cKȼ, un modèle de connaissance : spécificité et utilisations

cK¢origine, cadrage théorique, utilisations et questions

Nicolas BalacheffCNRS – Laboratoire d’informatique de [email protected]

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Une problématique de modélisation

« modéliser c’est-à-dire trouver une représentation, […] une interprétation des mesures qui permet d’envisager des prédictions […] Les modélisations sont partiellement formalisées. Elles doivent être comprises et sont donc constituées de langage ordinaire et de symboles chargés de sens. »

Nicolas Bouleau in « Enquête sur le concept de modèle » (PUF 2002)

Notre problématique : l’ingénierie didactique ...

« en dernier ressort, c’est l’action du sujet en situation qui constitue la source et le critère de la conceptualisation » (Vergnaud 1991 p.166)

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un concept didactique en acte

Conception

Nicolas Balacheff, PME-NA 2013, November the 14th 3

Conceptionun concept didactique en acte

Le terme «conception» répond à deux nécessités (Artigue 1991) :

« mettre en évidence la pluralité des points de vue possibles sur un même objet mathématique, différencier les représentations et modes de traitement qui lui sont associés, mettre en évidence leur adaptation plus ou moins bonne à la résolution de problèmes. »

« aider le didacticien à […] différencier le savoir que l’enseignement veut transmettre et les connaissances effectivement construites par l’élève »

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Conceptionun concept didactique en acte

Analogue sujet, à un moment donné, du concept (Vergnaud 1982)

Connaissances locales, opérantes sur des sous-clans du champ conceptuel, et pour certaines valeurs des variables des situations concernées, c’est ce savoir local que nous appelons conception (Duroux 1982)

Les connaissances locales sont des connaissances limitées. Au titre de connaissances elles sont valides, cohérentes et efficaces […]

(Léonard et Sackur 1991)

5

cadre théorique : la TSD

cK¢

6

cK¢, cadre théorique : la TSD

Des postulats : La connaissance est le produit de l’adaptation

à une situation.

chaque savoir peut être caractérisé par une situation adidactique qui en préserve la signification.

L’enseignant est engagé dans un jeu déterminé par un système d’interactions qui implique l’élève et l’environnement social et matériel dans la classe, cette situation est la situation didactique.

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Au cœur de la TSD : le concept de situation

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dévolution institutionalisation

situation adidactique

situation didactique

situation d’enseignement effective

situation fondamentale

restrictiondéformation

analyse des savoirs


Situation d'enseignement

jeu spécifique du savoir visé, entre différents sous-systèmes :

le système didactique

le système élève

le milieu

…

caractérisation des systèmes, des conditions de leur évolution et du contrôle de cette évolution

Décrire ces sous-systèmes par le seul recours aux relations qu'ils entretiennent


Problème

Action

Représentation

Contrôle

Situation d'enseignement

jeu spécifique du savoir visé, entre différents sous-systèmes :

le système didactique

le système élève

le milieu

…

caractérisation des systèmes, des conditions de leur évolution et du contrôle de cette évolution

Décrire ces sous-systèmes par le seul recours aux relations qu'ils entretiennent.


Provoquer les adaptations les problèmes la réponse de l'élève

doit être motivée par les nécessités de ses relations avec le milieu.

Le milieu est le système antagoniste du système enseigné

Les relations entre l’élève et le milieu appartiennent à trois catégories

ActionFormulationValidation

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le milieu peut être matériel, « virtuel », social ou

symboliqueil est le plus souvent une

hybridation de ces modalités


Le sujet et le milieu se définissent mutuellement et dialectiquement dans le jeu de leurs actions et rétroactions

La connaissance est « attribuée » à l’élève

dans le cadre de l’interaction

relativement aux caractéristiques de la situation

propriété de l’interaction entre l’élève et le milieu

La construction d’une situation repose sur

un raisonnement sur les comportements de l’élève (analyse a priori)

hypothèse d’adéquation du milieu

caractérisation de l’interaction entre le milieu et l’élève

L’évaluation d’une situation (apprentissage résultant) repose sur

l’observation des actions et des productions

de l’élève actant et du milieu réactant

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construction du modèle

cK¢

13

cK¢ construction du modèle

Conception

propriété du système S/M

état d'équilibre de la boucle action/rétroaction

S /M sous des contraintes proscriptives de viabilité

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S Mrétroaction

contraintes

action

Pour mémoire : organiser les relations entre les notions de

- Concept- Savoir- Connaissance- Conception

cK¢ construction du modèle

Point de départ : Vergnaud (1991 p.145)- situations qui donnent du sens au concept (la référence)- invariants sur lesquels repose l’opérationnalité des schèmes (le signifié)- formes langagière et non langagières qui permettent de représenter symboliquement le concept, ses propriétés, les situations et les procédures de traitement (le signifiant)

Pour un concept donné, la connaissanced’un sujet peut s’actualiser en des conceptions distinctes, selon les caractéristiques des situations

Les éléments de caractérisation sont…Les problèmes liés à des situationsLes systèmes de représentationLes moyens de traitement

actionsdécisions

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S Mrétroaction

contraintes

action

C = (P, R, L, ∑)

P ensemble de problèmesdécrit le domaine de validité de la conception, sa sphère de pratique. Problèmes comme perturbation du système.

R ensemble d’opérateursils permettent la transformation des problèmes (résolution)ils sont attestés par des productions et des comportements

L système de représentationreprésentation langagière ou nonregistre sémiotique au sens de Duval

Σ structure de contrôledétermine la validité des actions et leur adéquation, l’évaluation de l’état d’une résolution, assure la non contradiction, fonde les décisions

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S Mrétroaction

contraintes

action

C = (P, R, L, ∑)

Problèmes

perturbation du système S/M- capacité de S à identifier la perturbation,- capacité de M à attester de la perturbation

Nécessité de la situation comme source de la perturbation et justification de l’intérêt qui lui est porté (dévolution)

Difficulté

Caractériser l’ensemble des problèmes définitoires : sphère de pratique

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S Mrétroaction

contraintes

action

C = (P, R, L, ∑)

Représentation

(i) des traces identifiables

(ii) règles de transformation pour produire d'autres représentations

(iii) règles de conversion vers un autre système de représentation

(iv) règles de conformité pour la constitution des unités de niveau supérieur.

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signifié

signifiant

significationréférence

représentation

objet

S Mrétroaction

contraintes

action

(Duval)

C = (P, R, L, ∑)

Contrôles

juger la validité et adéquation des actions

évaluer une résolution assurer la non contradiction fonder les décisions

méta-connaissances(Rogalski, Robert et al.)

Deux difficultés ils sont le plus souvent implicites la distinction entre contrôle et

opérateur n’est pas absolue mais relative à une conception

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S Mrétroaction

contraintes

action

(a+b)² = a²+2ab+b² opérateur de réécriture identité remarquable

Une illustration en arithmétique

cK¢ pour modéliser les conceptions

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Addition, from fingers to keystrokes

C1: Verbal counting IIIII & III

P – Quantify union of two sets, objects are physically present, both cardinals are small.

R – match fingers or objects and number names, pointing objects

L – body language, counting

Σ – not counting twice the same, counting all, order of the number names

C3: written addition 381+97

P – adding two integers

R – algorithm of column addition

L – decimal representation of numbers

Σ – check the implementation of thealgorithm, check the layout of number addition


C 2: Counting on 15+8P – The numbers are given, but the collections are not present, one of the numbers must be small enoughR – choose the greater number, count-on to determine the result.L – body language, number naming, verbal counting.Σ – order of the number names , match fingers to number names

C4: Pocket calculator P – adding two integersR – keystroke to represent a number, to process number additionL – body language (keystrokes), decimal representation of numbers on the screenΣ – keystrokes verification, order of magnitude.

Addition, from fingers to keystrokes


operators actions at the interface of the learner/milieu system;

representation system semiotic means to represent problems, support interaction and represent operators

set of problems problems for which the conception provides efficient means

control structure making choices, assessing action and feedback, taking decisions, judging the advancement of the problem or task

La somme des angles…

Calcul de situations didactiques

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Le calcul de situations didactiques

Déterminer un objet d’enseignement en termes de conception cible

C = (P, R, L, ∑)

C = (P, R, L, ∑)



C = (P, R, L, ∑)

C = (P, R, L, ∑)

action

rétroaction

contraintes

S M

Quel milieu

Quellescontraintes

Quellesconceptions



C = (P, R, L, ∑)

C = (P, R, L, ∑)

action

rétroaction

contraintes

S M

Quel milieu

Quellescontraintes

Quellesconceptions

ActionDécisionReprésentation

RétroactionInterface

PerturbationDévolution


C = (P, R, L, ∑)

C = (P, R, L, ∑)

Quel est le périmètre d'un triangle ?

Quelle est la somme des angles d'un rectangle ?

Quelle est la somme des angles d'un triangle ?

Langage de la familiarité (les formes et les dessins) et une pratique

Obtenir une évolution des contrôles


1. Tracer un triangle, mesurer les angles et calculer la somme des résultats obtenus… tous les résultats sont acceptés

2. Un même triangle pour tous les élèves… un pari, des résultats…

3. Trois triangles, très différents de forme… les élèves sont par groupes de quatre… un pari, des résultats...

4. Enoncé d'une conjecture, preuve et argumentation

P - activité familière de mesureR - manipulation des instruments, arithmétique élémentaireL - spatio-graphique, représentation numériques, gestes∑ - règles de l’art, ordres de grandeur, contrôles perceptivo-gestuel

Dessin

figure

InvariantPropriété géométrique

Thèse de Salima Tahri (1993)

La conception d’un tuteur hybride

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Conception d’un tuteur hybrideThèse de Salima Tahri, première utilisation de cKc (1993)

Un contexte

- étude des décisions didactiques

- conception d’EIAH

Deux verrous

diagnostic des conceptions

choix d'une situation et du feedback approprié.

Deux niveaux de modélisation comportemental

épistémique

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EIAO : enseignement intelligemment assisté par ordinateur. Aujourd’hui EIAH : environnement informatique et apprentissage humain


construire le symétrique d’un segment

(source Grenier)

dans le contexte de la géométrie dynamique

31

un binôme d’élèves un binôme tuteur (formateur, élève-maîtredistance physique et un guide diagnostic/feedback


32

un binôme d’élèves un binôme tuteur (formateur, élève-maîtredistance physique et un guide diagnostic/feedback


30 figures réalisables (sur 81)

Répertoire de conception (Grenier)

exemple

« Le rappel vertical: les élèves tracent les images du segment sur une direction verticale au lieu de faire un report orthogonal à l'axe (voir Fig.3, 14). Dans le cas où l'axe est horizontal, elle se confond alors avec un report orthogonal à l'axe. »

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Axe Segment Angle Intersection

H Horizontal 0° oui (quelconqueou extrémité)

V Vertical 90° inclusion

O Oblique α non

Conception d’un tuteur hybrideThèse de Salima Tahri, première utilisation de cK¢ (1993)

Morad : Vas dans création ... point de base

Antony : Eh oui, si jamais tu mets, euh .. .il faut que ça soit symétrique ... Parce que si tu replies, ça se met parfaitement (soupirs)

Morad : On fait un losange. ( ... ) Ben c'est ça.

Antony : Il faudrait faire un point qui soit pareil là ... je vais faire un point qui soit parallèle à cette droite pour ensuite mettre le cercle, mettre le point, juste par là

34


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« La prise en compte de l'intention du binôme dans le diagnostic d'une action a été l'aspect le moins évident pour les tuteurs humains […] la question de l'intention soulève celle des implicites » (p.216)

Philippe: mais non c'est faux là, parce qu'il est pas perpendiculaire à l'axe.Nathalie: la droite, elle est pas perpendiculaire ?Philippe: j'étais persuadé qu'elle était perpendiculaire! Non, voilà! non, c'est pas une droite ...Nathalie: bon, l'extrémité 2, la droite elle est pas perpendiculaire à l'axe, elle est perceptivement orthogonale à l'axe et le premier elle est comment?Philippe : elle est perpendiculaire.Nathalie: et c'est dommage parce qu'on va dire que c'est faux et c’est presque juste

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Projet Baghera (début des années 2000)

cK¢ à l’épreuve de l’IA

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Baghera : cK¢ à l’épreuve de l’IA

- élèves

- enseignants

- agents artificiels

un environnement de géométrie dynamique et d’expression du raisonnement

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39


40

1. N est le milieu de [AC].

2. O est sur la même droite que N mais de l’autre coté de la ligne (d).

3. M est sur (d).

4. Donc, M est son propre symétrique par rapport à (d).

5. O est l’opposé de N, son symétrique.

6. Donc, [MN] est le symétrique de [MO].

le symétriquede [NM] par rapport à (d) est [MO].


41

le symétriquede [NM] par rapport à (d) est [MO].

R

∑


Les leçons de l’utilisation de HOARD-ATINF (Caferra et al.)

- Le operateurs ne suffisent pas à déterminer une conception.

- Les contrôles sont discriminants



A

B A´

B´

D

A

BA´

B´

D

Conception « parallélisme » Conception « symétrie orthogonale »

correctincorrect

A

B

A´

B´

D

Quelle conception ?


Agent Problèmereconnait la catégorie du problème

exemple : (a: vertical; s: vertical/oblique; intersection: vide; angle: qcq)

Agent Opérateuridentifie les opérateurs dans la résolution observée

exemple : transitivite_parallelisme, sym_ax_para

Agent Contrôleidentifie les contrôles explicités ou probables

(appartenant au répertoire d’une conception)

exemple : orthogonalité par rapport à l’axe

p1 r2

C2 C3 C4

∑RP L∑RP L∑RP L

s3r2

P R L ∑

p2 p3 r1 r3 l1 l2 l3 s1 s2p1

C1

s3

Baghera : cK¢ à l’épreuve de l’IAThèse Carine Weber, dir. Sylvie Pesty, NB, 2003

Les composants élémentaires ne sont pas spécifiques d’une conception, la reconnaissance de celle-ci a donc en générale un solution non déterministe. Principe : constituer des coalitions favorables à telle ou telle conception hypothétique (approche supervisée)

AB//d, A’B’//d (symétrie)donc AB//A’B’ car quand deux droites sont parallèles à une troisième droite,elles sont parallèles.

AM d; BN d (symétrie axiale)donc AA’ et BB’ sont perpendiculaires à ddonc AA’ et BB’ sont parallèles car si deux droites sont perpendiculaires à une droite, elles sont parallèles.Donc AA’BB’ est un parallélogramme.

(ABB’A’) est un rectanglecar AB parallèle à A’B’, puisque A’B’ est la symétrie de AB donc AB//A’B’, puis ils sont isométriques.

d

A

B

A'

B'

M

N

Soit le segment [AB] parallèle à la droite d. Soit [A'B'] le symétrique de [AB] par rapport à d. Le segment AB ne touche pas la droite d. Quelle est la nature du quadrilatère ABB'A' ?

Transitivité du parallélisme

Perpendiculaire

Parallélisme

Orthogonalité

axe : vertical; segment: vertical;intersection: vide;

angle: 0°.

Baghera : cK¢ à l’épreuve

État initial t0

Agent Tuteur

Agents problèmes,opérateurs et contrôle.

Preuve de l’élève Problème conceptions

ParallélismeS.CentraleS.Oblique S.Orthogonale


État t1


Agent inactifAgent actif

Transitivité_parallélisme

Parallélisme


C2 C3 C4C1

11 votes 7 votes4 votes1 vote

Configuration stable

Agent Tuteur

État tn




Analyse indépendante

28 copies

trois équipes de pays différents

liberté sur la méthode

Niveau d’accord

19 accord sur le diagnostic

5 accord sur son incertitude

avec Baghera

17 accords total parmi les 19 surlesquels les humains s’accordaient.

50

Thèse Vilma Mesa, 1996, Michigan

cK¢, guide d’analyse des manuels



1. Quelles conceptions de la notion de fonction suggèrent les manuels ?

2. Qu’en est-il selon les différents pays ?

3. Quels impacts sur les apprentissages ?

Etude TIMSS par Vilma Mesa, Michigan


Quel usage de la notion de fonction dans les problèmes ?critère de construction de P

De quoi l’élève a-t’il besoin pour résoudre les problèmes ?détermination de R

Quelles représentations sont nécessaires ?détermination de L

Comment l’élève sait que sa réponse est correcte ?détermination de Σ

En relation avec les catégories prototypiques de Biehler.


Formalisation de la procédure de codage, méthode des juges

Corpus d’ouvrages de 48 pays 2304 énoncés

P - 10 catégories

R - 39 items

L - 9 items (graphique, numérique, verbal,

Σ - 9 items

Conception : Formule, paire ordonnée, données sociales (contrôle par le contexte), phénomène physique (contrôle modélisation), image contrôle (représentation multiples)


Analyse de fréquence des quadruplets pour dégager les « types » et « antitypes »

Types dominants Symbolic rule 20 %

Ordered pair 14 %

Social data 7 %

Physical phenomena 4 %

Controlling image 3 %

“ the TIMSS items, as a set, do not share the same characteristics as those depicted by the tasks in the textbooks”

Retour sur les origines

cK¢ et le lien preuve connaissance

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A partir d'un segment AB, on construit

un cercle ayant AB comme diamètre.

Partager AB en deux parties égales,

AC et CB. On construit deux cercles

ayant pour diamètres respectivement

AC et CB. On continue à découper les

segments résultant en deux moitiés,

et on construit sur ces parties les

cercles ayant pour

diamètres ces segments.

Comment varie la longueur totale

des périmètres ?

Comment varie l'aire totale des

cercles ?

cK¢, retour sur les origines…

A BC


Ludovic : oui, par contre l'aire… l'aire c'est πr2 au carré

[…]

Vincent : Oui, π(r/2)2 plus π(r/2)2 est égal à

Ludovic : est égal à … πr2/2 […] et donc c'est toujours la moitié de la précédente

Vincent : l'aire est à chaque fois divisée par deux…et à la limite? A la limite c'est une droite, confondue avec le segment de départ …

[…]

Ludovic : oui c'est vrai que si on continue…

Vincent : elle tend à zéro

Vincent : oui mais alors le périmètre ?

Ludovic: non, le périmètre est toujours le même

Vincent : au pire le périmètre il tombe jusqu'à deux fois le segment

[…]

Vincent : oui mais quand l'aire tend à zéro ça sera presque égale…

Ludovic: non, je pense non

Vincent : si on fait tendre à zéro l'aire on fait tendre le périmètre aussi… je ne sais pas…

Ludovic: Je finis la première démonstration

Cadre algébrique

aire/périmetre

formuleLudovicConception algébrique

Vincentconception

arithmétique

symbolique



Étudier la complexité de la relation entre preuve et argumentation impliquantles connaissances(conceptions) engagées dansla résolution du problème


Avec Bettina Pedemonte (article soumis)


61


62

et la TAD dans tout ça ?

à coup sûr vous alliez me le demander

63

et la TAD dans tout ça…

dans le cadre de la TAD, modéliser les connaissances de l’apprenant

Croset et Chaachoua

praxéologie personnelle organisation praxéologique de

l'activité d'un sujet institutionnel caractérisée par…

Un type de tâches personnel --ensemble des tâches que le sujet perçoit comme similaires, provoquant chez lui l'application d'une technique. Une technique personnelle --permet de résoudre un seul type de tâches personnel.Une technologie personnelle, explicite ou non, gouverne et légitime l'utilisation de praxis personnelles

Une théorie personnelle qui justifie la technologie personnelle.

64

P

R

LΣ

?

?

?

ce dont je n’ai pas parlé…

Conclusion


ce dont je n’ai pas parlé…

du développement du modèle :

les rapports entre conception, connaissance et concept (c.f. cours école d’été 2003)

la contre-transposition (thèse Keskessa)

la relation duale conception et problème

de la modélisation de l’apprentissage comme parcours dans un espace conception/problème

de la modélisation des décisions didactiques

de l’ambition d’une encyclopédie des conceptions comme préalable…

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cKȼ, un modèle de connaissance : spécificité et utilisations

Education

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