Combinaisons des systèmes de projection conformes pour

l’établissement de la carte de la Syrie

S.Djazmati

Combinaisons de projections conformes

• Projection conforme de moindre déformation de l’ellipsoide sur la sphère

• Projection conforme de la sphère sur le plan composée de deux systèmes de projections: Système de projection oblique de Lambert et système de projection stéréographique oblique.

Rappel de quelques formules

dBBBe

edU

cos)sin1(

122

2

dLdV

CBe

BeeBtgU

sin1

sin1ln

2)

24(ln

}sin1

sin1ln

2)

24({ln

0

00

Be

BeeBtgC

0LLV

Rappel de quelques formules

cos

ddu dldv

0

00

sin1

sin1ln

2

1)

24(ln'

tgC

0llv

sin1

sin1ln

2

1)

24(ln

tgu

Rappel de quelques formules

)(sin1

cos 2222

222 dVdU

Be

Bads

)22222 (cos' dvduRds

Projection conforme de moindre déformation de l'ellipsoide sur la

sphère

Uu Vv

Ba

BeR

ds

dsme 22

22222

2

22

cos

sin1cos

'

Détermination des constantes

922

2

sin1

1

Be

eaR

2

042

1

)cos1(1

e

Be

0

0

sinsin

B

00 L

Transformation directe et inverse

)'(sin Cuth

0Lv

)'(2

sin1

sin1 Cue

Transformation directe et inverse

Be

BeeP

sin1

sin1ln

2

CPUB

tg )24

(ln

)}(2

1{21 CUtharctgB

)(2

1{2 CPUtharctgB

ii BB 1 0LVL

Rotation de la sphère autour de la ligne des pôles

Rotation de la sphère autour de la ligne des pôles

)cos(coscossinsinsin QQQ

)cos(sincoscossin

)sin(cos

QQQ

Qtg

coscoscossinsinsin Qq

Q

QQtg

sinsinsin

sincoscos)(

La projection composée de la sphère sur le plan

),( fx ),( gy

xy

cos

yx

cos

})(){(})(){(cos

1 22222

yxyx

m

La projection composée de la sphère sur le plan

21 )1( xkkxx 21 )1( ykkyy

}{cos

)1(2)1( 2121

222

221

22

yyxxkk

mkmkm

Choix de la première projection

Choix de la première projection

12

221`

sinsin

)cos(cos)cos(cos

QQ

Qtg

220911

220011

sincossincos)1)sincos

coscoscoscos)1(coscos

ff

fftg Q

91

21

sinsin

sinsin

f

Choix de la première projection

Choix de la première projection

}sin)sin{( 00)(sin

0`100 DDectgx

}}sin)cos{(1{ 00)(sin

910 DDoectgy

cos

cos)(sin

01`

09DD

em

)24

(ln 00

tgD

Choix de la deuxième projection

Choix de la deuxième projection

)cos(coscossinsin1

)sin(cos2

000

02

x

)cos(coscossinsin1

)cos(sincoscossin2

009

000

2

y

)cos(coscossinsin1

2

0002 m

Projection composée

21 )1( xkkxx

2211 ykyky

}{cos

)1(2)1( 2121

222

221

22

yyxxkk

mkmkm

Projection composée

}sin)cos{(cos 00((sin

91 09

DDex

2000

0002

)}cos(coscossinsin1{

)}sinsin1)(cos({coscos2

x

00((sin

01 sin)sin{(cos 0)0

DDey

2000

002

)}cos(coscossinsin1{

}sin){sinsin(cos2

y

Projection composée

Rotation des axes de coordonnées planes

Rotation des axes coordonnées planes

0

0

sin

)sin(cossin

QQ

00

00

cos

sinsinsincos

cod

Q

00

00

sinsinsin

)sin(coscos

Q

QQtg

Rotation des axes de coordonnées planes

sincos yxX

cossin yxY

sincos YXx

cossin YXy

Rapport de déformation linéaire de la projection de l'ellipsoide sur le

plan

mmm ef

Application: La carte de la Syrie

• WGS84 : 00.6378137a

257223563.298

1

a

ba514245.6356752b

0035 ooB 0038 o

oL

44566.1265340 o

.22258.6370783 mR

00151610.1

Coordonnées du point Q

44866.12653490

70658.4113701

18399.14143202

003800

19626.32514201

71963.74443502

Coordonnées du point Q

62846.3495240 Q

96233.7215470 Q

Coordonnées )( 00

11550.92457690

74196.9713800

Angle de rotation et détermination de k

91150.34541360

),( 00 LB ),( 11 LB

65.0k

),( 22 LB

9.0,......3.0,2.0,1.0k

Détermination de k

Répartition du rapport de déformation

B

L

36373839404142

3732.622.821.226.838.9

3642.520.38.05.010.323.1

3520.75.10.04.818.540.0

3412.94.67.721.845.2

3318.017.730.0

Déformation moyenne et déformation maximum

Va. Moy.Va. Max.Def. Max

B

Def. Max

L

Proj. Ster. 38.2 139.337 30’42 30’

Proj. Lambert

29.4 123.237 30’42 30’

Proj. UTM 34.8 130.933 0’35 30

Proj, proposée

19.9 56.134 0’41 0’