Commande robuste d'un moteur synchrone à aimant … KACI-HAMDOU-OUSSA… · IV.7 Triphasé courant...

UNIVERSITE KASDI MERBAH OUARGLA

Faculté des Sciences Appliquées

Département de Génie Electrique

Mémoire MASTER ACADEMIQUE

Domaine : Sciences et technologies

Filière : Electrotechnique

Spécialité : Machines électriques et électronique de puissance

Présenté par :

BELAIDI KACI HAMDOU OUSSAMA

Thème:

Soutenu publiquement

Le :31/05/2016

Devant le jury :

Année universitaire 2015/2016

Mr Maghni Bilal MC (A) Président UKM Ouargla

Mr Amieur Toufik MA (A) Encadreur/rapporteur UKM Ouargla

Mr Taibi Djamel MA (C) Examinateur UKM Ouargla

Commande robuste d'un moteur synchrone à

aimant permanent

Avant tout, nous remercions ALLAH tout puissant de nous avoir donné le courage, la volonté, et la patience pour terminer ce travail.

Nos vifs et sincères remerciements s’adressent tout particulièrement à notre Université de

Kasdi Merbah – Ouargla-, qui nous a procuré une bonne formation.

En premier lieu, nous tenons à remercier tout d'abord notre encadreur: Monsieur AMIEUR TOUFIK, Maitre-assistant à l'université Kasdi Merbah -Ouargla- d'avoir offrir

l'opportunité de réaliser ce travail et de bien vouloir accepter de le diriger avec beaucoup de compréhension.

Nous n'oublions pas de remercier notre co-encadreur Mr DJEDDI ABDELGHANI,

Maitre-assistant à l'université Kasdi Merbah -Ouargla; pour avoir suivi et dirigé ce travail.

Nous n'oublions pas de remercier les mombres de jury Mr MAGHNI BILAL, MCA à la Faculté de sciences appliquée de l'université de Kasdi Merbah-Ouargla; pour accepté de

présidé ce travail.

Nous n'oublions pas de remercier les mombres de jury Mr TAIBI DJAMEL, MAA à la Faculté de sciences appliquée de l'université de Kasdi Merbah-Ouargla; pour accepté

d’examiné ce travail.

Nous tenons à remercie aussi: toutes les personnes qui ont participés de près ou de loin pour la réalisation de ce travail.

En fin, nous remerciement à l'en droit de tous notre amis en particulier, ceux de notre

promotion 2015/2016.

Dédicaces

Je dédie ce modeste travail

A ma très chère Mère et mon très cher Père

A ceux qui ont veillé pour mon bien être

A ceux qui m’ont toujours encouragé pour que je réussisse dans mes

études

A tout ce qui est m’encouragé dans la réalisation de ce modeste travail

A mes très chers frères,

A mes très chères sœurs

A toutes la famille

Sans oublier tous mes amies

.

A

Liste des tableaux

N Titre des tableaux Pages

Tableau 1 Paramètres du PID obtenus à partir du point critique

(Ziegler-Nichols) 34

Tableau 2

Paramètres MSAP

49

B

Listes des figures

N Listes des figures Pages

I.1 Différents types de rotors d’une MSAP. 06

1.2 Représentation d’une machine synchrone a aimant permanent 07

1.3 Représentation d’une machine synchrone à aimants permanents 10

I.4 Représentation équivalente dans le repère de Park 13

I.5 Schéma global d'un MSAP à vitesse variable et de son alimentation. 16

II.1 Tracé de Bode de la fonction de transfert idéale. 21

III.1 Schéma bloc d’un système avec correcteur (Boucle fermée) 30

III.2 Schéma fonctionnel d’un système asservi mono-variable. 31

III.3 commande en boucle ouverte. 35

III.4 Schéma bloc avec perturbation et bruit 36

III.5 plan de Nyquist 40

III.6 Fonction de pondération WP 41

III.7 fonction de pondération 42

III.8 Disposition du correcteur PI D dans le plan , 43

IV.1 Boucle de régulation du courant en quadrature-axe de la MSAP 48

IV.2 Le schéma block de de MSAP contrôle de vecteur spatial 49

IV.3 Amélioration de la marge de robustesse en performances du système

bouclé

50

C

IV.4 Amélioration de la marge de Robustesse de stabilité du système

bouclé

51

IV.5 La vitesse en fonction de temps

52

IV.6 Le couple en fonction de temps 53

IV.7 Triphasé courant en fonction de temps 54

D

Table des matières

Introduction Général 2

Chapitre I: Généralités sur Les moteurs synchrones à aimants permanents

I.1. Introduction ……………………………………...………………………………….. 4

I.2. Principe de fonctionnement ……………….…………................................................ 4

I.2.1. Présentation de Machine Synchrone (MS) …….............................................................. 4

I.2.2. Constitution ……………………........................................................................ 5

I.2.2.1. Inducteur …….................................................................................................. 5

I.3.Présentation de la machine synchrone à aimants permanents…………………….. 5

I.3.1. Structure générale de la MSAP ………………………………………………… 7

I.3.2. Differentes structures de machines synchrone a aimants permanents ……… 7

I.3.3. Domaines d’application ……..…………………………………………………….. 8

I.4.Les avantage des machines synchrones à aimants permanentes ………………. 8

I.5. Inconvénients des machines synchrones à aimant permanente ……………………… 9

I.6. Modélisation de la machine synchrone à aimant permanent(MSAP) ……………… 9

I.6.1 Modélisation de la machine ……………………………………………………… 9

I.6.2. Hypothèses simplificatrices …………………………………………………….. 9

I.6.3. Mise en équations de la machin……………………………………...................... 12

I.6.4.Equation de la machine dans le repère de Park (d, q) ……………................... 12

E

I.6.5. Passage du repère d q au repère αβ ……………………………………………….. 14

I.6.6. Application de la transformation de Park à la MSAP ………………………….. 14

I.7. Modélisation de l'alimentation de la MSAP a vitesse variable………………………… 16

I.7.1. Système d’alimentation de la MSAP ……………………………………………. 16

I.8.Conclusion …………………………………......................................................................... 17

Chapitre II: Les systèmes d’ordre fractionnaire

II.1.Introduction ……………………………………………………………………………... 19

II.2. Quelque propriétés de la dérivation non entière ……………………………………... 19

II.3. Transformée de Laplace ………………………………………….................................... 19

II.4.Représentation d’un système d’ordre fractionnaire …………………………………. 20

II.4.1.Equation différentielle généralisée ………………………………………………….. 20

II.4.2.Fonction de transfert d’ordre fractionnaire explicite ………………………………. 20

II.4.3. Représentation d’état d’un système d’ordre fractionnaire ……………………….. 21

II.4.3.1.Réalisation du modèle d’état fractionnaire ………………………………………… 22

II.4.3.1.1.Cas des systèmes commensurables ……………………………………………….. 22

II4.3.1.2.Cas des systèmes d’ordre non entier généralisés …………………………………. 23

II.5. Commandabilité ……………………………….............................................................. 26

II.5.1. Décomposition modale d’un système d’ordre fractionnaire ………........................... 26

II.6. Conclusion ………………………………………………………………………………. 28

Chapitre III: Commande Robuste d’ordre non entier

III.1. Introduction …………………......................................................................................... 30

III.2.Régulateur PID …………………………………………………………………………. 31

III.2.1.Régulateur PID analogique………………………………………………………. 31

F

III.2.2. Régulateur proportionnelle (P) ………….………………………………………… 31

III.2.3. Avantages et inconvénients de l’action proportionnelle …………………….. 32

III.2.3.1.Régulateur proportionnelle et intégrateur (PI) …………………………….. 32

III.2.3.2. Régulateur proportionnelle et dérivateur (PD) ……………………………. 33

III.2.3.3. Régulateur proportionnelle intégrateur et dérivateur (PID) ………… 33

III.3. Méthode de synthèse des contrôleurs ( 𝛂 = 𝛃 = 𝟏)…………………………………… 34

III.4. La commande en boucle ouverte ……………………………………………………… 35

III.5.Caractérisation des systèmes de commande à contre-réaction ……... ……………. 35

III.5.1. Les fonctions de sensibilité ………...................................................................... 36

III.6. Modelage des fonctions de sensibilité …………………………………………38

III.6.1.Sepecification de performance en sensibilité …………………………….….. 39

III.7. Régulateur PID Fractionnaire ……………………………………………………..… 42

III.7.1. Conception d’une commande PIα

Dβ

d’ordre fractionnaire …………………… 44

III.8. Conclusion ……………………………………………………………………………… 45

Chapitre IV: Commande robuste d’un moteur synchrone à aimant permanent

IV .1.Introduction ………………………………………………… …………………………. 47

IV .2. Le modèle mathématique du moteur synchrone à aimant permanent en tension

dans le système de coordonnées dq tournant ………………………………………………. 47

IV.3. Résultats de Simulation ………………………………………………………………. 50

IV.4.Conclusion ……………………………………………………………………………. 55

Conclusion

Références Bibliographiques

Annexes

2

Introduction général

La commande de certains processus industriels issus d’une modélisation mathématique, pose

de sérieux problèmes dans la mesure des processus toujours un écart entre le comportement

du système physique réel, et le système modélisé.

La théorie de la commande robuste, regroupe plusieurs méthodes d’analyse et de conception

de contrôleurs réduisant l’écart entre le système réel et le modèle identifié Parmi ces

méthodes nous allons synthétiser un contrôleur robuste par la méthode des gains principaux

fractionnaires pour des systèmes (Mono et Multi-variables), et vérifier la satisfaction des

conditions de robustesse de la stabilité et des performances.

La problématique traitée dans ce mémoire est le suivant : Comment optimiser les paramètres

d’un contrôleur fractionnaire obtenu via la minimisation d’un critère de sensibilité mixte en

utilisant l’algorithme d’optimisation non linéaire de type FMin-Max sous contraintes?

Pour répondre à cette problématique, notre mémoire est organisé comme suit :

Le premier chapitre sera destiné à la description généralités sur Les moteurs synchrones à

aimants permanents.

Dans le deuxième chapitre, on va étudier Les systèmes d’ordre fractionnaire

Le troisième chapitre sera consacré à l’étude de la Commande Robuste d'Ordre fractionnaire

des systèmes d'ordre non entier mon-variables et multi-variables.

Le quatrième chapitre présentera l’application de la Commande robuste d’un moteur

synchrone à aimant permanent

On terminera par une conclusion générale et des perspectives.

Chapitre I Généralités sur Les moteurs synchrones à aimants permanents

4

I.1. Introduction :

Les moteurs synchrones à aimants permanents se répandent de plus en plus comme

actionneurs dans les industries automatisées où ils remplacent les moteurs à courant continu.

Ils présentent sur ces derniers l’avantage d’avoir de meilleures performances (en termes de

couple massique, par exemple) et de ne pas avoir de collecteur mécanique (ce collecteur pose

des problèmes d’entretien et de comportement dans les environnements difficiles).

En revanche, ils sont plus exigeants, le moteur à courant continu est alimenté par un

convertisseur statique simple (un redresseur) et une régulation de son courant d’induit permet

de maîtriser le couple.

Pour le MSAP, la fonction de collecteur est réalisée par un ensemble électronique : un

onduleur de puissance, une mesure de position et une commande des courants pour contrôler

le couple. La commande non linéaire présente l’avantage de pouvoir commander séparément

les courants et le couple.

Avec cette technique de commande, le modèle du moteur est décomposé en deux sous-

systèmes linéaires mono variables indépendants.

Chaque sous-système représente une boucle indépendante de commande d’une variable

donnée (vitesse, couple, courant etc.).

La dynamique du système linéarisé est choisie par une imposition optimale des pôles.

I.2. Principe de fonctionnement

Une génératrice synchrone transforme de l'énergie mécanique ( , )c en énergie électrique

( ,V I de fréquence f ).

Un aimant tourne à la fréquence N, la spire est traversée par un flux variable ( )t

d'où la création d'une f.é.m. induite ( ) ( / )e t d dt

.

I.2.1. Présentation de Machine Synchrone (MS)

La moteur synchrone, appelée ALTERNATEUR si elle fonctionne en génératrice,

fournit un courant alternatif. En fonctionnement MOTEUR sa fréquence de rotation est

imposée par la fréquence du courant alternatif qui alimente l'induit.

Au-delà de quelques kilowatts, les machines synchrones sont généralement des machines

triphasées. Le rotor, souvent appelé « roue polaire », est alimenté par une source


5

I.2.2. Constitution

La MS possède deux parties principales :

- L'inducteur porté le plus souvent par le rotor

- L'induit porté par le stator parcouru par des courants alternatifs

I.2.2.1. Inducteur

Le champ magnétique est créé par un aimant permanent ou par un électroaimant

alimenté par un courant continu (I), appelé courant d'excitation. Le rotor tourne à la vitesse

synchronise.

Remarque : si I est constant, il crée un champ magnétique B, constant, tournant à la fréquence

de synchronisme N= N.

Rotor à pôles saillants

C'est un électro-aimant dont les pôles sont alternativement nord et sud. Les

enroulements sont alimentés en courant continu, ils sont placés autour des noyaux

polaires. Le nombre de pôles est toujours pair, il varie suivant la machine. Est réalisé à la

figure 1.1

Rotor à pôles lisses

Le rotor est un cylindre plein dans lequel on a usiné des encoches. Il possède le plus

souvent deux pôles.

I.3. Présentation de la machine synchrone à aimants permanents

Le moteur synchrone à aimants permanents (MSAP) présente un stator semblable au

stator de toutes les machines électriques triphasées. Le changement du bobinage rotorique par

désaimant permanents apporte beaucoup de simplicité comme l'élimination des ballais (donc

les pertes rotoriques).

Cependant, le flux rotorique n’est plus commandable.

Le développement des matériaux magnétiques permet aux MSAP d’être de plus en plus

utilisées dans différents domaines de l’industrie. La densité de puissance massique élevée, le

rendement élevé, l’augmentation de la constante thermique et l'augmentation de la fiabilité

(due à l’absence des contacts glissants bagues-ballais de ces machines) leurs permettent de

concurrencer fortement les machines asynchrones et à courant continu,.


6

Le rotor possède différentes configurations, La figure I.1 montre trois cas

Une configuration du rotor à pôles saillants possédant des pièces polaires servant à la

concentration du flux est montrée à la figure I.1.a. Les aimants permanents sont

magnétisés dans le sens radial.

Une autre possibilité consiste à disposer les aimants permanents radialement (aimants

noyés dans le rotor), Les aimants sont magnétisés tangentiellement comme le montre

la figure I.1.b.

Enfin la figure.I.1.c représente le cas où les aimants permanents sont distribués

uniformément sur la surface cylindrique du rotor. L’aimantation des aimants est

radiale.

A cause de l’isotropie existante dans ce cas de machine, l’inductance Ld sur l’axe direct est

égale à l’inductance Lq sur l’axe en quadrature. Par contre, elles sont différentes dans les

autres cas.

Figure I.1 : Différents types de rotors d’une MSAP.

(a) aimants permanents (1) et pièce polaire saillante (2).

(b) aimants permanents (1) noyés.

(c) aimants permanents (1) distribués sur la surface du rotor.


7

I.3.1. Structure générale de la MSAP

Le moteur synchrone est constitué de deux parties, une partie mobile où rotor constituant

l’inducteur, et une partie fixe ou stator portant des enroulements constituant l’induit. La mince

zone localisée entre ces deux éléments est appelée entrefer.

Le stator d’une machine synchrone triphasé est constitué de trois enroulements identiques

décalés de 120° dans l’espace, logés dans les encoches du circuit magnétique fixe. Ce dernier

est feuilleté afin de réduire les courants de Foucault et de limiter les pertes dans le fer.

Il est généralement construit en tôle à base d’alliage fer silicium qui permet l’obtention d’une

induction élevée [1].

Au rotor, les enroulements parcourus par un courant continu (dans le cas de la machine à rotor

bobiné) sont remplacés par des aimants permanents alternant pôles nord et pôles sud. Le flux

inducteur balaye les enroulements statorique et y induit des forces électromotrices (f.é.m)

alternatives. L’interaction des champs statorique et rotorique donne naissance à un couple sur

l’arbre du moteur et entraîne le moteur à vitesse de rotation synchrone. La figure.I.2, présente

une machine synchrone à aimants en surface.

Figure 1.2. Représentation d’une machine synchrone à aimant permanent

I.3.2. Différentes structures de machines synchrone à aimants permanents

-Les structures des machines synchrones à aimants permanents sont classées suivant la

disposition des aimants sur le rotor.

-Leurs différentes configurations incluent les machines à flux radial (REPM) et à flux axial

(AFPM).

- Celles-ci peuvent être alimentées, soit par des courants sinusoïdaux


8

- Dans le cas des MSAP ou par des courants en créneaux dans le cas BDCM.

- Une vue schématique des deux types de machines a aimants, a flux radial et a flux axial.

I.3.3. Domaines d’application

Le moteur synchrone à aimants permanents est utilisé dans une large gamme de

puissance, allant des centaines des watts (servomoteur) à plusieurs méga watts (système de

propulsion des navires) [2], C’est ainsi que le moteur synchrone peut être très utile dans de

nombreuses applications, comme [3] :

Les équipements domestiques (machine à laver le linge),

Les automobiles,

Les équipements de technologie de l’information (DVD drives),

Les outils électriques, jouets, système de vision et ses équipements,

Les équipements de soins médicaux et de santé (fraise de dentiste),

Les servomoteurs,

Les applications robotiques,

La production d’électricité,

Les propulsions des véhicules électriques et la propulsion des sous-marins,

Les machines-outils,

Les applications de l’énergie de l’éolienne,

I.4. Les avantage des machines synchrones à aimants permanentes

[5], [4]

Lors de construction des machines synchrones a aimants permanents (MSAP)

l’utilisation des aimants permanents a la place des bobinages d’excitation offrent beaucoup

d’avantage :

Commutateur mécanique remplacé par une autre électronique, ce qui a pour effet de

rendre le contrôle du moteur plus complexe et coûteux que celui d'un moteur à courant

continu,

suppression de l’alimentation du rotor (absence du contact bagues balais).

moins des pertes de cuivre, les pertes viennent surtout du stator.

facteur de puissance et rendement du moteur est améliorées.

une faible inertie et un couple massique élevé.

une meilleure performance dynamique.

construction et maintenance plus simple.

pas d’échauffement au rotor, et absence des pertes joules.


9

Le choix des aimants permanents dépend des facteurs suivants:

Performance du moteur,

Poids du moteur,

Dimension du moteur,

Rendement du moteur,

Facteur économique.

I.5.Inconvénients des machines synchrones à aimants permanents

Prix des aimants le rend plus cher,

La présence de pulsation de couple,

Risque de désaimantation, ce qui limite l'utilisation par les des contraintes comme la

température max, courant max….etc,

Pertes par courant de Foucault dans les aimants.

I.6. Modélisation de la machine synchrone à aimant permanent (MSAP)

I.6.1. Hypothèses simplificatrices

Afin de simplifier l’étude, la modélisation de la MSAP nécessite un certain nombre

D’hypothèses simplificatrices

• Le circuit magnétique n’est pas saturé, ce qui permet d’avoir des relations linéaires

entre les flux et les courants.

Nous négligeons l’hystérésis du circuit magnétique et les pertes par courants de

Foucault

La variation des résistances en fonction de la température est négligeable Nous

admettons que les forces magnétomotrices sont à distribution spatiale sinusoïdale.

I.6.2. Mise en équations de la machine

La figure I.3 Le modèle mathématique du MSAP est similaire à celui de la machine

synchrone classique en considérant les conditions simplificatrices citées précédemment.


10

Figure I.3: Représentation d’une machine synchrone à aimants permanents.

Le modèle mathématique de la MSAP est similaire à celui de la machine synchrone classique.

Dans le cadre des hypothèses simplificatrices et pour une machine équilibrée les équations de

la machine s’écrivent comme suit :

Equations électriques:

abc s abc abcs s s

dV = R i + φ

dt (I.7)

Équations magnétiques :

.abc s abc f abcs s

L i (I.8)

Où :

T

abc a b csV V V V : Vecteur tensions statoriques ;

T

abc a b csi i i i : Vecteur courants statoriques ;

T

abc a b cs : Vecteur flux statoriques ;


11

0 0

0 0

0 0

s

S s

s

R

R R

R

(I.9)

.

T

f abc af bf cf (I.10)

On désigne par :

sL : Matrice d’inductances statorique. Elle contient des termes constants que nous

regroupons

Dans 0sL et des termes variables dépendant de que nous regroupons dans 2 ( )sL

0 2S S SL L L (I.11)

0 0 0

0 0 0 0 2 2

0 0 0

2 4cos 2 cos 2 cos 2

3 3

2 4; cos 2 cos 2 cos 2

3 3

4 4cos 2 cos 2 cos 2

3 3

S S S

S S S S S S

S S S

L M M

L M L M L L

M M L

(I.12)

0Ms : Inductance mutuelle entre deux phases statoriques,

0Ls : Inductance propre d’une phase statorique,

: caractérise la position angulaire du rotor par rapport au stator.

La dernière relation importante complétant le modèle de la MSAP, est l’équation

fondamentale de la mécanique décrivant la dynamique du rotor de la machine :

r e r

dJ f C C

dt

(I.13)

Avec :

J: Moment d’inertie de la partie tournante;

: Vitesse angulaire mécanique du rotor;

Ce: Couple électromagnétique de la machine;

Cr: Couple résistant, ou de charge;


12

f r : Coefficient de frottement.

I.6.3 Modélisation de la machine

Le modèle de machine synchrone, exprimé dans le référentiel lié au rotor sous forme

d'équations d’état avec les hypothèses simplificatrices [2], s’écrit :

( ) .F X GU

Y H X

X

(I.1)

Avec:

1 1

2 2

( ) ( )( )

( ) ( )

y X h XY X

y X h X

1

2

dx I

x

(I.2)

1

2

3

;

d

q

Ix

X x I

x

d

q

VU

V

;

1

1

0

0

0 0

dL

LqG

(I.3)

1 1 2 2 31

2 1 2 2 1 3 3 3

31 3 2 1 2 3 2

f (X)

( ) f (X)

f (X)r

x x x

F X b x b x x b x

Cc x c x x c x

J

(I.4)

1 2 1 2; ; ; ;

q s d

d d q q

p L R p LRa a b b

L L L L

(I.5)

3 1 2 3; ; ; ;d qf f

q

p L Lp pfb c c c

L J J J

(I.6)

I.6.4.Equation de la machine dans le repère de Park (d, q)

Les équations obtenues dans le repère (a,b,c) sont fortement non-linéaires et couplées.

Elles sont fonctions de la position du rotor


13

Ceci fait apparaître des difficultés pour la résolution du système. Pour simplifier ce

problème, la plupart des travaux dans la littérature font appel à l’utilisation de la

transformation de Park.

Cette transformation, appliquée aux variables réelles (tensions, courants et flux),

permet d’obtenir des variables fictives appelées les composantes d-q ou de Park. Ceci

peut être interprété comme étant une substitution des enroulements des phases du

système réel (a, b, c) en enroulements orthogonaux d’axes (d, q) tournant à une vitesse

par rapport au stator figure I.4. Ce changement de repère rend les équations

dynamiques de la machine plus simples ce qui facilite leur étude et leur analyse.

Figure I.4 : Représentation équivalente dans le repère de Park.

La transformation de Park est définie comme suit:

( )dqo abcX P X (I.14)

Où X peut-être un courant, une tension ou un flux et θ représente la position du rotor.

Les termes ,Xd Xq représentent les composantes longitudinale et transversale des variables

sratoriques (tensions, courants, flux et inductances).

La matrice de transformation P est donnée par :


14

2 4cos cos cos

3 3

2 2 4( ) sin sin sin

3 3 3

1 1 1

2 2 2

P

(I.15)

Où correspond à la position du repère choisi pour la transformation.

Dont la matrice inverse a pour forme:

1

cos sin 1

2 2( ) cos sin 1

3 3

4 4cos sin 1

3 3

P

(I.16)

Avec s pour le stator et r pour le rotor.

Le moteur est supposé être connecté en étoile et forme donc un système équilibré

Ia+Ib+Ic=0.

Ainsi, la composante homopolaire désignée par la troisième ligne de la matrice (I.15) est

nulle.

I.6.5. Passage du repère d q au repère αβ

Le passage aux composantes de Park est donné par une matrice de rotation [6]:

dqX R X (I.17)

Avec :

cos sin

sin cosR

(I.18)

I.6.6. Application de la transformation de Park à la MSAP

On choisissant le référentiel de Park (d, q) lié au rotor et en appliquant la transformation

(1.14) au système (I.7), on obtient :


15

( ) ( ) ( )dq abc s abc abcs s s

dV P V P R i P

dt (I.19)

Ensuite, en se basant sur (I.16) et (I.7) on obtient:

1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )dq s dq dq dq

d dV P R P i P P P P

dt dt

(I.20)

Du moment que [RS] est diagonale, alors :

1

( ) ( )s sP R P R

En utilisant :

1

0 1 0

( ) ( ( ) ) 1 0 0

0 0 0

d dP P

dt dt

(I.21)

Et à l'aide de (I.17), on peut déduire les équations de Park sous une forme vectorielle comme

suit :

*

dq S dq dq dq

dV R i p

dt (I.22)

Ou :

0

, ,0

d dS

dq S dq

q qS

V iRV R i

V iR

, (I.23)

*,d d

dq dq

q q

(I.24)

Et la transformation (I.7) appliquée à (I.2) donne :

0

0 0

d d d f

q q q

L i

L i

(I.25)


16

I.7. Modélisation de l'alimentation de la Msap a vitesse variable

L’alimentation doit pouvoir fournir et récupérer en cas de freinage, l’énergie électrique

du moteur. Elle est généralement composée d’un convertisseur statique alimenté par une

source de tension continue constante, qui permet d’imposer aux enroulements statoriques de

la machine des tensions d’amplitude et de fréquence réglables en agissant sur la commande

des interrupteurs du convertisseur statique. Elle présente la solution adéquate pour le

démarrage des moteurs synchrones qui ne peuvent avoir couple hors synchronisme.

L’implantation de la commande nécessite la modélisation complète de tout le système (la

machine synchrone associée à un convertisseur statique). On va présenter dans ce qui suit la

modélisation de l’alimentation de la MSAP.

I.7.1. Système d’alimentation de la MSAP

Les machines électriques alimentées par des convertisseurs statiques dont le schéma de

principe est représenté par la Figure I.6 sont utilisées comme des actionneurs rotatifs dans

beaucoup d’équipements industriels à vitesse variable.

Figure I.5: Schéma global d'un MSAP à vitesse variable et de son alimentation.

Les caractéristiques exigées de l’actionneur électrique dépendent à la fois de la

machine, de son alimentation et de la commande de l’ensemble. Ces caractéristiques

sont:

Un couple avec le minimum d’ondulation possible, contrôlable par le plus petit

nombre de variable, en régime dynamique comme en régime permanent.

Une large plage de variation de vitesse.

Des constantes de temps électrique et mécanique faibles.

La source d’alimentation triphasée est supposée symétrique, de fréquence et

d’amplitude de tension constante.


17

I.6.Conclusion :

Une simple comparaison des machines synchrones à aimants permanents avec les autres

types des machines laisse deviner un avenir brillant pour la machine a aimants surtout avec

l’apparition des aimants très performants.

On a présente dans ce chapitre la machine synchrone a aimants permanents, sa constitution

fondamentale (partie induit et partie inducteur) et puisque nous pouvons distinguer les

différents types de machine synchrones a aimants permanents par la structure de leur rotor, on

a analysée ces structures en présence de pièce polaire et sa pièce polaire avec aimantation

radiale et tangentielle.

Ainsi on a mis en évidences les avantages, et les domaines d’application de la machine

synchrone à aimants permanents.

Chapitre II Les systèmes d'ordre fractionnaire

18


19

II.1.Introduction:

Dans ce chapitre, nous allons présenter les formes usuelles de représentation et

quelques méthodes couramment utilisées pour l’analyse et la simulation d’une classe de

systèmes d’ordre fractionnaire. Une analyse comparative des performances caractéristiques

de ce type de systèmes avec celles des systèmes d’ordre entier est présentée.

II.2. Quelque propriétés de la dérivation non entière

Les principales propriétés des opérateurs d'ordre fractionnaire sont les suivantes [7]:

1.Si f t est une fonction analytique de t, alors sa dérivée d'ordre fractionnaire mD f t est

une fonction analytique de t et m.

2. Pour m n , où est un entier, l'opération mD f t donne le même résultat que la

différentiation classique d'ordre entier n.

3.Pour 0m l'opération mD f t est l'opérateur identité : 0D f t f t

4.La différentiation et l'intégration d'ordres fractionnaire sont des

opérations linéaires 1,2,..., 1k

f t k m

5.La loi additive (propriété du semi-groupe) a B aD D f t D f t

6.la dérivée non entière de f t nécessite la connaissance de f t sur l'intervalle 0 ,t t alors

que dans le cas entier, seule la connaissance "locale" de autour de t est nécessaire. Cette

propriété permette d'interpréter les systèmes non entiers comme des systèmes à mémoire

longue, les systèmes entiers étant alors interprétables comme des systèmes à mémoire courte

II.3. Transformée de Laplace :

La transformée de Laplace F, fonction de l’opérateur de Laplace s, d’une fonction f,

dépendant du temps t, est définie par la relation :

_

0

; .stF s L f t s f t e dt

(II.1)

La transformation de Laplace d’une dérivée d'ordre β de la fonction f est donnée par la

relation :

; . ;B BL D f t s S L f t s (II.2)


20

II.4. Représentation d’un système d’ordre fractionnaire:

Les systèmes fractionnaires sont en général représentés par des équations

différentielles non entières, mais d’autres descriptions peuvent être utilisées, telle que la

représentation diffusive. Dans notre cas nous considérons un système d’ordre non entier,

linéaire à temps continu causal et invariant dans le temps décrit par l’approche classique, et

représenté comme dans le cas entier par trois modèles [8]:

Equation différentielle généralisée.

Fonction de transfert fractionnaire.

Représentation d’état fractionnaire.

II.4.1. Equation différentielle généralisée :

De manière générale, un système d’ordre non entier mono -variables, linéaire à temps

invariant est décrit par une équation différentielle généralisée de la forme :

1 1( ) ( ) ( )ji

n m ba

i ji jy t a D y t b D u t

(II.3)

Ou 𝑢 𝑡 ∈ 𝑅 𝑒𝑡 𝑦 𝑡 ∈ 𝑅 désignent respectivement l’entrée et le sortir du système, 𝑎𝑖 , 𝐵𝑗 ∈

𝑅, Lorsque les ordres de dérivation 𝑎𝑖 , 𝐵𝑗 sont tous multiples d’un même nombre réel à tel

que 𝑎𝑖 = 𝑖 𝑎 , 𝐵𝑗 = 𝑗 𝑎 , le système non entier est dit d’ordre commensurable.

II.4.2. Fonction de transfert d’ordre fractionnaire explicite

Plusieurs systèmes dynamiques naturels ont un comportement qui peut être modélisé par des

équations différentielles comprenant des dérivées d'ordre fractionnaire. En appliquant la

transformée de Laplace à de telles équations, et en supposant des conditions initiales nulles,

nous obtenons des fonctions de transfert avec des puissances d'ordre non entier de la variable

complexe de Laplace s.


21

Figure.II.1 : Tracé de Bode de la fonction de transfert idéale.

Une forme générale de la fonction de transfert d'ordre fractionnaire est donnée par

l'expression suivante :

*1

1

; ; ; ; ;i

j

M q

iij i j iN q

jj

b sF s M N a b p q

a s

(II.4)

Parfois toutes les puissances de s sont multiples d'une certaine valeur q, la fonction de

transfert (II.4) devient alors :

*1

1

; ; ; ;

q

q

M i

iij iN j

jj

b sF s M N q a b

a s

(II.5)

Une fonction de transfert de la forme (II.5) est dite "commensurable". Si de plus, le nombre

réel q est l'inverse d'un nombre entier Q, la fonction de transfert peut être réécrite sous la

forme :

*1

1

; ; ; ;

iM q

iij ij

N q

jj

b sF s M N Q a b

a s

(II.6)

En général une fonction de transfert d'ordre fractionnaire ne peut pas se mettre sous La

forme (II.6), mais celles qui le peuvent sont plus faciles à étudier. Les fonctions de Transfert

d'ordre entier sont souvent des cas particulier de la forme, quand 1Q .Si le processus

fractionnaire est MIMO (à entrées multiples et sorties multiples) ses n entrées et ses m sorties

seront reliées par le biais d'une matrice de transfert n _ m dont Les éléments sont similaires.

II.4.3. Représentation d’état d’un système d’ordre fractionnaire :

Le modèle d’état d’un système d’ordre fractionnaire est défini comme dans le cas entier

par deux équations :

Une équation d’état : dans laquelle chaque variable d’état xi(t) est dérivée à un


22

ordre non entier ai . Dans ce cas parle de la représentation d’état généralisée. Dans le

cas des systèmes commensurable ; tous les états xi(t) sont dérivé à un même ordre

non entier α.

Une équation de sortie : qui est une combinaison linéaire des états, comme dans le

cas entier.

Il en résulte un modèle d’état, écrit sous la forme compacte suivante :

D x Ax Bu

y Cx Du

(II.7)

Ou :

u : est le vecteur des entrées de dimension nu × 1;

x : est le vecteur d’état d’ordre fractionnaire de dimension nx × 1;

y : est le vecteur des sorties de dimension ny × 1;

α : est l’ordre de dérivation tel que 0 < α < 1 ;

A , B , C et D sont tous des matrices ou des vecteurs à éléments constants et de

dimension appropriée.

Remarque 1: Comme pour les représentations d'état d'ordre entier, les représentations d'état

d'ordre fractionnaire ne sont pas uniques. Les systèmes d'ordre fractionnaire réel

commensurable, permettent aussi une représentation dans l'espace d'état [9].

1

QD x Ax Bu

y Cx Du

(II.8)

II.4.3.1. Réalisation du modèle d’état fractionnaire :

II.4.3.1.1. Cas des systèmes commensurables :

Etant donné un système non entier mono variable linéaire invariant représente par sa fonction

de transfert G(s), donnée sous forme :

1

1

1 1 0

1 1 0

( )( )

( )m

mm

m m

n

n

b p b p b s bY sG s

U s p a p a s a

(II.9)

Pour calculer le modèle d’état qui lui correspond, on procède en trois étapes :


23

Etapes 1 : grâce au changement de variable 𝑠𝑎 , le modèle non entier G(s) peut être

remplacé par un modèle entier G(s) , qui s’écrit sous la forme :

1

1

1 1 0

1 1 0

( )( )

( )m

mm

m m

n

n

b p b p b s bY sG s

U s p a p a s a

(II.10)

Etapes 2 : calculer le modèle d’état entier correspond à ( )G s on peut obtenir touts les

formes particulière utilisées dans la théorie des systèmes d’ordre entier (forme

commandable, observable, jordan …..). On obtient, le modèle de la forme :

x Ax Bu

y Cx Du

(II.11)

Etapes 3 : remplaces dans le modèle d’état (II.13) la dérivée entière d’ordre un par la

dérivée non entière d’ordre α, ainsi le modèle d’état correspondant à la forme de transfert

(II.7) obtenu est de la forme [10].

D X Ax Bu

y Cx Du

(II.12)

La méthode reste applicable dans le cas du système commensurable multi-variables.

II4.3.1.2. Cas des systèmes d’ordre non entier généralisés :

Cas ou G(s) a un numérateur constant :

La fonction de transfert G(s) s’écrit sous la forme :

0

1 1 0

1* *

an an an

n

Y s Z s Y sG s b

U s U s Z s s a s a s a

(II.13)

On suppose, sans perte de généralité, que : 𝑎𝑛 > 𝑎𝑛−1 > ⋯ > 𝑎2 > 𝑎1.

L’équation différentielle associée à z(s)

u(s) est donnée par (la variable t est omise pour ne pas

sur charger les expressions).


24

1 1

1 1n na a a

nD Z a D Z a D Z u

(II.14)

Faisons le changement de variable pour obtenir le vecteur d’état :

1 1

2 1 2 1 1 2

1 2 1

1

2 1

3 2

1

( )

n n n

a a

a a a a a a

a a a z

n n

x z

x D x D z

x D x D D z D z

x D x D

(II.15)

1

2 1

3 2

1 1 2

1 2

2 3

3 4

( )n n n n n n n

a

a a

a a

a a a a a a a

n

D x x

D x x

D x x

D x D D D z

(II.16)

La dernière composant du dérivé du vecteur d’état D α x (D an x ) s’écrit en fonction

d’autre dérivé de z (t) et s’exprime comme suit :

1

0 1 1 2 2 1 1

n na a

n

n n n n

D x

a x a x a x a x u

(II.17)

La modèle d’état correspondant au modèle fonction de transfert est finalement donnée par :

D a x =

00⋮0

−a0

10⋮0

−a1

01⋮0

−a2

……⋮⋱…

00⋮1

−aN−1

x1

x2

x3

⋮xN

+

000⋮1

u (II. 18)

y = b0 0 0 … 0 0 x

Avec :

1 2, ......t

nx x x x (II.19)


25

11 2 1 ( )( )( )

1 2( ) , ........ n nt

a aa a aa

nD x D x D x D x (II.20)

De la même manière, on peut obtenir une forme similaire à la forme canonique

observable des systèmes entiers.

Cas ou le numérateur de G(s) a un polynôme :

La fonction de transfert G(s) supposée propre s’écrit dans ce cas sous la forme :

1 1( )

1 1 0

1

1 1 0

( )mm

m m

an an an

n

b s b s b s bG s

s a s a s a

(II.21)

Supposant que : 𝑎𝑛 > 𝑎𝑛−1 > ⋯ > 𝑎2 > 𝑎1 𝑒𝑡 βm > βm − 1 > ⋯ > β2

> β1

La méthode générale permettant de calculer la représentation d’état de la fonction de

transfert G(s) (II.21) est présentée dans ce que ce qui suit :

Soit le vecteur constitue de la concaténation des ordres non entiers 𝑎𝑖 𝑒𝑡 β𝑖 de G(s) :

1 2 3 2 1n m n m n ma a a a a a a (II.22)

Tel que : 𝑎 𝑛+𝑚 > 𝑎 𝑛+𝑚−1 > 𝑎 𝑛+𝑚−2 … . . 𝑎 3 > 𝑎 2 > 𝑎 1

L’ordre 𝑎𝑖 étant quelconque, par analogie à la section précédente pour le choix des

variables d’état, nous obtenant le modèle d’état suivant :

D a x =

00⋮0

−a 1

10⋮0

−a 2

01⋮0

−a 3

……⋮⋱…

00⋮1

−a n+m−1

x1

x2

x3

⋮xN

+

000⋮1

u (II. 23)

y = c 1 c 2 c 3 … c n+m−1 c n+m x

Avec :

12 11

1 2( ) , ,........ n m n ma aa a aa

n mD x D x D x D x

(II.23)

La fonction de transfert G(s) contient (m + 1) termes au numérateur et (n + 1)

termes au dénominateur. En tenant compte que le nombre de variable d’état du système non

entier est égal à la somme de la dimension du polynôme du numérateur et cette du polynôme


26

dénominateur, nous obtenons donc un vecteur d’état augmenté de dimension(n + m),

contrairement aux systèmes entiers, ou le nombre de variable de leur modèle d’état est fixé

par la dimension du polynôme du dénominateur de sa fonction de transfert.

Les éléments de la matrice A non nuls sont les coefficients correspondant à l’ordre du

dénominateur et les éléments non nuls du vecteur C sont ceux du numérateur de G(s) .

Il suffit donc de la sorte à faire ressortir(m)termes pour lesquels les ordres non entiers

correspondent à ceux des numérateurs de G(s) et n termes pour lesquels les ordres non

entiers correspondent à ceux du dénominateur de G(s). La procédure de sélection des

éléments 𝑎 𝑖 et 𝑐 𝑖 s’effectue comme suite :

a n+m = an

si a i = β j alors c i+1 = bj et a n+m−i = 0 i = 1, … n + m − 1

si a i = a j alors c i+1 = 0 et a n+m−i = an−j i = 1, … n + m − 1

(II. 25)

II.5.Commandabilité :

Le système d’ordre fractionnaire (II.26) est command able si et seulement si la matrice

de commandabilité [11].

10 .... NB AB A B (II.26)

(Où N est le nombre des états) est une matrice de rang plein.

II.5.1. Décomposition modale d’un système d’ordre fractionnaire :

Dans le cas entier, la décomposition modale d’un système s’effectue, soit par

décomposition en éléments simples si le système est décrit par une fonction de transfert de

la forme : 𝑌 𝑠

𝑈 𝑠 =

𝑁 𝑠

𝐷 𝑠 , soit par diagonalisation de la matrice d’évolution si le système est

décrit par une représentation d'état.

De manière analogue au cas entier, la décomposition modale d’un système d’ordre

fractionnaire réel commensurable s’effectue par la diagonalisation de la matrice

d’évolution. Un changement de base par transformation semblable du système permet en

effet d’obtenir une nouvelle formulation [12]:


27

1

Q

J J J

J J

D x Jx B u

y C x Du

(II.27)

Où 𝐽 est la matrice de Jordan contenant en sa diagonale l’ensemble des valeurs propres de la

matrice 𝐴 .

Mettant α = 1 / 𝑄 , alors, la sortie 𝑦(𝑡) peut être exprimée par :

𝑦 𝑡 = 𝔗−1 𝐶𝐽 𝑠𝛼𝐼 − 𝐽 −1𝐵𝐽 ∗ 𝑢 𝑡 + 𝐷𝑢(𝑡) (II.28)

Comme J est une matrice de Jordan, la matrice 𝑠𝛼 𝐼 − 𝐽 −1

peut être exprimée par :

𝑠𝛼𝐼 − 𝐽 −1 =

𝑠

𝛼 𝐼 − 𝐽𝑑1(𝜆1)

−1

⋱

𝑠𝛼𝐼 − 𝐽𝑑𝑙(𝜆𝑙)

−1

⋱

0

0 𝑠𝛼𝐼 − 𝐽𝑑𝑁(𝜆𝑁)

−1

(II.29)

Avec :

𝑠𝛼 𝐼 − 𝐽𝑑𝑙(𝜆𝑙)

−1=

𝑠𝛼 − 𝜆𝑙

−1 𝑠𝛼 − 𝜆𝑙 −2 ⋯ 𝑠𝛼 − 𝜆𝑙

−𝑑𝑙

𝑠𝛼 − 𝜆𝑙 −1 ⋮

⋱ 0 ⋱ 𝑠𝛼 − 𝜆𝑙

−2

𝑠𝛼 − 𝜆𝑙 −1

(II. 30)

Où λl sont les valeurs propres du système et dl est la multiplicité de la valeur propre λl .La

sortie y(t) est donc un vecteur dont les composantes sont définie par une combinaison linéaire

d’éléments, appelés modes propres du système de la forme :

𝔗−1 𝑠𝛼 − 𝜆𝑙 −𝑑𝑙 ∗ 𝑢 𝑡 (II. 31)


28

II.6. Conclusion :

Dans le deuxième chapitre nous avons introduit les déférentes définitions et propriété

de système d’ordre non entier. Ensuite nous avons rappelé les déférentes représentations de

système d’ordre fractionnaire : équation différentielle, fonction de transfert, représentation

d’état et les conditions de commandabilté,


29

Chapitre III Commande robuste d'ordre non entier

30

III.1. Introduction

Avec l’avènement des calculateurs numériques l’utilisation de commandes plus

évoluées tel que les commandes optimales, adaptatives, prédictives a été possible.

Un régulateur doit satisfaire aux objectifs généraux de la régulation ainsi qu’aux contraintes

liées au rejet des perturbations. Dans le cas d’un régulateur PI, et à cause du manque de degré

de liberté que nous impose ce dernier, seule la poursuite des références pour un point de

fonctionnement fixe pourra être envisagée.

En effet, un régulateur PI ne peut pas assurer, avec les seuls paramètres de correction KP et

KI, les objectifs de régulation en boucle fermée pour un système à l’origine d’ordre supérieur

a un Par conséquent, pour résoudre les problèmes de robustesse de la commande vectorielle

de la machine asynchrone (variation paramétrique), il est souhaitable d’aborder des

régulateurs plus avances, dont le nombre de paramètres est détermine en fonction de l’ordre

du système d’origine (machine double étoile ou double alimentée).

Dans ce chapitre, nous chercherons à répondre aux contraintes de poursuite et de régulation de

la machine a induction. Les objectifs que nous chercherons à atteindre concerneront la

robustesse en termes de stabilité et de performance. Dans le cas ou les paramètres du système

d’origine sont modifiés, la robustesse en termes de stabilité permet de conserver la stabilité du

système en boucle fermée, et la robustesse en termes de performances se mesure au niveau de

la rapidité et de la précision de poursuite des références.

Dans cette partie, nous présentons la structure de régulation RST en continu, dans laquelle les

objectifs de poursuite et de régulation serrent examinés à travers des tests de robustesse.

Figure. III.1 : Schéma bloc d’un système avec correcteur (Boucle fermée)


31

III.2.Régulateur PID :

Le régulateur PID est une simple implémentation de retour d’information (Feedback).

Ila la capacité d'éliminer la compensation de l'état d'équilibre grâce à l'action intégrale, et il

peut anticiper le futur grâce à une action dérivée.

III.2.1.Régulateur PID analogique :

Le régulateur, dont la fonction de transfert est désignée par ( )cG s (Régler), est situé en

amont du système à régler) ( )G s

V(s)

Régulateur

W(s)

E(s) U(s) Y(s)

-

Figure. III.2:Schéma fonctionnel d’un système asservi mono-variable.

III.2.2.REGULATEUR PROPORTIONNELLE (P) :

Ce correcteur élémentaire est le correcteur de base, il agit principalement sur le gain

du système asservi et permet donc d’améliorer notablement la précision. La loi de commande

)(tu est proportionnelle à l’écart )(t :

))()(()()( tStCpktpktu

(III.1)

En introduit la transformation de Laplace :

pkp

pupC

)(

)()(

(III.2)

Nous avons vus que l’effet d’une augmentation du gain entraîne une diminution de

l’erreur statique, rend le système plus rapide mais augmente l’instabilité du système [13].

Ga (s)

Gc(s)


32

III.2.3. Avantages et inconvénients de l’action proportionnelle:

On voit que le régulateur proportionnel assure une transmission instantanée du signal

d’erreur; dans ce sens, son action est relativement dynamique sa commande ne dépend pas du

passé, ni d’une tendance, mais simplement de ce qui se passe à l’instant présent.

Une limitation du régulateur proportionnel est son incapacité à annuler notamment

l’erreur statique (vis-à-vis d’une consigne constante ou d’une perturbation constante). En

effet, si la commande )(tu à appliquer au système doit être non nulle afin que celui-ci puisse

retrouver ou maintenir son état d’équilibre, il est dans le même temps nécessaire que l’erreur

soit non nulle puisque :

0)( tu , 0)( tk p 0)( t

. (III.3)

Cependant l’action proportionnelle est souvent suffisante pour régler plusieurs systèmes dans

l’industrie. Elle est simple à réaliser d’où son grand avantage [10].

III.2.3.1. Régulateur proportionnelle et intégrateur (PI) :

Un régulateur à actions Proportionnelle et Intégrale (PI) élabore une commande

conformément à la relation :

0

1( ) ( ) ( )

t

i

i

u t K t t dtT

(III.4)

La transmittance s’obtient facilement :

PTK

p

pupC

i

i

11

)(

)()(

(III.5)


33

III.2.3.2. Regulateur proportionnelle et derivateur (PD) :

La loi de commande est de la forme [14]:

dt

tdTtKtu dd

)()()(

(III.6)

Prenons la transformation de Laplace de l’expression (I-22):

pTKp

pupC dd 1

)(

)()(

(III.7)

Ce correcteur produit une avance de phase, de 0 à 90°, avec 45° pourdT

1

Cette avance de phase a pour résultat d’augmenter la marge de phase.

il ne modifie pas la précision statique, car C (0) = 1.

le facteur de résonance est diminué, donc le coefficient d’amortissement du ordre

équivalent est augmenté, le dépassement diminué.

la rapidité de réponse du système ainsi corrigé est améliorée ; en effet, l’apparition

d’une erreur est traitée en fonction, non seulement de son amplitude mais aussi de sa

dérivée [15].

III.2.3.3. Régulateur proportionnelle intégrateur et dérivateur (PID) :

Le régulateur Proportionnel-Intégral-Dérivée est la combinaison des trois actions de

base P, I et D. Grâce au terme I, il permet l'annulation d'une erreur statique tout en autorisant

des performances de rapidité supérieures à un régulateur PI.

Loi de commande du régulateur PID:

t

d tTdttT

tKtu0

)()(1

)()( (III.8)


34

Fonction de transfert du régulateur PID:

pT

pTTpTK

p

pUpC

i

dii

21

)()(

(III.9)

L’intérêt du correcteur PID est d’intégrer les effets positifs des trois correcteurs précédents.

La détermination des coefficientsPK , iT

dT du correcteur PID permet d’améliorer à la fois la

précision ( dT etPK ) la stabilité ( dT ) et la rapidité ( dT ,

PK ).Le réglage d’un PID est en

général assez complexe, des méthodes pratiques de réglages permettent d’obtenir des bons

résultats [13].

III.3. Méthode de synthèse des contrôleurs 𝐏𝐈𝐃 ( 𝛂 = 𝛃 = 𝟏)

En 1942, Ziegler et Nichols ont proposé deux approches heuristiques basées sur leur

expérience et quelques simulations pour ajuster rapidement les paramètres des régulateurs P,

PI et PID. La première méthode nécessite l’enregistrement de la réponse indicielle en boucle

ouverte, alors que la deuxième demande d’amener le système bouclé à sa limite de stabilité.

La deuxième méthode est basée sur la connaissance du point critique du processus.

Expérimentalement, on boucle le processus sur un simple régulateur proportionnel dont on

augmente le gain jusqu'à amener le système à osciller de manière permanente ; on se trouve

ainsi à la limite de stabilité. Après avoir relevé le gain critiquecrk du régulateur et la période

d’oscillation Tcr de la réponse, on peut calculer les paramètres du régulateur choisi à l’aide du

tableau III.1.

Type 𝑲𝒑 𝑻𝒊 𝑻𝒅

𝑷 𝟎. 𝟓𝑲𝒄𝒓

𝑷𝑰 𝟎. 𝟒𝑲𝒄𝒓 𝟎. 𝟖𝑻𝒄𝒓

𝑷𝑰𝑫 𝟎. 𝟔𝑲𝒄𝒓 𝟎. 𝟓𝑻𝒄𝒓 𝟎. 𝟏𝟐𝟓𝑻𝒄𝒓

Tableu. III.1 Paramètres du PID obtenus à partir du point critique (Ziegler-Nichols)


35

III.4. La commande en boucle ouverte :

En l’absence d’entrées perturbatrices et en supposant que le modèle mathématique du

système est parfait, il est imaginable de générer un signal de commande produisant le signal

de sortie souhaite. Cela constitue le principe de la commande en boucle ouverte qui exploite

la connaissance des dynamiques du système afin de générer les entrées ’adéquate ts . Ces

derniers ne sont donc pas influences par la connaissance des signaux de sortie ts .

E(t) c(t) s(t)

Entrée de cosigne signale de commande sortie réelle

Figure. III.3 : commande en boucle ouverte.

Cette solution est envisageable dans le cas où le système est parfaitement connu et modélise

et dans le Cassou l’obtention d’une mesure de la sortie n’est pas économiquement possible.

III.5. Caractérisation des systèmes de commande à contre-réaction :

Jusqu’à présent, nous avons principalement défini les transferts en boucle ouverte et en

boucle fermée. L’exemple de la section précédente induit, à travers l’introduction de la

perturbation, que d’autres transferts peuvent être intéressants à considérer afin d’avoir une

vision plus complète des problèmes posés par la structure de commande à contrer- réaction.

Nous définissons ainsi un schéma fonctionnel plus complet incluant un signal de

perturbation b et un signal de bruit de mesure w [16][17].

Loi de

commande

Actionneur Système


36

Figure III.4 Schéma bloc avec perturbation et bruit

Ou :

r est le signal de référence que doit suivre la sortie

𝑦 est la sortie du système

u est la commande issue du correcteur K(p)

v est le signal de commande entrant réellement dans le système

b est le signal des perturbations

ϵ = r − (y + w) est le signal d’erreur

w est le signal des bruits de mesure

A partir de ce schéma fonctionnel, différents transferts entre les entrées et les signaux de

sortie intéressants vont être considérés.

III.5.1. Les fonctions de sensibilité :

Les relations algébriques élémentaires définies dans le schéma fonctionnel (III.10)

s’écrivent [18].

y p = G p ∗ v p ( III. 10)

v p = b p + u p ( III. 11)

u p = K p ∗ ε p ( III. 12)

ε p = r p − w p − y p ( III. 13)

y

w

b

r + ϵ

v u

+

+

K(p) G(p)


37

Cela permet de déterminer les relations en boucle fermée entre la sortie exogène et les entrées

exogènes :

y p = (1 + G p K p )−1G p b p + (1 + G p K p )−1G p K p r p − w p (III. 14)

S(p) T(p)

Définition : (Sensibilité et sensibilité complémentaire)

Les fonctions de transfert S(p) et T(p) sont appelées respectivement fonction de

sensibilité et fonction de sensibilité complémentaire.

La fonction de sensibilité complémentaire est en fait la fonction de transfert en boucle

fermée usuelle.

S p =1

1 + G p K(p) T p =

G p K(p)

1 + G p K(p) ( III. 15)

Il est à noter que 𝑇 𝑝 = 𝐺 𝑝 𝐾 𝑝 𝑆(𝑝) et donc :

S p + T p = 1 ( III. 16)

Un signal permettant d’analyser la précision du système est celui de l’erreur ε(p) :

ε p = S p r p − S p G p b p + T p w p ( III. 17)

Afin de conserver un certain contrôle sur l’amplitude de la commande délivrée et de la

commande reçue, il est également nécessaire de connaitre les transferts de ces commandes

aux entrées exogènes :

u p = K p S p r p − w p − T p b p ( III. 18)

v p = K p S p r p − w p + S p b p ( III. 19)

Le schéma fonctionnel précédent fait donc apparaitre quatre fonctions de transfert

importantes appelées fonctions de sensibilité :

S p S p G p T p S p K(p)

Ou :


38

* 𝐒(𝐩) représente le transfert entre la référence et l’erreur et entre la perturbation et la

commande délivrée.

* 𝐓(𝐩) représente l’influence des bruits de mesure sur la sortie et l’erreur et l’influence de la

perturbation sur la commande délivrée.

* 𝐒(𝐩)𝐆(𝐩) représente l’influence de la perturbation sur la sortie et l’erreur.

* 𝐒 𝐩 𝐊(𝐩) représente l’influence de la référence et des bruits de mesure sur les commandes.

Objectifs de commande :

Compte tenu des relations établies précédemment et de l’analyse qui les suit, la synthèse

du correcteur K doit obéir aux différents objectifs suivants :

* Un bon suivi du signal de référence implique une fonction de sensibilité S(p) faible en

amplitude.

* Une bonne rejection des perturbations sera obtenue pour S(p)G(p) faible.

* Les bruits de mesure seront atténués si l’amplitude de T(p) est faible sur la plage de

fréquence concernée.

* L’effort de commande est faible si l’amplitude de S(p)K(p) et de T(p) est faible.

* La commande délivrée au système est faible si S(p) et S(p)K(p) sont d’amplitude faible.

Ces objectifs de commande sont contradictoires et devront faire l’objet de compromis

lors de la synthèse du système de commande [17].

III.6. Modelage des fonctions de sensibilité:

Une stratégie différente de celle du Loopshaping est de définir les spécifications

directement sur les fonctions de sensibilité S et T et de reformuler le problème de synthèse en

un problème d’optimisation. En effet, la sensibilité S est en particulier un bon indicateur des

performances du système.

Critères de performance On définit deux indicateurs de performance à partir de la norme

H∞ sur les fonctions de sensibilité et sensibilité complémentaires [17].

supS

w

M s S jw

(III.20)

sup ( )Tw

M T T jw

(III.21)


39

Ms et MT correspondent à un pic de la courbe de gain de chacun des transferts considérés.

Des valeurs de Ms et de MT grands indiquent une faible performance du système ainsi qu’une

faible robustesse vis à vis des perturbations pouvant l’affecter. Des valeurs typiques correctes

sont données par :

2(6 )SM db (III.23)

1.25(2 )TM db

(III.24)

Ces deux grandeurs ne sont évidemment pas indépendantes et doivent vérifier :

S − T < S + T = 1 ∀ w (III. 25)

Remarque :

La marge de module définie dans le chapitre précédent se définit également comme,

∆M =1

Ms (III. 26)

Un lien entre ces grandeurs et la marge de phase et de gain peut également être établi.

KG ≥ Ms

Ms − 1M∅ ≥ 2 sin−1

1

2Ms ≥

1

Msrad (III. 27)

KG ≥ 1 +1

MTM∅ ≥ 2 sin−1

1

2MT >

1

MTrad (III. 28)

III.6.1.Spécifications de performance en sensibilité

Elles sont données sous la forme suivante :

1- une bande passante minimale wB à −3 dB

S(jwB ) = 0.707 (III. 29)

2- une erreur maximale de position en régime permanent A

3- le modelage de S sur certaines plages de fréquences

4- l’amplitude maximale du module de S :

S ∞ < Ms (III. 30)

Remarque :

La dernière spécification permet d’éviter l’amplification du bruit aux hautes fréquences et

introduit une marge de robustesse. Un choix usuel est Ms = 2 .


40

L’ensemble de ces spécifications peut être traduit en une spécification unique faisant

intervenir une borne supérieure 1

w p (jw ) sur l’amplitude de S.

∀ w S jw <1

wp jw ⇔ wp jw S jw < 1 (III. 31)

wp𝑆 ∞

< 1 (III. 32)

Définition :(Fonction de pondération)

wp(p) Est appelée fonction de pondération de S .

La spécification de pondération signifie donc que la norme H∞ (la valeur maximale du

gain) de S pondérée par la fonction wp(p) doit être inférieure à 1. L’interprétation graphique

de la condition sur la sensibilité s’obtient en montrant que :

wpS ∞

< 1 ⇔ ∀ w wp jw < L jw + 1 (III. 33)

Cela signifie donc que le lieu de transfert en boucle ouverte L(jw) tracé dans le plan de

Nyquist n’entre pas dans le disque de centre (−1, 0) et de rayon wp(jw) .

Figure III.5. plan de Nyquist

Un choix classique pour la fonction de pondération est :

wp p =

pM + wB

p + wBA (III. 34)


41

Le tracé asymptotique dans Bode de 1

w p p est donné par :

Figure III.6. Fonction de pondération wp

La borne supérieure de |S|, 1

w p vérifie :

- aux basses fréquences, elle est égale à A ≤ 1 (action intégrale)

- aux hautes fréquences, elle est égale à M ≥ 1

- wB est la pulsation de coupure à −3 dB

Remarque :

Afin d’améliorer les performances, on choisit parfois une fonction de pondération plus

complexe :

wp p =(P M

12 + wB )2

(P + wBA1

2 )2 (III. 35)

Exemple :

On reprend l’exemple utilisé pour le loopshaping de la section suivante. Après

loopshaping, la boucle ouverte vaut :

L p =0.15(−2p + 1)

p(2p + 1)(0.33p + 1) (III. 36)

Un choix de filtre de pondération cohérent avec les spécifications imposées est donné par :

M = 1.8 et A = 0 wB = 0.05 rad/S


42

Le choix de (A = 0) correspond bien à la nécessité d’inclure une action intégrale dans la

boucle pour annuler l’erreur en régime permanent en réponse à un échelon de position.

Il est à noter sur la figure que la pulsation à partir de laquelle S~1 (le correcteur n’est

plus effectif) est 1 rad/s [17].

Figure III.7. Fonction de pondération

III.7.Régulateur PID Fractionnaire :

Le correcteur d’ordre fractionnaire PI D ne généralisation du correcteur PID classique a été

proposée par Podlubny en 1999 [9]. Sa fonction de transfert est donnée par [19]:

IP D

KC s K K s

s

(II.37)

où PK , IK et DK sont des nombres réel et et sont des nombres réels positives. De

l’équation (II.37), on note que pour 1 le correcteur d’ordre fractionnaire PI D

devient le correcteur PID classique. Figure II.8 montre la disposition du correcteur d’ordre

fractionnaire PI D m dans le plan , .

10-3

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Magnitu

de (

dB

)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


43

Figure III.8. : Disposition du correcteur PI D dans le plan ,

De la figure III.8, on peut facilement voir que tous les types de correcteurs classiques P, PI,

PD and PID sont des cas spéciaux du correcteur d’ordre fractionnaire PI D Depuis sa

proposition, beaucoup de chercheurs se sont intéressés à l'utilisation et à l'ajustement des

paramètres de ce correcteur PI D fractionnaire. L'intérêt de ce genre de contrôleurs est

justifié par une meilleure flexibilité, puisque en plus des trois paramètres classiques de

réglage du correcteur PID, il possède deux autres paramètres de réglage l’ordre d’intégration

et l’ordre de différentiation . Ces deux paramètres peuvent être employés pour remplir

des caractéristiques additionnelles ou d'autres conditions intéressantes dans la commande des

systèmes asservis linéaires.

Commande d’ordre fractionnaire

La décennie précédente a connu des efforts de recherche très remarquable reliés au calcul

d’ordre fractionnaire et son application dans la théorie de la commande des systèmes.

Clairement, pour une boucle fermée de commande des systèmes, il existe quatre situations :

- système d’ordre entier avec régulateur d’ordre entier

- système d’ordre entier avec régulateur d’ordre fractionnaire

- système d’ordre fractionnaire avec régulateur d’ordre entier

- système d’ordre fractionnaire avec régulateur d’ordre fractionnaire

En pratique, on considère uniquement le cas du système d’ordre entier avec correcteur

d’ordre fractionnaire parce qu’en général le modèle du système peut être déjà obtenu comme

un modèle d’ordre entier dans le sens classique.


44

Du point de vue ingénierie, la signification de commande d’ordre fractionnaire est que c'est

une généralisation de la théorie de commande d’ordre entier classique qui pourrait mener à

une modélisation plus adéquate et des performances de commande plus robuste. En effet,

l’intérêt majeur de la commande d’ordre fractionnaire est l’amélioration ou l’optimisation des

performances en utilisant les concepts de la théorie des dérivées, intégrales et des systèmes

d’ordre fractionnaire. La première tentative d’appliquer le calcul d’ordre fractionnaire pour la

commande des systèmes peut être trouvée dans . Du point de vue historique, il existe dans

la littérature quelques structures principales de commande d’ordre fractionnaire.

III.7.1. Conception d’une commande PIα

Dβ

d’ordre fractionnaire :

La commande PID est la technique la plus utilisée actuellement dans la commande des

processus industriels. Sa fonction de transfert est bien connue sous la forme :

ip d

U( s ) KC( s ) K K s

E( s ) s (III-38)

Où 𝐸(𝑆)représentent l’erreur et 𝑈(𝑆)la commande.

Avait proposé une généralisation de cette commande, appelée commande PIα

Dβ

d’ordre

fractionnaire définie par sa fonction de transfert donnée sous la forme (III.37)

L’équation différentiel le correspondante à la fonction de transfert , est donnée par :

p i du( t ) K e( t ) K D e( t ) K D e( t ) (III-39)

Comme il est montré sur la figure (III.1), le PIα

Dβ

fractionnaire généralise le PID

conventionnel et l’étend du point au plan. Cette extension donne plus de flexibilité dans la

conception des commandes PID.


45

III.8. Conclusion:

Les trois actions du régulateur PID permettent de commander le moteur électrique à

courant continu, tout en garantissant une annulation de l’erreur permanente de la sortie

régulée, vis-à-vis d’échelons en entrée de consigne. Cette propriété de précision est due à la

présence d’une action intégrale. L’ajout d’une action dérivée permet d’augmenter la stabilité

du moteur électrique, et donc de diminuer le dépassement de la réponse indicielle. L’ajout de

cette dérivée n’est pas systématique et dépend des propriétés du moteur électrique, du cahier

de charge imposé (en terme de dépassement), dans certains cas il suffit l’utilisation d’un

régulateur PI uniquement, comme l’asservissement en vitesse du moteur électrique. La

réalisation de l’action dérivée est préférentiellement réalisée sur la mesure, afin d’éviter la

saturation de la commande.

Un des intérêts du régulateur PID, qui explique sa popularité dans le milieu industriel, est sans

conteste la possibilité de le régler sans connaissance approfondie du système. En effet, on

dispose de méthodes empiriques, fondées uniquement sur la réponse temporelle du système,

selon une procédure expérimentale, comme la méthode d’oscillation de Ziegler-Nicholas

utilisée dans la section (III.3.1.2), permettant dans la majorité des cas d’aboutir à des

performances acceptable.

Chapitre IV Commande Robuste d’un Moteur Synchrone à Aimant Permanent

47

IV.1. Introduction:

Introduction sur la commande robuste d’une MSAP

Ce chapitre propose contrôleur PID fractionnaire de moteur synchrone aimant

permanent. Dans le processus de conception du contrôleur de sensibilité mixte robuste, la

sélection des paramètres de la fonction de pondération est généralement basée sur l'expérience

du concepteur, en utilisant la méthode d'essai et d'erreur [26]. Afin d'améliorer le contrôle de

la qualité du système MSAP, non linéaire, solide système de couplage du contrôleur robuste

de MSAP a été conçu. L'idée clé derrière la méthode proposée est la formulation du problème

de conception PID d’ordre fractionnaire pour le système MSAP comme un problème

d'optimisation avec la fonction objective incluant intégrale du temps pondéré erreur absolue,

ce qui permet de satisfaire certaines spécifications de performance tels que: un bon suivi du

point de consigne, une satisfaisante charger le rejet des perturbations.

IV.2. Le modèle mathématique du moteur synchrone à aimant permanent

en tension dans le système de coordonnées dq tournant

La dynamique du système de la moteur synchrone à aimant permanent est décrite

par les équations différentielles suivantes [27] :

Les équations des composantes du vecteur de tension:

1

1

dd q

q

q d

dU Ri

dt

dU Ri

dt

(IV.1)

Les équations des composantes du vecteur flux:

d d d

q q q

L i

L i

(IV.2)

L’équation du couple électromagnétique :

3

2e d q q dT P i i (IV.3)


48

La vitesse du moteur peut être exprimé en tant que :

1

M e M t

M

T B TJ

1, MP (IV.4)

Selon les équations (IV.1) - (IV.4), on peut obtenir le schéma fonctionnel courant de

commande de boucle de moteur synchrone à aimant permanent, qui est représenté sur la

fonction de transfert du système.

M

q

sG s

I s

(IV.5)

Avec:

3 2 ( ( ) )T

T p T i

p n p n i n K i n

K K s K K

JLs BL J R K K s B R K K K K J K K s K K B

3

2TK P , i

ACR p

KK K

s , n iK R ,

Figure IV.1. : Boucle de régulation du courant en quadrature-axe de la MSAP

Le diagramme de simulation de l'ensemble du système de commande de moteur est représenté

sur la Figure IV.2.


49

Figure IV.2: Le schéma block de de MSAP contrôle de PID

Dans cette étude, les paramètres MSAP:

MSAP Paramètres Valeur nominale (p.u)

Nombre de paire de pole, P 4

Amplitude de flux induit, 0.175Wb

Résistance de bobinages de stator, R 2.8750

d et q axes inductances, dL et

qL 0.000835H

Moment d'inertie, MJ 20.008 /kg m

Coefficient de friction, B 0.001 . .N m s

Tableau 1: Paramètres MSAP

Tensions continue:

Dans ce modèle, la boucle de vitesse utilisé régulateur PI, les paramètres sont les suivants:

courant régulateur de quadrature axe

contrôleur de boucle de courant de l'axe est direct

200 40 s

200 40 s

400dcU V


50

IV.3. Résultats de Simulation

Figure IV.3. Amélioration de la marge de robustesse en performances du système bouclé

Dans l'environnement MATLAB / Simulink, nous utilisons l'espace contrôle PID d’ordre

fractionnaire établi du système MSAP combine la conception de la simulation du contrôleur

de sensibilité de robustesse mélangée. Nous utilisons l'espace système de contrôle PID établie

de MSAP combinant avec la conception du contrôleur de sensibilité mixte robuste pour

simuler.

La figure. IV 3 compare entre les valeurs singulières maximales des matrices de pondération

inverse et les matrices de sensibilité .Le chiffre entre 0,5 compare les valeurs singulières

maximales des matrices de pondération inverses et des matrices de sensibilité

complémentaires.

10-5

100

105

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

100

Fréquence[rad/sec]

Magnitude

Comparison entre(1/W1(s) et S(s))

S(s) sensibilité directe

1/W1


51

Figure IV.4. Amélioration de la marge de Robustesse de stabilité du système bouclé

10-5

100

105

10-3

10-2

10-1

100

101

Fréquence[rad/sec]

max S

VD

Comparison entre(1/W3(s) et T(s))

T(s) sensibilité complimentaire

1/W3(s)


52

Pour confirmer ces résultats dans le domaine temporel, les blocs de la Simulink de Matlab

sont utilisés afin de boucle en forme de système perturbé par un PID d’ordre fractionnaire.

Figure.IV.5. est la courbe de réponse du système que la vitesse initiale donnée de 400 tr / min

à 700 tr / min dans 0.004s.

Figure IV .5. La vitesse en fonction de nombre d’interaction

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

x 104

0

100

200

300

400

500

600

700

temps[sec]

vitesse[t

r/m

in]

Comparison entre la vitesse réel (we) et la consigne)

Consigne

Vitesse réel we


53

Figure IV.6. Le couple

Le couple de charge . sect 0 003 au point .tT 2N m muté en sorte que la courbe de réponse de

vitesse est représenté dans Figure.6.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

x 104

-10

0

10

20

30

40

50

temps[sec]

cou

ple

[N

/m]

Comparison entre le couple réel (Ce) et la consigne)

Consigne

Couple réel Ce


54

Figure IV.7. Triphasé courant

0 1 2 3 4 5 6

x 104

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

temps[sec]

coura

nt

les courants I(a),I(b),I(c)

i(a)

i(b)

I(c)


55

IV.4.Conclusion

Ce chapitre a établi un modèle d'espace de contrôle de moteur synchrone de aimant

permanent; le contrôleur de PID d’ordre fractionnaire robuste est conçue en fonction de la

fonction de transfert d'axe en quadrature boucle de courant. Dans ce travail, l'algorithme F

minimax a été utilisé pour trouver les paramètres optimaux du contrôleur PID d’ordre

fractionnaire qui réduit les erreurs (ITAE).

Le système de commande PID d’ordre fractionnaire présentent une bonne fréquence et le

temps de réponse de domaine par comparaison avec le contrôleur PID d’ordre fractionnaire.

Les résultats des simulations montrent que le système de contrôle a une excellente

performance dynamique, il peut être effectivement supprimé les effets indésirables par les

perturbations de charge.

Le contrôleur conçu assure la performance robuste de MSAP système spatial.

Conclusion général

Conclusion général

Dans notre projet, nous avons présenté les démarches de calcul d’un contrôleur robuste.

Ce contrôleur prend la structure de trois actions en cascade qui sont : l’action proportionnelle,

intégrale et dérivée. Le contrôleur est synthétisé par la méthode des gains principaux dont

l’objectif est d’assurer d’une part une bonne dynamique de poursuite de consigne, et d’une

autre part, d’une bonne dynamique de régulation. Les paramètres de ce contrôleur sont

obtenus pour la première étape par un choix à priori fourni par l’utilisateur, nous avons

présenté pour ce cas que cette méthode est basée sur le hasard de choix et prend un temps de

tentative important. Pour la deuxième étape nous avons proposé une technique permettant de

paliers ces inconvénients, cette proposition généralise la méthode de commande proposée

pour n’importe quel système. La méthode de commande proposée est validée sur un moteur

synchrone à aimant permanent et les résultats obtenus sont très encourageants.

Enfin, comme suite à ce travail est d’introduire des pondérations d’ordre non entier dans

le critère de la sensibilité mixte afin d’améliorer le compromis de robustesse d’un système

bouclé par un contrôleur fractionnaire.

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RESUME Dans ce mémoire, une méthode de synthèse de contrôleur robuste Fractionnaire d' Ordre PID basé sur

Fminimax algorithme d'optimisation est proposé de contrôler la vitesse de moteur synchrone a l'aimant

permanent

Afin d'obtenir une bonne performance dynamique, la sélection de la fonction de pondération utilise

l'algorithme génétique pour optimiser dans le processus de conception du PID classique. Les performances

obtenues sont comparées à celles données par un contrôleur PID classique dans le domaine des fréquences et

dans le temps.

Abstract In this work, a synthesis method of robust Fractional Order PID controller based on Fmini-max optimization

algorithm is proposed to control the speed motor of permanent magnet synchronous motor. Space Vector

Pulse. In order to obtain a good dynamic performance, the selection of the weighting function uses genetic

algorithm to optimize in the process of designing the robust PID. The performances obtained are compared

with those given by an controller using in the frequency domain and in the time

Commande robuste d'un moteur synchrone à aimant … KACI-HAMDOU-OUSSA… · IV.7 Triphasé courant...

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