Cinétique PFD Rendement Résolution Puissance Th. de l’E c Éq. du mvt Équilibrage 2 ème année...

CinétiqueCinétique

PFDPFD

RendementRendement

RésolutionRésolution

PuissancePuissance

Th. de l’ETh. de l’Ecc

Éq. du mvtÉq. du mvt

ÉquilibrageÉquilibrage

2ème année Guillaume CHAPEY - Lycée du Parc 1


PFDPFD

RendementRendement


PuissancePuissance





Cinétique

Toujours commencer par l’étude des symétries !Toujours commencer par l’étude des symétries !

Détermination du centre de gravitéDétermination du centre de gravité

- Méthode intégrale : S

m.OG OM .dm��

- Méthode barycentrique : 1 2 1 1 2 2( m m ).OG m .OG m .OG ��

- Méthode dite de Guldin :

G d’une courbe (1er th de Guldin) :

S = (2 π rG) . LG d’une surface (2ème th de Guldin) :

V = (2 π rG) . S

(C)

rGG

P)

(S)

rGG

P)


PFDPFD

RendementRendement


PuissancePuissance





Cinétique Moments d’inertie d’un solideMoments d’inertie d’un solide

u

Mdm

(S)

O

H

d

par rapport à un axe :

2 2( , ) . . ( )Ou

S S

I S HM dm d dm I S ��

par rapport à un point A :2

( ) .AS

I S AM dm��

Exemple : soit M un point de coordonnées (x, y, z) dans un repère ( , , , ) :O x y z��

2 2 2 2 2,

( ) ( ). ( ) ( ).O O xS S

I S x y z dm et I S y z dm ��

Déterminer pour un cylindre d’axe , de rayon R, de hauteur h et de masse m.

,O zI ( , )O z

Déterminer le moment d’inertie d’une sphère de rayon R et de masse m par rapport à son centre O puis par rapport à un diamètre quelconque.


PFDPFD

RendementRendement


PuissancePuissance





CinétiqueMatrice d’inertieMatrice d’inertie

,

,

,

( )Oxz

O Oyzo y

ROxz O

Oxy

Ox

y o z

o

z

y

R

x P E

I S I P B D

E D CP IP

PI F

P F

A

��

��

2 2,

( ). : ' /( , )O x

S

I y z dm moment d inertie O x ��

. . : ' / ( , , )OxyS

P x y dm produit d inertie plan O x y��

Propriétés : Si le plan est plan de symétrie alors la matrice s’écrit :( , , )O x y��

(_,_, )

0

0

0 0

( )O

z

A F

I S F B

C

Si l’axe est axe de révolution alors la matrice s’écrit :( , )O z

(_,_, )

0 0

0 0

0 0

( )O

z

A

AI S

C

Exercice : déterminer la matrice d’inertie en G d’un cylindre de rayon R, de hauteur h, de masse m et d’axe (G,z)

déterminer la matrice d’inertie en G d’un parallélépipède de masse m et de côtés a, b, c.


PFDPFD

RendementRendement


PuissancePuissance





Cinétique Théorème de HuygensThéorème de Huygens

G

u

(S) A

d

2, ,( ) ( ) .

A u G uI S I S md

² ² . .

( ) ( ) . . ² ² .

. . ² ²P G

R

x x

x x

x x

zy

I S I S m

y

y y

y

z

z z y

z z

. . .avecPG x yx zy z ��

Pour un moment d’inertie :

Pour une matrice d’inertie :


PFDPFD

RendementRendement


PuissancePuissance





Cinétique Torseur cinétiqueTorseur cinétiqueou torseur des quantités de mouvement d'un système matériel E par rapport à R

. ( , /( /

( , /

)

) . ( , / ) ( ). ( / ))

AAA S R m A

mV G

G V A S R I R

S RC

SS R

S

��

��

Résultante cinétique ou quantité de mouvementMoment cinétique en A par rapport à R

Cas particuliers :

Si A = G, alors : ( , / ) ( ). ( / )AA S R I S S R ��

Si A fixe dans R, alors : ( , / ) ( ). ( / )AA S R I S S R ��


PFDPFD

RendementRendement


PuissancePuissance





Cinétique Torseur dynamiqueTorseur dynamiqueou torseur des quantités d’accélération d'un système matériel E par rapport à R

( , /

. ( , / )

( / )( , / ) . ( / ) ( / )

)

A R

d A S

m G S R

RA S R mV A R V G R

D

d

S R

t

��

��

��

Résultante dynamiqueMoment dynamique en A par rapport à R

Cas particuliers : Si A = G, alors :( , / )

( , / )R

d G S RG S R

dt

��

Si A fixe dans R, alors :( , / )

( , / )R

d A S RA S R

dt

��

Si S est en translation /R, alors : ( , / ) 0A S R ��


PFDPFD

RendementRendement


PuissancePuissance





Cinétique Énergie cinétiqueÉnergie cinétique

2 1. ( / ). ( ). ( / )

2

1. . (( / , / )

2)

�� GS RG I S S RmR VT S S R

En G seulement !

Cas particuliers :

S/R : rotation d’axe ( , )

A x2

,

1. .

2( / )

xA xS R IT

S/R : translation de direction x

21. .

2( / ) xmR VT S


PFDPFD

RendementRendement


PuissancePuissance





Cinétique Énergie cinétiqueÉnergie cinétique

2 1. ( / ). ( ). ( / )

2

1. . (( / , / )

2)

�� GS RG I S S RmR VT S S R

Cas particuliers :

Si masse ponctuelle mi :2

( , / )1

( ) . .2

0/i ii G m Ri mR VT m

��

Si la masse est négligée : ( / ) 0T S R

Dimensionsnulles !


PFDPFD

RendementRendement


PuissancePuissance





Cinétique Éléments cinétiques d’un ensemble EÉléments cinétiques d’un ensemble E

Soit E un ensemble de n solides Si en mouvement par rapport à R

1

( / ) ( / )

n

i ii

C E R C S R

1

( / ) ( / )

n

i ii

D E R D S R

1

( / ) ( / )

n

i ii

T E R T S R

Attention d’exprimer les moments au même point avant de les sommer !Attention d’exprimer les moments au même point avant de les sommer !


PFDPFD

RendementRendement


PuissancePuissance





Puissance

Puissance des efforts extérieurs sur E / RPuissance des efforts extérieurs sur E / R

Définition : ( / ) ( / . ( ))

��

M E

P Ext E R V M R dF M

Champ de forces au point M

Exemple : Champ de pesanteur

( ) . ( ).��dF M g M dv

Champ de pression d’un fluide

( ) ( ). ( ).��dF M p M n M dS

Champ de forces de contact

( ) ( ). ( ). . ( ). ( ). ��dF M p M n M dS f p M t M dS

Cas particulier du solide indéformable :

)( ( / )(/ ) T e VxP ext tE ER RE

Le comoment ne dépend pas du point choisipour le calcul des deux torseurs (même point pour les deux !)

mais du repère R.. . . . ..

x x

y y x y z x y z

z zA A

vX L

Y M X Y Z L Mv

N

v v N

Z

v

v


PFDPFD

RendementRendement


PuissancePuissance





Puissance

Puissance des efforts intérieurs à EPuissance des efforts intérieurs à E

1 2 2 1 1 2( , ) ( ) ( / ) iP S S T S S V S S

Cas des liaisons parfaites :Cas des liaisons parfaites :

Deux solides S1 et S2 ont une liaison parfaite si, quel que soit le mouvement autorisé par la liaison, la puissance développée par les actions mutuelles entre S1 et S2 est nulle (pas de frottement) :

1 2( , ) 0iP S S

Remarque : cette puissance est indépendante du repère R dans lequel

elle est calculée.


PFDPFD

RendementRendement


PuissancePuissance





PFD

Principe Fondamental de la DynamiquePrincipe Fondamental de la Dynamique

Énoncé : Il existe au moins un espace-temps galiléen tel que, pour tout ensemble matériel E, le torseur dynamique de E dans cet espace est constamment égal au torseur des efforts extérieurs appliqués à E :

( / ) ( ) gD E R T ext E

TThéorème de la RRésultante DDynamique : . ( , / ) ( ) ��

gm G E R R ext E

TThéorème du MMoment DDynamique : ( / ) ( ) ��

A g AE R ext Em

Remarque : en un point A fixe dans Rg ou au centre de gravité G

( , / ) ( , / )( ) ( )

��

g g

g gA G

R R

d A E R d G E Rext E et ext E

dt dtm m


PFDPFD

RendementRendement


PuissancePuissance





Th. de l’Ec

Théorème de l’énergie cinétiqueThéorème de l’énergie cinétique(ou théorème de l’énergie – puissance)(ou théorème de l’énergie – puissance)

La dérivée, par rapport au temps, de l’énergie cinétique galiléenne d’un solide S est égale à la puissance galiléenne des actions mécaniques extérieures à S.

( / )( / ) g

g

d T E RP ext E R

dt, 1

( / )( / ) ( , )

n

gg i i j

i ji j

d T E RP ext E R P S S

dt

Si E est un ensemble matériel :

Remarques : • l’équation obtenue à partir du théorème de l’énergie cinétique n’est pas indépendante des équations fournies par le principe fondamental de la dynamique,• le principe fondamental de la dynamique donne 6 équations et le théorème de l’énergie cinétique une seule, donc suffisant seulement pour les problèmes à un degré de mobilité,• pour un système de solides, il faut tenir compte des inter-efforts, contrairement au PFD,• ce théorème n’est intéressant que si on peut intégrer facilement la puissance (ie si la puissance "dérive d’un potentiel" et si les liaisons sont parfaites).


PFDPFD

RendementRendement


PuissancePuissance





Équations du mouvementÉquations du mouvement

En appliquant le Principe Fondamental de la Dynamique, on obtient des relations entre les paramètres de position du système, leurs dérivées 1ères et 2ndes et les efforts s'exerçant sur E.

On appelle équation du mouvementéquation du mouvement une équation différentielle du 2nd ordre traduisant les théorèmes généraux, dans laquelle ne figure aucune composante aucune composante inconnue d'action mécaniqueinconnue d'action mécanique.

En général le théorème de l’énergie cinétique est à privilégier pour déterminer l’équation du mouvement : méthode plus rapide.

Éq. du mvt

Il y a autant d’équations de mouvement que de mobilités utiles.


PFDPFD

RendementRendement


PuissancePuissance





Équilibrage dynamiqueÉquilibrage dynamique

Étude dynamique : Efforts de liaison dans (x, y ,z0) ?

Équilibrage

mgZ

Y

amX

0

2

mgaEM

DL2

2

dépendent de dépendent de θθ en projection dans R en projection dans R0 0 !!

vibrations dans la liaison pivotvibrations dans la liaison pivot

x0

x

y0

z0

(S)O

G

2 conditions d’équilibrage :

( , ) 0

Axe O z D E

( , )

G O z

- - ÉquilibrageÉquilibrage dynamiquedynamique : l’axe de rotation doit être axe principal d’inertie : l’axe de rotation doit être axe principal d’inertie

- - Équilibrage statiqueÉquilibrage statique : le centre de gravité doit appartenir à l’axe de rotation : le centre de gravité doit appartenir à l’axe de rotation


PFDPFD

RendementRendement


PuissancePuissance





Équilibrage dynamiqueÉquilibrage dynamique

Réalisation pratique :

Équilibrage

x0

x

y0

z0

(S)O

G

Soient Si deux masselottes de masse mi fixées en Pi de coordonnées xi, yi, zi dans R.Posons : S' = S + S1 + S2

Équilibrage statique : 2 2 21 1 1( ). .. . ��

m m OO Gm m OPm G m OP

21

2

1

21

2

1

0. .

. .

.

0

G axe de rotat

m x

m yi

m

m y

mo

xn

a

Équilibrage dynamique :

1 1 1

1 1 1

2 2 2

2 2 2

. 0. .

. .. 0.'

.

m y z

m xprod

m y z

m x zuits d inertie nul

D

E zs

P1 (m1)

P2 (m2)


PFDPFD

RendementRendement


PuissancePuissance





RendementRendement

Rendement

Définitions : ( ) 0 ( ) 1 réceptrice

motrice

Pt t

P

: , 0

: , 0

: , 0

motrice m m

réceptrice r r

dissipée d d

P P puissance reçue par le système P

P P puissance donnée par le système P

P P puissance perdue sous forme dechaleur P

Le théorème de l’énergie cinétique s’écrit : 0 m r ddT

P P Pdt

1 : 0 rer

m

PdTcas

dt P2 : 0

rème

m

PdTcas

dTdt Pdt

3 : 0

r

ème

m

dTP

dT dtcas

dt P


PFDPFD

RendementRendement


PuissancePuissance





Résolution d’un problème de dynamiqueRésolution d’un problème de dynamique

Résolution

1 - Modélisation du système mécanique :1 - Modélisation du système mécanique :• identifier les classes d’équivalence.• définir les liaisons entre ces différents groupes en faisant l’inventaire de toutes les mobilités permises par la liaison, indépendamment des mouvements autorisés par le mécanisme.• établir le graphe de structure du mécanisme.

2 – Paramétrage :2 – Paramétrage :• lier un repère Ri à chaque groupe Si• définir les paramètres de position permettant de situer ces repères entre eux (une longueur par translation et un angle par rotation permises par chaque liaison) sur des projections planes.• pour chaque classe d’équivalence Si, donner la masse, la position du centre de gravité et la matrice d’inertie dans Ri

3 - Inventaire des efforts appliqués :3 - Inventaire des efforts appliqués :• bien définir le solide ou système de solides étudié Si• faire le bilan des actions extérieures appliquées à Si (schéma pour les pb plan et torseurs pour les pb spatiaux).

4 - Détermination des équations de mouvement :4 - Détermination des équations de mouvement :• s’il y a une seule mobilité, donc une seule équation à écrire, et pas de frottement, on peut utiliser le théorème de l’énergie cinétique appliqué à l’ensemble du mécanisme pour déterminer la loi « entrée-sortie » mais on n’obtient pas de relation linéaire (liaison parfaite entre Si et Sj P(Si Sj / Si ) = 0).• S'il y roulement sans glissement (avec frottement non négligé et résistance au roulement négligée c-à-d le cas le plus fréquent) entre deux solides, la puissance des inter-efforts est nulle.• en cas de doute, préférer le PFD (attention: choisir un repère galiléen !) en projection sur l’axe du mouvement (th. de la résultante pour une translation et du moment dynamique ...ou cinétique suivant les auteurs ... pour une rotation).• ne calculer la (ou les) composante(s) du torseur dynamique dont on aura besoin qu’à partir de cet instant : déterminer la projection du moment cinétique si possible au centre de gravité ou en un point fixe dans Rg (attention à exprimer le vecteur rotation et la matrice d’inertie dans la même base !), dériver pour obtenir le moment dynamique (attention si l'axe de projection n'est pas fixe !) et le transporter si nécessaire en un autre point.

5 - Détermination des efforts inconnus :5 - Détermination des efforts inconnus :• appliquer le PFD à un solide (ou groupe de solides) judicieusement choisi (faisant apparaître ces efforts comme actions extérieures) en projection sur les seuls axes concernés par les composantes à déterminer.• pour dimensionner un actionneur (couple pour moteur, pression pour vérin), on peut utiliser le théorème de l’énergie cinétique.

Cinétique PFD Rendement Résolution Puissance Th. de l’E c Éq. du mvt Équilibrage 2 ème année...

Documents

Transcript of Cinétique PFD Rendement Résolution Puissance Th. de l’E c Éq. du mvt Équilibrage 2 ème année...