Commande automatique du freinage de l’A318

MPSI/PCSI DM N°1 : Sujet S2I

Lycée Claude Fauriel sur 16

DM N°1 Le devoir comporte 2 problèmes

Problème N°1: Chariot de golf

Le terrain de golf est constitué d’un parcours comprenant de 9 à 18 trous, que le

golfeur doit parcourir successivement. La distance totale effectuée pour 18 trous

est d’environ 8 km et le temps de jeu d’environ 4h. Ce parcours peut être plus ou

moins accidenté selon le profil du terrain : Il comporte des pentes plus ou moins

abruptes, une zone roulante appelée « fairway » ou l’herbe est tondue courte et

une zone d’herbe plus haute appelée « rough ». Selon la saison, le sol est sec ou

boueux. L’ensemble des clubs nécessaires (maximum de 14) ainsi que le sac

permettant de les ranger représente un poids d’environ 20 kg.

Le joueur de golf doit parcourir les 18 trous en transportant tout son matériel dans les

différentes zones du terrain, ce qui correspond, pour un joueur moyen, à une centaine

de coups effectués donc une centaine d’arrêts pour poser et reprendre son sac.

Afin de permettre au joueur d’économiser le maximum d’énergie, le transport du

matériel est assuré par un chariot à énergie électrique embarquée.

Le besoin peut être exprimé par le schéma suivant

Analyse du besoin

Lors d'une analyse du besoin, les concepteurs sont amenés à se demander si le besoin pourrait disparaître.

Q1. Citer une solution (réaliste!) qui pourrait faire disparaître ou faire évoluer ce besoin.



Q2. Préciser l’exigence 1.1.1 compte tenu des caractéristiques de la fiche technique ci-dessous



La fiche technique du chariot est la suivante :

Masse du chariot : 11 à 14kg suivant le type de roues

Coloris : vert, bleu, gris

Dimensions : 580x680x350

Vitesse : mini 1km/h, maxi 8 km/h

Batterie DRYFIT A500C 24Ah + Chargeur automatique

Autonomie : 25 à 36 trous

Temps de recharge : 8h

Roues EVA

Témoin sonore de gestion de la batterie

Mémorisation de la vitesse réglable

Sécurité : tension de la batterie inférieure à 12 V

Masse de sac supportée : 20kg

Précision du positionnement du sac : +- 30mm

Sécurité par sangles velcro

Angle de braquage : 360°

Pas d'outillage pour le démontage ou le montage

Résistance au soleil et à l'oxydation garantie 5 ans

Prix d'achat : 780 euros

Options disponibles : roues réglables et auto-nettoyantes, système anti-

basculement, frein à friction réglable, support avant professionnel

Ce chariot est doté d’une électronique gérée par microprocesseur offrant souplesse et sécurité. Un démarrage

progressif assure un confort de conduite. La vitesse est réglable et

mémorisée à chaque fois que le contacteur marche/arrêt est actionné. En

cas de blocage de la roue ou surchauffe du moteur, le chariot est protégé

par une sécurité électronique (système de débrayage électronique). Les

roues avant sont réglables pour assurer un déplacement en parfaite ligne

droite. Elles sont également autonettoyantes (raclettes).

Le chariot de golf est un véhicule avec énergie embarquée. L’alimentation

en énergie est assurée par un accumulateur (batterie) de 24 Ah et une

tension de 12 V.

La motorisation est constituée d’un moteur couplé à un réducteur à roue et

vis sans fin transmettant le mouvement aux roues. Pour effectuer les

virages facilement, les roues sont couplées à un différentiel permettant la

répartition de puissance adéquate.

Le châssis repliable comporte un berceau permettant de recevoir le sac de

golf immobilisé par des lanières. La poignée de commande est réversible et

permet un pilotage aisé pour les droitiers comme pour les gauchers. Un

système de réglage permet également d'adapter la hauteur de la poignée.

Le pilotage est assuré par une carte de commande (B ou C selon une

disposition pour gaucher ou droitier) située dans la poignée et une carte de

puissance située dans un boîtier sous la batterie. Le bouton poussoir D, logé

dans la poignée permet la mise en marche et l’arrêt du système. Le

potentiomètre A permet de faire varier la vitesse du chariot. Au démarrage,

la vitesse augmente progressivement jusqu’à atteindre la vitesse de consigne

déterminée par la position du potentiomètre.

Ce départ en « douceur » géré par un microcontrôleur situé dans la poignée de commande, permet une meilleure

synchronisation avec le déplacement de l’usager et une économie de l’énergie. Il est toujours possible, en cours

d’utilisation, d’augmenter ou de réduire la vitesse du chariot (en jouant sur la vitesse du chariot, le chariot peut



monter des zones abruptes). La charge de la batterie est contrôlée à chaque démarrage du chariot. L’utilisateur est

averti du taux de décharge par des bips successifs de courtes durées et des LED témoins. Lorsque la tension de la

batterie atteint une valeur trop faible ou que la température du circuit de l’électronique de puissance s’élève, le

chariot s’arrête et 4 bips avertissent l’utilisateur.

Q3. Il manque un bloc important de la poignée de commande sur le BDD. L'identifier et compléter le BDD

en conséquence sur le document réponse. Q4. A quel constituant électrique simple correspond le potentiomètre de la poignée ?

Dia

gra

mm

e d

e B

loc

(«

Bd

d »

)



Diagramme de Blocs internes (« IBD »)

Q5. Rajouter sur cet IDD le bloc oublié dans le BDD, ainsi que les flux et les ports associés. Répondre sur

le document réponse



L'architecture de la chaîne fonctionnelle est donnée partiellement dans le document réponse.

Q6. En vous aidant des énergies transitant entre les constituants et les informations, compléter ces chaînes

fonctionnelles en donnant le nom du constituant et sa fonction générique (alimenter, convertir,…) ainsi

que la matière d'œuvre entrante et sortant.

Le moteur est alimenté en 12V (valeur maximale). L'utilisateur entre une valeur de consigne par l'intermédiaire

du potentiomètre. Il appuie ensuite sur le bouton « marche/arrêt » de la poignée. Le cycle de commande est

ensuite réalisé de la façon suivante :

le microprocesseur vient lire la valeur de consigne et obtient ainsi une tension de consigne Vcons

constante.

Il détermine ensuite une rampe de démarrage d'une durée T à partir de la valeur 0 jusqu'à la valeur Vcons.

Il maintient ensuite cette valeur Vcons jusqu'à une modification de consigne par l'utilisateur ou appui sur

le bouton « marche/arrêt ». On obtient ainsi la tension de commande du moteur.

L'expression temporelle de la tension de commande en fonction de Vcons et T s’écrit alors :

( ) .( . ( ) ( ). ( ))com

Vconsu t t u t t T u t T

T (avec u(t) l’échelon unitaire)

La fonction ( ). ( ) t T u t T correspond à une fonction rampe retardée dans le temps de la valeur constante T : son

tracé est le suivant :

Q7. Tracer l'allure de la tension de commande du moteur en fonction du temps

Q8. Donner l’expression de la transformée de Laplace de ucom(t) notée Ucom(p) en fonction de Vcons et T.

On utilisera le résultat du cours sur le théorème du retard.

On adapte le système en ajoutant un capteur de vitesse qui permet de mesurer la vitesse des roues. La partie

commande compare la tension consigne ( )cu t , image de la vitesse ( )cv t définie par l'utilisateur au moyen du

potentiomètre de la poignée, à la tension ( )eu t délivrée par le capteur de vitesse proportionnelle à la vitesse du

chariot ( )v t . On note ( )r t la vitesse de rotation des roues. La partie commande corrige l'écart

( ) ( ) ( )c et u t u t à l'aide d'un correcteur et élabore ainsi la tension de commande ( )mu t du moteur. La vitesse

de rotation du moteur ( )m t est réduite par un réducteur roue/vis qui permet la rotation des roues.

Q9. A partir des informations précédentes, Donner le schéma-bloc fonctionnel en précisant bien le nom des

composants ainsi que les variables et leurs unités entre les composants. On prendra ( )cv t comme entrée

et ( )v t comme sortie.

Les paramètres précédents permettent de simuler le système avec et sans asservissement. On obtient alors les

deux réponses indicielles (consigne de8 km/h) données sur le document réponse.

Q10. Quel est le nom de l'entrée utilisée pour obtenir une réponse indicielle ? Tracer l'allure de cette entrée

1

t

T T+1



Q11. Quantifier la précision en régime permanent (appelé écart statique en position) des deux systèmes

sachant que la consigne est de 8km/h.

Q12. Déterminer, en justifiant votre résultat (tracé sur document réponse), la valeur du temps de réponse à

5% pour les deux systèmes (le temps de réponse à 5% est le temps que met le système pour donner

±5% de sa réponse en régime permanent). Donner également le dépassement de la valeur

asymptotique (quand cela est possible) en pourcentage de celle-ci.

Q13. Est-il nécessaire d'installer un asservissement pour le chariot ? Justifier.

Problème N°2 : Chaudière à bois déchiqueté (extrait de « petites mines » 2010)

I.Présentation générale

Dans le cadre du « Grenelle de l’environnement » et de la mise en place de la « taxe carbone », l’avenir du

chauffage est conditionné au fait que la biomasse est neutre en dégagement de CO2. HARGASSNER développe

la technologie du chauffage au bois déchiqueté et aux granulés de bois dans le but de concilier un chauffage à la

fois écologique et confortable d’utilisation. L’entreprise est devenue un leader en matière de technique

innovante, de développement, de service, de qualité et de longévité dans le domaine du chauffage au bois.

L’étude porte sur la chaudière HSV 30, alimentée en bois déchiqueté, qui développe une puissance de chauffe de

25 à 35 kW.

Figure 1 : photo de la chaudière à bois déchiqueté HSV30

Figure 2 : diagramme de cas d’utilisation en phase de fonctionnement

automatique pour un chauffage central domestique (usage général)



Le bois déchiqueté est amené jusqu’à la chaudière dans un premier temps à l’aide d’un extracteur à lames puis de

la vis d’extraction et enfin par la vis d’introduction. Il est alors brûlé au sein d’un foyer réfractaire développant

des gaz dans la chambre de combustion. Les gaz sont dépoussiérés dans la chambre de détente avant de passer

dans un échangeur tubulaire équipé de turbulateurs. Ces turbulateurs augmentent l’efficacité de l’échangeur et

permettent son nettoyage automatique. L’échangeur permet le chauffage de l’eau à partir des fumées. Une vis de

dépoussiérage et une vis de décendrage, associées aux turbulateurs évacuent automatiquement les cendres et les

suies dans un cendrier.

Figure 3 : Eléments constitutifs de la chaudière HSV30

Figure 4 : Diagramme de Blocs de la chaudière

L’objectif de l’étude est de modéliser le comportement de la chaudière lors de la mise en chauffe de l’eau du

circuit de chauffage central. Cette modélisation va permettre de valider les réglages constructeur de certains

constituants de l’asservissement en température de la chaudière.



Extrait du cahier des charges concernant l’asservissement en température de la chaudière :

exigence critères niveaux

Augmenter la température d’eau du

circuit de chauffage d’une

installation à chauffage central

Valeurs de consigne 75°C < Tc < 85°C

écart de température en régime

permanent avec la température de

consigne

nul

Temps d’établissement à ±5% de la

température stabilisée 10 min

Dépassement relatif de la

température en régime transitoire < 10 % de la température stabilisée

II.Modèle de connaissance du corps de chauffe de la chaudière

L’étude porte sur la montée en température de l’eau qui sert à chauffer les pièces au travers de radiateurs. Cette

température est obtenue à partir d’une puissance calorifique fournie par le bois brûlé au niveau du foyer

réfractaire de la chaudière.

Figure 5 : Détail des constituants du corps de chauffe

II.1.Modélisation du corps de chauffe

Objectif : obtenir un modèle de connaissance du corps de chauffe pour pouvoir simuler l’asservissement de température



On considère que :

- p(t) est la puissance calorifique en Watt

fournie par le bois brûlé au niveau du foyer

réfractaire. Elle permet la montée en

température du bâti de la chaudière.

- L’air situé dans la chambre de combustion

permet de monter à la température e(t)

l’eau située dans l’échangeur.

- L’eau chaude, au travers des radiateurs

permet de chauffer les pièces à une

température ext(t).

On note :

- b(t) la température du bâti de la chaudière

- mb la masse du bâti à monter en température mb = 200 kg

- cb la capacité calorifique massique du bâti cb = 500 J.kg-1

.K-1

- a(t) la température de l’air dans la chambre de combustion

- ma la masse de l’air à monter en température ma = 2 kg

- ca la capacité calorifique massique de l’air ca = 700 J.kg-1

.K-1

- e(t) la température de l’eau dans l’échangeur et les radiateurs

- me la masse de l’eau à monter en température dans l’échangeur me = 50 kg

- ce la capacité calorifique massique de l’eau ce = 4000 J.kg-1

.K-1

- ext(t) la température ambiante des pièces à chauffer.

Le principe de conservation de l’énergie conduit à une modélisation par les équations différentielles suivantes :

Avec :

Kab la conductance thermique entre le bâti et l’air dans la chambre de combustion : Kab = 40 J.s-1

.K-1

Kae la conductance thermique entre l’air et l’eau au travers de l’échangeur ou des radiateurs : Kae = 400 J.s-1

.K-1

On suppose que le corps de chauffe est parfaitement isolé de l’extérieur.

Les transformées de Laplace seront notées : L[i(t)] = Ti(p) et L[p(t)] = P(p).

Q1. En supposant que les conditions initiales sont nulles (conditions de Heaviside), donner dans le domaine de

Laplace, la transformée des 3 équations différentielles précédentes.

Figure 6 : Schéma thermodynamique du corps de chauffe



Q2. Exprimer Tb(p) en fonction de Ta(p) et de P(p) en faisant apparaître les variables mb, cb et Kab et mettre

Tb(p) sous la forme Tb(p) = H1(p)Ta(p) + H2(p)P(p).

Préciser l’ordre du système défini par la fonction de transfert H1(p), ainsi que, littéralement, ses

caractéristiques. Calculer la valeur numérique approchée de 1, la constante de temps de ce système.

Donner le schéma bloc équivalent en n’utilisant que les variables Kab et 1.

Q3. Exprimer Ta(p) en fonction de Te(p) et de Tb(p) en faisant apparaître les variables ma, ca, Kae et Kab.

Mettre Ta(p) sous la forme Ta(p) = H3(p)Te(p)+H4(p)Tb(p).

Préciser l’ordre des systèmes définis par les fonctions de transfert respectives H3(p) et H4(p), ainsi que,

littéralement, leurs caractéristiques (gains statiques et constantes de temps). Donner les valeurs numériques

des constantes de temps identifiées.

Dans la suite de l’étude, on suppose que Kae est très grand devant Kab, ainsi le schéma bloc ayant pour entrées

Tb(p) et Te(p) et pour sortie Ta(p) peut se mettre sous la forme suivante :

Figure 7 : schéma bloc partiel du modèle de connaissance du corps de chauffe

Q4. Exprimer Te(p) en fonction de Ta(p) et de Text(p).

Préciser l’ordre du système défini ainsi que, littéralement, ses caractéristiques.

Calculer la valeur numérique approchée de 5, la constante de temps de ce système.

Tracer le schéma bloc ayant pour entrées Ta(p) et Text(p) et pour sortie Te(p), en n’utilisant que la variable

5.

Q5. Recopier et compléter le schéma bloc ci-dessous. Il représente un modèle de connaissance du corps de

chauffe ayant pour entrée P(p), pour sortie Te(p) et comme perturbation Text(p). A l’intérieur des blocs, on

ne fera apparaître que les paramètres suivants : Kab, Kae, 1, 3 et 5.

II.2.Etude du système autour d’un point de fonctionnement

La suite de l’étude porte sur la dynamique du système autour d’un point de fonctionnement. Nous allons

considérer le système non perturbé donc tel que Text(p)=0.

+

+ +

+ +

+

Figure 8 : schéma bloc complet du modèle de

connaissance du corps de chauffe



De plus comme la constante de temps 1 est grande devant 3, le schéma bloc du système peut alors se

représenter sous la forme suivante :

Figure 9 : schéma bloc réduit du modèle de connaissance du corps de chauffe

Q6. Après avoir transformé le schéma bloc ci-dessus, donner la fonction de transfert 𝐻(𝑝) = 𝑇𝑒(𝑝)

𝑃(𝑝) . Il est

demandé de ne pas développer les produits d’éléments de la forme (1+ip), mais de les conserver sous une

forme factorisée la plus simple.

II.3.Réponse de la chaudière à partir d’un modèle simplifié

A partir des résultats obtenus précédemment, on peut considérer que : Kab << Kae, 3 << 5 et que 3 << 1. De ce

fait, dans la suite de cette étude, on pourra utiliser la fonction de transfert simplifiée :

On considère que le corps de chauffe de la chaudière est soumis à un échelon de puissance de chauffe

p(t) = P0.u(t) où u(t) est la fonction causale (échelon unitaire), avec P0 = 10 kW.

Q7. Calculer, à partir de ce modèle simplifié et par application des théorèmes de la valeur initiale et de la

valeur finale, les valeurs initiales (e(0+))et finales prévisibles(e()) pour les températures de l’eau e(t),

préciser les pentes à l’origine (�̇�𝑒(0+)) et en régime permanent (�̇�𝑒(∞)).

Q8. Tracer l’allure de la réponse e(t) à une entrée échelon de puissance de 10 kW. Faire figurer sur le

graphique tous les éléments remarquables de la réponse.

III.Modèle de l’asservissement en température

Objectif : valider des réglages de l’asservissement de température de la chaudière pour respecter le cahier des charges

III.1.Modèle de la structure de commande

Une température de consigne c(t) est donnée au système. Un dispositif électronique convertit celle-ci en une

tension vc(t) telle que Vc(p) = Kc . Tc(p), Kc étant la constante de conversion que l’on cherche à déterminer.

Cette tension vc(t) est comparée à la tension ve(t) fournie par un capteur de type thermocouple mesurant la

température de l’eau au sein de l’échangeur : e(t) telle que Ve(p) = Ke . Te(p), avec Ke = 0,2 Volt/°C.



Cette différence de tension est amplifiée par un correcteur proportionnel de gain constant noté C. sa valeur

sera obtenue par simulation du modèle de l’asservissement (partie III.3).

La tension obtenue permet au moteur de tourner à une vitesse de rotation

m (en rad/s).

Le moteur entraine la vis d’introduction (vis d’Archimède) qui fournit un

débit massique de bois (en Kg/s) au foyer où a lieu la combustion.

Ce bois au sein du foyer dégage une puissance de chauffe p(t) (en W).

Q9. Reproduire et compléter le schéma-bloc fonctionnel global ci-dessous sur votre copie. Préciser les

grandeurs physiques véhiculées, ainsi que leurs unités. Les blocs seront définis par leur nom. On notera :

une température T, une puissance P, une tension V, un débit massique D, une vitesse de rotation .

L’ensemble Moteur, Vis, Foyer et Corps de chauffe de la chaudière a été soumis à une entrée du type indicielle a

On a relevé sa réponse pour définir un modèle comportemental. Cette expérience permet d’établir un modèle

(une fonction de transfert) issu de la mise en équation précédente mais dont les valeurs numériques sont au plus

près de la réalité. Ce modèle est donné sous la forme de la fonction de transfert suivante :

Applications numériques : KMC = 0.3°C/V A = 120 s B = 360 s

Q10. Donner l’expression de la fonction de transfert en boucle fermée de l’asservissement :𝐻𝐺(𝑝) = 𝑇𝑒(𝑝)

𝑇𝑐(𝑝) en

fonction des différentes constantes définies. La mettre sous forme littérale canonique.

III.2.Réglage du convertisseur

La fonction de transfert HMC (p) étant de classe nulle, il convient de régler le convertisseur de consigne (gain Kc)

pour assurer la précision du système.

Q11. Par application du théorème de la valeur finale, déterminer la valeur en régime permanent de e(t) quand

on soumet l’ensemble à une consigne d’entrée de type échelon d’amplitude co constante de type c(t)

= co u(t). u(t)est la fonction d’Heaviside ou échelon unitaire.

Q12. En déduire la valeur de l’écart statique soit l’écart (t) =co u(t) - e(t) quand t→∞.

Q13. Déterminer l’expression de Kc en fonction de C, KMC et Ke, pour respecter le cahier des charges en termes

de précision statique ou précision en régime permanent ?

+

–

Figure 10 : vis d’Archimède pour

introduire le bois dans le foyer



III.3.Simulation de l’asservissement

Afin de déterminer la valeur adéquate de la correction proportionnelle choisie (valeur de C), une simulation du

modèle de l’asservissement étudié a été faite sur le logiciel multiphysique Scilab (voir figure 11)

La variable de Laplace notée p dans l’énoncé est notée s (pour variable symbolique) dans ce logiciel.

Les blocs associés à des gains purs sont représentés par des triangles

La consigne a été fixée à une valeur moyenne de 80°C en supposant une chaudière à température nulle

initialement.

La simulation donne les réponses suivantes (figure 12 et zoom figure 13) lorsque l’on teste plusieurs valeurs de

la constante C.

Figure 12 : réponse à un échelon de température de 80°C

Température

de consigne Température

d’eau

Moteur + Vis d’Archimède

+ Corps de chauffe

Capteur de température

Correcteur

proportionnel

Convertisseur

Figure 11 : Modèle de l’asservissement de température avec correction proportionnelle

Température d’eau en sortie d’échangeur (Te)

Temps en seconde



Figure 13 : réponse à un échelon de température de 80°C (Zoom)

Q14.Choisir parmi les valeurs testées de la correction proportionnelle C, celle qui permet d’assurer les

contraintes fixées par le cahier des charges. Justifier votre réponse vis-à-vis de l’extrait de cahier des

charges donné. Effectuer les tracés nécessaires sur les figures du document réponses.

Temps en seconde

Température d’eau en sortie d’échangeur (Te)



ANNEXES : Transformées de Laplace

f(t) F(p)

f(at) )a

p(F

a

1

f(t- ) e-p

F(p)

dt

)t(df pF(p) – f(0

+)

2

2

dt

)t(fd p

2 F(p) – pf(0

+) – f '(0

+)

n

n

dt

)t(fd p

n F(p) avec C.I. = 0

t

0

du)u(f p

)p(F avec C.I. = 0

(t) 1

u(t) p

1

!n

tn

.u(t) 1np

1

e-at

.u(t) ap

1

t e-at

.u(t) 2)ap(

1

sin t . u(t) 22p

cos t . u(t) 22p

p

Théorème de la valeur initiale : (si la limite existe) )p(F.plim)t(flimp0t

Théorème de la valeur finale : (si la limite existe) )p(F.plim)t(flim0pt

Commande automatique du freinage de l’A318

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