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CNAM CCV223 Gnie parasismique machines vibrantes F.GUILLEMARD

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CHAPITRE II

OSCILLATEUR SIMPLE CARACTERISTIQUES DYNAMIQUES

1- INTRODUCTION

Nous ne traitons dans cette partie que les systmes ne comportant quun seul degr de libert, cest-

-dire des systmes pour lesquels le dplacement peut tre reprsent par une seule coordonne.

Nous tudions cette classe de problmes de manire assez complte pour deux raisons :

Le comportement de nombreuses structures rencontres dans la pratique peut tre exprim par

lintermdiaire dune seule coordonne avec un rsultat final acceptable par rsolution du

problme un seul degr de libert qui en dcoule.

Dans les structures linaires de formes plus complexes la rponse totale peut tre exprime

comme la somme des rponses dun ensemble de systmes un seul degr de libert.

La technique de calcul sappliquant au cas dun seul degr de libert constitue ainsi la base dune

des techniques dterministes et probabilistes en dynamique des structures.

2 DEFINITION Un oscillateur simple est idalis par un systme un degr de libert dont les caractristiques

physiques tels que masse (m) rigidit (k) amortissement ( c) et chargement p(t) interviennent dans le mouvement dynamique.

c Dplacement x(t) m p(t)

k


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La loi de comportement dun oscillateur simple dpend principalement du dplacement x(t) de la masse m et de sa vitesse x(t) par rapport au support.

3 - EQUATION DU MOUVEMENT La force de rappel peut tre linaire et ne dpendre que du dplacement x(t). Si tout moment il y a proportionnalit entre la force et le dplacement loscillateur est lastique. Cest le cas typique du

ressort F = k.x

La dpendance de la force sur le dplacement peut cependant tre non linaire. Au dpart il y a

proportionnalit entre force et dplacement puis au del dun certain seuil de dplacement, la

relation cesse dtre linaire : F = f(x)

Dans ce chapitre nous nanalyserons que le cas de loscillateur simple linaire caractris par

lquation F=k.x

Dans les graphiques prcdents, le temps nintervient pas. La relation est la mme que le cycle soit

ralis rapidement ou lentement. Dans la pratique, on constate que lamplitude dcrot au cours du

temps et que la masse retrouve au bout dun certain temps une position dquilibre :

F= k.x

x x

F= f(x)


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Une partie de lnergie lastique emmagasine dans le ressort est dissipe au cors du temps, ce

phnomne est appel Amortissement dont lquation est la suivante : f c xd = . & (t) Cette force dpend du paramtre c, lamortissement et de la vitesse de loscillateur dans le temps

)t(x&

On constate galement que lorsque la force est dynamique cest dire quelle se produit

rapidement elle met en uvre une force en opposition appel force dinertie : f m xi = . &&(t) Cette force dpend du paramtre m, la masse et de lacclration de loscillateur dans le temps )t(x&&

Lapplication des thormes gnraux de la dynamique fournit lquation diffrentielle traduisant le

comportement du systme :

Lquation des forces en action est exprime par lgalit : f f f p ti d s+ + = ( )

f i est la force dinertie tel que f m xi = . &&(t) f d est la force damortissement f c xd = . & (t) f s est la force de rappel du ressort f k xs = . (t)

Soit )t(p)t(x.k)t(x.c)t(x.m =++ &&& (formule 2.3.a)


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4 RIGIDITE DUN OSCILLATEUR SIMPLE

Dans le cas de btiment modlis comme un systme 1 seul DDL, et soumis des charges

latrales dynamiques, le coefficient de rigidit k reprsente la rigidit latrale totale de la structure.

Les btiments modlisables par un seul DDl sont rares, on peut noter :

- Les mts ayant une masse importante en tte :

- Les structures poteaux qui peuvent tre considres comme infiniment lies aux extrmits :

Dans ce cas il est utile de rappeler la valeur de k pour des cas structuraux communs :

Poteau appuis fixes Poteau rotul sa base et encastr Contreventement en diagonale ltage bi-articul

312

lEIk = 3

.3lEIk = cos.

DlEAk =


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5 REPONSE GENERALE DUN OSCILLATEUR SIMPLE

La rponse dynamique dun oscillateur simple peut tre dcompose en plusieurs phases :

Force p(t)

temps t

vibration force vibration libre p(t)=0

La rponse de loscillateur se rsout laide de lquation diffrentielle 2.3.a.

Dans un premier temps, il faut rsoudre lquation sans second membre, nous sommes en vibration

libre, et ensuite la rponse complte en vibration force est obtenue avec le second membre p(t) .


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6- VIBRATION LIBRE OSCILLATEUR NON AMORTI

Nota : par simplification dcriture nous ne mentionnerons pas dans les quations le temps mais le dplacement crit x sentent x(t), la vitesse x&&& x&&& (t), lacclration x&& , x&& (t)

Nous considrons lamortisseur non amorti, cest dire que c=0 et nous sommes en vibration libre,

le chargement est nul : 0)( =tp Lquation du mouvement (2.3.a) scrit : 0.. =+ xkxm &&

ou 0. =+ xm

kx&&

Nous avons =km

valeur de la pulsation en rd/s dans lquation du mouvement : 2 =km

Lquation du mouvement devient : 0.2 =+ xx && (formule 2.7.a) Cette quation est du type : r x2 2 0+ =

La solution donne 0 :

soit r i"= + avec = 0 on a r i" .= La solution est de la forme gnrale : x t e c t c tx( ') .( cos ' 'sin ')= +

x t C t D t( ') .cos ' .sin ')= + formule (2.6.a)

Dans lexpression ci-dessus les constantes C et D peuvent tre exprimes en fonction des conditions

initiales qui sont les dplacements v(0) et la vitesse v( ).

0 linstant t=0 o commencent les

vibrations libres. On voit immdiatement que les conditions limites donnent :

t o' = temps dbut de loscillateur libre

x x x x( ) &( ) &0 00 0= = et

Nous obtenons aisment la solution de lquation du dplacement :

x t x tx

t( ' ) .cos ' & .sin '= +0 0 (2.6.b)

Lquation peut galement scrire : x t t( ) .cos( )= (2.6.c)


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avec

= +

=

[( & ) ]

&

.

/x x

Arctgx

x

0 202 1 2

0

0

Cette quation correspond un mouvement harmonique simple reprsente par la figure suivante :

La quantit sappelle la frquence circulaire ou vitesse

angulaire .

La vitesse cyclique f du mouvement appele tout

simplement frquence est donne par f = 2.

Son inverse est la priode T f= =2 1.

7- VIBRATION LIBRE OSCILLATEUR AMORTI

Nous sommes en vibration libre, le chargement est nul : 0)( =tp Lquation du mouvement (2.3.a) scrit : m x c x k x. && . & .+ + = 0

ou && . & .xc

mx

km

x+ + = 0

Nous avons =km

valeur de la pulsation en rd/s dans lquation du mouvement : 2 = km

Lquation du mouvement devient : && . & .xc

mx x+ + = 2 0

(formule 2.7.a)

La rsolution de cette quation diffrentielle fait appel un coefficient appel facteur


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damortissement tel que :

=

c

m2. . =

c

cc ( cc amortissement critique )

Si = 1 amortissement critique (cas thorique) Il ny a pas doscillation.

La solution de lquation homogne est de la forme : x t A B t e t( ' ) ( . ' ). '= +

ou [ ]x t x t x t e t( ' ) .( . ' ) & . ' . '= + + 0 01

Tel que x x0 0 et & sont respectivement les valeurs initiales du dplacement et de la vitesse.

Si > 1 Amortissement sur-amorti. (cas non rel pour des structures) Il ny a pas doscillation

Appelons d la pseudo-pulsation ou la pulsation amortie tel que d = . 1 2

La solution de lquation est de la forme : x t A e B e ed dt t t( ' ) ( . . ).' ' '= + o les constantes A et B peuvent tre dtermines au moyen des conditions initiales.

x t( ' )

x0

.

x0

t

Amortissement critique

x(t)


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Si 1 Amortissement sous-amorti Seul cas intressant en dynamique des structures

La solution de lquation diffrentielle homogne est de la forme :

x t A t B t ed dt( ' ) ( . sin . ' .cos . ' ). '= +

(2.7.b)

Le mouvement est priodique de : Td

'

.

=

2 pi

(Pseudo-priode ou priode amortie)

Avec d = . 1 2

Recherchons les conditions limites de lquation (2.7.b) pour obtenir les constantes A et B :

Au temps t' = 0 x t x( ' ) = 0 et &( ' ) &x t x= 0

Donc lquation devient x B x( )0 0= = B x= 0 (2.7.c)

Drivons lquation (2.7.b) nous obtenons la formulation de la vitesse :

&( ' ) ( . .cos . ' sin. . ' ).. ( .sin . ' .cos . ' ).

'

. . '

x t A t B t eA t B t e

d d d dt

d dt

=

+

(2.7.d)

Equation de la vitesse

A t x t x ' &( ' ) &= =0 0 Ax x

d=

+& . .0 0

(2.7.e)

Pour obtenir la formulation de lacclration il suffit de driver lquation (2.7.d) :

[ ]&&( ' ) . ( . ).( sin . ' cos . ' ) . . .( cos . ' sin . ' ). 'x t e A t B t A t B tt d d d d d d= + 2 2 2 2 (2.7.f) Equation de lacclration


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Les constantes A et B dfinies en (2.7.c) et (2.7.e) sont valables pour les expressions du dplacement, de la vitesse et de lacclration en prenant comme repre initial le temps t gal au

temps de loscillation libre partir de t(0)=0.

Lquation (2.7.b) scrit donc x t x x t x t ed d t( ' ) (. .

.sin . ' .cos . ' )..

'

=

++ 0 0

00

.

Elle peut aussi scrire sous la forme x t e tt d( ) . .cos( ). .= (2.7.g)

avec

=

++

=

+

[( & . . ) ]

& . .

.

/x x x

Arctgx x

x

d

d

0 0 202 1 2

0 0

0

Le rapport entre J cycles est : j

n

n dex

x ..21

pi=

+

Lexamen de la courbe du dplacement montre que la rponse passe par extrema espacs dun

temps T, lamplitude des extrema, gale te ... , dcrot en fonction du temps pour tendre vers

0 au bout dun temps infini ;

Le systme revient lquilibre en oscillant autour de la position neutre correspondant un

dplacement nul.

Ce retour lquilibre est dautant plus rapide et avec moins doscillations que le pourcentage

damortissement critique est lev :

x(t)


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On notera que pour les faibles valeurs de (


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8- VALEUR DE LAMORTISSEMENT

Soit valeur de lamortissement tel que

=

c

m2. .

avec = pulsation de loscillateur = km

Nous pouvons adopter les valeurs forfaitaires suivantes (Ref. PS92)

Nota : contrairement la masse et la rigidit qui se dterminent de faon aise les mcanismes de

dperdition dnergie des structures sont difficiles matriser.

Pour cette raison de nombreuses mthodes exprimentales ont t dveloppes pour dterminer le

facteur damortissement :

Dcroissance des oscillations libres.

Amplification rsonnante .

Mthode de la demie-puissance (largeur de bande). Dperdition dnergie par cycle (essai en rsonance). Amortissement hystrsique.

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