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ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL GCH2120 – DYNAMIQUES DES SYSTEMES DÉPARTEMENT DE GÉNIE CHIMIQUE EXAMEN FINAL – AUTOMNE 2011 Date: Lundi, le 19 déc. 2011 Heure: 13h3016h00 Documentation : Toute Calculatrice : Toute Répondez aux questions 14 dans le cahier d’examen et le QCM sur le questionnaire, et remettez. 1. Refroidisseur de grandmères La manière la plus simple de refroidir un liquide chaud est de le transvaser dans un contenant plus grand. Vous voulez mettre cette idée en œuvre dans le domaine du génie chimique en construisant un grand réservoir à volume constant, réservoir tampon, pour les besoins de refroidissement, comme le montre la figure cidessous. T in [°C] est la température d’entrée, T out [°C] est la température de sortie, T amb = 20 [°C] est la température ambiante, F in = 10 [L/h] le flux d’entrée, C p = 4 [kJ/kg/°C] est la chaleur spécifique, ρ = 1 [kg/L] est la densité, U = 40 [kJ/dm 2 /°C/h] est le coefficient d’échange de chaleur, A = 10 [dm 2 ] est l’air de la surface d’échange et V = 10 [L] est le volume du réservoir. Calculer la fonction de transfert entre la température d’entrée et de sortie du réacteur 2. Dimensionnement d’un réservoir tampon On vous demandé de dimensionner un réservoir tampon pour réduire les fluctuation (supposées sinusoïdales) du débit d’entrée de ±10% de sa valeur nominale à ±1% de sa valeur nominale. Une entrée typique peut être décrite par F in (t) = 1 + 0.1 cos(10 t) [L/h]. La fonction de

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ÉCOLE  POLYTECHNIQUE  DE  MONTRÉAL     GCH2120  –  DYNAMIQUES  DES  SYSTEMES  DÉPARTEMENT  DE  GÉNIE  CHIMIQUE       EXAMEN  FINAL  –  AUTOMNE  2011  

Date:     Lundi,  le  19  déc.  2011       Heure:     13h30-­‐16h00  Documentation  :     Toute             Calculatrice  :     Toute  

   

Répondez  aux  questions  1-­‐4  dans  le  cahier  d’examen  et  le  QCM  sur  le  questionnaire,  et  remettez.  

1. Refroidisseur  de  grand-­‐mères    

La  manière  la  plus  simple  de  refroidir  un  liquide  chaud  est  de  le  transvaser  dans  un  contenant  plus  grand.  Vous  voulez  mettre  cette  idée  en  œuvre  dans  le  domaine  du  génie  chimique  en  construisant  un  grand  réservoir  à  volume  constant,  réservoir  tampon,  pour  les  besoins  de  refroidissement,  comme  le  montre  la  figure  ci-­‐dessous.    

Tin  [°C]  est  la  température  d’entrée,  Tout  [°C]  est  la  température  de  sortie,  Tamb    =  20  [°C]  est  la  température  ambiante,  Fin  =  10  [L/h]  le  flux  d’entrée,  Cp  =  4  [kJ/kg/°C]  est  la  chaleur  spécifique,  ρ  =  1  [kg/L]  est  la  densité,  U  =  40  [kJ/dm2/°C/h]  est  le  coefficient  d’échange  de  chaleur,  A  =  10  [dm2]  est  l’air  de  la  surface  d’échange  et  V  =  10  [L]  est  le  volume  du  réservoir.  Calculer  la  fonction  de  transfert  entre  la  température  d’entrée  et  de  sortie  du  réacteur  

 

 

 

2. Dimensionnement  d’un  réservoir  tampon    

On  vous  demandé  de  dimensionner  un  réservoir  tampon  pour  réduire  les  fluctuation    (supposées  sinusoïdales)  du  débit  d’entrée  de  ±10%  de  sa  valeur  nominale  à    ±1%  de  sa  valeur  nominale.    Une  entrée  typique  peut  être  décrite  par  Fin(t)  =  1  +  0.1  cos(10  t)  [L/h].  La  fonction  de  

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 transfert  d’un  réservoir  est  𝐺 𝑠 =   !

!!  !!!

,  où  V  est  le  volume  du  réservoir  et  F  le  flux  

nominal.  Que  devrait  être  le  volume  du  réservoir  atteindre  la  réduction  désirée  ?    

3. Systèmes  interconnectés    (5  pts)  Le  schéma  reproduit  ci-­‐dessous  décrit  un  ensemble  de  sous-­‐systèmes.  Les  matrices  de  chacun  d’eux  sont  données:    

A1  =  -­‐3,  A2  =  -­‐2,  A3  =  -­‐1,  B1  =  1,  B2  =  -­‐1,  B3  =  1,  C1  =  2,  C2  =  1,  C3  =  1,  D1  =  1,  D2  =  -­‐1,  D3  =  1.  

a. Calculez  les  matrices  A,B,C,D  du  système  global  (2.5  pts)  b. Calculez  la  fonction  de  transfert  globale  (forme  numérateur  sur  dénominateur)  (2.5  pts)  

 

4. Contrôle  d’un  réacteur  (2  pts)      Dans  un  réacteur,  la  fonction  de  transfert  entre  la  chaleur  fournie  et  la  température  a  l’intérieur  

de  réacteur  est  donnée  par  𝐺 𝑠 =   !"(!!!)!!!.!!

!!! (!!!!).  Calculez  le  contrôleur  PI,  en  faisant  une  

approximation  appropriée.  

 

5. Questions  à  choix  multiples  (10  X  0.5  =  5  pts)      

a. On  vous  demande  de  modéliser  «  the  entire  plant  »    avec  3  réacteur  avec  leurs  chemises  chauffantes  et  6  réacteurs.  Combien  de  sous-­‐systèmes  considérerez-­‐vous  ?    

i. 9  

ii. 12  

iii. 15  

iv. 18  

 

 

 

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 b. Dans  une  fission  nucléaire,  la  réaction  utilisée  est  U235  +  n  (neutron)  =  Kr92  +  Ba141  +  3  n.  

Combien  de  bilans  massiques/molaires  peuvent  être  écrits  ?    

i. 2  

ii. 3  

iii. 4  

iv. Les   bilans   massiques/molaires   ne   peuvent   pas   être   écrits   dans   le   cas   de  réactions  nucléaires-­‐  pas  de  conservation.      

c. Un   modèle   à   6   états,   4   entrées   et   3   sorties.   Il   est   linéarisé   pour   donner  :      !∆!!"

= 𝐴  ∆𝑥 + 𝐵  ∆𝑢  et    ∆𝑦 = 𝐶  ∆𝑥 + 𝐷  ∆𝑢.    Quelle  serait  la  dimension  de  la  matrice  D  ?      i. 6  X  4  

ii. 3  X  4    

iii. 3  X  6  

iv. 4  X  3    

d. Considérez  le  système,    !"!"= 𝑥 − 𝑥!,  qui  a  2  point  d’équilibre  x  =  0  et  x  =  1.  Commentez  

la  stabilité  de  ce  système  aux  deux  points  d’équilibre.    i. Le  système  est  stable  aux  deux  points  d’équilibre    

ii. x  =  0  est  stable  tandis  que  x  =  1  est  instable    

iii. x  =  0  est  instable  tandis  que  x  =  1  est  stable  

iv. Le  système  est  instable  aux  deux  points  d’équilibre    

e. On   obtient   la   fonction   de   transfert   suivante:   𝐺 𝑠 =   !!!!!

!!!.   Que   valent   le   gain,   la  

constante  de  temps  et  le  retard  ?  

i. Gain  =  5,  constante  de  temps  =  5  sec,  retard  =  2  sec.  

ii. Gain  =  1,  constante  de  temps  =  1  sec,  retard  =  1/2  sec.  

iii. Gain  =  1,  constante  de  temps  =  1/5  sec,  retard  =  2  sec.  

iv. Gain  =  5,  constante  de  temps  =  1/5  sec,  retard  =  1/2  sec.  

   

f. Parmi  les  réponses  suivantes,  laquelle  fournira  une  réponse  inverse  :  

i. Tous  les  coefficients  du  numérateur  la  fonction  de  transfert  sont  positifs  ii. Tous  les  coefficients  du  numérateur  la  fonction  de  transfert  sont  négatifs  iii. Tous  les  coefficients  du  numérateur  la  fonction  de  transfert  sont  de  signes  

différents  iv. Les  zéros  de  la  fonction  de  transfert  sont  à  gauche  de  l’axe  imaginaire  

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 g. Soit  𝐺 𝑠 =   (!!!!!)

!²!!"!!!   la  fonction  de  tranfert  d’un  système.  Commentez  sur  le  type  de  

réponse  suite  à  un  échelon.    i. Non-­‐oscillatoire,  pas  de  réponse  inverse    

ii. Oscillatoire,  pas  de  réponse  inverse    

iii. Non-­‐oscillatoire,  réponse  inverse  

iv. Oscillatoire,  réponse  inverse    

 

h. Un   échelon   d’amplitude   1   (Δu   =   1)   est   donné   à   un   système   ayant   la   fonction   de  transfert  𝐺 𝑠 =   (!!!!)

(!!!).  Calculer  la  pente  initiale  et  le  saut  de  la  réponse.  

i. ∞  et  2  

ii. 2  et  1  

iii. 1  et  2  

iv. On  ne  peut  pas  le  calculer  

 

i. La  fonction  de  transfert  entre  la  température  d’un  réacteur  et  le  température  d’entrée  

est  donnée  par  𝐺 𝑠 =   !!"!"  !!! (!!!!!!)

.    On  vous  demande  de  concevoir    un  contrôleur  

sans  erreur  au  régime  permanant.  Quel  type  de  contrôleur  utiliserez-­‐vous  ?    

i. P  

ii. PI  

iii. PID  

iv. Pas  de  besoin  d’utiliser  un  contrôleur.  

j. On  vous  demande  de  contrôler  le  niveau  d’un  réservoir  en  manipulant  le  débit  de  sortie.  Le  débit  entrant  est  constant.  Quel  type  de  contrôleur  utiliseriez-­‐vous?    

i. Contrôleur  P  avec  un  gain  positif.  

ii. Contrôleur  P  avec  un  gain  négatif.  

iii. Contrôleur  PI  avec  un  gain  positif.  

iv. Contrôleur  PI  avec  un  gain  négatif.  

 

 

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 Solution  #1:  

d(rho  V)/dt  =  rho  Fin  –  rho  Fout  =  0  

d(rho  V  cp  Tout)/dt  =  Fin  rho  cp  (Tin  –  Tout)  –  UA  (Tout-­‐Tamb)      

dToutdt  =  Fin/V  *(Tin  –  Tout)  –  UA/(V  rho  cp)  *  (Tout  –  Tamb)  

A  =  -­‐  Fin/V  –  UA/(V  rho  cp),     B  =  Fin/V,     C  =  1,     D  =  0  

G(s)  =  (Fin/V)  /  (s  +  Fin/V+UA/(V  rho  cp))  =  1/(s+11)  

Solution  #2:  

G(s=10i)  =    1/(1+10Vi),     Amp  =  1/sqrt(100*V^2+1)  =  1/10,     V  =1  [L]  

 Solution  #3:  

A  =  [A1  0  0;  0  A2  0;  C1*B3  C2*B3  A3]  =  [-­‐1  0  0;  0  -­‐2  0;  1  -­‐1  -­‐2]  

B  =  [B1;  B2;  (D1+D2)*B3]  =  [1;  -­‐1;  0]  

C  =  [D3*C1    D3*C2  C3]  =  [2  1  1]  

D  =  D3*(D1+D2)  =  0  

G1  =  (s+5)/(s+3),   G2  =  -­‐(s+3)/(s+2)  

G3  =  (s+1)/(s+2),   Gtotal  =  1/(s+3)  

Solution  #4:  

Gapp(s)  =  -­‐2  e^-­‐2s/(5s+1)    C(s)  =  (5s+1)/(2  *(lambda+2)*s)  =  (5s+1)/5s  pour  lambda  =  0.5