Nous avons vu que la theacuteorie des ondelettes appliqueacutee agrave la multi-reacutesolution en 2D se basait sur 3eacuteleacutements

- Des fonctions drsquoeacutechelles repreacutesenteacutees par des fonctions lsquochapeaursquo- Un produit scalaire permettant de deacutefinir la notion de base orthogonale- Des fonctions drsquoondelettes formant une base orthogonale avec les fonctions drsquoeacutechelles drsquounniveau plus grossier

Tregraves vite nous avons observeacute que- Les fonctions drsquoeacutechelles sont devenues des lsquointervalles drsquoobservationrsquo agrave lrsquoimage des carreacutesdrsquoeacutechelle ou des cubes drsquoeacutechelle- Le produit scalaire qui reste encore preacutesent dans les matrices utiliseacutees pour lrsquoalgorithme deLounsbery montre surtout le cocircteacute tregraves matheacutematique de cette meacutethode Le produit scalaire est plusdifficile agrave deacutenicher dans les beamlets par exemple qui est une meacutethode beaucoup plus pratique Avrai dire il nrsquoy est pas utile puisque la solution est directement orthogonale- Les fonctions drsquoondelettes sont assimileacutees aux coefficients de deacutetail alors qursquoen reacutealiteacute cescoefficients sont multiplieacutes aux fonctions drsquoondelettes Finalement ce sera la notion de lsquocapture delrsquoapproximationrsquo qui sera conserveacutee

Ainsi lrsquoutilisation de la meacutethode dans la pratique va aboutir agrave la reacutesumer par un passage entredeux niveaux de deacutetail avec conservation des modifications apporteacuteesLe treelet tel qursquoil sera deacutefini dans la partie suivante conservera la meacutethode dans son aspectpratique En effet un coefficient drsquoeacutechelle deacutefinira si telle ou telle distance (lieacutee agrave une arecircte) devraecirctre traiteacutee ou non Dans le cas ougrave elle est traiteacutee le reacutesultat obtenu sera ajouteacute agrave lrsquoarbre Ainsi ilsera toujours possible drsquoaller dans le cas du niveau de deacutetail preacuteceacutedent ou suivant par une simplecomparaison entre un coefficient de niveau de deacutetail lieacute au nœud consideacutereacute et le niveau de deacutetailrechercheacuteLe reacutesultat sera donc une structure arborescente ougrave lrsquoon pourra explorer tous les niveaux de deacutetailsans calcul mais juste avec le parcours de lrsquoarbre et une comparaison agrave chaque nœud atteint (dansla recherche seacutelective tous les nœuds ne seront pas forceacutement exploreacutes) Nous sommes donc biendans le cas de la multi-reacutesolution et dans le cadre de la theacuteorie des ondelettes dans son aspectpratique agrave lrsquoimage des beamlets ou autres wedgelets

3323) Du cube drsquoeacutechelle agrave la sphegravere drsquoeacutechelle

On observe une eacutevolution logique du principe drsquoeacutechelle dans lrsquoapplication des ondelettes agrave la 1Dpuis la 2D et enfin la 3D On passe drsquointervalles drsquoeacutechelle agrave des carreacutes drsquoeacutechelles puis on parle decube drsquoeacutechelle On retrouve donc un mecircme principe drsquoeacutetalon variant avec les niveaux de deacutetailsrechercheacutes qui sera adapteacute aux axes reacutefeacuterents des dimensions concerneacutees lrsquointervalle drsquoeacutechelle en1D (axe des x) le carreacute drsquoeacutechelle en 2D (les axes x et y) et enfin le cube drsquoeacutechelle en 3D (les axesx y et z) Or on peut y voir lagrave une manifestation de la volonteacute de transmettre lsquoce qui marchaitrsquodans la 1D agrave la 2D et lsquoce qui marchaitrsquo dans la 2D vers la 3D Cependant nous posons la questionde savoir est-ce qursquoil est neacutecessaire drsquoavoir un reacutefeacuterent drsquoeacutechelle agrave 3 dimensions dans la 3D

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Exemples de carreacute drsquoeacutechelle de cube drsquoeacutechellede disque drsquoeacutechelle (treelet appliqueacute agrave la 2D) et de sphegravere drsquoeacutechelle

Crsquoest pourquoi nous avons preacutefeacutereacute utiliser la notion dedistance pour pouvoir y appliquer la notion drsquoeacutechelleCette distance eacutetant la distance entre deux points agrave lacondition qursquoils soient relieacutes par une arecircte Ainsi nous nenous empecirctrons pas dans un reacutefeacuterentiel de cube drsquoeacutechelleagrave trois dimensions mais nous consideacuterons plutocirct unesphegravere drsquoeacutechelle agrave une seule dimension (qui peut ecirctre vue comme un seul coefficient encoordonneacutees spheacuteriques mais surtout une simple comparaison avec un seul coefficient drsquoeacutechelle)Ainsi nous allons simplement comparer des distances entre elles soit un seul coefficient En faitnous comparerons plutocirct les carreacutes des distances offrant ainsi des valeurs positives mais aussientiegraveres ou avec peu de chiffres apregraves la virgule pour ne pas nous embecircter avec les racines carreacuteeset les chiffres loin apregraves la virgule

Lrsquoapproche drsquoAgnieska Lisowska avec les beamlets eacutetendues dans [13] permettait dans la 2D desupprimer pratiquement tous les problegravemes de transition entre les carreacutes drsquoeacutechelle Passer lesbeamlets en 3D crsquoest ramener ce problegraveme de transitions disgracieuses au volume Dans le cas debeamlets eacutetendues appliqueacutees agrave la 3D et utilisant des surfaces courbes (par extension agrave la 3D dessegments changeacutes en portion de courbes) il est eacutegalement probable que ce problegraveme de transitionreacuteapparaisseLrsquoavantage du treelet est lrsquoabsence de transition entre cubes et de toutes les aberrations possibleslors de cette transition Sa seule faiblesse consistera lors drsquoun remplacement de deux points brisantune particulariteacute de lrsquoobjet (nous le verrons plus loin et eacutetablirons un lsquoremegravedersquo)

Les valeurs des distances drsquoeacutechelles (des rayons successifs de la sphegravere drsquoeacutechelle) peuvent ecirctreprises arbitrairement dans la progression que lrsquoon souhaite comme lrsquoon peut diviser un carreacutedrsquoeacutechelle deux par deux ou trois par trois etc Neacuteanmoins il est preacutefeacuterable dans un premier tempsde rester dans le cadre drsquoune progression dyadique (de type 2p) reacutecurrente dans les ondelettes afindrsquoavoir ainsi une possibiliteacute de comparaison des reacutesultats avec drsquoautres meacutethodes utilisant lesondelettes

Notre choix srsquoest donc fixeacute sur des valeurs dyadique cest-agrave-dire des valeurs suivant la progression2n avec n allant de 0 jusqursquoagrave ce qursquoil nrsquoy ait plus qursquoun seul point pour repreacutesenter lrsquoobjet (pointqui nrsquoaura donc aucune arecircte)Ensuite dans un soucis de clarteacute et pour ne pas avoir agrave geacuterer des nombres trop complexes nousprendrons en fait le carreacute de la distance Ainsi nous nrsquoaurons pas agrave geacuterer la racine carreacutee du calculde la distance entre deux points (obtenue agrave cause de lrsquoutilisation du theacuteoregraveme de Pythagore pourtrouver cette distance)

3324) Les coefficients de deacutetail du Treelet

Les coefficients de deacutetail du treelet seront appeleacutes les coefficients drsquoeacutechelle Ces coefficients sontattribueacutes agrave chaque point degraves leur creacuteation Lors de la creacuteation de lrsquoarbre les points drsquoorigine

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correspondant aux feuilles de lrsquoarbre et repreacutesentation de lrsquoobjet consideacutereacute au niveau 0 niveau leplus fin possible recevront la valeur 0 Ensuite agrave chaque creacuteation de nouveau point il sera affubleacutedrsquoun coefficient drsquoeacutechelle eacutegal au niveau de deacutetail auquel il est creacuteeacuteCe coefficient drsquoeacutechelle correspond bien au coefficient de deacutetail puisque crsquoest gracircce agrave lui que lrsquoonseacutelectionnera ou pas le point dans lrsquoaffichage du niveau de deacutetail rechercheacute Crsquoest par sa valeurque lrsquoon peut passer drsquoun niveau de deacutetail au niveau de deacutetail suivant (on continue agrave descendreou on reste sur ce point) ce qui est la deacutefinition mecircme du coefficient de deacutetail

3325) Une repreacutesentation du Treelet

33251) Un algorithme du Treelet

Le principe de base du treelet consiste agrave regarder agrave chaque construction drsquoun niveau de deacutetail sideux points relieacutes par une arecircte ont une distance infeacuterieure ou eacutegale agrave la distance drsquoeacutechelleconsideacutereacutee pour le niveau drsquoeacutechelle rechercheacute Si crsquoest le cas alors on creacuteeacute un nouveau point lebarycentre des points relieacutes par une arecircte entre eux et dont la distance est infeacuterieure ou eacutegale agrave ladistance drsquoeacutechelle et on va creacuteer de nouvelles arecirctes entre ce barycentre et les points ayant unearecircte avec les points donnant le barycentre Il srsquoagit en fait drsquoune compression drsquoarecircte entre lespoints de distance infeacuterieure ou eacutegale agrave la distance drsquoeacutechelle mais sans supprimer les pointsconcerneacutes On ajoute juste un nouveau point et de nouvelles arecirctes mais ce nouveau point verrason coefficient drsquoeacutechelle initialiseacute agrave la valeur du niveau de deacutetail ougrave il vient drsquoecirctre creacuteeacuteEnsuite la repreacutesentation de lrsquoobjet concerneacute au niveau de deacutetail voulu nrsquoaura lieu que dans lalecture de lrsquoarbre en fonction du coefficient drsquoeacutechelle de chaque point Tant que le coefficientdrsquoeacutechelle du point est supeacuterieur au niveau de deacutetail chercheacute alors on poursuit le parcours plus enprofondeur dans lrsquoarbre Ensuite il ne reste qursquoagrave reacutecupeacuterer les arecirctes entres les points ainsiseacutelectionneacutesDeux exemples sont neacutecessaires pour observer lrsquoalgorithme du treelet Un premier concernant lastructure informatique des deux arbres imbriqueacutes et un deuxiegraveme pour avoir un rendu du reacutesultatde lrsquoalgorithme sur lrsquoobjet consideacutereacute

33252) Repreacutesentation du treelet

332521) Repreacutesenter le treelet

Dans la philosophie de la meacutethodologie des ondelettes le treelet est un arbre qui doit permettre agravela fois de retrouver la hieacuterarchie des niveaux de deacutetails et de conserver lrsquoinformation permettant deretrouver les points et les arecirctes correspondants agrave chaque niveau de deacutetail

Pour repreacutesenter la hieacuterarchie des niveaux de deacutetails nous utiliserons un arbreEn premier lieu lrsquoideacuteal est de repreacutesenter chaqueniveau de deacutetail agrave chaque hauteur de cet arbre

Ainsi nous aurions un arbre du style

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Mais la redondance drsquoinformations est alors eacutevidente Nous allons alors mettre en place lecoefficient de deacutetail Ce coefficient a pour fonction de permettre de deacuteterminer la variation entreles niveaux de deacutetails tout en permettant de conserver lrsquoinformation aidant agrave retrouver lesinformations adeacutequates pour chaque niveau de deacutetail Ce coefficient sera donneacute dans lrsquoalgorithme agravechaque point lors de sa creacuteation et avec pour valeur celle du niveau de deacutetail ougrave lrsquoalgorithme enest alorsLrsquoarbre devient donc

Ainsi on peut constater que les feuilles creacuteeacutees en premier lieu ont toutes le coefficient de deacutetail(ou coefficient drsquoeacutechelle) eacutegal agrave 0 Il est donc facile de deviner que pour choisir un niveau dedeacutetail par exemple 2 alors il suffit de restreindre la lecture de lrsquoarbre agrave la lecture drsquoun arbre detaille infeacuterieure ou eacutegale au treelet Au niveau algorithmique partant de la racine on explorera unebranche tant que le coefficient de deacutetail du nœud ougrave lrsquoon se trouve strictement supeacuterieur Dans lecas contraire on arrecircte lrsquoexploration lagrave et le point correspondant au nœud est un point de lrsquoobjetau niveau de deacutetail rechercheacute

Par exemple on obtient pour une recherche drsquoun niveau dedeacutetail = 2 lrsquoarbre ci-contreOn sait donc que le polygone de niveau de deacutetail 2 seraconstitueacute des points A B J E et K

Reste maintenant agrave en deacuteterminer les arecirctesPour cela nous allons complexifier lrsquoarbre et y entrelacer lesrelations drsquoarecircte entre chaque pointAinsi pour lrsquoarbre preacuteceacutedent si lrsquoon tient compte des arecirctes[AB] [BC] [CD] [DE] [EF] [FG] et [GA] on obtientalors (en colorant les arecirctes en vert)

Mais il ne faut pas oublier non plus que dans la creacuteation des niveaux de deacutetail crsquoest agrave dire desnouveaux points I J K et L on creacuteeacute eacutegalement des arecirctes entre ces points et les points qursquoilslsquoremplacentrsquo

Ce qui donne donc agrave partir de lrsquoarbre preacuteceacutedent(avec les nouvelles arecirctes en rouge)

Tout drsquoabord on constate que les 4 points AB J et L sont relieacutes Ce niveau de deacutetail le plusgrossier forme donc un polygoneOn voit ainsi que tous les niveaux de deacutetailforment des polygones

Le point L permet de mettre en eacutevidence la

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particulariteacute de la creacuteation des nouvelles arecirctes ce point nrsquoest en effet pas relieacute agrave D qui a pourtanttoujours une arecircte avec le point E En fait chaque creacuteation de nouvelle arecircte ne srsquoeacutetablit que surdes points encore en lsquoactiviteacutersquo crsquoest agrave dire consideacutereacute dans le niveau de deacutetail ougrave lrsquoon est alorsLorsque lrsquoon creacuteeacute le point L on est alors dans le 3e niveau de deacutetail et sa construction repose surle 2e niveau de deacutetail donc en consideacuterant le point J et non les points C et D Ceci est la seuleparticulariteacute de ces creacuteations drsquoarecirctes qui doivent pour ne pas se perdre dans les niveaux dedeacutetail avoir lieu chacune respectivement lors de la creacuteation des niveaux de deacutetails les concernant

Un treelet est donc lrsquoimbrication drsquoun arbre de points structureacutes par les niveaux de deacutetails avec unreacuteseau drsquoarecirctes dont aucune ne sera jamais effaceacutee pour pouvoir ensuite ecirctrereacutecupeacutereacutee lorsque lrsquoon passe au niveau de deacutetail les concernant

Un autre type de repreacutesentation pourrait ecirctre

Autrement dit avec tous les niveaux deacutetail imbriqueacutesSa repreacutesentation peut faire un peu brouillon Cependant ce dernier exemplemontre que le treelet repreacutesente bien lrsquoobjet est lrsquoobjet et tous ses niveaux de deacutetail agrave la fois quelrsquoobjet soit 2D ou 3D

332522) Coder le treelet

Le treelet va utiliser les 5 structures principales

) Un enregistrement lsquopointrsquo correspondant agrave un point avec pour champs - les 3 coordonneacutees (entiegraveres) du point (X Y et Z)- le coefficient drsquoeacutechelle du point (CE) un entier On pourrait aussi lrsquoappeler le coefficient dedeacutetail crsquoest lui permettra de deacutefinir agrave partir de quel niveau drsquoeacutechelle le point est pris en compte oupas

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- un pointeur vers un enregistrement Liste_arecircte Ce pointeur correspond en fait au premiermaillon drsquoune liste chaicircneacutee contenant les arecirctes en relation avec le point consideacutereacute de coordonneacuteesX Y et Z- un pointeur vers un enregistrement point Ce pointeur va servir dans la construction de lrsquoarbreOn va consideacuterer qursquoagrave chaque nouvelle demande de repreacutesentation on parcourt agrave nouveau lrsquoarbredepuis la racine

) Un enregistrement lsquoarecirctersquo correspondant agrave une arecircte avec pour champs - un entier Distance repreacutesentant le carreacute de la distance entre les points Crsquoest cette valeur qui vaecirctre compareacutee avec la distance drsquoeacutechelle- deux pointeurs vers un enregistrement point correspondant agrave chacune des extreacutemiteacutes delrsquoarecircte

Ainsi une arecircte entre le point A et le point B sera repreacutesenteacutee par

Lrsquoenregistrement arecircte ne sert qursquoagrave eacuteviter de recalculer agrave chaque fois la distance Sans cela on nerelierait que les deux points entre eux par un double chaicircnage et on effectuerait le calcul de ladistance agrave chaque fois A vrai dire les deux variantes sont possibles et deacutependent de lrsquoapprocheselon que lrsquoon veuille privileacutegier le temps de calcul des distances (effectueacute une seule fois pour lacreacuteation du treelet) ou la capaciteacute de stockage des arecirctes

Exemple de plusieurs arecirctes partant du point A (ici [AB] et [AC])

) Lrsquoenregistrement lsquoListe_arecirctersquo est une substitution agrave un tableau drsquoarecirctes Comme on ne saitpas le nombre de nouvelles arecirctes qui vont ecirctre creacuteeacutees dans la construction du treelet une listechaicircneacutee est preacutefeacutereacutee agrave un tableau Dans le cas par exemple drsquoune limitation dans le nombredrsquoarecirctes on pourra alors utiliser un tableau

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) Lrsquoenregistrement lsquopoint_filsrsquo est tout comme lrsquoenregistrement Liste_arecircte fait pour creacuteer untableau dynamique Il permet de pointer vers le fils drsquoun point de lrsquoarbre Un pointeur reacuteciproqueindiquant le pegravere est inutile

) Lrsquoenregistrement lsquoRacinersquo est en fait un enregistrement point_fils Cet enregistrementcorrespond agrave la racine de lrsquoarbre des points (le treelet)

33253) Exemple repreacutesentant lrsquoeacutevolution de lrsquoobjet consideacutereacute

Soit lrsquoobjet consideacutereacute le polygone ABCDEFGHLrsquoalgorithme ne possegravede comme donneacutees de deacutepart que les coordonneacuteesdes points des couples de points repreacutesentant les arecirctesIl va dans un premier temps construire un arbre de base initialiseacute avecune racine et tous les points en feuilles de cette racineParallegravelement il va calculer les distances correspondant aux arecirctes

Lrsquoalgorithme parcoure les arecirctes et compare les distances agravela distance drsquoeacutechelle Ce que fait lrsquoalgorithme est repreacutesenteacutedans le scheacutema de droite il preacutesente la distance drsquoeacutechelle(en rouge) agrave chacune des arecirctes

Cependant le scheacutema de gauche qui repreacutesente exactementla mecircme chose utilise la signaleacutetique que nous utiliserons par la suite le disque drsquoeacutechelle estcentreacute sur chaque point du polygone Le rayon du disque eacutetant eacutegal agrave la distance drsquoeacutechelle si lrsquounde ces disques contient deux points alors ces points devront ecirctre fusionneacutesLe scheacutema montre les disques drsquoeacutechelle en gris appliqueacutes aux pointsA cette premiegravere iteacuteration aucune distance nrsquoest infeacuterieure ou eacutegale agrave la distance drsquoeacutechelle

2eme iteacuteration Le scheacutema indique que le point G est inclus dans le disque drsquoeacutechellede H et donc forceacutement le point H est inclus dans le disquedrsquoeacutechelle de GCela met en eacutevidence le fait que lrsquoarecircte HG est infeacuterieure ou eacutegale agravela distance drsquoeacutechelle

Lrsquoalgorithme va alors creacuteer un nouveau point I le barycentre des 2points concerneacutes les deux extreacutemiteacutes de lrsquoarecircte seacutelectionneacutee (dedistance infeacuterieure agrave la distance drsquoeacutechelle en rouge sur le scheacutema)

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Ensuite il va relier les arecirctes lieacutees aux deux points concerneacutes (en vertsur le scheacutema) avec ce nouveau point I

Lrsquoarbre va placer le point I en nœud pegravere des points H et G Creacuteeacute agrave la2e iteacuteration son coefficient drsquoeacutechelle sera donc eacutegal agrave 2Ainsi lors de la lecture de lrsquoarbre pour une recherche drsquoun niveau dedeacutetail de hauteur 2 le reacutesultat sera lrsquoobjet en noir sur le scheacutemaLes arecirctes en bleu existent toujours mais ne sont accessibles que parune lecture de lrsquoarbre drsquoun niveau de deacutetail de hauteur 0 ou 1Ainsi les iteacuterations suivantes procegravederont de mecircme Il est agrave noter que silrsquoalgorithme rencontre plus de 2 points dans un disque drsquoeacutechelle tousles points ainsi repeacutereacutes seront fusionneacutes en un seul A chaque fois lanouvelle comparaison de distances srsquoeffectue sur le reacutesultat du niveaudeacutetail preacuteceacutedent Ainsi la 3e iteacuteration aura lieu sur le traceacute noir duscheacutema de la 2e iteacuteration

3e iteacuteration (le reacutesultat de la visualisation du 3e niveau de deacutetail estdonneacute par le trait noir)

Les points C et D sont repeacutereacutes Le point J est creacuteeacute et les arecirctes en vert sont creacuteeacutees

4e iteacuteration Les points I et F sont repeacutereacutes Le point K est creacuteeacute avec les arecirctes en vertLe reacutesultat de la visualisation du 4e niveau de deacutetail est donneacute par le trait noir

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5e iteacuteration Les points E et K sont repeacutereacutes Le traceacutefinal de lrsquoiteacuteration est en noir

Enfin la 6e et derniegravere iteacuteration Les 4 points A B J et L sont repeacutereacutesLrsquoalgorithme les fusionne donc Puisqueaucun point (du traceacute noir) nrsquoa drsquoarrecircteavec ces 4 points ils sont donc fusionneacutesen 1 point qui sera la racine et larepreacutesentation du 6e niveau de deacutetail unpoint non relieacute agrave aucune arecircte Crsquoest lacondition drsquoarrecirct de lrsquoalgorithme

33254) Exemple repreacutesentant lrsquoeacutevolution de la structure arborescente

Reprenons le mecircme polygone ABCDEFGH utiliseacute dans lrsquoexemple preacuteceacutedentNous allons voir lrsquoeacutevolution de la construction du treelet avec en bleu les relations drsquoarborescence(relatives aux niveaux de deacutetails) et en vert les relations drsquoarecirctes (relatives agrave la notion de distancedrsquoeacutechelle) Dans les deux cas bleu ou vert la couleur fonceacutee montre lrsquoeacutetat initial de la constructionet la couleur claire les liens nouveaux

Etat initial tous les points sontmis sous la racine et les arecirctes sontmises en place danslrsquoarborescence

La premiegravere iteacuteration ne change rien danslrsquoarbreLa deuxiegraveme iteacuteration amegravene la creacuteation dupoint I

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Ensuite nous voyons apparaicirctre les points J K

Et enfin L avec la forme finale du treelet

33255) Comparaison Treelet Beamlet

332551) Exemple 1 mise en eacutevidence drsquoune pondeacuteration ameacutelioratrice

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Comparaison entre les beamlets et le treelet sur 4 iteacuterations avec lrsquoobjet de lrsquoexemple preacuteceacutedent

Beamlets

Treelet

A priori les beamlets semblent plus inteacuteressants au niveau de deacutetail le plus grossier ils conserventlrsquoaspect de lrsquoobjet jusqursquoagrave la fin (y compris agrave la 4e iteacuteration) Cela dit le treelet reste inteacuteressant etfinalement assez proche des beamlets Il a la particulariteacute de raidir les courbes et donc pour unexemple comme celui-ci avec un objet composeacute de lignes droites on voit qursquoil est inteacuteressantNotamment dans les 2e et 3e iteacuterations ougrave les beamlets ont tendance agrave mettre une courbure lagrave ougraveil nrsquoy en a pas Au niveau du codage et de la quantiteacute drsquoinformation le treelet me semble le pluscompact outre la premiegravere iteacuteration qui nrsquoa finalement rien changeacute (distance drsquoeacutechelle encore troppetite) la seconde iteacuteration tient en un arbre de 10 points et 10 arecirctes A ces iteacuterations quicorrespondent aux derniegraveres iteacuterations des beamlets le nombre de carreacutes drsquoeacutechelle est plusimportantLa rectitude du treelet srsquoexplique aussi par le fait que lrsquoon supprime peu agrave peu des points tout enessayant de garder un maximum les arecirctes et les points drsquoorigine Les beamlets vont au contrairechercher agrave interpoler tout ce qui deacutepasse du carreacute drsquoeacutechelle Drsquoougrave cet aspect arrondi observeacute

Cet exemple met en eacutevidence le fait que la pondeacuteration en localiteacute drsquoun point dans sa prise encompte par le disque drsquoeacutechelle peut srsquoaveacuterer utile (la perte de forme de la 4e iteacuteration) Mettre unsigne neacutegatif au coefficient de deacutetail pour indiquer qursquoil ne faut pas toucher agrave ce point mecircme srsquoilest dans un disque drsquoeacutechelle pourrait permettre de conserver les aspects drsquoun objet Le choix despoints agrave lsquoverrouillerrsquo se ferait en fonction de lrsquoangle entre deux arecirctes en un point Infeacuterieur agrave unecertaine valeur (angles aigus) ou supeacuterieur agrave une autre (angle aigu mais lsquode lrsquoautre coteacutersquo delrsquoangle) il verrait son coefficient drsquoeacutechelle passer neacutegatif Pour que cela puisse srsquoappliquer degraves lespoints drsquoorigine il faudrait commencer les niveaux de deacutetail agrave 1 Ainsi on ajouterait 1 aucoefficient de deacutetail agrave chaque passage et un coefficient de -4 ne serait alors pris en compteqursquoapregraves 5 passages (-4 -3 -2 -1 et 0) de -2 au 3e passage etc Avec lrsquoimportance de lapondeacuteration deacutependant lineacuteairement de lrsquoeacutetroitesse de lrsquoangle

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332552) Exemple 2 mise en eacutevidence drsquoune possible ameacutelioration par controcircle du nombre de pointsfusionneacute

Comparaison entre les beamlets et le treelet sur lrsquoimage repreacutesentant la lettrea Pour pouvoir appliquer le treelet lrsquoimage de la lettre a eacuteteacute modeacuteliseacutee enobjet 2D

On obtient alors les reacutesultats suivants avec le treelet

Cercle drsquoeacutechelle correspondant Reacutesultat de la comparaison Forme reacutesultante distance drsquoeacutechelle arecirctes

iteacuteration 1

iteacuteration 2

iteacuteration 3

iteacuteration 4

iteacuteration 5

iteacuteration 6

Dans cet exemple les disques drsquoeacutechelle ont leur diamegravetre multiplieacute par 2 agrave chaque iteacuteration

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Et en comparaison treelet beamlets

On constate que les deux meacutethodes ont une iteacuteration agrave partir de laquelle on passe drsquoun objetreconnaissable agrave un objet non reconnaissable 3e iteacuteration pour les beamlets (en haut) et la 4e

iteacuteration pour le treelet (en bas) Il ne srsquoagit donc pas drsquoune faiblesse du treelet il srsquoagitsimplement de la mise en eacutevidence que le modegravele de lrsquoobjet 2D repreacutesentant la lettre lsquoarsquo abeaucoup de points placeacutes agrave des distances quasi-identique agrave la variation de la fonction drsquoeacutechelleprecirct Ce cas est facilement identifiable pendant lrsquoalgorithme du treelet et peut ecirctre rectifieacute enreacuteajustant les fonctions drsquoeacutechelles agrave cette eacutetape Une autre version de lrsquoalgorithme pourrait utiliserle tri des distances pour srsquoen servir pour calibrer les distances drsquoeacutechelle Ainsi on pourraitdemander les X niveaux de deacutetails possible drsquoun objet en eacutetant sucircr qursquoil y aurait une variation entrechaque changement plutocirct qursquoavec les autres algorithmes tournant automatiquement sanschercher agrave calibrer les fonctions drsquoeacutechelle

332553) Conclusion sur les deux exemples

Dans sa forme la plus basique sans eacutetalonnage du disque drsquoeacutechelle en fonction des distancespreacutesentes et sans pondeacuteration de points importants le treelet nrsquoest pas ridicule devant lacomparaison avec les beamlets (lrsquoun des meilleurs algorithmes de multi-compression 2D eacutetudieacute autravers des articles citeacutes en bibliographie) Mecircme si la compression de chaque niveau semble plusreacuteguliegravere dans les 2 exemples la version ameacutelioreacutee du treelet devrait ecirctre particuliegraverementprometteuse Car son atout suppleacutementaire reacuteside dans le passage drsquoun niveau de deacutetail agrave lrsquoautrequi ne consiste qursquoagrave une lecture drsquoun arbre de taille raisonnable par rapport au nombre de points etdrsquoarecirctes fourni en donneacutees avec juste des comparaisons et sans aucun calculQuant agrave la version ameacutelioreacutee elle ne consistera qursquoagrave quelques calculs suppleacutementaires afindrsquoeacutetalonner les distances drsquoeacutechelle puis ensuite ne se deacuteroulera encore que par la lecture delrsquoarbre Je pense qursquoagrave travers ces deux exemples nous avons surtout mis en eacutevidence la nonpertinence du choix de progression dyadique des fonctions drsquoeacutechelles dans la meacutethode desondelettes appliqueacutee agrave la multi-reacutesolution Cependant le fait est que les beamlets par exemplefonctionnent par progression de type exponentielle (de type Cx avec x variant et C constant) alors

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que le treelet agrave la possibliteacute de choisir chacune des distances drsquoeacutechelle et peut donc srsquoadapter agravetout problegraveme ou toute configuration de points en utilisant eacutegalement par exemple la pondeacuterationdes points

33256) Construction du Treelet

La construction de base du treelet est simplement obtenue en reliant tous les points obtenus delrsquoobjet consideacutereacute agrave la racine Lrsquoordre importe peu puisque lrsquoalgorithme va parcourir tous les pointspuis choisir ou non des points en fonction de la distance des arecirctes dont ils sont une extreacutemiteacuteSont aussi mises en place les arecirctesEn cours drsquoalgorithme celui-ci va lire le treelet au niveau de deacutetail ougrave il en est et regarder si aumoins une des distances de toutes les arecirctes des points concerneacutes par le niveau de deacutetail estinfeacuterieure ou eacutegale agrave la distance drsquoeacutechelle correspondante au niveau de deacutetail A la condition quecette arecircte appartienne au niveau de deacutetail crsquoest agrave dire que ses deux extreacutemiteacutes soient accessiblespar la lecture du niveau de deacutetailSrsquoil nrsquoy a rien agrave faire alors le niveau de deacutetail est mis agrave jour pour passer agrave la prochaine iteacuteration (siune des conditions de fin nrsquoest pas eacutetablie la creacuteation drsquoun niveau de deacutetail agrave un seul point ou deplusieurs points mais avec aucun ne posseacutedant drsquoarecircte vers lrsquoun des autres) de mecircme que ladistance drsquoeacutechelle

Il est agrave remarquer qursquoen allant jusqursquoagrave un niveau de deacutetail repreacutesenteacute par un point on peut alorscomptabiliser les diffeacuterentes composantes non connexes par arecircte preacutesentes dans lrsquoobjet

De plus ne tenant compte que drsquoune distance entre deux points le treelet fonctionne aussi bien en2D qursquoen 3D et ce sans modifications fondamentales Les exemples preacutesenteacutes furent en 2D parsouci de visualisation et faciliteacute de comparaison

33257) Lecture du Treelet

On lsquodescendrsquo chaque branche de lrsquoarbre jusqursquoagrave ce que lrsquoon trouve un point avec un coefficientdrsquoeacutechelle infeacuterieur ou eacutegal au niveau de deacutetail rechercheacute Une fois que lrsquoon a les points on a lesarecirctes gracircce aux structures employeacuteesOn remarque donc que lrsquoobtention drsquoun niveau de deacutetail se fait donc par le parcours drsquoun arbreavec un seul test de supeacuterioriteacute agrave effectuer agrave chaque nœud Il nrsquoy a plus le moindre produit dematrice ou calcul et une fois que lrsquoon tombe sur un nœud satisfaisant on nrsquoa pas agrave aller parcourirle reste de la branche La capaciteacute agrave retrouver un niveau de deacutetail est alors beaucoup plus rapide

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Bibliographies des sources citeacutees

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- [5] PROJET Traitement Numeacuterique des images Projet nordm 19 Bases dondelettes KristinaBouchitte Souad Guemghar Olivier Magneau Julie Vandenbussche Marylegravene Warthmannhttpwwwtsienstfrtsienseignementressourcesmtiondelettesexphtm

- [6] TIPE matheacutematique compression dimage par ondelettes Reacutemi Pauchet Damien VellemanhttpwwwchezcomrpauchetlapageTIPETIPEixlTIPEondelettesTIPEhtmlTipe20maths209920compression20par20ondeletteshtml

- [7] Une introduction (eacuteleacutementaire) agrave la theacuteorie des ondelettes Lucas Quarta Cahierpeacutedagogique 2 Institut de Matheacutematique Universiteacute de Mons-Hainaut 22 novembre 2001

- [8] httpwwwcmiuniv-mrsfr~torresanuniversalisondelhtml

- [9] httpmembreslycosfrtleilaxusondeletteslennahtml

- [10] Compression dimages et ondelettes une double approche contours et textures JFroment S Mallat

- [11] Edgelets amp Wedgelets software amp applications David Donoho Xiaoming Huo KDIMeeting 1099

- [12] Extended wedgelets ndash geometrical wavelets in efficient image coding Agnieszka Lisowska

- [13] Bent Beamlets ndash Efficient tool in image coding Agnieszka Lisowska

- [14] Intrinsic Dimensional Selective Operator Based on Geometrical Wavelets AgnieszkaLisowska

- [15] Multiresolution Analysis for Surfaces of Arbitrary Topological Type John M Lounsbery(1994)

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- [16] Deacutecomposition en ondelettes de maillages triangulaires 3D irreacuteguliegraverement subdiviseacutesApplication agrave la compression Seacutebastien Valette Fabien Thibon Yun-Sang Kim Ho-Youl JungIsabelle Magnin Reacutemy Prost

- [17] Ten lectures on wavelets Ingrid Daubechies (SIAM Philadelphia 1992)

- [18] Multiresolution Analysis of Arbitrary Meshes Eck Rose Duchamp Hoppe Lounsbery ampStuetzle

- [19] Interactive Multiresolution Surface Viewing Certain Popoviaelig De Rose DuchampSalesin et Stuetzle (1996)

- [20] Multiresolution representation of implicit objects Laurent Grisoni Christophe Schlick(1998)

- [21] Sparse geometric image representation with bandelet S Mallat E LePennec

- [22] Curvelets and curvilinear integrals E Candegraves D Donoho (2001)

- [23] The contourlet transform an efficient directional multiresolution image representation MN Do M Vetterli

- [24] Wedgelets nearly-minimax estimation of edges D Donoho (1999)

- [25] Multiscale wedgelet image analysis fast decompositions and modelling J K Romberg MWakin R Baraniuk (2002)

16

Additif agrave la bibliographie des sources non citeacutees

Sites et adresses Internethttpwwwwaveletorghttpusersrowanedu~polikarWAVELETSWTtutorialhtmlhttppersowanadoofrpolyvalensclemenswaveletswaveletshtmlhttpwwwchezcomrpauchetlapageTIPETIPEixlTIPEondelettesTIPEhtmlTipe20maths2

09920compression20par20ondeletteshtmlhttphomepagescwinl~henkhpublicationshtmhttpwwwthepolygonerscomtutorialsdwaveletDWTTuthtmlhttpwwwtechniques-ingenieurfraffichageDispIntroaspngcmID=R309httpwwwlyobachlagruyerearticle123htmhttpwwwcrmumontrealcamath2000pubimageriehtmlhttpwwwrusescomPages0001000Ghtmhttpwwwhta-bibfhch~bgwpwffach1fhtmlhttpnikopol0alrjorgbiblioindexphpselected_categ=ondeletteshttpwwwtsienstfrtsienseignementressourcesmtidonohointrohtmlhttpcmbell-labscomwhowimpaperslifting

Plus axeacutes theacuteoriehttpmembreslycosfrtleilaxusondelettestheoriehtmlhttptelccsdcnrsfrdocumentsarchives000005140

Thegraveses- httptelccsdcnrsfrdocumentsarchives000005140tel-00005140-00tel-00005140pdfONDELETTES ET APPLICATIONS EN IMAGERIE ET EN CALCUL DE SURFACES JulesWAKU KOUOMOU (4 Novembre 1993 UNIVERSITE Joseph FOURIER - GRENOBLE 1)

- Analyse multifractale 2D et 3D agrave laide de la transformation en ondelettes application enmammographie et en turbulence deacuteveloppeacutee Pierre Kestener (21 novembre 2003 UNIVERSITEBORDEAUX I)

- Modegraveles de maillages deacuteformables 2D et multireacutesolution surfaciques 3D sur une basedondelettes Seacutebastien VALETTE (7 Janvier 2002 INSTITUT NATIONAL DES SCIENCESAPPLIQUEES DE LYON)

Jpeg 2000httpwwwuniv-orleansfrESPEOLESIpersonnelravierenseignementcetsis_01_Ravierpdf

Forumhttpwwwondelettecom

Imageshttp2091326982gallerygalleryhtmlantropus1jhtmlamp1detailhttpwwwc3lanlgov~brislawnJPEG_demosld006htm

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Pour code (mecircme si pas exceptionnel)httpnikopol0alrjorggeowave

Compressions des donneacuteeshttpwwwrusescomPages0001000Bhtmhttphocinebekkouchefreefr

Livres- Une exploration des signaux en ondelettes MALLAT Steacutephane Les eacuteditions de lrsquoEacutecolePolytechniques Paris (2000) ISBN 2-7302-0733-X

- ONDELETTES Claude Portenier (Version du 20 octobre 2000) Fachbereich Mathematik undInformatik Philipps-Universitaumlt Marburg

Articles - ADAPTIVE WAVELET DECOMPOSITIONS DRIVEN BY A WEIGHTED NORM OF THEGRADIENT Gemma Piella Henk Heijmans Beacuteatrice Pesquet-Popescu Proc 3rd IEEEBenelux Signal Processing Symposium (SPS-2002) Leuven Belgium March 21ndash22 2002

- Lrsquoenseignement des ondelettes une ouverture sur lrsquoindustrie par la norme JPEG2000 PhRavier

- Une introduction (eacuteleacutementaire) agrave la theacuteorie des ondelettes Lucas QUARTA Cahierpeacutedagodique 2 22 novembre 2001

(Tous les sites mentionneacutes fonctionnaient quand je les ai utiliseacutes)