CM2 - Conversion Anlogique Numérique

Mise en œuvre du TNS sur 49

Novembre 2011.

Traitement Numérique du SignalCM2 : Conversion

Analogique-Numérique

Université du Havre, IUT du Havre

Département GEII


PPN 2008: MC-II3

Traitement du signal

Applications en GEII

Mise en œuvre

Test

DSP

CAN/CNATF, compression, codage


Conversion Analogique-Numérique

Principe

Echantillonnage

Quantification

Traitement Numérique du Signal

Conclusion

Plan


1. Numérisation


Oreille :

Acoustique audible

f

Sensibilité

20 Hz 200 Hz 2 kHz 20 kHz

Sons audibles UltrasonsInfrasons

MP3 :

Téléphonie fixe :

CD :f

22 kHz0

f

22 kHz0

f

3,4 kHz0 300 Hz

Bande passante


Acoustique audible

f (Hz)


0

50

100

150

Voix

Musique

Audible

Seuilde perception

Seuil de douleur

pa (dB)

Sensibilité de l’âge et de l’audition du sujet

Seuils de perception et de douleur

Dépendance en fréquence


Effet de masquage: "psycho-acoustique"

Exploité par le format MP3

Acoustique audible

f (Hz)


0

50

100

150

Seuilde perception

normal

pa (dB)

Bruit

Modification du seuil

de perception

Son intense

Sensibilité de l’âge et de l’audition du sujet


Signal analogique/numérique

Numérisation d’un signal : x(t) → xn(tn)

Nécessaire pour le stockage et/ou le transport

Echantillonnage : fréquence d ’échantillonnage fe

Transducteuracoustique

électrique

Transducteurélectrique

acoustique

USignal

acoustiqueSignal

acoustiqueSignal

électrique

Quantification : nombre de bits Nbitst

∆t

∆x

Pas de temps :

Pas de quantification :

1

e

tf

∆ =

max( ) min( )

2 1bitsN

x xx

−∆ =−

x(t)

xn(tn)

Acquisition d’un signal analogique :


Signal analogique/numérique

Fréquences d'échantillonnage et quantification: Applications

Acquisition d’un signal analogique :

f200 Hz 4 kHz

A

feSpectreDomaine Quantification Débit

f40 Hz 15 kHz

A

t64 µs

A

Téléphonienumérique

Audionumérique

HiFi

Vidéonumérique

Source: "Analyse et traitement des signaux – Méthodes et application au son et à l'image", Ed. Dunod, p.52.

8 kHz

44,1 kHz

13 MHz

8 bits

16 bits (/canal)

8 bits (N&B)

24 bits (coul.)

64kbits/s

705kbits/s

100 à 300 Mbits/s


2. Echantillonnage


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

0

1

2

3

4

5

6

Une tendance linéaire se dégage.

Ajustement de points expérimentaux

Echantillonnage

La distribution de points expérimentaux est la suivante : Points (xk, yk) expérimentaux : k est un entier ∈ [1; 21]


L’erreur absolue commise vaut 1, mais l’erreur relative atteint 80 % pour le deuxième point.


Echantillonnage

La distribution de points expérimentaux est la suivante : Régression linéaire: Soit x∈[0;5] et ylinéaire = a.x+b

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

0

1

2

3

4

5

6


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

0

1

2

3

4

5

6


Echantillonnage

La distribution de points expérimentaux est la suivante : Ajustement: Soit x∈[0;5] et y = x + sin(2π x)

Ce modèle défini sur [0; 5] décrit bien l’évolution des points expérimentaux.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

0

1

2

3

4

5

6

La distribution de points expérimentaux est la suivante : Ajustement: Soit x∈[0;5] et y = x + triangle(2π x)

Ce modèle défini sur [0; 5] convient tout autant que le précédent. Seul un sur-échantillonnage permettrait de déterminer le meilleur des deux.


Echantillonnage


minmax

. 2epoints e

fN f T

f= = ≥

Npoints = 20 points/période

0 10 20 30 40-2

0

2

4

6

8

t (ms)

x(t)

0 10 20 30 40-2

0

2

4

6

8

t (ms)x(

t)

Npoints = 4 points/période

Condition de Shannon : fe ≥ 2.fmax

Echantillonnage minimum :

Echantillonnage

Echantillonnage : Discrétisation en temps


Signal numérique

CD :

WAV :

Echantillonnage : fe = 44,1 kHz

Quantification : Nbits = 16 bits

Nombre de voies :Nvoies = 2 voies

Débit :D = fe.Nbits.Nvoies= 1411 kbits/s

Echantillonnage : fe = 8, 11, 22, 44 ou 48 kHz

Quantification : Nbits = 8 ou 16 bits

Nombre de voies :Nvoies = 1 ou 2 voies

Débits :D = 64 à 1536 kbits/s

MP3, WMA, OGG... : Echantillonnage : fe = 8 à 48 kHz

Quantification : Nbits = 8 ou 16 bits

Nombre de voies :Nvoies = 1 ou 2 voies

Débits :D = 32 à 320 kbits/s (MP3)D = 48 à 500 kbits/s (OGG)

Téléphone mobile : Débit : D = 6,5 ou 13 kbits/s

Débit associé à un format


3. Quantification


Quantification

max( ) min( )

q

U UU

N

−∆ =

Pas de quantification :

2U

Uε ∆= ±

Erreur de quantification :

Pas de valeur discrète pour U = 0.

Erreur relative importante pour les faibles valeurs de U. Quantification uniforme sur 10 niveaux.

Quantification : Discrétisation en amplitude

2

q

UN

∆ =soit : si U ∈[−1; +1].


Quantification

Quantification uniforme sur Nq = 16 niveaux.

Calées sur le max ou le min et val. 0 :

max

11;q q

q

U N

U N

− ∈ − + ÷

max

1; 1q q

q

U N

U N

− ∈ − + ÷

Calées sur le max et le min et val. 0 :

[ ]max

1; 1qU

U

∈ − + ÷

! Nq = 17 !

En pratique, il existe de nombreuses possibilités de quantification uniforme :



Quantification

En pratique, il existe de nombreuses possibilités de quantification uniforme :

Centrée sur 0 et erreur min :

max

1 1;q q q

q q

U N N

U N N

− − ∈ − + ÷

[ ]max

1; 1qU

U

∈ − + ÷

Centrée sur 0 et val. max et min :

Quantification uniforme sur Nq = 16 niveaux.


C’est la quantification de référence.


Quantification

Erreur de quantification uniforme centrée sur 0 pour Nq = 16.

Si U ∈ [ −Umax; +Umax ] :

max2

q

UU

N∆ =

L’erreur de quantification q est aléatoire et uniformément distribuée:

Evaluation du bruit de quantification en fonction de Umax et Nq :


1( )p q

U=

∆ 2 2

U Uq

∆ ∆− ≤ ≤ +si

0 sinon


Dans le cas d'une quantification, on distingue le signal quantifié xout etl'erreur de quantification ε . L'erreur de quantification est bornée :

L'erreur de quantification s'écrit :

max 2

Uε ∆= +

xin

+∆U/2

−∆U/2

( )inx t at=

min 2

Uε ∆= −et

pour ;2 2

U Ut

a a

∆ ∆ ∈ − + La valeur RMS est donnée par :

/22

/2

( ) .12

U a

RMS

U a

a Uat dt

Uε

+∆

−∆

∆= =∆ ∫

ε

xout

Quantification : Erreur de quantification

Quantification


Dans le cas d'une quantification d'un signal sinusoïdal, on écrit : L'amplitude du signal sinusoïdal :

L'amplitude du signal d'entrée s'écrit :

t2

2

N UA

∆=

La valeur RMS du signal d'entrée s'écrit :

,

2 2

2 2

N

in RMS

Ux

∆=

xin(t)

Quantification

( ) sin(2 )inx t A ftπ=

Quantification : Rapport Signal sur Bruit

Le rapport signal sur bruit s'écrit :

, 2 2 12 3. 2

2 2 2

Nin RMS N

RMS

x USNR

Uε∆= = =

∆

+A

−A

2N∆U


2

22 2

max max

3212 2

2

NNin in

inRMS

P PSNR P

U Uε

= = = ÷

Quantification

Rapport signal sur bruit SNR (dB)

en fonction du nombre de bits de quantification N, pour Umax = 1 V et Pin = 1 W.

La variance de l’erreur est :

22 ( )

12RMS

Uε ∆=

Dans le cas d‘une quantification binaire sur N bits, on a :

Le rapport signal sur bruit est lié à la variance de l’erreur :

Quantification : Rapport Signal sur Bruit

2NqN =2

2 max21

12RMSq

U

Nε

= ÷ ÷

Le rapport signal sur bruit est :

et


Quantification

Le signal est beaucoup mieux quantifié pour les petites valeurs.

La quantification sur une échelle logarithmique permet de minimiser l ’erreur sur les petites valeurs de xin.

La loi de quantification est fixée par des normes et protocoles. Par exemple, la loi A (ITU-T G711) loi A, donne :

En pratique, la quantification linéaire n’est pas satisfaisante :


( )c x =

maxmax

1 ln( / )sgn( )

1 ln( )

A x xx x

A

++

sgn( )1 ln( )

A xx

A+si

sinon.

Dans l ’exemple, on a Nq/2 pas de quantification entre -0,1 et +0,1.

max

1x

x A<


Quantification

Avec la loi A, le SNR est amélioré jusqu’à Pin = −15 dB.

La loi de quantification appelée loi A (ITU-T G711), avec A = 87,6 donne :


( )c x =

maxmax

7, 453 ln( / )sgn( )

7,453

x xx x

+

11,75 sgn( )x xmax

1x

x A<si

La loi qe quantification appelée loi µ (ITU-T G711), avec µ = 255, donne :

maxmax

ln(1 / )( ) sgn( )

ln(1 )

µ x xc x x x

µ

+=

+


Quantification


Les lois de quantification ont été standardisées par ITU-T G711.

On a vu la loi de quantification dite loi A :

( )c x =

maxmax

1 ln( / )sgn( )

1 ln( )

A x xx x

A

++

sgn( )1 ln( )

A xx

A+si

sinon.

max

1x

x A<

On associe à la loi A une fonction réciproque :

1( )c y− =

(1 ln( )) 1sgn( )

y Aey

A

+ −

si

sinon.

1

1 ln( )y

A<

+1 ln( )

sgn( )A y

yA

+


Quantification


Les lois de quantification ont été standardisées par ITU-T G711. On a vu la loi de quantification dite loi µ :

On associe à la loi µ une fonction réciproque :

ln(1 )1 1( ) sgn( )

y µec x y

µ

+− −=

maxmax

ln(1 / )( ) sgn( )

ln(1 )

µ x xc x x x

µ

+=

+


Quantification



(dB) 6,02 bitsSNR N=


Quantification



Le G.711 est une norme de compression audio de l'UIT-T, basée sur les lois de quantification A (Europe, Afrique) ou µ (Amérique du Nord, Japon). Échantillonnage : 8 kHz pour une bande passante entre 300 et 3400 Hz Bande passante : 64 ou 56 kbit/s Type de codage : MIC (Modulation d'impulsion codée, PCM en anglais)

Son principe repose sur une grille de quantification non linéaire, permettant de diminuer le rapport signal-sur-bruit de l'erreur de quantification pour les sons de faible amplitude. Une quantification sur 8 bits en G.711 correspond à une quantification sur 12 bits en PCM en ce qui concerne l'erreur de quantification.

La norme G.711 a été révisée en 2000. Elle est la base de transport de la voix sur le réseau téléphonique commuté (RTC, PSTN en anglais) ou sur le RNIS (ISDN en anglais) et est également utilisée pour le transport de la voix avec peu de compression dans les réseaux IP (100 % des offres ADSL correspondantes en France).


Quantification

Companding (Compress Expand) :


COmpresser DECompresser

b = 8 bit

SNR

Quantifier

)( enTx ][xQy = )( eb nTy )( eDEC nTx

piano_c3 Α 8 bit Α-1

8 bitbitB 16=

)( enTx)( enTy )(8 enTy

)( erec nTx1/8

)(8 enTx

bitB 8=

bitB 8=

Amélioration :


4. Traitement Numérique du Signal



Chaîne d'acquisition, traitement, action



Description d’un système analogique

Un système analogique peut être caractérisé dans différents domaines: Dans le domaine temporel, par une équation différentielle de la forme:

0 0

( ) ( )k kk d k n

k kk kk k

d s t d e ta b

dt dt

= =

= =

=∑ ∑ Dans le domaine de Fourier:

0

0

( )( )

( )( )

( )

k nk

kkF

F k dkF

kk

b jS

TE

a j

ωωωω ω

=

==

=

= =∑

∑ Par exemple, pour a = [1, τ], b = [K] et e(t) = E (entrée indicielle), on obtient:

( )( ) .

ds ts t K E

dtτ + =

.( )

1F

K ET

jω

ωτ=

+⇔

0

0

( )( )

( )

k nk

kkL

L k dkL

kk

b pS

TE

a p

ωωω

=

==

=

= =∑

∑

Dans le domaine de Laplace:

⇔ .( )

1L

K ET

pω

τ=

+



Description d’un système numérique

10 1

1 21 2

( )1z

b b zT z

a z a z

−

− −

+=

+ +

Un système numérique peut être caractérisé dans différents domaines:

Dans le domaine de la transformée en z, par une fonction de transfert:

0

0

( )

nk

kk

z dk

kk

b zT z

a z

−

=

−

=

=∑

∑

Dans le domaine temporel, par une équation de récurrence:

0 0

( ) ( )d n

k kk k

a s N k b e N k= =

− = −∑ ∑

0 1 2 0 1( ) ( 1) ( 2) ( ) ( 1)a s N a s N a s N b e N b e N+ − + − = + − ⇔

Par exemple, pour a0 = 1, d = 2 et n = 1, on obtient:



Transformée en z

La transformée en z est un outil mathématique de traitement du signal. Elle est l'équivalent discret de la transformée de Laplace.

Elle est utilisée entre autres pour le calcul de filtres numériques à réponse impulsionnelle infinie et en automatique pour modéliser des systèmes dynamiques de manière discrète.

La transformée de Fourier discrète est un cas particulier de la transformée en z.



Transformée en z

La transformée en z est la transformée de Fourier d’un signal échantillonné. La transformée en Z est la généralisation de la Transformée de Fourier discrète (TFD). La TFD XF(ω) peut être trouvée en évaluant Xz(z) en z = ejω, (en d'autres termes sur le cercle unité):

0

( ) ( ) kz

k

X z x k z+∞

−

=

= ∑0

( ) ( ) j kF

k

X x k e ωω+∞

−

=

= ∑

C’est un outil incontournable pour l’étude des signaux numérisés. En pratique, on utilise une table de transformées de Laplace.

0

( ) ( ) pTkL

k

X p x k e+∞

−

=

= ∑

La transformée de Laplace XL(p) est obtenue en évaluant Xz(z) en z = epT:

0

( ) ( ) kz

k

X z x k z+∞

−

=

= ∑ ⇔

⇔



Opérations de base du TNS

Le filtrage permet de sélectionner la partie utile du spectre:

Les filtres IIR (Infinite Impulse Response) qui sont obtenus à partir des fonctions analogiques (passage de s à z):

Les filtres FIR (Finite Impulse Response) sont simples à mettre en oeuvre et ont une phase linéaire. Ils sont obtenus en échantillonnant la réponse impulsionnelle du filtre voulu:

1

0

( )n

kz k

k

H z b z−

−

=

= ∑

1

01

1

( )1

nk

kk

z dk

kk

b zH z

a z

−−

=−

−

=

=+

∑

∑ Les filtres adaptatifs ont des coefficients mis à jour régulièrement en minimisant un critère (moindres carrés). Ils peuvent être de type FIR ou IIR.




Les filtres adaptatifs permettent d’optimiser le filtrage de x(k) pour obtenir y(k) par minimisation d ’un critère d’erreur e(k):

Wiener, gradient, gradient stochastique, ... :




Le vecteur w(k) est mis à jour en minimisant le carré du signal d'erreur entre le signal désiré d(k), et la sortie y(k): e(k) = d(k) - y(k). En général, on distingue quatre types d'architectures de filtres adaptatifs:



Transformée de Fourier discrète

La transformée de Fourier discrète DFT (Discrete Fourier Transform) est déterminée pour un nombre N fini de points du signal x(1) à x(N). En pratique cette somme est calculée en utilisant des de type FFT (Fast Fourier Transform): [Cooley&Tukey, 1965]

21

0

( ) ( )knN jN

Fk

X n x k eπ− −

=

= ∑0 1k N≤ ≤ −avec

Le nombre d’opérations et temps de calcul sont proportionnels à:

N2 pour la DFT2N.log2(N) pour la FFT



Corrélation

La corrélation exprime la notion de similitude entre deux signaux. La fonction d’intercorrélation traduit la similitude d’un signal temporel par rapport à un autre signal décalé dans le temps. Pour deux signaux x(t) et y(t) de durée infinie, on a:

Cette fonction quantifie dans quelle mesure on a :

L’autocorrélation est l'intercorrélation d'un signal avec lui-même:

( ) ( ) ( )xyC t x y t dτ τ τ+∞

−∞= −∫

( ) ( ) ( )xxC t x x t dτ τ τ+∞

−∞= −∫

( ) . ( )x t a y t bτ= − +



Corrélation

La corrélation exprime la notion de similitude entre deux signaux. L’intercorrélation:

1

( ) ( ) ( )N n

xyk

r n x k y k n−

=

= +∑

L’autocorrélation:

1

( ) ( ) ( )N n

xxk

r n x k x k n−

=

= +∑



Distribution

Les signaux suivent une loi de distribution. Loi de distribution:



Signaux aléatoires

Les signaux suivent une loi de distribution. Loi uniforme:

1pour ( , )

( )0 sinon

X

x a bp x b a

∈= −



Signaux aléatoires

Les signaux suivent une loi de distribution. Loi gaussienne:

( )

−−=2

2

2exp

2

1)(

σπσmx

xpX



Signaux aléatoires

Les signaux suivent une loi de distribution. Loi de Rayleigh:

02

exp)(2

2

2≥

−= xxx

xpX σσ



Rapport Signal sur Bruit

Les signaux acquis sont bruités et se décomposent en une composante utile et une composante perturbatrice: le bruit. Le RSB (Rapport Signal sur Bruit) ou SNR (Signal to Noise Ratio)

10

( )( ) 10log

( )utile

dBbruit

P fSNR f

P f

= ÷

10

( )( ) 20 log

( )utile

dBbruit

U fSNR f

U f

= ÷

2UP

R= La puissance P s ’exprime en fonction de la tension U:



Rapport Signal sur Bruit

Les signaux acquis sont bruités et se décomposent en une composante utile et une composante perturbatrice: le bruit. Le SNR (Signal to Noise Ratio) est donné en dB:

( )dBSNR f

( )

( )utile

bruit

U f

U f10 100 1000 1000010

+20

+40

+60

+80

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