Combinatoire analytique et modèles d'urnes

Combinatoire analytique et modèles d’urnes

Basile Morcrette,encadré par Philippe Flajolet

Projet Algorithms, INRIA Rocquencourt.

6 septembre 2010

Des situations diverses et variées

I épidémies

I génétique des populations

I physique statistique : particules de gaz dans uncompartiment

I structures informatiques : arbres, graphes

1. Modèles d’urnes2. Urnes et branches d’arbres aléatoires3. Urnes de croissance préférentielle4. Urnes des k-arbres

Le modèle d’urne

I une urne et des boules de couleurs différentes

Le modèle d’urne

I une urne et des boules de couleurs différentes

Le modèle d’urne

I une urne et des boules de couleurs différentesI des règles fixées pour l’évolution de l’urne

(1 00 1

Urne de Pólya (α βγ δ

)α, δ ∈ Z, β, γ ∈ Z>0 .

Urne équilibrée : α + β = γ + δ (nombre total de boules déterministe).

Configuration initiale fixée (a0, b0) : a0 boules • (comptées par x)

b0 boules ◦ (comptées par y)

DéfinitionHistoire de longueur n : une suite de n évolutions (n tirages).Hn,a,b : nombre d’histoires de longueur n, débutant en (a0, b0), et ter-minant en (a, b).Fonction génératrice des Hn,a,b :

H(x , y , z) =∑n,a,b

Hn,a,b xayb zn

)α, δ ∈ Z, β, γ ∈ Z>0 .

H(x , y , z) =∑n,a,b

Hn,a,b xayb zn

)α, δ ∈ Z, β, γ ∈ Z>0 .

H(x , y , z) =∑n,a,b

Hn,a,b xayb zn

)α, δ ∈ Z, β, γ ∈ Z>0 .

H(x , y , z) =∑n,a,b

Hn,a,b xayb zn

Compter les histoiresPrenons l’urne

(1 00 1

)et (a0, b0) = (1, 1).

H(x , y , z) =

(1 00 1

)et (a0, b0) = (1, 1).

H(x , y , z) =

(1 00 1

)et (a0, b0) = (1, 1).

H(x , y , z) =

+ (xy2 + x2y) z2

(1 00 1

)et (a0, b0) = (1, 1).

H(x , y , z) =

+ (xy2 + x2y) z2

(1 00 1

)et (a0, b0) = (1, 1).

H(x , y , z) =

+ (xy2 + x2y) z2

(1 00 1

)et (a0, b0) = (1, 1).

H(x , y , z) =

+ (xy2 + x2y) z2

(1 00 1

)et (a0, b0) = (1, 1).

H(x , y , z) =

+ (xy2 + x2y) z2

+ (2xy3 + 2x2y2 + 2x3y) z3

(1 00 1

)et (a0, b0) = (1, 1).

H(x , y , z) =

+ (xy2 + x2y) z2

+ (2xy3 + 2x2y2 + 2x3y) z3

+ . . .

Des comportements très divers

Problème Comprendre la composition de l’urne après n étapes, lorsque ntend vers ∞.

( 1 00 1 )

(0 1 00 −1 20 0 1

( 3 12 2 ) ( 2 1

Des comportements très divers

Problème Comprendre la composition de l’urne après n étapes, lorsque ntend vers ∞.

( 1 00 1 )

(0 1 00 −1 20 0 1

( 3 12 2 ) ( 2 1

1 2 )7/22

Urnes équilibrées et système différentiel

Approche analytique Théorème [Flajolet–Dumas–Puyhaubert 2005]

Urne(α βγ δ

(a0, b0)α + β = γ + δ

=⇒H = X a0 Y b0

X = Xα+1 Y β

Y = X γ Y δ+1

Travaux réalisés :I étude d’urnes en grande dimensionI étude d’urnes à coefficients positifs (= additives)

Urnes équilibrées et système différentiel

Approche analytique Théorème [Flajolet–Dumas–Puyhaubert 2005]

Urne(α βγ δ

(a0, b0)α + β = γ + δ

=⇒H = X a0 Y b0

X = Xα+1 Y β

Y = X γ Y δ+1

Travaux réalisés :I étude d’urnes en grande dimensionI étude d’urnes à coefficients positifs (= additives)

2. Urnes et branches d’arbre aléatoire

I Motivation : quantifier la proportion de tautologies parmi lesformules logiques ayant comme seul connecteur l’implication.

I Modèle probabiliste : croissance uniforme aux feuilles (modèle ABR)

I tirer une feuille au hasard uniformémentI la remplacer par un noeud binaire et deux feuilles

I Modèle probabiliste : croissance uniforme aux feuilles (modèle ABR)

I tirer une feuille au hasard uniformémentI la remplacer par un noeud binaire et deux feuilles

I Modèle probabiliste : croissance uniforme aux feuilles (modèle ABR)I tirer une feuille au hasard uniformément

I la remplacer par un noeud binaire et deux feuilles

I Modèle probabiliste : croissance uniforme aux feuilles (modèle ABR)I tirer une feuille au hasard uniformémentI la remplacer par un noeud binaire et deux feuilles

Modélisation par une urne 3× 3

3 couleurs,avec les règles :

∇ → •∇• → ××× → ××

Urnecorrespondante :0 1 0

0 −1 20 0 1

Fonction génératrice des histoires

H(y , z) = exp(ln(

11− z

)+ (y − 1)z

)z compte la longueur de l’histoire,y compte le nombre de boules •.

∇ → •∇• → ××× → ××

0 −1 20 0 1

H(y , z) = exp(ln(

11− z

)+ (y − 1)z

∇ → •∇• → ××× → ××

0 −1 20 0 1

H(y , z) = exp(ln(

11− z

)+ (y − 1)z

Loi de Poisson dans les sous-arbresSoit Uk,n le nombre de sous-arbres gauches de taille k directementaccrochés à la branche droite d’un arbre aléatoire de taille n.

Théorème

I U1,n converge en loi, U1,n −→n→∞

I U1 ∼ Poisson (1), avec vitesse de convergence en O(

Généralisation Utilisation d’une urne (k + 2)× (k + 2)

Théorème

I Uk,n converge en loi, Uk,n −→n→∞

I Uk ∼ Poisson( 1

), avec vitesse de convergence en O

((2k)n

Loi de Poisson dans les sous-arbresSoit Uk,n le nombre de sous-arbres gauches de taille k directementaccrochés à la branche droite d’un arbre aléatoire de taille n.

Théorème

I U1,n converge en loi, U1,n −→n→∞

I U1 ∼ Poisson (1), avec vitesse de convergence en O(

Généralisation Utilisation d’une urne (k + 2)× (k + 2)

Théorème

I Uk,n converge en loi, Uk,n −→n→∞

I Uk ∼ Poisson( 1

), avec vitesse de convergence en O

((2k)n

3. Urnes de croissance préférentielle

Motivation : Caractériser les urnes 2× 2 additives (coefficients positifs).Approche : Avoir une classe d’urnes avec des fonctions génératrices“exploitables”.

Théorème

La classe d’urnes équilibrées(2α βα α + β

), avec α > 0, β > 0, a une

fonction génératrice bivariée algébrique.

La fonction génératrice des histoires H(x , z) est racine du polynôme en Y

(z − a− b(x)) Y 2α+β + b(x) Y α + a

3. Urnes de croissance préférentielle

Motivation : Caractériser les urnes 2× 2 additives (coefficients positifs).Approche : Avoir une classe d’urnes avec des fonctions génératrices“exploitables”.

Théorème

La classe d’urnes équilibrées(2α βα α + β

), avec α > 0, β > 0, a une

fonction génératrice bivariée algébrique.

La fonction génératrice des histoires H(x , z) est racine du polynôme en Y

(z − a− b(x)) Y 2α+β + b(x) Y α + a

Simulations – Moyenne – Variance

PropositionSoit Xn la variable aléatoire comptant le nombre de boules de couleur xdans l’urne au temps n. Alors

E(Xn) =α(2α + β)

α + βn +

α + β

Γ( 12α+β )

Γ( α+12α+β )

2α+β +α

α + β+O

α2α+β−1

V(Xn) =α3(2α + β)

(α + β)2 n + O(n

α+β2α+β

)où Γ(x) :=

∫ ∞0

tx−1e−tdt .

Simulations – Moyenne – Variance

PropositionSoit Xn la variable aléatoire comptant le nombre de boules de couleur xdans l’urne au temps n. Alors

E(Xn) =α(2α + β)

α + βn +

α + β

Γ( 12α+β )

Γ( α+12α+β )

2α+β +α

α + β+O

α2α+β−1

V(Xn) =α3(2α + β)

(α + β)2 n + O(n

α+β2α+β

)où Γ(x) :=

∫ ∞0

tx−1e−tdt .

Exploitation analytique

1. L’équation de la fonction génératrice présente deux singularités,lorsque x varie autour de 1.

2. Il y a confluence lorsque x tend vers 1. Cela donne desdéveloppements asymptotiques différents selon le voisinage que l’onconsidère.

Démarche :I utilisation d’un contour normalisé (grâce à la moyenne et la

variance), autour des singularités. Addition des deux contributions.I changement de variable à la Lagrange, et méthode de col.

But : obtenir une convergence vers une loi normale.

4. Urnes des k-arbres

Motivation : modélisation de réseaux sociaux [Panholzer–Seitz 2010]

DéfinitionUn k-arbre T est

I soit une k-cliqueI soit il existe un sommet f ayant une k-clique comme voisin et T\f

est un k-arbreOrdonné : fils distinguables.Croissant : sommets numérotés dans l’ordre d’apparition.

1-arbres ordonnés croissants (dits PORT)

2-arbres ordonnés croissants

Modélisation

Pour les 1-arbres(0 21 1

Pour les k-arbres(k − 1 2

ddz H(x , z)

H(x , z)k (H(x , z)− x + 1)2 = 1

Modélisation

ddz H(x , z)

H(x , z)k (H(x , z)− x + 1)2 = 1

Modélisation

ddz H(x , z)

H(x , z)k (H(x , z)− x + 1)2 = 1

Modélisation

ddz H(x , z)

H(x , z)k (H(x , z)− x + 1)2 = 1

Loi normale limiteSoit Xn la variable aléatoire comptant le nombre de boules � dans l’urneU1 après n étapes.Cas k = 1 : nombre de feuilles dans un PORT de taille n.

Théorème

I Xn a une moyenne µn et une variance σ2n

I Xn−(2/3)n√n/3 converge en loi vers N (0, 1),

avec vitesse de convergence O(

µn = E(Xn) =23

(n+1/2)+O(1n

), σ2

n = V(Xn) =19

(n+1/2)+O(1n

{Xn − 2

3n√ n9

}= Φ(t) + O

(1√n

), où Φ(t) =

1√2π

−∞e−

v22 dv .

Loi normale limite –Convergence de la fonction de répartition

{Xn − 2

3n√n9

}−→n→∞

Loi Locale Limite

ThéorèmeNotons pn,k = P {Xn = k}. La distribution des Xn satisfait une loi locale

limite de type gaussienne avec vitesse de convergence O(

), i.e.

supt∈R

∣∣∣∣√n3

pn,b2n/3+t√

n/3c −1√2π

e−t2/2∣∣∣∣ 6 1√

Loi Locale Limite –Convergence vers la fonction de densité

⌊2n3

+ t√

⌋}−→n→∞

Grandes déviationsI borne exponentiellement petite sur la grande déviation par rapport à

la valeur moyenne : quantification sur les événements rares

Théorème

I si 0.42 < t < 2/3, P(Xn 6 tn) ≈ e−nW (t) (queue gauche)I si 2/3 < t < 0.73, P(Xn > tn) ≈ e−nW (t) (queue droite)

Conclusion et Perspectives

Divers problèmes modélisés par les urnes et traités par la combinatoireanalytique :

I Urnes en grande dimensionI premiers pas avec la combinatoire analytique

I variété de problèmes modélisés

I Urnes bicolores additivesI classe algébrique à deux paramètres : générale

I urne des k-arbres : premiers résultats sur les urnes additives avecLoi centrale limite, Loi locale limite et principe de grandes déviations,avec vitesse de convergence.

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