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Lycée Vauvenargues PTSI Cinématique page 1 / 30

CINEMATIQUE

But :

Le but de la cinématique est de modéliser les mouvements des pièces d’un système mécanique, sans s’intéresser aux

causes qui les produisent. On cherchera les relations entre ces mouvements, en vue de vérifier les performances d’un

système et/ou choisir des caractéristiques des actionneurs.

Ch 1. : POSITION D’UN SOLIDE. ETUDE GEOMETRIQUE D’UN

SYSTEME

Objectifs :

- définir la position à un instant donné entre des ensembles mobiles

- définir des mouvements simples

- réaliser la modélisation géométrique d’un système,

- déterminer la loi entrée/sortie d’un système à partir de son paramétrage.

- déterminer la trajectoire d’un point / repère

Introduction :

Le mouvement d’un solide peut être caractérisé par le déplacement (ou variation de position) de ce solide au

cours du temps. Il est donc nécessaire de définir :

ce qu’on appelle un solide

des repères liés à chaque solide afin de quantifier les variations de position

une base de temps pour observer les variations de position de ces repères entre eux.

1. Définition d’un solide

Un solide est un ensemble de points matériels de masse constante, indéformable.

C’est grâce à cette indéformabilité qu’on pourra établir une relation entre les vitesses de 2 points différents d’un

même solide.

2. Repère lié à un solide

A chaque solide va être lié un repère :

Le déplacement d’un solide par rapport à un autre

solide sera modélisé par le déplacement d’un repère

par rapport à un autre repère.

Les repères seront toujours choisis orthonormés directs

Rcabine

Rechelle sup Rechelle inf

Rcamion Rembase

= solide

≠ solide

Un ensemble de pièces en liaison encastrement

sera considéré comme un seul et même solide (que

l’on nommera ensemble cinématique).


Un repère R0 est constitué d’un point origine O et de trois axes orthogonaux

directs ( , )O x , ( , )O y et ( , )O z liés à l’espace.

Le repère R0 se note 0 , , ,R O x y z .

On associe de plus à chaque repère une base B0 orthonormée directe de

trois vecteurs ,i j et k . On note 0 ( , , )B i j k la base liée au repère R0.

La base est prise directe et orthogonale :

- on passe de i à j par rotation autour de k d’un quart de tour dans le sens positif, soit / 2 ou +90°, ( , ) / 2i j ,

- on passe de j à k par rotation autour de i d’un quart de tour dans le sens positif, soit / 2 ou +90°, ( , ) / 2j k ,

- on passe de k à i par rotation autour de j d’un quart de tour dans le sens positif, soit / 2 ou +90°, ( , ) / 2k i .

Convention :

La convention de sens pour un angle dans l’espace est la suivante : le sens positif de rotation autour de l’axe

( , )A u est le sens trigonométrique lorsque l'on regarde l’angle balayé avec le vecteur n sortant (c’est à dire

vers soi).

u

Plan perpendiculaire

A

nr

0ASens +

nr

nr

Vue de face

nr

sortant nr

rentrant

Cas classique Cas particulier

nr

On parle indifféremment de sens : positif, direct, trigonométrique, voir tout simplement de sens plus,

et dans le cas opposé, de sens : négatif, indirect, horaire, voir tout simplement de sens moins.

Astuce : la base (pouce, index, majeur) de la main droite est directe.

3. Système de référence

Base de temps :

Une position est définie à un instant donné t. On définit l’origine des temps t=0 comme l’instant à partir

duquel on observe le mouvement.

L’écoulement du temps s’exprimera en secondes.

Système de référence :

Le référentiel, appelé aussi système de référence, est la combinaison d’un repère d’espace et d’un

repère de temps. Il permet à deux observateurs différents qui adoptent ce référentiel de décrire le

mouvement de la même manière.

En mécanique classique, on utilisera un référentiel lié à la terre, ou lié à un solide immobile par rapport à la terre.

futur passé t = 0

instant initial instant t1

durée t = t2 – t1

instant t2 vers les t > 0

y

z

x

R0

O

Référentiel

ou

Système de

référence Repère de

temps Repère

d’espace

y

z

x

repère : 0 , , ,R O x y z

base associée : 0 ( , , )B i j k O

i j

k


O

O1 1y

1x

1z

O

O1 1y

1x

1z

4. Position d’un solide par rapport à un autre solide

Cela revient à positionner, à un instant donné, un repère R1 par rapport à un autre repère R0.

Il faut donc :

positionner O1 dans R0

Dans le cas général on a besoin de 3 coordonnées

On peut choisir des coordonnées cartésiennes, cylindriques, ou sphériques selon la nature des

déplacements possibles de O1

(Voir annexe 1 coordonnées d’un point)

orienter R1 / R0

Dans le cas général on a besoin de 3 angles (angles d’Euler par exemple)

(Voir annexe 2 angles d’Euler)

Dans le cas général, 6 paramètres, appelés paramètres de position, sont nécessaires. On dit qu’il y a 6

degrés de liberté entre les 2 solides.

5. Cas particuliers

51. Un seul paramètre de position angulaire entre les 2 repères :

C’est le cas des liaisons pivots, d’axe par exemple ici (O,x0)

52. Un seul paramètre linéaire entre les 2 repères :

C’est le cas des liaisons pivots, d’axe par exemple ici (O,x0)

53. Un paramètre linéaire et un paramètre angulaire entre les 2 repères :

C’est le cas des liaisons pivots glissants, d’axe par exemple ici (O,x0).

Ces paramètres de position sont des valeurs algébriques

dépendant du temps, définies par une origine et une

extrémité, et qui peuvent donc être positives ou négatives.

y0

O

y1 z1

x0 = x1

z0

λ

Système

réel

Paramétrage Schématisation


6. Modélisation cinématique d’un système mécanique. Paramétrage.

Le paramétrage d’un système consiste à associer à chaque solide ou ensemble cinématique un repère et de

situer ces repères les uns par rapport aux autres selon la nature des liaisons en introduisant les paramètres de

liaison associés de type translation(s) ou rotation(s).

On commence par repérer ces différents solides, puis on identifie les mouvements possibles entre 2 solides

en liaisons (reliés entre eux par des surfaces de contact).

On donne une représentation schématique des solides sous forme de traits, reliant les symboles des liaisons

définies précédemment. Il faut respecter la position des points caractéristiques des liaisons, et les directions

caractéristiques de ces liaisons.

Souvent ce paramétrage est réalisé sur le schéma cinématique du système lorsqu’il le permet. Il est ensuite

généralement complété des figures planes permettant de définir tous les axes et points caractéristiques du

mécanisme.

Exemple : modélisation cinématique d’un robot 5 axes.

Bien que ce robot soit constitué de nombreuses

pièces, il est possible de considérer uniquement 5

ensembles cinématiques.

Le bras 1 est en liaison pivot

d’axe 1 0( , )O z avec le bâti 0.

L’épaule 2 est en liaison pivot

d’axe 2 2( , )O y avec le bras 1.

Le coude 3 est en liaison pivot

d’axe 3 3( , )O y avec l’épaule 2.

Le poignet 4 est en liaison

pivot d’axe 4 4( , )O y avec le

coude 3.

La pince 5 est en liaison

glissière de direction 4x avec

le poignet 4.

cette représentation

normalisée du système

s’appelle le schéma

cinématique

A chaque ensemble cinématique, considéré

comme un solide indéformable, on associe un

repère, généralement, d’origine le centre d’une

liaison et d’axes les axes selon les dimensions

caractéristiques du groupe cinématique.

Par exemple, dans la figure ci-contre, le repère

1 1 1 1 1( , , , )R O x y z est associé au bras 1.


7. Fermeture géométrique. Loi entrée-sortie d’un système

La loi entrée/sortie d’un système est la relation entre le(s) paramètre(s) d’entrée et le(s) paramètre(s) de sortie

du système. Elle s’obtient par une écriture vectorielle (à choisir) projetée dans une des bases (à choisir, souvent

la base du repère fixe associé au référentiel terrestre), afin de mettre en relation le(s) paramètre(s) d’entrée et de

sortie.

Les paramètres d’entrée sont généralement les rotations des moteurs ou les translations des vérins. C’est ce

qui provoque les mouvements. Les paramètres de sortie sont les mouvements recherchés pour par exemple

valider les performances d’un système.

La loi entrée/sortie d’un système est obtenue en écrivant :

- une fermeture vectorielle du type 0 0 0 1 1 00 ... ...i i NO O O O OO O O qui relie les paramètres

de déplacement des liaisons et les grandeurs caractéristiques des ensembles cinématiques,

et / ou

- une fermeture angulaire du type 0 0 0 1 1 0, 0 , ... , ... ,i i Ni i i i i i i i qui relie les

paramètres de rotation des liaisons et les angles caractéristiques des ensembles cinématiques.

La fermeture géométrique vectorielle, projetée sur 3 directions (ou 2 directions si les mouvements s’effectuent

dans un plan), donne des équations scalaires qui permettent de trouver des relations entre les paramètres

géométriques, et notamment la loi entrée-sortie géométrique.

ANNEXE 1 : Coordonnées


ANNEXE 2 : Angles d’Euler

Les angles d'Euler définissent le passage entre deux repères 0 0 0 0, , ,R O x y z de base 0 0 0 0( , , )B i j k et 1 1 1 1, , ,R O x y z de

base 1 1 1 1( , , )B i j k placés en un même point O par l’intermédiaire de trois rotations successives.

Soient U la droite d'intersection des plans 0 0( , , )O x y et

1 1( , , )O x y et

u

un vecteur unitaire de U.

Etape 1 : angle de précession, rotation de autour de 0k

0.0 0 0 0, , , , , ,

kO x y z O U V z

Etape 2 : angle de nutation, rotation de autour de u

.0 1, , , , , ,

uO U V z O U W z

Etape 3 : angle de rotation propre, rotation de autour de 1k

1.1 1 1 1, , , , , ,

kO U W z O x y z

0j

O

u

0k

v

w

1k

0i

1i

1j

rotation propre

1x

u

0z

précession

0y

0x

u

v

0z

nutation

uv

w

1z

1z

w

1y

U

0y

O

u

0z

v

w

1z

0x

1x

1y

rotation propre

1x

u

0k

précession

0j

0i

u

v

0z

nutation

uv

w

1z

1z

w

1y

0y

O

u

0z

v

w

1z

0x

1x

1y

rotation propre

1x

u

0z

précession

0y

0x

u

v

0k

nutation

uv

w

1k

1z

w

1y

0y

O

u

0z

v

w

1z

0x

1x

1y

rotation propre

1i

u

0z

précession

0y

0x

u

v

0z

nutation

uv

w

1z

1k

w

1j


Ch 2 : POSITION, VITESSE ET ACCELERATION

D’UN POINT D’UN SOLIDE

Objectifs :

- déterminer position, vitesse et accélération d’un point lié à un solide par rapport à un référentiel (ou repère), en utilisant la formule de dérivation vectorielle,

- définir le vecteur taux de rotation entre deux repères.

1 Position d’un point d’un solide par rapport à un repère. Trajectoire

On appelle position du point M appartenant au solide 1

dans son mouvement par rapport au repère R0 le vecteur :

( )OM t

Important :

L’origine O du vecteur position doit correspondre à

l’origine du repère R0 par rapport auquel on étudie le

mouvement.

Remarque :

Il n’est pas forcément nécessaire de donner les coordonnées de ce vecteur dans R0. Il est souvent

plus simple de l’exprimer vectoriellement dans un repère mobile.

Définition :

La trajectoire d’un point M dans son mouvement par rapport à un repère R est l’ensemble des

positions prises par ce point au cours du temps, dans le repère R.

Notation : T (M, S/R).

2 Vitesse d’un point d’un solide par rapport à un repère

On note 0( ,1/ )V M R le vecteur vitesse du point M

appartenant au solide 1 dans son mouvement par rapport au

repère R0.

Par définition, à chaque instant t, 0( ,1/ )V M R est la dérivée

par rapport au temps du vecteur position ( )OM t dans le repère

par rapport auquel on considère le mouvement,

0

0( ,1/ ) ( )R

dV M R OM t

dt

Dérivation d’un vecteur, voir formule de dérivation vectorielle

L’unité de la norme du vecteur vitesse est le m/s.

Propriété : le vecteur vitesse 0( ,1/ )V M R est à chaque instant tangent à la trajectoire T(M,1/R0).


3 Dérivation vectorielle et vecteur rotation

3.1 Dérivée d’un vecteur, exprimé dans B0, par rapport à R0 un repère fixe ou mobile

Soit le vecteur ( )u t , exprimé dans B0, tel que u (t) = a(t) 0i + b(t)

0j + c(t) 0k . La dérivée de ( )u t par

rapport à R0 est telle que :

0

0 0 0

( ) a b c

R

du t d d di j k

dt dt dt dt

= 0 0 0a b ci j k .

Dans ce cas, il suffit de dériver les composantes du vecteur par rapport au temps.

3.2 Dérivée d’un vecteur, exprimé dans B1 base d’un repère mobile, par rapport à R0 un repère fixe ou mobile

Soit le vecteur ( )u t exprimé dans B1, tel que u (t) = a(t) 1i + b(t)

1j + c(t) 1k .

La dérivée de ( )u t par rapport à R0 peut s’exprimer en fonction de la dérivée de ( )u t par

rapport à un autre repère R1 :

0 1

1 0

( ) ( )( / ) ( )

R R

du t du tR R u t

dt dt

où :

- 1 0( / )R R est le vecteur vitesse de rotation (ou vecteur rotation) de R1 par rapport à R0,

- 1 0( / ) ( )R R u t est le produit vectoriel : voir annexe 1.

Le vecteur vitesse de rotation 1 0( / )R R :

1 0( / )R R , appelé vecteur vitesse de rotation de R1 par rapport à R0, définit à l’instant t la vitesse de

rotation du repère R1 par rapport au repère R0. L’unité de la norme du vecteur vitesse de rotation est le

rad/s.

Exemple : Dans le cas de la figure ci-dessous, on passe du repère R1 au repère R0 par rotation autour de l’axe

0( , )O z d’un angle . On définit le vecteur rotation par :

formule de

dérivation

vectorielle

Ω R1 / R0 =


Cas général : On peut définir 3 angles d’Euler :

Alors :

Cas particulier : Translation de 2 repères

3.3 cas particuliers: dérivée d’un vecteur d’une base mobile par rapport à un repère R0 fixe

En cinématique, le vecteur position ou vecteur vitesse d’un point s’exprime souvent comme une somme de vecteurs qui ne sont pas les vecteurs directeurs du repère R0 par rapport auquel on étudie le mouvement. Il est donc très courant de devoir dériver un vecteur unitaire d’une base mobile par rapport à un repère R0 fixe.

Application : dérivée de x1 dans R0

3.4 Propriétés

- soient )(1 t et )(2 t deux fonctions scalaires et 1w et 2w deux vecteurs, alors :

0 00

1 1 2 2 1 1 2 21 1 2 2

( ). ( ). ( ) ( )( ). . ( ). .

R RR

d t w t w dw d t dw d tt w t w

dt dt dt dt dt

.

Ω R1 / R0 =

Ω R1 / R0 =


- dérivée du produit scalaire :

0 00

1 2 1 22 1

.. .

R RR

d w w dw dww w

dt dt dt

- dérivée du produit vectoriel :

0 00

1 2 1 22 1

R RR

d w w dw dww w

dt dt dt

Attention au sens

4 Accélération d’un point d’un solide par rapport à un repère

On note 0( ,1/ )M R le vecteur accélération du point M

appartenant au solide 1 dans son mouvement par rapport au

repère R0.

Par définition, à chaque instant t, 0( ,1/ )M R est la dérivée,

par rapport au temps, du vecteur vitesse 0( ,1/ )V M R dans le

repère par rapport auquel on considère le mouvement,

0 0

2

0 0 2( ,1/ ) ( ,1/ ) ( )

R R

d dM R V M R OM t

dt dt

Dérivation d’un vecteur, voir formule de dérivation vectorielle

L’unité de la norme du vecteur accélération est le m/s2.

Propriété : le vecteur accélération 0( ,1/ )M R traduit à chaque instant la variation instantanée du vecteur

vitesse.

Remarques et interprétations sur le vecteur accélération :

- le vecteur accélération peut toujours se décomposer en une somme de deux vecteurs :

0( ,1/ ) . .t nM R a t a n

accélération tangentielle

accélération normale

avec

t est le vecteur unitaire directeur tangent à la trajectoire, donc colinéaire et de même sens que

0( ,1/ )V M R ,

n est le vecteur unitaire perpendiculaire à t , orienté vers l’intérieur de la trajectoire T(M,1/R0).


- l’accélération tangentielle .ta t représente la variation de l’intensité du vecteur vitesse 0( ,1/ )V M R , si

0ta la vitesse du point M augmente, si 0ta sa vitesse diminue.

- l’accélération normale .na n (avec 0na ) représente la variation de l’orientation du vecteur vitesse

0( ,1/ )V M R .

- à chaque instant t, toute portion de la trajectoire autour du point M peut être assimilée à un cercle

dans le plan ( , , )M t n . Le rayon de ce cercle, noté R, est appelé le rayon local de giration.

En notant 0( ,1/ )V V M R , on montre que

t

dVa

dt et

2

n

Va

R

ANNEXE : Produit vectoriel w u v :

- le produit vectoriel est un opérateur antisymétrique : si w u v , alors w v u ,

- le vecteur w est par construction perpendiculaire à u et à v , il est un vecteur directeur de la normale

au plan ( , )u v ,

- la norme de w vérifie . . sin( , )w u v u v où l’angle ( , )u v compris entre 0, ,

- si u et v sont colinéaires alors 0w ,

- w est tel que l’on passe de u à v par rotation positive autour de w d’un angle inférieur à , voir

figure ci-dessous,

Plan ( , )u v

Sens +

w

Plan ( , )u v

Sens +

v

u

wu

v

- si

B

a

u b

c

et

B

d

v e

f

sont exprimés dans une même base ( , , )B i j k , les composantes de w dans

( , , )B i j k sont :

. .

. .

. .B B B

a d b f e c

w u b v e d c a f

c f a e d b

Pratique :

- dans une base orthonormée directe ( , , )B i j k on a i j k , j k i et k i j ,

- d’une manière générale, avec votre main droite : pouce index majeur

.


Ch 3 : CHAMP DES VECTEURS VITESSE. TORSEUR CINEMATIQUE

Objectifs :

• Etre capable de déterminer la vitesse en un point connaissant la vitesse en un autre point • Connaitre la distribution des vitesses pour des mouvements particuliers • Modéliser tout mouvement par un torseur.

1 Champ des vecteurs vitesse de points d’un solide.

On considère le mouvement d’un solide Si par rapport à

un autre solide Sj (repère Rj lié à Sj).

A tout instant t, tout point M lié au solide Si possède une

vitesse par rapport à Rj notée i( , / )jV M S R .

L’ensemble des vecteurs vitesse i( , / )jV M S R pour tout

point M de Si constitue le champ des vecteurs vitesse du

solide Si par rapport à Rj.

2 Relation entre vitesses en différents points: relation de moment.

Problème : dans le mouvement de Si par rapport à Rj, connaissant la vitesse en un point A, on

souhaite déterminer la vitesse en un point B.

A partir de la définition du vecteur vitesse et de la dérivation vectorielle, on démontre aisément que :

i i i( , / ) ( , / ) ( / )j j jV B S R V A S R S R AB

3 Cas particuliers

31. mouvement de rotation de R1 / R0 autour de Oz0

V(O,1/0) =

V(A,1/0) = OA = a

V(B,1/0) = OB = b

x0 O

x1

y1

A

z1

y0

z0

B

V(B’,1/0) = OB’ = b

B’

On a :

Relation de moment, encore appelée

formule de changement de point, ou

formule de Varignon


32. mouvement de translation

Soit un solide 1 en translation par rapport à R0 de direction x0. Alors

Translation rectiligne : Si la trajectoire d’un point par rapport à un repère (donc de tout point) est

une droite.

Translation circulaire : Si la trajectoire d’un point par rapport à un repère (donc de tout point) est

un cercle.

.

Mécanisme 4 barres à parallélogramme déformable.

Translation quelconque :

Exemple : portes de métro : la trajectoire est donnée par une rainure au sol incurvée pour la

fermeture.

V(A,1/0) connu

V(B,1/0) =

x1

O1

y1

z1

Supposons

Alors

M

x

Instant t1 Instant t2

T(M, Ro)

x0

O

y0

z0

M

x

M

x

Instant t1

Instant t2 T(M, Ro)

1

A

B

V(A,1/0)

x0

O

y0

z0

x0

O

y0

z0

M

x


4 Torseur cinématique

On peut remarquer, à partir de la relation de moment, que pour déterminer la vitesse en tout point d’un solide par rapport à un repère, il nous faut connaître la vitesse en un autre point et le vecteur rotation correspondant.

Ces 2 renseignements sont réunis dans un seul outil mathématique appelé torseur. Il s’agira ici du torseur cinématique du mouvement de Si par rapport à Rj.

Notation :

i i i( , / ) ( , / ) ( / )j j jV B S R V A S R S R AB

Le mouvement quelconque d’un solide i par rapport à un solide j est alors modélisé par le

torseur cinématique { V i/j }.

5 Torseur cinématique des liaisons voir annexe jointe

6 Champ des accélération des points d’un solide

On considère le mouvement d’un solide Si par rapport à un autre solide Sj (repère Rj lié à Sj).

A tout instant t, tout point M lié au solide Si possède une accélération par rapport à Rj notée :

( , / )i jM S R .

L’ensemble des vecteurs accélération ( , / )i jM S R pour tout point M de Si constitue le champ des

vecteurs accélération du solide Si par rapport à Rj.

Soient A et B deux points liés au solide Si en mouvement par rapport à Rj. A partir de la relation de

moment, et après dérivation, on démontre que :

i i i i i( , / ) ( , / ) ( / ) ( / ) ( / )

j

j j j j j

R

dB S R A S R S R AB S R S R AB

dt

Cette formule est peu aisée d’application. En pratique, pour calculer une accélération en un point, on

calculera d’abord le vecteur vitesse (en utilisant par exemple la relation de moment), puis on dérivera

par rapport au temps.

Remarques :

Pour un mouvement de translation, la formule ci-dessus donne pour :

Si on qu’une composante de l’accélération sur par exemple :

On calcule , puis

Alors

soit :

centre de réduction du torseur

résultante du torseur cinématique

moment du torseur cinématique

ayant la propriété :

Ω (Si / Rj)

V(A,Si/Rj) A


ANNEXE SUR LES TORSEURS

C’est un outil mathématique construit par l’association :

d’un vecteur (donc indépendant du point d’écriture du torseur) appelé résultante du torseur :

d’un champ de vecteur appelé moment du torseur possédant la propriété de changement

de point suivante :

Notation : Représentation :

Somme de 2 torseurs et produit par un scalaire :

Soient 2 torseurs exprimés en un même point. Si ce n’est pas le cas, on applique la relation de

changement de point pour l’un des 2 torseurs :

et

Alors

et

(avec a réel)

Torseurs particuliers

Torseur nul : Torseur couple : Torseur glisseur :

Propriété de l’équiprojectivité

Le champ de moment d’un torseur

est équiprojectif , c’est-à-dire que :

quels que soient 2 points A et B de l’espace, on a :

Cette propriété servira pour des résolutions de cinématique graphique.

R

A

M(A)

R

Eléments de réduction du

torseur

Centre de réduction du

torseur


Ch 4 : COMPOSITION DES MOUVEMENTS

Objectifs :

• Établir les relations entre les différents mouvements des divers solides au sein d’un mécanisme • Définir une vitesse de glissement et un roulement sans glissement

1 Points coincidents.

On considère deux solides 1 et 2 en mouvements par rapport à Ro (liaison glissière 2/0 de direction

z0 et liaison pivot 1/0 d’axe Ox0). Ces deux solides sont également en contact entre eux en un point B.

A un instant t2, les 2 points ont suivis leurs trajectoires

respectives, et se retrouvent séparés.

A l’instant t1, on dit que les 2 points sont coïncidents, et

on notera B ce point commun.

Il est alors impératif de préciser à quel solide est lié le

point B lorsqu’on veut calculer sa vitesse ou son

accélération :

Ces vitesses sont toutes différentes (leurs trajectoires ne

sont pas les mêmes), mais sont liées entre elles.

A un instant t1, appelons :

B1 : le point B lié à 1 B2 : le point B lié à 2.


2 Composition des mouvements

Considérons deux solides1 et 2 en mouvement par rapport à un solide 0 (ou repère Ro).

Cette relation est une relation de Chasles. Elle peut s’écrire en faisant intervenir autant de solides

intermédiaires que voulus, à condition de respecter l’ordre relatif des indices. Toutes les vitesses sont

calculées au même point.

De même, pour les vecteurs rotation, nous pouvons écrire la relation suivante :

Les 2 relations précédentes peuvent être synthétisées par une relation sur les torseurs cinématiques :

, relation qui peut être généralisée à n solides.

3 Vitesse de glissement. Roulement sans glissement.

31. vitesse de glissement

Considérons 2 solides en contact permanent entre eux, en un point M.

On appelle vitesse de glissement de 2 par rapport à 1 la vitesse :

On peut indistinctement calculer les 3 vecteurs vitesse

suivants :

Entre ces vecteurs, on démontre la relation suivante :

plan tangent commun

au contact en M


Propriétés :

Application :

La vitesse de glissement entre 2 et 1 peut

s’écrire sous la forme :

En appliquant la composition des

mouvements en B, on pourra alors trouver

les relations entre la vitesse de rotation 1/0,

la vitesse de sortie 2/0, et la vitesse de

glissement 2/1. (Voir application)

32. Roulement sans glissement

Soit M le point de contact entre deux solides 1 et 2.

On dit qu’il y a roulement sans glissement entre

1 et 2 (ou que 1 roule sans glisser sur 2) si :

Alors

En partant de cette relation et en appliquant la composition des mouvements, on pourra déterminer la

relation entre les vitesses à l’entrée et la sortie d’un mécanisme.

33. Décomposition du vecteur rotation

Posons le vecteur rotation entre 2 et 1 en contact ponctuel.

peut se décomposer en :

- Un vecteur dans le plan tangent commun au contact

- Un vecteur normal au plan tangent commun au contact

+

Exemple : Roue sur sol

Le roulement sans glissement entre le pneu

et la route permet au véhicule d’avancer…

Voir application : Transmission par

engrenages

http://www.location-auto-voiture.com/contact-loueur-marrakech.php


4 Composition des accélération des points d’un solide

où :

0( , / )M S R est l’accélération absolue du point M dans le mouvement de S par rapport à R0,

1( , / )M S R est l’accélération relative du point M dans le mouvement de S par rapport à R1,

0

1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1( , / ) ( / ) ( / ) ( / )entraînement

R

dO R R R R O M R R R R O M

dt

est l’accélération

d’entraînement du point M supposé attaché au repère R1 par rapport à R0, notée aussi 1 0( , / )M R R ,

1 0 12 ( / ) ( , / )Coriolis R R V M S R est l’accélération de Coriolis.

Cette formule est peu aisée d’application. En pratique, pour calculer une accélération en un point,

on calculera d’abord le vecteur vitesse (en utilisant par exemple la composition des mouvements

et/ou la formule de changement de point), puis on dérivera par rapport au temps.

Ch 5 : ANALYSE CINEMATIQUE GLOBALE D’UN MECANISME

Objectifs :

Proposer une modélisation géométrique d’un système mécanique

Mettre en place une méthodologie d’étude cinématique

Problème posé : A partir d’un cahier des charges ou des performances souhaitées d’un mécanisme, il nous

faut calculer les mouvements moteurs, ainsi que les mouvements dans les différentes

liaisons afin de justifier certaines solutions techniques.

1. Modélisation cinématique. (graphe de liaison)

1ère étape : recenser les différents ensembles cinématiques

2ème étape : faire l’inventaire des mouvements entre 2 ensembles cinématiques, en déduire les liaisons.

3éme étape : faire le graphe de liaisons

Considérons un solide1 en mouvement par rapport à un solide 0

(ou repère Ro).

Considérons un point M d’un solide S en mouvement par rapport

aux 2 repères Ro et R1.

On montre que :

0 1( , / ) ( , / ) entraînement CoriolisM S R M S R

On montre que :


Graphe de liaison (rappel) :

Dans ce graphe, les sous-ensembles cinématiques sont schématisés par des cercles, les liaisons sont

représentées par des arcs ou traits entre les cercles.

Ce graphe peut être ouvert

ou fermé, et dans ce dernier

cas présenter plusieurs

boucles.

Il convient de préciser la

désignation (nom +

caractéristiques) associée à

la liaison selon le repère de

contact.

2. Méthodologie d’étude cinématique d’un système mécanique

Considérons un mécanisme en chaîne fermée ne

présentant qu’une boucle. Soient 1, 2,….Ns les différents

ensembles cinématiques.

Chaque liaison est définie par son torseur cinématique

)j/i( .

Une analyse cinématique systématique peut être réalisée

suivant la méthodologie suivante :

Ecrire les torseurs cinématiques de chaque liaison.

Exprimer tous ces torseurs en un même point.

Ecrire la composition des mouvements mise en évidence par la boucle.

La relation de bouclage cinématique s’écrit :

)Ns/1()1/2(...)2Ns/1Ns()1Ns/Ns( = 0

Projeter les 2 équations vectorielles sur 3 directions de l’espace non linéairement dépendantes.

Résoudre le système.

Remarques :

- S’il y a plusieurs boucles, on répète les opérations précédentes pour chaque boucle.

- On aura dans le cas général un système de 6 équations significatives pour un problème

spatial, 3 équations significatives pour un problème plan.

- Le nombre d’inconnues moins le nombre d’équations significatives nous renseigne sur le

nombre de mouvements à imposer (moteurs ou vérins) pour pouvoir déterminer de manière

unique tous les autres mouvements. On l’appelle la mobilité du système mécanique noté mc.

mc = Ic- rc.

Ic: nombre d’inconnues cinématiques (termes non

nuls des torseurs cinématiques des liaisons)

rc : rang du système cinématique


Ch 6 : METHODES DE RESOLUTION GRAPHIQUE

Objectifs :

Quantifier les vitesses de points de solides dans des positions définies

Proposer une alternative non calculatoire pour certains systèmes

1 Définition d’un problème plan.

Soit un ensemble de solides en mouvement les uns par rapport aux autres. Ex système bielle-

manivelle :

Ces mouvements forment un système plan si les vecteurs rotations des différents mouvements

observables sont colinéaires.

Une autre façon de le vérifier est de constater que toutes les trajectoires des points par rapport à

n’importe quel repère se situent dans des plans parallèles (ou confondus).

Lorsqu’un mécanisme est plan, on peut alors adopter les méthodes de résolution graphique qui

suivent.

2 Centre Instantané de Rotation

Soit un solide 1 en mouvement plan par rapport à un solide 0 (ou repère Ro).

A un instant donné, il existe un et un seul

point, dans le plan, qui a une vitesse nulle dans

le mouvement de 1 / 0.

Ce point, noté I10, s’appelle le Centre

Instantané de Rotation du mouvement de 1 /0.


Propriétés :

vitesse AI10

• A un instant donné, le mouvement de 1/0 peut être assimilé à une rotation plane de centre I10.

• ll V (A,1/0) ll = AI10. ω 10.

• La positon de I10 peut être variable au cours du temps, d’où le nom de centre INSTANTANE de rotation.

Notation : on notera Iij le CIR de i dans son mouvement par rapport à j.

3 Relation entre vecteurs vitesses de 2 points d’un solide.

31. Méthode du C.I.R.

Considérons un solide 1 mouvement plan par rapport à un repère Ro. Supposons connu et le CIR I10

On souhaite tracer

32. Equiprojectivité

C’est la traduction graphique de la relation de changement de point des vecteurs vitesses. Pour un solide

(1) en mouvement par rapport à Ro, on a :

Si on projette cette expression sur la droite (AB), on a :

Soit :

Conclusion :

Dans le mouvement de 1/0, les vitesses en deux points quelconques A et B ont la même

projection sur l’axe AB.


Application :

Supposons connu et la direction de . On souhaite tracer

33. Remarques

Ce tracé n’est exploitable que si on dessine les vecteurs vitesses avec une échelle clairement indiquée. Il suffit alors de mesurer V(B,1/0) pour en connaitre sa valeur numérique.

La détermination de cette vitesse n’est valable que pour la position du tracé. Pour une autre position, il faut refaire tout le tracé.

4 Composition des mouvements

41. Traduction graphique

Entre 3 solides 0, 1 et 2, elle s’exprime en un point B par :

Cas 1 :

et sont connus :

Alors on en déduit .

Cas 2 :

connu et

Les directions de et sont connues :

Alors on en déduit et .

B

Direction

B

Direction


42. Alignement de 3 C.I.R.

.

5 Base et roulante

On appelle base du mouvement plan de 1 par rapport à 0, les lieux, au cours du temps, du CIR de 1/0 dans

le repère R0 lié à 0.

On appelle roulante du mouvement plan de 1 par rapport à 0, les lieux, au cours du temps, du CIR de 1/0

dans le repère R1 lié à 1.

Propriétés :

- la base et la roulante sont deux courbes qui roulent sans glisser l’une sur l’autre au cours du temps, - la base et la roulante sont donc de tangente commune au point de roulement sans glissement, - les distances parcourues sur la base et sur la roulante pendant un intervalle de temps sont les

mêmes.

Considérons 3 solides en mouvements plan

par rapport à Ro.

Nous pouvons considérer les 3 mouvements

relatifs 3/1, 3/2, et 2/1, dont les C.I.R. sont

notés I31, I32 et I21.

On démontre, à partir de la composition des

vitesses appliquée en un point A, la propriété

suivant :

I31, I32 et I21 sont alignés

(théorème des 3 plans glissants)

Dans un engrenage à dentures extérieures, déterminer la base et la roulante du mouvement de la roue dentée 1 par rapport à la roue dentée 2.

Dans un système pignon-crémaillère, déterminer la base et la roulante du mouvement du pignon 1 par rapport à la crémaillère 2.


Ch 7 : DETERMINATION DE LIAISONS EQUIVALENTES

Objectifs :

Simplifier ou décomposer une chaîne de solides en vue de justifier les choix ou modifier une solution

technique.

Modéliser les liaisons à partir de l’analyse des surfaces en contact.

Préparer à l’étude de l’hyperstaticité des liaisons (programme 2ème année).

1. Liaison équivalente

Remarque : cette liaison équivalente n’est intéressante à déterminer que si elle correspond à une liaison

normalisée du tableau.

Pour déterminer cette liaison équivalente, il nous faut distinguer les cas de liaisons en série ou en

parallèle.

2. Liaisons en série

Elles correspondent à un extrait de graphe de liaison comme suit :

Le torseur cinématique de 4/1 doit traduire les mouvements possibles entre 4 et 1.

En appliquant la composition des mouvements, il vient :

Tous les torseurs doivent être exprimés au même point.

On en déduit alors, d’après la forme du torseur, le nom et les caractéristiques de la liaison équivalente.

1 2 3 4L1 L2 L3

1 4Léq.

1 2 3

4

L1 L2

L3 L4Ci-contre un extrait du graphe de liaison d’un mécanisme.

Afin de simplifier l’étude de ce mécanisme, on veut remplacer

l’ensemble des liaisons L1 à L4 par une seule liaison, appelée liaison

équivalente.

La liaison Léq. entre 1 et 3 sera cinématiquement équivalente

si elle autorise (ou empêche) les mêmes mouvements entre 1

et 3 que l’ensemble des liaisons L1 à L4.


Application 1 :

3. Liaisons en parallèles

Elles correspondent à un extrait de graphe de liaison comme suit :

La liaison équivalente correspond aux mouvements communs possibles des différentes liaisons. Cela se

traduit par l’égalité suivante :

Tous les torseurs doivent être exprimés au même point.

La résolution du système qui résulte de l’égalité des torseurs va nous indiquer les mouvements

finalement nuls entre 2 et 1, et ceux qui ne le sont pas. On en déduit alors, d’après la forme du torseur, le

nom et les caractéristiques de la liaison équivalente.

Application 2 :

1

BA

x

y

2

3

2AB

x

y

1

a


4. Exemples de solutions technologiques

Une liaison entre deux solides est réalisée par un ensemble de surfaces de contact aussi appelées

surfaces fonctionnelles. Ces éléments de contact seront considérées de forme parfaite, indéformables,

et de nature simple (point, droite, cercle, plan, cylindre, sphère).

Pour chacune des solutions suivantes, on distingue les surfaces fonctionnelles qui réalisent la Mise en

Position (MIP) des pièces et les éléments technologiques « classiques » (écrous, circlips…) qui réalisent

le Maintien en Position (MAP) des pièces.

Certaines surfaces de contact pourront-être prépondérantes par rapport à d’autres. On les hiérarchisera

en les nommant MIP1, MIP2, …

41. Liaisons réalisées par contact direct entre surfaces :

Exemple 1 : Contact cylindrique

Considérons 2 pièces en contact cylindre/cylindre avec jeu.

Le jeu autorise un rotulage non négligeable. Le jeu autorise un rotulage négligeable

Liaison : Liaison :

Exemple 2 : Contacts plan et cylindrique

MIP 1 = cylindre (cylindre prépondérant)

On peut distinguer 2 cas types de montage :

Centrage court : Centrage long :

Modèle de représentation :

L

D


MIP 1 = plan (appui plan prépondérant)

42. Liaisons réalisées par des composants standards :

Exemple 1 : Liaison pivot par roulements

En prenant en compte le jeu dans le roulement :

Exemple 2 : paliers lisses rapportés ou coussinets

On est dans la même problématique que dans le cas d’un contact cylindrique.

La bague intérieure, donc l’arbre, peut s’incliner de 1 à

5° selon les roulements par rapport à la bague

extérieure (donc le logement). Cela s’appelle le rotulage

des roulements. Un roulement est donc modélisé par

une liaison rotule si ses bagues sont bloquées en

translation, linéaire annulaire si une des bagues est libre

en translation.

Bague extérieure

Bague intérieure

Arbre

Logement


Exemples de solutions technologiques de liaisons pivots

diminution du

frottement par ajout

d’une pièce

intermédiaire en bronze.

remplacement du contact

frottant par un contact

roulant pertes diminuées.

MIP :

MAP :

MIP :

MAP :

MIP : MAP :

montés serrés

dans l’alésage


Exemples de solutions technologiques de liaisons glissières

par contact direct : queue d’aronde (2 plans de normales concourantes) ou guide,

centrage long (L > 1,5 Ø) + clavette ou cannelures,

Exemples de solutions technologiques de liaisons encastrements

appui-plan prépondérant + centrage court (surface cylindrique avec L < 0,5 Ø ou pion) + vis de fixation,

centrage long prépondérant (L > 1,5 Ø) + appui-plan + arrêt rotation + circlips ou écrou

remplacement du contact

frottant par un contact roulant

pertes diminuées.

Clavette = arrêt en rotation

La clavette est montée serrée dans l’arbre et glissante dans le logement.

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