1Juillet 05

Commande par Bond Graph

Christophe Sueur

LAGIS UMR CNRS 8146cole Centrale de Lille

E-mail : christophe.sueur@ec-lille.fr

2Juillet 05

Sommaire

ProblmatiqueExemples physiques

Analyse structurelleCaractrisation dun modle ( BG, espace dtat)

Rang structurel

Commandabilit/observabilit structurelle

Dcouplage entre-sortieNotion de dcouplage

Structure linfini, Structure finie

Condition structurelle

Platitude

Concept mathmatique

Application moteur DC

Conclusion

3Juillet 05

Mthode de lingnieur

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Platitude

Conclusion

CommandeModlisation

Simulation

Analyse

Simplification de modle

Supervision

Dtection de faute

et Isolation

Analyse pour la commande

Calcul de loi de commande

Approche mcatronique - Conception intgre

4Juillet 05

Circuit lectrique

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Platitude

Conclusion

L1 L2

C1

I

L1 L2

C1

A

L1 L2

C1V

L1 L2

C1

u

5Juillet 05

Modle bicycle (Roulis ou tangage)

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Platitude

Conclusion

Cs1

1wb1wC

1wm

2wb

1sb 2sb

2wm

2wC

1rV 2rV

G (m, J) theta

A

B

x

Cs2

z

d1d2

avantarrire

roue

6Juillet 05

Systme lectromcanique

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Platitude

Conclusion

ia

ie

La Ra

Le

va

ve Re

+

- J b

7Juillet 05

Caractrisation de la reprsentation dtat

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Platitude

Conclusion

dimension du vecteur tat : nombre dlments I et C dans le modle bond graph

ordre n dun modle BG : nombre dlments I et C en causalit intgrale quandla causalit intgrale prfrentielle est imposeau modle BG (BGI)

( , ) ou x f x u x Ax Bu= = +

L1 L2

C1

1 0

I:L1

I:L2

C:C1

BGI

dim x = 3Ordre n = 3

8Juillet 05

Caractrisation de la reprsentation dtat

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Platitude

Conclusion

ranq q de la matrice dtat A : nombre dlments I et C en causalit drive quand la causalit drive prfrentielle est impose au modle BG (BGD)

nombre k de modes nuls structurels de la matrice A : nombre dlments I et C en causalit intgrale quand la causalitdrive prfrentielle est impose au modle BG

1 0

I:L1

I:L2

C:C1

BGDrang (A) = q = 2 k = 1 mode nul

Etude de Rang [A B] et de Rang [At Ct]

besoin de 1 actionneur bien plac pour que

le modle soit structurellement commandable

besoin de 1 capteur bien plac pour que le

modle soit structurellement observable

9Juillet 05

Commandabilit structurelle : Source de tension

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Platitude

Conclusion

L1 L2

C1

u1 0

I:L1

I:L2

C:C1

MSe:u

Condition 1 : atteignabilit des tats par lentre

1 0

I:L1

I:L2

C:C1

MSe:u

2 lments I et C ont une causalit drive

dans BGD

BGD

Condition 2 : Tous les lments I et C ont une

causalit drive dans BGD + dualisation

BGD + dualisation

Sf

10

Juillet 05

Commandabilit structurelle : Source de courant

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Platitude

Conclusion

BGD Condition 1 : atteignabilit des tats par lentre

Condition 2 : 2 lments I et C ont une causalit

drive dans BGD dualisation impossible

1 0

I:L1

I:L2

C:C1

MSf

L1 L2

C1

I

1 0

I:L1

I:L2

C:C1

MSf:I

11

Juillet 05

Objectif

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Platitude

Conclusion

Systme

F

G ++

v u y

x

Est-il possible de trouver F et G telles que

u=Fx+Gv dcouple les entres et sorties

)(:

00

0:0

00

)(:

11 1

s

v

v

s

y

y

ms

s

m mn

n

=

12

Juillet 05

Remarques sur modle dcoupl

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Platitude

Conclusion

)(:

00

0:0

00

)(:

11 1

s

v

v

s

y

y

ms

s

m mn

n

=

)(:

)(00

0:0

00

)(:

1)(1

11

s

v

v

sD

Ds

y

y

m

m

m

s

m

=

Modle sans placement de ples

Modle avec placement de ples

1

1

( )

( )1 1

0 0

: ( ) 0 : 0 : ( )

( )0 0

( )

s

s

m m m

m

Ny v

s s

y N s v

s

D

D

=

Modle avec placement de ples

et zros

13

Juillet 05

Modles mathmatiques

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Platitude

Conclusion

x Ax Bu

y Cx

= +

=

Equation dtat

BAsICsG 1= )()(Matrice de transfert

=

0)(

C

BAsIsS

Forme de Smith : Structure finie Stabilit

Forme de Smith Mc Millan linfini Dcouplabilit

Forme de Smith Mc Millan Inversibilit

14

Juillet 05

Modle Bond graph

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Platitude

Conclusion

R :

C : Cs1

C :

R : R :

C : 2wC

I : J

0 0

1

1

I : m

TF TF

I :

1

1 0

1

1

0

1

1

C : Cs2

I : R :

0 101

1wb

1wC

1wm

2wb

1sb 2sb2wm

Sf : Vr1 Sf : Vr2

Se : Fmt

MSe : u2

Df* : y1=Vm

Df* : y2=wJ

Df : z1=V

s1Df

:

z 2=V s2

=

2

1

u

uu commandes

1

2

yy

y

=

sorties

Modle bond graph de la suspension

1 1: : :Df y I m MSe u Chemin entre-sortie

Longueur dun chemin

Chemins disjoints

MSe : u1

15

Juillet 05

Structure linfini en ligne

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Rejet de

Perturbation

Platitude

Conclusion

{ }1inf : 0, 1,...,ki in k c A B k n= =

+=

=+==

=

BuAcxAcy

AxcBucAxcxcy

xcy

iii n

i

n

i

n

iiiii

ii

1)(

Approche tat

Approche transfert11( ) ( ) .... ...

ni

ni

CB CA BAi s s s

G s sc I B

= = + + +

{ }1 , , mn nUn entier pour chaque sortie yi

Approche Bond GraphChemin causal le plus court entre la sortie i et lensemble des entres

16

Juillet 05

Structure linfini Globale

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Rejet de

Perturbation

Platitude

Conclusion

Entiers pour lensemble des sorties { }mnn ,,1

BAsICsG 1= )()(Forme de Smith Mc Millan de

=

=

1

11

kkk LLn

Ln

Approche Bond graph

L1 est la longueur du chemin le plus court entre-sortie

Li est la plus petite somme de longueurs de i chemins entres-

sorties disjoints

17

Juillet 05

Conditions de dcouplabilit

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Rejet de

Perturbation

Platitude

Conclusion

{ } { }ii nn =

Un modle linaire carr est dcouplable par une loi de commande

statique rgulire ssi :

Un modle linaire carr est dcouplable avec stabilit par une loi

de commande statique rgulire ssi :

{ } { }ii nn ={ } { }, , , , i

i

Z A B C Z A B c=

{ }, ,Z A B C Ensemble des zros invariants du modle considr

18

Juillet 05

Modle Bond graph du Bicycle

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Platitude

Conclusion

R :

C : Cs1

C :

R : R :

C : 2wC

I : J

0 0

1

1

I : m

TF TF

I :

1

1 0

1

1

0

1

1

C : Cs2

I : R :

Sf : Sf :

0 101

1wb

1wC

1wm

2wb

1sb 2sb2wm

1rV 2rV

MSe : u2

MSe : u1

Df* : y1=Vm

Df* : y2=wJ

Df : z1=V

s1Df

: z 2=V s2

Se : mtF

2 chemins entres sorties disjoints : Longueurs 1

{ } { }ii nn ={ } { }1,1in =

Modle bond graph

8n = 6 zros invariants

19

Juillet 05

Modle Bond graph du bicycle

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage entre-sortie

Platitude

Conclusion

R :

C : Cs1

C :

R : R :

C : 2wC

I : J

0 0

1

1

I : m

TF TF

I :

1

1 0

1

1

0

1

1

C : Cs2

I : R :

Sf : Sf :

0 101

1wb

1wC

1wm

2wb

1sb 2sb2wm

1rV 2rV

MSe : u2

MSe : u1

Df* : y1=Vm

Df* : y2=wJ

Df : z1=V

s1Df

: z 2=V s2

Se : mtF

2me choix : 2 chemins entres sorties disjoints : Longueurs 1

Modle bond graph

20

Juillet 05

Zros invariants : Modles Bond graphs rduits

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Platitude

Conclusion

Modles bond graphs rduits

R :

C : Cs1

C :

R : R :

C : 2wC

I :

1

1 1

1

C : Cs2

I : R :

0 101

1wb

1wC

1wm

2wb

1sb 2sb2wm

2 zros invariants nuls

4 zros invariants stables

21

Juillet 05

Modle dcoupl

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Platitude

Conclusion

++++

++++

+

++

++

+

++

++=

2

1

1112

1

21112

2

2

1112

1

1112

1

2222

2

12112

1112

1

1211

2

1

2222

2

1112

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

)(

)(

)(

)1(

0

0

road

road

d

d

d

d

d

d

d

d

ermasstransf

d

d

d

d

V

V

psps

p

dpsps

p

d

psps

p

psps

p

F

pspsI

ggsd

pspsI

ggs

v

v

psps

s

psps

s

y

y

Dauphin-Tanguy, Rahmani, Sueur, SIMPRA, 1999

2 zros

4 modes fixes

Rejet de perturbation possible

Effet de la route non rejetable

22

Juillet 05

Platitude

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Platitude

Conclusion

( ) ( ( ), ( ))

( , )

x t f x t u t

y h x u

=

=

( )( , ,..., )p p px y y y

= ( 1)( , ,..., )p p pu y y y+

= ( )( , ,..., )p p py y y y

=

f champ de vecteurs, h fonction analytique

Modle

( )( , , , ..., )py h x u u u

= Un modle est plat sil existe yp tel que

23

Juillet 05

Avantages de la platitude

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Platitude

Conclusion

On peut entirement paramtrer une trajectoire nominale (il peut sagir de point dquilibre)

Utile pour dterminer des commandes en boucle ouverte

Utile pour le dimensionnement des actionneurs

Utile pour la commande en boucle ferme (linarisation)

Extension pour dautres types de modles (retards, PDE, etc)

24

Juillet 05

Principe de commande

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Platitude

Conclusion

GGnnrateur rateur

de de

trajectoiretrajectoire

ContrleurContrleur SystSystmeme

sorties plates

Calcul de la loi de

commande et suivi de

trajectoire

Modle Dynamique

yr(t) u(t) y(t)

25

Juillet 05

Cas simple : Circuit lectrique

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Platitude

Conclusion

26

Juillet 05

Modle bond graph

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Platitude

Conclusion

2 chemins entres-sorties disjoints contenant tous les lments dynamiques

pas de zro invariant

1 1 1 3 1: :MSe u I C I Df y > > > >

2 2 2 2: :MSe u I C De y > > >

27

Juillet 05

Moteur DC excitation spare

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Platitude

Conclusion

ia

ie

La Ra

Le

va

ve Re

+

- J b

28

Juillet 05

Modle bond graph Moteur DC excitation spare

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Platitude

Conclusion

1

. .

1

1MSe:v a

MSe:v e

I:L a I:J

MGY

kL eieSe:-

ia

ie

R:R a R:b

L:L e

R:R e

29

Juillet 05

Modle variationnel

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Platitude

Conclusion

1

. .

1MGY

me1 e 2f 1 f 2

1 2

2 1

e m f

e m f

=

=

1 2 2

2 1 1

de f dm mdf

de f dm mdf

= +

= +

1. .

1GY

m1

de 1

df 1

de 2df 2

1

Se:- f 2 dm Se: f 1 dm

30

Juillet 05

Modle variationnel

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Platitude

Conclusion

1

. .

1

1MSe:dv a

MSe:dv e

I:L a I:J

GY

kL e ie

dia

die

d

R:R a R:b

L:L e

R:R e

Se:-kL edi e Se: kL eiadi e

31

Juillet 05

Algbre diffrentielle anneau non commutatif - module

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Platitude

ConclusionRgle de Mason Rgle de Riegle

Produit commutatif Produit non commutatif

Vecteurs de bases lments du Module

][dt

dk

Module M

Anneau Elments de l' anneau id

ifinie dta

Module gauche : oprations sur les lments effectues gauche

32

Juillet 05

Modle variationnel

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Platitude

Conclusion

( , , )e a

t

L L Jdx dp dp dp=Vecteur tat

Vecteur de commande ( , )t

e adu dv dv=

1 2 3( , , )tdx dx dx dx=

1 11 1 12 2 13 3( ) ( ) ( )dy C x dx C x dx C x dx= + +

Sorties plates

2 21 1 22 2 23 3( ) ( ) ( )dy C x dx C x dx C x dx= + +

33

Juillet 05

Modle variationnel

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Platitude

Conclusion

1

. .

1

1MSe:dva

MSe:dve

I:La I:J

GY

kLeie

dia

die

d

R:Ra R:b

L:Le

R:Re

Se:-kLedie Se: kLeiadie

1 1dy dx=

2 3dy dx=

34

Juillet 05

Paramtrisation

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Platitude

Conclusion

1 1( )e

e

R

e e e e Ldu sL d i R d i s dy= + = +

1 2 1 21

2 2 2 2 1( )( ) [( ) ]a

e e

R ky kx ky kyb

L L J J J Jdu s s dy dy dy dy= + + + +

Application de la bicausalit : modle inverse

Application des rgles de Riegle : non commutativit

35

Juillet 05

Paramtrisation

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Platitude

Conclusion

Vrification de lintgrabilit : utilisation dun facteur intgrant

Intgration

1 1 1( )e

e

R

e Lu L y y= +

1

1 1

2

2 2 2 2 2 1( ( )( ) ( )a a

e e

L J R y bekL y L y J

u y y y y kL y= + + +

Gnration de trajectoire : placement de ples

36

Juillet 05

Conclusion

Problmatique

Analyse

structurelle

Dcouplage

entre-sortie

Platitude

Conclusion

Concepts classiques de lautomatique

Algbre linaire

Algbre diffrentielle

(anneau non commutatifs, Modules, algbre dOre,)

Rsolution de problmes complexes : Approche graphique

Autres problmes abords de manire similaire :

Dualit commande/observation

Surveillance

37

Juillet 05

Bibliographie

M. Fliess, J. Lvine, P. Martin and P. Rouchon, Flatness and defect of nonlinear systems: introductory theory

and examples, International Journal of Control, vol. 61, No. 6, 1995, pp. 1327-1361.

A. Achir, C. Sueur, and G. Dauphin-Tanguy, Bond graph and flatness based control of non salient permanent

magnet synchronous motor, Submitted to Journal of Systems and Control Engineering. Nov. 2003.

M. Fliess, Automatique et corps diffrentiels, Forum Math., vol. 1, 1995, pp. 227-238.

M. Fliess, Some basic structural properties of generalized linear systems, System and Control Letters, vol. 15,

1990, pp. 391-396.

M. Fliess, Some new interpretations of controllability and their practical implications, Proceedings of the IFAC

Conference on System Structure and Control, Nantes, France, 1998, pp. 49-58.

C. Sueur and G. Dauphin-Tanguy Bond Graph Approach for Structural Analysis of MIMO Linear Systems. J. of The Franklin Institute, Vol. 328, No. 1, pp. 57-70, 1991.

A. Achir, C. Sueur and G. Dauphin-Tanguy Bond graph and flatness based control of non salient permanent

magnet synchronous motor." Journal of Systems and Control Engineering, Proceedings of the Institution of

Mechanical Engineers Accept pour publication 2005

H. Carton, Cours de calcul diffrentiel, Hermann, Paris, 1990.

38

Juillet 05

Bibliographie

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J. O. Pliam and E. Bruce Lee, On the global properties of interconnected systems, IEEE transactions on

circuits and systems- I: Fundamental theory and applications, vol. 42, Dec.1995, No. 12, pp. 1013-1017.

S. J. Mason, Feedback theory: Further properties of signal flow graphs, Proc. IRE, July 1953.

D. C. Karnopp, D. L. Margolis, and R.C Rosenberg, System Dynamics: A Unified Approach, Wiley, 1990.

J.M. Bertrand, C. Sueur and G. Dauphin-Tanguy "Input output decoupling with stability for bond graph models." Non Linear Dynamics and Systems Theory, Vol. 1, n 1, pp. 39-58, 2001