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PÉRIMÈTRE  ET  AIRE      

I.   PÉRIMÈTRE    1.   Définition  :  

   

Le  périmètre  d’une  figure  est  la  longueur  de  son  contour.  Lorsque  cette  figure  est  un  polygone,  le  périmètre  est  égal  à  la  somme  des  longueurs  de  ses  côtés.    

 Remarque  :    

Toutes  les  longueurs  intervenant  pour  calculer  un  périmètre  doivent  être  exprimées  dans  la  même  unité  de  longueur.    Exemple  :   Périmètre  d’un  polygone    

L’unité  étant  le  mètre,  quel  est  le  périmètre,  p,  de  ce  polygone  ?  

   p  =  6,7  +  6  +  8,9  +  6,6  +  8,3  +  4,9  +  7  p  =  48,4  m      

2.   Longueur  d’un  cercle  :      

La  longueur  d’un  cercle  de  rayon  R  est  2  ×  π  ×  R.    

La  longueur  d’un  cercle  de  diamètre  d  est  π  ×  d.    

 Remarque  :    

π  se  prononce  pi,  c’est  une  lettre  de  l’alphabet  grec.  π  n’est  pas  un  nombre  décimal.  Il  correspond  à  la  longueur  d’un  cercle  de  diamètre  1.  π  ≈  3,14    Exemple  :    

 

La  longueur  l  de  ce  cercle  de  rayon  7,5  cm  est  :  l  =  2  ×  7,5  ×  π    l  =  15  ×  π  l ≈  47,1  cm  

 

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3.   Unités  de  longueur  :    

   Exemples  :    

12,5  dam  =  125  000  mm       23,4  dm  =  0,0234  hm    3,682  km  =  36  820  dm         719,3  cm  =  7,193  m  

 Tableau de conversion des unités de longueurs

km hm dam m dm cm mm 1 2 5 0 0 0 0 0 2 3 4 3 6 8 2 0 7 1 9 3    

II.   UNITÉ  D’AIRE    Définitions      

L’aire  d’une  figure  est  la  mesure  de  sa  surface.  L’unité  principale  d’aire  est  le  mètre  carré  (m2),  c’est  l’aire  d’un  carré  d’un  mètre  de  côté.    

 Exemples  :    

km2   hm2   dam2   m2   dm2   cm2   mm2             1   0   0                     1   0   0   0   0              

      0   0   1   3   4   5   0                     0   0   2   5   6   0   0   0   0         0   1   9   7   5   6   0   0   0          1  are  =  1  a  =  1  dam2  =  100  m2     et     1  hectare  =  1  ha  =  1  hm2  =  10  000  m2    1,345  dam2  =  134,5  m2  =  13  450  dm2  =  0,01345  hm2    256  dm2  =  2  560  000  mm2  =  0,0256  dam2    1  975,6  m2  =  0,19756  hm2  =  19  756  000  cm2        

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III.   HAUTEUR    

1.   Hauteur  d’un  triangle      

Dans  un  triangle,  on  appelle  hauteur  une  droite  passant  par  un  sommet  et  perpendiculaire  au  côté  opposé  à  ce  sommet.    

   

Exemples  :  On  veut  tracer  la  hauteur  issue  de  C  dans  chacun  des  triangles  ci-­dessous      

1er  cas  :        A  et  B  sont  des  angles  aigus    

 

 

2ème  cas  :        A  ou  B  est  un  angle  obtus    

Dans  ce  cas,  il  faut  prolonger  le  côté  [AB]  pour  pouvoir  tracer  la  perpendiculaire  au  côté  [AB]  passant  par  le  point  C.  

   

3ème  cas  :        A  ou  B  est  un  angle  droit    

   

Remarque  :      

On  emploie  le  même  mot  hauteur  pour  désigner  :  •   la  droite  (CH)  •   la  longueur  CH    

 2.   Hauteur  d’un  parallélogramme  

   

Dans  un  parallélogramme,  on  appelle  hauteur  la  distance  entre  deux  côtés  parallèles.  La  distance  est  toujours  prise  perpendiculairement  à  un  côté  du  parallélogramme.  Il  faut  noter  que  le  pied  de  cette  perpendiculaire  peut  être  sur  le  côté  ou  sur  le  prolongement  du  côté.    

 

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 h  est  la  hauteur  associée  aux  côtés  [AB]  et  [CD]  

 h’  est  la  hauteur  associée  aux  côtés  [AD]  et  [BC].  Ici,  il  faut  prolonger  le  côté  [AD]  pour  avoir  le  pied  de  la  hauteur.  

   

IV.   FORMULAIRE    

 

RECTANGLE    

CARRE    

TRIANGLE  RECTANGLE        

Aire  =  L  ×  l                   Aire  =  c  ×  c    

Aire  =  c2  (c2  est  le  carré  de  c)  

Aire  =  L  ×  l2  

 

L’aire  d’un  triangle  rectangle  est  la  moitié  de  celle  du  rectangle  correspondant.  

`    

PARALLÉLOGRAMME    

TRIANGLE    

DISQUE  

 

     

Aire  =  côté  ×  hauteur  associée    

   Aire  =  CD  ×  h  =  BC  ×  h’  

Aire  =  côté  ×  hauteur  associée2

   

   Aire  =  '(  ×  )*

+  =  ,  ×  -

+  

Aire  =    𝛑  ×  R  ×  R    

Aire  =  𝛑  ×  R2  (R2  est  le  carré  de  R)  

 Attention  !  Pour  appliquer  les  formules  d’aires,  les  longueurs  doivent  être  exprimées  dans  la  même  unité.          

l

L

L

l

c

A B

D C

h h’

A

B C H b

h R

5

Exemples  :    

 

Aire  =  côté  ×  hauteur  associée  Aire  =  c  ×  h  Aire  =  50  ×  30  Aire  =  1  500  cm2    

 

Aire  =  côté  ×  hauteur  associée  Aire  =  c  ×  h  Aire  =  12  ×  17  Aire  =  204  m2    

     

Calcule  l’aire  du  parallélogramme  ABCD  en  utilisant  la  hauteur  HK.  

 HK  est  la  distance  entre  les  côtés  parallèles  [AD]  et  [BC]  car  :  •   la  droite  (HK)  est  perpendiculaire  à  ces  côtés  •   K  ∈  (AD)  •   H  ∈  (BC)  Il  faut  donc  mesurer  BC  (ou  AD)  et  KH  puis  calculer  BC  ×  KH.  

Calcule  l’aire  du  triangle  KPV  en  utilisant  la  hauteur  HK.  

   (HK)  est  la  hauteur  issue  de  K  car  c’est  la  droite  passant  par  K  et  perpendiculaire  au  côté  opposé  à  K  :  [PV].  Il  faut  donc  mesurer  PV  et  KH  puis  calculer  34  ×  5*

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