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CNAM ELE 103 D. Roviras 1 CNAM Bases de Traitement du Signal ELE 103, partie I (draft version) D. ROVIRAS [email protected] [email protected] Tel : 01 40 27 25 67 Accès 11, 2 ème étage, Bureau 11B2.37 2015-2016 version 23

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CNAM ELE 103 D. Roviras 1

CNAM

Bases de Traitement du Signal

ELE 103, partie I (draft version)

D. [email protected]@idf.pleiad.fr

Tel : 01 40 27 25 67Accès 11, 2 ème étage, Bureau 11B2.372015-2016 version 23

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CNAM ELE 103 D. Roviras 2

Sommaire :

1. Introduction

2. Rappels sur le filtrage (C1, TD1)

3. Rappels sur la Série de Fourier et la Transformée de Fourier (C2,C3,TD2,TD3,TD4)

4. Signaux déterministes à énergie finie (C4)

5. Signaux déterministes à puissance finie (C4)

6. Introduction aux probabilités (C5,C6,C7,TD5, TD6)

7. Signaux aléatoires (C8 C9 C10, TD7)

8. Filtrage des signaux (C11, TD8, TD9)

9. Signaux bande étroite (C12 C13)

10. Modulations (C14 C15, TD10, TD11, TD12)

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CNAM ELE 103 D. Roviras 3

Introduction1. Pré requis et place de ELE103 dans le cursus

ingénieur

2. Le traitement du signal

Introduction

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CNAM ELE 103 D. Roviras 4Introduction

Cycle préparatoire :Une UE au choix parmi :

• Signal déterministe MAA107 • Signal aléatoire MAA104

Composants électroniques ELE101

Bases de Traitement du signal ELE103 Traitement numérique du signal ELE102 Programmation microcontrôleurs ELE118 ou Conception VHDL ELE106 Processeurs de signaux et logique programmable ELE 119

Techniques avancées en électronique analogique et n umérique (1) ELE108 (cycle de TP)

Bases de transmissions numériques (1) ELE112

Pré requis

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CNAM ELE 103 D. Roviras 5Introduction

Cycle de sp écialisation : Bases de transmissions numériques(2) ELE113 Techniques avancées en élect. analogique et numériq ue (2) ELE109

Une UE au choix parmi : • Télécommunications optiques ELE107• Propagation, rayonnement, électromagnétisme ELE115• Transmissions en télécoms ELE111• Prévention des risques physiques PHR103

Deux UE au choix parmi : • Circuits pour système RF, micro-ondes et optoélectr oniques ELE202• Traitement du signal en télécommunications ELE203• Télévision numérique et multimédia ELE210• Radiocommunications ELE208• Conception électronique des circuits VLSI logiques ELE205• Technologies des hauts débits ELE207

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CNAM ELE 103 D. Roviras 6Introduction

A quoi sert le cours de « Bases de Traitement du Signal » ?

Station de radio n°1

Station de radio n°2

mon poste de radio

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CNAM ELE 103 D. Roviras 7Introduction

A quoi sert le cours de « Bases de Traitement du Signal » ?

t

Signal station de radio n°1

t

Signal station de radio n°2

TraitementModulationAmplificationTransmission

TraitementModulationAmplificationTransmission

mon postede radio

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CNAM ELE 103 D. Roviras 8Introduction

A quoi sert le cours de « Bases de Traitement du Signal » ?

Pré-amplificationTraitementDémodulationAmplification

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CNAM ELE 103 D. Roviras 9Introduction

A quoi sert le cours de « Bases de Traitement du Signal » ?

m1(t)

t

(1) Signal station de radio n°1 (m1(t))

g(t)

Passe-Bas

x(t)

(2) Traitement du signal m1(t) : filtrage

cos( 2.π.fp.t)

v(t)

(3) Modulation du signal m1(t)

h(t)

Canal hertzien

y(t)

(4) Transmission hertzienne

+

n(t) cos (2.π.fp.t)

e(t)

s(t)z(t)

Passe-Bas

(5) Démodulation

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CNAM ELE 103 D. Roviras 10Introduction

SystèmeEntrée Sortie

Caractérisation temporelle et fréquentielle des signaux d’entrée, de sortie et des perturbations

Relations entrée/sortie ?

Quel traitement réaliser ?

Perturbations

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CNAM ELE 103 D. Roviras 11Introduction

Source

CAN

Signal

CNA Décodeursource

Décodeurcanal

Codeursource

Codeurcanal

Modulateur

Canal

Récepteur

Exemple d’un chaîne de transmission num érique

ELE102-103ELE103

ELE103

ELE102-103

ELE102-112

ELE102-103-112

ELE102-112

ELE102-112

ELE102-103-112

ELE103-112

ELE102-112

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Rappels sur le filtrage et les distributions

1. Filtrage par un SLIT

2. Rappel sur les distributions

Filtrage

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CNAM ELE 103 D. Roviras 13

Système Linéaire Invariant Temporellement (SLIT)

Linéarité :

SLIT)(1 tx )(1 ty SLIT)(2 tx )(2 ty

SLIT)(.)(. 21 txbtxa + )(.)(. 21 tybtya +

Invariance temporelle :

SLIT)(1 tx )(1 ty SLIT)(1 τ−tx )(1 τ−ty

Filtrage

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CNAM ELE 103 D. Roviras 14

Système Linéaire Invariant Temporellement (SLIT)

Exemple de système Non Linéaire : comparateur

Filtrage

SystèmeEntrée (x) Sortie (y)

x: amplitude de l’entrée

y : amplitude de la sortie

A

0

x1(t)=constante = 1 y1(t)=constante=A

x2(t)=constante = 2 y2(t)=constante=A

x3(t)= x1(t)+x2(t) )()()( 213 tytyAty +≠=

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CNAM ELE 103 D. Roviras 15

Système Linéaire Invariant Temporellement (SLIT)

Exemple de système Non Linéaire : diode

Filtrage

SystèmeEntrée (x) Sortie (y)

x: amplitude de l’entrée

y : amplitude de la sortie

0

x1(t)=constante = -1 y1(t)=constante=0

x2(t)=constante = 1 y2(t)=constante=1

x3(t)= x1(t)+x2(t) )()(0)( 213 tytyty +≠=

Pente de 1

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CNAM ELE 103 D. Roviras 16

Système Linéaire Invariant Temporellement (SLIT)

Exemple de système Variant Temporellement :

Filtrage

Systèmex(t) y(t)

x(t) y(t)

g(t)

)()()()()()(

)()()()(

11212

111

τττ −≠−=→−==→

tytxtgtytxtx

txtgtytx

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CNAM ELE 103 D. Roviras 17

Système Linéaire Invariant Temporellement (SLIT)Exemple de système Variant Temporellement :

Filtrage

x(t) y(t)

g(t)

t

g(t)

t

t

x1(t)

y1(t)

x2(t)=x1(t-τ)

y2(t)

1

2

τ

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CNAM ELE 103 D. Roviras 18

Système Linéaire Invariant Temporellement (SLIT)

Caractérisation d’un SLIT : Réponse fréquentielle H(f)

)( fH

f

)( fH

f

( ))( fHPhase

Filtrage

Système)2cos( 00 tfA π )2cos( 101 ϕπ +tfA

( ) )(de Phase )( 100

10 ϕ== fH

A

AfH

module phase

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Système Linéaire Invariant Temporellement (SLIT)

Caractérisation d’un SLIT : Réponse impulsionnelle h(t)

SLIT)(tδ )(th

h(t)

t

Filtrage

[ ])()( thTFfH =

1/∆∆

t

lim0

)(→∆

=tδ

0

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CNAM ELE 103 D. Roviras 20

Relation entrée/sortie d’un SLIT

SLITh(t)

)(tx )(ty

)(tx

t

)(txe

t

SLITh(t)

)(tye

t

Rectangle de largeur D et de hauteur x(k.D)k.D

Réponse au rectangle de largeur D et de hauteur x(k.D): V(t-kD)

Filtrage

Invariance temporelleet linéarité

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Relation entrée/sortie d’un SLIT

∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

−Π=

=+

=k

Dk

e kDtkDxhauteur

).DkD et (kentrerectkDxtx )().(

1

1 ).()(

∑+∞

−∞=

−=

ke kDtV

DDkDxty )(

1.).()(

∑+∞

−∞=

−Π=

kDe kDt

DDkDxtx )(

1.).()(

Si D tend vers 0 alors on a xe(t) qui tend vers x(t)

)(1

tD DΠ tend vers δ(t) ∑

+∞

−∞=

−≈k

e kDthDkDxty )(.).()(

)(1

tVD

tend vers h(t)

Invariance temporelleet linéarité

τττ dthxty ∫+∞

∞−

−= )().()(

Filtrage

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CNAM ELE 103 D. Roviras 22

Relation entrée/sortie d’un SLIT

[ ] )(*)().()( thxdthxty =−= ∫+∞

∞−

τττ

)(*)()( thtxty =De façon à ne pas alourdir les notations on écrira plus simplement :

)().()( fHfXfY =On verra dans le chapitre suivant que l’on a :

Filtrage

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Propriétés de la relation de convolution

)(*)()(*)( txththtx =

Transformée de Fourier

Transformée de Fourier

Associativité

Distributivité

Commutativité

[ ] [ ] [ ])(*)()(*)()(*)()( 2121 thtxthtxthtxtx +=+

[ ] [ ])(*)(*)()(*)(*)( 321321 txtxtxtxtxtx =

[ ] )().()(*)( fHfXthtxTF =

[ ] )(*)()().( fHfXthtxTF =

Filtrage

)(*)()(*)( 1221 txtxtxtx =

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CNAM ELE 103 D. Roviras 24

Interprétation graphique de la convolution

τττ dthxty ∫+∞

∞−

−= )().()(

)(τx

τ

τ

)(τh

τ

)( 0 τ−th

τ

τττ dthx∫+∞

∞−

− )().( 0

)(ty

t

t0

Filtrage

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CNAM ELE 103 D. Roviras 25

Notion de causalité

)(τh

Filtrage

Les systèmes physiques réels sont causaux. Cela veut dire que la sortie du système ne peut pas varier avant que l’on ait appliqué l’entrée

Avec un SLIT causal on a h(t)=0 pour t<0

Remarque : dans certains calculs théoriques nous utiliserons des filtres non causaux. C’est une liberté qui permet de simplifier les calculs mais il est bien clair que ces systèmes non causaux sont non réalisables physiquement.

Exemple: un filtre passe-bas idéal

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CNAM ELE 103 D. Roviras 26

Notion de causalité

Filtrage

Comment rendre causal un filtre non causal ?

h(t)

t

On tronque temporellement la réponse impulsionnelle:h(t)

t

On décale temporellement la réponse impulsionnelle tronquée :h(t)

t

Imaginons que l’on veuille réaliser un SLIT avec la réponse impulsionnelle suivante:

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CNAM ELE 103 D. Roviras 27

Rappels sur les distributions

Filtrage

Remarque : Ces rappels ne sont pas un cours sur les Distributions mais quelques notions physiques sur l’impulsion de Dirac et les propriétés associées

Soit x(t) un rectangle centré sur 0 de largeur D et de hauteur 1/D. L’aire de x(t) vaut 1.

En faisant tendre D vers 0 on a x(t) qui tend vers une impulsion baptisée impulsion de Dirac

t

)(1

tD DΠ

-D/2 D/2

1/D

D tend vers 0

t

)(tδ

0

Par convention de dessin on dessine une impulsion de Dirac comme ci dessus

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CNAM ELE 103 D. Roviras 28

Propriétés de l’impulsion de Dirac

Filtrage

∫+∞

∞−

=1)( dttδ

TF

TF

TF

Convolution

Convolution

Convolution

Convolution

TF

Dirac.Fonction

Dirac.Fonction

Dirac .Fonction

Aire unitaire

)().0()().( txttx δδ =

)().()().( 000 tttxtttx −=− δδ

)().()().( 01001 ttttxttttx −−=−− δδ

)()(*)( txttx =δ

)()(*)( 00 ttxtttx −=− δ

)()(*)( 00 ttxtttx −=−δ

)()(*)( 0101 tttxttttx −−=−− δ

1)( =tTF δ

)(1 fTF δ=

( )00 2exp)( jftttTF πδ −=−

( ) )(2exp 00 fftjfTF −= δπ

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CNAM ELE 103 D. Roviras 29

Rappel sur les nombres complexes

Filtrage

ginairepartie imabréellepartieajbac ==+=

aRe

Im

bc

cdu vecteur Longueur bacule de c mod 22 =+==

φφφφ

cdu vecteur Anglea

barctg phase de c φ=

=

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CNAM ELE 103 D. Roviras 30

Rappel sur les nombres complexes

Filtrage

et )exp(. 22

=+==a

barctgbacavecjcc φφ .bjac +=

complexesdeux

cc

et 21

2121 .. cccc = )()().( 2121 cccc φφφ +=

.bjac += .* bjac −= *cc = )()( *cc φφ −=

.bjac += *2.ccc =

∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

=

nn

nn AA *

*

complexes

desAn

complexes

desAn ( )∏∏+∞

−∞=

+∞

−∞=

=

nn

nn AA *

*

)2sin(.)2cos( )2exp( )sin()cos()exp( ftjftjftjj πππϕϕϕ +=+=

1 )2exp( =jftπ

( ) )2exp( )2exp( * jftjft ππ −=

)exp( )exp().exp( baba +=

( ) ).exp(.).exp( tKKtKdt

d =

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CNAM ELE 103 D. Roviras 31

Rappel sur les fonctions trigonom étriques

Filtrage

)cos(21)cos(2

1)sin()sin( bababa +−−=

)cos(21)cos(2

1)cos()cos( bababa ++−=

)sin(21)sin(2

1)cos()sin( bababa ++−=

)sin(21)sin(2

1)sin()cos( bababa −−+=

)sin()cos()cos()sin()sin( bababa +=+

)sin()cos()cos()sin()sin( bababa −=−

)sin()sin()cos()cos()cos( bababa −=+

)sin()sin()cos()cos()cos( bababa +=−

2))2cos(1()(cos2 aa +=2))2cos(1()(sin2 aa −=

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CNAM ELE 103 D. Roviras 32

Rappel sur les dérivées de fonctions trigonom étriques

Filtrage

)sin()cos(

uu

u −=δδδδ

δδδδ

)cos()sin(

uu

u =δδδδ

δδδδ

)sin()cos( uduu =∫

)cos()sin( uduu −=∫

)sin(.).cos(

uku

uk −=δδδδ

δδδδ

[ ] ').('')()]([

ggfgfu

ugf ==δδδδ

δδδδ

[ ] '.'.'.)().(

gfgfgfu

uguf +==δδδδ

δδδδ

[ ]2

'.'.'/

)(/)(

ggfgf

gfu

uguf −==δδδδ

δδδδ

).cos().sin(

uku

uk =δδδδ

δδδδ

).sin(.1

).cos( ukk

duuk =∫

).cos(.1

).sin( ukk

duuk −=∫

)exp()exp(

uu

u =δδδδ

δδδδ ).exp(.).exp(

ukku

uk =δδδδ

δδδδ

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CNAM ELE 103 D. Roviras 33

Rappels sur la S érie et la Transform ée de Fourier

1. Série de Fourier

2. Transform ée de Fourier

SF et TF

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CNAM ELE 103 D. Roviras 34SF et TF

Série de Fourier pour les signaux déterministes périodiques :

Soit x(t) un signal périodique de période T

• x(to)=x(to+T)

• x(t) est décomposable en série de Fourier c.a.d. en une somme de sinusoïdes de fréquences multiples de 1/T

• On a un spectre de raies

• Deux décompositions duales: somme de sinus/cosinus ou somme d’exponentielles

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CNAM ELE 103 D. Roviras 35SF et TF

Décomposition en somme d’exponentielles

Forme bilatérale avec fréquences positives et négatives

= ∑+∞

−∞=

tT

njXtx

nn π2exp)(

dttT

njtx

TX

Tto

to

n ∫+

−= π2exp)(1

( ) 1: 2 −=jRappel

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CNAM ELE 103 D. Roviras 36SF et TF

Décomposition en somme de sinus et cosinus

Forme mono latérale avec fréquences positives seulement

+

+= ∑+∞

=

tT

nbt

T

na

atx n

nn ππ 2sin2cos

2)(

1

0

dttT

ntx

Ta

Tto

to

n ∫+

= π2cos)(2

dttT

ntx

Tb

Tto

to

n ∫+

= π2sin)(2

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CNAM ELE 103 D. Roviras 37SF et TF

Quelques propriétés des coefficients de Fourier

* )( nn XXréelletx −=⇒ ( ) jbajbaRappel −=+ *:

( ) positifnjbaX nnn pour 2

1 −=

signaldu continue composante la représente 20oa

X =

nX

n

( )nXPhase

n

En général, tend vers 0 quand n tend vers l’infininX

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CNAM ELE 103 D. Roviras 38SF et TF

Résultats d’une troncature des coefficients de Four ier

1

5

3

7

21

13

9

Signal carré: 1, 3, 5, 7 et 21 harmoniques

Signal sinusoïdal redresséen simple alternance: 1, 3 et 9 harmoniques

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CNAM ELE 103 D. Roviras 39SF et TF

Quelques propriétés des coefficients de Fourier

22

)(1

∑∫+∞

−∞=

+

==n

n

Tto

to

XdttxT

Puissance

Identité de Parseval :

Calcul de la puissance dans le domaine temporel et spectral :

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CNAM ELE 103 D. Roviras 40SF et TF

Exercices sur la série de Fourier

• Démonstration de l’identité de Parseval• Objectifs ?

= ∑+∞

−∞=

tT

njXtx

nn π2exp)(

dttT

njXt

T

njX

Tdttx

T

Tto

to nn

nn

Tto

to∫ ∑∑∫+ +∞

−∞=

+∞

−∞=

+

= ππ 2exp2exp1

)(1 *2

∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

=

nn

nn AARappel *

*

:

dttT

pnjXX

TdtX

Tdttx

T

Tto

to

p

pnpn

n

Tto

to nn

Tto

to∫ ∑∫ ∑∫+ ∞+

≠−∞=

+ ∞+

−∞=

+

−+

= π2exp11

)(1 *

,

22

Intégrale égale à 0

∑∫+∞

−∞=

+

=n

n

Tto

to

XdttxT

22)(

1

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CNAM ELE 103 D. Roviras 41SF et TF

Exercices sur la série de Fourier

• Démonstration de l’expression des coefficients X n

= ∑+∞

−∞=

tT

njXtx

nn π2exp)(

=

− ∑+∞

−∞=

tT

pjt

T

njXt

T

pjtx

nn πππ 2exp2exp2exp)(

∫ ∑∫+ +∞

−∞=

+

=

−Tto

to nn

Tto

to

dttT

pjt

T

njXdtt

T

pjtx πππ 2exp2exp2exp)(

∫ ∑∫+ +∞

−∞=

+

+=Tto

to nn

Tto

to

p dttT

pjt

T

njXdtX ππ 2exp2exp

Intégrale égale à 0

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CNAM ELE 103 D. Roviras 42SF et TF

Exercices sur la série de Fourier

• Calcul des coefficients de SF d’un signal carré

ailleurs 0et 2

D

2pour )(

+≤≤−= tD

Atx

t

0

D/2-D/2

T-T

A

=

=T

nDc

T

AD

T

nDT

nD

T

ADXn sin

sin

π

π

x

xxcDéfinition

ππ )sin(

)(sin: =

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CNAM ELE 103 D. Roviras 43SF et TF

Exercices sur la série de Fourier

• Calcul des coefficients de SF d’un signal carré

=

=T

nDc

T

AD

T

nDT

nD

T

ADXn sin

sin

π

π

AD/T

f01/D 2/D-1/D-2/D

( )fD

fD

T

AD

ππsin

1/T 2/T 3/T-1/T

Coefficient X1

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CNAM ELE 103 D. Roviras 44SF et TF

Exercices sur la série de Fourier

• Calcul des coefficients de SF d’un signal carré

Si la période tend vers l’infini Les raies spectrales deviennent infiniment serrées : spectre continu (Série de Fourier)

Si A tend vers l’infini et D vers 0 de façon à ce que A.D=1 et la période T est constante

Le signal périodique tend vers un peigne de Dirac en temporel

La représentation spectrale d’un peigne de Dirac temporel est un peigne de Dirac fréquentiel

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CNAM ELE 103 D. Roviras 45SF et TF

Transform ée de Fourier :

Existence de la TF:• Fonctions de carré intégrable, signaux à énergie finie• Signaux à puissance finie• Distributions: Dirac et peigne de Dirac

( )dtjfttxfX ∫+∞

∞−

−= π2exp)()(

( )dfjftfXtx ∫+∞

∞−

= π2exp)()(

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CNAM ELE 103 D. Roviras 46SF et TF

Transform ée de Fourier :

dffXdttxEnergie ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

== 22)()(

Identité de Parseval pour les signaux à énergie finie

( ) dtdfjftfXtxdttxtxdttx ∫ ∫∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

==

*

*22exp)()()()()( π

( ) ( ) dtdfjftfXtxdtdfjftfXtx ∫ ∫∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

−=

−= ππ 2exp)()(2exp)()( **

( ) dffXdffXfXdffXdtjfttx ∫∫∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

==

−= 2** )()()()(2exp)( π

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CNAM ELE 103 D. Roviras 47SF et TF

Propriétés de la Transform ée de Fourier :

Décalage fréquentiel

x(t-to)Décalage temporel

Symétrie Hermitiennex(t) réelFonction réelle

X(-f)*x(t)*Conjugaison

a.X(f)+b.Y(f)a.x(t)+b.y(t)Linéarité

X(f)x(t)

FréquentielTemporelPropriété

pairefonction )( fX

( ) impairefonction )( fXPhase

)2exp()( ojftfX π−

)2exp()( tjftx oπ )( offX −

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CNAM ELE 103 D. Roviras 48SF et TF

Propriétés de la Transform ée de Fourier :

Modulation

x(t)*y(t)Convolution

x(t)y(t)Multiplication

x(-f)X(t)Symétrie

Dérivée

FréquentielTemporelPropriété

)()( * fYfX

( )njffX π2)(n

n

dt

xd

)2cos()( tftx oπ

)().( fYfX

)(2

1)(

2

1oo ffXffX ++−

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CNAM ELE 103 D. Roviras 49SF et TF

Propriétés de la Transform ée de Fourier :Démonstrations :Conjugaison : changement de variableFonction réelle : changement de variableDécalage temporel : changement de variableDécalage fréquentiel : changement de variableMultiplication et convolution

( ) ( ) ( )dtjfttytxtytxTF ∫+∞

∞−

−= π2exp)(*)()(*)(

( ) ( ) ( ) ( )dtjftdtyxdtjfttytx ∫ ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

−=−= πτττπ 2exp)()(2exp)(*)(

( ) ( ) ( )( ) ττττπττ dtyTFxddtjfttyx ∫∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

−=

−−= )()(2exp)()(

( )( ) )()()2exp()()()()( fYfXdjffYxdtyTFx =−=−= ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

ττπττττ

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CNAM ELE 103 D. Roviras 50SF et TF

Propriétés de la Transform ée de Fourier :Démonstrations :Conjugaison : changement de variableFonction réelle : changement de variableDécalage temporel : changement de variableDécalage fréquentiel : changement de variableMultiplication et convolution

( ) ( )dtjfttxtxTF ∫+∞

∞−

−−=− πττ 2exp)()( τ−= tuposons

( ) [ ]( )duujfuxtxTF ∫+∞

∞−

+−=− τπτ 2exp)()(

( ) )2exp(.2exp)( τππ jfdujfuux −−= ∫+∞

∞−

( ) )2exp(.)( τπjftxTF −=

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CNAM ELE 103 D. Roviras 51

Transform ée de Fourier usuelles (1/5)x(t)= Rectangle = )(tT∏ amplitude=1, largeur=T, centré sur 0

T.sinc(f.T)= T.[sin(π.f.T)/π.f.T]

x(t)= Triangle amplitude=1, largeur=2.T, centré sur 0

T.sinc2(f.T)

exp( . . . . )2 π j fo t δ ( )f fo−

cos( . . . )2 π fo t [ ]1

2. ( ) ( )δ δf fo f fo+ + −

1 δ ( )f

δ ( )t 1

)...2sin( tfoπ

[ ]jf fo f fo

2. ( ) ( )δ δ+ − −

SF et TF

)...2cos( 0ϕπ +tfo ).exp().(2

1).exp().(

2

100 ϕδϕδ jfofjfof −+−+

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CNAM ELE 103 D. Roviras 52

Transform ée de Fourier usuelles (2/5)

SF et TF

( )( )Bt

BtBtx

ππsin

)( =1hauteur de B/2et B/2- entre

Blargeur de Rectangle X(f)

+=

( )( )

2sin

)(

=Bt

BtBtx

ππ

1hauteur de Bet B- entre

2Blargeur de Triangle X(f)

+=

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CNAM ELE 103 D. Roviras 53

U(t) = Echelon unité 1

2

1

2. ( )

. . .δ πf

j f+

Signe(t) 1

j f. .π

exp(-a.t).U(t) (U(t) = Echelon unité de temps)

1

2a j f+ . . .π

exp(-a.|t|)

2

22 2

.

( . . )

a

a f+ π

exp( . )−π t 2

exp( . )−π f 2

exp( . ).cos( . . . ). ( )−a t fo t U t2 π a j f

a j f fo

++ +

. . .

( . . . ) ( . . )

2

2 22 2

ππ π

exp( . ).sin( . . . ). ( )−a t fo t U t2 π

2

2 22 2

. .

( . . . ) ( . . )

ππ π

fo

a j f fo+ +

Transform ée de Fourier usuelles (3/5)

SF et TF

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CNAM ELE 103 D. Roviras 54

( )1

b aa t b t U t

−− − −. exp( . ) exp( . ) . ( )

1

2 2( . . . ).( . . . )a j f b j f+ +π π

cos( . . . ). ( )2 π fo t tΠ ∆ [ ]∆∆ ∆

2. sin ( .( )) sin ( .( ))c f fo c f fo+ + −

∑+∞

−∞=nn t

T

njX )....2exp(. π X f

n

Tnn

. ( )δ −= −∞

+∞

Transform ée de Fourier usuelles (4/5)

SF et TF

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CNAM ELE 103 D. Roviras 55

2. . ( . )A t n T ATn

Π −

= −∞

+∞

Signal carré de largeur T/2, entre +A et -A et périodique de période T

X fn

T

A c n

A

nA

n

nn

. ( )

.sin ( / )

.

.

.

.

δ

π

π

=

=

= ± ±

= − ± ±

=−∞

+∞

avec X

avec

X pour n pair ou nul

X pour n = 1, 5,....

X pour n = 3, 7, ....

n

n

n

n

2

02

2

A t n Tn

. ( . )Π ∆ −= −∞

+∞

Signal carré de largeur ∆, entre 0 et +A et périodique de période T

X fn

T

A

Tc n T

nn

. ( )

..sin ( / )

δ −

=

=−∞

+∞

avec X

n

∆∆

∑+∞

−∞=

−n

Tnt ).(δ

∑+∞

−∞=

−n T

nf

T)(.

1 δ

Transform ée de Fourier usuelles (5/5)

SF et TF

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CNAM ELE 103 D. Roviras 56

Exemple de calcul de TF usuelles :)(tT∏

exp( . . . . )2 π j fo t

cos( . . . )2 π fo t

δ ( )t

)...2sin( tfoπ

Rectangle =

Limite du rectangle1

signal carré périodique et passage à la limite

Peigne de Dirac temporel

Calcul classique ou limite du rectangle

Décomposition en exponentielles

Décomposition en exponentielles

Calcul par TF-1 de δ(f-fo)

Convolution de deux rectanglesx(t)= Triangle d’amplitude=1, largeur=2.T, centré sur 0

Calcul classique

SF et TF

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CNAM ELE 103 D. Roviras 57SF et TF

TF de signaux born és temporellement

Si x(t) est un signal borné temporellement alors sa TF s’étend de moins l’infini àplus l’infini

t

x(t)

t

ΠT(t)

fT

fTTfXfXttxtx T π

π )sin(*)()()().()( =⇒∏=

La fonction sin(πfT)/πfT s’étendant de moins l’infini à plus l’infini, le support spectral de X(f) est donc infini

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CNAM ELE 103 D. Roviras 58SF et TF

Allure g énérale d ’un signal et de sa TFSi x(t) est très «pointu», sa TF sera très «étalée»

t

x(t)

f

X(f)

Si x(t) est très «étalé», sa TF sera très «pointue»

t

x(t)

f

X(f)

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CNAM ELE 103 D. Roviras 59SF et TF

TF de signaux p ériodiques

Soit x(t) un signal périodique de période Tx(t) est décomposable en série de Fourier

= ∑+∞

−∞=

tT

njXtx

nn π2exp)(

Une fonction périodique présente un spectre de raies espacées de 1/T

)()(T

nfXfX

nn −= ∑

+∞

−∞=

δ

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CNAM ELE 103 D. Roviras 60

SF et TF

Peigne de Dirac et échantillonnageObjectif de la numérisation d’un signal :Transformer un signal continu (défini quelque soit t et prenant une infinité de valeurs d’amplitude) en une suite de points prenant leurs valeurs dans un ensemble fini.

Signal x(t)

Bits àémettreNumérisation

Signal x(t)

Bits àémettre

Echantillonnage du signal : Fe échantillons par seconde

échantillonnage Fe Deux opérationsPour numériser

Quantificationsur n bits

Quantification : n bits par échantillon

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CNAM ELE 103 D. Roviras 61

Objectif :

Rappel du théorème d’échantillonnage

Démonstration

Notion de repliement de spectre

Signal x(t)

EchantillonnageFe

x(k.Te)

à partir de x(k.Te) pouvoir revenir au signal original x(t)

Fe > 2. fmax

Peigne de Dirac et échantillonnage

SF et TF

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CNAM ELE 103 D. Roviras 62

Signal x(t)

Echantillonnage Fe=1/Te

x(k.Te)

Peigne de Dirac et échantillonnage

Objectif : à partir de la suite de valeurs x(k.Te) pouvoir revenir au signal original x(t)

∑+∞

−∞=

−=n

e TektTekxtx ).().()( δ SLIT )(tx

Calcul du spectre de xe(t)

∑∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

+∞

−∞=

−=−=−=kkk

e TekttxTekttxTektTekxtx ).()().()().().()( δδδ

∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

−=

−=

kke Te

kf

TefXTektTFfXfX δδ 1

*)().(*)()(

∑+∞

−∞=

−=k

e Te

kfX

TefX

1)(

SF et TF

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CNAM ELE 103 D. Roviras 63

Peigne de Dirac et échantillonnage

( )∑+∞

−∞=

−=k

e FekfXTe

fX .1

)(

-B +B f

)( fX

Fe>2.B

-B +Bf

)( fXe

k=0

k=1k=-1

Fe-Fe

Fe<2.Bf

)( fXe

k=0

k=1k=-1

Fe-Fe

k=-2

-2Fe

k=2

2Fe

SF et TF

0

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CNAM ELE 103 D. Roviras 64

Peigne de Dirac et échantillonnage

Recouvrement (ou repliement) de spectre si Fe<2.B avec B= bande du signal

Reconstitution de x(t) par filtrage possible si pas de repliement de spectre c.a.d. si Fe>2.B

Pour échantillonner correctement un signal de bande B, il faut que la fréquence d’échantillonnage Fe soit telle que:

Fe>2.BPassage du signal échantillonné au signal temporel : voir TD

SF et TF

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CNAM ELE 103 D. Roviras 65

Plus Fe est grande plus le débit est grand (Db=Fe.n)

Choix de Fe ?

Notion de Qualité de Service (QoS)

Limitation de la bande du signal transmis

Exemples de Fe pour signaux de parole et de musique

Signal x(t)

EchantillonnageFe

x(k.Te)

Fe > 2. fmax

Peigne de Dirac et échantillonnage

SF et TF

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CNAM ELE 103 D. Roviras 66

Exemples de Fe pour signaux de parole et de musique

Signal x(t)

EchantillonnageFe

x(k.Te)

Fe > 2. fmax

Parole en téléphonie fixe classique fmax transmise = 3400 Hz Suffisant pour le service de téléphonie fixe Fe=8KHz, Te=125µs Bande du signal de parole : [300 Hz, 3400 Hz]

Musique sur CD audio fmax transmise = 20000 Hz Meilleure qualité de restitution du son Fe=44.1 KHz

Peigne de Dirac et échantillonnage

SF et TF

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CNAM ELE 103 D. Roviras 67

Plus n est grand plus le débit sortant est grand (Db=Fe.n)

Choix de n ?

Lié au bruit de quantification

n petit Db faible et bruit de quantification grand

n grand Db grand et bruit de quantification faible

Notion de QoS

Quantificationx(k.Te) n bits paréchantillon

Peigne de Dirac et échantillonnage

SF et TF

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CNAM ELE 103 D. Roviras 68

Quantificationx(k.Te) n bits paréchantillon

Pas dequantification∆

N =2n plages de quantification

n bits par échantillon

Peigne de Dirac et échantillonnage

SF et TF

Puissance du bruit de quantification =∆∆∆∆2/12 (voir TD n°6)

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CNAM ELE 103 D. Roviras 69

Exemples de quantification pour signaux de parole et de musique

Parole en téléphonie fixe classique 8 bits par échantillon Db=64 Kbps (Kilo bits par seconde) SNR de quantification de l’ordre de 35dB

Musique sur CD audio 16 bits par échantillon Db=705 Kbps

Quantificationx(k.Te) n bits paréchantillon

Peigne de Dirac et échantillonnage

SF et TF

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CNAM ELE 103 D. Roviras 70

Signal x(t)

Bits àémettre

EchantillonnageFe

Quantification

Db = Fe . n

Signal x(t)

DbBits àémettre

EchantillonnageFe

CANFiltreAnti

repliementn Bits paréchantillon

Peigne de Dirac et échantillonnage

SF et TF

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CNAM ELE 103 D. Roviras 71

Signaux à énergie finie1. Notion de corrélation

2. Densité spectrale d’énergie

SEF

Objectifs : • Dualité corrélation/spectre• Introduction de la notion de corrélation

Signal à énergie finie :

• Signaux bornés temporellement• Signaux de carré intégrable

finieValeur )(2 == ∫

+∞

∞−

dttxEnergie

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CNAM ELE 103 D. Roviras 72SEF

Dualité corrélation/spectre :

• Si un signal varie lentement : ce signal est «pauvre» en hautes fréquences• Si un signal varie lentement : le signal va ressembler à une version décalée de lui-même :

x(t) ressemblera à x(t+t)

• La vitesse de variation, c’est-à-dire la richesse fréquentielle est donc liée à la notion de ressemblance

• Comment mesurer la ressemblance d’un signal avec une version décalée de lui-même ?

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Signal x1(t)

Signal x2(t)

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CNAM ELE 103 D. Roviras 73

SEF

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-4

-2

0

2

4

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-4

-2

0

2

4

630 632 634 636 638 640 642 644 646 648 650

-2

0

2

632 634 636 638 640 642 644 646 648

-2

0

2

4

x1(n) et x1(n-10)

x2(n) et x2(n-10)

)()( : )et x(t x(t)entre ceressemblan de Mesure dttxtx∫+∞

∞−

++ ττ

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CNAM ELE 103 D. Roviras 74

SEF

t

x1(t)

t

x2(t)

Ressemblance entre x(t) et x(t+ττττ)Fonction de corrélation

τ

K x1(ττττ)

τ

K x2(ττττ)

Transformée de Fourier : Densité

Spectrale d’énergie

f

Sx1(f)

f

Sx2(f)

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CNAM ELE 103 D. Roviras 75

SEF

Intercorrélation

Autocorrélation

Définition de la fonction de corrélation pour les signaux à énergie finie

) dtτ)(t)x(tx (τK *xx ∫

+∞

∞−

+=

) dtτ)(t)y(tx (τK *xy ∫

+∞

∞−

+=

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CNAM ELE 103 D. Roviras 76

SEF

Propriétés de la fonction de corrélation

Si x(t) et y(t) sont réels, Kxx(τ) est réelle

Si x(t) est réel, Kxx(τ) est une fonction réelle et paire

Inégalité de Schwartz

Symétrie Hermitienne

IntercorrélationAutocorrélation

)() *τK(τK yxxy −=)() *

τK(τK xxxx −=

x(t)de Energie 02

== ∫+∞

∞−

dtx(t))(K xx

)0(K)(K xxxx ≤τ )0)02

(K(K)(K yyxxxy ≤τ

)(*)() * τxτx(τK xx −= )(*)() * τyτx(τK xy −=

( ) ))) ''

' (τK(τK(τKxxxxxx =−= ( ) ))) ''

' (τK(τK(τKxyyxxy =−=

Rappel de l’inégalitéde Schwartz: ∫∫∫

+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

≤ duuBduuAduuBuA22

2

* )(.)()().( )(.)( : si égalité avec * uBkuA =

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CNAM ELE 103 D. Roviras 77

SEF

Définition de la densité spectrale d’énergie

Pourquoi densité spectrale d’énergie ? :

(Parceval) )(finieValeur )(22dffXdttxEnergie ∫∫

+∞

∞−

+∞

∞−

===

[ ] [ ] [ ])(*)()(.)()()()( ***2txtxTFtxTFtxTFfXfXfX −=−==

[ ] [ ])()(*)()( *2tKTFtxtxTFfX xx=−=

[ ])( Energied' Spectrale Densité )()(2

tKTFfXfS xxxx ===

∫+∞

∞−

−== dtjfttKfSfS xxxxx )2exp()()()( π

∫∫+

+

+=2

1

2

1

)()(f2et f1 entre Energief

f

xx

f

f

xx dffSdffS

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CNAM ELE 103 D. Roviras 78

SEF

Propriétés de la Densité Spectrale d’Energie

Si x(t) est un signal réel alors Sx(f) est réelle et paire

Sx(f) est insensible aux décalages temporels de x(t)

[ ] ∫+∞

∞−

− +== dfjffSfSTFK xxxx )2exp()()()( 1 τπτ

∫+∞

∞−

= dffSK xxx )()0(

négativenon réellefonction ,0)( ≥fSx

Unités:Si x(t) est en Volts, Kxx(t) est en V2s et Sx(f) en V2s/Hz soit en V2s2

Si x(t) est en Unité-arbitraire, Kxx(t) est en (Unité-arbitraire)2s et Sx(f) en (Unité-arbitraire)2s2

[ ])( Energied' Spectrale Densité )()(2

tKTFfXfS xxxx ===

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CNAM ELE 103 D. Roviras 79

SEF

Exemple de calcul de fonction d’autocorrélation et de DSE

x(t)=exp(-at) pour t>0 et 0 ailleurs

0pour ))(exp(exp )0

>+−−=+= ∫∫+∞+∞

∞−

τdtτtaat)(dtτ)(t)x(tx (τK *xx

∫∫+∞+∞

−−=+−−=00

)exp(2exp))(exp(exp) dtaτat)(dtτtaat)( (τK xx

a

aτaτ

a

at(dtaτat)( (τK xx 2

)exp()exp(

2

)2exp)exp(2exp)

00

−=−

−−=−−=

+∞+∞

0 si 2

)exp() <+= τ

a

aτ(τK xx

2

)exp()

a

τa(τK xx

−=

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CNAM ELE 103 D. Roviras 80

SEF

Exemple de calcul de fonction d’autocorrélation et de DSE

x(t)=exp(-at) pour t>0 et 0 ailleurs

2

)exp()

a

τa(τK xx

−= )djfexp(-2

2

)exp() ττπ∫

+∞

∞−

−=

a

τa(fSx

ττπττπ d)jf2-exp(2a

1 )djfexp(-2

2

)exp(∫∫

+∞

∞−

+∞

∞−

−=−

= τaa

τa

−+−=−= ∫∫∫

+∞

∞−

+∞

∞−

ττπττπττπ d)jf2-exp(d)jf2-exp(2a

1d)jf2-exp(

2a

1

0

0

τaτaτa

[ ] [ ] [ ][ ]

[ ][ ] =

−−+

=

−+=

+∞

∞−

∞+

∞−∫∫

0

0

0

0

jf2-

)jf2-exp(

jf2-

)jf2-exp(

2a

1d)jf2-exp(d)jf2-exp(

2a

1

πτπ

πτπττπττπ

a

a

a

aaa

[ ] [ ] ( )[ ]

+=

−−+= 22 f2

2

2a

1

jf2-

1

jf2-

1

2a

1

πππ a

a

aa

( )22 f2

1)(

π+=

afSx

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CNAM ELE 103 D. Roviras 81

SEF

Exemple de calcul de fonction d’autocorrélation et de DSE

t

x(t)

0

τ

Kxx(τ)

0

1

1/2a

f

Sx(f)

0

1/a2

Vérifier les propriétés de Kxx(τ) et Sx(f)

1/a

1/(2a2)

a/(2.π)

Faire varier a,Conséquences ?

1/a

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CNAM ELE 103 D. Roviras 82

Signaux à puissance finie1. Corrélation2. Densité Spectrale de Puissance3. Cas des signaux périodiques

SPF

Signal à puissance finie :

• Signaux physiquement réalisables• Signaux périodiques

finieValeur )(1

lim2/

2/

2 == ∫+

−+∞→

dttxT

PuissanceT

TT

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CNAM ELE 103 D. Roviras 83

SPF

Intercorrélation

Autocorrélation

Définition de la fonction de corrélation

1

lim)2/

2/

dtτ)(t)x(txT

(τKT

T

*

Txx ∫

+

−+∞→

+=

1

lim)2/

2/

dtτ)(t)y(txT

(τKT

T

*

Txy ∫

+

−+∞→

+=

Unités:Si x(t) est en Volts, Kxx(t) est en V2

Si x(t) est en Unité-arbitraire, Kxx(t) est en (Unité-arbitraire)2

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CNAM ELE 103 D. Roviras 84

SPF

Propriétés de la fonction de corrélation

Si x(t) et y(t) sont réels, Kxy(τ) est réelle

Si x(t) est réel, Kxx(τ) est réelle et paire

Inégalité de Schwartz

Symétrie Hermitienne

IntercorrélationAutocorrélation

)() *τK(τK yxxy −=)() *

τK(τK xxxx −=

x(t)de Puissance 1

lim022/

2/

== ∫+

−+∞→

dtx(t)T

)(KT

TT

xx

)0(K)(K xxxx ≤τ )0)02

(K(K)(K yyxxxy ≤τ

( ) ))) ''

' (τK(τK(τKxxxxxx =−= ( ) ))) ''

' (τK(τK(τKxyyxxy =−=

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CNAM ELE 103 D. Roviras 85

SPF

Densité Spectrale de Puissance

La fonction de corrélation mesure la ressemblance de deux signaux et donc leur richesse temporelle. Par analogie avec le cas des signaux à énergie finie on définira la Densité Spectrale de Puissance comme :

[ ] ∫+∞

∞−

−== dtjfttKtKTFfS xxxxx )2exp()()()( π

∫+∞

∞−

== dffSK xxx )( x(t)de Puissance)0(

∫∫+

+

+=2

1

2

1

)()(f2et f1 entre Puissancef

f

xx

f

f

xx dffSdffS

Unités:Si x(t) est en Volts, Sx(f) est en V2/HzSi x(t) est en Unité-arbitraire, Sx(f) est en (Unité-arbitraire)2/Hz

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CNAM ELE 103 D. Roviras 86

SPF

Propriétés de la Densité Spectrale de Puissance

Sx(f) est insensible aux décalages temporels de x(t)

Si x(t) est un signal réel alors Sx(f) est réelle et paire

[ ] ∫+∞

∞−

− +== dfjffSfSTFK xxxx )2exp()()()( 1 τπτ

∫+∞

∞−

= dffSK xxx )()0(

négativenon réellefonction ,0)( ≥fSx

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CNAM ELE 103 D. Roviras 87

SPF

Exemple de calcul de fonction d’autocorrélation et de DSP

x(t)=A.cos(2πfot+φ)

oo

2/

2/

2/

2/

1/fT avec 11

lim) =+=+= ∫∫+

+

−+∞→

dtτ)(t)x(txT

dtτ)(t)x(txT

(τKo

o

T

T

*

o

T

T

*

Txx

))(2cos()2cos()2/

2/

2

dttftfT

A(τK

o

o

T

T

ooo

xx ∫+

+++= φτπφπ

)cos(2

1)cos(

2

1)cos()cos( : Rappel bababa −++=

)2cos()24cos(2

)2/

2/

2

dtftfT

A(τK

o

o

T

T

ooo

xx ∫+

++= τπφπ

)2cos(2

)2cos(2

)24cos(2

)22/

2/

22/

2/

2

τπτπφπ o

T

T

oo

T

T

oo

xx fA

dtfT

Adttf

T

A(τK

o

o

o

o

=++= ∫∫+

+

)2cos(2

)2

τπ oxx fA

(τK = Vérifier les propriétés de la fonction d’autocorrélation de signaux à puissance finie

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CNAM ELE 103 D. Roviras 88

SPF

Exemple de calcul de fonction d’autocorrélation et de DSP

)2cos(2

)2

τπ oxx fA

(τK =

Vérifier les propriétés de la DSP de signaux à puissance finie

)(4

)(4

)2cos(2

)222

ooox ffA

ffA

fA

TF(fS −++=

= δδτπ

quelconque phase deet A amplituded' cosinusun d' Puissance : 2

)02A

(K xx =

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CNAM ELE 103 D. Roviras 89SPF

x(t)=A.exp(2πjfot)

))(2exp()2exp(1

)2/

2/

22/

2/

dttjftjfT

Adtτ)(t)x(tx

T(τK

o

o

o

o

T

T

ooo

T

T

*

oxx ∫∫

+

+

+−=+= τππ

Autre exemple de calcul de fonction d’autocorrélation et de DSP

)2exp( )2exp()2

2/

2/

2

τπτπ o

T

T

oo

xx jfAdtjfT

A(τK

o

o

== ∫+

)2exp()2 τπ oxx jfA(τK = )()

2

ox ffA(fS −= δ

Application aux signaux périodiques

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CNAM ELE 103 D. Roviras 90SPF

Fonction d’autocorrélation et DSP de signaux périodiques

période T avec 2exp)( =

= ∑+∞

−∞=

tT

njXtx

nn π

= ∑+∞

−∞=

τπτT

njXK

nnxx 2exp)(

2

−= ∑+∞

−∞= T

nfXfS

nnx δ2

)(

Vérifier qu’en intégrant Sx(f) on retrouve Parseval, ou bien que la fonction d’autocorrélationen zéro est bien la puissance

La fonction d’autocorrélation d’un signal périodique est périodique de même période

La densité spectrale de puissance d’un signal périodique est un spectre de raies espacées de k/T

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CNAM ELE 103 D. Roviras 91SPF

Exemple de fonction d’autocorrélation et DSP de signaux périodiques

∑+∞

−∞=

−==n

T Tnttxtx ).(*)(T période de périodique Signal )( δ

dtτ)(t)x(txT

dtτ)(t)x(txT

dtτ)(t)x(txT

K *T

T

T

*T

T

T

*xx ∫∫∫

+∞

∞−

+

+

+=+=+= 111 )(

2/

2/

2/

2/

τ

)()()( avec ttxtx TT Π=

-tu avec 11

)( =−−=+= ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

duu)u)x(τ(xT

dtτ)(t)x(txT

K *T

*Txx τ

[ ] )()(*)(*1

)()(*1

)( τδττ =

−−==−= ∑

+∞=

−∞=

ukTuuxu)(xT

uuxu)(xT

Kk

kT

*T

*Txx

)()(*)(1

)()(*)(*1

)( τδτδτ =

−==

−−= ∑∑+∞=

−∞=

+∞=

−∞=

ukTuuKT

ukTuuxu)(xT

Kk

kx

k

kT

*Txx T

∑+∞=

−∞=

−=k

kxxx kTK

TK

T)(*)(

1)( τδττ ∑

+∞=

−∞=

−=k

kxx T

kffS

TfS

T)().(

1)(

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CNAM ELE 103 D. Roviras 92SPF

Exemple de fonction d’autocorrélation et DSP de signaux périodiques

∑+∞=

−∞=

−=k

kxxx kTK

TK

T)(*)(

1)( τδττ ∑

+∞=

−∞=

−=k

kxx T

kffS

TfS

T)().(

1)(

0 T t

xT(t)

0 T t

x(t)

0 T ττττ

KxT(ττττ)

0 T ττττ

Kx(ττττ)

-T

-T

0 f

SxT(f)

0 f

Sx(f)

1/T-1/T-T

TF

TF

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CNAM ELE 103 D. Roviras 93

Introduction aux probabilités

1. Propriétés générales2. Variables Aléatoires (VA) discrètes et continues 3. Moments d’une variable aléatoire4. VA multi dimensionnelles5. Changement de variable6. Théorème de la limite centrale

Probabilités

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CNAM ELE 103 D. Roviras 94

Propriétés générales

Probabilités

Notion de probabilité:Tirage d’un dé à six faces :

tiragesde totalNombre

4 avec tiragesNombrelimProba(4)

tiragesde nombre ∞→=

Probabilité : Ensemble des résultats de l’expérience aléatoire : ΣΣΣΣΩ Ω Ω Ω = partition de l’ensemble ΣΣΣΣProbabilité : Application deΩ Ω Ω Ω vers l’ensemble [0,1][0,1][0,1][0,1]

Tirage d’un dé à six faces :

ΣΣΣΣ=1,2,3,4,5,6 ΩΩΩΩ [0,1]Calculer P(1), P(2), P(3), P(4), P(5), P(6)Calculer P(1,2,3) = P(tirage = 1 ou 2 ou 3)

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CNAM ELE 103 D. Roviras 95

Propriétés générales

Probabilités

Propriétés:

( ) ( ) 0 videEnsemble 1 ==Σ PP

( ) )(1 APAP −=( ) 10 ≤≤ AP

( ) )()()()( BAPBPAPAouBPBAP IU −+==

Exemple : Tirage d’un dé à six faces

Calculer Proba(tirage = 1 ou2 ou 2 ou 3 ou5 = Proba(1,2 U 2,3,5)Calculer Proba(tirage = nombre pair)Calculer Proba(tirage = nombre entier)Calculer Proba(tirage = nombre premier)Calculer Proba(tirage >3)Calculer Proba(tirage<10)

1)( : aon ,....,, : Avec1

21 ==∑ ∑=

N

iiN aPaaa

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CNAM ELE 103 D. Roviras 96

Propriétés générales : probabilités conditionnelles

Probabilités

( ) )()/(/ APABPP(B)BAPB)P(A ==I

Σ, Σ, Σ, Σ, P(Σ)=1(Σ)=1(Σ)=1(Σ)=1

A, P(A)

B, P(B)

BAI

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CNAM ELE 103 D. Roviras 97

Propriétés générales : probabilités conditionnelles

ΣΣΣΣ

AB)(

)()

)(

)()

Σ=

Σ=

SurfaceBSurface

P(B

SurfaceASurface

P(A BA∩

A vérifiéB

)(

)(.

)(

)(

)(

)()

)(

)()/

Σ∩=

Σ∩=∩

∩=

SurfaceASurface

ASurfaceBASurface

SurfaceBASurface

BP(A

ASurfaceBASurface

AP(B

)(/)/) APAP(BBP(A =∩

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CNAM ELE 103 D. Roviras 98

Propriétés générales : formule des probabilités tot ales

Probabilités et évènements disjoints et complets:

Plus généralement, si les évènements Ai sont disjoints et complets :

( ) B)AP(BAPP(B) II +=

Probabilités

A

AB

B A I BA I

( ) )(/)(/ A)PAP(BAPABPP(B) +=

U

I

N

i

Ai

jisivideAjAi

1

=

Σ=

≠=( )∑

=

=N

i

AiPAiBPP(B)1

)(/

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CNAM ELE 103 D. Roviras 99

Propriétés générales : R ègle de Bayes

Probabilités conditionnelles:

Exemple : Transmission de 0 et de 1 à travers un canal de transmissionEmission : P(0)=0.9 P(1)=0.1

Canal binaire symétriquep = Probabilité de ne pas faire une erreur1-p = Probabilité d’erreur = 0.1

Calculer P(0 reçu/1 émis)= P(détecter 0/1émis)Calculer P(1 reçu/ 1 émis)Calculer P(0 émis/ 1 reçu)Calculer P(1 émis/ 1 reçu)

Calculer P(0 émis/ 0 reçu) et P(1 émis/ 0 reçu)

( ) P(A/B)P(B)P(A)B/APA)P(B ==I

Probabilités conditionnellesrègle de Bayes :

0

1

0

1

p

p1-p

Probabilités

( ) )(

)()/(/

BP

APABPBAP =

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CNAM ELE 103 D. Roviras 100

Propriétés générales : formule de Bayes

Autre exemple : sondage avec 3 tranches d’âge : Les tranches d’âge:TR1 âge <30 ans, proba(TR1)=30%TR2 30 ans<âge <50 ans, proba(TR2)=50%TR3 50 ans <âge, proba(TR3)=20%

Le sondage : choix d’un CD parmi 3

Calculer Proba(choisir CD1/tranche âge = TR1)=P(CD1/TR1)Calculer P(CD3/TR2)Calculer P(être dans la tranche TR2/ CD1 choisi) = P(TR2/CD1)Calculer P(être dans la tranche TR2/ CD2 choisi) = P(TR2/CD2)Calculer P(être dans la tranche TR2/ CD3 choisi) = P(TR2/CD3)Calculer P(être dans la tranche TR1/ CD3 choisi) = P(TR1/CD3)

Probabilités

70205CD3

205015CD2

103080CD1

TR3TR2TR1

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CNAM ELE 103 D. Roviras 101

Propriétés générales : formule de Bayes

Probabilités

(30%) TR1

(50%) TR2

(20%) TR3

CD1

CD2

CD3

0.8

0.5

0.15

0.05

0.3

0.20.1

0.7

0.2

P(CD1/TR1) = 0.8 (donné par l’énoncé)P(CD3/TR2) = 0.2 (donné par l ’énoncé)

( )

( ) 0.365941.0

5.0 . 3.0 1/2

41.02.0.1.05.0.3.03.0.8.0)()/1(P(CD1)

)1(

5.0 . 3.0

)1(

)2()2/1(1/2

3

1 totales)tés(Probabili

)(

==

=++==

==

∑=

CDTRP

TRiPTRiCDP

CDPCDP

TRPTRCDPCDTRP

i

Bayes

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CNAM ELE 103 D. Roviras 102

Propriétés générales : formule de Bayes

Probabilités

( )

( ) 0.7463335.0

5.0 . 5.0 2/2

335.02.0.2.05.0.5.03.0.15.0)()/2(P(CD2)

)2(

5.0 . 5.0

)2(

)2()2/2(2/2

3

1 totales)tés(Probabili

)(

==

=++==

==

∑=

CDTRP

TRiPTRiCDP

CDPCDP

TRPTRCDPCDTRP

i

Bayes

( )

( ) 0.3922255.0

5.0 . 2.0 3/2

255.02.0.7.05.0.2.03.0.05.0)()/3(P(CD3)

)3(

5.0 . 2.0

)3(

)2()2/3(3/2

3

1 totales)tés(Probabili

)(

==

=++==

==

∑=

CDTRP

TRiPTRiCDP

CDPCDP

TRPTRCDPCDTRP

i

Bayes

5.0255.0.3922.0335.0.7463.041.0.3659.0)()/2(P(TR2)

: queier peut vérifOn 3

1 totales)tés(Probabili

=++== ∑=i

CDiPCDiTRP

( ) 0.0588 255.0

3.0 . 05.0

)3(

)1()1/3(3/1

)(===

CDP

TRPTRCDPCDTRP

Bayes

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CNAM ELE 103 D. Roviras 103

Variables aléatoires discrètes et continues

Probabilités

Variable aléatoire :Résultat d’une expérience aléatoire.

Une variable aléatoire sera notée dans le cours par une majuscule.

• Une VA est dite discrète si elle prend un nombre fini de valeursPar exemple suite des valeurs de la face d’un tirage de dé

• Une VA est dite continue si elle prend un nombre infini de valeursPar exemple, une tension continue perturbée par un bruit

Si Vo=1V on aura la suite de valeurs qui sera: …., 1.002, 0.958, 1.41, 0.9954, ….

Vo+

n(t)

x(t) Suite de valeursVA : X

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CNAM ELE 103 D. Roviras 104

Variables aléatoires discrètes et continues

Probabilités

Caractérisation des VA :

• VA discrète : Probabilité des différentes valeurs prises par la VA

• VA continue : Proba(X=1.025083947)=0La notion de probabilité d’apparition d’une valeur n’a pas de sens…

On introduit la notion de fonction de répartition et de densité de probabilité

Fonction de répartition de la VA X :

• C’est une fonction notée FX(u)

• FX(u) est non décroissante et comprise entre 0 et 1

)()( ooX uXPuF <=

0=∞− )(FX1=∞+ )(FX

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CNAM ELE 103 D. Roviras 105

Variables aléatoires discrètes et continues

Probabilités

Exemple de fonction de répartition de la VA X :

X est définie par la suite de valeurs d’un tirage de dé à six faces

Tracer la fonction de répartition de la VA X

Exemple de fonction de répartition de la VA X :

X est définie par la suite de valeurs de l’expérience suivante:• Tirage 1er dé : v1• Tirage 2èmedé : v2• Valeurs de X : v1+v2

Tracer la fonction de répartition de la VA X

Sur les deux exemples précédents, vérifier les propriétés de la fonction de répartitionProgramme Matlab : ELE103_VA_1_et_2dim.m

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CNAM ELE 103 D. Roviras 106

Variables aléatoires discrètes et continues

Probabilités

Répartition des familles selon le nombre d'enfants

Pas d’enfant 1 enfant 2 enfants 3 enfants

4 enfants ou plus

Un homme - actif

occupé 18 262 104 367 45 888 13 878 4 278 186 673 - autre 58 693 32 621 9 414 3 273 2 024 106 025Une femme

- activeoccupée 81 176 499 239 259 611 70 433 17 578 928 037 - autre 332 807 223 046 118 586 56 359 33 066 763 864

Deux actifsoccupés 1 911 611 1 754 773 1 856 785 569 551 114 582 6 207 302Un seul actifoccupé - l’homme 803 818 617 879 737 205 437 348 204 825 2 801 075 - la femme 577 933 187 951 114 714 43 240 17 790 941 628Pas d’actifsoccupés 3 708 032 195 983 113 056 73 897 71 210 4 162 178Total 7 492 332 3 615 859 3 255 259 1 267 979 465 353 16 096 782

champ : France métropolitainesource : Insee, recensement 1999.

Un homme et une femme

Nombre d’enfants

TotalUn seul adulte

Tracer la fonction de répartition de la VA X qui est le nombre d’enfants d’un couple d’actifs tous deux occupés

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CNAM ELE 103 D. Roviras 107

Variables aléatoires discrètes et continues

Probabilités

Propriétés de la Fonction de répartition d’une VA :

• FX(u) est non décroissante et comprise entre 0 et 1

)()( ooX uXPuF <=

0=∞− )(FX 1=∞+ )(FX

( ) )()( 0110 xFxFxXxP XX −=<≤

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CNAM ELE 103 D. Roviras 108

Variables aléatoires discrètes et continues

Probabilités

FX(u)1

u

X : VA continue

x1 x2 x5x3 x4

FX(u)1

u

X : VA discrète

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CNAM ELE 103 D. Roviras 109

Variables aléatoires discrètes et continues

Probabilités

Notion de densité de probabilité :

dxx

xFuXPuF

ou

XooX ∫

∞−

=<=δ

δ )()()(

[ ] )()()()( oXXoXo

X uFFuFu

xF =−∞−=∞−

=

La dérivée de la fonction de répartition s’appelle la densité de probabilité :

δx

(x)δF(x)p X

X =

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Variables aléatoires discrètes et continues

Probabilités

Propriétés de la densité de probabilité :

• pX(x) est une fonction positive ou nulle

δx

(x)δF(x)p X

X =

∫+∞

∞−

=1(x)dxpX

)()( oX

u

Xo uF(x)dxpuXPo

==< ∫∞−

( ) )()( 0110

1

0

xFxF(x)dxpxXxP XX

x

x

X −==<≤ ∫

pX(u)

u

X : VA continue

pX(u)

u

X : VA discrète

x1 x2 x3

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Variables aléatoires discrètes et continues

Probabilités

Exemple de densité de probabilité de VA :X est uniformément répartie entre -1 et +1. Cela veut dire que la probabilité est identique quelque soit x sur -1/+1Calculer la densité de probabilité de cette VA continue• Tracer la densité de probabilité• Vérifier les propriétés de la densité de probabilité• Calculer et tracer la fonction de répartition de la VA X• Calculer P(0<X<0.5)• Calculer P(X=0.5)

Exemple de densité de probabilité de VA :X est uniformément répartie entre -1 et +1Y est uniformément répartie entre -1 et +1Z=X+Y• Calculer et tracer la fonction de répartition de la VA Z• Calculer la densité de probabilité de la VA continue Z• Tracer la densité de probabilité• Vérifier les propriétés de la densité de probabilité

Programme Matlab : ELE103_VA_1_et_2dim.m

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CNAM ELE 103 D. Roviras 112

Exemple de VA continue

Probabilités

Loi Normale ou Gaussienne :

La loi normale est caractérisée par une densité de probabilité symétrique en forme de « cloche » :

pX(u)

uuo

−−=2

2

2

)(exp

2

1

σσπo

X

uu(u)p

uo=moyenneσσσσ = écart typeσσσσ2 = variance

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CNAM ELE 103 D. Roviras 113

Variables aléatoires discrètes et continues

Probabilités

-5 0 5 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4Signal 1 (b), Signal 2 (r)

Signal 1

Signal 2

Signal 1 : Gaussienne de moyenne 0 et d’écart type sigma = 1

Signal 2 : Gaussienne de moyenne 1 et d’écart type sigma = 2

Densité de probabilité de deux fonctions Gaussiennes

Loi Normale ou Gaussienne Programme Matlab : ELE103_TP_TS_Gauss

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CNAM ELE 103 D. Roviras 114

Variables aléatoires discrètes et continues

Probabilités

Signal 1 : Gaussienne de moyenne 0 et d’écart type sigma = 1

Signal 2 : Gaussienne de moyenne 10 et d’écart type sigma = 2

Tracé temporel des deux signaux suivant une loi Gaussienne

Loi Normale ou Gaussienne Programme Matlab : ELE103_TP_TS_Gauss

0 500 1000 1500 2000 2500-5

0

5

10

15

20Tracé temporel Signal 1 (b), Signal 2 (r)

Signal 2

Signal 1

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CNAM ELE 103 D. Roviras 115

Variables aléatoires discrètes et continues

Probabilités

( )du

uuduupSXP o

SS X

−−==> ∫∫∞+∞+

2

2

2exp

2

1)()(

σσπ

σσπ

σ

σ.

2exp

2

1)(

: variablede Changement

2

dvv

SXP

uuv

ouS

o

−=>

−=

∫∞+−

−=

−=> ∫∞+

− σπσ

ouS

uSQdv

vSXP

o 2exp

2

1)(

2

Pas de primitive:Table

Loi Normale ou Gaussienne

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CNAM ELE 103 D. Roviras 116

Variables aléatoires discrètes et continues

Probabilités

Loi Normale réduite

p z z

Q z p u duz

( ).

exp

( ) ( ).

= − ⋅

=+∞

1

2

1

22

π

0 2 4 6 7 z

Q(z)

2.27 e-2

3.17 e-5

1.28 e-12

9.87 e-10

Loi Normale ou Gaussienne

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CNAM ELE 103 D. Roviras 117

Variables aléatoires discrètes et continues

Probabilités

Loi Normale réduite ∫+∞

⋅−=z

duuzQ .2

1exp

.2

1)( 2

π

u0 z

Q(z) (voir table de la fonction Q(z))z>0

u0z

Q(z) (non tabulée)z<0

)(1.2

1exp

.2

11

.2

1exp

.2

11.

2

1exp

.2

1)(

2

22

zQduu

duuduuzQ

z

z

z

−−=

⋅−−=

=

⋅−−=

⋅−=

∫∫∞+

∞−

+∞

π

ππ

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CNAM ELE 103 D. Roviras 118

Variables aléatoires discrètes et continues

Probabilités

Relations entre Q(z) et erfc(z)

duuzQz

.2

1exp.

.2

1)( 2

∫+∞

⋅−=π

( )dvvzerfcz

.exp.2

)( 2∫

+∞

−=π

=2

.2

1)(

zerfczQ

Loi Normale ou Gaussienne

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CNAM ELE 103 D. Roviras 119

Variables aléatoires discrètes et continues

Probabilités

Histogramme et estimation de la densité de probabilité :

Soit une suite finie de points issus de la réalisation d’une VA X

• Xmin=valeur minimale de la suite de valeurs• Xmax=valeur maximale de la suite de valeurs

• On partage le segment [Xmin, Xmax] en C classes équidistantes• On compte le nombre de valeurs dans chaque classe• On a une estimation de la densité de probabilité

,....,, 21 NxxxSuite=

∆≈<≤≈= ++ ).()(

valeursde totalNombre

Vet V entre Valeurs

points de totalNombre

classe la dans points de Nombre1

1iiXii

i VpVXVP

Avec ∆ = largeur d’une classe = (Xmax-Xmin)/C

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Variables aléatoires discrètes et continues

Probabilités

Histogramme et estimation de la densité de probabilité :

1 2 3 4 5 ………………………………………. NXmin

Xmax

C2

C3

C1

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CNAM ELE 103 D. Roviras 121

Variables aléatoires discrètes et continues

Probabilités

Exemple : histogramme d’une VA Gaussienne :

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500Histogramme d'une Gaussienne avec 1000 points et 5 classes

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

5

10

15

20

25

30

35Histogramme d'une Gaussienne avec 1000 points et 100 classes

Trop peu de points pour l’estimation de la densité de probabilité

Programme Matlab : ELE103_Illustration_Histogramme.m

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CNAM ELE 103 D. Roviras 122

Variables aléatoires discrètes et continues

Probabilités

Exemple : histogramme d’une VA Gaussienne :

Trop peu de classes pour l’estimation de la densité de probabilité

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

6

7x 10

4Histogramme d'une Gaussienne avec 100000 points et 5 classes

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000Histogramme d'une Gaussienne avec 100000 points et 100 classes

Estimation correcte de la densité de probabilité

Programme Matlab : ELE103_Illustration_Histogramme.m

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CNAM ELE 103 D. Roviras 123

Moments d’une variable aléatoire

Probabilités

Moyenne d’une variable aléatoire discrète :

Petit Jeu :Pendant 50% du temps je gagne 1€Pendant 50% du temps je gagne -1.5€ (en fait c’est une perte de 1.5€)Combien vais-je gagner en moyenne ?

Solution du petit Jeu :Combien vais-je gagner en moyenne : 0.5 x 1€ + 0.5 x (-1.5€) = -0.25€

)( associées ésprobabilit les avec ,....,,: 21 iN xPxxxXVA

∑=

====N

iiiX xPxµXEXdeEspéranceXdeMoyenne

1

)()(

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CNAM ELE 103 D. Roviras 124

Moments d’une variable aléatoire

Probabilités

Moyenne d’une variable aléatoire continue :

Soit X une VA continue caractérisée par sa densité de probabilité pX(u)

Cette expression est aussi applicable aux VA discrètes

L’espérance d’une VA est encore appelé moment d’ordre 1 de la VA

∫+∞

∞−

=== duupuµXEXdeMoyenne XX )(.)(

∫+∞

∞−

== duupuXEkordredMoment Xkk )(.)( '

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CNAM ELE 103 D. Roviras 125

Moments d’une variable aléatoire

Probabilités

Moments d’une fonction de VA :

Petit Jeu :Pendant 50% du temps je gagne 1€ et je les place avec un bonus de 10%Pendant 50% du temps je gagne 0.1€ et je les place avec un bonus de 10%Combien vais-je gagner en moyenne après placement?

1€ avec un bonus de 10% = bonus(1€) = 1.1€0.1€ avec un bonus de 10% = bonus(0.1€) = 0.11€Je gagne en moyenne après placement : 0.5 x 1.1€ + 0.5 x 0.11€

Soit X une VA continue caractérisée par sa densité de probabilité pX(u)Soit Y=f(X) une nouvelle VA

( ) ∫+∞

∞−

== duupufXfEYE X )().()( )(

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CNAM ELE 103 D. Roviras 126

Moments d’une variable aléatoire

Probabilités

Moments d’une fonction de VA :

Petit Jeu :Dans 50% des recherches je trouve 1000g d’or qui me sont payés à 1€/gramme Dans 50% des recherches je trouve 100g d’or qui me sont payés à 1€/grammeCombien vais-je gagner en moyenne pour chaque recherche ?

1000g à 1€/g = 1000€100g à 1€/g = 100€Je gagne en moyenne pour chaque recherche : 0.5 x 1000€ + 0.5 x 100€ = 550€

Soit X une VA continue caractérisée par sa densité de probabilité pX(u)Soit Y=f(X) une nouvelle VA

( ) ∫+∞

∞−

== duupufXfEYE X )().()( )(

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CNAM ELE 103 D. Roviras 127

Moments d’une variable aléatoire

Probabilités

Moments d’une fonction de VA :

Petit Jeu :Dans 90% des recherches je trouve un diamant de 1 carat que je peux vendre à 1€/carat Dans 10% des recherches je trouve un diamant de 100 carat que je peux vendre à100€/carat Combien vais-je gagner en moyenne pour chaque recherche ?

1 carat à 1€/carat = 1€100 carats à 100€/carat = 10000€Je gagne en moyenne pour chaque recherche : 0.9 x 1€ + 0.1 x 10000€ = 1000.9€

Soit X une VA continue caractérisée par sa densité de probabilité pX(u)Soit Y=f(X) une nouvelle VA

( ) ∫+∞

∞−

== duupufXfEYE X )().()( )(

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CNAM ELE 103 D. Roviras 128

Exemple

Probabilités

Le Taux d’Erreur de Bit (TEB) lorsque le gain du canal est de 1 est donné par l’expression suivante:

• SNR est le rapport Signal sur Bruit (Ps/Pn) en émission,

• Le Taux d’Erreur de Bit (TEB) lorsque le gain du canal est de g est donné par l’expression suivante:

( ) .1)1( 2

== SNRQgainTEB

duu

zQz∫

+∞

−=

2exp

2

1)(

2

π

( ) .)( 2

== SNRgQggainTEB

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CNAM ELE 103 D. Roviras 129Probabilités

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 510

-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Fonction Q(z)

Exemple Programme Matlab : ELE103_TP_TS_Gauss

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CNAM ELE 103 D. Roviras 130Probabilités

Exemple :• g est une VA discrète qui prend trois valeurs : 0.5, 1 et 2• P(g=0.5)=0.25, P(g=1)=0.5, P(g=2)=0.25• Calculer le TEB pour g égal à une constante de 1 et un SNR de 5dB• Calculer le TEB pour g qui suit la loi de la VA discrète et un SNR de 5dB

( ) ( ) ( ) 0377.077.1162.3 .1)1( 2 ===

== QQSNRQgTEB lin

SNRdB=5dB SNRlin=3.162

Exemple

=

=

10

10

10

)(log10

dBSNR

lin

lindB

SNR

SNRSNR Exemple :SNRlin=100 SNRdB=20dBSNRdB=35dB SNRlin=3162.3

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CNAM ELE 103 D. Roviras 131Probabilités

( ) ( )( ) 187.08891.0

162.3 . 25.0 .5.0)5.0( 2

==

=

==

Q

QSNRQgTEB lin

SNRdB=5dB SNRlin=3.162 g=0.5

( ) ( )( ) 4

2

10 87.155.3

162.3 . 4 .2)2(

−==

=

==

Q

QSNRQgTEB lin

SNRdB=5dB SNRlin=3.162 g=2

( ) ( )

0653.0)10 87.1(25.0)0377.0(5.0)187.0(25.0

)().()()() variable(

4

3

1

=++=

===

−=∑i

ii gTEBgPgfonctionEgTEBEgTEB

SNRdB=5dB SNRlin=3.162 g = VA discrète

Exemple

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CNAM ELE 103 D. Roviras 132Probabilités

Exemple

g est une VA discrète qui prend trois valeurs : 0.5, 1 et 2P(g=0.5)=0.25, P(g=1)=0.5, P(g=2)=0.25

Programme Matlab : ELE103_Illustration_TEB_Canal_gain_variable

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010

-4

10-3

10-2

10-1

100

TEB avec canal g=1 (b) et canal avec g variable (r)

Gain constant de 1

Gain variable

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CNAM ELE 103 D. Roviras 133

Moments d’une variable aléatoire

Probabilités

Moments principaux d’une VA :

∫+∞

∞−

=== duupuµXEXdeMoyenne XX )(.)(

VariancetypeEcart X == σ

( )( ) ( )( )222 )( XX µXEXEXEVariance −=−== σ

( )( ) ( ) ( )2222 )()( XEXEXEXEX −=−=σ

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CNAM ELE 103 D. Roviras 134

Moments d’une variable aléatoire

Probabilités

Sens physique des moments d’une VA :

E(X)=µX : Valeur moyenne = composante continue

[E(X)] 2=µX2 : Puissance de la composante continue

E(X2) : Puissance totale du signal

X-E(X) : Fluctuations autour de la composante continue

σσσσX2 = E([X-E(X)]2 ) : Puissance des fluctuations

E(X2)= µX2 + σσσσX

2 = P(composante continue)+P(fluctuations)

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CNAM ELE 103 D. Roviras 135

Variables aléatoires multidimensionnelles

Probabilités

Variable aléatoire à plusieurs dimensions (encore appelévecteur de VA):Résultat dépendant de plusieurs caractères aléatoires.

Exemple de VA discrète à deux dimensions:VA X à deux dimensions X1 et X2X1 : tirage d’un dé à six facesX2 : tirage d’une pièce en pile ou face

Exemple de VA continue à deux dimensions:VA X à deux dimensions X1 et X2X1 : tailleX2 : poids

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CNAM ELE 103 D. Roviras 136

Variables aléatoires multidimensionnelles

Probabilités

Caractérisation d’une VA multidimensionnelle:• Fonction de répartition

• Densité de probabilité

• PropriétésFX1,..,Xn(u1,…,un) : fonction non décroissante et positive ou nulle

pX1,…,Xn(u1,…,un) : fonction positive ou nulle

( ) ),....,(,...., 111,..,1 nnnXnX uXuXPuuF <<=

( ) ( )nXnXn

n

nXnX uuFuuu

uup ,....,...

,...., 1,...,121

1,...,1 ∂∂∂∂=

( ) ( ) 1,...., 0,...., ,...,1,...,1 =+∞∞+=−∞∞− XnXXnX FF

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CNAM ELE 103 D. Roviras 137

Variables aléatoires multidimensionnelles

Probabilités

Exemple de VA multidimensionnelle:• Tracer la fonction de répartition et la densité de probabilité de la VA suivante:VA X à deux dimensions X1 et X2X1 : tirage d’une pièce en pile ou face (0 ou 1)X2 : tirage d’une pièce en pile ou face (0 ou 1)

1/41/2

1/2

1

0 1

0

1

Fonction de répartition :

Densité de probabilité :

0 10

1X1

X2

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CNAM ELE 103 D. Roviras 138

Variables aléatoires multidimensionnelles

Probabilités

Exemple de VA multidimensionnelle:• Tracer la fonction de répartition et la densité de probabilité de la VA suivante:VA X à deux dimensions X1 et X2X1 : tirage d’un dé à six facesX2 : tirage d’une pièce en pile ou face (0 ou 1)

Exemple de VA multidimensionnelle:• Tracer la fonction de répartition et la densité de probabilité de la VA suivante:VA X à deux dimensions X1 et X2X1 : tirage d’un dé à six facesX2 : somme du tirage du premier dé et d’un second dé

Programme Matlab : ELE103_VA_1_et_2dim.m

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CNAM ELE 103 D. Roviras 139

Variables aléatoires multidimensionnelles

Probabilités

Exemple de VA multidimensionnelle:• Tracer la densité de probabilité de la VA suivante:VA X à deux dimensions X1 et X2X1 : Gaussienne de moyenne nulle et de variance unX2 : Uniformément répartie entre +1 et -1

Exemple de VA multidimensionnelle:• Tracer la densité de probabilité de la VA suivante:VA X à deux dimensions X1 et X2X1 : Gaussienne de moyenne nulle et de variance unX2 : Gaussienne de moyenne nulle et de variance un

Exemple de VA multidimensionnelle:• Tracer la densité de probabilité de la VA suivante:VA X à deux dimensions X1 et X2X1 : Gaussienne de moyenne nulle et de variance unX2 : Somme de X1 et d’une autre Gaussienne de moyenne nulle et de variance un

Programme Matlab : ELE103_Illustration_VA_continues_2dim.m

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CNAM ELE 103 D. Roviras 140

Variables aléatoires multidimensionnelles

Probabilités

Exemple de VA multidimensionnelle:X1 : Gaussienne de moyenne nulle et de variance unX2 : Uniformément répartie entre +1 et -1

0

20

40

60

80

100

020

4060

80100

0

200

400

600

Histogramme VA multidimensionnelle

Programme Matlab : ELE103_Illustration_VA_continues_2dim.m

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CNAM ELE 103 D. Roviras 141

Variables aléatoires multidimensionnelles

Probabilités

020

4060

80100

0

50

1000

500

1000

1500

2000

Histogramme VA multidimensionnelle

Exemple de VA multidimensionnelle:X1 : Gaussienne de moyenne nulle et de variance unX2 : Gaussienne de moyenne nulle et de variance un

Programme Matlab : ELE103_Illustration_VA_continues_2dim.m

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CNAM ELE 103 D. Roviras 142

Variables aléatoires multidimensionnelles

Probabilités

Exemple de VA multidimensionnelle:X1 : Gaussienne de moyenne nulle et de variance unX2 : Somme de X1 et d’une autre Gaussienne de moyenne nulle et de variance un

020

4060

80100

0

50

1000

500

1000

1500

2000

2500

Histogramme VA multidimensionnelle

Programme Matlab : ELE103_Illustration_VA_continues_2dim.m

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CNAM ELE 103 D. Roviras 143

Variables aléatoires multidimensionnelles

Probabilités

Exemple de VA multidimensionnelle:X1 : Gaussienne de moyenne nulle et de variance unX2 : Somme de X1 et d’une VA uniformément répartie entre +1 et -1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

20

40

60

80

100

0

500

1000

1500

2000

2500 Histogramme VA multidimensionnelle

Programme Matlab : ELE103_Illustration_VA_continues_2dim.m

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CNAM ELE 103 D. Roviras 144

Variables aléatoires multidimensionnelles

Probabilités

Exemple de VA multidimensionnelle:

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

20

40

60

80

100

0

500

1000

1500 Histogramme VA multidimensionnelle

Programme Matlab : ELE103_Illustration_VA_continues_2dim.m

=

)1,3(

)1,3(bien ou

)1,0(

)1,0(

2

1

N

N

N

N

X

X

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CNAM ELE 103 D. Roviras 145

Variables aléatoires multidimensionnelles

Probabilités

Lois de probabilités marginales :

( ) ( )2121

2

212,1 ,, uuFxx

uup XXX ∂∂∂=

( ) ( )∫+∞

∞−

= 2212,111 , duuupup XXX

( ) ( )∫+∞

∞−

= 1212,122 , duuupup XXX

( ) ∑=

=n

iiXXX uuPup

112,111 ),(

( ) ∑=

=m

jjXXX uuPup

122,122 ),(

VA continues VA discrètes

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CNAM ELE 103 D. Roviras 146

Variables aléatoires multidimensionnelles

Probabilités

Moments de VA multidimensionnelle, cas général :

Corrélation statistique:

Covariance :

Coefficient de corrélation :

[ ] ∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

= nnXnXnn duduuupuufXXXfE ...),...,().,...,(....),...,,( 11121 1

[ ] ∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

== 212121 ),(... duduuupuuYXERxy XY

( )( )[ ] ( )( )∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

−−=−−= 212121 ),(... duduuupµuµuµYµXEC XYYXYXXY

YXXY

Cxy

σσρ =

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CNAM ELE 103 D. Roviras 147

Variables aléatoires multidimensionnelles

Probabilités

Propriétés :

)(.)(.)( YEbXEabYaXE +=+

YXXYXY µµCR +=

XYYXYX C.2222 ++=+ σσσ

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CNAM ELE 103 D. Roviras 148

Indépendance de Variables aléatoires

Probabilités

Deux variables aléatoires sont dites indépendantes si la connaissance d’une VA n’apporte rien sur l’autre VAPour des VA indépendantes on a :

)().(),( 2121 upupuup YXXY =

YXXY µµYEXEYXER === )().().(

0=XYC

222YXYX σσσ +=+

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CNAM ELE 103 D. Roviras 149

Changement de variables

Probabilités

Soit X une VA continue caractérisée par sa densité de probabilité pX(u) alors la VA continue Y=f(X) a une densité de probabilité donnée par :

Soit (X1,X2,…,Xn) un vecteur de VA continue caractérisé par sa densité de probabilité pX1X2…Xn(u1,u2,…un), alors le vecteur de VA continue (Y1,Y2,…,Yn)=f(X1,X2,…,Xn) a une densité de probabilité donnée par :

[ ] [ ])()( 11 )(. )(.)(

vfuXvfuXY upY

XupJvp −− == ∂

∂==

[ ] ),...,1(,..,1..1 1),...,1(.),...,1( vnvfunuXnXY unupJvnvp −==

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

Yn

Xn

Y

Xn

Yn

X

Y

X

J

...1

::

1...

1

1

detAttention : ne pas oublier de prendre la valeur absolue du Jacobien !

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CNAM ELE 103 D. Roviras 150Probabilités

Exemples :

• Soit X une VA continue uniformément répartie entre [-1, +1]. Calculer la densité de probabilité de 2.X+3

• Soit X une VA continue uniformément répartie entre [-1, +1]. Calculer la densité de probabilité de X2 et de X3

• Soient X1 et X2 deux VA continues indépendantes et uniformément répartie entre [-1, +1]. Calculer la densité de probabilité de X1.X2

• Soient X1 et X2 deux VA continues indépendantes caractérisées par pX1(u) et pX2(v). Calculer la densité de probabilité de Y=X1+X2

Changement de variables

Programme Matlab : ELE103_VA_chgt_var

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CNAM ELE 103 D. Roviras 151Probabilités

Soit X une VA continue uniformément répartie entre [-1, +1]. Calculer la densité de probabilité de X2

Changement de variables, Exemple, pdf de Y=X 2

[ ] [ ]

[ ] [ ]

≤≤=

=+==−+=⇒=→

==⇒=∂∂

⇒==⇒=

∂∂==

−+==

==

−−

ailleurs 0

10pour 1

5.0)(

12/12/1 )( )(

et

15.0

15.0

15.0

)(. )(.)(

et )(

2

2/12/12/12

)()(

1

11

vvvp

upup

vvuuvu

vvJ

YY

XYYXXY

upY

XupJvp

Y

vvuXvfuX

vfuXvfuXY

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CNAM ELE 103 D. Roviras 152Probabilités

Soient X1 et X2 deux VA continues indépendantes caractérisées par pX1(u) et pX2(v). Calculer la densité de probabilité de Y=X1+X2

Changement de variables, Exemple, pdf de X1+X2

[ ] [ ]

1110

11det

2

2

1

22

1

1

1

det

),(.

2

2

1

22

1

1

1

det ),(.),(

21

1

2

1

2

1

2

1

12

1

2

1

21

1

2

1

2

1

),(),(2121),(),(2121212121

12121

121

==

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

−=

+=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

==

+=

=

−− ==

Y

X

Y

XY

X

Y

X

J

vv

v

u

u

uu

u

v

v

u

u

uup

Y

X

Y

XY

X

Y

X

uupJvvp

XX

X

X

Xf

Y

Y

X

X

vvfuuXXvvfuuXXYY

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CNAM ELE 103 D. Roviras 153Probabilités

Soient X1 et X2 deux VA continues indépendantes caractérisées par pX1(u) et pX2(v). Calculer la densité de probabilité de Y=X1+X2

Changement de variables, Exemple, pdf de X1+X2

( ) ( )

( ) ( )

)(*)()(

)().(),(

,)(

, : marginales ésProbabilit

)().(),( : aon tesindépendanétant X2et X1

),( ),(.1),(

2121

112211112121

1212,122221

1212,122

1221112121

12121121212121

vpvpvp

dvvvpvpdvvvvp

dvvvpvpvp

dvvvpvp

vvpvpvvvp

vvvpvvvpvvp

XXXX

XXXX

YYYXX

YYY

XXXX

XXXXYY

=

⇒−=−=

===

=

−=−−=−=

+

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−+

∞+

∞−

∫∫

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CNAM ELE 103 D. Roviras 154Probabilités

Si X1 et X2 sont deux VA indépendantescaractérisées par pX1(u) et pX2(v), alors la densité de probabilité de la somme de ces deux VA est égale à la convolution des deux densités de probabilité

Densité de probabilité d’une somme de VA indépendantes

)(*)()( 2121 vpvpvp XXXX =+

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CNAM ELE 103 D. Roviras 155Probabilités

Changement de variables

X une VA continue uniformément répartie entre [-1 ,+1] et Y= 2.X+3

-6 -4 -2 0 2 4 60

1000

2000

3000

4000

5000

6000Histogramme VA X et Y

X VA unif répartie entre [-1,+1]

Y=2.X+3

X = VA continue uniformément répartie entre [-1, +1] et Y= X2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

4 Histogramme VA X et Y

X VA unif répartie entre [-1,+1]

Y=X.X

Programme Matlab : ELE103_VA_chgt_var

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CNAM ELE 103 D. Roviras 156Probabilités

Changement de variables

X = VA continue uniformément répartie entre [-1, +1] et Y= X3

X et Y= VA continue uniformément répartie entre [-1, +1] et Z= X.Y

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18x 10

4 Histogramme VA X et Y

X VA unif répartie entre [-1,+1]

Y=X.X.X

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

4 Histogramme VA X et Z=X.Y

X VA unif répartie entre [-1,+1]

Z=X.Y

Programme Matlab : ELE103_VA_chgt_var

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CNAM ELE 103 D. Roviras 157Probabilités

Changement de variables

X1, X2, X3, VA continues indépendantes uniformément réparties entre [-1, +1] et Z=X1+X2+X3

X1, X2, VA continues indépendantes uniformément réparties entre [-1, +1] et Z=X1+X2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

1000

2000

3000

4000

5000

6000Histogramme VA X et Z=X+Y

X VA unif répartie entre [-1,+1]

Z=X+Y

-3 -2 -1 0 1 2 30

1000

2000

3000

4000

5000

6000Histogramme VA X1 et Z=X1+X2+X3

X VA unif répartie entre [-1,+1]

Z=X1+X2+X3

Programme Matlab : ELE103_VA_chgt_var

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CNAM ELE 103 D. Roviras 158

Théorème de la limite centrale

Probabilités

La distribution statistique de la somme de n VA indépendantes et de même loi tend vers la loi Normale quand n tend vers l’infini

• Illustration de la tendance vers la loi normale avec Matlab: ELE103_Illustrtion_limite_centrale.m

Les bruits physiques sont souvent Gaussiens à cause du théorème de la limite centrale

Programme Matlab : ELE103_Illustration_limite_centrale.m

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CNAM ELE 103 D. Roviras 159

Théorème de la limite centrale

Probabilités

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-3

-2

-1

0

1

2

3Bruit résultant de la somme des N signaux indépendants (b) et signal individuel (r)

Signaux indépendants et uniformément répartis entre -0.5 et +0.5Somme de N=10 signaux (bleu)

-6 -4 -2 0 2 4 60

2000

4000

6000

8000

10000

12000Histogramme de la somme des N signaux indépendants

Programme Matlab : ELE103_Illustration_limite_centrale.m

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CNAM ELE 103 D. Roviras 160

Théorème de la limite centrale

Probabilités

Signaux indépendants avec fréquence et phase aléatoireSomme de N=10 signaux (bleu)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-8

-6

-4

-2

0

2

4

6Bruit résultant de la somme des N signaux indépendants et signal individuel (r)

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000Histogramme de la somme des N signaux indépendants

Programme Matlab : ELE103_Illustration_limite_centrale.m

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CNAM ELE 103 D. Roviras 161

Théorème de la limite centrale

Probabilités

Signaux indépendants avec suite de +1 et -1 aléatoiresSomme de N=10 signaux (bleu)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8Bruit résultant de la somme des N signaux indépendants et signal individuel (r)

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

1000

2000

3000

4000

5000

6000Histogramme de la somme des N signaux indépendants

Programme Matlab : ELE103_Illustration_limite_centrale.m