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7/21/2019 circuit LC .pdf

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SERIE N° 5

ETUDE DES OSCILLATIONS LIBRES NON AMOTIES

CIRCUIT LC

Exercice 1On se propose d’étudier le montage électrique schématisé parla figure 1 ci-contre

Partie I.

Initialement les deux interrupteurs sont ouverts etle condensateur est déchargé. A l’instant 0 =0 on ferme uniquementl’interrupteur K 1 1) Quelle tension doit-on visualisée à l’aide d’un oscilloscope à mémoire pour d’étudier l’évolution

de l’intensité i(t) ? Justifier.2) On donne sur la figure 2 ci-dessous la courbe de l’évolution de i(t) et celle de l’évolution de uC (t)

au cours de la charge du condensateur.a. Monter que la courbe B ne peut pas correspondre à l’évolution i(t) pendant la charge du

condensateur.b. En exploitant la courbe C déterminer la constante de temps caractérisant la durée de charge du

condensateur ainsi que la valeur de la f.é.m E du générateur.(garder les constructionsgraphiques justifiant votre réponse sur la courbe C).

b. Compte tenue des résultats précédents et des données, déduire la valeur de R0 et de C.

Partie II

Le régime permanant est atteint, à l’instant de date t 1 choisi comme une nouvelle origine des dates, onouvre l’interrupteur K 1 et on ferme l’interrupteur K 2 On suppose dans cette partie que la bobine est purement inductive, soit de résistance interne nulle.Sur le graphe de la figure 3 (page suivante) on donne l’évolution de la tension uC (t) au cours du temps.1) a. Quelle est le régime d’oscillation de la tension uC

(t) ?

b. Les oscillations de la tension uC (t) sont-elles libres ? Sont-elles amorties ? Pourquoi ?

2) a. Déterminer graphiquement la période propre des oscillations de la tension uC (t).

Déduire la fréquence propre des oscillations.b. Déterminer l’expression numérique de la tension uC (t).

3) En justifiant, représenter sur la figure 3 en annexe la courbe donnant l’évolution au cours

du temps de la tension uL (t) aux bornes de la bobine.La tension u

C (t) est liée à sa dérivé seconde par la relation :

a. Montrer que l’énergie totale E du circuit se conserve au cours des oscillations.

b. Calculer à la date t = 8,24 ms l’énergie E L localisée dans la bobine. On donne C=10

-5

F.



Exercice 2Les armatures d'un condensateur chargé sont reliées à une bobine d'inductanceL dont on néglige la résistance.

À un instant pris comme origine des temps, on ferme l'interrupteur K.On note q(t) la charge de l'armature reliée au point A ; à l'instant t = 0 , i

cette armature est chargée positivement, de sorte que UC =U0 > 01) À la fermeture de l’interrupteur K des oscillations qualifiées de

« libres » « non amortie », naissent dans le circuit. Expliquer la signification de ces deux qualifications.2) Par application de la loi des mailles établir l'équation différentielle régissant la variation de Uc (t).3) Rappeler l’expression la période propre T 0 des oscillations.

4)

La représentation graphique de la solution de l’équation différentielle est donnée par la courbe 1:La solution de l’équation différentielle est : uC (t) =X.sin(Y.t+Z).

a- Déterminer les constantes X,Y et Z.b- Déduire l’expression de la force électromotrice

d'auto-induction e(t) qui apparaît aux bornes de la bobine.c- Écrire l’expression de l’énergie électromagnétique en

fonction de la variable uC (t) et i ( t )

5) La courbe 2 donne la variation de l’énergie électrostatiqueE C

(t) emmagasinée par le condensateur en fonction de

la tension uC à ses bornes.En justifiant la réponse, et en exploitant la courbe 2 :a- déduire que la capacité du condensateur est 47μF ; b- L’énergie électromagnétique E(t) stockée dans le circuit ;c- L’énergie magnétique maximale E Lm , pouvant être

localisée dans la bobine.6) La pulsation propre des oscillations est ω0 = 392,5 rad.s-1

a- Déterminer la valeur L de l’inductance de la bobine.b- La valeur de l’intensité du courant électrique dans le circuit

à l’instant t =3

4

.



Exercice 3

On considère un circuit formé par une bobine d’inductance L et de résistance négligeable, et d’un condensateur decapacité C initialement chargé (q = Qmax).

1) a- Etablir l’équation différentielle vérifiée par la tension Uc aux bornes du condensateur.b- Déduire la nature des oscillations du circuit.

2) Exprimer l’énergie él ectromagnétique E du circuit en fonction de Uc et i, déduire l’expression de uc2 en fonction de i.

3) On donne les courbes des figures 1 et 2La figure 1 Ee = f (t) (Ee : énergie électrostatique dansle condensateur) et la figure 2 uc

2= f (i).a- Donner la relation entre la période T de Ee et la période T 0

de l’oscillateur puis déterminer à partir de la courbe dela figure 1 : la pulsation propre et de la courbe de la figure 2 :Ucmax et Imax .

b- déduire les valeurs de : La capacité C du condensateur etL’inductance L de la bobine.4) a- Donner les expressions de Uc (t) et i(t) et les représenter

dans le même repère.

b- Déterminer la valeur de q lorsque i prend pour la 1er foisla valeur i = Im/ 2

5) On ajoute au circuit précédant en série un conducteurohmique de résistance R réglable.a- On varie R et on observe à l’oscilloscope les variations de

Uc (t), on constate que pour R= R0 la courbe pressente3,25 oscillations puis Uc s’annule.Représenter l’allure de uc (t). Nommer ce régime etdonner sa définition.

b- Donner l’équation différentielle vérifiée par la charge q.c- Montrer que l’énergie décroît au cours du temps.

d-. Calculer la variation de l’énergie entre t=0 et t 1 =3T sachant qu’à t = 0, Uc =Ucmax et à t= t 1 = 3T, Ucmax 1= 0,5Ve- Pour R=R1 , Uc (t) passe de Ucmax à 0 sans qu’elle change de signe, comparer R0 et R1. Quel est ce régime.

Exercice 4

Avec un générateur de tension idéal, de f.e.m. E= 6V constante et un condensateur de capacité C=15 μF et une bobined’inductance L et de résistance négligeable, on réalise le circuit de la figure1

A- L’interrupteur K est dans la position (1) :

1) Calculer :a- La charge maximale Q0B acquise par l’armature(B) du condensateur.

Déduire la charge maximale portée par le condensateur.

b-

L’énergie électrostatique E cmax emmagasinée par le condensateur après sa charge.

B- L’interrupteur K est basculé dans la position (2) :

Le condensateur se décharge dans une bobine idéale d’inductance L.1) a- Etablir l’équation différentielle des oscillations électriques

à laquelle obéit la charge q de l’armature A du condensateur .b- Montrer que l’énergie totale E du circuit est conservée.

Donner sa valeur.2)

Le graphe donnant les variations de la tension uC en fonctiondu temps est donné par la figure 2 ci-contrea- Exprimer, en fonction du temps, la tension UC .

b-

Déduire l’expression de l’intensité instantanée i(t). Calculerla valeur de l’inductance L.



3)

On note Ec l’énergie électrique emmagasinée par lecondensateur à une date t quelconque.a- Exprimer EC en fonction de l’énergie totale E, L et i.b- On donne le graphe de EC en fonction de i2 (figure 3).

Retrouver graphiquement et en le justifiant :

La valeur de l’énergie totale E.

L’amplitude de l’intensité.

La valeur de l’inductance.

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