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  • ÉCOLE  POLYTECHNIQUE  DE  MONTRÉAL     GCH2120  –  DYNAMIQUES  DES  SYSTEMES   DÉPARTEMENT  DE  GÉNIE  CHIMIQUE       EXAMEN  FINAL  –  AUTOMNE  2011  

    Date:     Lundi,  le  19  déc.  2011       Heure:     13h30-­‐16h00   Documentation  :     Toute             Calculatrice  :     Toute  

       

    Répondez  aux  questions  1-­‐4  dans  le  cahier  d’examen  et  le  QCM  sur  le  questionnaire,  et  remettez.  

    1. Refroidisseur  de  grand-­‐mères    

    La  manière  la  plus  simple  de  refroidir  un  liquide  chaud  est  de  le  transvaser  dans  un  contenant   plus  grand.  Vous  voulez  mettre  cette  idée  en  œuvre  dans  le  domaine  du  génie  chimique  en   construisant  un  grand  réservoir  à  volume  constant,  réservoir  tampon,  pour  les  besoins  de   refroidissement,  comme  le  montre  la  figure  ci-­‐dessous.    

    Tin  [°C]  est  la  température  d’entrée,  Tout  [°C]  est  la  température  de  sortie,  Tamb    =  20  [°C]  est  la   température  ambiante,  Fin  =  10  [L/h]  le  flux  d’entrée,  Cp  =  4  [kJ/kg/°C]  est  la  chaleur  spécifique,  ρ   =  1  [kg/L]  est  la  densité,  U  =  40  [kJ/dm2/°C/h]  est  le  coefficient  d’échange  de  chaleur,  A  =  10   [dm2]  est  l’air  de  la  surface  d’échange  et  V  =  10  [L]  est  le  volume  du  réservoir.  Calculer  la   fonction  de  transfert  entre  la  température  d’entrée  et  de  sortie  du  réacteur  

     

     

     

    2. Dimensionnement  d’un  réservoir  tampon    

    On  vous  demandé  de  dimensionner  un  réservoir  tampon  pour  réduire  les  fluctuation     (supposées  sinusoïdales)  du  débit  d’entrée  de  ±10%  de  sa  valeur  nominale  à    ±1%  de  sa  valeur   nominale.    Une  entrée  typique  peut  être  décrite  par  Fin(t)  =  1  +  0.1  cos(10  t)  [L/h].  La  fonction  de  

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    Date:     Lundi,  le  19  déc.  2011       Heure:     13h30-­‐16h00   Documentation  :     Toute             Calculatrice  :     Toute  

      transfert  d’un  réservoir  est  𝐺 𝑠 =   !!

    !  !!! ,  où  V  est  le  volume  du  réservoir  et  F  le  flux  

    nominal.  Que  devrait  être  le  volume  du  réservoir  atteindre  la  réduction  désirée  ?    

    3. Systèmes  interconnectés    (5  pts)   Le  schéma  reproduit  ci-­‐dessous  décrit  un  ensemble  de  sous-­‐systèmes.  Les  matrices  de  chacun   d’eux  sont  données:    

    A1  =  -­‐3,  A2  =  -­‐2,  A3  =  -­‐1,  B1  =  1,  B2  =  -­‐1,  B3  =  1,  C1  =  2,  C2  =  1,  C3  =  1,  D1  =  1,  D2  =  -­‐1,  D3  =  1.  

    a. Calculez  les  matrices  A,B,C,D  du  système  global  (2.5  pts)   b. Calculez  la  fonction  de  transfert  globale  (forme  numérateur  sur  dénominateur)  (2.5  pts)  

     

    4. Contrôle  d’un  réacteur  (2  pts)       Dans  un  réacteur,  la  fonction  de  transfert  entre  la  chaleur  fournie  et  la  température  a  l’intérieur  

    de  réacteur  est  donnée  par  𝐺 𝑠 =   !"(!!!)! !!.!!

    !!! (!!!!) .  Calculez  le  contrôleur  PI,  en  faisant  une  

    approximation  appropriée.  

     

    5. Questions  à  choix  multiples  (10  X  0.5  =  5  pts)      

    a. On  vous  demande  de  modéliser  «  the  entire  plant  »    avec  3  réacteur  avec  leurs  chemises   chauffantes  et  6  réacteurs.  Combien  de  sous-­‐systèmes  considérerez-­‐vous  ?    

    i. 9  

    ii. 12  

    iii. 15  

    iv. 18  

     

     

     

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    Date:     Lundi,  le  19  déc.  2011       Heure:     13h30-­‐16h00   Documentation  :     Toute             Calculatrice  :     Toute  

      b. Dans  une  fission  nucléaire,  la  réaction  utilisée  est  U235  +  n  (neutron)  =  Kr92  +  Ba141  +  3  n.  

    Combien  de  bilans  massiques/molaires  peuvent  être  écrits  ?    

    i. 2  

    ii. 3  

    iii. 4  

    iv. Les   bilans   massiques/molaires   ne   peuvent   pas   être   écrits   dans   le   cas   de   réactions  nucléaires-­‐  pas  de  conservation.      

    c. Un   modèle   à   6   états,   4   entrées   et   3   sorties.   Il   est   linéarisé   pour   donner  :       !∆! !"

    = 𝐴  ∆𝑥 + 𝐵  ∆𝑢  et    ∆𝑦 = 𝐶  ∆𝑥 + 𝐷  ∆𝑢.    Quelle  serait  la  dimension  de  la  matrice  D  ?       i. 6  X  4  

    ii. 3  X  4    

    iii. 3  X  6  

    iv. 4  X  3    

    d. Considérez  le  système,    !" !" = 𝑥 − 𝑥!,  qui  a  2  point  d’équilibre  x  =  0  et  x  =  1.  Commentez  

    la  stabilité  de  ce  système  aux  deux  points  d’équilibre.     i. Le  système  est  stable  aux  deux  points  d’équilibre    

    ii. x  =  0  est  stable  tandis  que  x  =  1  est  instable    

    iii. x  =  0  est  instable  tandis  que  x  =  1  est  stable  

    iv. Le  système  est  instable  aux  deux  points  d’équilibre    

    e. On   obtient   la   fonction   de   transfert   suivante:   𝐺 𝑠 =   !! !!!

    !!! .   Que   valent   le   gain,   la  

    constante  de  temps  et  le  retard  ?  

    i. Gain  =  5,  constante  de  temps  =  5  sec,  retard  =  2  sec.  

    ii. Gain  =  1,  constante  de  temps  =  1  sec,  retard  =  1/2  sec.  

    iii. Gain  =  1,  constante  de  temps  =  1/5  sec,  retard  =  2  sec.  

    iv. Gain  =  5,  constante  de  temps  =  1/5  sec,  retard  =  1/2  sec.  

       

    f. Parmi  les  réponses  suivantes,  laquelle  fournira  une  réponse  inverse  :  

    i. Tous  les  coefficients  du  numérateur  la  fonction  de  transfert  sont  positifs   ii. Tous  les  coefficients  du  numérateur  la  fonction  de  transfert  sont  négatifs   iii. Tous  les  coefficients  du  numérateur  la  fonction  de  transfert  sont  de  signes  

    différents   iv. Les  zéros  de  la  fonction  de  transfert  sont  à  gauche  de  l’axe  imaginaire  

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