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Classe de quatrième B TRUCHETET

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Chapitre 14Pyramides – Cônes de révolution

Compétences :

Exemples d'activités, commentaires :Géospace, feuilles blanches, scotch, fils.Ex N°2,7,20,21,22,48 p260 Interrogation I14DST n°14 poly DM N°14 ex 65 p260 5 /5

I. Pyramides

1) Observations

Activité 1Partie 1

1)2)3)Le solide a 5 faces.Une face est un carré : ABCD , quatre faces sont destriangles ASD,DSC, CBS, ASB.4)5)a)b) 2 faces latérales sont des triangles rectangles en A :SAB et SDA, ces 2 triangles sont superposables .Les 2autres faces latérales DSC et CBS sont des trianglessuperposables .

Annexe 1

Partie 21)2) Les arêtes latérales de cette pyramide sont de la même longueur.3) Les faces latérales d’une pyramide régulière sont des triangles isocèles superposables.4) Pyramide a base carrée en perspective cavalière :


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2) Définitions

a) Pyramides de sommet S

Définition :Une pyramide est un solide composé :

d’une face polygonale, appelée base de la pyramide. de faces triangulaires, appelées faces latérales de la pyramide.

Les faces latérales ont un sommet commun, appelé le sommet de la pyramide.

Définition :Les arêtes latérales sont les segments joignant les sommets de la base au sommet de la pyramide.

Définition :La hauteur d’une pyramide désigne :

Le segment issu de son sommet et perpendiculaire à la base. La longueur du segment joignant le sommet de la pyramide au pied de la hauteur.

Annexe 2

Exemple :

Le sommet de cette pyramide est le point S.La base de cette pyramide est le pentagone ABCDE.Les faces latérales sont SAB, SBC, SCD, SDE et SEA.Les arêtes latérales sont [AS], [BS],[CS], [DS] et [ES].La hauteur de la pyramide est [HS].

Annexe 3 à compléter


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2) Définitions








Annexe 2

Exemple :




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2) Définitions








Annexe 2

Exemple :




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b) Cas particuliers de Pyramides


Pyramide dont une arête est la hauteur de la pyramide.

Définition :Une pyramide régulière est une pyramide dont la base est un polygone régulier ( par exemple untriangle équilatéral ou un carré) et dont les faces latérales sont des triangles isocèlessuperposables.


Pyramide régulière à base triangulaire.La base de la pyramide est un triangle équilatéral

Pyramide régulière à base carrée.

Définition :Un tétraèdre est une pyramide dont la base est un triangle.


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3) Patron d’une pyramide

Définition (Rappel):Le patron d’un solide est un dessin qui permet après découpage et pliage de fabriquer ce solide.Chaque face est en grandeur réelle.

Remarque : Il y a plusieurs patrons possibles pour un même solide

Activité 2Partie 1

Pyramide 1 Pyramide 2 Pyramide 3Patron 3 Patron 1 Patron 4

Partie 21) Les faces latérales sont des triangles isocèles superposables.

2)3) b) SOI est un triangle rectangle en O, SO = 66 et OI = 105 : 2 = 52,5

Déterminons la mesure de [SI]Le théorème de Pythagore me permet d’écrire

2 2 2

2 2 2

2

66 52,5

7112,25

0

7112,25

84

SI SO OI

SI

SI

SI

SI

SI

[SI] mesure environ 84 m4)

A l’échelle 1

1500Taille figure en cm 1 10500

71500

8400

5,61500

Taille réelle en cm 1500 10500 8400


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Propriété admise :Un patron de pyramide se compose du polygone de base et des faces latérales triangulaires.

Remarque :il y a plusieurs patrons possibles pour une même pyramide.Annexe 6


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4) Volume d’une pyramide

Activité 31)a)b)

2) Le solide obtenu est un cube d’arête 5 cm3) a)

3

35

125

V C

V

V

Le volume du cube est de 125 cm3

b) Le volume de chaque pyramide représente le tiers du volume du cube


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1

31

125341,6

Pyramide Cube

Pyramide

Pyramide

V V

V

V

Le volume de la pyramide est d’environ 41,6 cm3.

4)

3

Aire de la base hauteurV

Vest le volume en unités de volume

Aire de la base est en unités d’aireHauteur est en unité de longueur

(Il est aussi possible de visualiser la partition d'un cube en trois pyramides à bases carrées ayant doncle même volume à l’aide de géospace trois_pyra.g3w)

Annexe 7

Propriété admiseLe volume d’une pyramide s’obtient en calculant le tiers du produit de l’aire de la baseDe la pyramide par sa hauteur.

1

3V Aire de la base hauteur Vest le volume en unités de volume



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II. Cône de révolution

1) Observations

Activité 4Partie 11)2)

Le point R décrit un cercle de centre O et de rayon RO

Annexe 8

3) Le solide visualisé décrit par le triangle lors de son mouvement est appelécône de révolution.Le crayon représente l’axe du cône, le segment [SO] est sa hauteur.[SR] est une génératrice du cône.

Partie 21)2)Annexe 9

2)b) On parle de cône de révolution car lorsqu’un objet tourne d’un tour autour d’un axe on dit qu’ileffectue une révolution.


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2) Définitions

Définition :Un cône de révolution est un solide généré par un triangle rectangle en rotation autour d’un descôtés de son angle droit.Il est constitué :

D’un disque appelé base du cône de révolution. D’une portion de disque appelée face latérale du cône, dont le centre est le sommet du cône

et qui est « enroulée » autour de la base.

Annexe 10

Définition :La hauteur du cône de révolution désigne le segment qui joint le centre de ce disque au sommet ducône ; il est perpendiculaire au disque de base.On appelle aussi hauteur la longueur de ce segment.

Définition :Une génératrice du cône désigne tout segment ayant pour extrémités le sommet d’un cône derévolution et un point du cercle de base.

Exemple :Ce cône de révolution est engendré par la rotation dutriangle SOR rectangle en O autour de l’axe [SO].Le sommet du cône est le point S.La base de ce cône est le disque de centre O et de rayon[OR].La hauteur du cône est le segment [SO].Le point O est le pied de la hauteur.Le segment [SR] est une génératrice du cône.



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2) Définitions




Annexe 10






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2) Définitions




Annexe 10






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3) Patron d’un cône de révolution

Activité 5Partie 1

1) 2)3)4)5)Annexe 12

6) a) Je peux conjecturer que la nature de la surface obtenue en découpant la surface latéraled’un cône de révolution le long d’une génératrice, puis en la posant à plat est un secteurcirculaire.

b) Je peux conjecturer que la longueur de l'arc de cercle limitant ce secteur circulaire est égaleau périmètre du disque de base.

Partie 2On veut construire un patron d’un cône dont la génératrice mesure 5 cm et le rayon de base 1,5 cm1) Calcul du périmètre exacte P de la base du cône.

2

2 1,5

3

disqueP r

P

P

2) La longueur de l’arc de cercle AB correspondant à la surface conique est donc de 3 .3) Calcul du périmètre exacte P’ de la base du cône.

' 2

' 2 5

' 10

génératriceP r

P

P

4)

On admet qu’il y a proportionnalité entre la mesure de l’angle au centreAOB et la longueur de l’arc quil’intercepte.

Longueur Mesure de l’angleGrand cercle 10 360°

Arc de cercleAB 3 AOB


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L’angle au centre AOB et la longueur de l’arcAB sont proportionnels .

3360

10

108

AOB

AOB

4) Patron du cône :

Propriété admise :Un patron de cône de révolution se compose du disque de base et d’un secteur circulaire.La longueur de l’arc de cercle de ce secteur est égale au périmètre de la base.Annexe 13 à compléter


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4) Volume d’un cône de révolution

Activité 61) Volume d’une pyramide de hauteur h et d’aire de base B

3

Aire de Base hauteurV

V est le volume en unités de volume

2) a) La pyramide ressemblerait à un cône de révolution si sa base comportait 2 007 côtés.b) Nous pouvons donc conjecturer une formule qui permet de calculer le volume d’un cône.

3

Aire de la base hauteurV

Vest le volume en unités de volume


Propriété admiseLe volume d’un cône de révolution s’obtient en calculant le tiers du produit de l’aire du disque debase par sa hauteur.

1

3V Aire du disque de base hauteur Vest le volume en unités de volume.

Aire du disque de base est en unités d’aire.Hauteur est en unité de longueur.

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