Clément Gasull Lycée René CharQuentin Rodriguez Avignon

Trajet aléatoire d'une particule brownienne

Olympiades de physique 2005-2006

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Quand Einstein joue aux billes...

Introduction : Suite à nos TPE de Première nous nous sommes intéressés au phénomène de

diffusion. Nous allons donc mettre en évidence dans une première partie ce phénomène. Ceci nous amènera à observer ce dont il s’agit plus en détails à l’échelle microscopique. Puis nous tenterons de reproduire nos observations à travers une série de modélisations. Pour finir, nous passerons à une étude quantitative de ce phénomène microscopique, appelé mouvement brownien, à travers la détermination de la constante entrant dans la formule d’Einstein caractérisant ce mouvement.

I) Le phénomène de diffusionNotre étude débute par l'observation d'un phénomène classique, le phénomène de diffusion. On a déposé délicatement une goutte de lait au milieu d'une boite de Petri contenant une couche d'eau à température ambiante. On a réalisé des photos à différents instants afin de visualiser l'évolution de la tache de lait. Dans le tableau suivant sont regroupées les données recueillies (date, photo et diamètre de la tache de lait):

t(min) 0 1 3 8 13

photo

diamètre d ±10% (cm)

1,9 2,0 2,1 2,2 2,35

t(min) 28 58

photo

diamètre d ±10% (cm)

2,5 2,8

En traçant d2 en fonction de t, on obtient des points relativement bien alignés, ce qui nous suggérerait une loi d'évolution de d en t .

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. . . . .

. .

II) Observation du lait au microscopeRegardons d'un peu plus près ce qui pourrait

être responsable de l'étalement du lait dans l'eau. 1. Dispositif expérimental

Nous avons utilisé un microscope du laboratoire de Biologie de notre lycée. Sur une lame de microscope, on a déposé une goutte de lait dilué. Nous avons alors remarqué visuellement l’agitation incessante des micelles de lait dans la préparation. Afin d'étudier plus en détail le mouvement des micelles, nous avons utilisé une caméra CCD adaptable au microscope et effectué l'acquisition de séquences vidéo.La figure 1 ci-contre représente le dispositif expérimental.

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Figure 1: dispositif expérimental

.

Evolution du carré du diamètre de la tache en fonction du temps.

La figure 2 ci-contre est une image de ce que nous avons observé avec un grossissement de 600×.Le lait est constitué d'environ 88% d'eau, 4% de globules graisseux, 5% de lactose et 3% de protéines dont 2% sous forme de micelles de caséine. Lors de l'utilisation du grossissement 600×, seuls les globules graisseux sont visibles (cercle rouge).

2. Suivi des globulesOn a suivi un globule afin de connaître sa trajectoire (Figure 3). Chaque point correspond à la position du globule à un instant donné. Entre deux points successifs, on a une durée de 10s. Les points successifs ont été reliés par un segment afin d'avoir une idée de la trajectoire. On constate un mouvement apparemment aléatoire.

On s'est ensuite posé la question de savoir si ce mouvement était passager ou lié à la fabrication de la lame. Seulement, même en laissant reposer la lame durant plusieurs dizaines de minutes, le mouvement des globules est toujours observable avec des amplitudes comparables.On a cherché ensuite à travailler sur des modèles nous permettant de relier l'agitation incessante observée au phénomène de diffusion.

III)Modélisations Nous nous sommes tout d'abord intéressé à la modélisation du mouvement aléatoire des globules. Ayant constaté un mouvement aléatoire au microscope, nous avons essayé de nous faire une meilleure idée du phénomène avec une marche au hasard de billes macroscopiques.

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Figure 3: aperçu de la trajectoire d'un globule.

Figure 2: globules graisseux du lait dont nous avons suivi la  trajectoire.

1) Planche de GaltonLa Planche de Galton est un outil permettant de réaliser une « marche au

hasard » avec des billes.Pour cela, on plante en quinconce des clous sur un plan incliné, de sorte qu’ils

soient régulièrement espacés, en les disposant sur des lignes horizontales parallèles. A la base du plan incliné, on place des compartiments identiques, séparés par des cloisons qui prolongent les clous situés à la base. On lâche tout d'abord au sommet de la Planche une bille dont le diamètre est sensiblement égal à la distance entre deux clous voisins. Depuis cette position initiale, la bille va descendre en passant à gauche ou à droite de chaque clou rencontré avec la probabilité ½, jusqu’à ce qu’elle tombe dans l’un des compartiments à la base du quinconce (figure 4a). Lorsqu’on répète un grand nombre de fois cette expérience, les billes accumulées dans les différents compartiments tendent à former une courbe en cloche symétrique.

Dans un second temps, nous avons lâché la bille du milieu (4ème rangée). On a constaté que les billes étaient toujours centrées mais moins « étalées » (figure 4b).

Aurait-on ici un lien entre l'étalement de la tache de lait et l'agitation incessante constatée précédemment? Des approfondissements sur la marche au hasard s'imposent.

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Figure 4a: bille lâchée du haut. Figure 4b: bille lâchée du milieu.

2) Marche au hasard: théorieLa démarche consiste à chercher la probabilité pour qu'une personne marchant sur

une route infinie symbolisée par un axe orienté se retrouve en un point d'abscisse x.La probabilité d’aller à droite est notée P+ et celle d’aller à gauche notée P-

On a évidemment: P+ + P- =1La probabilité d'aller à droite ou à gauche est supposée indépendante du pas précédent (ce qui est difficile à croire dans le cas réel d'une personne titubant dans la rue).La probabilité d'être en x dépend des probabilités d'être en x+1 et en x-1 par la formule :

P(X) = P(x-1).P+ + P(x+1).P-

On est tombé sur une impasse pour relier cette probabilité à la condition initiale : la personne est en x=0 au départ. Raisonnons différemment : cherchons tous les chemins menant au bout de N pas à x. On doit avoir la condition :

x = n+ - n- = n+ - (N-n+) = 2n+ - Nn+ est le nombre de pas à droiten- est le nombre de pas à gauche(On suppose que la longueur du pas est constante et égale à 1)

Pour se retrouver en x, le marcheur doit donc effectuer n+ pas parmi N pas. La recherche de la solution revient à chercher comment on peut placer n+ pas parmi N.Ceci est une question de combinatoire.Les mathématiques ont établi depuis longtemps une formule permettant de connaître le nombre de combinaisons de n+ valeurs parmi N. Elle se note C N

n+ , et elle vaut :C Nn+= N !n+! N−n+ !

Elle correspond dans notre exemple au nombre de façons d’arriver en x après N pas (dont n+ pas vers la droite) avec n+ = (x+N)/2 (puisque x = n+ - n- et N = n+ + n-, x+N = 2n+, d’où n+ = (x+N)/2).On connaît maintenant le nombre de façon d’arriver en x mais pas sa probabilité.La probabilité de chaque chemin comportant n+ pas et n- pas est donnée par :

P = (P+)n+ . (P-)n-

car n+ pas ont la probabilité P+ et n- pas la probabilité P-.On en déduit la probabilité totale qu’a la personne (ou la particule brownienne dans notre cas) de se retrouver en x : c’est la probabilité d’un chemin arrivant en x multiplié par le nombre de façons d’y arriver.

P N , x=C Nn+×P+

n+×P -n -

P N , x= N !Nx

2! N− Nx

2!×P+

N x2 ×P-

N− x2

Donc, si on donne la probabilité P+ et le nombre de pas N, la loi de probabilité est entièrement déterminée.

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On démontre que la valeur moyenne est donnée par :x=N P+−P -

De même l’écart type est donné par : s=4NP+ P-

Imaginons qu'un grand nombre de « marcheurs » (particules) partent ensemble de la même origine et prenons le cas particulier où P+=P-=½. Après N pas, les marcheurs se distribuent le long de l’axe de façon symétrique par rapport à leur point de départ, puisque la valeur moyenne de leur abscisse est nulle (voir figure 5). Mais chacun des marcheurs tend à s'éloigner de l'origine : l'écart type n'est pas nul, il croît comme la racine carrée du nombre N de pas effectués. Comme on suppose que le marcheur effectue un pas régulièrement, le nombre de pas N est proportionnel au temps. On constate donc que la distance à l’origine, ou « étalement » sur l’axe est proportionnel à la racine carrée du temps (le nombre de pas ici). Nous y voyons plus clair: les globules contenus dans le lait sont en agitation incessante (observation au microscope); la tache de lait contenant les globules reste centrée sur son point de dépôt; la tache s'étale de plus en plus avec le temps.Pour confirmer ceci, nous avons réalisé une modélisation informatique à deux dimensions de la marche au hasard.

3) Modélisation informatiqueNous avons réalisé une marche au hasard en deux dimensions avec un pas aléatoire (et non pas fixe, comme dans le modèle mathématique à une dimension) à l'aide du tableaur Excel. Nous avons d’abord inscrit dans les deux premières colonnes les différentes valeurs des pas (en unité arbitraire) à chaque mouvement de la particule théorique (une colonne pour la valeur du pas en abscisse, une colonne pour sa valeur en ordonnée) grâce à la fonction ALEA() d’Excel, qui renvoie des chiffres aléatoires compris entre 0 et 1 (nous avons soustrait 0,5 à cette valeur aléatoire pour obtenir des pas négatifs ou positifs compris entre -0,5 et +0,5, afin que la particule théorique puisse évoluer dans toutes les directions). Ensuite, nous avons assigné aux deux colonnes suivantes le rôle de calculer les coordonnées (en abscisse pour l’une, et en ordonnée pour l’autre colonne) de la particule à un moment donné, en ajoutant toutes les valeurs de pas précédentes. Il ne nous restait alors plus qu’à fabriquer un graphique sur lequel positionner toutes ces coordonnées successives pour voir apparaître le trajet

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Figure 5: un exemple de courbe en cloche (courbe de Gauss)

théorique d’une particule en deux dimensions (Nous avons réalisé trois graphiques successifs pour permettre une plus grande lisibilité du déplacement de la particule : le premier montre les 25 premières itérations du modèle, le second les 50 premières, et le dernier en figure les 100).

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Figure 6c: modélisation informatique; 100 itérations.-1 0 1 2 3

-6,5

-6

-5,5

-5

-4,5

-4

-3,5

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

Figure 6b: modélisation informatique; 50 itérations.0 5

-6,5

-6

-5,5

-5

-4,5

-4

-3,5

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

Figure 6a: modélisation informatique; 25 itérations.

0 5

-4

-3,5

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

Nous avons ensuite tracé le déplacement total d de la particule en fonction du temps.Nous avons créé pour cela un deuxième fichier Excel dans lequel nous avons repris le modèle précédent en y ajoutant une colonne destinée au calcul de la distance de la particule par rapport à l’origine (d) en chaque point (qui équivaut à la racine carrée de la somme des carrés des coordonnées du point). Après avoir créé le graphique d²=f(t), nous avons constaté que la distance à l'origine au carré n'était pas proportionnelle au temps comme attendu d'après la modélisation de la marche au hasard. Nous en avons déduit que le problème venait du fait que les calculs de d étaient fait sur une seule modélisation d’expérience, alors que l'étude n'est valable que si on travaille avec un nombre important d’expériences identiques.Après cette constatation, nous avons multiplié par 10 le nombre d’ « expériences » du modèle, et avons rassemblé tous les résultats de ces 10 simulations dans un colonne faisant la moyenne de d pour chaque point. Dans ces conditions, la modélisation fonctionne correctement et on distingue aisément sur le graphique <d²>=f(t) une fonction linéaire sur le graphique qui confirme bien une évolution linéaire.

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0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

d²=f(t)

temps

d²

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

1,75

2

2,25

2,5

2,75

3

3,25

3,5

3,75

4

4,25

d=f(t)

temps

d

On a bien confirmation sur ce modèle informatique du lien entre l'évolution de la diffusion en t avec l'agitation aléatoire moléculaire.Des recherches documentaires nous ont permis de découvrir les secrets de ce mouvement macroscopique.

IV) Description et historique du mouvement brownienCe mouvement microscopique incessant a été découverte en 1821 par le botaniste anglais R. Brown. On l'appelle depuis le mouvement Brownien.Observant au microscope des grains de pollen en suspension dans l'eau, Brown constata que les grains étaient animés d'un mouvement désordonné incessant comme s'ils étaient vivants... Il écrivit à l'époque:« Ayant trouvé du mouvement à toutes particules de pollen (en suspension dans l'eau) de toutes les plantes que j'avais examinées, je fus ensuite conduit à chercher si cette propriété continuait après la mort de la plante, et pendant combien de temps. [...] Des spécimens de plantes conservées dans un herbier pendant plus de vingt ans contenaient encore de telles particules sphériques, ou molécules comme je les appellerai, en grand nombre et manifestement en mouvement, en même temps que quelques unes des plus grandes et cylindriques, dont les mouvements étaient beaucoup moins manifestes, et dans certains cas, pas observables. [...] De cela j'en vins à l'idée que ces molécules n'étaient (peut-être) pas limitées aux corps organiques, ni même à leurs produits. »

Einstein, en 1905, émit l'hypothèse que ces mouvements résultaient des chocs des molécules en perpétuelle agitation au sein du liquide. Les molécules sont inobservables directement, mais Jean Perrin, en observant le mouvement en suspension de particules au microscope, montra en 1911 que l'hypothèse d'Einstein était exacte. Du même coup il démontrait de façon irréfutable que la matière est constituée d'atomes et de molécules.La théorie d'Einstein de 1905 concernait le mouvement de billes sphériques de rayon a dans un liquide à la température T. La formule reliant la diffusion (étalement) des billes aux différents paramètres expérimentaux est la suivante:

< R2 >= 4kT6a

t=4Dt

<R2>: écart quadratique moyen au carré (étalement des billes dans le liquide)T: température(K) η: viscosité du liquide (kg/m.s) a: rayon des billes (m)

D: coefficient de diffusion (m2.s-1) t: temps (s)La constante k intervenant dans la formule est appelée constante de Boltzmann. La détermination de la valeur de cette constante constituera la dernière partie de notre projet. Cette partie nous a demandé beaucoup d'attention et de temps afin de minimiser au maximum les erreurs de mesures.

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V) Une approche quantitative du mouvement Brownien 1) Méthode expérimentale

Nous avons abandonné le lait car les globules graisseux observés ne sont pas calibrés et ne nous permettraient pas d'avoir une valeur de rayon a précise.On s'est donc procuré des billes de polystyrène de 1m ±3% auprès de Polysciences Europe. Ces billes sont déjà diluées dans l'eau et traitées pour être solubles.

1.1)Dilution La première opération a été de diluer ces billes. Nous sommes arrivés au compromis d'une dilution par 2000 car il faut concilier deux facteurs:

• si les billes sont trop concentrées, elles se collent entre elles, et on ne peut plus les observer individuellement;

• si les billes sont trop diluées, on n'en observe pas suffisamment au microscope.

1.2)Réalisation des lames Afin d'éviter tout mouvement convectif, une goutte de solution des billes a été déposée au milieu d'un anneau de renfort de classeur collé sur la lame. Une couche de vernis transparent est ensuite appliquée sur l'anneau. La lamelle est enfin déposée délicatement et bien horizontalement sur l'anneau.Après quelques observation, nous avons constaté que la présence de microbulles introduisait des mouvements d'ensemble des billes. Le nombre de lames réalisé a donc dû être très important pour ne retenir que quelques candidats à l'observation.

Enfin, ces lames ont été préparées suffisamment à l'avance pour qu'elles soient à la température de la pièce.

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Lame

Anneau de renfort

VernisSolution contenant les billes

Lame

Lamelle

Anneau de renfort

Solution contenant les billes

1.3)Observation Lors de l'observation des lames, on s'est trouvé confronté à de nouveaux problèmes.

• L'éclairage du microscope chauffe trop les lames. Elles se dessèchent sur le bord de l'anneau et induisent un mouvement d'ensemble du centre vers le bord. La solution a été d'utiliser un éclairage « maison » à base de diodes blanches.

• Les premières acquisitions ont été faites sans diffuseur, ce qui nous provoquait des anneaux de diffraction. On a alors utilisé le diffuseur du microscope.

• La dernière difficulté ne fut pas des moindre car la source des difficultés n'était pas évidente. Cette difficulté est la présence de vibrations. Les microscopes sont déjà équipés de patins qui amortissent les vibrations. Seulement, on devait observer des déplacements très petits, ce qui ne nous laissait pas la place pour les moindres vibrations. On a donc d'abord fait attention de ne pas marcher, de ne pas s'appuyer sur la table, de ne pas utiliser la souris sur la table. Les résultats ont été grandement améliorés mais insuffisamment. Une autre source de vibration polluait nos résultats. C'était certainement les voitures de la route toute proche. On a alors placé le microscope sur des tapis de souris en mousse et nos problèmes furent résolus.

Nos acquisitions vidéo sont de 10s environ.

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1.4)Extraction vidéo Notre vidéo étant au format avi, il nous a fallu extraire toutes les images à l'aide du logiciel libre VirtualDub. Ce fichier nous produit 25 images par seconde à partir de la vidéo, soit environ 250 images.

Nous avons un instant pensé suivre « à la main » un certain nombre de ces particules mais l'ampleur de la tâche nous en a dissuadé.On a donc effectué des recherches auprès des laboratoires travaillant sur le mouvement Brownien pour savoir s'ils n'utilisaient pas un logiciel de traitement de données.Notre recherche nous a conduits au laboratoire de microscopie mésoscopique et quantique de l'université Wesleyan dans l'illinois aux Etats-Unis. Le professeur Ryan Smith a développé une solution basée sur le logiciel IDL Virtual Machine.Cette version du logiciel IDL est téléchargeable et utilisable gratuitement.

1.5Rytrack

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Rytrack lit une à une toutes les images jpeg créées à partir de la vidéo grâce à VirtualDub. Il détecte les particules, leur affecte un numéro et les suit lors de la lecture des différentes images. Tout ceci serait d'une simplicité enfantine si la détection n'était pas aussi sensible aux différents paramètres de l'image. Il nous a donc fallu chercher les paramètres optimum pour nos images.Les différents paramètres et leurs fonctions sont les suivants:

• Image Processing • bandpass 1/2: applique un filtre à l'image. On règle en 1 la limite inférieure et en 2 la limite

supérieure.• Sobel smooth: fonction permettant de mettre en relief les bords des particules.• Threshold: niveau de seuil de l'image.• Invert image: inverse les couleurs.

• Particle identification: • Particle radius: estime le rayon des particules en pixels.• Particle spacing: estime la distance entre particules (au moins rayon+1 pixel).• Mass cut: ce paramètre est censé donner une limite à la masse des particules mais on ne

s'est pas servi de ce paramètre.• Eccentricity: définit l'excenticité des particules (0% particule circulaire, 100% particule

très allongée).• Radius of gyration: on ne s'est pas servi non plus de ce paramètre.

• Tracking parameters: • Maximum displacement: nombre maximum de pixels séparant deux images contiguës.• Good enough: nombre minimum d'images dans lesquelles se trouvent les particules pour être

validées.• Steps memory: nombre d'images contiguës au cours desquelles la particule peut ne plus être

détectée.• Overlay: on marque sur les images les particules détectées à l'aide d'une croix rouge.

Le logiciel génère un fichier « trackplusvels.dat » structuré comme suit:

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X Y intensité Rgyration2 excentricité numéro

imagenuméro particule

VX Vy nombre images sautées

On a utilisé seulement les résultats suivants:• X: abscisse de la particule.• Y: ordonnée de la particule.• Numéro image: numéro de l'image générée par VirtualDub. Cela nous renseigne

sur le temps car chaque image est séparée de 40ms.• Numéro particule: numérotation effectuée par Rytrack.

Exemple de résultats partiels:

X Y intensité Rgyration2 excentricité numéro

imagenuméro particule

VX Vy nombre images sautées

274.560 21.1833 3177.09 13.4615 0.0593163 0.00000 0.000000 -1.88135 1.76373 1.00000272.679 22.9471 2900.71 12.2240 0.0525266 1.00000 0.000000 -0.92340 -4.6717 1.00000271.755 18.2753 2669.57 11.7894 0.0619035 2.00000 0.000000 1.58960 -0.5933 1.00000273.345 17.6820 3469.79 13.5299 0.0564745 3.00000 0.000000 -0.268982 0.14521 1.00000273.076 17.8272 4317.19 14.3227 0.0241083 4.00000 0.000000 0.800995 0.14521 2.00000274.678 18.1177 1822.26 8.95303 0.0981259 6.00000 0.000000 0.804138 -1.4548 1.00000

On peut visualiser sur le graphique ci-dessous les positions successives des particules.

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Trajectoire des particules détectées.

1.6Dépouillement des données Après avoir récolté toutes les données avec Rytrack, il nous a fallu traiter ces données pour pouvoir tracer <R2> en fonction du temps.Le tableur utilisé précédemment étant insuffisant, on a écrit un programme nous permettant de traiter ces données. Ce programme se trouve en annexe mais on a schématisé son principe ci-dessous:

On donne ci-dessous un exemple de fichier résultat:

0.0000000 0.0000000E+00 0.0000000E+00 23 3.9999999E-02 4.1259374E-02 0.1480765 23 7.9999998E-02 5.0310045E-02 0.2176409 23 0.1200000 9.5846348E-02 0.2438745 23 0.1600000 0.1218897 0.3091497 23 0.2000000 0.1402311 0.3645335 23 0.2400000 0.1167020 0.3329209 23 0.2800000 0.1437904 0.3571266 23 0.3200000 0.2059990 0.3950484 22 0.3600000 0.2054171 0.4074155 23 0.4000000 0.2110287 0.4722677 22 0.4400000 0.2527131 0.4886871 21 0.4800000 0.2502733 0.5697902 22 0.5200000 0.2970507 0.5592035 23 0.5600000 0.2785857 0.5977014 23 0.6000000 0.3281651 0.7597092 21 0.6400000 0.3789302 0.6862180 23 0.6800000 0.4340362 0.8622663 23 0.7200000 0.3470249 0.9457545 22 0.7600000 0.5835276 1.076326 23 0.8000000 0.6526538 1.033578 23 0.8400000 0.7267198 0.9773878 23 0.8800000 0.7257103 0.9088517 23 0.9200000 0.6479348 0.9869829 21 0.9600000 0.7436449 1.068183 21 1.000000 0.8057364 1.175783 22

1.040000 0.8137870 1.315651 23 1.080000 0.9044662 1.471938 21 1.120000 0.8177044 1.382910 23 1.160000 0.7533365 1.406678 23 1.200000 0.7534571 1.470087 22 1.240000 0.7418059 1.503274 22 1.280000 0.8967742 1.543182 22 1.320000 0.9789959 1.632815 22 1.360000 1.054496 1.926120 22 1.400000 1.112568 2.083985 21 1.440000 1.283088 2.195992 23 1.480000 1.083718 2.481853 21 1.520000 1.085487 2.284874 22 1.560000 1.299190 2.447887 21 1.600000 1.316156 2.534556 23 1.640000 1.387210 2.526037 23 1.680000 1.476854 2.808641 22 1.720000 1.455581 2.689413 22 1.760000 1.389434 2.827413 22 1.800000 1.480533 2.969901 23 1.840000 1.549188 2.778915 23 1.880000 1.647671 2.715011 23 1.920000 1.794362 3.008959 23 1.960000 1.962496 3.003544 23 2.000000 2.220692 2.997638 23 2.040000 1.699526 3.159570 22 2.080000 1.667390 3.314990 21

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Déclaration variablesnuméro particule: np

numéro image: nixy

Lecture fichier trackplusvels.dat

x(np,ni)y(np,ni)

Fréquence paspasx(np,ni)=x(np,ni+1)­x(np,ni)pasy(np,ni)=y(np,ni+1)­y(np,ni)

Origine en (0,0)x(np,ni)=x(np,ni)­x(np,nimin)y(np,ni)=y(np,ni)­y(np,nimin)

Origine en t=0ni=ni­nimin

Moyenne<x2(np,ni)><y2(np,ni)>

Dans la première colonne se trouve le temps en seconde, dans la deuxième <x2> en m2, dans la troisième <y2> en m2, dans la quatrième le nombre de données disponibles pour le calcul des moyennes <x2> et <y2>.

• Le temps a été déduit du numéro ni de l'image car deux images successives sont séparées de 40ms.

• <x2> et <y2> ont été convertis de pixels en m grâce à la mire ci-contre.704 pixels pour 123m soit 1pixel=0,175 m

• La dernière colonne est importante car les moyennes n'ont un sens que si ce nombre est grand. Les dernières valeurs ont été souvent éliminées car peu de particules étaient suivies longtemps.

2) Nos résultats De nombreuses vidéos ont été réalisées afin d'éliminer toutes celles ne donnant pas satisfaction (peu de particules suivies, écoulements, oscillations).

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Mire pour le calibrage.

    Observation d'un courant.       Résultats inexploitables.

Début exploitable mais trop de dispersion en fin.

On a représenté ci-dessous un exemple d'acquisition satisfaisant nous permettant de calculer la pente à l'aide du logiciel gratuit gnuplot. Celui-ci permet de trouver la droite passant au milieu des points et nous donne la valeur de la pente avec une incertitude.Dans le cas ci-dessous, on trouve:

pente = 1,95 ± 0,02 m2.s-1

On déduit de la relation d'Einstein que:4D = pente = 1,95

D = 4,87.10-13 m2.s-1 = kT

6aLes données de cette acquisition ont été les suivants:T = 296,2±0,5K η=936.10-6±15.10-6 kg/m.s a=0,50m ± 3%

On en déduit k:

La moyenne effectuée sur l'ensemble des pentes des vidéos utilisables nous donne le résultat suivant:

Cette valeur encadre parfaitement la valeur réelle de 1,38.10-23J.K-1.

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t(s)

<R2>(m2)

k = (1,45±0,09).10-23 J.K-1

k = (1,42±0,09).10-23 J.K-1

Conclusion:Lors de notre découverte du phénomène aléatoire qu’est le mouvement brownien, nous pensions nous trouver face à un problème anodin. Au fur et à mesure de l’évolution de nos recherches, nous avons pris conscience de la complexité de ce phénomène physique qui valu le prix Nobel à Jean Perrin.

Partis d’un phénomène totalement aléatoire, nous avons repris l’évolution historique de l’étude du mouvement brownien : de la simple constatation comme le fit Robert Brown en 1821 aux lois statistiques déterministes amenées par Einstein (le mouvement brownien perdant au fur et à mesure de son caractère imprévisible). La démarche expérimentale fut par ailleurs particulièrement formatrice dans l’attention incessante aux erreurs pouvant interférer dans les expériences de détermination de la constante entrant dans la formule d’Einstein.

Finalement, nous avons pu constater à quel point un phénomène physique anecdotique peut mener à une véritable théorie, comme Einstein le fit en 1905, il y a maintenant un siècle, amenant la preuve irréfutable de l’existence de l’atome.

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ANNEXEPROGRAM brownianimplicit none! Declare variablesINTEGER::ni,np,i,ios,nptemp,npmax,ni2,ni2max,nim,step,comptz,h,compttotreal,dimension(1000,1000)::x,y,pasx,pasy,pasinteger,dimension(100000)::nimax,nimin,nitot,comptn,comptp,comptinteger,dimension(1000,1000)::testreal,dimension(1000)::somme_x,somme_yreal::xtemp,ytemp,a,b,c,pix,Dtopen (unit=1, file="C:\trackplusvels.dat",FORM='formatted',ACCESS='sequential',status='old',ACTION='read')open (unit=2, file="C:\results.txt",FORM='formatted',ACCESS='sequential',status='replace')open (unit=3, file="C:\pas1.txt",FORM='formatted',ACCESS='sequential',status='replace')

i=0nptemp=0npmax=0

pix=0.179Dt=0.04

! Lecture fichier .datdo while (ios==0)i=i+1read(1,*,iostat=ios) xtemp,ytemp,a,a,a,ni,np,a,aif (ios==0) thennp=np+1ni=ni+1x(np,ni)=xtempy(np,ni)=ytemptest(np,ni)=1

if (np.eq.nptemp) thennimax(np)=max(ni,nimax(np))nitot(np)=nitot(np)+1elsenimin(np)=ninimax(np)=ninitot(np)=1endif

nptemp=npnpmax=max(np,npmax)endifenddo

! frequence des pascompttot=0do np=1,npmaxnim=nimax(np)-1

do ni=nimin(np),nimif ((x(np,ni).NE.0).AND.(x(np,ni+1).NE.0)) thenpasx(np,ni)=x(np,ni+1)-x(np,ni)pasy(np,ni)=y(np,ni+1)-y(np,ni)pas(np,ni)=pasx(np,ni)step=anint(pas(np,ni)*10)

if (step.GE.1) thencomptp(step)=comptp(step)+1compttot=compttot+1elseif ((step.LT.0.5).AND.(step.GT.-0.5)) thencomptz=comptz+1compttot=compttot+1elseif (step.LE.-1) then

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h=-stepcomptn(h)=comptn(h)+1compttot=compttot+1endif

endifenddo

enddo

do i=99,1,-1write(3,*) -i*Dt,comptn(i)/compttotenddowrite(3,*) 0,comptz/compttotdo i=1,99write(3,*) i*Dt,comptp(i)/compttotenddo

! Origine en (0,0) okdo np=1,npmax

if (nimin(np).NE.0) thenb=x(np,nimin(np))c=y(np,nimin(np))

do ni=nimin(np),nimax(np)if (test(np,ni)==1) thenx(np,ni)=x(np,ni)-by(np,ni)=y(np,ni)-cni2=ni-nimin(np)+1ni2max=max(ni2,ni2max)if (ni2<ni) thenx(np,ni2)=x(np,ni)x(np,ni)=0y(np,ni2)=y(np,ni)y(np,ni)=0test(np,ni2)=test(np,ni)test(np,ni)=0endifendif

enddo

endifenddo

! Moyenne

do ni2=1,ni2maxsomme_x(ni2)=0somme_y(ni2)=0compt(ni2)=0do np=1,100

if (test(np,ni2).EQ.1) thensomme_x(ni2)=x(np,ni2)*x(np,ni2)+somme_x(ni2)somme_y(ni2)=y(np,ni2)*y(np,ni2)+somme_y(ni2)compt(ni2)=compt(ni2)+1endif

enddoif (compt(ni2).NE.0) thenwrite(2,*) (ni2-1)*Dt,somme_x(ni2)/compt(ni2)*pix**2,somme_y(ni2)/compt(ni2)*pix**2,compt(ni2)endifenddo

END program

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