hhiver

2

Si on connat : Les solstices ou les quinoxes conviennent pareillement.

10

Z

P

horizon

quate

ur

h

90

mr

idien

Nous pouvons remarquer que les mesures en t et en hiver permettent galement de dterminer :

=90+ht=90hhiver

donc 0=0+2ht+hhiver donc =hthhiver

2

b) Notre dispositif

Mise en place du gnomon : Pour avoir une plateforme parfaitement horizontale, nous avons plac des cales sous une grande planche et nous avons vrifi l'horizontalit de celle-ci grce un niveau bulles.Pour tre sr d'tre perpendiculaire la planche, nous n'avons pas utilis un bton vertical mais une planchette perce d'un trou et fixe un trpied. Nous avions cherch le point la verticale du trou grce un fil plomb, ce qui nous permet galement de mesurer la hauteur entre la planche et le trou de la planchette, c'est--dire la hauteur du gnomon . Le vent qui faisait vaciller le fil plomb rendait les oprations dlicates

Quelles dimensions choisir ?A quelle hauteur faut-il fixer la planchette ? Quelle doit tre la taille du trou ? Nous avons

fait plusieurs essais pour voir ce qui donnait les meilleurs rsultats. Plus les dimensions sont petites, plus les ombres sont nettes mais plus une erreur sur une mesure (hauteur du gnomon ou longueur de l'ombre) aura une grande importance. Mais plus les dimensions sont grandes, plus les ombres deviennent floues et plus il est difficile de faire des relevs prcis. Il est donc ncessaire d'accepter un compromis. Nous avons fix la planchette 73 cm de hauteur et le trou avait 3 mm de diamtre.

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Positionnement du point la verticale du trou et relev du point lumineux au centre de l'ombre de la planchette.

Pourquoi un trou dans une planchette et pas l'ombre d'un angle de la planchette ?Contrairement ce que nous pensions, il

n'est pas plus facile de faire des relevs de la position du point lumineux au centre de l'ombre de la planchette que des relevs d'un angle de la planchette. L'un et l'autre sont tout aussi flou ! En revanche, le point lumineux au centre de l'ombre de la planchette permet de connatre directement la hauteur du centre du Soleil alors que l'ombre d'un bton donne la hauteur du bord suprieur du Soleil.

Les caprices de la mto :En Haute Savoie, il est ncessaire de composer avec la mto. Le mois de juin 2011 n'tait

pas particulirement clment et nous avons d abandonner plusieurs relevs en raison de l'arrive de nuages.

c) Nos calculs

Nos mesures ont t ralises le 14 juin dans la cour du lyce. On cherche sur le site de l'IMCCE, la dclinaison du Soleil pour ce jour. On trouve : =23 14 ' 59,8 ' '=23,25 .

L'ombre la plus courte est de 305 mm.

La hauteur du Soleil est donne par : tan (h)=726305 soit h=67,21

La formule =90h donne : =90+23,2567,21=46,04 =46 2 ' 24 ' '

d) Origine de nos erreurs

Sur le site goportail (http://www.geoportail.fr/), on trouve la vritable latitude du lyce : =46 10 ' 54 ' ' . Notre dtermination est donc trop basse de 8 ' 30 ' '=0,14 (la hauteur du

Soleil dtermine est trop grande). Cette dtermination est dj satisfaisante mais d'o peuvent provenir nos erreurs ?

Dans l'atmosphre, les rayons lumineux ne se propagent pas en ligne droite mais selon une ligne courbe : c'est le phnomne de la rfraction atmosphrique, qui relve tous les objets et ceci d'autant plus qu'ils sont proches de l'horizon. La hauteur du Soleil est donc lgrement surestime. Il existe des tables ou des formules permettant de calculer l'angle de la rfraction. Pour une hauteur du Soleil gal 67, l'angle de rfraction est d'environ 30''. Notre dtermination de la latitude est donc encore trop basse de 8' .

Il est claire que notre manire de procder est l'origine de nombreuses erreurs : mesure de la longueur du gnomon , mesure de l'ombre, dtermination prcise du passage du Soleil au mridien, etc. En raison de ces difficults, il est impossible d'avoir un rsultat plus prcis.

2. Heure du lever et du coucher

Pour dterminer la latitude d'un lieu, on peut aussi se servir de l'heure du coucher et du lever

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Gnomon: L = 726 mm

Soleil

hOmbre: l =305 mm

Ombre

Gnomon

Soleil

hPnombre

du Soleil. En effet, le jour le plus long (au moment du solstice d't) change en fonction de la position la surface de la Terre. Il doit donc tre possible de trouver une relation entre la dure du jour et la latitude du lieu.

a) La mthode

Figure 1: Reprsentations de la trajectoire du Soleil pour dterminer le lien entre la dure du plus long jour et la latitude .On prend l'unit pour le rayon de la vote cleste.

La relation entre x et H : Dans la figure d, on voit que plus le jour est long, plus la valeur de x est

grande. On a la relation : cos (180H )= xcosComme cos (180H )=cos H , on a finalement : x=cos H cos

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quateur

a) Trajectoires du Soleil sur la vote cleste au solstice d't, aux quinoxes et au solstice d'hiver.

b) Projection sur le mridien des trajectoire du Soleil au solstice d't, aux quinoxes et au solstice d'hiver.

mr

idien

P

Zsolstice d't

quateur

solstice d'hiver

horizonx

sin

cos

solstice d'hiver

Z

P

horizon

Sud

mr

idien

Nord

solstice d't

c) Dtail de la trajectoire lors du solstice d't. L'angle H correspond la moiti du jour.

d) Tropique d't vu depuis le ple cleste P.

tropique d't

Z

P

horizon

Sud

mr

idien

Nord

Hlever

coucher

x

H

Px

cos

lever

coucher

- H

solsqtice d't

horizon

La relation entre x et la latitude : Dans la figure b, on voit que plus x est grand, plus la

latitude augmente. On a la relation : tan ()=x

cos , donc x=tan sin .

La relation entre la latitude et H : x=tan sin =cos H cos

soit, cos H =tan sin cos

donc cos H =tan tan

Cette formule permet de calculer la latitude si on connat H.

b) Nos observations

Nos observations ont t ralises le 27 juin au sommet de la Pointe de Miribel (latitude : 46,212 ; longitude : 6,474). Pour ce jour, la dclinaison du Soleil est de 23,30 environ (c'est une valeur moyenne car la dclinaison varie continuellement).

Coucher du Soleil (soir du 27 juin) : 21h30Lever Soleil (matin du 28 juin) : 5h55Dure du jour : 15h35

L'angle horaire H du coucher du Soleil correspond la moiti de la dure du jour, soit H = 7h47min30s = 7,792h

Dans les formules trigonomtriques, il faut que H soit exprim en degr. Pour faire la conversion, on utilise un produit en croix. On sait que le Soleil fait un tour complet (360) en 24h,

on a donc : H=7,79236024=116,88 .

On peut alors calculer la latitude correspondante : tan =cos H

tan=cos116,88

tan 23,3 soit

=46,40 . On est a 0,18 de la valeur vritable. Mais est-ce que notre valeur est fiable ?

La dure du jour est dlicate dterminer prcisment : La rfraction relve les objets : lorsque nous voyons encore le Soleil, il est en ralit dj

couch ou pas encore lev. Et surtout, dans une rgion montagneuse, l'horizon n'est pas plan ! Les endroits o s'est lev et

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Lever du Soleil le 28 juin depuis la pointe de Miribel

couch le Soleil taient peu prs la mme altitude que nous mais uniquement peu prs. Il est difficile d'avoir l'heure exacte o le centre du Soleil se couche ou se lve. Pour dterminer

par exemple l'instant du coucher avec plus de prcision, on repre le moment o le bord infrieur du Soleil touche l'horizon, puis le moment o le bord suprieur disparat sous l'horizon et on prend la moyenne des deux.

Si nous considrons que nous nous sommes tromps dans la mesure de la dure du jour de 5 minutes par exemple (soit une erreur de 2,5 min pour la valeur de H), quelle en est la consquence pour le calcul de la latitude ?

H=7h47min30s2min30s=7h45min=7,75h=7,7536024

=116,25

La latitude est alors : =45,76 . La variation de 2,5 min dans la valeur de H induit donc une variation assez grande dans le calcul de la latitude. Notre dtermination 0,2 prs est donc certainement le rsultat de plusieurs concidences qui se compensent (rfraction, endroit du lever cach par une montagne).

3. Azimut du lever et du coucher

En notant l'azimut du lever et du coucher du Soleil, on peut dterminer la latitude d'un lieu suivant la priode de l'anne. Cependant, cette mthode ncessite du matriel spcialis pour faire des mesures d'angle prcises. Nous avons utilis un thodolite, achet d'occasion.

a) La mthode

Comme pour les calculs avec les heures de lever et de coucher du Soleil, la mthode consiste mettre en relation la latitude avec une longueur y qui est aussi relie avec l'azimut du coucher du Soleil.

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a) Trajectoire lors du solstice d't. L'angle A correspond l'angle entre le sud et le coucher du Soleil.

b) Projection sur le mridien des trajectoires du Soleil au solstice d't, aux quinoxes et au solstice d'hiver.

solstice d't

Z

P

horizon

Sud

mr

idien

NordA

lever

coucher

y

P

Zsolstice d't

quateur

solstice d'hiver

horizony

sin

cos

SudNord

Figure 2: Reprsentations de la trajectoire du Soleil pour dterminer le lien entre la dure du plus long jour et la latitude .

Relation entre y et l'azimut : La figure c nous permet de voir que : cos (180A)= y (le rayon de la vote cleste est gal l'unit). Donc y=cos A

Relation entre y et la latitude : Grce la figure b, on peut voir que cos=sin

y

Relation entre l'azimut et la latitude : cos=sin cos A

Cette formule permet de la latitude si l'on connat l'azimut du lever ou du coucher du Soleil.

b) Nos observations

Nos observations ont t ralises le mme jour que pour les horaires de coucher et de lever (Voir l'annexe A pour le panorama au moment du lever et du coucher). Nous ne connaissons pas prcisment la direction du sud, nous ne pouvons donc pas mesurer directement l'azimut du coucher du Soleil. Nous rglons le zro du thodolite sur un repre arbitraire (une croix situe au sommet d'une montagne dans la direction approximative du sud).

Angle entre la croix et le coucher du Soleil (soir du 27 juin) : 133,18 grad.

Angle entre la croix et le lever du Soleil (matin du 28 juin) : - 144,32 grad.

Angle entre le lever et le coucher :

16

c) Horizon vu depuis le znith Z le jour du solstice d't.

A

Zy

lever

coucher

180 - A

horizon

277,5 grad=277,5180200

=249,75

L'azimut du coucher est donc gal la moiti de l'angle prcdent : A=124,875

La latitude est donc : cos=sincos A

= sin 23,3cos124,875 soit =46,22 .

Le rsultat est trs bon puisque nous sommes 0,017 =1,1 ' de la valeur vritable. Mais ce que nous avons dit prcdemment pour la mthode avec la dure du jour reste valable. La rfraction relve le Soleil son coucher et dcale l'endroit o il se couche. Les montagnes ou la diffrence d'altitude entre le lieu d'observation et l'endroit o le Soleil se couche affecte galement les mesures.

Si nous faisons une erreur de 0,25 (un demi diamtre apparent) sur la valeur de l'azimut du coucher, quelle est la consquence sur le calcul de la latitude ? Avec

A=124,875 0,25 =124,62 , nous obtenons =45,87 . Ici encore, une petite erreur sur l'azimut occasionne une erreur assez importante sur la latitude.

III. Dtermination de la latitude avec des toiles :

Nous avons galement voulu dterminer la latitude d'un lieu grce l'observation des toiles. Il existe de trs nombreuses mthodes ! Certaines ont l'air trs complexes. On pensait pouvoir utiliser la hauteur de l'toile Polaire mais nous avons vu que cette toile n'est pas exactement confondue avec le Ple cleste : elle est 0,68 du ple. Il y a donc des corrections faire et celles-ci sont compliques. Nous avons uniquement appliquer les mthodes utilisant la hauteur des toiles lorsqu'elles culminent (passage dans le mridien).

Le gros avantage avec l'utilisation des toiles est qu'en une seule nuit, on peut faire plusieurs mesures et ainsi la dtermination de la latitude repose sur une moyenne. Ce qui laisse esprer une plus grande prcision car les erreurs peuvent se compenser.

Il y a une limite qui provient de notre appareil : toujours le thodolite. Celui-ci est conu pour faire des mesures de jour avec des hauteurs assez basses. Nous n'avons pas pu observer les toiles proches du znith (c'est pourtant l que la rfraction atmosphrique est la moins grande) et pour pouvoir faire la vise (voir le rticule) il fallait clairer l'intrieur de la lunette avec une petite lampe de poche (on voyait encore trs bien l'toile).

Il y a galement une difficult : viser la bonne toile dans le ciel et la suivre avec le thodolite. Pour nous prparer cette nuit d'observation (toujours la pointe de Miribel, le 27 juin latitude : 46,212), nous avons utilis le logiciel Stellarium. Nous avions ainsi list d'avance

17

toutes les toiles que nous voulions observer et l'horaire approximatif de leur passage au mridien.

1. Culmination des toiles

a) La mthode

Culminations suprieure et infrieure

Les toiles peuvent passer au mridien entre l'horizon et le ple (ct nord), on parle alors de culmination infrieure. Elles peuvent aussi passer au mridien ct sud, on parle alors de culmination suprieure. Pour la culmination suprieure d'une toiles, la situation est exactement similaire celle que nous avons dj vue pour le Soleil. Elle se modifie en revanche pour une culmination infrieure.

Figure 1: a) Culmination suprieure d'une toile ; b) Culmination infrieure d'une toile

Pour la figure a, la mthode pour dterminer la latitude grce la culmination d'une toile est la mme que pour le Soleil : on remarque que :

=90h+

Quand une toile est situe du ct du Ple, elle est reprsente par la figure 17b et donc on remarque que :

=90+h

Avantages et inconvnients de la mthode : par rapport aux relevs solaires, cette mthode prsente certains avantages et inconvnients :L'instrument utilis (thodolite) est a priori plus prcis que le gnomon.On peut faire plusieurs observations puis une moyenne.Le moment dans l'anne n'est pas dterminant car la dclinaison ne change pas pour les toiles.Cependant, la rfraction atmosphrique a toujours tendance perturber les mesures en relevant les hauteurs.Le ciel doit tre bien clair et aucune source lumineuse ne doit venir perturber l'observation (lumire d'une ville mais aussi la Lune)

b) Nos observations

18

Z

P

horizon

quate

ur

h

90

mr

idien

Z

P

horizon

quate

ur

h

90

mridien

90 -

a) b)

Le rsultat est dcevant. Nous voulions obtenir une dtermination de la latitude plus prcise et nous obtenons des valeurs plus loignes que celles trouves avec le Soleil. Pour les toiles qui culminent au sud la latitude est sous-estime et pour celles qui culminent au nord, elle est surestime. Mais pour chaque groupe d'toiles, les valeurs restent proches les unes des autres, et celles qui sont sous-estimes le sont d'autant que celles qui sont surestimes. Cela nous suggre une erreur systmatique dans nos mesures de la hauteur des toiles qui serait toujours trop forte de 1 environ.

Nous avons peut-tre fait une erreur dans la mise en place du thodolite (dans l'horizontalit de celui-ci). Il suffirait alors de refaire des observations pour obtenir des donnes plus adquates. Mais malheureusement, en refaisant de nouvelles mesures, nous continuons d'obtenir une erreur de 1 environ. L'erreur systmatique ne vient donc pas certainement de notre part mais d'une erreur d'talonnage du thodolite, ou plutt d'un drglement de celui-ci ! La mthode suivante va permette d'en tenir compte.

2. Observation de deux toiles la mme hauteur

La rfraction atmosphrique perturbent toujours les mesures de hauteur. Mme si des formules existent pour corriger les mesures de la rfraction, il reste toujours une part d'incertitude. Les formules sont en effet valables pour des conditions de l'atmosphre standards et en fonction des conditions mtorologiques, la rfraction peut changer. Des mthodes de dtermination de la latitude ont donc t inventes qui permettent de faire disparatre l'influence de la rfraction. Nous en prsentons une, qui permettra galement de corriger l'erreur systmatique du thodolite.

a) La mthode

On considre deux toiles peu prs la mme hauteur, l'une est du ct du ple, l'autre du ct du sud. Comme elles sont peu prs la mme hauteur, la rfraction agit pareillement sur la hauteur de l'une et sur la hauteur de l'autre.

On a donc pour l'toile E1 (culmination suprieure) et pour l'toile E2 (culmination

infrieure) : h1+1=90h2++2=90

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Z

P

horizon

quate

ur

h2

mridien

h1

E1E2

Dclinaison () Horaire Azimut (gr) Latitude ()-26,4564 23h 41m 200 79,60 45,18

(Serpentaire) -10,5894 23h 49m 200 61,98 45,19-15,7383 0h 22m 200 67,75 45,244,5633 0h 55m 20s 200 45,25 45,2971,3661 23h 5m 0 68,05 47,39

HIP (Girafe) 79,2417 0h 35m 48s 0 59,30 47,39

Etoiles dist. znit. (gr)Antares (Scorpion)

Sabik (Serp.)Celbalrai (Serp.) (Girafe)

En additionnant, les deux quations :

h1h2+2+21=180 soit =90 1 2

2 h2h1

2

Avantages de la mthodeLa rfraction atmosphrique ne fausse plus les rsultats : soit x, l'effet de la rfraction

atmosphrique, h1 et h2 les hauteurs mesures et h ' 1 et h ' 2 les vraies hauteurs (s'il n'y avait pas de rfraction). On a : h1=h ' 1+x et h2=h ' 2+xEn faisant la diffrence des hauteurs : h2h1=h ' 2h ' 1+x x=h ' 2h ' 1

La diffrence des hauteurs perturbes par la rfraction est gale la diffrence des vraies hauteurs ! Si x reprsente notre erreur systmatique, celle-ci disparat galement en faisant la diffrence.

Inconvnient de la mthode :Il faut trouver deux toiles qui ont la mme hauteur au cours de la nuit, l'une au nord et

l'autre au sud. La nuit de notre observation, les toiles qui avaient une culmination infrieure taient peu lumineuses, et nous avons eu du mal nous assurer que nous visions la bonne toile et pas une de ses voisines !

b) Nos observations

Il s'agit des mmes toiles que tout l'heure.

Les rsultats obtenus avec les deux couples d'toiles sont similaires mais avec une erreur de 0,1 environ avec la valeur relle. Cette fois cette erreur ne peut pas provenir de la rfraction atmosphrique, ni d'une erreur systmatique de l'instrument. Nos observations n'ont sans doute pas t suffisamment prcises.

IV. Comment faisaient les savants de l'Antiquit ?Aprs avoir nous-mme dtermin une latitude, nous voulions comprendre comment les

savants Grecs de l'Antiquit procdaient pour mesurer la latitude des lieux. Deux mthodes taient privilgies : l'observation de la hauteur du Soleil midi grce l'ombre d'un gnomon et l'observation de la dure du jour le plus long (lors du solstice d't).

1. Bref historique2

Vers 500 av. J.-C. : le ciel est reconnu sphrique par Pythagore ou Parmnide.Vers 450 av. J.-C. : Oenopide dtermine l'obliquit de l'cliptique 1/15 de la circonfrence d'un

cercle.Vers 350 av. J.-C. : La Terre est reconnue sphrique. Eudoxe dfinit la notion de climat (quivalent

2 D'aprs Germaine AUJAC, Eratosthne de Cyrne, le pionnier de la gographie, Paris, CTHS, 2001.

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Dclinaison () Horaire Azimut (gr) Latitude ()71,3661 23h 5m 0,00 68,05

46,31-15,7383 0h 22m 200 67,75HIP (Girafe) 79,2417 0h 35m 48s 0,00 59,30

46,29 (Serpentaire) -10,5894 23h 49m 200 61,98

Etoiles dist. znit. (gr) (Girafe)Sabik (Serp.)

notre latitude) ; Aristote donne des preuves de la sphricit de la Terre.Vers 330 av. J.-C. : Autolycos dcrit la trajectoire du Soleil pour diffrents lieux sur Terre (ce que

nous avons fait dans le I !) et Pythas aurait dtermin la latitude de Marseille. Il a galement entrepris un voyage vers le nord, jusqu'aux les britanniques pour vrifier par l'exprience ce qu'Autolycos trouvait par la thorie.

Vers 225 av. J.-C. : Eratosthne mesure la circonfrence de la Terre et dresse une carte du monde habit en traant des parallles et des mridiens passant par les villes remarquables.

Vers 130 av. J.-C. : Hipparque invente la trigonomtrie et reprend les degrs des Babyloniens. Il est capable de dterminer la latitude d'un lieu avec la dure du jour grce une formule analogue la ntre (il n'utilise pas les sinus, cosinus, tangente mais les cordes).

Voil ce qu'crit Hipparque : Aratos me parat se tromper au sujet de la latitude gographique, lorsqu'il pense que celle de la Grce fait que le jour le plus long est au jour le plus court dans le rapport de 5 3. En effet, propos du tropique d't, il dit : Si l'on divise son primtre en huit parties, cinq tournent dans le ciel, au-dessus de la terre, trois dans l'hmisphre infrieur. On est d'accord pour dire qu'en Grce la longueur du gnomon est celle de l'ombre quinoxiale comme 4 est 3. Par consquent, le jour le plus long a une dure de 14 heures 3/5 peu prs, et la hauteur du ple est peu prs de 37. Mais l o le jour le plus long est au jour le plus court comme 5 est 3, le jour le plus long est de 15 heures, et la hauteur du ple est peu prs de 41. Il est donc impossible qu'en Grce il y ait le rapport susdit entre le jour le plus long et le jour le plus court, rapport qu'on trouve en revanche dans la rgion de l'Hellespont3.

2. Vrification des calculs avec nos relations modernes

Grce nos relations, trouves dans le II, nous voulons d'abord vrifier les affirmations d'Hipparque.

On est d'accord pour dire qu'en Grce la longueur du gnomon est celle de l'ombre quinoxiale comme 4 est 3. Par consquent, le jour le plus long a une dure de 14 heures 3/5 peu prs, et la hauteur du ple est peu prs de 37.

A l'quinoxe, la latitude est donne par : =90hquinoxes

Ici hquinoxes=tan1(4/3)=53,1 donc

=36,9

Pour un lieu de latitude =37 , l'angle horaire H du coucher est au solstice d't ( : = ) : cos H=tan tan =0,3266donc H=109,06 =7,27 h

La dure du jour le plus long est : 14,54 h. Les rsultats sont tout fait cohrents avec les affirmations d'Hipparque.

L o le jour le plus long est au jour le plus court comme 5 est 3, le jour le plus long est de 15 heures, et la hauteur du ple est peu prs de 41.

3 cit in A. SZABO et E. MAULA, Les dbuts de l'astronomie..., op. cit., p. 14-15.

21

Gnomon: 4

Soleil

hOmbre: 3

Sur la figure, on voit que le jour le plus court (solstice d'hiver) est gal la nuit la plus courte (solstice d't).

Si la journe du solstice d't est dcoupe en 8 parties, 5 parties reprsente le jour et 3 la nuit.

Le jour est donc gal 5/8e de la journe, soit 15 h (5/8e de 24h). L'angle horaire du coucher est gal la moiti, soit 7,5 h = 112,5.

Avec H = 112,5, on a :

tan =cos Htan

=0,883 donc =41,4 . Le

rsultat d'Hipparque est encore une fois juste.

3. Comment faire toutes les dterminations prcdentes sans utiliser les relations trigonomtriques ?

Avant Hipparque, les savants Grecs ne disposaient ni de la trigonomtrie, ni des degrs. Les angles taient exprims par des proportions au cercle. Par exemple, l'obliquit de l'cliptique valait le quinzime de la circonfrence : 360/15=24 . La dtermination des latitudes ne pouvait donc reposer que sur des constructions graphiques. Essayons de reprendre toutes les dterminations prcdentes mais en utilisant uniquement une rgle et un compas (on n'a donc pas le droit au rapporteur).

a) La longueur du gnomon est celle de l'ombre quinoxiale comme 4 est 3 :

On trace l'chelle le gnomon et son ombre pour respecter les proportions (Voir annexe B pour la construction). L'avantage de se placer aux quinoxe est que l'angle correspond la latitude apparat immdiatement sur le schma : c'est le troisime angle du triangle form par le gnomon, l'ombre et le rayon du Soleil. On trace un cercle ayant pour centre l'extrmit du gnomon et on cherche par approximation successive quelle est la proportion de l'arc avec la circonfrence complte.

En reportant l'arc trouv, on voit que au bout de 10 reports, on dpasse lgrement le point de dpart. La latitude est donc lgrement plus grande que le dixime de la circonfrence (36).

Pour avoir une dtermination plus prcise, nous avons eu l'ide de continuer le report jusqu'au moment o nous tomberions sur un demi-cercle ou un cercle entier. Aprs 44 reports, nous

22

solstice d'hiver

Z

P

horizon

Sud

mr

idien

Nord

solstice d't

Gnomon: 4

hOmbre: 3

avons fait assez prcisment 4,5 tours. La latitude est donc le 9/88e de la circonfrence (soit 36,82 alors que tan1(3/4)=36,87 ). Il est donc possible, grce un compas, d'obtenir la valeur d'un angle comme la proportion de la circonfrence d'une manire assez prcise.

b) Le jour le plus long est au jour le plus court comme 5 est 3 :

Il faut reprendre les figures 15 du II) 2 et procder par tape (voir annexe C) :

1re tape : On trace le plan mridien, on repre le znith Z et l'horizon. Sur un papier calque, on trace pour une latitude quelconque l'axe des ples, l'quateur, et les trajectoires du Soleil lors du solstice d't et lors du solstice d'hiver. On mesure le diamtre du cercle dcrit par le Soleil lors du solstice d't.

2e tape : Avec le diamtre trouv, on trace le cercle dcrit par le Soleil lors du solstice d't. On partage ce cercle en huit parties (en ttonnant avec le compas) : 5 parties reprsentent le jour et 3 la nuit. On peut donc mesurer la valeur de la distance x. Plus le jour dure longtemps, plus la valeur de x augmente.

3e tape : On reporte la valeur de x sur le papier calque et on fait tourner le papier calque jusqu'au moment o la valeur de x correspond. Plus le jour dure longtemps, plus les trajectoires du Soleil sont faiblement inclines sur l'horizon. La latitude du lieu est donn par la hauteur du ple.

4e tape : Pour dterminer la valeur de , il faut alors procder comme avant pour le gnomon et trouver la proportion par rapport la circonfrence. Nous avons juste vrifier avec un rapporteur que nous trouvions bien 41.

Il est donc possible, sans trigonomtrie, simplement en utilisant des constructions graphiques, de trouver la latitude d'un lieu lorsqu'on connat la dure du jour le plus long.

CONCLUSION Pour conclure, nous voudrions rappeler quelques moments forts de notre travail :

La nuit d'observation bien entendu : c'tait la premire fois que nous observions vraiment les toiles ; l'utilisation du thodolite tait intressante et surprenante (viser la bonne toile, la suivre

23

mr

idien

P

Zsolstice d't

quateur

solstice d'hiver

horizonx

sin

cos

H

Px

cos

lever

coucher

- H

solstice d't

horizon

dans son mouvement rapide, trouv sa hauteur maximale) ; nous avons assist au lever spectaculaire du croissant de Lune que nous avons pu suivre au thodolite.La comprhension de la trajectoire du Soleil selon le lieu o l'on se trouve sur Terre : une fois que nous avons compris que la trajectoire du Soleil est toujours perpendiculaire l'axe passant par les ples, nous avons pu prvoir les trajectoires au ple nord ou l'quateur. La comprhension des mthodes utilisant la dure du jour ou l'azimut du lever ou du coucher : notre professeur nous avait prvenu qu'il faudrait utiliser la trigonomtrie sur une sphre, ce qui nous effrayait ; puis nous avons dcouvert une autre mthode qui ne ncessitait que de la trigonomtrie plane mais par contre une bonne vision dans l'espace.Les recherches historiques : nous avons t surpris de la qualit des travaux des Anciens et de pouvoir refaire ce qui avait t dj fait plus de 2500 ans avant nous !

24

Annexe A : Panorama depuis la pointe de Miribel

Sud Ouest

EstSolstice t

Solstice t

Annexe B : Trouver la valeur d'un angle sans rapporteur

Annexe C : Trouver la latitude partir de la dure du jour

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Annexe B: Trouver la valeur d'un angle sans rapporteurRESUME:INTRODUCTIONI. Mouvements des astres dans le Ciel:1. La trajectoire du Soleil et des toiles dans le ciel2. Comment change l'aspect du ciel, lorsqu'on change d'endroit sur Terre?3. Comment reprer un astre dans le ciel?

II. Dtermination de la latitude avec le Soleil:1. Grce la hauteur midi (utilisation du gnomon)2. Heure du lever et du coucher3. Azimut du lever et du coucher

III. Dtermination de la latitude avec des toiles:1. Culmination des toiles2. Observation de deux toiles la mme hauteur

IV. Comment faisaient les savants de l'Antiquit?1. Bref historique22. Vrification des calculs avec nos relations modernes3. Comment faire toutes les dterminations prcdentes sans utiliser les relations trigonomtriques?

CONCLUSIONAnnexe A: Panorama depuis la pointe de MiribelAnnexe C: Trouver la latitude partir de la dure du jour