Cours dAutomatique de la licence professionnelleTechnologies avancees appliquees aux vehicules

Olivier BachelierE-mail : Olivier.Bachelier@esip.univ-poitiers.fr

Tel : 05-49-45-36-79 ; Fax : 05-49-45-40-34

Sensibilisation a` des concepts de lAutomatique

Resume

Ce cours, initialement dispense au sein du Departement de Genie Electrique et Informatique Industrielle de lIUT de Poi-tiers, sadresse a` lorigine aux etudiants de la licence professionnelle Technologies avancees appliquees aux vehicules.Ces derniers ne se destinant pas a` une etude approfondie des concepts de lAutomatique, le present document aborderapidement les bases de la representation frequentielle, lanalyse et la commande des syste`mes lineaires. Lele`ve interessepar plus ample information est invite a` consulter quelques ouvrages [2, 4, 6, 10, 11, 3, 13, 12, 1, 5, 7]. Certaines partiesde ce document sont inspirees de [8, 9], voire franchement empruntees. Ce cours correspond a` un volume horaire den-viron huit heures, cest pourquoi certains points classiques ne sont pas abordes. Les notions fondamentales sont etudieesbrie`vement et quelques approfondissements, justifications ou calculs sont renvoyes en annexe a` ladresse de letudiantmotive par la discipline.

Connaissances prealables souhaitees : integrales, equations differentielles, calcul complexe.

1

SENSIBILISATION A` DES CONCEPTS DE LAUTOMATIQUE

Table des matie`res1 Introduction a` lAutomatique 4

1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Notion de syste`me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Notion de boucle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Quelques exemples concernant la boucle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.1 Douches collectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4.2 Douche personnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4.3 Mitigeur thermostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.4 Retroviseur a` reglage de position electronique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Cadre de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Necessite dune regulation etudiee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7 Methodologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Modelisation... de lequation differentielle a` la fonction de transfert 102.1 Presentation du syste`me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Obtention de lequation differentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Transformee de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5 Notion de causalite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.6 Association de fonctions de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.7 Fonctions de transfert en boucle fermee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Reponses des syste`mes lineaires 173.1 Definition de la reponse dun syste`me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Reponse impulsionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 Reponse indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3.1 Reponse indicielle dun syste`me canonique de premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3.2 Reponse indicielle dun syste`me canonique de deuxie`me ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3.3 Remarque sur les poles des syste`mes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3.4 Remarque sur les zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.5 Remarque sur les mode`les dordre eleve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4 Les reponses frequentielles ou harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4.2 Lien avec la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4.3 Diagramme de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.4.4 Lieu de Black ou de Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4.5 Lieu de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Stabilite des syste`mes lineaires continus 264.1 Definition generale et intuitive de la stabilite dun etat dequilibre ou dun syste`me . . . . . . . . . . . . 274.2 Influence sur le comportement entree/sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3 Crite`re des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.4 Crite`re du revers pour la stabilite dun syste`me boucle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2

5 Reglage des syste`mes boucles 295.1 Principe de la commande par retour unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.2 Regulation proportionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.2.1 Influence de A sur la stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.2.2 Influence de A sur la rapidite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.2.3 Influence de A sur la precision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2.4 Influence de A et des integrateurs sur une erreur due a` une perturbation . . . . . . . . . . . . . . 32

5.3 Regulateur PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6 Conclusion 34

Annexes 35

A Point de fonctionnement et caracteristique statique 35

B Principe de superposition 37

C A propos de la transformee de Laplace 37C.1 Quelques transformees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37C.2 Remarques sur la transformee de Laplace inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

D Demonstration de la formule de Black 40

E Expression du gain statique 40

F Influence des poles sur la reponse dun syste`me 41F.1 Poles distincts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41F.2 Poles multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

G Fonction de transfert et reponse harmonique 43

H A propos du diagramme de Bode 45H.1 Quelques re`gles simples de construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45H.2 Construction du diagramme de Bode associe au mode`le complet du moteur . . . . . . . . . . . . . . . . 49

I Perturbation en 1/pq et position des integrateurs 49

J Calcul dun regulateur par compensation de pole 50J.1 Regulateur PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50J.2 Regulateur PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52J.3 Regulateur PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

K Methodes de Ziegler-Nichols 52K.1 Methode de la reponse indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53K.2 Methode de la juste oscillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53K.3 Commentaires sur les deux methodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

L Filtrage de leffet derive 55

References bibliographiques 56

Index 56

3

SENSIBILISATION A` DES CONCEPTS DE LAUTOMATIQUE

1 Introduction a` lAutomatiqueCette partie resitue un peu le cadre de ce cours, propose les definitions preliminaires a` letude et met en evidence les pointsqui seront abordes par la suite.

1.1 DefinitionLa definition de lAutomatique que propose le Petit Robert est assez explicite sur ce que peut etre lAutomatique memesi sa simple lecture ne suffit pas pour analyser les grandes tendances de cette vaste discipline. La voici :

Automatique : ensemble des disciplines scientifiques1 et des techniques utilisees pour la conception et lemploi desdispositifs2 qui fonctionnent sans lintervention dun operateur humain3.

On peut revenir sur les trois expressions soulignees de cette definition.1. disciplines scientifiques : ceci sugge`re que lAutomatique requiert quelques activites theoriques afin de realiser :

une modelisation mathematique dun dispositif. une analyse de ses proprietes sur la base du mode`le . la conception dune loi de commande toujours sur la base du mode`le.

2. conception et emploi de dispositifs : ceci rele`ve en fait de la mise en oeuvre pouvant faire intervenir des disciplinestelles que lelectronique, linformatique...

3. sans lintervention dun operateur humain : cette dernie`re expression fait apparatre la notion de syste`mes automa-tises qui permettent : dameliorer les performances dun dispositif, son confort (exemples : climatisation, direction assistee). dameliorer la securite (exemples : pilote automatique, freinage ABS).

Ne sont generalement abordes dans un cours dAutomatique que les aspects 1 et 3. Le point 2 est generalement specifiqueau dispositif etudie et ne necessite souvent pas lexpertise reelle dun automaticien.

1.2 Notion de syste`meEn Automatique, la notion de syste`me est incontournable. La definition quen donne lautomaticien se rapproche de celleclassique empruntee a` la physique. Generalement, le syste`me est un dispositif qui fonctionne en interaction avec sonenvironnement generant un ensemble de phenome`nes. Certaines grandeurs physiques de lenvironnement agissent sur lesyste`me. Elles sont appelees entrees. Dautres emanent du syste`me et agissent sur lexterieur. Elles sont appelees sorties.Les signaux associes aux entrees sont generalement notes par la lettre u et les signaux associes aux sorties par la lettre y.Les entrees dun syste`me peuvent a priori etre modifiees. Il peut egalement exister des entrees qui echappent au controleet qui ne peuvent etre modifiees. Elles sont appelees perturbations et sont notees d. La figure 1 symbolise ce formalisme.

Fig. 1 Syste`me comprenant m entrees, p sorties et r pertubations

4

Dans la pratique, un syste`me peut correspondre a` un dispositif mecanique, electronique, chimique... et il est facile dele differencier de lexterieur de meme que de choisir quelles sont les entrees (exemples : une force ou un couple enmecanique, une tension ou un courant en electronique, la concentration dun produit initial en chimie) ou les sorties (unevitesse ou un couple en mecanique, une tension ou un courant en electronique, une concentration dun produit final enchimie). Comme exemples de perturbations, on peut citer une force liee aux frottements avec lair, des tensions parasites,des concentrations de produits negliges ou dimpuretes...

Il existe des syste`mes qui ne sont pas physiques tels que des syste`mes economiques et financiers et pour lesquels ceformalisme peut paratre moins evident. De tels syste`mes, meme sils peuvent exister dans lindustrie automobile, ne serencontrent pas sur un vehicule.

1.3 Notion de boucleUne notion fondamentale en Automatique est la notion de boucle que les electroniciens (qui sont les premiers a` avoirformalise cette notion) appellent contre-reaction. Le principe en est dacquerir une information presente sur les sorties etde lutiliser judicieusement pour modifier les entrees. Le but de cette retro-action est dobtenir un comportement souhaitedu syste`me, cest-a`-dire, des signaux de sortie satisfaisants. Lutilisation de la boucle resulte du fait que les automaticiensont constate que la modification convenable des sorties par une action sur les entrees, sans tenir compte des sorties, etaitinsuffisante.Pour mieux se rendre compte de linteret de la boucle, on peut prendre lexemple dune automobile (voir figure 2) quilors dun trajet, fait apparatre des bouclages manuels (cest le conducteur qui assure ces retro-actions lui-meme) ouautomatiques (il est assiste par des dispositifs de securite ou de confort).

Systme

Actionneurs

commander

Commande

Mesures

Perturbations (vent, profil de la route)

(voiture)

Sorties (trajectoire,niveau de la caisse,vitesse)

(capteurs, yeux)

(Calculateur,cerveau)

Spcifications sur le comportement(tenue de route, oscillations de la caisse, vitesse dsire,confort, scurit...)

(suspension,mains, pieds)

Entres (action surle volant, les pdales)

Fig. 2 Boucles possibles correspondant au fonctionnement dune voiture

Lorsquun automobiliste est au volant, la voiture, en interaction avec son environnement (dont le conducteur), peutconstituer un syste`me avec de nombreuses boucles. Ainsi, lorsquun defaut de la route ou un coup de vent entraneun deplacement ponctuel lateral du vehicule (le syste`me reagit a` une perturbation), alors loeil de lautomobiliste (entreautres) lui permet de prendre conscience du deplacemenet lateral et il pourra agir en consequence sur le volant pour retablirla trajectoire. Il sagit la` dune boucle manuelle. De meme, si un trou gene`re une oscillation violente sur laltitude de lacaisse, une suspension active peut reduire cet inconfort en agissant sur lamortisseur. Ceci est une boucle automatique.Cette dernie`re suit la plupart du temps un mode`le mathematique plus ou moins complique qui est appele loi de commande.Lon dit aussi que le syste`me fonctionne en boucle fermee.

A la vue de cet exemple, on peut comprendre limportance de la boucle. Elle peut permettre dassurer deux activitesessentielles en Automatique :

5

lasservissement qui consiste a` faire en sorte que les sorties se comportent comme des references donnees (tout dumoins autant que faire ce peut).

la regulation qui consiste a` tenter de reduire leffet des perturbations sur les sorties.

Dans les deux cas, certaines performances sont souvent requises telles que : la stabilite le temps de reponse labsence doscillations des sorties la precisionCes proprietes seront mieux explicitees au cours des divers chapitres.

1.4 Quelques exemples concernant la boucle1.4.1 Douches collectives

Une douche collective est schematisee par la figure 3.

fixe a priori

Temprature de leau fixe

Rservoir deau

temprature

Fig. 3 Exemple de syste`me en boucle ouverte

Lentree du syste`me est la temperature de leau du reservoir. Leau secoule dans le syste`me et sort des pommes a` unetemperature (cest la sortie) qui nest pas modifiable. Aucune information sur cette temperature de sortie nest utilisee auniveau du reservoir. Il sagit donc la` dun syste`me en boucle ouverte cest-a`-dire sans boucle.

1.4.2 Douche personnelle

Le fonctionnement dune douche manuelle est lui represente sur la figure 4 .

Rservoir

Arrivedeau froide

Action manuelle sur le mitigeur

deau chaude

Fig. 4 Exemple de syste`me en bouclage manuel

La personne prenant sa douche peut cette fois-ci jouer sur le mitigeur pour ameliorer la temperature de leau. En fonctionde sa sensation, elle actionne les robinets jusquau confort souhaite. Cette boucle est donc manuelle et non automatique.La reponse en temperature dun tel syste`me, cest-a`-dire levolution de la temperature de sortie au cours du temps, estgeneralement de la forme donnee par la figure 5.

6

Temprature ambiante

Temprature souhaite

oscillationsretardpur

temps

t

Fig. 5 Evolution de la temperature de leau au cours du temps

La temperature nevolue pas dans un premier temps car les tuyaux sont emplis deau a` temperature ambiante. On parle deretard pur du syste`me.Puis, en raison des manoeuvres successives de la personne sur les robinets, leau devient alternativement chaude et froidejusqua` ce que la personne trouve un compromis satisfaisant. La duree des oscillations est dautant plus longue que lapersonne reagit vivement et est maladroite.

Remarque 1 : en Ecosse, la strategie pour eliminer le retard pur et les oscillations consiste a` fixer la temperaturesouhaitee a` la valeur de la temperature ambiante, ce qui a aussi lavantage de satisfaire des crite`res economiques.

1.4.3 Mitigeur thermostatique

Pour plus de confort, le particulier peut aujourdhui installer, au niveau de sa douche, un mitigeur thermostatique quirealise un asservissement en temperature. Ce dispositif correspond a` une boucle automatique qui permet a` la fois dediminuer le temps de reglage (en evitant les oscillations) et de faire des economies deau (voir figure 6).

Mitigeur thermostatique

Consigne

Eau chaudeEau froide

t

consigne

ambiante

t

t

t

Fig. 6 Exemple de syste`me avec boucle automatique

1.4.4 Retroviseur a` reglage de position electronique

Supposons que deux personnes utilisent le meme vehicule et que lordinateur de bord de ce dernier propose a` chacun dememoriser une position pour le retroviseur. Cette position est caracterisee par deux angles et chacun de ces deux anglesdoit etre a` la bonne valeur lorsque le conducteur demande sa position preferee. La rotation du retroviseur est assureegrace a` deux petits moteurs a` courant continu (un pour chaque angle). Le principe de reglage dun angle en fonction de lapostion souhaitee est donne par la figure 7.

7

Bloc decommande Rtroviseur

+

tension

tension

angle souhait

(exprim par une tension) +Moteur

capteur

Amplificateuru

yc

angle rel en radians

systmey

Fig. 7 boucle automatique de reglage dun angle de retroviseur

On note quil convient de ramener la sortie sur lentree et de modifier lexcitation du moteur en fonction de lecart entrelangle souhaite et celui obtenu. Pour calculer cet ecart, il faut specifier la valeur souhaitee par une tension et convertirlangle effectif en tension, ce qui est le role du capteur. Lorsque langle effectif est celui escompte, lecart sannule et lemoteur assurant la rotation nest plus commande. On verra plus tard que peuvent se cacher des blocs assez complexesderrie`re ce schema de principe.

Il faut noter que dans le cas dun syste`me boucle, on distingue les entrees du syste`me en boucle fermee qui sont ap-pelees consignes et generalement notees yc(t) (ici, la tension correspondant a` langle souhaite) des entrees du syste`meen boucle ouverte (cest-a`-dire le procede compose ici de lamplificateur, du moteur et du retroviseur) qui sont appeleescommandes et restent notees u(t) (ici, la tension dinduit du moteur).

On retrouve ce style de proble`me dans le cas de lasservissement de linclinaison dune antenne parabolique.

1.5 Cadre de travailOn vient de voir que letude des syste`mes conduisait a` sinteresser a` des signaux decrivant levolution de grandeursphysiques (les entrees et les sorties notamment). On distingue plusieurs automatiques selon la nature des signaux et desmode`les utilises.

Ainsi les signaux continus peuvent prendre toutes les valeurs dans un intervalle donne alors que dautres signaux sontsusceptibles de prendre uniquement certaines valeurs bien determinees. Sur la base de cette difference, on distingue lAu-tomatique des syste`mes a` evenements (ou etats) continus de lAutomatique des syste`mes a` evenements (ou etats) discrets.Seul le cas des evenements continus sera envisage dans ce cours.

Une autre distinction tout aussi fondamentale se fait sur le temps. En effet, les signaux peuvent etre definis a` toutinstant du temps ou simplement connus a` des instants donnes (on parle de signaux discrets, discretises, ou echantillonescomme sur la figure 8.

Systme commander

Calculateur

ConvertisseurN. A.

u(t)

t

uu0

2

1u

,...0 1 2

y ,y ,ysquence,...u0,u

1,u

2squence

t

y(t)

t t

y

y1

0

0 1

(Algorithme dterminer)

ConvertisseurA. N.

Fig. 8 Commande discre`te

8

Les signaux de sortie sont echantillones, cest-a`-dire mesures et donc connus uniquement a` certains instants, et la sequencedes echantillons est obtenue sous forme numerique en sortie dun convertisseur analogique numerique (CAN). Elle esttransmise a` un calculateur qui en deduit une sequence de signaux de commande. Celle-ci est transformee par un conver-tisseur numerique analogique (CNA) qui restitue un signal a` temps continu sur lentree du syste`me. Pour le calculateur,lensemble constitue du syste`me et des convertisseurs est vu comme un syste`me a` temps discret (ou syste`me discret).Dans ce cours, ne sera consideree que lAutomatique des syste`mes a` temps continu (ou simplement des syste`mes conti-nus) par opposition a` lAutomatique des syste`mes a` temps discret.

Il existe dautres distinctions qui reposent sur le mode`le mathematique utilise pour decrire le comportement du syste`me.Ce mode`le est obtenu soit par identification (on fait correspondre un mode`le avec une structure donnee au comportemententrees/sorties du syste`me) ou, et ce sera le cas ici, par une utilisation judicieuse des equations correspondant aux loisde la physique regissant le comportement du syste`me. Lon parle alors de modelisation du syste`me. La plupart de cesequations sont differentielles et non lineaires. Cependant, il est souvent recommande de travailler dans une gamme devaleurs autour dun point de fonctionnement de telle sorte que les equations sont raisonnablement remplacables par desequations differentielles dites lineaires a` coefficients constants. Cette approximation permet donc de passer dun mode`lenon lineaire a` un mode`le lineaire. Bien que moins fide`le a` la realite, ce dernier facilite letude et la commande du syste`me,notamment grace a` un principe fondamental, celui de superposition (ou de separation), resume sur la figure 9.

Systme y= 1y

1+ y

2 21

u1

u22

linaire

Fig. 9 Principe de superposition

Si lentree u1 entrane la sortie y1 et si lentree u2 entrane la sortie y2 alors deux entrees 1u1 et 2u2 agissant simul-tanement entranent une sortie y = 1y1 + 2y2 (voir justification en annexe B). Ce cours est restreint a` letude dessyste`mes lineaires.

Enfin, une dernie`re distinction est essentielle pour ce cours. Les syste`mes sont soient monovariables (une seule entree,une seule sortie) soit multivariables (plusieurs entrees, plusieurs sorties). Seuls les syste`mes monovariables seront etudies.

En resume, ce cours concerne les syste`mes lineaires monovariables continus.

1.6 Necessite dune regulation etudieeLe but de ce paragraphe est de montrer quune regulation simple, un bouclage simple, ne sont pas toujours suffisants pourcommander un syste`me. On suppose que lon souhaite reguler, ou plutot asservir, la vitesse dun ventilateur destine a`refroidir un syste`me electronique a` linterieur du vehicule. Le procede est constitue tout simplement dun petit moteurexcite par une tension u et entranant la rotation du ventilateur comme le montre la figure 10.

u

v

Moteur

Fig. 10 Ventilateur

On souhaite que v, la vitesse angulaire du ventilateur, soit egale a` une consigne donnee vc. Pour ce faire, on adopte unecommande correspondant au schema de la figure 11.

9

Procd

Capteur

Conversion

Amplificateur diffrentiel

+

(gain h)u v

vc

v

v

e

s

Amplificateurde puissance

(Gnratricetachymtrique)

Fig. 11 Tentative de regulation de la vitesse du ventilateur

La question est la suivante : peut-on obtenir v = vc, cest-a`-dire, au niveau des tensions, ve = vs ? Si lon suppose quecest effectivement le cas, alors, a` la sortie de lamplificateur differentiel, la tension est = ve vs = vc v = 0. Dece fait, a` la sortie de lamplificateur de puissance, aucun signal nest delivre (u = h = 0) et le ventilateur ne tourne pas.Cette egalite nest donc otenue qua` larret et lon comprend quil est necessaire denvisager une boucle plus sophistiquee.Cest tout le but de lAutomatique.

1.7 MethodologieEn Automatique, la methodologie utilisee peut se diviser en plusieurs etapes qui sont les suivantes :

1. Cahier des charges : lautomaticien doit prendre connaissance du proble`me et des diverses specifications. Il doit, a`cette occasion, clairement definir le syste`me (avec ses entrees et ses sorties) et les performances attendues pour cedernier.

2. Modelisation : lautomaticien doit decrire le comportement du procede (cest-a`-dire le syste`me en boucle ouverte)grace aux lois de la physique et obtenir un ensemble dequations algebriques et differentielles. Ensuite, il doit refor-muler celles-ci de manie`re a` obtenir un mode`le classique en Automatique (une fonction de transfert par exemple).

3. Analyse : il convient dans cette phase dutiliser des techniques de lAutomatique pour juger des performances dusyste`me (stabilite, temps de reponse, oscillations, precision...) a` partir du mode`le.

4. Synthe`se : la dernie`re phase consiste a` concevoir une loi de commande cest-a`-dire une boucle intelligente quiconfe`re au syste`me ainsi boucle les performances souhaitees si cela est possible.

2 Modelisation... de lequation differentielle a` la fonction de transfertCette partie sarticule autour dun exemple qui permettra de comprendre la demarche a` suivre pour parvenir a` obtenir unmode`le du syste`me usuel en Automatique, a` savoir la fonction de transfert.

2.1 Presentation du syste`meIl sagit dun moteur electrique a` courant continu qui est dit a` commande dinduit. Le schema dun tel procede est donnepar la figure 12.

10

uR L

eJ

f

ic=

i

Fig. 12 Moteur a` courant continu a` commande dinduit

Les lois de la physique regissant le comportement de ce procede electromecanique conduisent aux equations suivantes : Equation electrique au niveau de linduit :

Ldi

dt+ Ri+ e = u (1)

u est la commande dinduit, i le courant dinduit, R et L sont respectivement la resistance et linductance dinduit. e estune force electromotrice.

Couple moteur :

= K1i = Ki (2)car est le flux inducteur constant donne par :

= Kcic = Cte (3) La force electromotrice e est donnee par :

e = K (4)ou` est la vitesse de larbre du moteur.

Enfin, la relation fondamentale de la dynamique conduit a` ecrire :

Jddt

= f (5)ou` J est le moment dinertie et f un coefficient relatif aux forces de frottement generant un couple resistant Cr = f.

Il convient maintenant de se fixer une entree et une sortie. La commande dinduit u est choisie comme entree et lasortie sera la vitesse angulaire du moteur y = . On peut en effet souhaiter realiser un asservissement de vitesse.

2.2 Obtention de lequation differentielleOn utilise maintenant les equations precedentes pour resumer le mode`le du syste`me par une seule equation differentiellereliant y a` u. On note que les grandeurs physiques sont fonctions du temps mais que cette dependance napparat pasexplicitement dans les notations. A partir de maintenant, on note par un point au dessus de la lettre la derivee du signalassocie par rapport au temps et par deux points au-dessus de la lettre la derivee seconde par rapport au temps.Les relations (5) et (2) conduisent a` ecrire :

Jy + fy = Ki

11

ce qui, apre`s derivation par rapport au temps, compte tenu des equations (1) et (4), secrit :

Jy + fy = Ki =K

L(uRiKy)

JLy + fLy +K2y = KuRKiOr Ki = et on peut a` nouveau utiliser (5) pour aboutir a` :

JLy + (RJ + fL)y + (fR+K2)y = Ku (6)On obtient donc une equation differentielle en y dans laquelle les seules grandeurs physiques variables sont u et y. Cetteequation differentielle constitue un mode`le de comportement entree/sortie pour le procede. Elle pourrait etre resolue pourdeterminer la reponse du procede (cest-a`-dire levolution de y(t) au cours du temps) en fonction dune excitation donneesur u et de conditions initiales. Toutefois cette demarche est peu courante en Automatique car un peu lourde et lon prefe`readopter dautres mode`les plus facilement manipulables tels que la fonction de transfert presentee ulterieurement.

En supposant que linductance L est tre`s petite, on peut envisager un mode`le plus simple ou` elle est negligee (L ' 0).Lequation (6) peut alors se reecrire :

RJy + (Rf +K2)y = K1u (7)On comprend sur cet exemple que plusieurs mode`les plus ou moins fide`les peuvent decrire le meme syste`me.

Remarque 2 : pour cet exemple, le mode`le etait deja` lineaire. En effet, lequation differentielle depend lineairement delentree, de la sortie et de leurs derivees successives. Ce nest pas toujours le cas. Lorsque ce nest pas le cas, il convientde recourir a` quelque approximation pour que les elements non lineaires soient remplaces par des elements lineaires.Ces approximations ne sont generalement justifiees que dans une gamme de valeurs correpondant a` de petites variationsautour dun point de fonctionnement au voisinage duquel le comportement du syste`me correspond a` peu pre`s a` un mode`lelineaire. Lannexe A est consacree aux notions de caracteristique statique et de point de fonctionnement.

2.3 Transformee de LaplaceCe paragraphe a pour but de rappeler ce quest la transformee de Laplace 1, outil mathematique necessaire pour obtenirune fonction de transfert dun syste`me.

Chaque grandeur physique est decrite par un signal temporel cest-a`-dire une fonction du temps. Seuls les fonctionsdu temps dites causales , cest-a`-dire pour lesquelles f(t) = 0,t < 0, sont considerees. Toute fonction causale f(t) peutsubir une transformation dite de Laplace, noteeL et ainsi definie :

f(t) L7 F (p) = 0

f(t)eptdt

F (p), si elle existe, cest-a`-dire si lintegrale est calculable, est appelee transformee de Laplace de f(t) et la variable com-plexe p = + j (notee s dans les ouvrages de langue anglo-saxonne) est connue sous le nom de variable de Laplace.Cet operateur posse`de les proprietes suivantes :

1. linearite :

f1(t) + kf2(t)L7 F1(p) + kF2(p)

1Marquis Pierre Simon de Laplace (1749-1827) : mathematicien et physicien francais, auteur de travaux se rapportant a` la mecanique celeste et aucalcul des probabilites.

12

2. theore`me de la derivation :

f(t) L7 pF (p) f(0)

f(t) L7 p2F (p) pf(0) f(0)

dlf(t)dtl

L7 plF (p) pl1f(0) pl2f(0) ... dfl1(0)dtl

p correspond donc, en presence de conditions initiales nulles, a` une derivation dans le domaine de Laplace.

3. theore`me de lintegration :

t00

f()d L7 F (p)p1/p est donc loperateur dintegration dans le domaine de Laplace.

4. theore`me du retard :

f(t ) L7 epF (p)

5. theore`me du decalage frequentiel :

f(t)et L7 F (p+ )

6. theore`me de la valeur initiale :

limt0

f(t) = limp pF (p)

(sous reserve dexistence des deux limites)

7. theore`me de la valeur finale :

limt f(t) = limp0

pF (p)

(sous reserve dexistence des deux limites)

Comme il est parfois fastidieux de calculer la transformee de Laplace dune fonction temporelle compliquee (de meme quela transformee inverse noteeL 1), en pratique, les automaticiens disposent de tableaux de transformees (Voir tableau 1).Quelques lignes de ce tableau sont justifiees en annexe C.1. Il en existe des versions bien plus comple`tes dans certainsouvrages, notamment dans [7].Ce tableau peut etre utilise pour passer du domaine de Laplace au domaine temporel. Ceci evite dutiliser la transformationL 1 qui est definie en annexe C.2

2.4 Fonction de transfertLa fonction de transfert (parfois appelee transmittance) est le mode`le le plus usuel en Automatique. Elle sobtient en ap-pliquant la transformation de Laplace sur lequation differentielle. On reprend lexemple du moteur a` courant continu.Pour simplifier le developpement, les parame`tres prendront les valeurs simples (mais peu realistes) suivantes :

J = 1kg.m2 f = 1N.m.s R = 1

13

Original f(t), t 0 Transformee de Laplace F (p)

Impulsion de Dirac (t) 1

Echelon damplitude E i.e. E(t) Ep

Rampe de pente b i.e. bt bp2

eat1

p+ a

teat1

(p+ a)2

tqeatq!

(p+ a)q+1

sin(t)

p2 + 2

cos(t)p

p2 + 2

eat sin(t)

(p+ a)2 + 2

eat cos(t)p+ a

(p+ a)2 + 2

Retard pur i.e. f(t ) epF (p)

TAB. 1 Table de transformees de Laplace

14

L = 10mHK = 1N.m/A = 1V.s

Compte tenu de ces valeurs numeriques, lequation (6) secrit :

102y + 1, 01y + 2y = u

y + 101y + 200y = 100uEn appliquantL , il vient :

p2Y (p) py(0) y(0) + 101pY (p) 101y(0) + 200Y (p) = 100U(p) (p2 + 101p+ 200) Y (p) = 100 U(p) + (p+ 101)y(0) + y(0)

D(p) N(p) I(p)

Y (p) =N(p)D(p) U(p) +

I(p)D(p)

G(p)

Le second terme de Y (p) depend des conditions initiales (a` linstant 0). Il peut etre nul si le syste`me est intialementau repos. Il ne traduit pas des proprietes constantes du comportement entree/sortie. En revanche, G(p) est une fractiondont le numerateur et le denominateur sont des polynomes en p. Elle est independante des conditions initiales. G(p) estappelee fonction de transfert et peut secrire :

G(p) =100

p2 + 101p+ 200=

100(p+ p1)(p+ p2)

avec p1 ' 2 et p2 ' 98

p1 et p2, les racines de D(p), sont appeles poles du syste`me. Ils ont une grande influence sur le comportement de cedernier. Lorsquil existe des racines au numerateur, elles sont appelees zeros du syste`me et peuvent egalement influencerson comportement.

Mais G(p) peut aussi secrire :

G(p) =K

(1 + 1p)(1 + 2p)avec 1 = 1

p1' 0, 5, 2 = 1

p2' 0, 01 et K ' 0, 5

1 et 2, que lon ne peut faire apparatre que lorsque les poles sont reels, sont appelees constantes de temps du syste`me.On note ici que 1 est beaucoup plus elevee et correspond approximativement a` la dynamique des phenome`nes mecaniquesalors que 2 est davantage liee aux phenome`nes electriques.

Si L est negligee, on peut appliquer la transformation de Laplace a` lequation differentielle (7) et lon obtient en eliminantles termes lies aux conditions initiales :

G(p) =1

p+ 2=

0, 51 + 0, 5p

Dans ce mode`le simplifie, il ne reste quun pole egal a` 2 ou une seule constante de temps egale a` 0, 5. Ceci revient a` neprendre en compte que la dynamique des phenome`nes mecaniques.

De manie`re generale, il sagit dobtenir pour tout syste`me, eventuellement par approximation, une equation differentiellea` coefficients constants et dont chaque membre est lineaire par rapport a` lentree, a` la sortie ainsi qua` leurs deriveessuccessives (si elles sont non nulles) :

andny

dtn+ an1

dn1ydtn1

+ ... + a1y + a0y = bmdmu

dtm+ bm1

dm1udtm1

+ ... + b1u + b0u

Pour des conditions initiales nulles et puisque p est loperateur de derivation dans le domaine de Laplace, on obtient laforme generale de la fonction de transfert :

15

G(p) =N(p)D(p)

=bmp

m + ... + b1p + b0anpn + ... + a1p + a0

(8)

Le degre du numerateur N(p) est m et celui du denominateur D(p) est n. n est egalement appele ordre du syste`me. Lespoles du syste`me sont donc les racines de lequation caracteristique D(p) = 0 alors que les zeros du syste`me sont lesracines de N(p) = 0. D(p) est parfois appele polynome carcteristique.

2.5 Notion de causaliteSoit la fonction de transfert dun syste`me telle que celle donnee en (8) (forme generale). Physiquement, il est difficilementconcevable que m soit strictement superieur a` n. Lon peut toujours imaginer un mode`le mathematique correspondanta` ce cas ou meme tenter une conception pratique mais ceci signifie que la sortie du syste`me a` un instant donne dependde la valeur de lentree a` un instant ulterieur. Cest pourquoi lon suppose plutot, pour un procede, que m n. Un telsyste`me est dit causal et la fonction de transfert est dite propre (meme strictement propre si m < n). Lorsque lon cherchea` construire un syste`me, il est important de prendre en compte cette causalite. La plupart des mode`les physiques sontstrictement propres.

2.6 Association de fonctions de transfertOn a deja` un peu utilise les schema-blocs pour expliquer le principe de la boucle (retro-action). On peut egalement senservir pour illustrer deux re`gles essentielles pour comprendre linteret de la fonction de transfert lorsque plusieurs syste`messont associes pour en constituer un seul. Ainsi, on envisage deux cas dassociation de deux syste`mes : en paralle`le et enserie. La figure 13 montre, dans ces deux cas, la fonction de transfert globale correspondante. Ces re`gles peuvent servirpour des syste`mes plus complexes.

G1(p)

G1

(p)

Systmes en parallle Systmes en srie

+

+U(p) Y(p)

G (p)2

G(p)

Y(p)U(p) G (p)2

G(p)=G1

G(p)=G1

(p)G(p)+G2

(p)2

(p)

G(p)

Fig. 13 Fonctions de transfert en paralle`le et en serie

2.7 Fonctions de transfert en boucle fermeeOn se sert a` nouveau des schema-blocs pour resumer le passage de la boucle ouverte a` la boucle fermee. Deux cas serontenvisages : celui du retour unitaire et celui dun retour dynamique quelconque (voir figure 14).

16

Retour unitaire

2G (p)

Retour non unitaire

+

c(p) Y(p)

G(p)(p) (p) Y(p)U U

c(p)

G (p)1+

Fig. 14 Retours unitaire et non unitaire

G2(p) peut etre par exemple associe a` un capteur.

On peut definir la fonction de transfert de la boucle, F (p), couramment apelee gain de boucle et correspondant a` lafonction de transfert de lensemble de la boucle ouverte, ensemble lui-meme appele chane directe.

Retour unitaire :F (p) = G(p)

Retour non unitaire :F (p) = G1(p)G2(p)

Dans ce second cas, on distingue G1(p), la fonction de transfert du procede, de F (p), celle de la chane directe.On peut aussi, selon une formule attribuee parfois a` Black2, calculer la fonction de transfert en boucle fermee.

Retour unitaire :

H(p) =Y (p)Yc(p)

=G(p)

1 +G(p)

Retour non unitaire :

H(p) =Y (p)Yc(p)

=G1(p)

1 +G1(p)G2(p)

Cette formule est demontree dans lannexe A.

3 Reponses des syste`mes lineaires3.1 Definition de la reponse dun syste`meLa reponse dun syste`me de fonction de transfert G(p) correspond a` la forme du signal de sortie y(t) lorsque le syste`meest excite par un signal dentree connu u(t). On distingue plusieurs types de reponse selon le signal dentree. Certainesreponses sont tre`s couramment etudiees pour comprendre le fonctionnement dun syste`me. En toute logique, la reponsedun syste`me depend de la valeur de la sortie a` linstant initial considere. Cependant, a` des fins de simplification de cecours, nous ne nous interesserons qua` des reponses pour lesquelles les conditions initiales sont nulles.

2Harold Stephen Black (1898-1983) : ingenieur electronicien americian dont les travaux sur la contre-reaction vers 1934 ont ouvert des voies a`lAutomatique.

17

3.2 Reponse impulsionnelleLa reponse impulsionnelle est la reponse a` une impulsion unitaire de Dirac3. On letudiera peu dans ce cours. Cependant,on rapelle que si u(t) = (t), alors sa transformee de Laplace est U(p) = 1 (voir tableau 1 et annexe C.1). Celle de y(t)est donc :

Y (p) = G(p)

Le signal temporel y(t) recherche est donc tout simplement la transformee de Laplace inverse de la fonction de transfert.

y(t) = L 1(G(p))

3.3 Reponse indicielleLa reponse indicielle dun syste`me est sa reponse a` un echelon unitaire u(t) = (t), egalement appele fonction deHeaviside4. Cette fonction est representee sur la figure 15.

Systme

0

1

t

y(t) ?

u(t)= (t)

Fig. 15 Reponse a` un echelon unitaire

3.3.1 Reponse indicielle dun syste`me canonique de premier ordre

On rappelle que la fonction de transfert dun syste`me canonique (numerateur constant) de premier ordre est de la forme :

G(p) =Y (p)U(p)

=K

1 + p

K est appele gain statique et est appele constante de temps. Cette fonction de transfert correspond, en appliquant latransformation inverse de celle de Laplace, a` lequation differentielle :

y(t) + y(t) = Ku(t), t 0 On peut determiner la reponse a` partir de cette equation. En effet, la solution dune telle equation, compte tenu queu(t) = 1 pout t 0, est donnee par (cf. cours de mathematiques) :

y(t) = Cet/ + KSolution de lequation homoge`ne associee solution particulie`re

ou` C est une constante a` determiner. En considerant que y(0) = 0, on deduit que C = K. Il vient donc

y(t) = K(1 et/ )

On peut retrouver ce resultat directement a` partir de la fonction de transfert puisque lon ne conside`re pas de condi-tions initiales. On note dabord que U(p) = L (u(t)) = 1/p ce qui conduit a` ecrire : :

3Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984) : mathematicien et physicien britannique dorigine suisse ayant participe a` la creation de la MecaniqueQuantique. Prix Nobel de Physique en 1933.

4Oliver Heaviside (1850-1925) : physicien britannique a` lorigine, entre autres, de la notion dimpedance et du calcul operationnel. Il decouvritlionosphe`re

18

Y (p) = G(p)U(p) =K

p(1 + p)

La decomposition en elements simples aboutit a` :

Y (p) =K

p(p+ 1 )=

K

p Kp+ 1

En appliquantL 1, il vient (cf. tableau 1) :

y(t) = K(t) Ket/

et lon retrouve, par factorisation, le resultat precedent.

Dans le cas du moteur electrique etudie dans la partie precedente, on a K = 0, 5 et = 0.5s (mode`le simplifie). Lareponse dun tel syste`me est donne par la figure 16.

Fig. 16 Reponse indicielle dun premier ordre canonique

A partir de cette reponse, on peut definir plusieurs notions sur les reponses des syste`mes en general et des syste`mes depremier ordre en particulier. On note dabord que le signal de sortie tend asymptotiquement vers une valeur (ici 0, 5) sansjamais latteindre mathematiquement. Cette convergence asymptotique est toujours verifiee pour les mode`les lineaires quisont dits stables (cette propriete sera etudiee ulterieurement). Cest pourquoi, dans la reponse, on distingue deux phases :

le regime transitoire qui correspond a` levolution du signal de sortie dans les premiers instants de la reponse et qui dureun temps tr appele temps de reponse.

Au dela` de ce temps, le signal passe en regime permanent, cest a` dire que le signal de sortie reste entre 95% et 105%de sa valeur finale yRP (correspondant a` lasymptote).

Sur cette courbe, on constate que le temps de reponse correspond a` linstant ou` le signal atteint 0, 475, soit tr = 1, 5s.

Par ailleurs, on peut definir Y = yRP y(0), la variation totale du signal de sortie (ici Y = 0, 5 0 = 0, 5puisque la condition initiale est nulle). De meme, on peut definir U , la variation du signal dentree (ici U = 10 = 1puisquil sagit dun echelon unitaire). Il est facile (voir annexe E) de demontrer que

19

K =YU

= G(0)

On peut donc retrouver le gain statique du syste`me. Cette definition reste valable pour tout syste`me, meme dordre pluseleve. On note que dans le cas present, K = 0, 5, ce qui signifie que y(t) ' 0, 5u(t) en regime permanent.

Neanmoins, certaines proprietes sont specifiques aux syste`mes canoniques de premier ordre. Ainsi, un tel syste`me necomportant quune seule constante de temps, on peut la retrouver, a` linstar du gain statique, sur la reponse du syste`me.En effet, pour un tel syste`me, il existe trois facons simples de la determiner : a` partir du temps de reponse car tr = 3 . correspond au temps que met le signal de sortie pour varier de 63% de Y . la tangeante a` la courbe au niveau du point intial (0; y(0)) coupe lasymptote du regime permanent a` t = .La constante de temps traduit la rapidite de la reponse du syste`me. Moindre elle est, plus rapide est cette reponse.

3.3.2 Reponse indicielle dun syste`me canonique de deuxie`me ordre

Un syste`me canonique de deuxie`me ordre a pour fonction de transfert

G(p) =K

1 + 2m

np+

12np2

=K2n

p2 + 2mnp+ 2n

K est toujours le gain statique du syste`me. Il conserve la meme definition. m est appele coefficient damortissement etn est appele pulsation propre non amortie. De ces deux parame`tres depend la forme de la reponse, en particulier de lavaleur de m.

On note 1 et 2 les racines du denominateur de G(p). Pour simplifer , on conside`re K = 1 ce qui ne change rien a`la forme des courbes. On distingue 5 cas :

m > 1 1,2 = mn nm2 1 sont reels et

y(t) = 1 (2e1nt 1e2nt)/(2 1)La reponse est dite aperiodique cest a` dire sans oscillation.

m = 1 on a un pole double 1 = 2 = m et

y(t) = 1 ent ntent

La reponse reste aperiodique.

0 < m < 1 1,2 = mn jn1m2 sont complexes et

y(t) = 1 (emnt/1m2) sin(pt+)

avec sin =1m2, cos = m et p = n

1m2.

La reponse est oscillatoire amortie avec une pulsation p. Elle est dite pseudo-periodique. Les oscillations sont dautantplus marquees que m est moindre. Cest seulement lorsque m < 0.707 que les oscillations sont vraiment apparentes ;au dela`, seul un depassement peut etre perceptible.

m = 0 1,2 = jn. La reponse est tout simplement sinusodale de pulsation n. Le syste`me est un oscillateur.

m < 0 la reponse est oscillatoire non amortie et diverge. Ceci correspond a` un syste`me instable (voir Partie 4).Voici plusieurs reponses indicielles de ce syste`me canonique de deuxe`me ordre, correspondant a` K = 1, pour n = 1 etpour diverses valeurs de m > 0 (figure 17).

20

Temps (s)

Ampl

itude

Rponse indicielle

0 10 20 30 40 50 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

m=0.1

m=0.4

m=0.707

m=2 m=10

Fig. 17 Reponse indicielle dun deuxie`me ordre ordre canonique

Dans le cas du mode`le du moteur a` courant continu, on a :

G(p) =K

(1 + 1p)(1 + 2p)avec 1 = 1

p1' 0, 5, 2 = 1

p2' 0, 01 et K ' 0, 5

ce qui signifie, puisque deux constantes de temps apparaissent, que les poles sont reels, cest-a`-dire m > 1. La reponsede ce mode`le est donnee par la figure 18 ou` lon voit que, 2 etant nettement moindre que 1, la dynamique electriquenapparat presque pas sur la reponse qui ressemble a` une reponse de premier ordre.

Fig. 18 Reponse indicielle du mode`le complet du moteur electrique

3.3.3 Remarque sur les poles des syste`mes

De manie`re generale, quel que soit lordre du syste`me, des poles complexes engendrent une reponse oscillatoire. Plus lapartie imaginaire est grande devant la partie reelle, plus les oscillations sont marquees. En revanche, des poles reelsnengendrent pas de transitoire oscillant. Alors, que se passe-t-il lorsquil y des poles reels et complexes dans le mememode`le ? Il faut distinguer les poles dominants (partie reelle faiblement negative) correspondant aux dynamiques lentes(la dynamique mecanique dans le cas du moteur) des poles rapides (partie reelle fortement negative) correspondant auxdynamiques rapides (la dynamique electrique dans le cas du moteur). Ce sont les poles dominants qui ont la plus grosse

21

influence sur le regime transitoire.Par ailleurs, le cas des poles a` partie reelle positive sera traitee ulterieurement dans le cadre de la stabilite des syste`mes.

3.3.4 Remarque sur les zeros

Il nest traite dans cette partie que des syste`mes canoniques cest-a`-dire ne comportant pas de zero. La presence de zerospeut entraner des depassements inattendus dans la reponse mais leur influence est beaucoup plus difficile a` analyser quecelle des poles.

3.3.5 Remarque sur les mode`les dordre eleve

Pour etudier la forme de la reponse dun syste`me dordre superieur, il peut etre astucieux de trouver un mode`le dordre 2qui soit une bonne approximation de son comportement, par exemple en negligeant certaines dynamiques rapides (en neconsiderant que les poles dominants).Toutefois, la methode generale pour obtenir la forme de la sortie y(t) dun syste`me decrit par (8) est dexprimer Y (p) =G(p)/p, de decomposer cette transformee de Laplace en elements simples et dessayer dappliquer L 1 sur chaqueelement simple en utilisant le tableau 1. Cette demarche est detaillee en annexe F afin de montrer, entre autres, linfluencedes poles sur la reponse.

Remarque 3 : Il est souvent plus facile de decomposer pY (p) en elements simples et de rediviser le resultat par p avantdutiliserL 1.

3.4 Les reponses frequentielles ou harmoniques3.4.1 Definition

La reponse frequentielle (encore appelee harmonique) est la reponse en regime permanent (cest-a`-dire pour t )a` une entree sinusodale. En effet, si lon conside`re que tout signal dentree peut etre decompose en une somme (finieou infinie) de signaux sinusodaux de diverses frequences, il est important de savoir comment un syste`me reagit a` desexcitations selon la frequence f (ou la pulsation : on rappelle que = 2pif ).La reponse depend donc de la pulsation aussi parle-t-on de reponse frequentielle. Elle est particulie`rement prisee desautomaticiens comme on le verra par la suite.

3.4.2 Lien avec la fonction de transfert

Il faut avant tout savoir que lorsquun syste`me de mode`le lineaire est excite par une entree sinusodale u(t) = Um sin(t),il repond de telle sorte quen regime permanent (cest-a`-dire apre`s un certain temps de transition), la sortie est decrite par :

y(t) = A()Um sin(t+ ())

La reponse est donc sinusodale de meme frequence mais dephasee par rapport a` lentree. Cette assertion est demontreedans lannexe G. Lamplitude de la sortie et son dephasage (couramment appele phase) dependent tous deux de .On peut demontrer que le gain harmonique A() verifie :

A() = |G(j)|

En outre, on peut aussi montrer que le dephasage est tel que :

() = Arg(G(j))

Ainsi, si lon connait la fonction de transfert G(p) du syste`me, on peut deduire le nombre complexe G(j) et disposerdes informations necessaires pour etablir la reponse harmonique (voir annexe G).Toutefois, linformation est plus exploitable lorsquelle est presentee sous forme graphique comme ci-dessous.

22

3.4.3 Diagramme de Bode

Dans le diagramme de Bode 5, linformation est presentee en deux parties. Une premie`re courbe represente le gain dusyste`me en fonction de la pulsation. La seconde montre le dephasage en fonction de cette meme pulsation. Pour que cesgraphes puissent etre construits efficacement, il faut toutefois satisfaire quelques re`gles : La pulsation est graduee en echelle logarithmique. Lamplification nest pas donnee directement mais on porte en ordonnee ce quon appelle le gain en decibels soitT () = 20log(|G(j)|), lechelle restant alors lineaire.

Le dephasage est gradue en degres ou en radians en utilisant une echelle lineaireLavantage dun tel diagramme est que les courbes suivent des asymptotes. De ce fait, on peut tracer un diagrammeasymptotique de Bode qui aide a` la construction du diagramme reel.

a. Diagramme de Bode dun mode`le canonique de premier ordrePrenons par exemple le mode`le de premier ordre du moteur electrique :

G(p) =K

1 + pavec K = 0, 5 et = 0, 5

Le diagramme de Bode de ce mode`le est donne par la figure 19.

Fig. 19 Diagramme de Bode du mode`le de premier ordre du moteur a` courant continu

Il peut etre fastidieux de construire point par point un tel diagramme. Cependant, on peut avoir une idee de sa forme enen realisant un trace asymptotique. En effet, il sagit de tracer dabord T () = 20log(|G(j)|). Ainsi, pour des bassesfrequences, on a une asymptote horizontale a` T0 = 20log(K) ce qui est normal puisque les basses frequences corres-pondent au comportement statique. Pour les hautes frequences, le syste`me tend vers une amplification nulle ( en dB).Sans entrer dans la technique de construction des asymptotes, on montre que lasymptote en hautes frequences doit avoirune pente de 20dB par decade et couper lhorizontale a` = 1/ . Par ailleurs, au niveau de cette meme pulsation,la courbe reelle se situe a` 3dB au dessous des asymptotes ce qui signifie que le carre de lamplification a diminue demoitie par rapport au comportement statique (signal de sortie deux fois moins energetique).

5Hendrik W. Bode : ingenieur americain dont les travaux essentiels remontent aux annees 1940-1945.

23

On definit la bande passante dun tel syste`me par la gamme de pulsations (ou de frequences) pour lesquelles le gainT se situe entre T0 3 et T0, cest-a`-dire lintervalle de pulsations [0; 1/ ]. c = 1/ est appelee pulsation de cassure oude coupure.

Pour ce qui est du dephasage, il est facile de voir quen statique, il est nul (largument dun nombre reel positif etantnul) et pour de tre`s hautes frequences, G(j) tend vers un nombre imaginaire pur a` partie imaginaire negative donc sonargument est de 90. Ceci permet de tracer deux asymptotes. On peut aussi montrer, pour aider au trace de cette courbede phase, qua` = 1/ , on a = 45.

Ce trace est mieux justifie en annexe H.1.

b. Diagramme de Bode dun mode`le canonique de deuxie`me ordrePour un syste`me de second ordre, le trace est plus delicat et lon ne pourra dans ce cours entrer dans les details deconstruction. On peut toutefois donner quelques exemples correspondant au mode`le canonique avec K = 1 et n =1rad/s, pour differentes valeurs de m > 0 : voir figure 20.

Diagramme de Bode dun deuxime ordre canonique

100

50

0

50

102 101 100 101 102200

150

100

50

0

m=0.707 m=10

wr

20log(Q)

m=0.1 m=0.4

180

m=2

wn

90

20log(K)=0 dB

m=2 m=0.707

m=0.4

m=10

m=0.1

Fig. 20 Diagramme de Bode du mode`le canonique de deuxie`me ordre ordre en fonction de m

On constate que pour des valeurs suffisamment elevees de m, le syste`me ce comporte comme un filtre passe-bas assezclassique. En revanche pour des valeurs faibles de m, il presente une resonnance a` la pulsation R = n

1 2m2 .

Moindre est m, plus forte est cette resonnance. On peut la quantifier en calculant le coefficient de surtension Q, definipar :

Q =|G(jR)||G(0)| =

12m1m2

Le maximum du gain en decibels, correspondant a` la pulsation de resonnance R, est de T0 + 20log(Q) avec T0 =20log(K). Dans le cas de la figure 20, on a T0 = 20log(K) = 0dB donc le maximum est a` 20log(Q).

On peut remarquer que cette resonnance napparat pas exactement a` n sauf si m = 0. En effet, la pulsation proprenon amortie n correspond, comme son nom lindique, a` la pulsation propre dun syste`me qui nest pas amorti donc pourlequel le coefficient damortissement est nul. Dans ce cas, Q tend vers linfini.Au niveau des asymptotes, on retrouve une asymptote horizontale a` T0 = 20log(K) et une asymptote en hautes frequencescoupant lasymptote horizontale en n et de pente 40dB par decade.

La bande passante du syste`me se definit cette fois-ci par la gamme de frequences ou de pulsations pour laquelle T ()

24

T0 3.

Pour ce qui est de la phase, elle evolue dune asymptote horizontale a` 0 en statique jusqua` une autre a` 180 enhautes frequences. Si m est assez eleve, elle peut suivre une autre asymptote horizontale a` 90 autour de n et lon peutpar ailleurs montrer que (n) = 90.

Remarque 4 : on peut preferer parler de frequence f (mesuree en Herz (Hz)) plutot que dutiliser la pulsation (mesureeen radians par seconde (rad/s)). Le diagramme de Bode se construit de la meme manie`re mais labscisse est graduee enHz. On rappelle que = 2pif .

c. Diagramme de Bode associe a` une chane directeIl arrive tre`s souvent que lautomaticien soit amene a` tracer le diagramme de Bode dune chane directe avec commeconnaissance prealable, la fonction de transfert des differents blocs composant cette chane directe. Un cas particulie`rementcourant est celui ou` la chane directe est compose de deux blocs en serie comme au paragraphe 2.6. La fonction de transfertde la chane directe est alors donnee par le produit

F (p) = G1(p)G2(p)

G1(p) peut par exemple correspondre a` la fonction de transfert dun regulateur (alors notee R(p)) et G2(p) a` celle duprocede.Si lon suppose que les diagrammes de Bode associes a` ces deux blocs sont facilement tracables, alors il est facile de voirque la reponse harmonique de toute la chane directe de mode`le F (p) est la somme geometrique des deux diagrammesrespectivement associes aux blocs G(p) et G2(p).En effet, concernant le gain en decibels, on a :

T = 20log|F (j)| = 20log|G1(j)G2(j)| = 20(log|G1(j)| + log|G2(j)| = T1 + T2Ainsi, les deux courbes de gain (asymptotiques ou reelles) doivent etre geometriquement ajoutees dans le plan de Bode.

De meme, pour le dephasage, il faut remarquer que largument du produit de deux nombres complexes est egal a` lasomme des arguments des facteurs et il vient :

Arg(F (j)) = Arg(G1(j)G2(j)) = Arg(G1(j)) + Arg(G2(j))

Ceci montre que les deux courbes de phase (asymptotiques ou reelles) doivent egalement etre geometriquement ajouteesdans le plan de Bode. Une illustration de ce qui prece`de est fournie en Annexe B.

Remarque 5 : cette propriete est valable pour un nombre de blocs superieur a` 2. Par consequent, elle peut etre efficace-ment utilisee pour connatre la reponse harmonique de G(p) si lexpression de G(p) est compliquee. On peut ecrire G(p)comme le produit de plusieurs facteurs ayant une reponse frequentielle simple puis tracer la somme de toutes les courbespour obtenir le diagramme de Bode final. Certaines re`gles de construction de facteurs du premier ordre sont donnees enannexe H.1.

Il existe dautres representations frequentielles qui sont presentees tre`s brie`vement ci-dessous.

3.4.4 Lieu de Black ou de Nichols

On represente linformation que constitue G(j) de la facon suivante : en abscisse on porte () et en ordonnee on porteA(). On obtient une courbe parametree par (exemple sur la figure 21).

25

Fig. 21 Diagramme de Black dun syste`me quelconque

La construction dun tel diagramme est fastidieuse a` la main. Soit lon passe par le diagramme de Bode, soit lon utiliseun ordinateur. Ce lieu permet de developper des outils en Automatique. Il ne sera cependant pas etudie dans ce cours.

3.4.5 Lieu de Nyquist

Le lieu de Nyquist6 est une autre manie`re de presenter la meme information. Cette fois-ci, labscisse du repe`re est la partiereelle de G(j) et lordonnee est sa partie imaginaire (Voir figure 22).

Fig. 22 Lieu de Nyquist dun syste`me quelconque

Ce lieu est tre`s utile aux automaticiens pour etablir les proprietes des syste`mes ou developper des outils danalyse et decommande. Dans la pratique quotidienne, on lui prefe`re generalement le diagramme de Bode.

4 Stabilite des syste`mes lineaires continusDans cette partie, une idee assez superficielle de la stabilite des syste`mes lineaires a` temps continu est presentee.

6Harry Nyquist : ingenieur americain dont la publication principale datant de 1932 concerne le crite`re de stabilite du meme nom.

26

4.1 Definition generale et intuitive de la stabilite dun etat dequilibre ou dun syste`meUn etat dequilibre dun syste`me est un etat non modifie lorsque le syste`me est livre a` lui-meme (ni entree, ni perturba-tion). On dit que le syste`me est autonome.

Par exemple, si lon conside`re le moteur a` courant continu et que lon suppose que linduit de ce dernier ne recoit aucunetension, alors il ne tourne pas. On peut dire quil sagit dun etat dequilibre. En labsence dentree, la sortie nevolue pas.

On sinteresse maintenant a` la stabilite dun etat dequilibre. Pour mieux comprendre ce concept, on proce`de par uneanalogie mecanique materialisee sur la figure 23 ou 3 billes sont en equilibre.

Equilibre instable Equilibre simplement stable

Equilibreasymptotiquement stable1

2 3

Fig. 23 Stabilite des equilibres dune bille

La bille 1 est en etat dequilibre mais cet equilibre est precaire puisqua` peine la pousse-t-on un peu, elle seloigneirremediablement de sa position dequilibre. Cest pourquoi lon dit quun tel equilibre est instable. Au contraire, labille 2 est encaissee dans un creux et une petite poussee ne peut la deloger. Elle conservera sa position. On parle alorsdequilibre asymptotiquement stable. Enfin, la bille 3 est dans une situation intermediaire. En effet, une petite poussee ladeplacera mais meme si sa position change, elle sera voisine de la position initiale et la bille ne seloignera pas a` linfini.En fait, la bille adopte une autre position dequilibre. On dit alors que lequilibre initial est simplement stable.

Dans la commande des syste`mes lineaires, la stabilite asymptotique est une propriete imperative a` satisfaire. On peuten donner la definition formelle suivante :Un syste`me autonome (sans entree) est dans un etat dequilibre asymptotiquement stable quand, ecarte de cet etatsous leffet dune perturbation, il revient a` cet etat (au bout dun temps eventuellement infini, cest dailleurs le casmathematiquement avec les syste`mes lineaires).

Dans le cadre de la modelisation lineaire, on peut montrer que lorsquun syste`me autonome est asymptotiquement stable,il na quun seul etat dequilibre. On dit alors que cest le syste`me lui-meme qui est asymptotiquement stable (ou stablepar concision).

4.2 Influence sur le comportement entree/sortiePour bien comprendre limportance de la stabilite asymptotique sur le comportement dun syste`me, il faut se preocupperde ce quil advient lorsque le syste`me est excite par un signal dentree. En realite, si le syste`me est asymptotiquementstable, cela signifie que pour toute entree bornee (cest-a`-dire ne tendant pas vers linfini), la sortie est elle-meme bornee(elle ne diverge pas). Au contraire, si le syste`me est instable, le moindre petit signal dentree peut entraner une sortiedivergeant vers linfini ce qui en pratique peut causer des dommages materiels mais aussi humains (On peut se convaincrede ceci en consultant lannexe F apre`s avoir lu lintegralite de cette partie sur la stabilite). On conside`re, pour simplifier,que la stabilite simple est un stade intermediaire entre la stabilite asymptotique et linstabilite.

Compte tenu de cette remarque, il parat evident que la securite a` bord dun vehicule implique limplantation de loisde commande rendant les divers syste`mes stables.

27

Il existe plusieurs crite`res pour attester ou non de la stabilite dun syste`me lineaire. Il est inutile de les voir tous maiscertains sont presentes dans ce qui suit.

4.3 Crite`re des racinesUn mode`le lineaire est asymptotiquement stable si et seulement ses poles sont tous a` partie reelle strictement negative.On rappelle que les poles sont les racines du denominateur de la fonction de transfert. Un seul pole ayant une partie reellepositive conduit irremediablement a` des phenome`nes dinstabilite.Il a deja` ete vu que les poles peuvent avoir une influence sur le temps de reponse et sur les oscillations. On voit ici quilsrevetent une importance encore plus grande.On peut resumer tout ceci en faisant apparatre des marges de stabilite dans le plan de Laplace ou` lon peut localiser lesracines deD(p) (figure 24). Si lon suppose que tous les poles sont situes dans la zone coloree, alors on peut definir , unemarge de stabilite absolue qui traduit la rapidite du syste`me. De meme, on peut montrer que le coefficient damortissementdun syste`me est m = sin() ou` est langle indique sur la figure 24. Si diminue, alors m diminue jusqua` linstabilitecest-a`-dire m < 0 (reponse indicielle avec oscillations damplitude croissante).

Re(p)

Im(p)

Fig. 24 Stabilite dans le plan de Laplace

Linfluence des poles est detaillee dans le paragraphe F des annexes.

4.4 Crite`re du revers pour la stabilite dun syste`me boucleIl existe un crite`re etabli sur la base de la reponse frequentielle des syste`mes. Il est appele crite`re du revers. Histori-quement, il fut enonce dans le plan de Nyquist. Il decoule dune forme plus comple`te dite crite`re de Nyquist et est a`lorigine de nombre de developpements en Automatique. Netant pas toujous facilement exploitable pour un non-initie,une interpretation simplifiee en est presentee dans le plan de Bode.

Attention ! Ce crite`re a ete etabli pour attester ou non de la stabilite dun syste`me boucle par un retour

unitaire simple. Cependant il sapplique en regardant la reponse, dans le plan de Bode, du syste`me en boucle ouverte,

cest-a`-dire, puisque le retour est unitaire, de la chane directe.

Crite`re du revers : un syste`me boucle unitairement est stable quand, sur le diagramme de Bode correspondant a` laboucle ouverte, a` la pulsation pour laquelle on a un gain T = 0dB, la courbe correspondant au dephasage est encoreau-dessus de180 ou quand, reciproquement, a` pulsation pour laquelle le dephasage atteint180, le gain en decibelsest deja` inferieur a` 0dB.

Ce crite`re exprime ainsi atteste de manie`re booleenne de la stabilite. On peut toutefois quantifier de facon plus precise lastabilite en definissant les marges de stabilite dun syste`me. En effet, on appelle marge de phase (notee m) loppose dudephasage a` la pulsation g pour laquelle T (g) = 0dB. Cette meme pulsation g est appelee pulsation critique.De la meme manie`re, on definitGm, la marge de gain, comme loppose du gain T (), appele gain critique ou` designela pulsation a` laquelle le dephasage est de 180.Ces marges sont representees sur la figure 25 dans le cas dun syste`me stable.

28

Il est evident que ces marges doivent etre positives pour que le syste`me soit stable. Elles donnent un degre de la stabilitedu syste`me boucle. Plus elles sont elevees, plus le syste`me boucle est stable. Un syste`me boucle en limite de stabilite estun syste`me pour lequel, sur le diagramme de Bode de la chane directe, m = Gm = 0 et = g . Par ailleurs, il peutarriver que les marges ne puissent etre definies si les horizontales T = 0dB et = 180 ne sont pas coupees par lediagramme. Les marges sont alors considerees comme infinies.

Attention ! La plus grosse erreur de raisonnement serait de tracer le diagramme de Bode du syste`me en boucle

fermee pour en deduire ses marges de stabilite. Il faut tracer la reponse de la boucle ouverte pour conclure quant a` la

stabilite de la boucle fermee.

Marges de stabilit

100

50

0

50

101 100 101 102300

250

200

150

100

50

0

Phi m

G m

Fig. 25 Marges de stabilite dun mode`le stable quelconque

5 Reglage des syste`mes bouclesDans cette dernie`re partie, les proble`mes de commande sont abordes meme si ce cours se contentera devoquer unetechnique sans lapprofondir.

5.1 Principe de la commande par retour unitaireOn se contente denvisager des commandes du type de celle schematisee sur la figure 26 ou` un regulateur de fonction detransfert R(p) est place devant le syste`me de fonction de transfert G(p). La sortie est rebouclee unitairement sur lentreedu regulateur et lon distingue lentree du syste`me en boucle fermee yc, appelee consigne ou reference de lentree dusyste`me en boucle ouverte u , dite commande, generee par le regulateur a` partir de lerreur entre la consigne yc et lasortie du syste`me y. Tout lart de la commande consiste a` concevoir un regulateur, a` partir du mode`le du syste`me enboucle ouverte, qui puisse conferer au syste`me en boucle fermee des proprietes satisfaisantes parmi lesquelles la stabilite,la rapidite, la presence plus ou moins marquee doscillations, la precision, le rejet de pertubation...

+R(p) G(p)

cY (p) (p) U(p) Y(p)

Fig. 26 Schema classique dune regulation avec retour unitaire

29

5.2 Regulation proportionnelleOn commence par considerer le regulateur le plus simple a` savoir le regulateur dit proportionnel : R(p) = A. On dit quece regulateur est statique car il ne depend pas de p.

5.2.1 Influence de A sur la stabilite

On remarque dabord que si A = 1, ceci revient a` une absence de regulateur. Pour comprendre linfluence de A surla stabilite du syste`me boucle, on peut se referer au crite`re du revers et plus precisement, voir ce que deviennent lesmarges de stabilite definies dans Bode. Pour attester de la stabilite du syste`me boucle, il convient, comme on la vude tracer le diagramme de Bode de la chane directe, a` savoir AG(p). Ainsi, si lon regarde la figure 25, on com-prend que si A augmente, le lieu du dephasage nest pas modifie ; en revanche, la courbe de gain remonte puisqueT = 20log(|AG(j)|) = 20log(|G(j)|) + 20log(A), ce qui a pour effet de deplacer la pulsation critique g versla droite, la` ou` le dephasage se reduit. Ainsi, la marge de phase diminue et peut meme sannuler (pour certains syste`mes)et changer de signe. Dou` lon conclut que laugmentation du gain proportionnel A est prejudiciable a` la stabilite dusyste`me boucle. Ceci est vrai pour la plupart des syste`mes.

5.2.2 Influence de A sur la rapidite

Pour comprendre linfluence de A sur la rapidite, on peut raisonner sur un premier ordre comme le mode`le simplifie dumoteur a` courant continu pour lequel on a une fonction de transfert de la forme (A peut inclure le gain du regulateur et legain statique du syste`me) :

AG(p) =0, 5A

1 + 0, 5p

La formule de Black conduit a` la fonction de transfert en boucle fermee (apre`s mise sous forme canonique) :

H(p) =

0, 5A0, 5A+ 1

1 +0, 5

0, 5A+ 1p

Si A augmente, on constate que le gain statique en boucle fermee (A/(A + 1)) a tendance a` se rapprocher de 1, ce quiest bien et la constante de temps en boucle fermee (0, 5/(A + 1)) diminue. On comprend donc que A peut permettredaccelerer le syste`me. Cest un effet classique du gain proportionnel. On dit quil assure une certaine raideur au syste`me(rapidite). Pour illustrer ces propos, la figure 27 montre la reponse indicielle du mode`le boucle pour A = 2, A = 4 etA = 20.

Temps (s)

Ampl

itude

Rponses indicielles pour diverses valeurs de A

0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Yc

A=2

A=4

A=20

Fig. 27 Reponses du moteur boucle pour A = 2, A = 4 et A = 20

30

Type de G(p) Yc(p)

0 1 2 Nom de lerreur

E

p

E

1 +AK0 0 p : erreur statique ou de position

b

p2 b

AK0 v : erreur de vitesse

TAB. 2 Precision des syste`mes

5.2.3 Influence de A sur la precision

Dans ce paragraphe, on revient sur la notion de precision de manie`re plus explicite. On dit quun syste`me est precislorsquen regime permanent, la sortie est egale a` la consigne (ce qui revient a` obtenir un gain statique de 1). La precisionse mesure en regardant lerreur :

limt (t) = limp0

p(p) =pYc(p)

1 +AG(p)(9)

On constate avec cette formule que la precision depend de trois choses :

la consigne. la fonction de transfert du syste`me G(p). le gain A dont on veut apprecier linfluence.

Lon distinguera deux types dentree, les echelons Yc(p) = E/p et les rampes Yc(p) = b/p2.Lon distinguera aussi les syste`mes (en boucle ouverte) selon leur type . Le type (ou la classe .) dun syste`me est le nombre dintegrateurs (un integrateur est modelise par 1/p) que comprend sa fonction de transfert. Ainsi, les syste`mes de type = 0, 1 ou 2 peuvent secrire :

= 0 : G(p) = K 1 + a1p+ ...1 + b1p+ ...

= 1 : G(p) =K

p 1 + a1p+ ...

1 + b1p+ ...

= 2 : G(p) =K

p2 1 + a1p+ ...

1 + b1p+ ...

Compte tenu de la formule (9), on peut facilement deduire le tableau 2 ou` lon sapercoit que le gain A est propice a` uneamelioration de la precision. On sapercoit egalement que la presence dintegrateurs dans la chane directe peut conduirea` obtenir la precision souhaitee ce qui conduit souvent a` dire quun integrateur correspond a` un gain infini. Du reste, lafigure 27 montre quune valeur infinie de A impliquerait p = 0.En resume, pour pretendre avoir une bonne precision, on peut augmenter A mais il y a un risque dinstabilite. De meme,on peut introduire un integrateur dans le regulateur pour augmenter le type de la chane directe mais tout integrateur ajouteun dephasage de90 ce qui peut conduire a` une trop forte diminution de la marge de phase. Il existe donc un compromisentre la precision , la stabilite et la rapidite.

31

5.2.4 Influence de A et des integrateurs sur une erreur due a` une perturbation

Il est possible que lerreur soit due a` un signal de perturbation d agissant sur le syste`me. Cette perturbation peut apparatrenimporte ou` dans la chane directe. Dans le cas general, on peut supposer quelle agit a` un endroit tel que la fonction detransfert de la chane directe peut etre consideree comme le produit de deux facteurs, lun correspondant au transfert enamont de la perturbation, lautre correspondant au transfert en aval. Ceci est schematise sur la figure 28.

++

d

yyc + u

+

A G (p) A G (p)1 2 21

Fig. 28 Schema prenant en compte une perturbation d

Il peut etre montre que pour reduire ou annuler leffet de d sur en regime permanent, il convient dagir en jouant sur A1ou sur le type de G1(p), cest-a`-dire dagir en amont de la perturbation. Toute action en aval est inefficace. Voir lexemplepropose dans lannexe I.

Remarque 6 : Ces commentaires sur le rejet de perturbation sont valides pour des perturbations en echelon, en rampe, ...ou toute perturbation en 1/pq. Ils sont caduques pour certaines perturbations plus compliquees, entre autres pour desperturbations en sinus (integrer un sinus gene`re un cosinus). La regulation necessite donc parfois des solutions plussophistiquees qui sortent largement du cadre de ce cours.

5.3 Regulateur PIDOn vient de voir quune simple regulation proportionnelle pouvait permettre daccelerer un syste`me. Toutefois, elle peutaussi generer des phenome`nes dinstabilite. Par ailleurs, la precision peut etre obtenue a` laide dune commande compor-tant un integrateur mais la` encore, le risque dune telle commande est linstabilite du syste`me boucle. On peut egalementenvisager un regulateur comportant une action integrale et une action proportionelle (on parle de regulateur PI) . Lerisque dinstabilite est double mais sur certains syste`mes (notamment les syste`mes de premier ordre), cette solution estenvisageable. Il reste a` verifier, avec une telle commande, que les marges de stabilite sont suffisantes (on regardera plusspontanement la marge de phase). Il existe en particulier une technique de calcul des regulateurs PI dite par compen-sation de pole qui consiste a` compenser un pole de la chane directe par un zero du regulateur. Cette technique seraeventuellement etudiee en Travaux Diriges et est fournie en annexe C. De manie`re generale, il faut verifier que le dia-gramme de Bode de la chane directe, comprenant le regulateur PI, conserve une bonne marge de phase (ce qui revientpour des syste`mes dordre strictement superieur a` 1, a` conserver un bon amortissement).

Ce nest pas toujours le cas. Cest pourquoi il convient souvent dintroduire un troisie`me terme dans la commande qui apour but de compenser les effets indesirables du gain proportionnel et de lintegrateur. Il permet de ramener de la phasela` ou` elle peut etre utile cest-a`-dire dans la gamme de frequences ou` lon mesure la marge de phase. Ce troisie`me effetest un effet derive. Il conduit a` la conception dun regulateur PID (Proportionnel Integral Derive) dont la descriptiontemporelle correspond a` lequation suivante :

u(t) = k((t) +

1i

t0

()d + dd(t)dt

)et ou` lon voit clairement apparatre les trois effets. La fonction de transfert dun tel regulateur est :

R(p) =U(p)(p)

= k +k

ip+ kdp (10)

Lexpression ci-dessus est appelee forme paralle`le du regulateur PID et sert notamment a` limplantation physique dun telregulateur. En reduisant R(p) au meme denominateur, on constate que ce regulateur est de type 1. On peut aussi exprimerla fonction de transfert dun PID sous une forme dite serie :

32

R(p) = A(1 +1Tip

)(1 + Tdp) (11)

Lon retrouve, en developpant cette expression, les trois termes : proportionnel, integral et derive. Cette forme est parti-culie`rement utile pour construire le diagramme de Bode du regulateur donc pour la conception de la loi de commande. Cediagramme est donne sur la figure 29.

Diagramme de Bode dun rgulateur PID

0

10

20

30

40

50

102 101 100 101 102 103100

50

0

50

10090

90

1/Ti 1/Td 20logA

20db/dec

20db/dec

45

45

Fig. 29 Diagramme de Bode possible dun regulateur PID

Sur cette figure, on remarque que lon a un comportement de type grand gain en statique (basses frequences) ce qui estpropice a` la precision du syste`me. Cette propriete, comme on la vu, est due aux effets proportionnel et integral. Parailleurs, le terme derive (que lon repe`re ici en hautes frequences) a pour effet daugmenter la phase (au sens algebrique).Encore faut-il que cet apport de phase intervienne dans la gamme de pulsations ou` lon va mesurer la marge de phase. Enconsequence, il convient de choisir avec discernement les valeurs A, Ti et Td sachant que ce diagramme viendra sajoutergeometriquement dans le plan de Bode a` celui du syste`me en boucle ouverte modifiant ainsi le transfert de la chanedirecte. Generalement, on recherche une marge de phase de lordre de 40 a` 50. En effet, en raison des incertitudesqui peuvent etre liees a` la connaissance du mode`le qui ne traduit quapproximativement le comportement du syste`me, ilserait tre`s dangereux de vouloir laisser une faible marge. La moindre meconnaisance dun parame`tre dans le mode`le ousa moindre variation pourrait conduire a` linstabilite. Le terme de marge prend ici tout son sens. En outre, il faut noterque cette marge classique que lon cherche a` atteindre correspond, sur un syste`me de deuxie`me ordre, a` un coefficientdamortissement m denviron 0.7 permettant une reponse rapide en autorisant un leger depassement.

Les techniques de calcul des coefficients dun regulateur PID sont nombreuses et dependent des performances escomptees.Cependant, il nexiste pas de panacee dans ce domaine. On sattachera plutot a` decrire, lors des Travaux Diriges, desmethodes sappuyant sur le modelage du diagramme de Bode de la chane directe (comme il vient detre en partie ex-pliquee et en utilisant les proprietes enoncees dans la partie 3.4.3). Une technique basee sur la compensation de pole estpar ailleurs proposee en annexe. Dautres techniques, telles les methodes de Ziegler-Nichols presentees dans lannexe K,saffranchissent du diagramme de Bode. Neanmoins, le concepteur dun PID doit garder presents a` lesprit les trois effetsde ce regulateur :

effet proportionnel :+ assure la raideur du syste`me. risque dentraner des oscillations voire linstabilite.

effet integral :+ assure la precision (p = 0). entrane un ralentissement du transitoire et peut generer des oscillations allant jusqua` linstabilite.

effet derive :

33

+ anticipe la reaction du syste`me car utilise la variation de lerreur. Ceci evite des oscillations et a un effet stabilisateur.En fait, cet effet ajoute de lamortissement en augmentant la marge de phase ce qui permet daccrotre le gainproportionnel.

ne peut etre utilise seul car gene`re des accoups dans la commande. Il accentue la sollicitation des actionneurs et peutrepercuter leffet des perturbations de hautes frequences, en particulier celles apparaissant sur la mesure des sorties.A ce propos, il faut noter quen pratique, on prefe`re implanter un effet derive filtre plutot quune derivee pure (voirannexe L).

Une fois une premie`re synthe`se dun PID effectuee, il convient daffiner les reglages en considerant ces faits. On peuttrouver des regulateurs P, PD, PI, et meme PID avec des sophistications diverses. Il existe egalement dautres types deregulateurs qui ne sont pas envisages ici mais qui peuvent etre tout aussi efficaces. Le PID reste le plus cele`bre, le pluscouramment utilise, et il resout une bonne part des proble`mes dasservissement et de regulation rencontres dans lindustrie,ceci de manie`re assez satisfaisante.

6 ConclusionCe cours sest voulu assez simple et les developpements mathematiques ont ete evites autant que possible. Quelques unssont proposes en annexe. Il donne une vue de ce que peut etre lAutomatique mais toute personne amenee a` exercer des ac-tivites dautomaticien est invitee a` consolider ses connaissances. Les occasions dappliquer les concepts de lAutomatiquepour ameliorer les performances, le confort ou la securite dun vehicule sont nombreuses. On peut citer les applications lesplus connues : la suspension active, linjection electronique (notamment pour reduire la pollution), la direction assistee,lABS, les tentatives de concevoir des vehicules auto-pilotes, ...

34

ANNEXESDans ces annexes figurent quelques remarques, justifications, calculs et autres precisions qui ne sont pas abordes encours mais qui peuvent aider letudiant curieux a` approfondir ses connaissances et sa comprehension de lAutomatique.Certains paragraphes ont ete volontairement dissocies du cours, soit en raison du faible volume horaire, soit parce quilsabordent des notions debordant un peu du cadre habituel de lenseignement en Automatique.

A Point de fonctionnement et caracteristique statiqueLa plupart du temps, lorsque lon ecrit les equations algebriques ou differentielles correspondant aux lois physiques quiregissent le comportement du syste`me, elles ne sont pas lineaires en les grandeurs qui nous interessent et leur deriveessuccessives. Ainsi une grandeur physique z peut dependre dune autre grandeur physique x selon une loi z = f(x) ou` f(.)nest pas lineaire en x. La technique habituelle consiste alors a` considerer uniquement de petites variations autour dunevaleur de x et a` chercher un mode`le lineaire valable uniquement dans cette plage de variations. Le point de fonctionnementest note (x; z). x doit donc etre proche de x et z proche de z. Si cest le cas, on designe les variations de x et z autour dupoint de fonctionnement par :

x = x x ; z = z z

et un developpement de Taylor au premier ordre de f autour de x permet decrire :

z ' kx avec k = dfdx

x=x

Ceci montre que z suit approximativement une loi lineaire par rapport a` x et donc ce genre dhypothe`se permet dobtenirun mode`le lineaire autour dun point de fonctionnement, mode`le valable pour de petites variations autour de ce point. Lesgrandeurs physiques en jeu sont donc a priori x et y. Neanmoins, on a :

z ' z kx + z

et comme z kx est constant, z suit une loi affine par rapport a` x autour de x. Ainsi, on peut raisonner soir en x et z, soiten x et z indifferemment de`s linstant ou` lon ne seloigne pas du point de fonctionnement.

Un exemple connu en Electronique se rencontre dans letude du transistor a` effet de champ (voir cours dElectronique).Lintensite du courant Drain-Source IDS , lorsque la tension Drain-Source VDS est constante, sexprime en fonction de latension Grille-Source VGS selon une loi parabolique :

IDS = IDSS

(1 VGS

VGSoff

)2ou` VGSoff , la tension de blocage, et IDSS , lintensite du courant Drain-Source de saturation, sont des parame`tres constantsdu transistor (Cette relation est valide pour VDS VGS VGSoff ). La courbe IDS = f(VGS) peut etre tracee ou memeobtenue experimentalement. On lappelle caracteristique de transfert statique ou simplement caracteristique statique. Elleest donnee par la figure 30.

35

V GSV GSoff

IDS

IDSS

I

V

DS0

GS0

Point defonctionnement Pente gm0

Fig. 30 Caracteristique statique IDS = f(VGS) pour VDS constante

On constate sur cette figure que si lon conside`re un point de fonctionnement (VGS0; IDS0) appele point de polarisationen Electronique, alors des petites variations vgs autour de VGS0 entraneront de petites variations ids autour de IDS0 tellesque :

ids ' gm0vgsou` gm0, appele transconductance, est le coefficient directeur de la tangente a` larc de parabole au point de polarisation.Cette transconductance sexprime ainsi :

gm0 =dIDSdVGS

VGS=VGS0

= 2IDSSV GSoff

(1 VGS0

VGSoff

)Ceci revient a` utiliser le developpement de Taylor au premier ordre.Or, en Electronique, la tension Grille-Source est en realite de la forme

vGS(t) = VGS0 + vgs(t)

ou` vgs(t) est une excitation sinusodale de faible amplitude. Le courant Drain-Source est alors dintensite :

iDS(t) = IDS0 + ids(t) avec ids(t) = gm0vgs(t)

Les signaux continus ninterviennent que pour polariser le transistor. Les signaux utiles vgs et ids sont les petites varia-tions sinusodales autour du point de fonctionnement. Lapproximation presentee permet de considerer que ids est lineairepar rapport a` vgs.

Cette notion de caracteristique statique est tre`s importante en Automatique. On peut en donner un autre exemple ensupposant que le moteur a` courant continu deja` etudie dans la partie 2 est en plus soumis a` deux non-linearites. Dunepart, de trop fortes valeurs de la tension dinduit u font saturer la vitesse angulaire y = ; dautre part, le moteur est sujeta` des frottements secs dans sa liaison avec la charge qui font quune tre`s faible valeur de u nentraine aucune rotation. Lacaracteristique statique Y = f(U) est obtenue en tracant la courbe de Y , valeur en regime permanent de y, en fonctiondes differentes valeurs continues U de u (voir figure 31).

36

UY

U 0

ZL1

Point defonctionnement

Y0

ZL2

Fig. 31 Caracteristique statique du moteur

Sur cette courbe, on reconnait aisement les deux palliers de saturation et la zone morte liee aux frottements secs. Onsapercoit quil existe deux zones designees par ZL1 et ZL2 pour lesquelles y varie de facon affine en fonction de u. Parabus de language, lAutomaticien parle de variation lineaire. Dans lune ou lautre de ces deux zones, on peut definir unpoint de fonctionnement (U0;Y0). y, la variation de y autour de Y0, suit alors une loi veritablement lineaire en u, lavariation de u autour de U0. Que lon conside`re u et y ou u et y, on peut chercher un mode`le lineaire de`s lors que lessignaux u et y restent dans la zone lineaire choisie (ZL1 ou ZL2).

Letablissement dune caracteristique statique et dun point de fonctionnement (ou dune zone lineaire) est souventune etape preliminaire a` lobtention dun mode`le. On parle de linearisation ou dapproximation lineaire.

B Principe de superpositionOn deja` vu au paragraphe 1.5, quune des caracteristiques des syste`mes dits lineaires est que lon peut leur appliquer leprincipe de superposition resume par la figure 9. Ce principe est ici justifie.

Les mode`les lineaires sont des mode`les dentree/sortie. Si u est lentree et y la sortie, ces mode`les sont des equationsdifferentielles de la forme (cf. partie 2, en particulier paragraphe 2.4) :

ni=1

aidiy

dti=

mj=1